5374:
5136:
5255:
28964:
5493:
209:
7208:
20409:
18383:
5269:
21125:
135:
9336:
9194:
9052:
8908:
8756:
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8330:
8188:
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5388:
5150:
9329:
9187:
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8749:
8607:
8465:
8323:
8181:
8039:
17680:
23844:
hyperbolic, and vertices become ultra-ideal (so the edges do not meet within hyperbolic space). In honeycombs {p, q, ∞} the edges intersect the
Poincaré ball only in one ideal point; the rest of the edge has become ultra-ideal. Continuing further would lead to edges that are completely ultra-ideal, both for the honeycomb and for the fundamental simplex (though still infinitely many {p, q} would meet at such edges). In general, when the last number of the Schläfli symbol becomes ∞, faces of codimension two intersect the Poincaré hyperball only in one ideal point.
21934:
21861:
21788:
21715:
21686:
21675:
21664:
21653:
21473:
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21208:
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17987:
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23678:
23667:
23656:
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23634:
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23594:
23583:
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22131:
22120:
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21967:
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13914:
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22972:
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22042:
14031:
13953:
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20310:
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7776:
7690:
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7260:
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25989:
17596:
13793:
7253:
7246:
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21102:
13875:
7604:
7239:
7232:
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98:
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8678:
8433:
8252:
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2888:
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2713:
2704:
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2879:
2870:
2861:
2852:
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2805:
2796:
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2778:
2769:
2760:
2751:
2742:
2733:
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2677:
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2576:
2567:
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1832:
1818:
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24032:
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24705:
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7799:
7713:
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3858:
3774:
3688:
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14934:
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7131:
7114:
1839:
1825:
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13442:
13435:
26184:
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23021:
22779:
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22633:
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22316:
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22170:
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22091:
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21776:
21703:
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21243:
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16194:
16155:
16116:
16077:
16038:
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15813:
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15696:
15502:
15462:
15422:
15382:
15342:
15137:
15097:
15057:
15017:
14772:
14732:
14692:
14652:
14403:
14363:
14320:
7099:
1535:
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17689:
17614:
7005:
20773:
16956:
15657:
12710:
26114:
26089:
26043:
26020:
4831:
4759:
2548:
25967:
14894:
14526:
1528:
18929:
18918:
18905:
17698:
17605:
13477:
13134:
7026:
61:
50:
22109:
21265:
21254:
20723:
20712:
20701:
20690:
4903:
2541:
2534:
2527:
2520:
2513:
2506:
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13125:
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13097:
1853:
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1246:
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8265:
8149:
8136:
8123:
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5559:
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5321:
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5202:
13245:
16919:
16820:
16783:
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16709:
16625:
15582:
15217:
14852:
14483:
9297:
9116:
8575:
4687:
26128:
14151:
13118:
12236:
12197:
5820:
5813:
1514:
1507:
1267:
1253:
26119:
26094:
26048:
26025:
18894:
18870:
18859:
18846:
18835:
17521:
17446:
13254:
21642:
21186:
20622:
20611:
20600:
20521:
20510:
20420:
4612:
18024:
12157:
11937:
5806:
5799:
18195:
7040:
7033:
198:
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23695:
23622:
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21922:
21461:
16672:
16586:
16547:
16508:
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14070:
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12115:
11948:
28971:
13083:
2012:
11728:
11520:
1860:
13090:
2019:
10068:
3468:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}:{\text{Polyhedron (existing in Euclidean 3-space)}}\\&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}:{\text{Euclidean plane tiling}}\\&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}:{\text{Hyperbolic plane tiling}}\end{aligned}}}
13516:
10613:
There are also improper cases where some numbers in the Schläfli symbol are 2. For example, {p,q,r,...2} is an improper regular spherical polytope whenever {p,q,r...} is a regular spherical polytope, and {2,...p,q,r} is an improper regular spherical polytope whenever {...p,q,r} is a regular spherical
23843:
Ideal vertices now appear when the vertex figure is a
Euclidean tiling, becoming inscribable in a horosphere rather than a sphere. They are dual to ideal cells (Euclidean tilings rather than finite polyhedra). As the last number in the Schläfli symbol rises further, the vertex figure becomes
5599:
There are infinitely many failed star polyhedra. These are also spherical tilings with star polygons in their Schläfli symbols, but they do not cover a sphere finitely many times. Some examples are {5/2,4}, {5/2,9}, {7/2,3}, {5/2,5/2}, {7/2,7/3}, {4,5/2}, and {3,7/3}.
9913:
5775:
6211:
9513:
In addition to the 16 planar 4-polytopes above there are 18 finite skew polytopes. One of these is obtained as the
Petrial of the tesseract, and the other 17 can be formed by applying the kappa operation to the planar polytopes and the Petrial of the tesseract.
13642:
which maps the plane into a circle, as shown below. It should be recognized that all of the polygon faces in the tilings below are equal-sized and only appear to get smaller near the edges due to the projection applied, very similar to the effect of a camera
24531:, and can be visualized with open domains in hyperbolic space (the fundamental 5-cell having some parts inaccessible beyond infinity). All honeycombs which are not shown in the set of tables below and do not have 2 in their Schläfli symbol are noncompact.
18052:
Allowing for skew faces, there are 24 regular apeirohedra in
Euclidean 3-space. These include 12 apeirhedra created by blends with the Euclidean apeirohedra, and 12 pure apeirohedra, including the 3 above, which cannot be expressed as a non-trivial blend.
12498:
Only 2 of 3 regular spherical polytopes are centrally symmetric for ranks 5 or higher. The corresponding regular projective polytopes are the hemi versions of the regular hypercube and orthoplex. They are tabulated below for rank 5, for example:
26686:
20239:, and can be visualized with open domains in hyperbolic space (the fundamental tetrahedron having ultra-ideal vertices). All honeycombs with hyperbolic cells or vertex figures and do not have 2 in their Schläfli symbol are noncompact.
25913:
if its combinatorial symmetries are transitive on its flags - that is to say, that any flag can be mapped onto any other under a symmetry of the polyhedron. Abstract regular polytopes remain an active area of research.
19346:
There are also 11 paracompact H honeycombs (those with infinite (Euclidean) cells and/or vertex figures): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5}, and {6,3,6}.
5685:
3315:
23755:
23682:
9469:
potential regular star 4-polytopes permutations: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}. Their cells and vertex figures exist, but they do not cover a hypersphere with a finite number of repetitions.
20855:
23463:
23609:
17631:
2916:
Star polygons that can only exist as spherical tilings, similarly to the monogon and digon, may exist (for example: {3/2}, {5/3}, {5/4}, {7/4}, {9/5}), however these have not been studied in detail.
25486:
In E, there are also the improper cases {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3,3,4,3}, {3,4,3,3,2}, and {2,3,4,3,3}. In E, {4,3,4,2} and {2,4,3,4} are always improper
Euclidean tessellations.
10063:{\displaystyle {\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)}}+{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{r}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{s}}\right)}}}
23817:
23806:
23795:
23773:
18398:, {n,2}, and Euclidean tilings. These improper regular tilings are constructionally related to prismatic uniform honeycombs by truncation operations. They are higher-dimensional analogues of the
23671:
23649:
23627:
23481:
23227:
22766:
22303:
21836:
21375:
6124:
949:, when considered, can also be regular. They use the same vertices as the convex forms, but connect in an alternate connectivity which passes around the circle more than once to be completed.
23733:
23722:
23700:
23300:
22839:
22376:
21909:
21448:
20950:
17463:
25909:
is a connected set of elements of each rank - for a polyhedron that is the body, a face, an edge of the face, a vertex of the edge, and the null polytope. An abstract polytope is said to be
25854:
There are no regular compact or paracompact tessellations of hyperbolic space of dimension 6 or higher. However, any Schläfli symbol of the form {p,q,r,s,...} not covered above (p,q,r,s,...
18690:
25874:
arose out of an attempt to study polytopes apart from the geometrical space they are embedded in. They include the tessellations of spherical, Euclidean and hyperbolic space, and of other
18180:
17 are paracompact: {12,10|3}, {10,12|3}, {12,4|3}, {4,12|3}, {6,4|6}, {4,6|6}, {8,4|4}, {4,8|4}, {12,6|3}, {6,12|3}, {12,12|3}, {6,6|6}, {8,6|4}, {6,8|4}, {12,8|3}, {8,12|3}, and {8,8|4}.
23458:
23453:
23448:
23443:
23438:
23008:
22547:
22078:
21611:
21144:
20356:
18748:
796:
23598:
23587:
23554:
23154:
22230:
25494:
There are 5 regular honeycombs in H, all paracompact, which include infinite (Euclidean) facets or vertex figures: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,4}, and {4,3,3,4,3}.
15895:
10594:
23362:
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The regular finite polygons in 3 dimensions are exactly the blends of the planar polygons (dimension 2) with the digon (dimension 1). They have vertices corresponding to a prism (
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25497:
There are no compact regular tessellations of hyperbolic space of dimension 5 or higher and no paracompact regular tessellations in hyperbolic space of dimension 6 or higher.
17015:; in what is symbolised {p, iπ/λ} above, infinitely many tiles still fit around each ultra-ideal vertex. (Parallel lines in extended hyperbolic space meet at an ideal point;
6371:
6113:
6016:(of a 4-polytope) is a polyhedron, seen by the arrangement of neighboring vertices around a given vertex. For regular 4-polytopes, this vertex figure is a regular polyhedron.
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4311:
4239:
4174:
4164:
2488:
2459:
2430:
2401:
2372:
2343:
2314:
2285:
1994:
1975:
1451:
1432:
20199:
20189:
20179:
20128:
20118:
20108:
20057:
20047:
20037:
19986:
19976:
19966:
19915:
19905:
19895:
19844:
19834:
19824:
19773:
19763:
19753:
19702:
19692:
19682:
19631:
19621:
19611:
19560:
19550:
19540:
19489:
19479:
19469:
19400:
19390:
19380:
19310:
19300:
19290:
19239:
19229:
19219:
19168:
19158:
19148:
19097:
19087:
19077:
19008:
18998:
18988:
18781:
18771:
18761:
18723:
18713:
18703:
18665:
18655:
18645:
18607:
18597:
18587:
18549:
18539:
18529:
18491:
18481:
18471:
18345:
18335:
18325:
18256:
18246:
18236:
17854:
17844:
17764:
17744:
17489:
17479:
17415:
17395:
17321:
17311:
17247:
17227:
16906:
16875:
16844:
16807:
16770:
16733:
16573:
16534:
16495:
16456:
16417:
16378:
16280:
16249:
16220:
16210:
16181:
16171:
16142:
16132:
16103:
16093:
16064:
16054:
16025:
16015:
15976:
15938:
15907:
15878:
15868:
15839:
15829:
15800:
15790:
15761:
15751:
15722:
15712:
15683:
15673:
15634:
15596:
15559:
15529:
15519:
15489:
15479:
15449:
15439:
15409:
15399:
15369:
15359:
15329:
15319:
15276:
15231:
15194:
15164:
15154:
15124:
15114:
15084:
15074:
15044:
15034:
15004:
14994:
14964:
14954:
14911:
14866:
14829:
14799:
14789:
14759:
14749:
14719:
14709:
14679:
14669:
14639:
14629:
14596:
14586:
14543:
14498:
14460:
14430:
14420:
14390:
14380:
14350:
14340:
14307:
14297:
14264:
14254:
14221:
14211:
14168:
14057:
14018:
13979:
13940:
13901:
13862:
13532:
13503:
13417:
13407:
13388:
13378:
13359:
13349:
13046:
13027:
13008:
12989:
12970:
12951:
10908:
10898:
10888:
10878:
10820:
10810:
10800:
10790:
10732:
10722:
10712:
10702:
10523:
10513:
10505:
10495:
10395:
10385:
10377:
10367:
10268:
10258:
10250:
10240:
9718:
9634:
9371:
9361:
9351:
9229:
9219:
9209:
9097:
9077:
9067:
8953:
8933:
8923:
8801:
8791:
8771:
8649:
8639:
8629:
8507:
8497:
8487:
8375:
8355:
8345:
8223:
8213:
8203:
8081:
8071:
8061:
7842:
7832:
7756:
7746:
7670:
7660:
7584:
7574:
7498:
7488:
7385:
7375:
6899:
6889:
6879:
6827:
6817:
6807:
6755:
6745:
6735:
6683:
6673:
6663:
6605:
6595:
6585:
6525:
6515:
6505:
6437:
6427:
6417:
6006:
5922:
5532:
5522:
5413:
5403:
5294:
5284:
5175:
5165:
4880:
4808:
4736:
4664:
4465:
4393:
4321:
4249:
3994:
3984:
3916:
3906:
3838:
3828:
3754:
3744:
3668:
3658:
3572:
3562:
3249:
3239:
2478:
2420:
2391:
2362:
2333:
2304:
2275:
1800:
1394:
1214:
1195:
1176:
1157:
1138:
1119:
893:
883:
758:
700:
644:
592:
540:
519:
498:
477:
436:
389:
368:
13706:
12269:
5 of 6 convex regular 4-polytopes are centrally symmetric generating projective 4-polytopes. The 3 special cases are hemi-24-cell, hemi-600-cell, and hemi-120-cell.
10142:
10092:
9686:
9660:
6321:
6285:
6235:
5974:
5948:
17011:. One could go further (as is done in the table above) and find tilings with ultra-ideal vertices, outside the Poincaré disc, which are dual to tiles inscribed in
10117:
6260:
7941:
Einleitung in die Lehre von der
Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder
11976:
There are no regular star polytopes of rank 5 or higher, with the exception of degenerate polytopes created by the star product of lower rank star polytopes.
13165:
Regular apeirogons that are scaled to converge at infinity have the symbol {∞} and exist on horocycles, while more generally they can exist on hypercycles.
18177:
14 are compact: {8,10|3}, {10,8|3}, {10,4|3}, {4,10|3}, {6,4|5}, {4,6|5}, {10,6|3}, {6,10|3}, {8,8|3}, {6,6|4}, {10,10|3},{6,6|5}, {8,6|3}, and {6,8|3}.
23840:
There are no regular hyperbolic star-honeycombs in H: all forms with a regular star polyhedron as cell, vertex figure or both end up being spherical.
3192:
The regular finite polygons in 4 dimensions are exactly the polygons formed as a blend of two distinct planar polygons. They have vertices lying on a
27072:
18170:
13650:
There are infinitely many flat regular 3-apeirotopes (apeirohedra) as regular tilings of the hyperbolic plane, of the form {p,q}, with p+q<pq/2.
18390:
There are six improper regular tessellations, pairs based on the three regular
Euclidean tilings. Their cells and vertex figures are all regular
12004:. Such a polytope is named hemi-{p,q,...}, and contain half as many elements. Coxeter gives a symbol {p,q,...}/2, while McMullen writes {p,q,...}
25928:
23828:
13699:
13222:
A skew apeirogon in two dimensions forms a zig-zag line in the plane. If the zig-zag is even and symmetrical, then the apeirogon is regular.
28880:
23536:
26878:
Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). "Chapter 23: Objects with
Primary Symmetry, Infinite Platonic Polyhedra".
26461:
12682:
is a regular tessellation of the line, subdividing it into infinitely many equal segments. It has infinitely many vertices and edges. Its
6023:
is a polygon, seen by the arrangement of faces around an edge. For regular 4-polytopes, this edge figure will always be a regular polygon.
29904:
26999:
29169:
27341:
26781:
29102:
13692:
27942:
18516:
13306:
29909:
29124:
28858:
25154:
23784:
23373:
22912:
22449:
21982:
21521:
21046:
18819:
while 6 are paracompact: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5}, and {6,3,6}.
12639:-polytope: a 2-apeirotope or apeirogon is an infinite polygon, a 3-apeirotope or apeirohedron is an infinite polyhedron, etc.
27235:
26887:
26563:
25116:
23660:
23638:
23525:
23514:
23503:
23492:
23081:
22620:
22157:
20659:
1897:{1} could also be realised on the sphere as a single point with a great circle through it. However, a monogon is not a valid
10154:
tessellations of paracompact hyperbolic 4-space. The only no non-convex regular polytopes for ranks 5 and higher are skews.
29719:
29554:
27970:
27313:
23744:
23711:
21690:
20760:
20457:
17295:
5770:{\displaystyle 2\sin \left({\frac {\pi }{l}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{m}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}
10150:
Enumeration of these constraints produce 3 convex polytopes, no star polytopes, 3 tessellations of
Euclidean 4-space, and
6206:{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)-\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}
29943:
29869:
29844:
29834:
29804:
29759:
29709:
29689:
29504:
29389:
27377:
25730:
21223:
18458:
2032:
There exist infinitely many regular star polytopes in two dimensions, whose Schläfli symbols consist of rational numbers
25940:
29953:
29879:
29874:
29814:
29809:
29764:
29714:
29699:
27308:
25837: ≥ 5, that could be potential cells or vertex figures, there are no more hyperbolic star honeycombs in H for
25078:
20727:
20716:
20705:
20163:
20092:
19879:
29899:
29684:
28932:
27267:
27193:
27119:
27041:
26435:
23762:
23576:
23565:
21302:
16590:
7118:
4563:
4138:
17:
25882:
for a sample. Some notable examples of abstract regular polytopes that do not appear elsewhere in this list are the
29739:
29674:
29659:
29494:
29114:
28367:
28350:
23616:
23470:
15182:
14448:
13198:
3284:(of a polyhedron) is a polygon, seen by connecting those vertices which are one edge away from a given vertex. For
25943:. In the diagrams below, the hyperbolic tiling images have colors corresponding to those of the polyhedra images.
13226:
29839:
29799:
29754:
29694:
29679:
29669:
29644:
29005:
28788:
28426:
25931:
in his paper "The combinatorially regular polyhedra of index 2" (1987). They are all topologically equivalent to
25917:
Five such regular abstract polyhedra, which can not be realised faithfully and symmetrically, were identified by
25779:
23689:
23329:
22868:
22405:
21938:
21488:
21477:
21269:
21013:
21002:
20991:
19950:
18933:
15547:
13150:, {∞}, can have a curvature just like finite polygons of the Euclidean plane, with the vertices circumscribed by
17937:
9494:
7908:
5624:
776:
Only counting polytopes of full rank. There are more regular polytopes of each rank > 1 in higher dimensions.
29704:
29624:
29479:
27105:
27068:
27029:
26551:
26390:
26225:
25960:
23205:
23183:
23070:
23059:
23048:
23037:
22744:
22722:
22609:
22598:
22587:
22576:
22281:
22259:
22146:
22135:
22124:
21814:
21792:
21635:
21353:
21342:
21331:
21179:
21168:
20833:
20822:
20811:
20800:
20648:
20637:
20626:
20615:
20604:
20593:
20582:
20558:
20413:
20402:
20391:
20380:
20021:
19274:
19203:
18850:
18839:
9322:
1881:
regular polygon. It can be realized non-degenerately in some non-Euclidean spaces, such as on the surface of a
856:
213:
25893:
The elements of an abstract polyhedron are its body (the maximal element), its faces, edges, vertices and the
10536:
29634:
29619:
29579:
29509:
29459:
29374:
29194:
26240:
25993:
24772:
24258:
23289:
23256:
22828:
22795:
22365:
22332:
21898:
21865:
21679:
21668:
21657:
21437:
21415:
21404:
20939:
20917:
20906:
20895:
20749:
20738:
20446:
20435:
20424:
19453:
18874:
14074:
29604:
29569:
29559:
29419:
28800:
23543:
21212:
21201:
21190:
20980:
19595:
18898:
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17127:
14817:
10282:
9394:
9149:
9005:
8824:
8672:
8427:
8246:
5360:
5122:
4988:
102:
27091:
10408:
2126:(as such, all stellations of a polygon with a prime number of sides will be regular stars). Symbols where
29744:
29574:
29564:
29544:
29524:
29499:
29444:
29424:
29409:
29399:
29334:
29000:
27180:, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 92, Cambridge: Cambridge University Press,
26333:
26236:
25982:
25681:
25632:
22983:
22522:
22113:
22053:
21591:
21586:
21129:
21118:
21113:
20789:
20341:
20336:
20331:
20326:
20321:
19737:
18909:
17211:
28247:
28132:
28089:
28046:
28003:
29938:
29894:
29889:
29884:
29789:
29549:
29514:
29474:
29454:
29429:
29414:
29404:
29364:
28851:
27331:
27303:
27155:
International
Conference on Mathematics of Distances and Applications (July 2–5, 2012, Varna, Bulgaria)
26357:
25265:
is the only family of regular honeycombs that can tessellate each dimension, five or higher, formed by
24787:
24724:
24336:
24297:
23307:
23121:
23110:
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19524:
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16434:
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13481:
13336:
12892:
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5373:
5135:
5066:
4532:
4104:
3550:
3200:. Unlike 3-dimensional polygons, skew polygons on double rotations can include an odd-number of sides.
2262:
1954:
1106:
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29829:
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29724:
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29484:
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29449:
29439:
29434:
29354:
28995:
28582:
28527:
28478:
27287:. Reprint of 1930 ed., published by E. P. Dutton. See in particular Chapter X: The Regular Polytopes.
26177:
26155:
24876:
24630:
24487:
24448:
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26166:
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There are five flat regular regular honeycombs of hyperbolic 5-space, all paracompact: (previously
25190:
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placed in orthogonal subspaces. The blending operation is commutative, associative and idempotent.
1878:
139:
28963:
9766:(of a 5-polytope) is a 4-polytope, seen by the arrangement of neighboring vertices to each vertex.
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13591:. There are infinitely many regular tilings in H. As stated above, every positive integer pair {
3113:
Every regular skew polygon can be expressed as the blend of a unique set of planar polygons. If
29649:
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13225:
Skew apeirogons can be constructed in any number of dimensions. In three dimensions, a regular
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9831:
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9569:
7153:
6030:
5857:
208:
26712:
26670:. Convex and Abstract Polytopes (May 19–21, 2005) and Polytopes Day in Calgary (May 22, 2005).
26490:
20408:
13639:
13207:
10614:
polytope. Such polytopes may also be used as facets, yielding forms such as {p,q,...2...y,z}.
7207:
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found four of them and skipped the last six because he would not allow forms that failed the
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374:
353:
27439:
27417:
27405:
27142:
See in particular Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs, pp. 294–296.
27003:
26405:
is given for extension of cells (of polychora), though it appears to be less-commonly used.
24105:
and four star-honeycombs in H space. Five convex ones are compact, and two are paracompact.
9335:
9328:
9193:
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bounded by its two endpoints. Every realization of this 1-polytope is regular. It has the
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th facetting operator; η is a halving operator, and σ skewing halving operator.
17159:
13573:= 1/2), like {8/3,8}, {10/3,5}, {5/2,10}, {12/5,12}, etc., but none repeat periodically.
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9291:
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3304:
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903:
26662:
26514:
13638:
There are a number of different ways to display the hyperbolic plane, including the
10162:
In dimensions 5 and higher, there are only three kinds of convex regular polytopes.
7298:(2 facets) include: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2}, {p,2,2}, and their
870:
of polygons and other higher dimensional polytopes. It is used in the definition of
29849:
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9780:(of a 5-polytope) is a polygon, seen by the arrangement of cells around each face.
7861:
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25890:, {5,3,5}, which have regular projective polyhedra as cells and vertex figures.
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7245:
4261:
3500:
Beyond Euclidean space, there is an infinite set of regular hyperbolic tilings.
805:
represent mirror "planes" as nodes, and puts a ring around a node if a point is
29147:
29060:
29029:
28918:
28666:
28659:
28652:
28599:
28592:
28537:
28293:
27878:
27246:
27165:
26816:
Coxeter, H.S.M. (1938). "Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions".
26286:
24824:
24053:
17999:
17201:
13792:
13180:
12253:
12214:
12132:
12035:
12013:
10476:
9399:
9180:
9154:
9010:
8829:
8677:
8458:
8432:
8316:
8251:
7455:
7238:
7231:
6992:
6646:
5110:
4186:
3811:
3624:
3513:
3193:
1890:
990:
938:
923:
783:
There are no Euclidean regular star tessellations in any number of dimensions.
97:
26829:
26506:
21108:
21101:
20588:
18173:
with convex faces in hyperbolic 3-space with compact or paracompact symmetry:
13874:
7603:
7198:
7085:
4333:
123:
29932:
29301:
29265:
29065:
29053:
28911:
28325:
28315:
28305:
27895:
27783:
27776:
27769:
27733:
27726:
27719:
27683:
27676:
27185:
26033:
26011:
25576:
25567:
25332:
25325:
25318:
25068:
25059:
24441:
24432:
24173:
24164:
23926:
23917:
21230:
21174:
20397:
20008:
19997:
19713:
19653:
19446:
19432:
19054:
19040:
18447:
18302:
18288:
17189:
17032:
17016:
13465:, each filling half the plane; and secondly, its dual, {2,∞}, an apeirogonal
13283:
12313:
10676:
10214:
10207:
9763:
8018:
7904:
7440:
7302:
7189:
7180:
7103:
6013:
5662:
5651:
5095:
3517:
3281:
3267:
3181:
is even). All polygons in 3 space have an even number of vertices and edges.
165:
27082:, vol. III, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., pp. 155–169,
27080:
Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954, Amsterdam
26799:
26797:
26795:
26793:
26791:
26789:
20487:
20386:
7171:
7162:
5261:
2905:
2896:
2887:
2878:
2869:
2860:
2851:
2842:
2833:
2824:
2815:
2804:
2795:
2786:
2777:
2768:
2759:
2750:
2741:
2732:
2721:
2712:
2703:
2694:
2685:
2676:
2667:
2658:
2647:
2638:
2629:
2620:
2611:
2602:
2593:
2584:
2575:
2566:
29200:
28937:
28867:
27835:
27336:
27169:
27063:. See in particular Summary Tables II, III, IV, V, pp. 212–213.
26945:
26928:
26328:
26270:
25897:
or empty set. These abstract elements can be mapped into ordinary space or
25879:
25232:
There is only one flat regular honeycomb of Euclidean 5-space: (previously
25210:
24599:
24349:
24310:
24232:
24042:
21623:
21156:
20570:
20565:
20469:
20368:
20068:
19321:
19250:
19119:
14190:
13644:
13562:
11963:
11888:
8530:
8285:
7540:
5674:
5499:
4996:
4061:
3890:
2173:
2045:
1572:
1562:
1552:
1306:
942:
836:
91:
27137:
17511:
17427:
17343:
17259:
5680:
The regular skew polyhedra, represented by {l,m|n}, follow this equation:
5366:
29186:
27844:
27805:
27755:
27705:
27662:
27632:
27564:
27550:
26786:
25999:
25939:
faces around each vertex, can be repeated indefinitely as tilings of the
25710:
25699:
25661:
25601:
25591:
25165:
25129:
24689:
24360:
24282:
24243:
24204:
24193:
23433:
23426:
21618:
20363:
20150:
19582:
19500:
19332:
19190:
19108:
18955:. There are 15 hyperbolic honeycombs in H, 4 compact and 11 paracompact.
18041:
17995:
17990:
12 "pure" apeirohedra in Euclidean 3-space based on the structure of the
17139:
16996:
13515:
11743:
11671:
11535:
11466:
11339:
11273:
11155:
11092:
10983:
10863:
9777:
9770:
9433:
9252:
8711:
8104:
7936:
7061:
5848:
5000:
3968:
3636:
3478:
1567:
1557:
919:
26172:
26150:
25858:
above 2, or infinity) will form a noncompact tessellation of hyperbolic
24704:
24031:
18032:
17925:
14933:
14565:
14276:
14233:
13103:
9482:
7884:
7798:
7712:
7626:
5612:
5485:
5247:
5128:
4013:
3935:
3857:
3773:
3687:
1901:
because its single edge is incident to only one vertex rather than two.
1238:
29255:
27830:
27814:
27764:
27714:
27671:
27641:
27555:
27222:, Bolyai Society Mathematical Studies, vol. 27, pp. 307–320,
26856:
26738:
26310:
26277:
26183:
26161:
26139:
25759:
25748:
25650:
24472:
24461:
24321:
23239:
23166:
23093:
23020:
22966:
22778:
22705:
22632:
22559:
22505:
22315:
22242:
22169:
22097:
22090:
22036:
21848:
21775:
21702:
21569:
21387:
21242:
21235:
21151:
21096:
20678:
20671:
20304:
19937:
19642:
19261:
18391:
17158:/2}, we can either obtain degenerate double covers of other tilings or
17119:
17064:
16193:
16154:
16115:
16076:
16037:
15851:
15812:
15773:
15734:
15695:
15501:
15461:
15421:
15381:
15341:
15298:
15136:
15096:
15056:
15016:
14771:
14731:
14691:
14651:
14608:
14402:
14362:
14319:
13801:
13466:
13448:
13441:
13434:
12615:
12573:
11941:
11802:
7130:
7113:
5042:
4069:
4068:) exist that would otherwise be degenerate as polytopes. These are the
3806:
3509:
1845:
1831:
1817:
1541:
1301:
1291:
795:
160:
26077:
24077:
There are seven flat regular convex honeycombs of hyperbolic 4-space:
16955:
14893:
14525:
7098:
6293:
These constraints allow for 21 forms: 6 are convex, 10 are nonconvex,
5779:
Four of them can be seen in 4-dimensions as a subset of faces of four
4830:
4758:
1838:
1824:
29275:
29260:
29176:
29152:
27886:
27800:
27750:
27700:
27657:
27627:
27596:
26908:
26558:. Cambridge University Press. 11.1 Polytopes and Honeycombs, p. 224.
25966:
25792:
25715:
25266:
24593:
24266:
22108:
21264:
21253:
20722:
20711:
20700:
20689:
18928:
18917:
18904:
17688:
17613:
17008:
17004:
15258:
13476:
13462:
13229:
traces out a helical spiral and may be either left- or right-handed.
13186:
13151:
12790:
12679:
12539:
12053:
12042:
11721:
11591:
11513:
11392:
11317:
11205:
11133:
11030:
10961:
10687:
10348:
9407:
9278:
8971:
8868:
8850:
8837:
8685:
8556:
8393:
8259:
8148:
8130:
6566:
4902:
4087:
3727:
3209:
3184:
Several of these appear as the Petrie polygons of regular polyhedra.
2931:
In addition to the planar regular polygons there are infinitely many
2152:
2147:
1534:
1520:
1296:
996:
946:
65:
26959:
Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.
26127:
26113:
26088:
26042:
26019:
25901:
as geometrical figures. Some abstract polyhedra have well-formed or
24376:
The two paracompact regular H honeycombs are: {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.
24081:
5 are compact: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3,5}
20772:
17697:
17604:
16918:
16819:
16782:
16745:
16708:
16624:
15656:
15581:
15216:
14851:
14482:
14150:
13192:
13133:
12709:
12235:
12196:
9296:
9115:
8574:
7004:
4686:
2547:
1527:
29044:
27860:
27615:
27611:
27538:
27255:
26765:
26695:, Table I: Regular polytopes, (iii) The three regular polytopes in
25875:
25252:{3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4}, and {4,3,3,4,3}
25124:
25103:
24365:
24344:
24305:
24287:
24227:
24209:
24088:
There are four flat regular star honeycombs of hyperbolic 4-space:
21641:
21185:
20621:
20610:
20599:
20520:
20509:
20419:
18893:
18869:
18858:
18845:
18834:
18395:
17529:
17436:
17361:
17352:
17277:
17268:
17080:
13797:
13458:
13253:
13124:
13110:
13096:
12776:
12762:
12624:
12459:
12425:
12156:
9425:
9420:
9412:
9283:
9270:
9265:
9141:
9136:
9128:
9123:
8997:
8992:
8984:
8979:
8855:
8842:
8703:
8698:
8690:
8561:
8548:
8543:
8419:
8414:
8406:
8401:
8277:
8272:
8264:
8135:
8122:
8117:
7919:
7912:
7330:
7288:
7284:
7222:
7025:
6964:
6959:
6863:
6791:
6297:
is a Euclidean 3-space honeycomb, and 4 are hyperbolic honeycombs.
5572:
5558:
5453:
5439:
5334:
5320:
5215:
5201:
4611:
4073:
2540:
2533:
2526:
2519:
2512:
2505:
2157:
1852:
1577:
1259:
1245:
1231:
1020:
1002:
128:
60:
54:
49:
27332:
Polytopes and optimal packing of p points in n dimensional spheres
27261:
26118:
26093:
26047:
26024:
23767:
23694:
23621:
23548:
23475:
23312:
22851:
22388:
21921:
21460:
20498:
18202:
There is only one non-degenerate regular tessellation of 3-space (
18194:
18023:
17520:
17445:
16671:
16585:
16546:
16507:
16468:
16429:
16390:
16312:
16232:
15890:
15541:
15176:
14811:
14442:
14108:
14069:
13244:
13210:, the right one shows perpendicular reflection lines of divergent
13117:
2923:, which do not cover the surface of a circle finitely many times.
1513:
1506:
1266:
1252:
197:
27869:
27839:
27606:
27601:
27592:
27533:
26843:
Coxeter, H.S.M. (1985). "Regular and semi-regular polytopes II".
26303:
26260:
25887:
25883:
25849:
25813:
25764:
25743:
25694:
25645:
25617:
24516:
24456:
24326:
12769:
12734:
12391:
12353:
11952:
11845:
10221:
6954:
6949:
6719:
6641:
6488:
5819:
5812:
5010:, these star forms overlap the sphere multiple times, called its
4515:
4077:
3641:
2123:
1910:
1894:
1286:
1277:
1025:
1015:
979:
915:
27218:
McMullen, Peter (2018), "New Regular Compounds of 4-Polytopes",
27051:
26618:"Between a square rock and a hard pentagon: Fractional polygons"
25003:
There are four regular star-honeycombs in H space, all compact:
11936:
7305:(2 vertices): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,5,3}, {2,2,
7039:
7032:
5805:
5798:
5014:, being 3 or 7 for these forms. The tiling images show a single
4006:
3928:
3680:
3303:
is constrained by an inequality, related to the vertex figure's
28836:
27809:
27759:
27709:
27666:
27636:
27587:
27523:
25932:
25671:
25666:
25596:
24624:
24588:
24248:
24188:
24069:
There are three flat regular honeycombs of Euclidean 4-space:
24066:
There are also the two improper cases {4,3,4,2} and {2,4,3,4}.
20577:
18002:; δ is a dual operator reverses vertices and faces; φ
13159:
12755:
11958:
11732:
11716:
11631:
11524:
11508:
11429:
11328:
11323:
11312:
11239:
11144:
11139:
11128:
11061:
10972:
10967:
10956:
10775:
8535:
8290:
7280:
7011:
6944:
6939:
6561:
6483:
4065:
3850:
3766:
3288:, this vertex figure is always a regular (and planar) polygon.
1882:
985:
245:
This table shows a summary of regular polytope counts by rank.
86:
27032:(1999), "Chapter 10: Regular Honeycombs in Hyperbolic Space",
26896:
26633:
26631:
26318:(16 regular 4-polytopes, 4 convex and 10 star (Schläfli–Hess))
25878:. There are infinitely many of every rank greater than 1. See
21630:
21314:
20963:
20867:
20375:
18377:
16351:
15998:
14976:
13457:
There are two improper regular tilings: {∞,2}, an apeirogonal
11738:
11530:
11334:
11150:
10978:
9438:
9257:
8716:
8109:
7939:(1843–1903) completed the full list of ten in his German book
7056:
7018:
835:
There is only one polytope of rank 1 (1-polytope), the closed
171:
21163:
20476:
18812:
There are ten flat regular honeycombs of hyperbolic 3-space:
17960:
in Euclidean 3-space, with planar faces. They share the same
13607:< 1/2 gives a hyperbolic tiling. In fact, for the general
12741:
7072:
5657:
For 4-dimensional skew polyhedra, Coxeter offered a modified
3520:
is given with each vertex count. All these polyhedra have an
1915:
1886:
1874:
28970:
26877:
26532:
24684:
24619:
6384:
are shown in the table below. All these 4-polytopes have an
1889:. For example, digon can be realised non-degenerately as a
27559:
27036:, Mineola, NY: Dover Publications, Inc., pp. 199–214,
26628:
26430:(1st ed.). Cambridge University Press. pp. 46–7.
25808:
25797:
25612:
24998:
24511:
24500:
24271:
20464:
19855:
19724:
19179:
12114:
7325:} which have dihedral cells and hosohedral vertex figures.
7090:
7077:
6118:
Each will exist in a space dependent upon this expression:
3722:
2935:. Skew polygons can be created via the blending operation.
17003:
of the Poincaré disc model. Their duals {∞, p} have ideal
13082:
11947:
10094: : Spherical 4-space tessellation or 5-space polytope
7935:
on cells or vertex figures (for zero-hole tori: F+V−E=2).
2011:
23857:
There are three kinds of infinite regular tessellations (
18164:
11727:
11519:
6065:
is constrained by the existence of the regular polyhedra
1859:
27350:
26643:
25245:
23861:) that can tessellate Euclidean four-dimensional space:
18386:
Regular {2,4,4} honeycomb, seen projected into a sphere.
17916:
13089:
2018:
25233:
24092:{5/2,5,3,3}, {3,3,5,5/2}, {3,5,5/2,5}, and {5,5/2,5,3}.
17027:
There are 2 infinite forms of hyperbolic tilings whose
13565:. There are many enumerations that fit in the plane (1/
26725:
Grünbaum, B. (1977). "Regular Polyhedra—Old and New".
25489:
24096:
18807:
17150:) do not have regular hyperbolic tiling analogues. If
6237: : Hyperspherical 3-space honeycomb or 4-polytope
4083:
The first few cases (n from 2 to 6) are listed below.
3058:
select an arbitrary connected component of the result.
874:
like Schläfli symbol { }×{p}, or Coxeter diagram
28250:
28214:
28178:
28135:
28092:
28049:
28006:
26584:
26572:
26520:
25256:
23852:
18816:
4 are compact: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, and {5,3,5}
18189:
12041:
The hemi-cube and hemi-octahedron generalize as hemi-
10539:
10411:
10285:
10127:
10102:
10077:
9916:
9872:
9834:
9790:
9726:
9694:
9668:
9642:
9610:
9572:
9528:
6329:
6309:
6270:
6245:
6220:
6127:
6071:
6033:
5982:
5956:
5930:
5898:
5860:
5688:
3313:
746:
688:
632:
580:
528:
507:
486:
465:
424:
377:
356:
26674:
13274:
There are three regular tessellations of the plane.
12642:
There are two main geometric classes of apeirotope:
6115:. A suggested name for 4-polytopes is "polychoron".
13206:Above are two regular hyperbolic apeirogons in the
5661:{l,m|n} for these figures, with {l,m} implying the
2919:There also exist failed star polygons, such as the
28278:
28236:
28200:
28163:
28120:
28077:
28034:
27173:
26929:"Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space"
10588:
10452:
10326:
10136:
10111:
10086:
10062:
9896:
9858:
9820:
9750:
9712:
9680:
9654:
9628:
9596:
9558:
6365:
6315:
6279:
6254:
6229:
6205:
6107:
6057:
6000:
5968:
5942:
5916:
5884:
5769:
3467:
866:Although trivial as a polytope, it appears as the
752:
694:
638:
586:
534:
513:
492:
471:
430:
383:
362:
12493:
12264:
10580:
10559:
10444:
10431:
10318:
10289:
9907:The space it fits in is based on the expression:
7957:from these 10 regular star 4-polytopes, shown as
914:The polytopes of rank 2 (2-polytopes) are called
29930:
27114:(Third ed.). New York: Dover Publications.
25844:
27164:
26914:
26902:
26708:
26637:
26538:
17154:is even, depending on how we choose to define {
12059:
11983:
27244:
26554:(2018). "Chapter 11: Finite symmetry groups".
25850:Tessellations of hyperbolic 6-space and higher
25777:
25728:
25679:
25630:
25581:
25463:
25444:
25425:
25406:
25387:
25368:
25349:
25330:
25188:
25152:
25114:
25076:
24485:
24446:
24334:
24295:
24256:
24217:
24178:
23993:
23962:
23931:
20161:
20090:
20019:
19948:
19877:
19806:
19735:
19664:
19593:
19522:
19451:
19272:
19201:
19130:
19059:
18914:
18890:
18855:
18831:
18307:
17813:
17713:
17629:
17545:
17461:
17377:
17293:
17209:
17142:. The other two Kepler–Poinsot polyhedra (the
13264:
11886:
11843:
11800:
11669:
11629:
11589:
11464:
11427:
11390:
11271:
11237:
11203:
11090:
11059:
11028:
10861:
10773:
10685:
10474:
10346:
10219:
9320:
9178:
9034:
8892:
8740:
8598:
8456:
8314:
8172:
8028:
6861:
6789:
6717:
6639:
6559:
6481:
5477:
5358:
5239:
5120:
2135:
28852:
27964:
27371:
27249:(2015). "Visualizing Hyperbolic Honeycombs".
26713:"6C Projective Regular Polytopes" pp. 162-165
26484:
26482:
13700:
13469:, seen as an infinite set of parallel lines.
12673:
2960:take the cartesian product of their vertices
26997:
26976:, Table II: Regular honeycombs, p. 296.
26454:"Stellating and Facetting – A Brief History"
24084:2 are paracompact: {3,4,3,4}, and {4,3,4,3}.
12728:
9891:
9873:
9853:
9835:
9815:
9791:
9745:
9727:
9707:
9695:
9675:
9669:
9649:
9643:
9623:
9611:
9591:
9573:
9553:
9529:
6102:
6090:
6084:
6072:
6052:
6034:
5995:
5983:
5963:
5957:
5937:
5931:
5911:
5899:
5879:
5861:
4080:calls these cases "improper" tessellations.
1905:
969:
27266:
18378:Improper tessellations of Euclidean 3-space
5650:which include the possibility of nonplanar
3497:limited to: {3}, {4}, {5}, {5/2}, and {6}.
863:and gives it the Schläfli symbol { }.
772:
770:
28859:
28845:
27971:
27957:
27378:
27364:
26882:. Taylor & Francis. pp. 333–335.
26479:
18198:Edge framework of cubic honeycomb, {4,3,4}
17022:
17007:faces, meaning that they are inscribed in
13707:
13693:
11996:-polytope exists when an original regular
7911:. Their vertices are based on the convex
3360:Polyhedron (existing in Euclidean 3-space)
3203:
794:
790:
29170:Dividing a square into similar rectangles
27254:
26944:
26760:
26758:
26756:
26069:
18017:Regular skew polyhedra with planar faces
17626:Hendecagrammic-order hendecagonal tiling
13556:
11933:
11713:
11505:
11309:
11125:
10953:
4991:and there are four of them, based on the
2134:are not coprime may be used to represent
930:-gonal regular polygon is represented by
909:
906:of a line segment and a regular polygon.
27217:
27073:"Regular honeycombs in hyperbolic space"
26724:
26680:
26488:
26451:
24999:Star tessellations of hyperbolic 4-space
18381:
18193:
17985:
17632:Hendecagrammic-order hendecagonal tiling
12669:-dimensional manifold in a higher space.
10589:{\displaystyle 2^{k+1}{n \choose {k+1}}}
3062:Alternatively, the blend is the polygon
767:
27943:List of regular polytopes and compounds
27145:
27104:
27028:
26985:
26973:
26842:
26815:
26803:
26692:
26649:
26590:
26578:
26550:
26526:
26425:
18887:4 of 11 paracompact regular honeycombs
12000:-spherical tessellation, {p,q,...}, is
10144: : hyperbolic 4-space tessellation
5673:-gonal holes. Their vertex figures are
14:
29931:
27278:, New York: Dover Publications, Inc.,
27000:"The Regular Polyhedra (of index two)"
26926:
26753:
26615:
26220:These occur as dual pairs as follows:
25155:Order-5 icosahedral 120-cell honeycomb
24108:Five compact regular honeycombs in H:
18165:Skew apeirohedra in hyperbolic 3-space
17982:6 hexagons around each vertex: {6,6|3}
17979:4 hexagons around each vertex: {6,4|4}
13561:There are no regular plane tilings of
10119: : Euclidean 4-space tessellation
7287:exist as regular tessellations of the
6027:The existence of a regular 4-polytope
29232:
29082:
28982:
28878:
28840:
27034:The Beauty of Geometry: Twelve Essays
26495:Discrete & Computational Geometry
25865:
25117:Pentagrammic-order 600-cell honeycomb
17976:6 squares around each vertex: {4,6|4}
17917:Skew apeirohedra in Euclidean 3-space
17458:Enneagrammic-order enneagonal tiling
17290:Heptagrammic-order heptagonal tiling
17019:lines meet at an ultra-ideal point.)
13779:
13773:
13576:
12654:dimensions, which completely fill an
10327:{\displaystyle {{n+1} \choose {k+1}}}
9517:
2560:Regular star polygons up to 20 sides
2063:-pointed stars with Schläfli symbols
957:The Schläfli symbol {p} represents a
829:, and the line segment between them.
256:
253:
27346:Polytopes, Maps and their Symmetries
24073:{4,3,3,4}, {3,3,4,3}, and {3,4,3,3}.
17920:
17464:Enneagrammic-order enneagonal tiling
17296:Heptagrammic-order heptagonal tiling
13269:
10453:{\displaystyle 2^{n-k}{n \choose k}}
9522:5-polytopes can be given the symbol
9477:
6287: : Hyperbolic 3-space honeycomb
5607:
27337:An atlas of small regular polytopes
27314:Multidimensional Glossary (Look up
27272:An Introduction to the Geometry of
25935:. Their construction, by arranging
25731:Order-4 24-cell honeycomb honeycomb
25490:Tessellations of hyperbolic 5-space
24097:Tessellations of hyperbolic 4-space
18808:Tessellations of hyperbolic 3-space
9473:
6262: : Euclidean 3-space honeycomb
2055:In general, for any natural number
24:
29233:
28279:{\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}
28164:{\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}
28121:{\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}
28078:{\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}
28035:{\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}
26699:dimensions (n>=5), pp. 294–295.
26616:Duncan, Hugh (28 September 2017).
26452:Inchbald, Guy (9 September 2024).
26397:refers to extension of edges, and
25257:Tessellations of Euclidean 5-space
25079:Small stellated 120-cell honeycomb
25007:4 compact regular star-honeycombs
23853:Tessellations of Euclidean 4-space
20164:Order-6 hexagonal tiling honeycomb
20093:Order-5 hexagonal tiling honeycomb
19880:Order-4 hexagonal tiling honeycomb
19351:11 paracompact regular honeycombs
18190:Tessellations of Euclidean 3-space
18087:, the Petrial of the mutetrahedron
13217:
12027:-gon projective polygons, {2p}/2.
10563:
10435:
10293:
5677:, zig-zagging between two planes.
5646:are generalizations to the set of
3291:Existence of a regular polyhedron
747:
689:
633:
581:
529:
508:
487:
466:
425:
378:
357:
25:
29965:
27292:
26766:Visualizing Hyperbolic Honeycombs
26764:Roice Nelson and Henry Segerman,
26609:
25501:5 paracompact regular honeycombs
24380:2 paracompact regular honeycombs
18135:, the skewing of the muoctahedron
18102:, the Petrial of the muoctahedron
11971:
5603:
2956:, can be constructed as follows:
28969:
28962:
28866:
28237:{\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}
28201:{\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}
27220:New Trends in Intuitive Geometry
26988:, "Chapter 10" Table IV, p. 213.
26491:"Regular polytopes of full rank"
26464:from the original on 2024-05-20.
26401:to extension of faces; the term
26385:In a classification advanced by
26376:(up to identity and idempotency)
26182:
26171:
26160:
26149:
26138:
26126:
26117:
26112:
26101:
26092:
26087:
26076:
26062:
26055:
26046:
26041:
26032:
26023:
26018:
25998:
25987:
25976:
25965:
25954:
25829:Since there are no regular star
25227:
24823:
24703:
24683:
24618:
24598:
24587:
24052:
24041:
24030:
23847:
23822:
23811:
23800:
23789:
23778:
23766:
23749:
23738:
23727:
23716:
23705:
23693:
23676:
23665:
23654:
23643:
23632:
23620:
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26556:Geometries and Transformations
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25961:Medial rhombic triacontahedron
24527:Noncompact solutions exist as
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24047:Projected portion of {3,3,4,3}
24036:Projected portion of {4,3,3,4}
20235:Noncompact solutions exist as
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19204:Order-4 dodecahedral honeycomb
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12608:
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9323:Great grand stellated 120-cell
7309:}. 4-polytopes of the form {2,
7275:
5842:
4047:
3102:are the generating mirrors of
1877:{2} can be considered to be a
786:
13:
1:
29195:Regular Division of the Plane
28983:
27148:"Regular inversive polytopes"
26915:McMullen & Schulte (2002)
26903:McMullen & Schulte (2002)
26709:McMullen & Schulte (2002)
26539:McMullen & Schulte (2002)
26472:
26241:ditrigonal dodecadodecahedron
25994:Ditrigonal dodecadodecahedron
25845:Apeirotopes of rank 7 or more
24259:Order-5 tesseractic honeycomb
24112:5 compact regular honeycombs
19454:Order-6 tetrahedral honeycomb
18959:4 compact regular honeycombs
18828:4 compact regular honeycombs
17998:operator replaces faces with
13678:{∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}
13672:{9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
13669:{8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
13666:{7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
13663:{6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
13660:{5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
13657:{4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
13654:{3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
7317:}. There are also the cases {
5593:Great stellated dodecahedron
5355:Small stellated dodecahedron
3187:
3144:
28879:
27309:Regular 4d Polytope Foldouts
27228:10.1007/978-3-662-57413-3_12
27021:
26193:
26133:
26009:
25949:
25947:
19596:Order-4 octahedral honeycomb
18746:
18688:
18630:
18572:
18514:
18456:
18056:Those pure apeirohedra are:
18039:
18030:
18021:
17542:Order-9 enneagrammic tiling
17374:Order-7 heptagrammic tiling
17144:great stellated dodecahedron
17128:small stellated dodecahedron
13730:/hyperbolic (Poincaré disc:
13623:) the same holds true for 1/
13473:
13428:
13334:
13317:
13304:
13241:
12686:is {∞}, and Coxeter diagram
12570:
12536:
12456:
12422:
12388:
12350:
12311:
12219:
12180:
12140:
12098:
12060:Regular projective polyhedra
11984:Regular projective polytopes
7327:
5669:l-gons around a vertex, and
5361:Great stellated dodecahedron
5123:Small stellated dodecahedron
2812:
2729:
2655:
2563:
1868:
704:
648:
596:
544:
440:
346:
300:
194:
157:
83:
46:
7:
29103:Architectonic and catoptric
29001:Aperiodic set of prototiles
27146:Johnson, Norman W. (2012),
26638:McMullen & Schulte 2002
26412:
26334:Tilings of regular polygons
26254:
26237:medial triambic icosahedron
25983:Medial triambic icosahedron
25682:16-cell honeycomb honeycomb
25633:24-cell honeycomb honeycomb
24533:
19738:Triangular tiling honeycomb
18111:, the halving of the mucube
18072:, the Petrial of the mucube
17380:Order-9 enneagrammic tiling
17212:Order-7 heptagrammic tiling
13742:) tessellations with their
13265:3-apeirotopes (apeirohedra)
12635:-apeirotope is an infinite
10157:
9821:{\displaystyle \{p,q,r,s\}}
9559:{\displaystyle \{p,q,r,s\}}
9031:Great icosahedral 120-cell
6375:
4939:Star-dihedra and hosohedra
3503:
937:Many sources only consider
847:with a single ringed node,
825:and its mirror image point
240:
10:
29970:
29944:Multi-dimensional geometry
27932:
27359:
27176:Abstract Regular Polytopes
26426:Coxeter, H. M. S. (1975).
26358:Regular map (graph theory)
25269:facets, four around every
24337:Order-5 120-cell honeycomb
24298:Order-4 120-cell honeycomb
19525:Hexagonal tiling honeycomb
18400:order-2 apeirogonal tiling
16661:
16302:
13717:
13687:
12674:2-apeirotopes (apeirogons)
12627:which has infinitely many
9037:Great icosahedral 120-cell
7898:
4978:
4520:
4092:
3258:, has a regular face type
3215:A regular polyhedron with
2938:The blend of two polygons
1029:
792:
30:Example regular polytopes
29954:Mathematics-related lists
29388:
29315:
29284:
29246:
29242:
29228:
29089:
29083:
29078:
28991:
28978:
28960:
28887:
28874:
27952:
27262:hyperbolichoneycombs.org/
26845:Mathematische Zeitschrift
26604:Regular Complex Polytopes
26507:10.1007/s00454-004-0848-5
26428:Regular Complex Polytopes
24536:
24529:Lorentzian Coxeter groups
24488:Cubic honeycomb honeycomb
24449:Order-4 24-cell honeycomb
23829:{∞,∞,∞}
23385:
22930:
22461:
22000:
21533:
21060:
20237:Lorentzian Coxeter groups
18016:
17970:convex uniform honeycombs
13313:
13214:, separated by length λ.
9904:are regular 4-polytopes.
9897:{\displaystyle \{q,r,s\}}
9859:{\displaystyle \{p,q,r\}}
9751:{\displaystyle \{q,r,s\}}
9597:{\displaystyle \{p,q,r\}}
9040:(great faceted 600-cell)
8595:Great stellated 120-cell
8169:Small stellated 120-cell
7909:Schläfli–Hess 4-polytopes
7313:,2} are the same as {2,2,
7219:stereographic projections
7216:
7147:
7046:
6990:
6058:{\displaystyle \{p,q,r\}}
5885:{\displaystyle \{p,q,r\}}
3165:is odd) or an antiprism (
2238:
2224:
2161:
2151:
952:
267:
262:
259:
250:
183:Regular 3D tessellations
182:
146:Regular 2D tessellations
145:
108:
71:
34:
28346:Uniform convex honeycomb
27304:Kepler-Poinsot Polyhedra
27186:10.1017/CBO9780511546686
27066:Originally published in
26880:The Symmetries of Things
26727:Aequationes Mathematicae
26489:McMullen, Peter (2004),
26363:
26339:Convex uniform honeycomb
25191:Great 120-cell honeycomb
24961:
24958:
24914:
24911:
24867:
24864:
24814:
24811:
24749:
24746:
24674:
24671:
24578:
24575:
24572:
24181:Order-5 5-cell honeycomb
24038:(Tesseractic honeycomb)
18171:regular skew apeirohedra
17958:regular skew apeirohedra
17071:, 3} tilings while the {
16995:The tilings {p, ∞} have
13782:
13776:
13770:
13767:
13764:
13761:
13758:
13755:
13752:
11977:
9720:is the edge figure, and
8743:Grand stellated 120-cell
8601:Great stellated 120-cell
8175:Small stellated 120-cell
7905:regular star 4-polytopes
7329:Regular hoso-4-topes as
7049:orthographic projections
6997:orthographic projections
4989:Kepler–Poinsot polyhedra
3508:The five convex regular
2027:
26927:Garner, C.W.L. (1967).
26830:10.1112/plms/s2-43.1.33
26243:are dual to each other.
26232:are dual to each other.
19809:Order-6 cubic honeycomb
19667:Square tiling honeycomb
19133:Order-5 cubic honeycomb
17023:Hyperbolic star-tilings
11980:hosotopes and ditopes.
9713:{\displaystyle \{r,s\}}
9629:{\displaystyle \{p,q\}}
7907:, which are called the
6001:{\displaystyle \{q,r\}}
5917:{\displaystyle \{p,q\}}
3458:Hyperbolic plane tiling
3204:3-polytopes (polyhedra)
918:. Regular polygons are
753:{\displaystyle \infty }
695:{\displaystyle \infty }
639:{\displaystyle \infty }
587:{\displaystyle \infty }
535:{\displaystyle \infty }
514:{\displaystyle \infty }
493:{\displaystyle \infty }
472:{\displaystyle \infty }
431:{\displaystyle \infty }
384:{\displaystyle \infty }
363:{\displaystyle \infty }
221:This article lists the
72:Regular (3D) polyhedra
28280:
28238:
28202:
28165:
28122:
28079:
28036:
27351:Regular Star Polytopes
26946:10.4153/CJM-1967-106-9
26818:Proc. London Math. Soc
26780:(2012 Dover edition),
26778:A New Look at Geometry
26248:excavated dodecahedron
26005:Excavated dodecahedron
24557:) honeycombs {p,q,r,s}
18404:apeirogonal hosohedron
18387:
18199:
18011:
17055:= 7, 9, 11, .... The {
13557:Euclidean star-tilings
12567:+ 8 central diagonals
10590:
10454:
10328:
10138:
10113:
10088:
10064:
9898:
9860:
9822:
9758:is the vertex figure.
9752:
9714:
9682:
9662:is the face type, and
9656:
9630:
9598:
9560:
7959:orthogonal projections
7154:Perspective projection
6367:
6317:
6281:
6256:
6231:
6207:
6109:
6059:
6002:
5970:
5944:
5918:
5886:
5771:
5644:Regular skew polyhedra
4861:Pentagonal hosohedron
4369:Pentagonal hosohedron
3469:
3409:Euclidean plane tiling
3121:share no factors then
910:2-polytopes (polygons)
754:
696:
640:
588:
536:
515:
494:
473:
432:
385:
364:
35:Regular (2D) polygons
28720:Uniform 10-honeycomb
28281:
28239:
28203:
28166:
28123:
28080:
28037:
27268:Sommerville, D. M. Y.
26291:Kepler–Poinsot solids
25584:5-orthoplex honeycomb
25371:Tesseractic honeycomb
23934:Tesseractic honeycomb
19062:Icosahedral honeycomb
18952:hyperbolic honeycombs
18385:
18197:
17989:
17114:/2} continue for odd
17079:/2} dual tilings are
11988:A projective regular
10591:
10455:
10329:
10139:
10137:{\displaystyle >1}
10114:
10089:
10087:{\displaystyle <1}
10065:
9899:
9861:
9823:
9784:A regular 5-polytope
9753:
9715:
9683:
9681:{\displaystyle \{s\}}
9657:
9655:{\displaystyle \{p\}}
9631:
9599:
9561:
9175:Great grand 120-cell
8311:Icosahedral 120-cell
6368:
6318:
6316:{\displaystyle \chi }
6282:
6280:{\displaystyle <0}
6257:
6232:
6230:{\displaystyle >0}
6208:
6110:
6060:
6003:
5976:, and vertex figures
5971:
5969:{\displaystyle \{r\}}
5945:
5943:{\displaystyle \{p\}}
5919:
5887:
5772:
4933:Hexagonal hosohedron
4441:Hexagonal hosohedron
4072:{2,n} and their dual
3470:
3198:Clifford displacement
2933:regular skew polygons
755:
697:
641:
589:
537:
516:
495:
474:
433:
386:
365:
109:Regular 4D polytopes
28248:
28212:
28176:
28133:
28090:
28047:
28004:
26458:Guy's Polyhedra Page
25927:(1977) and again by
25467:hypercubic honeycomb
25263:hypercubic honeycomb
24060:(24-cell honeycomb)
24049:(16-cell honeycomb)
17994:, {4,3,4}. A π
17035:are star polygons: {
12032:projective polyhedra
12030:There are 4 regular
10537:
10409:
10283:
10125:
10100:
10075:
9914:
9870:
9832:
9788:
9724:
9692:
9688:is the face figure,
9666:
9640:
9608:
9604:is the 4-face type,
9570:
9526:
8895:Great grand 120-cell
8031:Icosahedral 120-cell
7933:Euler characteristic
6386:Euler characteristic
6327:
6307:
6302:Euler characteristic
6268:
6243:
6218:
6125:
6069:
6031:
5980:
5954:
5928:
5896:
5858:
5686:
4794:Pentagonal dihedron
4717:Trigonal hosohedron
4436:Pentagonal dihedron
4225:Trigonal hosohedron
3522:Euler characteristic
3311:
2059:, there are regular
744:
686:
630:
578:
526:
505:
484:
463:
422:
375:
354:
28680:Uniform 9-honeycomb
28613:Uniform 8-honeycomb
28551:Uniform 7-honeycomb
28496:Uniform 6-honeycomb
28447:Uniform 5-honeycomb
28395:Uniform 4-honeycomb
27979:Fundamental convex
27927:pentagonal polytope
27826:Uniform 10-polytope
27386:Fundamental convex
27299:The Platonic Solids
25886:, {3,5,3}, and the
25502:
25008:
24952:
24905:
24858:
24805:
24740:
24665:
24566:
24381:
24113:
23866:
23818:{∞,∞,6}
23807:{∞,∞,5}
23796:{∞,∞,4}
23785:{∞,∞,3}
23774:{∞,∞,2}
23756:{6,∞,∞}
23683:{5,∞,∞}
23610:{4,∞,∞}
23537:{3,∞,∞}
23464:{2,∞,∞}
23374:{∞,8,∞}
22913:{∞,7,∞}
22450:{∞,6,∞}
21983:{∞,5,∞}
21522:{∞,4,∞}
21047:{∞,3,∞}
20264:
19352:
18960:
18888:
18829:
18078:, the mutetrahedron
17126:= 5, we obtain the
17043:} and their duals {
13640:Poincaré disc model
13212:fundamental domains
13208:Poincaré disk model
13146:, most notably the
12658:-dimensional space.
12274:
12066:
12002:centrally symmetric
8034:(faceted 600-cell)
7949:There are 4 unique
7334:
6382:regular 4-polytopes
5892:have cells of type
5783:, sharing the same
5781:regular 4-polytopes
5236:Great dodecahedron
4993:vertex arrangements
4866:Hexagonal dihedron
4518:
4508:Hexagonal dihedron
4150:Digonal hosohedron
4090:
4058:spherical polyhedra
3477:By enumerating the
3230:, Coxeter diagrams
2561:
2090:(strictly speaking
2050:vertex arrangements
2048:and share the same
31:
28276:
28234:
28198:
28161:
28118:
28075:
28032:
27985:uniform honeycombs
27796:Uniform 9-polytope
27746:Uniform 8-polytope
27696:Uniform 7-polytope
27653:Uniform 6-polytope
27623:Uniform 5-polytope
27583:Uniform polychoron
27546:Uniform polyhedron
27394:in dimensions 2–10
27320:Hecatonicosachoron
26998:David A. Richter.
26857:10.1007/BF01161657
26739:10.1007/BF01836414
26322:Uniform 4-polytope
26316:Regular 4-polytope
26297:Uniform polyhedron
26283:Regular polyhedron
26230:dodecadodecahedron
25972:Dodecadodecahedron
25872:abstract polytopes
25866:Abstract polytopes
25500:
25248:as tessellations)
25236:as tessellations)
25006:
24950:
24903:
24856:
24803:
24738:
24663:
24564:
24379:
24220:120-cell honeycomb
24111:
23864:
20242:
19350:
18958:
18947:hyperbolic 3-space
18886:
18827:
18388:
18200:
18093:, the muoctahedron
18012:
17962:vertex arrangement
17936:. You can help by
17132:great dodecahedron
13588:hyperbolic tilings
13583:hyperbolic 2-space
13577:Hyperbolic tilings
13249:Zig-zag apeirogon
13142:Apeirogons in the
12565:Tesseract skeleton
12272:
12064:
12034:related to 4 of 5
10586:
10450:
10324:
10134:
10112:{\displaystyle =1}
10109:
10084:
10060:
9894:
9856:
9818:
9748:
9710:
9678:
9652:
9636:is the cell type,
9626:
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26591:Coxeter (1973)
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26581:, p. 120.
26579:Coxeter (1973)
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26564:
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26529:, p. 129.
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17120:polyhedra
17081:facetings
17051:/2} with
14615:quadrille
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13724:Platonic)
13720:(improper
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6311:χ
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5039:(sphere)
4541:(sphere)
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4070:hosohedra
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3210:polyhedra
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1059:Symmetry
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509:∞
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358:∞
263:Abstract
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26501:: 1–35,
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26255:See also
25903:faithful
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17067:of the {
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7294:Regular
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7064:envelope
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3534:Schläfli
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3131:) = Dim(
3091:⟩
3065:⟨
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2075:for all
1586:
1584:...p-gon
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29415:3.4.3.8
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29285:Regular
29211:Voronoi
29135:Packing
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