52:
37:
3561:
8984:
3178:
8994:
3556:{\displaystyle {\begin{aligned}F(r)&={1 \over {2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{r}\int _{0}^{2\pi }\rho \left(1+{\rho ^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2-1}d\theta \;d\rho \\&={1 \over {\sigma ^{2}}}\int _{0}^{r}\rho \left(1+{\rho ^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2-1}d\rho \\&=1-\left(1+{r^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2}\end{aligned}}}
2364:
5602:
1066:
932:
3039:
4329:
3886:
2113:
5962:
5430:
2788:
2546:
5851:
3711:
1726:
4198:
4460:
4829:
5016:
5421:
1299:
4569:
5138:
4676:
1166:
magnitude) will be characterized by a
Rayleigh distribution. A second example of the distribution arises in the case of random complex numbers whose real and imaginary components are independently and identically distributed
5322:
1967:
801:
3997:
4108:
945:
7210:
814:
227:
6866:
6962:
2094:
3163:
645:
2873:
731:
7242:
images but most often viewed as magnitude images, the background data is
Rayleigh distributed. Hence, the above formula can be used to estimate the noise variance in an MRI image from background data.
4213:
2359:{\displaystyle F_{X}(x;\sigma )={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr\,d\theta ={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr.}
3748:
1421:
386:
6400:
7124:
5665:
306:
3183:
6633:
6120:
6573:
426:
5863:
5597:{\displaystyle \sigma ={\widehat {\sigma }}{\frac {\Gamma (N){\sqrt {N}}}{\Gamma \left(N+{\frac {1}{2}}\right)}}={\widehat {\sigma }}{\frac {4^{N}N!(N-1)!{\sqrt {N}}}{(2N)!{\sqrt {\pi }}}}}
557:
7032:
6460:
6027:
2646:
2399:
6749:
6686:
5727:
4864:
1822:
476:
6170:
5051:
3740:
2841:
1589:
6266:
6218:
4123:
3576:
4367:
1465:
137:
4691:
91:
1541:
4029:
4880:
4359:
2551:
which is the
Rayleigh distribution. It is straightforward to generalize to vectors of dimension other than 2. There are also generalizations when the components have
6996:
6290:
6050:
5227:
5161:
1510:
1322:
504:
6487:
5207:
3069:
1997:
5339:
1189:
6323:
2634:
7607:
7054:
6710:
4475:
2861:
2608:
2387:
1842:
1769:
1749:
1581:
1561:
5718:
5075:
4584:
5235:
1850:
744:
7642:
3911:
1061:{\displaystyle 1-\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(\operatorname {erfi} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)-i\right)}
4048:
927:{\displaystyle 1+\sigma te^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)+1\right)}
7456:
7129:
150:
6755:
6883:
2005:
3077:
4682:
938:
7771:
8997:
8254:
570:
9023:
8162:
3034:{\displaystyle F(r)={1 \over {2\pi \sigma ^{2}}}\iint _{D_{r}}\left(1+{u^{2}+v^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2-1}du\;dv}
2640:. If the components both have mean zero, equal variance and are independent, the bivariate Student's-t distribution takes the form:
8949:
7491:
4324:{\displaystyle \operatorname {var} (X)=\mu _{2}-\mu _{1}^{2}=\left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)\sigma ^{2}\approx 0.429\ \sigma ^{2}}
658:
8815:
8027:
7786:
7635:
5179:
3881:{\displaystyle \lim _{\nu \rightarrow \infty }\left(1+{r^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2-1}=e^{-r^{2}/2\sigma ^{2}}}
8710:
8474:
1338:
319:
8148:
6351:
2572:
7062:
5606:
1134:
A Rayleigh distribution is often observed when the overall magnitude of a vector in the plane is related to its directional
240:
8469:
8413:
8311:
8073:
7711:
6326:
5668:
8755:
8489:
8342:
8017:
7761:
1086:
8219:
6580:
6067:
5957:{\displaystyle {\frac {{N}{\overline {x^{2}}}}{b}}\leq {\widehat {\sigma ^{2}}}\leq {\frac {{N}{\overline {x^{2}}}}{a}}}
8987:
8659:
8635:
8214:
7628:
7222:
6496:
399:
9018:
8856:
8733:
8694:
8666:
8640:
8558:
8484:
7907:
7655:
7370:
5977:
517:
8844:
8810:
8676:
8671:
8516:
8324:
8022:
7776:
2864:
2783:{\displaystyle f(u,v)={1 \over {2\pi \sigma ^{2}}}\left(1+{u^{2}+v^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2-1}}
2541:{\displaystyle f_{X}(x;\sigma )={\frac {d}{dx}}F_{X}(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},}
1329:
1171:
with equal variance and zero mean. In that case, the absolute value of the complex number is
Rayleigh-distributed.
233:
7001:
6407:
5986:
8594:
8507:
8479:
8388:
8337:
8209:
7992:
7957:
7468:
Sijbers, J.; den Dekker, A. J.; Raman, E.; Van Dyck, D. (1999). "Parameter estimation from magnitude MR images".
5846:{\displaystyle P\left(\chi _{2N}^{2}\leq a\right)=\alpha /2,\quad P\left(\chi _{2N}^{2}\leq b\right)=1-\alpha /2}
2390:
1102:
1721:{\displaystyle f_{U}(x;\sigma )=f_{V}(x;\sigma )={\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}.}
8608:
8525:
8362:
8286:
8109:
7987:
7962:
7826:
7821:
7816:
7362:
6715:
4193:{\displaystyle \operatorname {std} (X)={\sqrt {\left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)}}\sigma \approx 0.655\ \sigma }
6638:
4837:
1774:
439:
8924:
8790:
8498:
8347:
8279:
8264:
8157:
8131:
8063:
7902:
7796:
7791:
7733:
7718:
7309:
6125:
5325:
5164:
5024:
3719:
2796:
1513:
17:
6223:
6175:
3706:{\displaystyle f(r)=F'(r)={r \over {\sigma ^{2}}}\left(1+{r^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2-1}}
51:
36:
8760:
8750:
8441:
8367:
8068:
7927:
3567:
1180:
143:
8820:
4455:{\displaystyle f_{\max }=f(\sigma ;\sigma )={\frac {1}{\sigma }}e^{-1/2}\approx {\frac {0.606}{\sigma }}.}
8805:
8800:
8745:
8681:
8625:
8446:
8433:
8224:
8169:
8121:
7912:
7841:
7706:
2637:
2564:
8939:
8715:
8534:
8316:
8269:
8138:
8114:
8094:
7937:
7811:
7691:
7235:
6053:
4871:
4824:{\displaystyle \varphi (t)=1-\sigma te^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left}
1429:
807:
104:
8944:
8728:
8689:
8563:
8400:
8244:
8189:
8087:
8051:
7922:
7887:
7505:
den Dekker, A. J.; Sijbers, J. (2014). "Data distributions in magnetic resonance images: a review".
8630:
8418:
8184:
8143:
8058:
8012:
7952:
7917:
7806:
7701:
7651:
7482:
7441:
7215:
7057:
6490:
5673:
is the correction factor used to unbias estimates of standard deviation for normal random variables
70:
8929:
8871:
8542:
8329:
8239:
8194:
8179:
7997:
7947:
7942:
7743:
7723:
7299:
7287:
7276:
6877:
5011:{\displaystyle M(t)=1+\sigma t\,e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left}
2104:
1519:
1135:
8099:
4005:
8795:
8783:
8772:
8654:
8550:
8357:
7801:
7781:
7686:
7477:
4341:
8919:
8876:
8720:
8395:
8229:
8126:
7696:
7283:
6981:
6275:
6035:
5416:{\displaystyle {\widehat {\sigma }}\approx {\sqrt {{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}}}
5212:
5146:
1477:
1307:
1294:{\displaystyle f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},\quad x\geq 0,}
489:
97:
62:
8969:
8964:
8959:
8954:
8891:
8861:
8740:
8383:
8274:
7877:
7836:
7831:
7728:
7553:
7401:
6968:
6465:
5329:
5185:
5066:
3902:
3047:
1975:
8174:
4564:{\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0.631}
8:
8903:
8428:
8408:
8378:
8352:
8306:
8234:
8046:
7982:
6978: = 2 yields a Rayleigh distribution. Then the Rayleigh distribution parameter
6298:
6269:
2613:
1168:
1151:
737:
7557:
7405:
8934:
8423:
8204:
8199:
8104:
8041:
8036:
7892:
7882:
7766:
7584:
7541:
7391:
7039:
6695:
6689:
4114:
2846:
2593:
2372:
1827:
1754:
1734:
1566:
1546:
1098:
1074:
7444:
The
Journal of Research of the National Bureau of Standards; Sec. D: Radio Propagation
5691:
5133:{\displaystyle H=1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}
8832:
8259:
8002:
7932:
7897:
7846:
7589:
7571:
7522:
7366:
7358:
7314:
6873:
4671:{\displaystyle \gamma _{2}=-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}\approx 0.245}
4335:
3169:
2556:
2100:
482:
312:
5317:{\displaystyle {\widehat {\sigma ^{2}}}=\!\,{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}
1962:{\displaystyle F_{X}(x;\sigma )=\iint _{D_{x}}f_{U}(u;\sigma )f_{V}(v;\sigma )\,dA,}
796:{\displaystyle 1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}
8007:
7681:
7620:
7579:
7561:
7514:
7487:
7409:
7261:
7250:
6337:
2552:
1163:
1143:
1108:
1094:
7429:
The
Journal of Research of the National Bureau of Standards, Sec. D: Radio Science
3992:{\displaystyle \mu _{j}=\sigma ^{j}2^{j/2}\,\Gamma \left(1+{\frac {j}{2}}\right),}
7566:
7304:
7239:
6972:
4103:{\displaystyle \mu (X)=\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\ \approx 1.253\ \sigma .}
1325:
1090:
651:
8080:
7518:
7413:
5054:
4867:
4032:
392:
7442:
Siddiqui, M. M. (1961) "Some
Problems Connected With Rayleigh Distributions",
7426:
9012:
8703:
8451:
7738:
7575:
7205:{\displaystyle Y={\sqrt {X}}\sim \mathrm {Rayleigh} (1/{\sqrt {2\lambda }}).}
222:{\displaystyle {\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)}}
7593:
7526:
7427:
Siddiqui, M. M. (1964) "Statistical inference for
Rayleigh distributions",
1147:
6861:{\displaystyle \left\sim \Gamma \left(N,{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\right).}
7542:"A mathematical function for the description of nutrient-response curve"
7382:
Röver, C. (2011). "Student-t based filter for robust signal detection".
2389:
is the derivative of its cumulative distribution function, which by the
7272:
6957:{\displaystyle \mathrm {Rayleigh} (\sigma )=\mathrm {Rice} (0,\sigma )}
2089:{\displaystyle D_{x}=\left\{(u,v):{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\leq x\right\}.}
1138:. One example where the Rayleigh distribution naturally arises is when
1078:
7492:
10.1002/(sici)1098-1098(1999)10:2<109::aid-ima2>3.0.co;2-r
3158:{\displaystyle D_{r}=\left\{(u,v):{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\leq r\right\}}
7265:
7246:
6344: = 2 is equivalent to the Rayleigh Distribution with
7253:
4575:
4466:
4204:
1155:
563:
510:
7608:"Rayleigh Probability Distribution Applied to Random Wave Heights"
7396:
7225:
is the three-dimensional equivalent of the
Rayleigh distribution.
640:{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}}
7218:
is the one-dimensional equivalent of the
Rayleigh distribution.
432:
7467:
7257:
7245:
The Rayleigh distribution was also employed in the field of
726:{\displaystyle -{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}}
7268:Ï may be used to calculate nutrient response relationship.
5423:
is a biased estimator that can be corrected via the formula
4039:
1159:
1139:
1123:
1117:
7275:, the Rayleigh distribution is used for calculating the
1416:{\displaystyle F(x;\sigma )=1-e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}
381:{\displaystyle Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {-2\ln(1-F)}}}
7470:
International Journal of Imaging Systems and Technology
6998:
is related to the Weibull scale parameter according to
6395:{\displaystyle R(\sigma )\sim \sigma \chi _{2}^{\,}\ .}
7355:
Probability, Random Variables and Stochastic Processes
7234:
An application of the estimation of Ï can be found in
7119:{\displaystyle X\sim \mathrm {Exponential} (\lambda )}
5660:{\displaystyle ={\frac {\hat {\sigma }}{c_{4}(2N+1)}}}
301:{\displaystyle 1-e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)}}
7132:
7065:
7042:
7004:
6984:
6886:
6758:
6718:
6698:
6641:
6583:
6499:
6468:
6410:
6354:
6301:
6292:
in the above parametrization of the Rayleigh density.
6278:
6226:
6178:
6128:
6070:
6038:
5989:
5866:
5856:
then the scale parameter will fall within the bounds
5730:
5694:
5609:
5433:
5342:
5238:
5215:
5188:
5149:
5078:
5027:
4883:
4840:
4694:
4587:
4478:
4370:
4344:
4216:
4126:
4051:
4008:
3914:
3751:
3722:
3579:
3181:
3080:
3050:
2876:
2849:
2799:
2649:
2616:
2596:
2402:
2375:
2116:
2008:
1978:
1853:
1830:
1777:
1757:
1737:
1592:
1569:
1549:
1522:
1480:
1432:
1341:
1310:
1192:
948:
817:
747:
661:
573:
520:
492:
442:
402:
322:
243:
153:
107:
73:
7650:
2583:
Generalization to bivariate Student's t-distribution
1162:, which is infrequent, then the overall wind speed (
1120:
1114:
1469:
1111:
7204:
7118:
7048:
7026:
6990:
6956:
6860:
6743:
6704:
6680:
6628:{\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}
6627:
6567:
6481:
6454:
6394:
6317:
6284:
6260:
6212:
6164:
6115:{\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}
6114:
6044:
6021:
5956:
5845:
5712:
5659:
5596:
5415:
5316:
5221:
5201:
5155:
5132:
5045:
5010:
4858:
4823:
4670:
4563:
4454:
4353:
4323:
4192:
4102:
4023:
3991:
3880:
3742:, the Rayleigh distribution is recovered because:
3734:
3705:
3555:
3157:
3063:
3033:
2855:
2835:
2782:
2628:
2602:
2540:
2381:
2358:
2088:
1991:
1961:
1836:
1816:
1763:
1743:
1720:
1575:
1555:
1535:
1504:
1459:
1415:
1316:
1293:
1060:
926:
795:
725:
639:
551:
498:
470:
420:
380:
300:
221:
131:
85:
7504:
6272:. This gives motivation to the use of the symbol
5261:
9010:
6568:{\displaystyle \sim \sigma ^{2}\chi _{2}^{2}\ .}
4376:
4042:of a Rayleigh random variable is thus :
3753:
421:{\displaystyle \sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}
7290:approximately follows a Rayleigh distribution.
5980:in the interval (0, 1), then the variate
2369:Finally, the probability density function for
552:{\displaystyle {\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}
7636:
7457:Hogema, Jeroen (2005) "Shot group statistics"
5967:
5688:) confidence interval, first find the bounds
7027:{\displaystyle \lambda =\sigma {\sqrt {2}}.}
6455:{\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)}
6022:{\displaystyle X=\sigma {\sqrt {-2\ln U}}\,}
6032:has a Rayleigh distribution with parameter
4207:of a Rayleigh random variable is :
7643:
7629:
3341:
3024:
7583:
7565:
7481:
7395:
6744:{\displaystyle {\frac {1}{2\sigma ^{2}}}}
6383:
6018:
5262:
4911:
3956:
2346:
2257:
2250:
1949:
1516:, centered at zero, with equal variances
1093:. Up to rescaling, it coincides with the
7353:Papoulis, Athanasios; Pillai, S. (2001)
7337:1888; "The Problem of the Random Walk",
6681:{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}}
6059:
4859:{\displaystyle \operatorname {erfi} (z)}
1817:{\displaystyle X={\sqrt {U^{2}+V^{2}}}.}
471:{\displaystyle \sigma {\sqrt {2\ln(2)}}}
6165:{\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}
5679:
5180:independent and identically distributed
5170:
5060:
5046:{\displaystyle \operatorname {erf} (z)}
3735:{\displaystyle \nu \rightarrow \infty }
3570:(PDF) of the magnitude may be derived:
2836:{\displaystyle R={\sqrt {U^{2}+V^{2}}}}
9011:
7539:
6261:{\displaystyle Y\sim N(0,\sigma ^{2})}
6213:{\displaystyle X\sim N(0,\sigma ^{2})}
7624:
7381:
7238:(MRI). As MRI images are recorded as
6327:standard complex normally distributed
4117:of a Rayleigh random variable is:
1844:has cumulative distribution function
8993:
7349:
7347:
1474:Consider the two-dimensional vector
6052:. This is obtained by applying the
2610:is a random vector with components
1087:continuous probability distribution
13:
7171:
7168:
7165:
7162:
7159:
7156:
7153:
7150:
7103:
7100:
7097:
7094:
7091:
7088:
7085:
7082:
7079:
7076:
7073:
6935:
6932:
6929:
6926:
6909:
6906:
6903:
6900:
6897:
6894:
6891:
6888:
6814:
6612:
6609:
6606:
6603:
6600:
6597:
6594:
6591:
6439:
6436:
6433:
6430:
6427:
6424:
6421:
6418:
6099:
6096:
6093:
6090:
6087:
6084:
6081:
6078:
5476:
5455:
4009:
3957:
3763:
3729:
2573:Hotelling's T-squared distribution
1448:
1146:. Assuming that each component is
1101:. The distribution is named after
123:
14:
9035:
7344:
7279:âa measure of a gun's precision.
5684:To find the (1 −
1460:{\displaystyle x\in [0,\infty ).}
9024:Exponential family distributions
8992:
8983:
8982:
2865:cumulative distribution function
1470:Relation to random vector length
1330:cumulative distribution function
1183:of the Rayleigh distribution is
1107:
132:{\displaystyle x\in [0,\infty )}
50:
48:Cumulative distribution function
35:
7600:
7229:
5785:
2391:fundamental theorem of calculus
1278:
7613:. United States Naval Academy.
7533:
7498:
7461:
7450:
7435:
7420:
7375:
7327:
7223:MaxwellâBoltzmann distribution
7196:
7175:
7113:
7107:
6951:
6939:
6919:
6913:
6880:of the Rayleigh distribution:
6622:
6616:
6528:
6519:
6512:
6500:
6449:
6443:
6364:
6358:
6311:
6303:
6255:
6236:
6207:
6188:
6109:
6103:
5707:
5695:
5651:
5636:
5620:
5578:
5569:
5554:
5542:
5464:
5458:
5040:
5034:
4893:
4887:
4853:
4847:
4704:
4698:
4650:
4637:
4535:
4522:
4517:
4505:
4399:
4387:
4229:
4223:
4139:
4133:
4061:
4055:
4018:
4012:
3760:
3726:
3609:
3603:
3589:
3583:
3195:
3189:
3111:
3099:
2886:
2880:
2665:
2653:
2530:
2514:
2468:
2456:
2425:
2413:
2341:
2325:
2245:
2229:
2139:
2127:
2039:
2027:
1946:
1934:
1921:
1909:
1876:
1864:
1690:
1674:
1643:
1631:
1615:
1603:
1514:bivariate normally distributed
1512:which has components that are
1499:
1487:
1451:
1439:
1408:
1392:
1357:
1345:
1270:
1254:
1208:
1196:
711:
698:
617:
604:
599:
587:
463:
457:
373:
361:
338:
326:
126:
114:
1:
7320:
7310:Rayleigh mixture distribution
3896:
1174:
18:Rayleigh mixture distribution
7567:10.1371/journal.pone.0187292
7540:Ahmadi, Hamed (2017-11-21).
7333:"The Wave Theory of Light",
7264:responses. In this way, the
6493:with 2 degrees of freedom:
5943:
5887:
3568:probability density function
1181:probability density function
86:{\displaystyle \sigma >0}
33:Probability density function
7:
7293:
6122:is Rayleigh distributed if
3172:leads to the CDF becoming:
2867:(CDF) of the magnitude is:
2638:multivariate t-distribution
1536:{\displaystyle \sigma ^{2}}
10:
9040:
8816:Wrapped asymmetric Laplace
7787:Extended negative binomial
7519:10.1016/j.ejmp.2014.05.002
7431:, Vol. 68D, No. 9, p. 1007
7414:10.1103/physrevd.84.122004
7236:magnetic resonance imaging
6054:inverse transform sampling
5968:Generating random variates
5182:Rayleigh random variables
4872:moment generating function
4024:{\displaystyle \Gamma (z)}
15:
8978:
8912:
8870:
8771:
8607:
8585:
8576:
8475:Generalized extreme value
8460:
8295:
8255:Relativistic BreitâWigner
7971:
7868:
7859:
7752:
7672:
7663:
7652:Probability distributions
7446:, Vol. 66D, No. 2, p. 169
6878:noncentral generalization
5165:EulerâMascheroni constant
1328:of the distribution. The
942:
937:
811:
806:
741:
736:
655:
650:
567:
562:
514:
509:
486:
481:
436:
431:
396:
391:
316:
311:
237:
232:
147:
142:
101:
96:
66:
61:
46:
31:
9019:Continuous distributions
7216:half-normal distribution
7058:exponential distribution
6491:chi-squared distribution
6333:is Rayleigh distributed.
4354:{\displaystyle \sigma ,}
3071:is the disk defined by:
1543:, and independent. Then
1142:velocity is analyzed in
23:Probability distribution
16:Not to be confused with
8470:Generalized chi-squared
8414:Normal-inverse Gaussian
7335:Encyclopedic Britannica
7300:Circular error probable
7288:significant wave height
7277:circular error probable
6991:{\displaystyle \sigma }
6285:{\displaystyle \sigma }
6270:normal random variables
6045:{\displaystyle \sigma }
5972:Given a random variate
5222:{\displaystyle \sigma }
5156:{\displaystyle \gamma }
4683:characteristic function
4361:and the maximum pdf is
1583:have density functions
1505:{\displaystyle Y=(U,V)}
1317:{\displaystyle \sigma }
1089:for nonnegative-valued
499:{\displaystyle \sigma }
8782:Univariate (circular)
8343:Generalized hyperbolic
7772:ConwayâMaxwellâPoisson
7762:Beta negative binomial
7286:, the distribution of
7206:
7120:
7050:
7028:
6992:
6958:
6862:
6790:
6745:
6706:
6682:
6662:
6629:
6569:
6483:
6456:
6396:
6319:
6286:
6262:
6214:
6166:
6116:
6046:
6023:
5958:
5847:
5714:
5661:
5598:
5417:
5395:
5318:
5298:
5223:
5203:
5157:
5134:
5047:
5012:
4860:
4825:
4672:
4565:
4456:
4355:
4325:
4194:
4104:
4025:
3993:
3882:
3736:
3707:
3557:
3159:
3065:
3035:
2857:
2837:
2784:
2630:
2604:
2559:), or when the vector
2542:
2383:
2360:
2090:
1993:
1963:
1838:
1818:
1765:
1745:
1722:
1577:
1557:
1537:
1506:
1461:
1417:
1318:
1295:
1062:
928:
797:
727:
641:
553:
500:
472:
422:
382:
302:
223:
133:
87:
8827:Bivariate (spherical)
8325:Kaniadakis Îș-Gaussian
7284:physical oceanography
7207:
7121:
7051:
7029:
6993:
6959:
6863:
6770:
6746:
6707:
6683:
6642:
6630:
6570:
6484:
6482:{\displaystyle R^{2}}
6457:
6397:
6320:
6287:
6263:
6215:
6167:
6117:
6060:Related distributions
6047:
6024:
5959:
5848:
5715:
5662:
5599:
5418:
5375:
5328:estimate and also is
5319:
5278:
5224:
5204:
5202:{\displaystyle x_{i}}
5158:
5135:
5048:
5013:
4861:
4826:
4673:
4566:
4457:
4356:
4326:
4195:
4105:
4026:
3994:
3883:
3737:
3708:
3558:
3160:
3066:
3064:{\displaystyle D_{r}}
3036:
2858:
2838:
2785:
2631:
2605:
2543:
2384:
2361:
2091:
1994:
1992:{\displaystyle D_{x}}
1964:
1839:
1819:
1766:
1746:
1723:
1578:
1558:
1538:
1507:
1462:
1418:
1319:
1296:
1083:Rayleigh distribution
1063:
929:
798:
728:
642:
554:
501:
473:
423:
383:
303:
224:
134:
88:
8892:Dirac delta function
8839:Bivariate (toroidal)
8796:Univariate von Mises
8667:Multivariate Laplace
8559:Shifted log-logistic
7908:Continuous Bernoulli
7130:
7063:
7040:
7002:
6982:
6969:Weibull distribution
6884:
6756:
6716:
6696:
6639:
6581:
6497:
6466:
6408:
6352:
6299:
6276:
6224:
6176:
6126:
6068:
6036:
5987:
5978:uniform distribution
5864:
5728:
5692:
5680:Confidence intervals
5607:
5431:
5340:
5236:
5213:
5186:
5171:Parameter estimation
5147:
5076:
5067:differential entropy
5061:Differential entropy
5025:
4881:
4838:
4692:
4585:
4476:
4368:
4342:
4214:
4124:
4049:
4006:
3912:
3749:
3720:
3577:
3179:
3078:
3048:
2874:
2847:
2843:be the magnitude of
2797:
2647:
2614:
2594:
2400:
2373:
2114:
2006:
1976:
1851:
1828:
1775:
1755:
1735:
1590:
1567:
1547:
1520:
1478:
1430:
1339:
1308:
1190:
1152:normally distributed
946:
815:
745:
659:
571:
518:
490:
440:
400:
320:
241:
151:
105:
71:
8940:Natural exponential
8845:Bivariate von Mises
8811:Wrapped exponential
8677:Multivariate stable
8672:Multivariate normal
7993:Benktander 2nd kind
7988:Benktander 1st kind
7777:Discrete phase-type
7558:2017PLoSO..1287292A
7406:2011PhRvD..84l2004R
6805:
6677:
6558:
6385:
6318:{\displaystyle |z|}
5811:
5756:
5410:
5313:
4262:
3391:
3262:
3244:
2629:{\displaystyle u,v}
2298:
2202:
2187:
28:
8595:Rectified Gaussian
8480:Generalized Pareto
8338:Generalized normal
8210:Matrix-exponential
7202:
7116:
7046:
7024:
6988:
6954:
6858:
6791:
6741:
6702:
6690:gamma distribution
6678:
6663:
6625:
6565:
6544:
6479:
6452:
6392:
6373:
6315:
6282:
6258:
6210:
6162:
6112:
6042:
6019:
5954:
5843:
5794:
5739:
5710:
5657:
5594:
5413:
5396:
5326:maximum likelihood
5314:
5299:
5219:
5199:
5175:Given a sample of
5153:
5130:
5043:
5008:
4856:
4821:
4668:
4561:
4452:
4351:
4321:
4248:
4190:
4115:standard deviation
4100:
4021:
3989:
3878:
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