2541:
25:
1981:
2536:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {RSS} &=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-f(x_{i}))^{2}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-(ax_{i}+b))^{2}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-ax_{i}-{\bar {y}}+a{\bar {x}})^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n}(a({\bar {x}}-x_{i})-({\bar {y}}-y_{i}))^{2}=a^{2}S_{xx}-2aS_{xy}+S_{yy}=S_{yy}-aS_{xy}=S_{yy}\left(1-{\frac {S_{xy}^{2}}{S_{xx}S_{yy}}}\right)\end{aligned}}}
1588:
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2777:
570:
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1707:
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1195:
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746:{\displaystyle \operatorname {RSS} =\sum _{i=1}^{n}({\widehat {\varepsilon \,}}_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-({\widehat {\alpha \,}}+{\widehat {\beta \,}}x_{i}))^{2}}
1305:
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189:
1049:
2797:
161:(deviations predicted from actual empirical values of data). It is a measure of the discrepancy between the data and an estimation model, such as a
1765:
206:
2787:
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61:
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1003:
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explanators, the first of which is a constant unit vector whose coefficient is the regression intercept, is
759:
811:
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1292:{\displaystyle {\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}=y-X(X^{\operatorname {T} }X)^{-1}X^{\operatorname {T} }y}
82:
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882:
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8:
154:
2823:
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1182:{\displaystyle {\hat {\beta }}=(X^{\operatorname {T} }X)^{-1}X^{\operatorname {T} }y.}
2885:
2863:
2853:
162:
1102:{\displaystyle X^{\operatorname {T} }X{\hat {\beta }}=X^{\operatorname {T} }y\iff }
403:
170:
165:. A small RSS indicates a tight fit of the model to the data. It is used as an
2902:
1611:
2867:
16:
Statistical measure of the discrepancy between data and an estimation model
1871:{\displaystyle S_{xy}=\sum _{i=1}^{n}({\bar {x}}-x_{i})({\bar {y}}-y_{i})}
1389:
510:
863:
285:{\displaystyle \operatorname {RSS} =\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-f(x_{i}))^{2}}
1599:
522:
122:
2798:
Degrees of freedom (statistics)#Sum of squares and degrees of freedom
1605:
526:
150:
184:+ residual sum of squares. For a proof of this in the multivariate
24:
925:× 1 vector of dependent variable observations, each column of the
200:
In a model with a single explanatory variable, RSS is given by:
2850:
Correlation and regression analysis : a historian's guide
2634:{\displaystyle S_{yy}=\sum _{i=1}^{n}({\bar {y}}-y_{i})^{2}.}
1966:{\displaystyle S_{xx}=\sum _{i=1}^{n}({\bar {x}}-x_{i})^{2}.}
533:. The sum of squares of residuals is the sum of squares of
462:{\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\varepsilon _{i}\,}
2788:
Akaike information criterion#Comparison with least squares
2711:{\displaystyle r={\frac {S_{xy}}{\sqrt {S_{xx}S_{yy}}}};}
2847:
2772:{\displaystyle \operatorname {RSS} =S_{yy}(1-r^{2}).}
2724:
2653:
2552:
1984:
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1052:
1006:
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947:
885:
864:
Matrix expression for the OLS residual sum of squares
846:
814:
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581:
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475:
412:
372:
327:
209:
2852:. University of Wisconsin Press. pp. 161–162.
49:. Unsourced material may be challenged and removed.
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2535:
1965:
1870:
1754:
1701:
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1606:Relation with Pearson's product-moment correlation
1582:
1376:
1291:
1181:
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501:
481:
461:
394:
349:
284:
1602:, or the projection matrix in linear regression.
2900:
840:is the estimated value of the slope coefficient
973:× 1 vector of the true underlying errors. The
565:{\displaystyle {\widehat {\varepsilon \,}}_{i}}
1365:
1349:
788:is the estimated value of the constant term
2879:
195:
1755:{\displaystyle a={\frac {S_{xy}}{S_{xx}}}}
1098:
1094:
1032:
1028:
937:is a vector of observations on one of the
822:
770:
712:
694:
620:
548:
458:
109:Learn how and when to remove this message
1702:{\displaystyle b={\bar {y}}-a{\bar {x}}}
1036:{\displaystyle X{\hat {\beta }}=y\iff }
321:value of the explanatory variable, and
308:value of the variable to be predicted,
2901:
965:× 1 vector of true coefficients, and
781:{\displaystyle {\widehat {\alpha \,}}}
2793:Chi-squared distribution#Applications
1299:; so the residual sum of squares is:
833:{\displaystyle {\widehat {\beta \,}}}
190:partitioning in the general OLS model
47:adding citations to reliable sources
18:
13:
2803:Errors and residuals in statistics
2645:Pearson product-moment correlation
1557:
1538:
1512:
1487:
1471:
1445:
1429:
1413:
1329:
1281:
1255:
1168:
1142:
1086:
1058:
868:The general regression model with
529:, respectively, and ε is the
14:
2925:
1388:(equivalent to the square of the
143:sum of squared estimate of errors
2880:Draper, N.R.; Smith, H. (1998).
23:
402:). In a standard linear simple
34:needs additional citations for
2848:Archdeacon, Thomas J. (1994).
2841:
2763:
2744:
2619:
2599:
2590:
2339:
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395:{\displaystyle {\hat {y_{i}}}}
386:
344:
331:
273:
269:
256:
237:
1:
2834:
2818:Reduced chi-squared statistic
1612:least-squares regression line
2884:(3rd ed.). John Wiley.
7:
2882:Applied Regression Analysis
2829:Sum of squares (statistics)
2820:, RSS per degree of freedom
2781:
907:{\displaystyle y=X\beta +e}
169:in parameter selection and
10:
2930:
2808:Lack-of-fit sum of squares
357:is the predicted value of
58:"Residual sum of squares"
1392:of residuals). In full:
350:{\displaystyle f(x_{i})}
196:One explanatory variable
182:explained sum of squares
135:sum of squared residuals
801:{\displaystyle \alpha }
482:{\displaystyle \alpha }
127:residual sum of squares
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990:{\displaystyle \beta }
975:ordinary least squares
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853:{\displaystyle \beta }
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502:{\displaystyle \beta }
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186:ordinary least squares
133:), also known as the
2774:
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178:total sum of squares
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