869:
488:
864:{\displaystyle 27{\frac {(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}}{4b^{2}c^{2}}}{\frac {(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}}{4a^{2}c^{2}}}{\frac {(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{4a^{2}b^{2}}}\leq {\frac {4S^{2}}{b^{2}c^{2}}}{\frac {4S^{2}}{a^{2}c^{2}}}{\frac {4S^{2}}{a^{2}b^{2}}}}
268:
1046:
1258:
1141:
357:
924:
431:
81:
480:
399:
936:
1149:
1397:
1054:
1263:
Since the angles of the triangle are acute, the tangent of each corner is positive, which means that the inequality above is correct by
1291:
279:
1433:
1390:
877:
1539:
1534:
1383:
1276:
273:
This inequality fails for general triangles (to which Ono's original conjecture applied), as shown by the
1508:
1443:
1488:
263:{\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4S)^{6}.}
404:
1428:
43:
by Tôda Ono (小野藤太) in 1914, the inequality is actually false; however, the statement is true for
443:
1503:
1463:
1458:
1418:
1513:
366:
1143:
which is true for all triangles in euclidean plane, we transform the inequality above into:
1498:
372:
362:
1303:
8:
1483:
1478:
1493:
1468:
1423:
1453:
1358:
1438:
1361:
1299:
1264:
1041:{\displaystyle 27(\cos {A}\cos {B}\cos {C})^{2}\leq (\sin {A}\sin {B}\sin {C})^{2}}
1253:{\displaystyle 27(\tan {A}\tan {B}\tan {C})\leq (\tan {A}+\tan {B}+\tan {C})^{3}}
36:
1448:
927:
274:
44:
1528:
1337:
Lukarevski, M. (2017). "An alternate proof of
Gerretsen's inequalities".
56:
20:
1375:
1407:
40:
1366:
1136:{\displaystyle \tan {A}+\tan {B}+\tan {C}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}}
32:
28:
352:{\displaystyle a=2,\,\,b=3,\,\,c=4,\,\,S=3{\sqrt {15}}/4.}
55:
Consider an acute triangle (meaning a triangle with three
1356:
888:
1152:
1057:
939:
880:
491:
446:
407:
375:
361:
The inequality holds with equality in the case of an
282:
84:
1252:
1135:
1040:
918:
863:
474:
425:
393:
351:
262:
1526:
50:
1391:
926:for the area of triangle, and applying the
919:{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}bc\sin {A}}
59:) in the Euclidean plane with side lengths
1398:
1384:
1336:
1405:
1288:
440:Dividing both sides of the inequality by
324:
323:
310:
309:
296:
295:
1323:
1527:
1289:Balitrand, F. (1916). "Problem 4417".
1379:
1357:
1324:Quijano, G. (1915). "Problem 4417".
47:, as shown by F. Balitrand in 1916.
1310:
13:
14:
1551:
1350:
1311:Ono, T. (1914). "Problem 4417".
1241:
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1192:
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177:
137:
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88:
1:
1282:
1277:List of triangle inequalities
1051:And then using the identity
7:
1270:
475:{\displaystyle 64(abc)^{4}}
51:Statement of the inequality
39:. In its original form, as
10:
1556:
930:to the left side, we get:
1414:
435:
16:Theorem about triangles
1254:
1137:
1042:
920:
865:
476:
427:
395:
353:
264:
1540:Triangle inequalities
1535:Disproved conjectures
1434:Euler's sum of powers
1255:
1138:
1043:
921:
866:
477:
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394:{\displaystyle 1,1,1}
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1055:
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405:
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363:equilateral triangle
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1424:Chinese hypothesis
1359:Weisstein, Eric W.
1250:
1133:
1038:
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874:Using the formula
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365:, in which up to
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25:Ono's inequality
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