2999:. Advanced Courses in Mathematics CRM Barcelona. Elsholtz, C.; Freiman, G.; Hamidoune, Y. O.; Hegyvári, N.; Károlyi, G.; Nathanson, M.; Solymosi, J.; Stanchescu, Y. With a foreword by Javier Cilleruelo, Marc Noy and Oriol Serra (Coordinators of the DocCourse). Basel: Birkhäuser.
215:
741:
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210:{\displaystyle S=\{a_{1}+\cdots +a_{n}:\ a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n}\ \mathrm {and} \ P(a_{1},\ldots ,a_{n})\not =0\},}
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1103:
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2563:
and M. Tarsi in 1989, and developed by Alon, Nathanson and Ruzsa in 1995–1996, and reformulated by Alon in 1999.
2498:
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3092:
2702:
Dias da Silva, J. A.; Hamidoune, Y. O. (1994). "Cyclic spaces for
Grassmann derivatives and additive theory".
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2746:
2388:
1917:
1095:
798:
1778:. This was first confirmed by J. A. Dias da Silva and Y. O. Hamidoune in 1994 who showed that
3068:
2953:
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of various restricted sumsets is the following fundamental principle: the combinatorial
545:
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can be written as the sum of the elements of some subsequence (possibly empty) of
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2855:
2818:
2763:
1960:
736:{\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}),}
2609:
Jeffrey Paul
Wheeler (2012). "The Cauchy-Davenport Theorem for Finite Groups".
1675:
2909:
1281:. It can be generalised to arbitrary (not necessarily abelian) groups using a
3086:
2944:
1956:
1940:
1655:
2717:
1671:
1566:
A direct consequence of the Cauchy-Davenport theorem is: Given any sequence
2759:
2211:
1057:
1039:
2782:
2733:
2039:
1944:
2836:
Károlyi, Gyula (2004). "The Erdős–Heilbronn problem in abelian groups".
1935:
is of characteristic 0. Various extensions of this result were given by
2967:
2851:
336:
2813:
2786:
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2939:
2884:
2734:
2560:
1936:
267:
3024:
Additive Number Theory: Inverse
Problems and the Geometry of Sumsets
2942:; Tarsi, Michael (1989). "A nowhere-zero point in linear mappings".
2701:
3063:
2043:
2615:
2739:"The polynomial method and restricted sums of congruence classes"
1882:{\displaystyle |n^{\wedge }A|\geq \min\{p(F),\ n|A|-n^{2}+1\},}
494:
270:
16:
Sumset of a field subject to a specific polynomial restriction
1574:−1 or more nonzero elements, not necessarily distinct, of
2672:
http://mathworld.wolfram.com/Cauchy-DavenportTheorem.html
1270:{\displaystyle A+B:=\{a+b{\pmod {p}}\mid a\in A,b\in B\}}
2938:
2780:
2997:
Combinatorial number theory and additive group theory
2632:"On a Generalization of the Cauchy-Davenport Theorem"
2501:
2488:{\displaystyle a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n}}
2429:
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1752:{\displaystyle |2^{\wedge }A|\geq \min\{p,\,2|A|-3\}}
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1291:
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951:{\displaystyle a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n}}
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801:
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2608:
1465:is the size of the smallest nontrivial subgroup of
788:{\displaystyle A_{1}\dotplus \cdots \dotplus A_{n}}
2995:Geroldinger, Alfred; Ruzsa, Imre Z., eds. (2009).
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1457:
1426:{\displaystyle |A+B|\geq \min\{p(G),\,|A|+|B|-1\}}
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358:
327:
258:
209:
2102:{\displaystyle x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}
1955:A powerful tool in the study of lower bounds for
3084:
2994:
1950:
1814:
1711:
1363:
1129:
2670:Wolfram's MathWorld, Cauchy-Davenport Theorem,
1183:{\displaystyle |A+B|\geq \min\{p,\,|A|+|B|-1\}}
2835:
1012:{\displaystyle P(a_{1},\ldots ,a_{n})\not =0.}
2549:{\displaystyle f(a_{1},\ldots ,a_{n})\not =0}
1661:
366:is a constant non-zero function, for example
2737:; Nathanson, Melvyn B.; Ruzsa, Imre (1996).
1873:
1817:
1746:
1714:
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1366:
1264:
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201:
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2879:
2877:
2729:
2727:
2705:Bulletin of the London Mathematical Society
1021:
2883:
1637:{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }
1602:{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }
1544:{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
1087:{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }
3021:
2957:
2812:
2614:
2599:Geroldinger & Ruzsa (2009) pp.141–142
1723:
1630:
1617:
1595:
1582:
1537:
1524:
1384:
1141:
1080:
1067:
2897:Combinatorics, Probability and Computing
2874:
2724:
420:{\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=1}
1896:is a finite nonempty subset of a field
3085:
2262:{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}
2157:{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}
2011:{\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}
873:{\displaystyle A_{1}=\cdots =A_{n}=A.}
613:{\displaystyle A_{1}=\cdots =A_{n}=A.}
328:{\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})}
3064:
2629:
2593:
2683:Geroldinger & Ruzsa (2009) p.143
2677:
886:| > 0 if and only if there exist
2661:Geroldinger & Ruzsa (2009) p.53
2655:
2559:This tool was rooted in a paper of
2308:{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}
2203:{\displaystyle k_{1}+\cdots +k_{n}}
1232:
535:{\displaystyle A_{1}+\cdots +A_{n}}
466:{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
259:{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}
13:
2573:Polynomial method in combinatorics
1767:is a nonempty subset of the field
150:
147:
144:
14:
3119:
3057:
1947:in 2002, and G. Karolyi in 2004.
1555:elements that sum to zero modulo
2378:{\displaystyle |A_{i}|>k_{i}}
1516:−1 elements in the cyclic group
2932:
2889:"Combinatorial Nullstellensatz"
2829:
2774:
2695:
1505:if there is no such subgroup).
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2686:
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2584:
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2005:
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1789:
1736:
1728:
1704:
1686:
1508:We may use this to deduce the
1452:
1446:
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1378:
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192:
160:
1:
3028:Graduate Texts in Mathematics
3022:Nathanson, Melvyn B. (1996).
2839:Israel Journal of Mathematics
2578:
2416:{\displaystyle i=1,\ldots ,n}
2018:be a polynomial over a field
1951:Combinatorial Nullstellensatz
3069:"Erdős-Heilbronn Conjecture"
2787:"Restricted sums in a field"
1654:generalises this to general
1563:does not need to be prime.)
818:{\displaystyle n^{\wedge }A}
7:
2566:
10:
3124:
1668:Erdős–Heilbronn conjecture
1662:Erdős–Heilbronn conjecture
1510:Erdős–Ginzburg–Ziv theorem
2910:10.1017/S0963548398003411
1512:: given any sequence of 2
2747:Journal of Number Theory
2674:, accessed 20 June 2012.
1028:Cauchy–Davenport theorem
1022:Cauchy–Davenport theorem
1943:in 1996, Q. H. Hou and
1311:are subsets of a group
1038:, asserts that for any
3108:Additive number theory
3103:Additive combinatorics
2760:10.1006/jnth.1996.0029
2550:
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2329:
2315:are finite subsets of
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2158:
2103:
2032:
2012:
1939:, M. B. Nathanson and
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1479:
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211:
21:additive number theory
3093:Augustin-Louis Cauchy
2718:10.1112/blms/26.2.140
2692:Nathanson (1996) p.77
2652:Nathanson (1996) p.48
2590:Nathanson (1996) p.44
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1045:and nonempty subsets
1032:Augustin Louis Cauchy
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2630:DeVos, Matt (2016).
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2218:
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2038:. Suppose that the
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1785:
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1678:in 1964 states that
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795:which is denoted by
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542:which is denoted by
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1609:, every element of
1304:{\displaystyle A,B}
1277:, i.e. we're using
3066:Weisstein, Eric W.
2968:10.1007/BF02125351
2852:10.1007/BF02787556
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1279:modular arithmetic
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2423:, then there are
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2031:{\displaystyle F}
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