7433:
6281:
7428:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x)&{}=\int _{0}^{\infty }\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x\mid J_{X_{t}}=s)f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\&{}=\int _{0}^{\infty }\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x|S_{X_{t}+1}>t-s)f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\&{}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x\,,\,S_{X_{t}+1}>t-s)}{\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>t-s)}}f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\&{}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1-F(\max\{x,t-s\})}{1-F(t-s)}}f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\&{}=\int _{0}^{\infty }\min \left\{{\frac {1-F(x)}{1-F(t-s)}},{\frac {1-F(t-s)}{1-F(t-s)}}\right\}f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\&{}=\int _{0}^{\infty }\min \left\{{\frac {1-F(x)}{1-F(t-s)}},1\right\}f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\&{}\geq \int _{0}^{\infty }(1-F(x))f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds=1-F(x)=\operatorname {P} (S_{1}>x),\\\end{aligned}}}
9222:
3894:
2697:
1083:
3381:
5979:
245:
8406:
2323:
3889:{\displaystyle {\begin{aligned}m(t)&=\operatorname {E} \\&=\operatorname {E} \\&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {E} (X_{t}\mid S_{1}=s)f_{S}(s)\,ds\\&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {\mathbb {I} } _{\{t\geq s\}}\left(1+\operatorname {E} \right)f_{S}(s)\,ds\\&=\int _{0}^{t}\left(1+m(t-s)\right)f_{S}(s)\,ds\\&=F_{S}(t)+\int _{0}^{t}m(t-s)f_{S}(s)\,ds,\end{aligned}}}
8174:
8189:
2692:{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {X_{t}}}&\leq \sum _{i=1}^{}\operatorname {Geometric} (p)\\\operatorname {E} \left&\leq C_{1}t+C_{2}t^{2}\\P\left({\frac {X_{t}}{t}}>x\right)&\leq {\frac {\operatorname {E} \left}{t^{2}x^{2}}}\leq {\frac {\operatorname {E} \left}{t^{2}x^{2}}}\leq {\frac {C}{x^{2}}}.\end{aligned}}}
7823:
5505:
9024:
8801:
959:
5818:
3370:
8401:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} &=\operatorname {E} \cdot \operatorname {P} ({\text{fails before }}t)+\operatorname {E} \cdot \operatorname {P} ({\text{does not fail before }}t)\\&=2600({\frac {t}{2}})+200({\frac {2-t}{2}})=1200t+200.\end{aligned}}}
8557:
7969:
786:
7866:
machines, each having an operational lifetime uniformly distributed between zero and two years. Eric may let each machine run until it fails with replacement cost €2600; alternatively he may replace a machine at any time while it is still functional at a cost of €200.
5282:
1066:
as the random time elapsed between two consecutive events. For example, if the renewal process is modelling the numbers of breakdown of different machines, then the holding time represents the time between one machine breaking down before another one does.
152:
Applications include calculating the best strategy for replacing worn-out machinery in a factory and comparing the long-term benefits of different insurance policies. The inspection paradox relates to the fact that observing a renewal interval at time
7593:
4743:
4239:
2895:
6145:
5013:
5293:
232:. In a renewal process, the holding times need not have an exponential distribution; rather, the holding times may have any distribution on the positive numbers, so long as the holding times are independent and identically distributed (
5966:
6286:
4631:
1990:
1884:
8812:
8572:
3386:
7578:
Unless the renewal process is a
Poisson process, the superposition (sum) of two independent renewal processes is not a renewal process. However, such processes can be described within a larger class of processes called the
2124:
850:
5620:
38:(IID) holding times that have finite mean. A renewal-reward process additionally has a random sequence of rewards incurred at each holding time, which are IID but need not be independent of the holding times.
5680:
839:
107:(expected reward value) are of key importance in renewal theory. The renewal function satisfies a recursive integral equation, the renewal equation. The key renewal equation gives the limiting value of the
3226:
3019:
8169:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} &=\operatorname {E} \cdot \operatorname {P} +\operatorname {E} \cdot \operatorname {P} \\&=0.5t({\frac {t}{2}})+t({\frac {2-t}{2}})\end{aligned}}}
3237:
8817:
8194:
7974:
8417:
2049:
4404:
1227:
667:
4080:
4020:
2328:
384:
5074:
4873:
1301:
5150:
508:
7503:
2776:
1781:
9117:
2295:
4439:
argument. Though a special case of the key renewal theorem, it can be used to deduce the full theorem, by considering step functions and then increasing sequences of step functions.
4312:
4430:
4115:
7818:{\displaystyle R(t)=1-\sum _{k=1}^{K}{\frac {\alpha _{k}}{\sum _{l=1}^{K}\alpha _{l}}}(1-R_{k}(t))\prod _{j=1,j\neq k}^{K}\alpha _{j}\int _{t}^{\infty }(1-R_{j}(u))\,{\text{d}}u}
2225:
1592:
1484:
1438:
1163:
7939:
5672:
4805:
4541:
4495:
1064:
1007:
659:
317:
5110:
4639:
2191:
2787:
5139:
6274:
4123:
1624:. Sometimes it lays golden eggs of random weight, and sometimes it lays toxic eggs (also of random weight) which require responsible (and costly) disposal. The "rewards"
143:
6230:
6033:
4910:
5500:{\displaystyle {\frac {J_{X_{t}+1}}{X_{t}}}={\frac {J_{X_{t}+1}}{X_{t}+1}}{\frac {X_{t}+1}{X_{t}}}={\frac {J_{n+1}}{n+1}}{\frac {n+1}{n}}\to \operatorname {E} \cdot 1}
5546:
4902:
7558:
4338:
5848:
3103:
3076:
3049:
2252:
1680:
1649:
1622:
1538:
1511:
1392:
1362:
1335:
538:
414:
9739:
3964:
3944:
105:
76:
5869:
230:
7523:
2315:
2144:
1720:
558:
434:
204:
610:
4549:
1908:
1797:
9019:{\displaystyle {\begin{aligned}0&=(4t-t^{2})(1200)-(4-2t)(1200t+200)=4800t-1200t^{2}-4800t-800+2400t^{2}+400t\\&=-800+400t+1200t^{2},\end{aligned}}}
8796:{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {4(1200t+200)}{t^{2}+4t-2t^{2}}}=4{\frac {(4t-t^{2})(1200)-(4-2t)(1200t+200)}{(t^{2}+4t-2t^{2})^{2}}},}
9612:
Wanli Wang, Johannes H. P. Schulz, Weihua Deng, and Eli Barkai (2018). "Renewal theory with fat-tailed distributed sojourn times: Typical versus rare".
7945:
of the replacement machines are independent and identically distributed, so the optimal policy is the same for all replacement machines in the process.
10274:
9591:
2057:
10098:
9665:
954:{\displaystyle \operatorname {\mathbb {I} } _{\{J_{n}\leq t\}}={\begin{cases}1,&{\text{if }}J_{n}\leq t\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
6170:: For a given random distribution of bus arrivals, the average rider at a bus stop observes more delays than the average operator of the buses.
10701:
9694:
10231:
10211:
6181:), in that the likelihood an interval is chosen is proportional to its size. However, a renewal interval of average size is not size-biased.
1594:(which in this case happen to be negative) may be viewed as the successive repair costs incurred as a result of the successive malfunctions.
5554:
10615:
9518:
5813:{\displaystyle {\frac {1}{t}}Y_{t}={\frac {X_{t}}{t}}{\frac {1}{X_{t}}}Y_{t}\to {\frac {1}{\operatorname {E} }}\cdot \operatorname {E} }
1548:
In the context of the above interpretation of the holding times as the time between successive malfunctions of a machine, the "rewards"
10532:
3365:{\displaystyle \operatorname {E} (X_{t}\mid S_{1}=s)=\operatorname {\mathbb {I} } _{\{t\geq s\}}\left(1+\operatorname {E} \right).\,}
794:
10216:
3123:
2911:
8552:{\displaystyle {\frac {1}{t}}Y_{t}\simeq {\frac {\operatorname {E} }{\operatorname {E} }}={\frac {4(1200t+200)}{t^{2}+4t-2t^{2}}}}
10542:
10226:
781:{\displaystyle X_{t}=\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {\mathbb {I} } _{\{J_{n}\leq t\}}=\sup \left\{\,n:J_{n}\leq t\,\right\}}
10584:
10481:
1998:
4346:
10771:
10761:
10607:
10299:
10284:
1179:
4028:
10671:
10635:
3969:
10939:
10676:
9154:
335:
320:
5028:
10588:
9786:
9687:
5277:{\displaystyle {\frac {J_{X_{t}}}{X_{t}}}={\frac {J_{n}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}S_{i}\to \operatorname {E} }
10741:
9507:
9265:
9243:
4812:
9236:
1238:
10786:
10592:
10576:
10491:
10319:
10289:
9711:
9459:
7584:
145:
with a suitable non-negative function. The superposition of renewal processes can be studied as a special case of
10691:
10656:
10625:
10620:
10056:
9973:
1597:
An alternative analogy is that we have a magic goose which lays eggs at intervals (holding times) distributed as
449:
7441:
2723:
1728:
1074:, as the exponential distribution is the unique continuous random variable with the property of memorylessness.
10630:
10259:
10254:
10061:
9958:
9579:
9164:
9035:
179:
2257:
10944:
10721:
10557:
10456:
10441:
9980:
9853:
9769:
9680:
4252:
10716:
10596:
10726:
9495:
9174:
10731:
10367:
4409:
4094:
10329:
9913:
9858:
9774:
9179:
4738:{\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}Y_{t}={\frac {1}{\operatorname {E} }}\operatorname {E} }
4448:
2196:
1551:
1443:
1397:
1122:
42:
10661:
2890:{\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}g(t)={\frac {\operatorname {E} }{\operatorname {E} }}.}
10666:
10651:
10294:
10264:
9831:
9729:
7898:
5631:
4764:
4500:
4454:
1024:
966:
618:
276:
9130:= 2/3. This is indeed a minimum (and not a maximum) since the cost per unit time tends to infinity as
5082:
2149:
10746:
10547:
10461:
10446:
10377:
9953:
9836:
9734:
4234:{\displaystyle \int _{0}^{t}g(t-x)m'(x)\,dx\rightarrow {\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\infty }g(x)\,dx}
895:
10965:
10580:
10466:
9968:
9943:
9888:
9230:
9159:
183:
31:
6140:{\displaystyle \operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x)\geq \operatorname {P} (S_{1}>x)=1-F_{S}(x)}
5118:
5008:{\displaystyle {\frac {J_{X_{t}}}{X_{t}}}\leq {\frac {t}{X_{t}}}\leq {\frac {J_{X_{t}+1}}{X_{t}}}}
10881:
10871:
10686:
10562:
10344:
10269:
10083:
9948:
9804:
9759:
6239:
5991:
1021:
If one considers events occurring at random times, one may choose to think of the holding times
10823:
10751:
10176:
10166:
10010:
9247:
7580:
6201:
4436:
146:
10846:
10828:
10808:
10803:
10522:
10354:
10334:
10181:
10124:
9963:
9873:
9659:
9470:
Proceedings of 6th
International Conference on Performance Evaluation Methodologies and Tools
9422:
Lawrence, A. J. (1973). "Dependency of
Intervals Between Events in Superposition Processes".
9209:
6014:
5860:
5516:
4881:
46:
7528:
5961:{\displaystyle {\frac {X_{t}-t/\mu }{\sqrt {t\sigma ^{2}/\mu ^{3}}}}\to {\mathcal {N}}(0,1)}
4317:
10921:
10876:
10866:
10552:
10527:
10496:
10476:
10314:
10236:
10221:
10088:
9631:
5826:
3081:
3054:
3027:
2230:
2054:
To do this, consider some truncated renewal process where the holding times are defined by
1658:
1627:
1600:
1516:
1489:
1370:
1340:
1313:
516:
392:
114:
7891:
independent concurrent renewal-reward processes, so it is sufficient to consider the case
3949:
3920:
81:
52:
8:
10916:
10756:
10681:
10486:
10246:
10156:
10046:
9204:
209:
9635:
6004:
is, we should expect it to be typically larger than a renewal interval of average size.
10886:
10851:
10766:
10736:
10567:
10506:
10501:
10324:
10161:
9826:
9764:
9703:
9647:
9621:
9600:
9543:
9439:
9435:
9404:
7850: > 0 are the CDF of the inter-event times and the arrival rate of process
7508:
4626:{\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}X_{t}={\frac {1}{\operatorname {E} }}}
2300:
2129:
1985:{\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {X_{t}}{t}}={\frac {1}{\operatorname {E} }}.}
1879:{\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}m(t)={\frac {1}{\operatorname {E} }}.}
1705:
842:
543:
419:
189:
23:
563:
157:
gives an interval with average value larger than that of an average renewal interval.
10906:
10119:
10036:
10005:
9898:
9878:
9868:
9724:
9719:
9575:
9567:
9503:
9169:
10711:
10362:
9651:
8411:
So by the strong law of large numbers, his long-term average cost per unit time is:
2193:
which exists for all non-deterministic renewal processes. This new renewal process
10926:
10813:
10696:
10572:
10309:
10066:
10041:
9990:
9841:
9794:
9639:
9533:
9431:
9396:
1651:
are the successive (random) financial losses/gains resulting from successive eggs (
9918:
5996:
A curious feature of renewal processes is that if we wait some predetermined time
10891:
10791:
10776:
10537:
10471:
10149:
10093:
10076:
9821:
9189:
9184:
1071:
323:
175:
27:
10706:
9938:
4447:
Renewal processes and renewal-reward processes have properties analogous to the
2297:. Furthermore, the number of renewals at each time is geometric with parameter
2119:{\displaystyle {\overline {S_{n}}}=a\operatorname {\mathbb {I} } \{S_{n}>a\}}
1082:
10861:
10781:
10387:
10134:
10051:
10020:
10015:
9995:
9985:
9928:
9903:
9883:
9848:
9816:
9799:
9643:
9555:
1699:
327:
9923:
10959:
10798:
10339:
10171:
10129:
10071:
9893:
9809:
9749:
9194:
6178:
5141:
5978:
5823:
almost surely (using the first result and using the law of large numbers on
10856:
10818:
10372:
10304:
10193:
10188:
10000:
9933:
9908:
9744:
9384:
2708:
182:
on the positive integers (usually starting at zero) which has independent
10901:
10436:
10420:
10415:
10410:
10400:
10203:
10144:
10139:
10103:
9863:
9754:
9199:
244:
108:
7959:
of the machine is uniformly distributed on and thus has expectation 0.5
5986:(shown in red) is stochastically larger than the first renewal interval.
10911:
10451:
10395:
10279:
10232:
Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model
9672:
9604:
9547:
9443:
9408:
7947:
If Eric decides at the start of a machine's life to replace it at time
7587:
of the first inter-event time in the superposition process is given by
6173:
The resolution of the paradox is that our sampled distribution at time
1995:
To prove the elementary renewal theorem, it is sufficient to show that
5615:{\displaystyle {\frac {1}{t}}X_{t}\to {\frac {1}{\operatorname {E} }}}
10405:
9538:
9519:"Renewal Theory From the Point of View of the Theory of Probability"
9400:
9626:
9463:
9424:
Journal of the Royal
Statistical Society. Series B (Methodological)
7955:
but the machine happens to fail before that time then the lifetime
9355:
9353:
9316:
9314:
9312:
5287:
almost surely (using the strong law of large numbers); similarly:
9611:
9589:
9338:
6159:
is the cumulative distribution function of the IID holding times
9457:
5859:
Renewal processes additionally have a property analogous to the
9365:
9350:
9309:
9297:
9285:
834:{\displaystyle \operatorname {\mathbb {I} } _{\{J_{n}\leq t\}}}
3221:{\displaystyle m(t)=\operatorname {E} =\operatorname {E} .\,}
3118:
We may iterate the expectation about the first holding time:
3014:{\displaystyle m(t)=F_{S}(t)+\int _{0}^{t}m(t-s)f_{S}(s)\,ds}
41:
A renewal process has asymptotic properties analogous to the
9458:
Choungmo Fofack, Nicaise; Nain, Philippe; Neglia, Giovanni;
9138:
increases, until the point 2/3 where it starts to increase.
1486:
These two sequences need not be independent. In particular,
6000:
and then observe how large the renewal interval containing
1070:
The
Poisson process is the unique renewal process with the
947:
10212:
Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model
9560:
An introduction to probability theory and its applications
4435:
The result can be proved using integral equations or by a
1009:
represents the number of jumps that have occurred by time
2044:{\displaystyle \left\{{\frac {X_{t}}{t}};t\geq 0\right\}}
1166:
233:
35:
9740:
Independent and identically distributed random variables
9326:
4399:{\displaystyle m(t+h)-m(t)\rightarrow {\frac {h}{\mu }}}
2709:
Elementary renewal theorem for renewal reward processes
1222:{\displaystyle \operatorname {E} |W_{i}|<\infty .\,}
10217:
Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model
9134:
tends to zero, meaning that the cost is decreasing as
7963:. So the overall expected lifetime of the machine is:
6013:
for any t > 0 the renewal interval containing t is
4075:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }g(t)\,dt<\infty }
9038:
8815:
8575:
8420:
8192:
7972:
7901:
7596:
7531:
7511:
7444:
6284:
6242:
6204:
6036:
5872:
5829:
5683:
5634:
5557:
5519:
5296:
5153:
5121:
5085:
5031:
4913:
4884:
4815:
4767:
4642:
4552:
4503:
4457:
4412:
4349:
4320:
4255:
4126:
4097:
4031:
3972:
3952:
3923:
3384:
3240:
3126:
3084:
3057:
3030:
2914:
2790:
2726:
2326:
2303:
2260:
2233:
2199:
2152:
2132:
2060:
2001:
1911:
1800:
1731:
1708:
1661:
1630:
1603:
1554:
1519:
1492:
1446:
1400:
1373:
1364:
may take negative values as well as positive values.
1343:
1316:
1241:
1182:
1125:
1027:
969:
853:
797:
670:
621:
566:
546:
519:
452:
422:
395:
338:
279:
212:
192:
117:
84:
55:
5982:
The renewal interval determined by the random point
4015:{\displaystyle g:[0,\infty )\rightarrow [0,\infty )}
3231:
From the definition of the renewal process, we have
3105:is the corresponding probability density function.
379:{\displaystyle 0<\operatorname {E} <\infty .}
9592:Journal of the Royal Statistical Society, Series B
9111:
9018:
8795:
8551:
8400:
8168:
7933:
7817:
7552:
7517:
7497:
7427:
6268:
6224:
6139:
5960:
5842:
5812:
5666:
5614:
5540:
5499:
5276:
5133:
5104:
5069:{\displaystyle 0<\operatorname {E} <\infty }
5068:
5007:
4896:
4867:
4799:
4737:
4625:
4535:
4489:
4424:
4398:
4332:
4306:
4233:
4109:
4074:
4014:
3958:
3938:
3888:
3364:
3220:
3097:
3070:
3043:
3013:
2889:
2770:
2691:
2309:
2289:
2246:
2219:
2185:
2138:
2118:
2043:
1984:
1878:
1775:
1714:
1674:
1643:
1616:
1586:
1532:
1505:
1478:
1432:
1386:
1356:
1329:
1295:
1221:
1157:
1086:Sample evolution of a renewal-reward process with
1058:
1001:
953:
833:
780:
653:
604:
552:
532:
502:
428:
408:
378:
311:
224:
198:
137:
99:
78:(expected number of arrivals) and reward function
70:
9566:
9526:Transactions of the American Mathematical Society
9371:
9359:
9344:
9320:
9303:
9291:
4451:, which can be derived from the same theorem. If
1901:strong law of large numbers for renewal processes
10957:
10099:Stochastic chains with memory of variable length
7166:
6977:
6854:
4644:
4554:
2792:
1913:
1802:
1702:of the number of jumps observed up to some time
741:
4868:{\displaystyle J_{X_{t}}\leq t\leq J_{X_{t}+1}}
2254:and its renewals can only occur on the lattice
8806:this implies that the turning points satisfy:
1296:{\displaystyle Y_{t}=\sum _{i=1}^{X_{t}}W_{i}}
34:holding times, a renewal process may have any
9688:
4340:gives as a special case the renewal theorem:
1786:
1682:records the total financial "reward" at time
9664:: CS1 maint: multiple names: authors list (
9574:(second ed.). Oxford University Press.
6875:
6857:
3625:
3613:
3306:
3294:
2284:
2261:
2113:
2094:
1394:depends on two sequences: the holding times
1053:
1028:
882:
863:
826:
807:
733:
714:
6232:; and that the renewal interval containing
3917:be a renewal process with renewal function
3051:is the cumulative distribution function of
1077:
503:{\displaystyle J_{n}=\sum _{i=1}^{n}S_{i},}
248:Sample evolution of a renewal process with
10227:Autoregressive–moving-average (ARMA) model
9695:
9681:
7498:{\displaystyle {\frac {1-F(x)}{1-F(t-s)}}}
2771:{\displaystyle g(t)=\operatorname {E} .\,}
1900:
1776:{\displaystyle m(t)=\operatorname {E} .\,}
9625:
9537:
9502:. London: Methuen & Co. p. 142.
9395:(2). Applied Probability Trust: 123–187.
9266:Learn how and when to remove this message
9112:{\displaystyle 0=3t^{2}+t-2=(3t-2)(t+1).}
7806:
7359:
7268:
7132:
6943:
6805:
6681:
6677:
6602:
6454:
4273:
4224:
4177:
4059:
3872:
3781:
3696:
3607:
3572:
3361:
3288:
3217:
3004:
2767:
2440:
2415:
2280:
2086:
1772:
1218:
857:
801:
772:
749:
708:
9702:
9421:
9229:This article includes a list of general
7870:What is his optimal replacement policy?
5977:
4442:
4091:The key renewal theorem states that, as
2290:{\displaystyle \{na;n\in \mathbb {N} \}}
1081:
243:
30:for arbitrary holding times. Instead of
9562:. Vol. 2 (second ed.). Wiley.
6194:Observe that the last jump-time before
4307:{\displaystyle g(x)=\mathbb {I} _{}(x)}
178:. In essence, the Poisson process is a
36:independent and identically distributed
10958:
10533:Doob's martingale convergence theorems
9554:
9383:
9332:
7857:
3908:
206:before advancing to the next integer,
10285:Constant elasticity of variance (CEV)
10275:Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS)
9676:
9588:
8562:then differentiating with respect to
5973:
5548:is sandwiched between the two terms)
9516:
9465:Analysis of TTL-based Cache Networks
9215:
5992:List of paradoxes § Mathematics
4425:{\displaystyle t\rightarrow \infty }
4110:{\displaystyle t\rightarrow \infty }
239:
160:
2900:
2220:{\displaystyle {\overline {X}}_{t}}
1689:
1587:{\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots }
1543:
1479:{\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots }
1433:{\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }
1158:{\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots }
1013:, and is called a renewal process.
321:independent identically distributed
13:
10772:Skorokhod's representation theorem
10553:Law of large numbers (weak/strong)
9436:10.1111/j.2517-6161.1973.tb00960.x
9235:it lacks sufficient corresponding
8582:
8578:
8464:
8447:
8300:
8271:
8248:
8219:
8197:
8080:
8051:
8028:
7999:
7977:
7770:
7390:
7297:
7161:
6972:
6834:
6722:
6639:
6631:
6488:
6483:
6354:
6349:
6289:
6081:
6037:
5938:
5788:
5760:
5587:
5469:
5252:
5128:
5099:
5063:
5038:
4713:
4688:
4654:
4598:
4564:
4543:is a renewal-reward process then:
4419:
4244:
4207:
4104:
4069:
4042:
4006:
3988:
3644:
3599:
3512:
3507:
3449:
3440:
3408:
3325:
3241:
3176:
3167:
3142:
2859:
2835:
2802:
2742:
2599:
2539:
2404:
1954:
1923:
1848:
1812:
1747:
1212:
1183:
700:
370:
345:
14:
10977:
10742:Martingale representation theorem
9387:(1969). "Markov Renewal Theory".
7934:{\displaystyle (Y_{t})_{t\geq 0}}
5667:{\displaystyle (Y_{t})_{t\geq 0}}
4800:{\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}
4536:{\displaystyle (Y_{t})_{t\geq 0}}
4490:{\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}
1059:{\displaystyle \{S_{i}:i\geq 1\}}
1016:
1002:{\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}
654:{\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}
560:-th jump time" and the intervals
312:{\displaystyle (S_{i})_{i\geq 1}}
10787:Stochastic differential equation
10677:Doob's optional stopping theorem
10672:Doob–Meyer decomposition theorem
9572:Probability and Random Processes
9220:
9155:Campbell's theorem (probability)
7585:cumulative distribution function
7573:
6017:than the first renewal interval.
5105:{\displaystyle X_{t}\to \infty }
2186:{\displaystyle 0<F(a)=p<1}
612:are called "renewal intervals".
389:We refer to the random variable
10657:Convergence of random variables
10543:Fisher–Tippett–Gnedenko theorem
9451:
9389:Advances in Applied Probability
9372:Grimmett & Stirzaker (1992)
9360:Grimmett & Stirzaker (1992)
9345:Grimmett & Stirzaker (1992)
9321:Grimmett & Stirzaker (1992)
9304:Grimmett & Stirzaker (1992)
9292:Grimmett & Stirzaker (1992)
2905:The renewal function satisfies
1791:The renewal function satisfies
165:
10255:Binomial options pricing model
9415:
9377:
9165:Continuous-time Markov process
9103:
9091:
9088:
9073:
8900:
8885:
8882:
8867:
8861:
8855:
8852:
8830:
8778:
8739:
8734:
8719:
8716:
8701:
8695:
8689:
8686:
8664:
8612:
8597:
8506:
8491:
8476:
8470:
8459:
8453:
8376:
8355:
8346:
8333:
8317:
8306:
8294:
8277:
8265:
8254:
8242:
8225:
8209:
8203:
8159:
8138:
8129:
8116:
8097:
8086:
8074:
8057:
8045:
8034:
8022:
8005:
7989:
7983:
7916:
7902:
7803:
7800:
7794:
7775:
7714:
7711:
7705:
7686:
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7600:
7547:
7541:
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7477:
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7457:
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7384:
7378:
7356:
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7314:
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7259:
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7186:
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7003:
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6717:
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6593:
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6445:
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6128:
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6075:
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5766:
5751:
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5635:
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5593:
5578:
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5475:
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5057:
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4707:
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4617:
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4561:
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4380:
4374:
4365:
4353:
4301:
4295:
4290:
4278:
4265:
4259:
4221:
4215:
4184:
4174:
4168:
4157:
4145:
4101:
4087:is monotone and non-increasing
4056:
4050:
4009:
3997:
3994:
3991:
3979:
3933:
3927:
3869:
3863:
3850:
3838:
3814:
3808:
3778:
3772:
3754:
3742:
3693:
3687:
3669:
3650:
3569:
3563:
3550:
3518:
3484:
3481:
3455:
3446:
3427:
3414:
3398:
3392:
3350:
3331:
3279:
3247:
3211:
3208:
3182:
3173:
3161:
3148:
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3001:
2995:
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2918:
2878:
2865:
2854:
2841:
2826:
2820:
2799:
2781:The reward function satisfies
2761:
2748:
2736:
2730:
2397:
2391:
2380:
2371:
2168:
2162:
1973:
1960:
1920:
1867:
1854:
1836:
1830:
1809:
1766:
1753:
1741:
1735:
1205:
1190:
984:
970:
636:
622:
599:
567:
364:
351:
294:
280:
186:holding times at each integer
180:continuous-time Markov process
132:
126:
94:
88:
65:
59:
1:
10722:Kolmogorov continuity theorem
10558:Law of the iterated logarithm
9488:
7525:are greater than or equal to
5144:(with probability 1). Hence:
10727:Kolmogorov extension theorem
10406:Generalized queueing network
9914:Interacting particle systems
7874:
6185:
5134:{\displaystyle t\to \infty }
4752:
3109:
2622:
2429:
2343:
2206:
2073:
1890:
661:is given by random variable
16:Branch of probability theory
7:
9859:Continuous-time random walk
9570:; Stirzaker, D. R. (1992).
9147:
7941:. The successive lifetimes
7887:machines can be modeled as
6269:{\displaystyle S_{X_{t}+1}}
4449:strong law of large numbers
174:is a generalization of the
43:strong law of large numbers
10:
10982:
10867:Extreme value theory (EVT)
10667:Doob decomposition theorem
9959:Ornstein–Uhlenbeck process
9730:Chinese restaurant process
9644:10.1103/PhysRevE.98.042139
9122:We take the only solution
8311:does not fail before
8288:does not fail before
8091:does not fail before
8068:does not fail before
7862:Eric the entrepreneur has
5989:
4022:be a function satisfying:
1787:Elementary renewal theorem
319:be a sequence of positive
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10029:
9981:Schramm–Loewner evolution
9785:
9710:
9175:Lotka's integral equation
7895:. Denote this process by
6225:{\displaystyle J_{X_{t}}}
6166:. A vivid example is the
4807:. By definition we have:
4497:is a renewal process and
2051:is uniformly integrable.
1232:Then the random variable
184:exponentially distributed
32:exponentially distributed
10662:Doléans-Dade exponential
10492:Progressively measurable
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6168:bus waiting time paradox
1078:Renewal-reward processes
236:) and have finite mean.
147:Markov renewal processes
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10872:Large deviations theory
10702:Infinitesimal generator
10563:Maximal ergodic theorem
10482:Piecewise-deterministic
10084:Random dynamical system
9949:Markov additive process
9250:more precise citations.
9180:Palm–Khintchine theorem
5541:{\displaystyle t/X_{t}}
4897:{\displaystyle t\geq 0}
1310:. Note that unlike the
540:is referred to as the "
49:. The renewal function
10717:Karhunen–Loève theorem
10652:Cameron–Martin formula
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47:central limit theorem
26:that generalizes the
10922:Time series analysis
10877:Mathematical finance
10762:Reflection principle
10089:Regenerative process
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