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2651:
818:
2729:
2746:
825:(1975). Consequently, under the additional assumption that the carrier space is locally compact, their distribution is given by the probabilities
369:{\displaystyle h(K_{1},K_{2}):=\max \left\{\sup _{a\in K_{1}}\inf _{b\in K_{2}}d(a,b),\sup _{b\in K_{2}}\inf _{a\in K_{1}}d(a,b)\right\}.}
1025:
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2483:
907:(The distribution of Đ° random compact convex set is also given by the system of all inclusion probabilities
2602:
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414:
is also Đ° complete separable metric space. The corresponding open subsets generate a
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2010:
2005:
2091:
1950:
1891:
1084:{\displaystyle \mathbb {P} (x\in X)=1-\mathbb {P} (x\not \in X).}
32:. Random compact sets are useful in the study of attractors for
1689:
639:
Put another way, a random compact set is a measurable function
629:{\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathcal {B}}({\mathcal {K}}))}
1245:
can also be interpreted as the mean of the indicator function
773:{\displaystyle \omega \mapsto \inf _{b\in K(\omega )}d(x,b)}
1338:{\displaystyle p_{X}(x)=\mathbb {E} \mathbf {1} _{X}(x).}
1815:
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1701:
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102:
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864:{\displaystyle \mathbb {P} (X\cap K=\emptyset )}
728:
318:
295:
251:
228:
219:
1881:. John Wiley & Sons, Chichester, New York.
475:{\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}
1907:
1802:{\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}}
1179:{\displaystyle p_{X}(x)=\mathbb {P} (x\in X)}
2652:RieszâMarkovâKakutani representation theorem
969:
963:
1348:The covering function takes values between
817:Random compact sets in this sense are also
2747:Vitale's random BrunnâMinkowski inequality
1914:
1900:
1307:
1157:
1059:
1030:
990:
940:{\displaystyle \mathbb {P} (X\subset K).}
915:
836:
566:
110:denote the set of all compact subsets of
1879:Fractals, Random Shapes and Point Fields
1692:random compact sets, then almost surely
671:{\displaystyle K\colon \Omega \to 2^{M}}
2800:
1895:
2760:Applications & related
1012:{\displaystyle \mathbb {P} (x\in X)}
897:{\displaystyle K\in {\mathcal {K}}.}
1681:{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }
783:is a measurable function for every
13:
1921:
1784:
1718:
886:
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652:
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407:{\displaystyle ({\mathcal {K}},h)}
390:
159:
95:
14:
2824:
1851:Random Sets and Integral Geometry
2689:Lebesgue differentiation theorem
2570:Carathéodory's extension theorem
1853:. J.Wiley & Sons, New York.
1313:
1267:{\displaystyle \mathbf {1} _{X}}
1254:
1877:Stoyan D., and H.Stoyan (1994)
1825:
1819:
1745:
1739:
1629:
1623:
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1577:
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167:{\displaystyle {\mathcal {K}}}
103:{\displaystyle {\mathcal {K}}}
63:
51:
1:
1843:
1476:{\displaystyle p_{X}(x)>0}
1019:is obtained, which satisfies
812:
39:
7:
2742:PrĂ©kopaâLeindler inequality
1809:converges almost surely to
10:
2829:
2684:Lebesgue's density theorem
1595:{\displaystyle p_{X}(x)=1}
700:{\displaystyle K(\omega )}
2759:
2737:MinkowskiâSteiner formula
2707:
2667:
2660:
2560:
2552:Projection-valued measure
2453:
2346:
2115:
1988:
1929:
1865:The Theory of Random Sets
2808:Random dynamical systems
2720:Isoperimetric inequality
2699:VitaliâHahnâSaks theorem
2028:Carathéodory's criterion
34:random dynamical systems
2725:BrunnâMinkowski theorem
2594:Decomposition theorems
1867:. Springer, New York.
1208:{\displaystyle x\in M.}
975:{\displaystyle K=\{x\}}
130:. The Hausdorff metric
2813:Statistical randomness
2772:Descriptive set theory
2672:Disintegration theorem
2107:Universally measurable
1835:
1803:
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1362:
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802:{\displaystyle x\in M}
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124:
104:
70:
2574:Convergence theorems
2033:Cylindrical Ï-algebra
1863:Molchanov, I. (2005)
1836:
1834:{\displaystyle e(X).}
1804:
1768:
1753:
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1117:{\displaystyle p_{X}}
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105:
71:
69:{\displaystyle (M,d)}
2642:Minkowski inequality
2516:Cylinder set measure
2401:Infinite-dimensional
2016:equivalence relation
1946:Lebesgue integration
1849:Matheron, G. (1975)
1813:
1765:
1699:
1646:
1635:{\displaystyle e(X)}
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114:
90:
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2637:Hölder's inequality
2499:of random variables
2461:Measurable function
2348:Particular measures
1937:Absolute continuity
1688:, is Đ° sequence of
515:measurable function
444:Borel sigma algebra
2777:Probability theory
2102:Transverse measure
2080:Non-measurable set
2062:Locally measurable
1831:
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1748:
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1009:
982:, the probability
972:
937:
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861:
819:random closed sets
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526:
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100:
66:
22:random compact set
2795:
2794:
2755:
2754:
2484:almost everywhere
2430:Spherical measure
2328:Strictly positive
2256:Projection-valued
1996:Almost everywhere
1969:Probability space
1612:essential minimum
1500:{\displaystyle X}
1381:{\displaystyle 1}
1361:{\displaystyle 0}
1096:covering function
727:
538:probability space
529:{\displaystyle K}
317:
294:
250:
227:
143:{\displaystyle h}
123:{\displaystyle M}
24:is essentially a
2820:
2730:Milman's reverse
2713:
2711:Lebesgue measure
2665:
2664:
2069:
2055:infimum/supremum
1976:Measurable space
1916:
1909:
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1892:
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1687:
1685:
1684:
1679:
1671:
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1658:
1657:
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1639:
1638:
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1575:
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