1806:
1350:
1801:{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \!\!\!\;a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!&\!\!a_{13}\!\!\!&\!\!a_{14}\!\!\!&\!\!a_{15}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!&\!\!a_{23}\!\!\!&\!\!a_{24}\!\!\!&\!\!a_{25}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!&\!\!a_{33}\!\!\!&\!\!a_{34}\!\!\!&\!\!a_{35}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{41}\!\!\!&\!\!a_{42}\!\!\!&\!\!a_{43}\!\!\!&\!\!a_{44}\!\!\!&\!\!a_{45}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{51}\!\!\!&\!\!a_{52}\!\!\!&\!\!a_{53}\!\!\!&\!\!a_{54}\!\!\!&\!\!a_{55}\!\!\\\hline \end{array}}}
824:
9598:
335:
151:
3832:
with a maximum element of 49 and a pandiagonal magic constant of 150. This square is pandiagonal and semi-bimagic, that means that rows, columns, main diagonals and broken diagonals have a sum of 150 and, if we square all the numbers in the square, only the rows and the columns are magic and have a
330:{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline \!\!\!\;a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!\!\;&\!\!a_{13}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!\!\;&\!\!a_{23}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!\!\;&\!\!a_{33}\!\!\\\hline \end{array}}}
1336:
of the rows and columns (wrapping around), which in a pandiagonal magic square does not affect the equality of the magic constants. This leads to 100 quincunx sums, including broken quincunxes analogous to broken diagonals.
3056:
1898:
3293:
3214:
3135:
2949:
2870:
2788:
2706:
2627:
2540:
2461:
2379:
2300:
2221:
2142:
2060:
1981:
1065:. In addition, the two numbers at the opposite corners of any 3 × 3 square add up to half the magic constant. Consequently, all 4 × 4 pandiagonal magic squares that are
1355:
4976:
3924:
9179:
3854:
This leads to squares having a maximum element of 169 and a pandiagonal magic constant of 850, which are also semi-bimagic with each row or column sum of squares equal to 102,850.
1187:
The number of 4 × 4 pandiagonal magic squares using numbers 1-16 without duplicates is 384 (16 times 24, where 16 accounts for the translation and 24 accounts for the 4
680:
479:
420:
620:
536:
7740:
7407:
800:
7453:
7331:
7299:
7209:
7154:
7096:
6307:
6060:
6028:
5196:
7267:
7238:
5752:
7122:
6842:
760:
720:
101:
7484:
natural numbers so that each column has the same sum. You can do this by starting with a 3 × 3 magic square and set up the rest cells of the rectangle in
4899:
4870:
3958:
3699:
131:
8773:
4670:
9102:
9073:
7482:
5781:
3371:
3338:
7177:
6796:
6773:
5508:
5485:
5247:
5224:
3376:
Consider the sum 1+2+3+5+6+7 = 24. This sum can be divided in half by taking the appropriate groups of three addends, or in thirds using groups of two addends:
563:
360:
156:
834:
The smallest non-trivial pandiagonal magic squares are 4 × 4 squares. All 4 × 4 pandiagonal magic squares must be
1311:
In addition to the rows, columns, and diagonals, a 5 × 5 pandiagonal magic square also shows its magic constant in four "
9539:
8206:
Continue copying the current 3 columns into the next 3 columns, shifted ring-wise by 1 row, until the square is filled completely.
2958:
4299:
Continue copying the current column into the next column with ring-wise shift by 2 rows until the square is filled completely.
3404:
With both equal partitions available, the numbers 1, 2, 3, 5, 6, 7 can be arranged into 6 × 6 pandigonal patterns
1215:
There are many 5 × 5 pandiagonal magic squares. Unlike 4 × 4 pandiagonal magic squares, these can be
3058:, which divided by 5 gives the quincunx sum. Similar linear combinations can be constructed for the other quincunx patterns
1818:
3836:
For 10th order a similar construction is possible using the equal partitionings of the sum 1+2+3+4+5+9+10+11+12+13 = 70:
3219:
3140:
3061:
2875:
2796:
2714:
2632:
2553:
2466:
2387:
2305:
2226:
2147:
2068:
1986:
1907:
830:
of requirements of some types of 4 × 4 magic squares. Cells of the same colour sum to the magic constant.
7742:
square and two copies of the rectangle beneath it so that the first 3 columns of the square are filled completely.
1061:
Since each 2 × 2 subsquare sums to the magic constant, 4 × 4 pandiagonal magic squares are
4906:
17:
3873:
1072:
All 4 × 4 pandiagonal magic squares using numbers 1-16 without duplicates are obtained by letting
9637:
9587:
9532:
9109:
629:
428:
369:
572:
488:
7689:
7356:
3705:
is the magic square with 1 for all cells) gives the nonconsecutive pandiagonal 6 × 6 square:
3389:
An additional equal partitioning of the sum of squares guarantees the semi-bimagic property noted below:
807:
However, if the magic square concept is generalized to include geometric shapes instead of numbers – the
9562:
3850:
1 + 3 + 9 + 10 + 12 = 2 + 4 + 5 + 11 + 13 = 335 (equal partitioning of squares; semi-bimagic property)
773:
9642:
7334:
1062:
7417:
9691:
1216:
1066:
142:
70:
9525:
7304:
7272:
7182:
7127:
7069:
6280:
6033:
6001:
5169:
1900:(corresponding to the 20+2+13+24+6 = 65 example given above), we can add together the following:
765:
7243:
7214:
5728:
9768:
9622:
7101:
6803:
1093:
835:
808:
729:
689:
80:
74:
66:
4875:
4846:
3934:
3666:
106:
8751:
4648:
3398:
9078:
9049:
7458:
5757:
3347:
3314:
724:. However, if we move the third column in front and perform the same argument, we obtain
8:
9732:
9512:
7159:
6778:
6755:
5490:
5467:
5229:
5206:
545:
9663:
3298:
1341:
1333:
345:
9470:
9701:
9612:
9488:. New York: Dover, 1960. Originally printed in 1917. See especially Chapter X.
58:, i.e. the diagonals that wrap round at the edges of the square, also add up to the
9617:
9507:
7962:
Copy the left 3 columns into the next 3 columns, but shift it ring-wise by 1 row.
9727:
9675:
9670:
55:
9737:
9572:
4131:
Copy the first column into the second column but shift it ring-wise by 2 rows.
3960:
1332:
Each of these quincunxes can be translated to other positions in the square by
59:
1344:
of the row, column, and diagonal sums. Consider the pandiagonal magic square
1219:. The following is a 5 × 5 associative pandiagonal magic square:
804:. Therefore, all 3 × 3 pandiagonal magic squares must be trivial.
9762:
9567:
9548:
827:
823:
3344:
are used. But certain sequences of nonconsecutive integers do admit order-(
9747:
9717:
9627:
9577:
51:
8474:
Build a second square and copy the transpose of the first square into it.
9742:
9722:
812:
9658:
9582:
5510:
natural numbers in reverse. Each vertical pair must have the same sum.
145:
pandiagonal magic squares of order 3 do not exist. Suppose the square
7488:-style. You can also use the pattern shown in the following examples.
1328:
20+2+13+24+6 = 65 (center plus the remaining squares on its diagonals)
65:
A pandiagonal magic square remains pandiagonally magic not only under
9597:
7156:
square will have the same sum. Therefore, many symmetric patterns of
4468:
1188:
1322:
21+7+13+19+5 = 65 (center plus the remaining row and column squares)
1312:
7409:
pandiagonal magic square can be built by the following algorithm.
7269:
rectangle will have the same sum as any row and any column of the
5198:
pandiagonal magic square can be built by the following algorithm.
3926:
pandiagonal magic square can be built by the following algorithm.
9517:
7485:
3341:
1319:
17+25+13+1+9 = 65 (center plus adjacent row and column squares)
77:
from one side of the square to the opposite side. As such, an
6309:
square and copy the first square into it but turn it by 90°.
1325:
4+10+13+16+22 = 65 (center plus diagonally adjacent squares)
9046:
Build the final square by multiplying the second square by
6752:
Build the final square by multiplying the second square by
4843:
Build the final square by multiplying the second square by
3397:
Note that the consecutive integer sum 1+2+3+4+5+6 = 21, an
815:– a 3 × 3 pandiagonal magic square does exist.
7340:
3857:
3307:+2) pandiagonal magic squares with nonconsecutive elements
3051:{\displaystyle 5a_{11}+5a_{15}+5a_{33}+5a_{51}+5a_{55}=5s}
7179:
cells have the same sum as any row and any column of the
768:
of 3 × 3 magic squares, all cells must equal
7098:
pandiagonal magic square with this algorithm then every
1092:
equal 1, 2, 4, and 8 in some order; and applying some
778:
9513:
http://www.azspcs.net/Contest/PandiagonalMagicSquares
9112:
9081:
9052:
8754:
7692:
7461:
7420:
7359:
7307:
7275:
7246:
7217:
7185:
7162:
7130:
7104:
7072:
6806:
6781:
6758:
6283:
6036:
6004:
5760:
5731:
5493:
5470:
5232:
5209:
5172:
4909:
4878:
4849:
4651:
3937:
3931:
Set up the first column of the square with the first
3876:
3669:
3350:
3317:
3222:
3143:
3064:
2961:
2878:
2799:
2717:
2635:
2556:
2469:
2390:
2308:
2229:
2150:
2071:
1989:
1910:
1821:
1353:
776:
732:
692:
632:
575:
548:
491:
431:
372:
348:
154:
109:
83:
1893:{\displaystyle a_{11}+a_{15}+a_{33}+a_{51}+a_{55}=s}
7686:Put this rectangle in the left upper corner of the
103:pandiagonal magic square can be regarded as having
9173:
9096:
9067:
8767:
7734:
7476:
7447:
7401:
7325:
7293:
7261:
7232:
7203:
7171:
7148:
7116:
7090:
6836:
6790:
6767:
6301:
6054:
6022:
5775:
5746:
5502:
5479:
5241:
5218:
5190:
5153:
4970:
4893:
4864:
4664:
3952:
3918:
3693:
3365:
3332:
3288:{\displaystyle a_{22}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{44}}
3287:
3209:{\displaystyle a_{13}+a_{31}+a_{33}+a_{35}+a_{53}}
3208:
3130:{\displaystyle a_{23}+a_{32}+a_{33}+a_{34}+a_{43}}
3129:
3050:
2944:{\displaystyle a_{14}+a_{24}+a_{34}+a_{44}+a_{54}}
2943:
2865:{\displaystyle a_{12}+a_{22}+a_{32}+a_{42}+a_{52}}
2864:
2783:{\displaystyle a_{13}+a_{23}+a_{33}+a_{43}+a_{53}}
2782:
2701:{\displaystyle a_{41}+a_{42}+a_{43}+a_{44}+a_{45}}
2700:
2622:{\displaystyle a_{21}+a_{22}+a_{23}+a_{24}+a_{25}}
2621:
2535:{\displaystyle a_{51}+a_{52}+a_{53}+a_{54}+a_{55}}
2534:
2456:{\displaystyle a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}+a_{15}}
2455:
2374:{\displaystyle a_{15}+a_{21}+a_{32}+a_{43}+a_{54}}
2373:
2295:{\displaystyle a_{14}+a_{23}+a_{32}+a_{41}+a_{55}}
2294:
2216:{\displaystyle a_{12}+a_{23}+a_{34}+a_{45}+a_{51}}
2215:
2137:{\displaystyle a_{11}+a_{25}+a_{34}+a_{43}+a_{52}}
2136:
2055:{\displaystyle a_{15}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{51}}
2054:
1976:{\displaystyle a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}+a_{55}}
1975:
1892:
1800:
794:
754:
714:
674:
614:
557:
530:
473:
414:
354:
329:
125:
95:
5226:natural numbers into the first row and the first
1793:
1792:
1781:
1780:
1777:
1776:
1775:
1764:
1763:
1760:
1759:
1758:
1747:
1746:
1743:
1742:
1741:
1730:
1729:
1726:
1725:
1724:
1712:
1711:
1710:
1705:
1704:
1693:
1692:
1689:
1688:
1687:
1676:
1675:
1672:
1671:
1670:
1659:
1658:
1655:
1654:
1653:
1642:
1641:
1638:
1637:
1636:
1624:
1623:
1622:
1617:
1616:
1605:
1604:
1601:
1600:
1599:
1588:
1587:
1584:
1583:
1582:
1571:
1570:
1567:
1566:
1565:
1554:
1553:
1550:
1549:
1548:
1536:
1535:
1534:
1529:
1528:
1517:
1516:
1513:
1512:
1511:
1500:
1499:
1496:
1495:
1494:
1483:
1482:
1479:
1478:
1477:
1466:
1465:
1462:
1461:
1460:
1448:
1447:
1446:
1441:
1440:
1429:
1428:
1425:
1424:
1423:
1412:
1411:
1408:
1407:
1406:
1395:
1394:
1391:
1390:
1389:
1378:
1377:
1374:
1373:
1372:
1360:
1359:
1358:
322:
321:
310:
309:
305:
304:
303:
302:
291:
290:
287:
286:
285:
273:
272:
271:
266:
265:
254:
253:
249:
248:
247:
246:
235:
234:
231:
230:
229:
217:
216:
215:
210:
209:
198:
197:
193:
192:
191:
190:
179:
178:
175:
174:
173:
161:
160:
159:
9760:
1210:
818:
136:
9533:
6062:rectangle but shift it ring-wise by one row.
3311:No pandiagonal magic square exists of order
1315:" patterns, which in the above example are:
4971:{\displaystyle A+(6n\pm 1)A^{T}-(6n\pm 1)B}
340:is pandiagonally magic with magic constant
9540:
9526:
9471:"Magic Counting with Inside-Out Polytopes"
1713:
1625:
1537:
1449:
1361:
1340:The quincunx sums can be proved by taking
306:
274:
250:
218:
194:
162:
9185:is the magic square with all cells as 1.
6848:is the magic square with all cells as 1.
4982:is the magic square with all cells as 1.
3919:{\displaystyle (6n\pm 1)\times (6n\pm 1)}
822:
9495:Most-perfect pandiagonal magic squares.
9075:, adding the first square and subtract
6775:, adding the first square and subtract
4872:, adding the first square and subtract
2546:From this sum, subtract the following:
14:
9761:
54:with the additional property that the
9521:
9174:{\displaystyle A+(6n+3)A^{T}-(6n+3)B}
675:{\displaystyle a_{31}+a_{32}+a_{33},}
474:{\displaystyle a_{12}+a_{22}+a_{32},}
415:{\displaystyle a_{11}+a_{22}+a_{33},}
3845:1+13 = 2+12 = 3+11 = 4+10 = 5+9 = 14
615:{\displaystyle a_{11}+a_{12}+a_{13}}
531:{\displaystyle a_{13}+a_{22}+a_{31}}
7735:{\displaystyle (6n+3)\times (6n+3)}
7402:{\displaystyle (6n+3)\times (6n+3)}
5783:times beneath the first rectangle.
4467:Build a second square and copy the
27:Magic square with extra constraints
24:
9547:
9468:
5487:natural numbers beneath the first
3401:sum, lacks the half-partitioning.
1904:3 times each of the diagonal sums
25:
9780:
9501:
1191:ways to assign 1, 2, 4, and 8 to
73:, but also if a row or column is
9596:
795:{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}s}
7597:For 21 × 21 square
7534:For 15 × 15 square
9462:
9165:
9150:
9134:
9119:
7729:
7714:
7708:
7693:
7448:{\displaystyle (2n+1)\times 3}
7436:
7421:
7396:
7381:
7375:
7360:
4962:
4947:
4931:
4916:
3913:
3898:
3892:
3877:
3840:1+3+9+10+12 = 2+4+5+11+13 = 35
2793:Twice each of the column sums
13:
1:
9638:Prime reciprocal magic square
9456:
7493:For 9 × 9 square
7349:+3) pandiagonal magic squares
4471:of the first square into it.
3866:±1) pandiagonal magic squares
3373:) pandiagonal magic squares.
1815:. To prove the quincunx sum
1211:5×5 pandiagonal magic squares
819:4×4 pandiagonal magic squares
137:3×3 pandiagonal magic squares
9508:Panmagic Square at MathWorld
9104:in each cell of the square.
6798:in each cell of the square.
4901:in each cell of the square.
7:
9497:IMA, Southend-on-Sea (1998)
9493:Ollerenshaw, K., Brée, D.:
7326:{\displaystyle 4n\times 4n}
7294:{\displaystyle 4n\times 4n}
7204:{\displaystyle 4n\times 4n}
7149:{\displaystyle 4n\times 4n}
7091:{\displaystyle 4n\times 4n}
6302:{\displaystyle 4n\times 4n}
6055:{\displaystyle 4n\times 2n}
6023:{\displaystyle 4n\times 2n}
5191:{\displaystyle 4n\times 4n}
1124:, we have the magic square
1069:must have duplicate cells.
10:
9785:
9469:Ng, Louis (May 13, 2018).
7262:{\displaystyle 2\times 2n}
7233:{\displaystyle 2n\times 2}
5747:{\displaystyle 2\times 2n}
3393:1 + 5 + 6 = 2 + 3 + 7 = 62
1063:most-perfect magic squares
9710:
9684:
9652:Higher dimensional shapes
9651:
9643:Most-perfect magic square
9605:
9594:
9555:
7455:rectangle with the first
7335:most-perfect magic square
7117:{\displaystyle 2\times 2}
6837:{\displaystyle A+4nB-4nC}
6030:rectangle into the right
5162:pandiagonal magic squares
3412:, respectively given by:
836:translationally symmetric
755:{\displaystyle 3a_{22}=s}
715:{\displaystyle 3a_{22}=s}
96:{\displaystyle n\times n}
9697:Pandiagonal magic square
9692:Associative magic square
9633:Pandiagonal magic square
7211:square. Especially each
5249:columns of the square.
32:pandiagonal magic square
9486:Magic Squares and Cubes
4894:{\displaystyle 6n\pm 1}
4865:{\displaystyle 6n\pm 1}
3953:{\displaystyle 6n\pm 1}
3694:{\displaystyle 7A+B-7C}
809:geometric magic squares
48:diabolical magic square
9175:
9098:
9069:
8769:
7736:
7478:
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6769:
6303:
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126:{\displaystyle 8n^{2}}
97:
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8768:{\displaystyle A^{T}}
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2785:
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2218:
2139:
2057:
1978:
1895:
1803:
826:
797:
764:. In fact, using the
757:
717:
677:
617:
560:
533:
476:
417:
357:
332:
141:It can be shown that
128:
98:
9110:
9097:{\displaystyle 6n+3}
9079:
9068:{\displaystyle 6n+3}
9050:
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8199:
8196:
8193:
7955:
7952:
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7946:
7943:
7940:
7690:
7477:{\displaystyle 6n+3}
7459:
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5988:
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1908:
1819:
1811:with magic constant
1351:
1096:. For example, with
774:
730:
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630:
573:
546:
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81:
9733:Eight queens puzzle
3385:1+7 = 2+6 = 3+5 = 8
1342:linear combinations
9171:
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6834:
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6768:{\displaystyle 4n}
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5219:{\displaystyle 2n}
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3380:1+5+6 = 2+3+7 = 12
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3048:
2955:The net result is
2941:
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1058:
786:
355:{\displaystyle s}
44:diabolical square
16:(Redirected from
9776:
9711:Related concepts
9618:Antimagic square
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