302:
294:
4152:
4138:
36:
4176:
4164:
1154:
1008:
877:
1631:. This scale factor is defined as the theoretical value of the value obtained by dividing the required scale parameter by the asymptotic value of the statistic. Note that the scale factor depends on the distribution in question.
1732:
needs to be multiplied by approximately 1.2533 to be a consistent estimator for standard deviation. Different factors would be required to estimate the standard deviation if the population did not follow a normal distribution.
1293:
1579:
Special cases of distributions where the scale parameter equals unity may be called "standard" under certain conditions. For example, if the location parameter equals zero and the scale parameter equals one, the
660:
is the cmd for the parametrized family. This modification is necessary in order for the standard deviation of a non-central
Gaussian to be a scale parameter, since otherwise the mean would change when we rescale
1369:
611:
261:
1711:
449:
385:
1728:
for details.) That is, the MAD is not a consistent estimator for the standard deviation of a normal distribution, but 1.4826... MAD is a consistent estimator. Similarly, the
658:
1543:
1023:
757:
1574:
1512:
1426:
1462:
1184:
892:
714:
1492:
679:
511:
491:
765:
3273:
3778:
1216:
3928:
3552:
2193:
1304:
301:
1725:
3326:
1620:
3765:
293:
100:
516:
313:
exists for all values of the complete parameter set, then the density (as a function of the scale parameter only) satisfies
72:
2188:
1888:
2792:
1940:
186:
79:
1652:
3575:
3467:
1381:
297:
Animation showing the effects of a scale parameter on a probability distribution supported on the positive real line.
119:
1798:
4180:
3753:
3627:
1721:
177:
53:
4202:
3811:
3472:
3217:
2588:
2178:
86:
3862:
3074:
2881:
2770:
2728:
57:
17:
2802:
4105:
3064:
1967:
68:
3656:
3605:
3590:
3580:
3449:
3321:
3288:
3114:
3069:
2899:
397:
310:
319:
4168:
4000:
3801:
3725:
3026:
2780:
2449:
1913:
3885:
3857:
3852:
3600:
3359:
3265:
3245:
3153:
2864:
2682:
2165:
2037:
1729:
616:
3617:
3385:
3106:
3031:
2960:
2889:
2809:
2797:
2667:
2655:
2648:
2356:
2077:
1635:
1149:{\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }f(g(x))g'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f_{s}(x)\,dx.}
4100:
3867:
3730:
3415:
3380:
3344:
3129:
2571:
2480:
2439:
2351:
2042:
1881:
1207:
473:, a slightly different definition is often used as follows. If we denote the location parameter by
165:
153:
4009:
3622:
3562:
3499:
3137:
3121:
2859:
2721:
2711:
2561:
2475:
1521:
46:
4047:
3977:
3770:
3707:
3462:
3349:
2346:
2243:
2150:
2029:
1928:
1777:
1762:
279:
1003:{\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{g(-\infty )}^{g(\infty )}f(x)\,dx.}
719:
4072:
4014:
3957:
3783:
3676:
3585:
3311:
3195:
3054:
3046:
2936:
2928:
2743:
2639:
2617:
2576:
2541:
2508:
2454:
2429:
2384:
2323:
2283:
2085:
1908:
1757:
1559:
1497:
1391:
93:
1825:
3995:
3570:
3519:
3495:
3457:
3375:
3354:
3306:
3185:
3163:
3132:
3041:
2918:
2869:
2787:
2760:
2716:
2672:
2434:
2210:
2090:
1624:
1431:
1162:
692:
1477:
8:
4142:
4067:
3990:
3671:
3435:
3428:
3390:
3298:
3278:
3250:
2983:
2849:
2844:
2834:
2826:
2644:
2605:
2495:
2485:
2394:
2173:
2129:
2047:
1972:
1874:
1747:
1643:
1589:
1581:
1468:
145:
4156:
3967:
3821:
3717:
3666:
3542:
3439:
3423:
3400:
3177:
2911:
2894:
2854:
2765:
2660:
2622:
2593:
2553:
2513:
2459:
2376:
2062:
2057:
1752:
1639:
1553:
1472:
1385:
872:{\displaystyle f_{s}(x)=f\left({\frac {x}{s}}\right)\cdot {\frac {1}{s}}=f(g(x))g'(x).}
664:
496:
476:
470:
133:
4151:
4062:
4032:
4024:
3844:
3835:
3760:
3691:
3547:
3532:
3507:
3395:
3336:
3202:
3190:
2816:
2733:
2677:
2600:
2444:
2366:
2145:
2019:
1717:
1014:
149:
4087:
4042:
3806:
3793:
3686:
3661:
3595:
3527:
3405:
3013:
2906:
2839:
2752:
2699:
2518:
2389:
2183:
2067:
1982:
1949:
1742:
1627:
for the scale parameter, one must in general multiply the statistic by a constant
305:
Effect of a scale parameter over a mixture of two normal probability distributions
4004:
3748:
3610:
3537:
3212:
3086:
3059:
3036:
3005:
2632:
2581:
2311:
1962:
1772:
3494:
3953:
3948:
2411:
2341:
1987:
4196:
4110:
4077:
3940:
3901:
3712:
3681:
3145:
3099:
2704:
2406:
2233:
1997:
1992:
1767:
1514:. In practice the normal distribution is often parameterized in terms of the
275:
4052:
3985:
3962:
3877:
3207:
2503:
2401:
2336:
2278:
2263:
2200:
2155:
1628:
4095:
4057:
3740:
3641:
3503:
3316:
3283:
2775:
2692:
2687:
2331:
2288:
2268:
2248:
2238:
2007:
156:. The larger the scale parameter, the more spread out the distribution.
2941:
2421:
2121:
2052:
2002:
1977:
1897:
137:
1288:{\displaystyle f(x;\beta )={\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta },\;x\geq 0}
3094:
2946:
2566:
2361:
2273:
2258:
2253:
2218:
1605:
A statistic can be used to estimate a scale parameter so long as it:
455:
35:
2610:
2228:
2105:
2100:
2095:
1546:
4115:
3816:
681:. However, this alternative definition is not consistently used.
4037:
3018:
2992:
2972:
2223:
2014:
1364:{\displaystyle f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x},\;x\geq 0.}
394:
is the density of a standardized version of the density, i.e.
1866:
286:
is large, then the distribution will be more spread out; if
1957:
1854:
Mood, A. M.; Graybill, F. A.; Boes, D. C. (1974). "VII.6.2
886:
is a probability density function, it integrates to unity:
1556:
is usually parameterized in terms of a scale parameter
1298:
could equivalently be written with rate parameter Îť as
606:{\displaystyle F(x;s,m,\theta )=F((x-m)/s;1,0,\theta )}
1655:
1562:
1524:
1500:
1480:
1434:
1394:
1307:
1219:
1165:
1026:
895:
768:
722:
695:
667:
619:
519:
499:
479:
400:
322:
189:
3779:
Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH)
464:
60:. Unsourced material may be challenged and removed.
3241:
1705:
1568:
1537:
1506:
1486:
1456:
1420:
1363:
1287:
1178:
1148:
1002:
871:
751:
708:
673:
652:
605:
505:
485:
443:
379:
256:{\displaystyle F(x;s,\theta )=F(x/s;1,\theta ),\!}
255:
1623:satisfy these. In order to make the statistic a
376:
252:
4194:
1853:
1706:{\displaystyle 1/\Phi ^{-1}(3/4)\approx 1.4826,}
1210:with scale parameter β and probability density
3327:Multivariate adaptive regression splines (MARS)
469:In the case where a parametrized family has a
1882:
1724:) for the standard normal distribution. (See
1612:Scales linearly with the scale parameter, and
290:is small then it will be more concentrated.
1927:
1889:
1875:
1351:
1275:
1202:"), which is simply the reciprocal of the
2540:
1796:
1136:
1089:
990:
932:
120:Learn how and when to remove this message
1860:Introduction to the theory of statistics
300:
292:
684:
14:
4195:
3853:KaplanâMeier estimator (product limit)
1862:(3rd ed.). New York: McGraw-Hill.
3926:
3493:
3240:
2539:
2309:
1926:
1870:
1646:, one must multiply it by the factor
1194:Some families of distributions use a
444:{\displaystyle f(x)\equiv f_{s=1}(x)}
282:of the probability distribution. If
4163:
3863:Accelerated failure time (AFT) model
380:{\displaystyle f_{s}(x)=f(x/s)/s,\!}
58:adding citations to reliable sources
29:
4175:
3458:Analysis of variance (ANOVA, anova)
2310:
1797:Prokhorov, A.V. (7 February 2011).
1615:Converges as the sample size grows.
1017:of integral calculus, we then have
24:
3553:CochranâMantelâHaenszel statistics
2179:Pearson product-moment correlation
1847:
1665:
1634:For instance, in order to use the
1621:measures of statistical dispersion
1112:
1107:
1046:
1041:
970:
956:
915:
910:
458:of a scale parameter is called an
274:, since its value determines the "
168:is such that there is a parameter
25:
4214:
1830:KTH Royal Institute of Technology
1823:
1189:
465:Families with Location Parameters
4174:
4162:
4150:
4137:
4136:
3927:
1722:cumulative distribution function
653:{\displaystyle F(x,s,m,\theta )}
178:cumulative distribution function
34:
3812:Least-squares spectral analysis
45:needs additional citations for
2793:Mean-unbiased minimum-variance
1896:
1817:
1790:
1691:
1677:
1450:
1436:
1407:
1395:
1323:
1311:
1235:
1223:
1133:
1127:
1086:
1080:
1069:
1066:
1060:
1054:
987:
981:
973:
967:
959:
950:
929:
923:
863:
857:
846:
843:
837:
831:
785:
779:
732:
726:
647:
623:
600:
571:
559:
556:
547:
523:
438:
432:
410:
404:
362:
348:
339:
333:
246:
220:
211:
193:
13:
1:
4106:Geographic information system
3322:Simultaneous equations models
1783:
1600:
1588:normal distribution, and the
1186:is also properly normalized.
493:, and the scale parameter by
159:
3289:Coefficient of determination
2900:Uniformly most powerful test
1384:can be parameterized with a
7:
3858:Proportional hazards models
3802:Spectral density estimation
3784:Vector autoregression (VAR)
3218:Maximum posterior estimator
2450:Randomized controlled trial
1803:Encyclopedia of Mathematics
1736:
1545:, which corresponds to the
1538:{\displaystyle \sigma ^{2}}
1374:
10:
4219:
3618:Multivariate distributions
2038:Average absolute deviation
1730:average absolute deviation
4132:
4086:
4023:
3976:
3939:
3935:
3922:
3894:
3876:
3843:
3834:
3792:
3739:
3700:
3649:
3640:
3606:Structural equation model
3561:
3518:
3514:
3489:
3448:
3414:
3368:
3335:
3297:
3264:
3260:
3236:
3176:
3085:
3004:
2968:
2959:
2942:Score/Lagrange multiplier
2927:
2880:
2825:
2751:
2742:
2552:
2548:
2535:
2494:
2468:
2420:
2375:
2357:Sample size determination
2322:
2318:
2305:
2209:
2164:
2138:
2120:
2076:
2028:
1948:
1939:
1935:
1922:
1904:
1636:median absolute deviation
166:probability distributions
154:probability distributions
4101:Environmental statistics
3623:Elliptical distributions
3416:Generalized linear model
3345:Simple linear regression
3115:HodgesâLehmann estimator
2572:Probability distribution
2481:Stochastic approximation
2043:Coefficient of variation
1208:exponential distribution
752:{\displaystyle g(x)=x/s}
3761:Cross-correlation (XCF)
3369:Non-standard predictors
2803:LehmannâScheffĂŠ theorem
2476:Adaptive clinical trial
1569:{\displaystyle \theta }
1507:{\displaystyle \sigma }
1421:{\displaystyle (a+b)/2}
1200:inverse scale parameter
513:, then we require that
4203:Statistical parameters
4157:Mathematics portal
3978:Engineering statistics
3886:NelsonâAalen estimator
3463:Analysis of covariance
3350:Ordinary least squares
3274:Pearson product-moment
2678:Statistical functional
2589:Empirical distribution
2422:Controlled experiments
2151:Frequency distribution
1929:Descriptive statistics
1778:Statistical dispersion
1763:Mean-preserving spread
1707:
1638:(MAD) to estimate the
1609:Is location-invariant,
1570:
1539:
1508:
1494:and a scale parameter
1488:
1471:has two parameters: a
1458:
1428:and a scale parameter
1422:
1365:
1289:
1206:. So for example the
1180:
1150:
1004:
873:
753:
710:
675:
654:
607:
507:
487:
445:
381:
306:
298:
280:statistical dispersion
257:
172:(and other parameters
4073:Population statistics
4015:System identification
3749:Autocorrelation (ACF)
3677:Exponential smoothing
3591:Discriminant analysis
3586:Canonical correlation
3450:Partition of variance
3312:Regression validation
3156:(JonckheereâTerpstra)
3055:Likelihood-ratio test
2744:Frequentist inference
2656:Locationâscale family
2577:Sampling distribution
2542:Statistical inference
2509:Cross-sectional study
2496:Observational studies
2455:Randomized experiment
2284:Stem-and-leaf display
2086:Central limit theorem
1758:Location-scale family
1708:
1571:
1540:
1509:
1489:
1459:
1457:{\displaystyle |b-a|}
1423:
1366:
1290:
1181:
1179:{\displaystyle f_{s}}
1151:
1005:
874:
754:
711:
709:{\displaystyle f_{s}}
676:
655:
608:
508:
488:
446:
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304:
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