1003:
705:
1308:
1691:
1988:
1849:
2134:
is another application of the remainder theorem: if the remainder is zero, then the linear divisor is a factor. Repeated application of the factor theorem may be used to factorize the polynomial.
710:
1097:
468:
1454:
700:
2058:
to both sides of this equation, one gets simultaneously the polynomial remainder theorem and the existence part of the theorem of
Euclidean division for this specific case.
571:
1355:
1173:
632:
2024:
1524:
387:
1721:
529:
2093:
2056:
998:{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)-f(r)&=ax^{2}+bx+c-(ar^{2}+br+c)\\&=a(x^{2}-r^{2})+b(x-r)\\&=a(x-r)(x+r)+b(x-r)\\&=(x-r)(ax+ar+b)\end{aligned}}}
594:
497:
347:
288:
259:
230:
132:
103:
1483:
314:
158:
201:
71:
2113:
178:
1544:
2127:
is computationally easier. Thus, the function may be more "cheaply" evaluated using synthetic division and the polynomial remainder theorem.
1860:
1729:
1010:
2201:
1120:
47:
409:
1391:
645:
2116:
19:"Little BĂ©zout's theorem" redirects here. For the intersection number of two algebraic curves, see
1303:{\displaystyle f(x)=Q(x)g(x)+R(x)\quad {\text{and}}\quad R(x)=0\ {\text{ or }}\deg(R)<\deg(g).}
534:
24:
2120:
1316:
599:
20:
1996:
1491:
354:
642:
Proof that the polynomial remainder theorem holds for an arbitrary second degree polynomial
1699:
502:
2069:
2032:
576:
473:
323:
264:
235:
206:
108:
79:
8:
1462:
293:
137:
43:
183:
53:
2124:
2098:
1535:
163:
1538:—that does not involve the existence theorem of Euclidean division—uses the identity
2152:
2131:
390:
349:
2195:
1686:{\displaystyle x^{k}-r^{k}=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1}).}
1145:(the divisor), asserts the existence (and the uniqueness) of a quotient
1723:
denotes the large factor in the right-hand side of this identity, and
74:
1983:{\displaystyle f(x)-f(r)=(x-r)(a_{n}S_{n}+\cdots +a_{2}S_{2}+a_{1}),}
1844:{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},}
1102:
The generalization of this proof to any degree is given below in
317:
31:
23:. For a relation in the theory of greatest common divisors, see
2185:
Larson, Ron (2011), Precalculus with Limits, Cengage
Learning
1119:
The polynomial remainder theorem follows from the theorem of
2066:
The polynomial remainder theorem may be used to evaluate
2176:
Larson, Ron (2014), College
Algebra, Cengage Learning
2101:
2072:
2035:
1999:
1863:
1732:
1702:
1547:
1494:
1465:
1394:
1319:
1176:
1099:
which is exactly the formula of
Euclidean division.
1013:
708:
648:
602:
579:
537:
505:
476:
412:
357:
326:
296:
267:
238:
209:
186:
166:
140:
111:
82:
56:
2107:
2087:
2050:
2018:
1982:
1843:
1715:
1685:
1518:
1477:
1448:
1349:
1302:
1091:
997:
694:
626:
588:
565:
523:
491:
462:
381:
341:
308:
282:
253:
224:
195:
172:
152:
126:
97:
65:
2193:
2150:
232:is the remainder of the Euclidean division of
1114:
1092:{\displaystyle f(x)=(x-r)(ax+ar+b)+f(r),}
2153:"Little BĂ©zout Theorem (Factor Theorem)"
1368:or its degree is zero; in both cases,
2194:
2119:is more difficult than evaluating the
1379:is a constant that is independent of
463:{\displaystyle f(x)=x^{3}-12x^{2}-42}
16:On the remainder of division by x – r
1357:where r is a constant, then either
50:. It states that, for every number
13:
180:of degree less than the degree of
14:
2213:
1449:{\displaystyle f(x)=Q(x)(x-r)+R.}
1103:
702:by using algebraic manipulation:
48:Euclidean division of polynomials
695:{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
2061:
1529:
1237:
1231:
1123:, which, given two polynomials
2179:
2170:
2144:
2095:by calculating the remainder,
2082:
2076:
2045:
2039:
1974:
1909:
1906:
1894:
1888:
1882:
1873:
1867:
1742:
1736:
1677:
1589:
1586:
1574:
1504:
1498:
1434:
1422:
1419:
1413:
1404:
1398:
1329:
1323:
1294:
1288:
1276:
1270:
1247:
1241:
1228:
1222:
1213:
1207:
1201:
1195:
1186:
1180:
1083:
1077:
1068:
1044:
1041:
1029:
1023:
1017:
988:
964:
961:
949:
936:
924:
915:
903:
900:
888:
872:
860:
851:
825:
809:
778:
737:
731:
722:
716:
658:
652:
612:
606:
518:
506:
486:
480:
422:
416:
367:
361:
336:
330:
248:
242:
219:
213:
121:
115:
92:
86:
1:
2137:
1485:in this formula, we obtain:
637:
401:
36:polynomial remainder theorem
7:
566:{\displaystyle x^{2}-9x-27}
396:
10:
2218:
2202:Theorems about polynomials
18:
1350:{\displaystyle g(x)=x-r,}
1109:
627:{\displaystyle f(3)=-123}
470:. Polynomial division of
2117:polynomial long division
1115:Using Euclidean division
389:a property known as the
2151:Piotr Rudnicki (2004).
2019:{\displaystyle S_{1}=1}
1519:{\displaystyle f(r)=R.}
382:{\displaystyle f(r)=0,}
46:) is an application of
40:little BĂ©zout's theorem
2160:Formalized Mathematics
2109:
2089:
2052:
2020:
1984:
1845:
1717:
1687:
1520:
1479:
1450:
1351:
1304:
1093:
999:
696:
628:
590:
567:
525:
493:
464:
383:
343:
310:
284:
255:
226:
197:
174:
154:
128:
99:
67:
2110:
2090:
2053:
2021:
1985:
1846:
1718:
1716:{\displaystyle S_{k}}
1688:
1521:
1480:
1451:
1352:
1305:
1094:
1000:
697:
629:
591:
568:
526:
524:{\displaystyle (x-3)}
494:
465:
384:
344:
311:
285:
256:
227:
198:
175:
155:
129:
100:
68:
2099:
2088:{\displaystyle f(r)}
2070:
2051:{\displaystyle f(r)}
2033:
1997:
1861:
1730:
1700:
1545:
1492:
1463:
1392:
1317:
1174:
1011:
706:
646:
600:
589:{\displaystyle -123}
577:
535:
503:
492:{\displaystyle f(x)}
474:
410:
355:
342:{\displaystyle f(x)}
324:
294:
283:{\displaystyle x-r,}
265:
254:{\displaystyle f(x)}
236:
225:{\displaystyle f(r)}
207:
184:
164:
138:
127:{\displaystyle f(r)}
109:
98:{\displaystyle f(x)}
80:
54:
1478:{\displaystyle x=r}
1134:(the dividend) and
1104:§ Direct proof
531:gives the quotient
309:{\displaystyle x-r}
160:of a polynomial in
153:{\displaystyle x-r}
134:and the product by
2125:synthetic division
2105:
2085:
2048:
2016:
1980:
1841:
1713:
1683:
1536:constructive proof
1516:
1475:
1446:
1347:
1313:If the divisor is
1300:
1121:Euclidean division
1089:
995:
993:
692:
624:
586:
573:and the remainder
563:
521:
489:
460:
379:
339:
306:
280:
251:
222:
196:{\displaystyle f.}
193:
170:
150:
124:
95:
66:{\displaystyle r,}
63:
2108:{\displaystyle R}
1262:
1258:
1235:
173:{\displaystyle x}
25:BĂ©zout's identity
2209:
2186:
2183:
2177:
2174:
2168:
2167:
2157:
2148:
2114:
2112:
2111:
2106:
2094:
2092:
2091:
2086:
2057:
2055:
2054:
2049:
2025:
2023:
2022:
2017:
2009:
2008:
1989:
1987:
1986:
1981:
1973:
1972:
1960:
1959:
1950:
1949:
1931:
1930:
1921:
1920:
1850:
1848:
1847:
1842:
1837:
1836:
1821:
1820:
1802:
1801:
1786:
1785:
1767:
1766:
1757:
1756:
1722:
1720:
1719:
1714:
1712:
1711:
1692:
1690:
1689:
1684:
1676:
1675:
1657:
1656:
1626:
1625:
1607:
1606:
1570:
1569:
1557:
1556:
1525:
1523:
1522:
1517:
1484:
1482:
1481:
1476:
1455:
1453:
1452:
1447:
1384:
1378:
1367:
1356:
1354:
1353:
1348:
1309:
1307:
1306:
1301:
1263:
1260:
1256:
1236:
1233:
1166:
1156:and a remainder
1155:
1144:
1133:
1098:
1096:
1095:
1090:
1004:
1002:
1001:
996:
994:
942:
878:
850:
849:
837:
836:
815:
793:
792:
759:
758:
701:
699:
698:
693:
676:
675:
633:
631:
630:
625:
595:
593:
592:
587:
572:
570:
569:
564:
547:
546:
530:
528:
527:
522:
498:
496:
495:
490:
469:
467:
466:
461:
453:
452:
437:
436:
388:
386:
385:
380:
348:
346:
345:
340:
315:
313:
312:
307:
289:
287:
286:
281:
260:
258:
257:
252:
231:
229:
228:
223:
202:
200:
199:
194:
179:
177:
176:
171:
159:
157:
156:
151:
133:
131:
130:
125:
104:
102:
101:
96:
72:
70:
69:
64:
21:BĂ©zout's theorem
2217:
2216:
2212:
2211:
2210:
2208:
2207:
2206:
2192:
2191:
2190:
2189:
2184:
2180:
2175:
2171:
2155:
2149:
2145:
2140:
2100:
2097:
2096:
2071:
2068:
2067:
2064:
2034:
2031:
2030:
2004:
2000:
1998:
1995:
1994:
1968:
1964:
1955:
1951:
1945:
1941:
1926:
1922:
1916:
1912:
1862:
1859:
1858:
1832:
1828:
1816:
1812:
1791:
1787:
1775:
1771:
1762:
1758:
1752:
1748:
1731:
1728:
1727:
1707:
1703:
1701:
1698:
1697:
1665:
1661:
1646:
1642:
1615:
1611:
1596:
1592:
1565:
1561:
1552:
1548:
1546:
1543:
1542:
1532:
1493:
1490:
1489:
1464:
1461:
1460:
1393:
1390:
1389:
1380:
1369:
1358:
1318:
1315:
1314:
1259:
1232:
1175:
1172:
1171:
1157:
1146:
1135:
1124:
1117:
1112:
1012:
1009:
1008:
992:
991:
940:
939:
876:
875:
845:
841:
832:
828:
813:
812:
788:
784:
754:
750:
740:
709:
707:
704:
703:
671:
667:
647:
644:
643:
640:
601:
598:
597:
578:
575:
574:
542:
538:
536:
533:
532:
504:
501:
500:
475:
472:
471:
448:
444:
432:
428:
411:
408:
407:
404:
399:
356:
353:
352:
325:
322:
321:
295:
292:
291:
266:
263:
262:
237:
234:
233:
208:
205:
204:
203:In particular,
185:
182:
181:
165:
162:
161:
139:
136:
135:
110:
107:
106:
81:
78:
77:
55:
52:
51:
28:
17:
12:
11:
5:
2215:
2205:
2204:
2188:
2187:
2178:
2169:
2142:
2141:
2139:
2136:
2132:factor theorem
2104:
2084:
2081:
2078:
2075:
2063:
2060:
2047:
2044:
2041:
2038:
2015:
2012:
2007:
2003:
1991:
1990:
1979:
1976:
1971:
1967:
1963:
1958:
1954:
1948:
1944:
1940:
1937:
1934:
1929:
1925:
1919:
1915:
1911:
1908:
1905:
1902:
1899:
1896:
1893:
1890:
1887:
1884:
1881:
1878:
1875:
1872:
1869:
1866:
1852:
1851:
1840:
1835:
1831:
1827:
1824:
1819:
1815:
1811:
1808:
1805:
1800:
1797:
1794:
1790:
1784:
1781:
1778:
1774:
1770:
1765:
1761:
1755:
1751:
1747:
1744:
1741:
1738:
1735:
1710:
1706:
1694:
1693:
1682:
1679:
1674:
1671:
1668:
1664:
1660:
1655:
1652:
1649:
1645:
1641:
1638:
1635:
1632:
1629:
1624:
1621:
1618:
1614:
1610:
1605:
1602:
1599:
1595:
1591:
1588:
1585:
1582:
1579:
1576:
1573:
1568:
1564:
1560:
1555:
1551:
1531:
1528:
1527:
1526:
1515:
1512:
1509:
1506:
1503:
1500:
1497:
1474:
1471:
1468:
1457:
1456:
1445:
1442:
1439:
1436:
1433:
1430:
1427:
1424:
1421:
1418:
1415:
1412:
1409:
1406:
1403:
1400:
1397:
1346:
1343:
1340:
1337:
1334:
1331:
1328:
1325:
1322:
1311:
1310:
1299:
1296:
1293:
1290:
1287:
1284:
1281:
1278:
1275:
1272:
1269:
1266:
1261: or
1255:
1252:
1249:
1246:
1243:
1240:
1230:
1227:
1224:
1221:
1218:
1215:
1212:
1209:
1206:
1203:
1200:
1197:
1194:
1191:
1188:
1185:
1182:
1179:
1116:
1113:
1111:
1108:
1088:
1085:
1082:
1079:
1076:
1073:
1070:
1067:
1064:
1061:
1058:
1055:
1052:
1049:
1046:
1043:
1040:
1037:
1034:
1031:
1028:
1025:
1022:
1019:
1016:
990:
987:
984:
981:
978:
975:
972:
969:
966:
963:
960:
957:
954:
951:
948:
945:
943:
941:
938:
935:
932:
929:
926:
923:
920:
917:
914:
911:
908:
905:
902:
899:
896:
893:
890:
887:
884:
881:
879:
877:
874:
871:
868:
865:
862:
859:
856:
853:
848:
844:
840:
835:
831:
827:
824:
821:
818:
816:
814:
811:
808:
805:
802:
799:
796:
791:
787:
783:
780:
777:
774:
771:
768:
765:
762:
757:
753:
749:
746:
743:
741:
739:
736:
733:
730:
727:
724:
721:
718:
715:
712:
711:
691:
688:
685:
682:
679:
674:
670:
666:
663:
660:
657:
654:
651:
639:
636:
623:
620:
617:
614:
611:
608:
605:
585:
582:
562:
559:
556:
553:
550:
545:
541:
520:
517:
514:
511:
508:
488:
485:
482:
479:
459:
456:
451:
447:
443:
440:
435:
431:
427:
424:
421:
418:
415:
403:
400:
398:
395:
391:factor theorem
378:
375:
372:
369:
366:
363:
360:
350:if and only if
338:
335:
332:
329:
305:
302:
299:
279:
276:
273:
270:
250:
247:
244:
241:
221:
218:
215:
212:
192:
189:
169:
149:
146:
143:
123:
120:
117:
114:
105:is the sum of
94:
91:
88:
85:
62:
59:
44:Étienne Bézout
15:
9:
6:
4:
3:
2:
2214:
2203:
2200:
2199:
2197:
2182:
2173:
2165:
2161:
2154:
2147:
2143:
2135:
2133:
2128:
2126:
2122:
2118:
2102:
2079:
2073:
2059:
2042:
2036:
2027:
2013:
2010:
2005:
2001:
1977:
1969:
1965:
1961:
1956:
1952:
1946:
1942:
1938:
1935:
1932:
1927:
1923:
1917:
1913:
1903:
1900:
1897:
1891:
1885:
1879:
1876:
1870:
1864:
1857:
1856:
1855:
1838:
1833:
1829:
1825:
1822:
1817:
1813:
1809:
1806:
1803:
1798:
1795:
1792:
1788:
1782:
1779:
1776:
1772:
1768:
1763:
1759:
1753:
1749:
1745:
1739:
1733:
1726:
1725:
1724:
1708:
1704:
1680:
1672:
1669:
1666:
1662:
1658:
1653:
1650:
1647:
1643:
1639:
1636:
1633:
1630:
1627:
1622:
1619:
1616:
1612:
1608:
1603:
1600:
1597:
1593:
1583:
1580:
1577:
1571:
1566:
1562:
1558:
1553:
1549:
1541:
1540:
1539:
1537:
1513:
1510:
1507:
1501:
1495:
1488:
1487:
1486:
1472:
1469:
1466:
1443:
1440:
1437:
1431:
1428:
1425:
1416:
1410:
1407:
1401:
1395:
1388:
1387:
1386:
1383:
1376:
1372:
1365:
1361:
1344:
1341:
1338:
1335:
1332:
1326:
1320:
1297:
1291:
1285:
1282:
1279:
1273:
1267:
1264:
1253:
1250:
1244:
1238:
1225:
1219:
1216:
1210:
1204:
1198:
1192:
1189:
1183:
1177:
1170:
1169:
1168:
1164:
1160:
1153:
1149:
1142:
1138:
1131:
1127:
1122:
1107:
1105:
1100:
1086:
1080:
1074:
1071:
1065:
1062:
1059:
1056:
1053:
1050:
1047:
1038:
1035:
1032:
1026:
1020:
1014:
1005:
985:
982:
979:
976:
973:
970:
967:
958:
955:
952:
946:
944:
933:
930:
927:
921:
918:
912:
909:
906:
897:
894:
891:
885:
882:
880:
869:
866:
863:
857:
854:
846:
842:
838:
833:
829:
822:
819:
817:
806:
803:
800:
797:
794:
789:
785:
781:
775:
772:
769:
766:
763:
760:
755:
751:
747:
744:
742:
734:
728:
725:
719:
713:
689:
686:
683:
680:
677:
672:
668:
664:
661:
655:
649:
635:
621:
618:
615:
609:
603:
596:. Therefore,
583:
580:
560:
557:
554:
551:
548:
543:
539:
515:
512:
509:
483:
477:
457:
454:
449:
445:
441:
438:
433:
429:
425:
419:
413:
394:
392:
376:
373:
370:
364:
358:
351:
333:
327:
319:
303:
300:
297:
277:
274:
271:
268:
245:
239:
216:
210:
190:
187:
167:
147:
144:
141:
118:
112:
89:
83:
76:
60:
57:
49:
45:
42:(named after
41:
37:
33:
26:
22:
2181:
2172:
2163:
2159:
2146:
2129:
2065:
2062:Applications
2028:
1992:
1853:
1695:
1533:
1530:Direct proof
1458:
1381:
1374:
1370:
1363:
1359:
1312:
1162:
1158:
1151:
1147:
1140:
1136:
1129:
1125:
1118:
1101:
1006:
641:
405:
39:
35:
29:
2166:(1): 49–58.
2115:. Although
1385:; that is
2138:References
1167:such that
75:polynomial
1936:⋯
1901:−
1877:−
1854:one has
1807:⋯
1796:−
1780:−
1670:−
1651:−
1634:⋯
1620:−
1601:−
1581:−
1559:−
1429:−
1339:−
1286:
1268:
1036:−
956:−
931:−
895:−
867:−
839:−
776:−
726:−
638:Example 2
619:−
581:−
558:−
549:−
513:−
455:−
439:−
402:Example 1
301:−
272:−
145:−
2196:Category
2123:itself,
2121:function
1459:Setting
397:Examples
2029:Adding
1993:(since
318:divisor
32:algebra
1257:
1110:Proofs
34:, the
2156:(PDF)
1366:) = 0
1007:So,
316:is a
2130:The
1280:<
406:Let
290:and
73:any
2026:).
1696:If
1283:deg
1265:deg
1234:and
622:123
584:123
499:by
320:of
261:by
38:or
30:In
2198::
2164:12
2162:.
2158:.
1534:A
1106:.
634:.
561:27
458:42
442:12
393:.
2103:R
2083:)
2080:r
2077:(
2074:f
2046:)
2043:r
2040:(
2037:f
2014:1
2011:=
2006:1
2002:S
1978:,
1975:)
1970:1
1966:a
1962:+
1957:2
1953:S
1947:2
1943:a
1939:+
1933:+
1928:n
1924:S
1918:n
1914:a
1910:(
1907:)
1904:r
1898:x
1895:(
1892:=
1889:)
1886:r
1883:(
1880:f
1874:)
1871:x
1868:(
1865:f
1839:,
1834:0
1830:a
1826:+
1823:x
1818:1
1814:a
1810:+
1804:+
1799:1
1793:n
1789:x
1783:1
1777:n
1773:a
1769:+
1764:n
1760:x
1754:n
1750:a
1746:=
1743:)
1740:x
1737:(
1734:f
1709:k
1705:S
1681:.
1678:)
1673:1
1667:k
1663:r
1659:+
1654:2
1648:k
1644:r
1640:x
1637:+
1631:+
1628:r
1623:2
1617:k
1613:x
1609:+
1604:1
1598:k
1594:x
1590:(
1587:)
1584:r
1578:x
1575:(
1572:=
1567:k
1563:r
1554:k
1550:x
1514:.
1511:R
1508:=
1505:)
1502:r
1499:(
1496:f
1473:r
1470:=
1467:x
1444:.
1441:R
1438:+
1435:)
1432:r
1426:x
1423:(
1420:)
1417:x
1414:(
1411:Q
1408:=
1405:)
1402:x
1399:(
1396:f
1382:x
1377:)
1375:x
1373:(
1371:R
1364:x
1362:(
1360:R
1345:,
1342:r
1336:x
1333:=
1330:)
1327:x
1324:(
1321:g
1298:.
1295:)
1292:g
1289:(
1277:)
1274:R
1271:(
1254:0
1251:=
1248:)
1245:x
1242:(
1239:R
1229:)
1226:x
1223:(
1220:R
1217:+
1214:)
1211:x
1208:(
1205:g
1202:)
1199:x
1196:(
1193:Q
1190:=
1187:)
1184:x
1181:(
1178:f
1165:)
1163:x
1161:(
1159:R
1154:)
1152:x
1150:(
1148:Q
1143:)
1141:x
1139:(
1137:g
1132:)
1130:x
1128:(
1126:f
1087:,
1084:)
1081:r
1078:(
1075:f
1072:+
1069:)
1066:b
1063:+
1060:r
1057:a
1054:+
1051:x
1048:a
1045:(
1042:)
1039:r
1033:x
1030:(
1027:=
1024:)
1021:x
1018:(
1015:f
989:)
986:b
983:+
980:r
977:a
974:+
971:x
968:a
965:(
962:)
959:r
953:x
950:(
947:=
937:)
934:r
928:x
925:(
922:b
919:+
916:)
913:r
910:+
907:x
904:(
901:)
898:r
892:x
889:(
886:a
883:=
873:)
870:r
864:x
861:(
858:b
855:+
852:)
847:2
843:r
834:2
830:x
826:(
823:a
820:=
810:)
807:c
804:+
801:r
798:b
795:+
790:2
786:r
782:a
779:(
773:c
770:+
767:x
764:b
761:+
756:2
752:x
748:a
745:=
738:)
735:r
732:(
729:f
723:)
720:x
717:(
714:f
690:c
687:+
684:x
681:b
678:+
673:2
669:x
665:a
662:=
659:)
656:x
653:(
650:f
616:=
613:)
610:3
607:(
604:f
555:x
552:9
544:2
540:x
519:)
516:3
510:x
507:(
487:)
484:x
481:(
478:f
450:2
446:x
434:3
430:x
426:=
423:)
420:x
417:(
414:f
377:,
374:0
371:=
368:)
365:r
362:(
359:f
337:)
334:x
331:(
328:f
304:r
298:x
278:,
275:r
269:x
249:)
246:x
243:(
240:f
220:)
217:r
214:(
211:f
191:.
188:f
168:x
148:r
142:x
122:)
119:r
116:(
113:f
93:)
90:x
87:(
84:f
61:,
58:r
27:.
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.