7615:
4501:
2587:
2309:
724:
2709:
4755:
4966:
5054:
5134:(POVM), where the need for the orthogonality implied by projection operators is replaced by the idea of a set of operators that are a non-orthogonal partition of unity. This generalization is motivated by applications to
1553:
3870:
3765:
1668:
3219:
819:
2943:
4385:
1917:
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2119:
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3949:
2865:
2188:
3511:
1854:
1324:
1166:
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559:
2374:
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7651:
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6737:
1486:
7340:
7637:
3776:
7167:
5407:
Spectral Theory and
Quantum Mechanics Mathematical Foundations of Quantum Theories, Symmetries and Introduction to the Algebraic Formulation
3703:
6759:
1607:
3153:
7330:
53:, except that its values are self-adjoint projections rather than real numbers. As in the case of ordinary measures, it is possible to
6742:
6515:
3697:
taking values in the projections of a separable
Hilbert space is an orthogonal direct sum of homogeneous projection-valued measures:
72:
6764:
7457:
7312:
5750:
5609:
76:
734:
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7288:
7089:
6752:
348:
6982:
4496:{\displaystyle P_{\pi }(\varphi )(E)=\langle \varphi \mid \pi (E)(\varphi )\rangle =\langle \varphi |\pi (E)|\varphi \rangle .}
2873:
6265:
7948:
6835:
6633:
6096:
5563:
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7269:
7160:
6987:
3881:
2834:
2582:{\displaystyle \langle T\xi \mid \xi \rangle =\int _{X}f(\lambda )\,d\mu _{\xi }(\lambda ),\quad \forall \xi \in H.}
2157:
7539:
6805:
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6384:
5131:
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7943:
7851:
7355:
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3115:
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384:
7926:
7855:
7600:
7554:
7478:
7360:
7109:
7007:
6887:
6325:
6293:
6283:
6204:
6171:
5802:
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5135:
1565:
824:
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7997:
7910:
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6977:
6795:
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84:
54:
6332:
4310:
2008:
8079:
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7664:
7447:
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6706:
6696:
6577:
6501:
6415:
5861:
5792:
4010:
2304:{\displaystyle \int _{E}f\,d\mu _{\phi ,\psi }=\int _{0}^{1}f(x)\psi (x){\overline {\phi }}(x)\,dx}
1966:
1329:
39:
5728:
719:{\displaystyle \pi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\right)v=\sum _{j=1}^{\infty }\pi (E_{j})v.}
8069:
8033:
7544:
7320:
7069:
7044:
6862:
6851:
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5942:
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57:
3028:
2717:
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454:
7936:
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7683:
7575:
7519:
7483:
6920:
6910:
6905:
6613:
6467:
6367:
6189:
5911:
5757:
419:
4665:
4622:
4582:
4362:
4266:
4202:
4070:
3227:
3085:
2992:
2455:
7825:
7755:
7678:
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7282:
6665:
6028:
5981:
5976:
5971:
5813:
5696:
5654:
4556:
4529:
3022:
2036:
1598:
1179:
1107:
354:
321:
100:
50:
7743:
7278:
5324:
Ashtekar, Abhay; Schilling, Troy A. (1999). "Geometrical
Formulation of Quantum Mechanics".
5253:
1757:
1433:
584:
16:
Mathematical operator-value measure of interest in quantum mechanics and functional analysis
7953:
7867:
7808:
7700:
7558:
7079:
7058:
6972:
6857:
6820:
6337:
6303:
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5921:
5876:
5718:
5641:
5551:
5410:
2753:
1928:
1371:
1208:
903:
876:
152:
7145:
5062:
4833:
4786:
4116:
2704:{\displaystyle \mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \xi \rangle ,\quad \forall E\in M.}
1680:
254:
8:
7989:
7979:
7862:
7777:
7524:
7462:
7176:
6882:
6618:
6320:
6310:
6156:
6120:
5946:
5675:
5632:
4199:
the 2-point set "true" and "false" for the truth-value of an arbitrary proposition about
2392:
1674:
1169:
92:
24:
8043:
7629:
5998:
5544:
5414:
4750:{\displaystyle P_{\pi }(\varphi ):E\mapsto \langle \varphi \mid \pi (E)\varphi \rangle }
7905:
7760:
7549:
7416:
7012:
6941:
6872:
6716:
6678:
6472:
6232:
6217:
5916:
5797:
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5503:
5329:
5105:
5082:
4873:
4853:
4813:
4763:
4642:
4602:
4562:
4509:
4342:
4290:
4246:
4226:
4144:
4093:
4046:
3988:
3968:
3558:
Hilbert space, there is a Borel measure Ό and a Ό-measurable family of
Hilbert spaces {
3247:
3061:
2962:
2803:
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2763:
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1235:
564:
478:
298:
274:
231:
211:
188:
122:
3656:
The measure class of Ό and the measure equivalence class of the multiplicity function
7529:
7119:
7094:
6779:
6701:
6389:
6125:
6086:
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5988:
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5691:
5664:
5569:
5559:
5525:
5515:
5489:
5470:
5446:
5436:
5418:
5384:
5365:
5347:
2388:
496:
88:
5541:
Mathematical
Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators
4961:{\displaystyle A(\varphi )=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\pi (\lambda )(\varphi ),}
87:
for self-adjoint operators is constructed using integrals with respect to PVMs. In
8048:
7895:
7885:
7787:
7748:
7534:
7452:
7421:
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6673:
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6552:
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6091:
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6066:
6051:
6018:
6013:
6003:
5881:
5856:
5671:
5514:. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer.
5339:
5147:
3079:
2450:
182:
7213:
8023:
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7890:
7715:
7710:
7396:
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7298:
7293:
7264:
7099:
7084:
6992:
6955:
6951:
6915:
6877:
6815:
6800:
6769:
6711:
6670:
6657:
6582:
6524:
6493:
6482:
6462:
6237:
6135:
6130:
6108:
5966:
5931:
5851:
5745:
5458:
3669:
completely characterize the projection-valued measure up to unitary equivalence.
3273:
2980:
1559:
1457:
140:
68:
61:
7223:
5343:
8038:
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7049:
7028:
6946:
6936:
6747:
6654:
6587:
6547:
6372:
6227:
6222:
6033:
6008:
5961:
5891:
5871:
5831:
5821:
5618:
5049:{\displaystyle A(\varphi )=\sum _{i}\lambda _{i}\pi ({\lambda _{i}})(\varphi )}
3437:
2983:
143:
104:
35:) is a function defined on certain subsets of a fixed set and whose values are
3965:
In quantum mechanics, given a projection-valued measure of a measurable space
8063:
8027:
7803:
7695:
7690:
7590:
7514:
7243:
7228:
7218:
6477:
6140:
6061:
6056:
5956:
5926:
5896:
5846:
5841:
5836:
5826:
5740:
5659:
5573:
5536:
5529:
5450:
5435:. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press.
4284:
4110:
is the value space for some quantum property of the system (an "observable"),
2986:
2620:
2380:
146:
43:
7974:
7829:
7580:
7233:
7203:
6867:
6721:
6662:
6071:
5993:
5733:
1548:{\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \eta \rangle }
36:
5770:
7509:
7499:
7406:
7208:
7064:
6649:
5936:
5462:
3272:
First we provide a general example of projection-valued measure based on
1698:
47:
20:
3865:{\displaystyle H_{n}=\int _{X_{n}}^{\oplus }H_{x}\ d(\mu \mid X_{n})(x)}
7725:
7442:
7274:
6557:
5780:
4134:
1046:
108:
5334:
6542:
6528:
5762:
5706:
5701:
5488:. Boston, Mass.: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics.
4196:
a discrete set (for angular momentum, energy of a bound state, etc.),
3760:{\displaystyle \pi =\bigoplus _{1\leq n\leq \omega }(\pi \mid H_{n})}
3110:
2391:. This map extends in a canonical way to all bounded complex-valued
472:
206:
1663:{\displaystyle \mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \xi \rangle }
7877:
7129:
7074:
5787:
5646:
4783:
A measurement that can be performed by a projection-valued measure
1953:
5467:
Methods of Modern
Mathematical Physics: Vol 1: Functional analysis
5301:
3214:{\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,d\pi ^{A}(\lambda ),}
5587:
3303:
be a Ό-measurable family of separable
Hilbert spaces. For every
2867:
is a measurable function, then a unique measure exists such that
2827:
for such operators and then pass to measurable functions via the
5122:
is called the observable associated with the spectral measure.
2760:
The theorem is also correct for unbounded measurable functions
5130:
The idea of a projection-valued measure is generalized by the
3985:
to the space of continuous endomorphisms upon a
Hilbert space
60:
with respect to a PVM; the result of such an integration is a
46:. A projection-valued measure (PVM) is formally similar to a
4780:
making the values of the observable into a random variable.
3683:
if and only if the multiplicity function has constant value
814:{\displaystyle \pi (E_{1}\cap E_{2})=\pi (E_{1})\pi (E_{2})}
7734:
Differentiable vectorâvalued functions from
Euclidean space
7175:
5265:
2314:
96:
3082:
says that there exists a unique projection-valued measure
2800:
will be an unbounded linear operator on the
Hilbert space
67:
Projection-valued measures are used to express results in
7659:
4339:. The probability that the observable takes its value in
2938:{\displaystyle g(T):=\int _{\mathbb {R} }g(x)\,d\pi (x).}
79:, in which case the PVM is sometimes referred to as the
5277:
5194:
5235:
5233:
2323:
is a projection-valued measure on a measurable space (
5545:
https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/
5108:
5085:
5065:
4980:
4899:
4876:
4856:
4836:
4830:
is the real number line, there exists, associated to
4816:
4789:
4766:
4691:
4668:
4645:
4625:
4605:
4599:
for which the value of the observable always lies in
4585:
4565:
4532:
4512:
4506:
We can parse this in two ways. First, for each fixed
4388:
4365:
4345:
4313:
4293:
4269:
4249:
4229:
4205:
4170:
4147:
4119:
4096:
4073:
4049:
4018:
3991:
3971:
3884:
3779:
3706:
3596:
3461:
3334:
3250:
3230:
3156:
3118:
3088:
3064:
3031:
2995:
2965:
2876:
2837:
2806:
2786:
2766:
2720:
2632:
2598:
2493:
2458:
2435:
2415:
2340:
2199:
2160:
2127:
2077:
2039:
2011:
2005:
defines a projection-valued measure. For example, if
1969:
1931:
1912:{\displaystyle \psi \mapsto \pi (E)\psi =1_{E}\psi ,}
1868:
1789:
1760:
1713:
1683:
1610:
1568:
1489:
1466:
1436:
1404:
1374:
1332:
1281:
1258:
1238:
1211:
1182:
1115:
1058:
1015:
979:
933:
906:
879:
827:
737:
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567:
508:
481:
457:
422:
387:
357:
324:
301:
277:
257:
234:
214:
191:
155:
125:
5556:
Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels
5364:. Providence (R.I.): American mathematical society.
4639:
for which the value of the observable never lies in
3224:
where the integral extends to an unbounded function
5383:. New York: Springer Science & Business Media.
5289:
5230:
5206:
5170:
3954:
3646:{\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}
3384:{\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}
2387:. In fact, it is easy to check that this map is a
7505:Spectral theory of ordinary differential equations
7105:Spectral theory of ordinary differential equations
6523:
5218:
5182:
5114:
5091:
5071:
5048:
4960:
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4862:
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4822:
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4035:
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2421:
2368:
2303:
2182:
2146:
2114:{\displaystyle \phi ,\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}
2113:
2063:
2025:
1997:
1944:
1911:
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1737:
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1318:
1264:
1244:
1224:
1197:
1160:
1099:{\displaystyle V_{E}=\operatorname {im} (\pi (E))}
1098:
1037:
1001:
965:
919:
892:
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553:
487:
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372:
339:
307:
283:
263:
240:
220:
197:
173:
131:
7003:SchröderâBernstein theorems for operator algebras
5430:
5323:
5307:
8061:
4193:(for position or momentum in three dimensions ),
4662:Second, for each fixed normalized vector state
2379:extends to a linear map on the vector space of
5431:Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011).
3944:{\displaystyle X_{n}=\{x\in X:\dim H_{x}=n\}.}
3581:is unitarily equivalent to multiplication by 1
2860:{\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }
2183:{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
7645:
7161:
6509:
5603:
5502:
2955:Self-adjoint operator § Spectral theorem
2121:there is then the associated complex measure
6348:RieszâMarkovâKakutani representation theorem
4744:
4720:
4487:
4456:
4450:
4420:
4320:
4314:
3935:
3898:
3506:{\displaystyle \pi (E)=U^{*}\rho (E)U\quad }
2829:RieszâMarkovâKakutani representation theorem
2679:
2655:
2509:
2494:
1849:{\displaystyle \pi (E):L^{2}(X)\to L^{2}(X)}
1657:
1633:
1584:
1578:
1575:
1569:
1542:
1518:
1319:{\displaystyle H=V_{E}\oplus V_{E}^{\perp }}
1161:{\displaystyle V_{E}^{\perp }=\ker(\pi (E))}
873:The second and fourth property show that if
5399:The Theory of Unitary Group Representations
3542:, then for every projection-valued measure
91:, PVMs are the mathematical description of
7652:
7638:
7168:
7154:
6516:
6502:
6443:Vitale's random BrunnâMinkowski inequality
5610:
5596:
966:{\displaystyle E_{1}\cap E_{2}=\emptyset }
5457:
5333:
5283:
5271:
5200:
4930:
4921:
4173:
3413:, Ï are projection-valued measures on (
3185:
2916:
2898:
2853:
2845:
2537:
2294:
2213:
2176:
2168:
2104:
2019:
554:{\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\dotsc }
7949:No infinite-dimensional Lebesgue measure
7458:Group algebra of a locally compact group
5251:
4619:, and whose 0-eigenspace are the states
3554:) taking values in the projections of a
3319:) be the operator of multiplication by 1
2369:{\displaystyle \chi _{E}\mapsto \pi (E)}
2315:Extensions of projection-valued measures
7959:Structure theorem for Gaussian measures
5404:
5401:, The University of Chicago Press, 1976
4307:, so that its Hilbert norm is unitary,
4063:is interpreted as the set of possible (
8062:
5550:
5547:, American Mathematical Society, 2009.
5359:
5261:, ETH ZĂŒrich lecture notes, p. 50
5239:
5176:
4161:is the real line, but it may also be
1456:the projection-valued measure forms a
7835:infinite-dimensional Gaussian measure
7633:
7149:
6836:Spectral theory of normal C*-algebras
6634:Spectral theory of normal C*-algebras
6497:
5591:
5558:. Mineola, N.Y.: Dover Publications.
5483:
5212:
5158:Spectral theory of normal C*-algebras
3961:Expectation value (quantum mechanics)
315:satisfying the following properties:
7706:Infinite-dimensional vector function
6831:Spectral theory of compact operators
6456:Applications & related
5378:
5295:
5224:
5188:
5153:Spectral theory of compact operators
3421:) with values in the projections of
5328:. New York, NY: Springer New York.
4133:expresses the probability that the
3398:is a projection-valued measure on (
3267:
3140:{\displaystyle E\subset \sigma (A)}
2948:
1368:is the unique identity operator on
13:
6983:CohenâHewitt factorization theorem
5617:
5125:
4579:whose 1-eigenspace are the states
2686:
2564:
2154:which takes a measurable function
2147:{\displaystyle \mu _{\phi ,\psi }}
960:
686:
644:
458:
409:{\displaystyle \pi (\emptyset )=0}
394:
14:
8091:
7773:Generalizations of the derivative
7739:Differentiation in Fréchet spaces
6988:Extensions of symmetric operators
5381:Quantum Theory for Mathematicians
5255:Spectral theory in Hilbert spaces
3693:. Any projection-valued measure
3284:, Ό) is a measure space and let {
1590:{\displaystyle \|\xi \|\|\eta \|}
863:{\displaystyle E_{1},E_{2}\in M.}
99:(POVMs) in the same sense that a
97:positive operator valued measures
7614:
7613:
7540:Topological quantum field theory
6806:Positive operator-valued measure
6385:Lebesgue differentiation theorem
6266:Carathéodory's extension theorem
5132:positive operator-valued measure
4186:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
4020:
3955:Application in quantum mechanics
1395:satisfying all four properties.
8008:Holomorphic functional calculus
7090:RayleighâFaberâKrahn inequality
4036:{\displaystyle \mathbf {P} (H)}
3502:
2685:
2563:
2409:For any bounded Borel function
1922:i.e., as multiplication by the
1423:{\displaystyle \xi ,\eta \in H}
8003:Continuous functional calculus
5245:
5043:
5037:
5034:
5019:
4990:
4984:
4952:
4946:
4943:
4937:
4909:
4903:
4738:
4732:
4717:
4708:
4702:
4542:
4536:
4480:
4476:
4470:
4463:
4447:
4441:
4438:
4432:
4414:
4408:
4405:
4399:
4332:{\displaystyle \|\varphi \|=1}
4113:the projection-valued measure
4030:
4024:
3859:
3853:
3850:
3831:
3754:
3735:
3637:
3631:
3496:
3490:
3471:
3465:
3375:
3369:
3205:
3199:
3177:
3171:
3134:
3128:
3041:
3035:
3005:
2929:
2923:
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2907:
2886:
2880:
2849:
2739:
2721:
2667:
2661:
2649:
2643:
2557:
2551:
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2172:
2108:
2100:
2058:
2046:
2026:{\displaystyle X=\mathbb {R} }
1979:
1973:
1884:
1878:
1872:
1843:
1837:
1824:
1821:
1815:
1799:
1793:
1732:
1714:
1645:
1639:
1627:
1621:
1597:. It reduces to a real-valued
1530:
1524:
1512:
1506:
1342:
1336:
1192:
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808:
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741:
707:
694:
432:
426:
397:
391:
334:
328:
293:bounded self-adjoint operators
168:
156:
1:
7336:Uniform boundedness principle
6998:Limiting absorption principle
5317:
5308:Ashtekar & Schilling 1999
2399:, and we have the following.
1998:{\displaystyle \pi (E)=1_{E}}
1361:{\displaystyle \pi (E)=I_{E}}
114:
6624:Singular value decomposition
5506:; Wolff, Manfred P. (1999).
4760:is a probability measure on
4359:, given the system in state
3672:A projection-valued measure
3440:there is a unitary operator
2280:
107:generalizes the notion of a
64:on the given Hilbert space.
7:
7055:Hearing the shape of a drum
6738:Decomposition of a spectrum
6438:PrĂ©kopaâLeindler inequality
5409:, vol. 110, Springer,
5362:A course in operator theory
5344:10.1007/978-1-4612-1422-9_3
5252:Kowalski, Emmanuel (2009),
5141:
3678:homogeneous of multiplicity
2612:{\displaystyle \mu _{\xi }}
1038:{\displaystyle \pi (E_{2})}
1002:{\displaystyle \pi (E_{1})}
581:are disjoint, then for all
95:. They are generalized by
10:
8096:
7479:Invariant subspace problem
6643:Special Elements/Operators
6380:Lebesgue's density theorem
5584:V2, Springer Verlag, 1970.
5582:Geometry of Quantum Theory
5136:quantum information theory
4850:, a self-adjoint operator
4243:be a measurable subset of
3958:
3047:{\displaystyle \sigma (A)}
2952:
2823:This allows to define the
2745:{\displaystyle (X,M,\mu )}
1738:{\displaystyle (X,M,\mu )}
464:{\displaystyle \emptyset }
8075:Measures (measure theory)
8016:
7998:Borel functional calculus
7988:
7967:
7919:
7876:
7796:
7724:
7671:
7665:topological vector spaces
7609:
7568:
7492:
7471:
7430:
7369:
7311:
7257:
7199:
7192:
7115:Superstrong approximation
7037:
7021:
6978:Banach algebra cohomology
6965:
6929:
6898:
6844:
6811:Projection-valued measure
6796:Borel functional calculus
6788:
6730:
6687:
6642:
6596:
6568:Projection-valued measure
6535:
6455:
6433:MinkowskiâSteiner formula
6403:
6363:
6356:
6256:
6248:Projection-valued measure
6149:
6042:
5811:
5684:
5625:
5508:Topological Vector Spaces
5433:Topological Vector Spaces
2825:Borel functional calculus
444:{\displaystyle \pi (X)=I}
250:projection-valued measure
85:Borel functional calculus
29:projection-valued measure
7932:Inverse function theorem
7819:Classical Wiener measure
7448:Spectrum of a C*-algebra
6707:Spectrum of a C*-algebra
6578:Spectrum of a C*-algebra
6416:Isoperimetric inequality
6395:VitaliâHahnâSaks theorem
5724:Carathéodory's criterion
5405:Moretti, Valter (2017),
5360:Conway, John B. (2000).
5163:
5079:is a discrete subset of
4675:{\displaystyle \varphi }
4632:{\displaystyle \varphi }
4592:{\displaystyle \varphi }
4372:{\displaystyle \varphi }
4276:{\displaystyle \varphi }
4212:{\displaystyle \varphi }
4137:takes on various values.
4080:{\displaystyle \varphi }
3237:{\displaystyle \lambda }
3102:{\displaystyle \pi ^{A}}
3014:{\displaystyle A:H\to H}
2477:{\displaystyle T:H\to H}
2449:, there exists a unique
1274:orthogonal decomposition
1272:can be wrtitten as the
1232:is a closed subspace of
71:, such as the important
58:complex-valued functions
8034:Convenient vector space
7545:Noncommutative geometry
7135:WienerâKhinchin theorem
7070:Kuznetsov trace formula
7045:Almost Mathieu operator
6863:Banach function algebra
6852:Amenable Banach algebra
6609:GelfandâNaimark theorem
6563:Noncommutative topology
6421:BrunnâMinkowski theorem
6290:Decomposition theorems
5379:Hall, Brian C. (2013).
4548:{\displaystyle \pi (E)}
2190:and gives the integral
2064:{\displaystyle E=(0,1)}
1198:{\displaystyle \pi (E)}
373:{\displaystyle E\in M.}
340:{\displaystyle \pi (E)}
93:projective measurements
7927:CameronâMartin theorem
7684:Classical Wiener space
7601:TomitaâTakesaki theory
7576:Approximation property
7520:Calculus of variations
7110:SturmâLiouville theory
7008:ShermanâTakeda theorem
6888:TomitaâTakesaki theory
6663:Hermitian/Self-adjoint
6614:Gelfand representation
6468:Descriptive set theory
6368:Disintegration theorem
5803:Universally measurable
5484:Rudin, Walter (1991).
5116:
5093:
5073:
5050:
4962:
4884:
4864:
4844:
4824:
4805:projective measurement
4797:
4774:
4751:
4676:
4653:
4633:
4613:
4593:
4573:
4549:
4520:
4497:
4373:
4353:
4333:
4301:
4277:
4257:
4237:
4213:
4187:
4155:
4127:
4104:
4081:
4057:
4037:
3999:
3979:
3945:
3866:
3761:
3647:
3507:
3385:
3258:
3238:
3215:
3141:
3103:
3072:
3048:
3015:
2973:
2939:
2861:
2814:
2794:
2774:
2746:
2705:
2613:
2583:
2478:
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2423:
2370:
2305:
2184:
2148:
2115:
2065:
2027:
1999:
1946:
1913:
1850:
1774:
1773:{\displaystyle E\in M}
1739:
1691:
1664:
1591:
1549:
1474:
1458:complex-valued measure
1450:
1449:{\displaystyle E\in M}
1424:
1389:
1362:
1320:
1266:
1246:
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815:
720:
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648:
601:
600:{\displaystyle v\in H}
575:
555:
489:
465:
445:
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374:
341:
309:
285:
265:
242:
222:
199:
175:
133:
77:self-adjoint operators
7944:FeldmanâHĂĄjek theorem
7756:Functional derivative
7679:Abstract Wiener space
7596:BanachâMazur distance
7559:Generalized functions
6604:GelfandâMazur theorem
6270:Convergence theorems
5729:Cylindrical Ï-algebra
5284:Reed & Simon 1980
5272:Reed & Simon 1980
5201:Reed & Simon 1980
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7701:Cylinder set measure
7341:Kakutani fixed-point
7326:Riesz representation
7080:Proto-value function
7059:Dirichlet eigenvalue
6973:Abstract index group
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6821:Rigged Hilbert space
6697:KreinâRutman theorem
6543:Involution/*-algebra
6338:Minkowski inequality
6212:Cylinder set measure
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5712:equivalence relation
5642:Lebesgue integration
5580:Varadarajan, V. S.,
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255:
232:
212:
189:
185:consisting of a set
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7990:Functional calculus
7980:Covariance operator
7901:GelfandâPettis/Weak
7863:measurable function
7778:Hadamard derivative
7525:Functional calculus
7484:Mahler's conjecture
7463:Von Neumann algebra
7177:Functional analysis
6883:Von Neumann algebra
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6333:Hölder's inequality
6195:of random variables
6157:Measurable function
6044:Particular measures
5633:Absolute continuity
5504:Schaefer, Helmut H.
5486:Functional Analysis
5415:2017stqm.book.....M
5102:The above operator
4682:, the association
3814:
3611:
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2407: —
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1675:probability measure
1315:
1176:, respectively, of
1130:
25:functional analysis
7937:NashâMoser theorem
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7761:Gateaux derivative
7744:Fréchet derivative
7550:Riemann hypothesis
7249:Topological vector
7013:Unbounded operator
6942:Essential spectrum
6921:SchurâHorn theorem
6911:BauerâFike theorem
6906:AlonâBoppana bound
6899:Finite-Dimensional
6873:Nuclear C*-algebra
6717:Spectral asymmetry
6473:Probability theory
5798:Transverse measure
5776:Non-measurable set
5758:Locally measurable
5469:. Academic Press.
5326:On Einstein's Path
5274:, p. 227,235.
5112:
5089:
5069:
5059:if the support of
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23:, particularly in
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5310:, pp. 23â65.
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4996:
4971:which reduces to
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4823:{\displaystyle X}
4773:{\displaystyle X}
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4526:, the projection
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4236:{\displaystyle E}
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3713:
3624:
3362:
3257:{\displaystyle A}
3071:{\displaystyle A}
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2813:{\displaystyle H}
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2773:{\displaystyle f}
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2422:{\displaystyle f}
2403:
2389:ring homomorphism
2283:
1473:{\displaystyle H}
1265:{\displaystyle H}
1245:{\displaystyle H}
574:{\displaystyle M}
497:identity operator
488:{\displaystyle I}
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284:{\displaystyle M}
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221:{\displaystyle M}
198:{\displaystyle X}
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89:quantum mechanics
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8049:Hilbert manifold
8044:Fréchet manifold
7828: like
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3274:direct integrals
3268:Direct integrals
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