98:
267:
956:
1042:
The circles generated by
Schinzel's construction are not the smallest possible circles passing through the given number of integer points, but they have the advantage that they are described by an explicit equation.
488:
652:
1032:
363:
395:
322:
991:
725:
581:
521:
844:
687:
786:
177:
869:
754:
152:
548:
864:
809:
172:
123:
79:
51:
403:
1070:
586:
1152:
1157:
996:
327:
1110:, Dolciani Mathematical Expositions, vol. 1, Mathematical Association of America, pp. 118–121
1068:(1958), "Sur l'existence d'un cercle passant par un nombre donné de points aux coordonnées entières",
400:
Multiplying both sides of
Schinzel's equation by four produces an equivalent equation in integers,
368:
272:
1162:
961:
692:
553:
493:
814:
657:
1083:
759:
730:
128:
8:
583:
as a sum of two squares, and half are in the order (odd, even) by symmetry. For example,
17:
530:
849:
794:
524:
157:
108:
64:
36:
1122:
1126:
1065:
86:
31:
1103:
1079:
58:
262:{\displaystyle \left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{4}}5^{k-1}.}
1146:
951:{\displaystyle \left(x-{\frac {1}{3}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {1}{9}}5^{2k}.}
846:, then the circle given by the following equation passes through exactly
154:, then the circle given by the following equation passes through exactly
1131:
527:, where the first is odd and the second is even. There are exactly
101:
Circle through exactly four points given by
Schinzel's construction
97:
105:
Schinzel proved this theorem by the following construction. If
54:
1120:
483:{\displaystyle \left(2x-1\right)^{2}+(2y)^{2}=5^{k-1}.}
1004:
365:. For instance, the figure shows a circle with radius
335:
999:
964:
872:
852:
817:
797:
762:
733:
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67:
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542:
515:
482:
389:
357:
316:
261:
166:
146:
117:
73:
45:
20:, Schinzel's theorem is the following statement:
1144:
647:{\displaystyle 5^{1}=(\pm 1)^{2}+(\pm 2)^{2}}
1098:
1096:
1094:
1092:
85:It was originally proved by and named after
788:, which produces the four points pictured.
1102:
1060:
1058:
1056:
1089:
1114:
1064:
96:
1053:
1145:
1121:
1027:{\displaystyle ({\tfrac {1}{3}},0)}
358:{\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},0)}
13:
14:
1174:
993:, and is centered at the point
324:, and is centered at the point
1106:(1973), "Schinzel's theorem",
1021:
1000:
635:
625:
613:
603:
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439:
352:
331:
293:
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1:
1046:
1037:
397:through four integer points.
390:{\displaystyle {\sqrt {5}}/2}
317:{\displaystyle 5^{(k-1)/2}/2}
61:that passes through exactly
7:
1071:L'Enseignement mathématique
10:
1179:
125:is an even number, with
92:
986:{\displaystyle 5^{k}/3}
958:This circle has radius
720:{\displaystyle 2x-1=-1}
576:{\displaystyle 5^{k-1}}
516:{\displaystyle 5^{k-1}}
269:This circle has radius
1153:Theorems about circles
1028:
987:
952:
860:
840:
839:{\displaystyle n=2k+1}
805:
791:On the other hand, if
782:
750:
721:
683:
682:{\displaystyle 2x-1=1}
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781:{\displaystyle 2y=-2}
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815:
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760:
749:{\displaystyle 2y=2}
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158:
147:{\displaystyle n=2k}
129:
109:
65:
37:
1158:Geometry of numbers
1108:Mathematical Gems I
28: —
18:geometry of numbers
1123:Weisstein, Eric W.
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1013:
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948:
856:
836:
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543:{\displaystyle 4k}
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525:sum of two squares
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164:
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71:
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25:Schinzel's theorem
1127:"Schinzel Circle"
1012:
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804:{\displaystyle n}
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118:{\displaystyle n}
74:{\displaystyle n}
53:, there exists a
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1136:
1135:
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1104:Honsberger, Ross
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