2825:
1780:
2399:
1370:
2820:{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \quad {\text{or}}\quad {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}
1775:{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} \;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}}
6212:
5817:
7768:
251:
5824:
5429:
8032:
6207:{\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}
5812:{\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}
4188:
4617:
5424:
2128:
454:
4009:
7188:
Even for a well conditioned full rank matrix, Gaussian elimination does not behave correctly: it introduces rounding errors that are too large for getting a significant result. As the computation of the kernel of a matrix is a special instance of solving a homogeneous system of linear equations, the
1361:
3339:
3863:
841:
3062:
4440:
5251:
2011:
335:
922:
2922:
241:
6624:
1245:
3971:
3723:
3213:
5244:
In fact, the computation may be stopped as soon as the upper matrix is in column echelon form: the remainder of the computation consists in changing the basis of the vector space generated by the columns whose upper part is zero.
4429:
3734:
3458:
5011:
741:
3187:
2979:
4445:
2427:
1398:
4183:{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad \mathrm {and} \quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0,}
2306:
6915:
628:
5223:
5151:
6526:
6483:
846:
2842:
533:
135:
3649:
3365:
7325:
Linear algebra, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. Almost all of the material in this article can be found in
6850:
681:
7074:
6971:
6814:
4612:{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}}
5419:{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}.}
3878:
3644:
4819:
6433:
2123:{\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}.}
449:{\displaystyle L\left(\mathbf {v} _{1}\right)=L\left(\mathbf {v} _{2}\right)\quad {\text{ if and only if }}\quad L\left(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\right)=\mathbf {0} .}
736:
6995:
6761:
6551:
4690:
1183:
1161:
4266:
972:
314:
3360:
1012:
4881:
3637:
3539:
3117:
6737:
6705:
6674:
7095:
7039:
7016:
6937:
6781:
6644:
6546:
2252:
1356:{\displaystyle \operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}\mid A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.}
7177:, even when it is an approximation of a matrix of a much smaller rank. Even for a full-rank matrix, it is possible to compute its kernel only if it is
550:
7189:
kernel may be computed with any of the various algorithms designed to solve homogeneous systems. A state of the art software for this purpose is the
3334:{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}
3111:, below for methods better suited to more complex calculations). The illustration also touches on the row space and its relation to the kernel.
3858:{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\quad ({\text{where }}c\in \mathbb {R} )}
477:
6442:
Proof that the method computes the kernel: Since column operations correspond to post-multiplication by invertible matrices, the fact that
3872:
7169:, the problem of computing the kernel makes sense only for matrices such that the number of rows is equal to their rank: because of the
6856:
836:{\displaystyle \operatorname {Rank} (L)=\dim(\operatorname {im} L)\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {Nullity} (L)=\dim(\ker L),}
7402:
7371:
3057:{\displaystyle \left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)\right\},}
7626:
7959:
5182:
5110:
8017:
6488:
6445:
3559:
3474:
7560:
7476:
7466:
7455:
4769:
6227:
8071:
7539:
7499:
7436:
8007:
4648:
7969:
7905:
6819:
2376:
of the associated linear transformation. The kernel, the row space, the column space, and the left null space of
645:
467:
7046:
6943:
6786:
917:{\displaystyle \operatorname {Rank} (L)+\operatorname {Nullity} (L)=\dim \left(\operatorname {domain} L\right).}
7599:
2917:{\displaystyle A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0} }
236:{\displaystyle \ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}=L^{-1}(\mathbf {0} ).}
7141:
For coefficients in a finite field, Gaussian elimination works well, but for the large matrices that occur in
7588:
3550:
3465:
8061:
7747:
7619:
3544:
7852:
7702:
7583:
5046:
7578:
7757:
7651:
7228:
7213:
4254:
3342:
1364:
1097:
17:
7997:
7646:
7127:
6619:{\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}P={\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}},}
7989:
7872:
7178:
7135:
2247:
1992:
1223:
1075:
1061:
700:
544:
463:
6978:
6744:
1166:
1144:
8056:
8035:
7964:
7612:
3966:{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.}
3718:{\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aligned}}}
31:
7550:
7799:
7732:
7722:
7419:
7150:
5080:
3992:
3078:
937:
284:
7814:
7809:
7804:
7737:
7682:
7218:
7166:
7106:
The problem of computing the kernel on a computer depends on the nature of the coefficients.
5821:
Putting the upper part in column echelon form by column operations on the whole matrix gives
5059:
4763:
3204:
2396:
The kernel also plays a role in the solution to a nonhomogeneous system of linear equations:
2227:
2202:
985:
975:
7378:
7824:
7789:
7776:
7667:
7253:
5862:
5467:
5084:
3728:
3092:
1921:
1239:
1037:
1027:
58:
6713:
6681:
6650:
8:
8002:
7882:
7857:
7707:
7115:
5176:
5038:
3107:
The following is a simple illustration of the computation of the kernel of a matrix (see
1135:
1045:
931:
321:
7347:
7712:
7123:
7080:
7024:
7001:
6922:
6766:
6629:
6531:
1041:
540:
7482:
8066:
7910:
7867:
7794:
7687:
7556:
7535:
7495:
7472:
7451:
7432:
7396:
7154:
7119:
4839:
7915:
7819:
7672:
7203:
7182:
5105:
4424:{\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})}
7146:
7122:
more efficiently than with
Gaussian elimination. It is even more efficient to use
2963:
and an arbitrary element of the kernel. That is, the solution set to the equation
7974:
7767:
7727:
7717:
7243:
7238:
5169:
3978:
3453:{\displaystyle {\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned}}}
3096:
1813:
1040:, which are generalizations of vector spaces where the scalars are elements of a
274:
250:
62:
7979:
7900:
7635:
7248:
7170:
5006:{\displaystyle s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ).}
4876:
4852:
3182:{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.}
1902:. This follows from the distributivity of matrix multiplication over addition.
8050:
8012:
7935:
7895:
7862:
7842:
7223:
2171:
61:
which is mapped to the zero vector of the co-domain; the kernel is always a
7945:
7834:
7784:
7677:
7595:
7275:
7233:
7142:
7131:
4628:
2365:
1033:
80:
6372:
6304:
6239:
7925:
7890:
7847:
7692:
5238:
2215:, if and only if it is perpendicular to every vector in the row space of
2190:
2005:
1846:
1219:
125:
38:
5179:
by
Gaussian elimination (or any other suitable method), we get a matrix
1199:. The kernel of this linear map is the set of solutions to the equation
1048:. The domain of the mapping is a module, with the kernel constituting a
7954:
7697:
7527:
6592:
6560:
6497:
6454:
5833:
5438:
5191:
5119:
2301:{\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.}
1105:
46:
7149:
computation, better algorithms are known, which have roughly the same
3875:
ranging over all real numbers, this can be expressed equally well as:
7752:
7174:
4631:
of all continuous real-valued functions on the interval , and define
2347:
2182:
1049:
1015:
1786:
is the same as the solution set to the above homogeneous equations.
7920:
7208:
4201:
These two (linearly independent) row vectors span the row space of
2373:
2320:
1052:. Here, the concepts of rank and nullity do not necessarily apply.
6910:{\displaystyle \mathbf {w} =P^{-1}\mathbf {v} =C^{-1}\mathbf {v} }
3977:
is precisely the solution set to these equations (in this case, a
7604:
7114:
If the coefficients of the matrix are exactly given numbers, the
3462:
The same linear equations can also be written in matrix form as:
7302:
623:{\displaystyle \dim(\ker L)+\dim(\operatorname {im} L)=\dim(V).}
7930:
7190:
4729:
be the vector space of all infinitely differentiable functions
2178:(since orthogonality is defined as having a dot product of 0).
7134:(this avoids the overhead induced by the non-linearity of the
2391:
5218:{\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}.}
5146:{\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}},}
5019:
is the one-dimensional subspace consisting of all vectors
2924:
Thus, the difference of any two solutions to the equation
1115:
7471:, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM),
7130:, which reduces the problem to several similar ones over
6521:{\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}}
6478:{\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}}
7303:"Kernel (Nullspace) | Brilliant Math & Science Wiki"
7076:
is a linear combination of the corresponding columns of
3108:
1014:. This is the generalization to linear operators of the
6220:
are zero columns. Therefore, the three last vectors of
4224:, we have an illustration of the rank-nullity theorem.
3727:
The elements of the kernel can be further expressed in
2839:
are two possible solutions to the above equation, then
5266:
5074:
4137:
4105:
4047:
4018:
3926:
3887:
3782:
3743:
3307:
3271:
3222:
3132:
2031:
528:{\displaystyle \operatorname {im} (L)\cong V/\ker(L).}
328:
if and only if their difference lies in the kernel of
7083:
7049:
7027:
7004:
6981:
6946:
6925:
6859:
6822:
6789:
6769:
6747:
6716:
6684:
6653:
6632:
6554:
6534:
6491:
6448:
6230:
5827:
5432:
5254:
5185:
5113:
4884:
4772:
4651:
4443:
4269:
4012:
3881:
3737:
3647:
3553:
3468:
3363:
3216:
3120:
2982:
2845:
2402:
2255:
2014:
1373:
1248:
1169:
1147:
988:
940:
849:
843:
so that the rank–nullity theorem can be restated as
744:
703:
648:
553:
480:
338:
287:
138:
7043:
one may deduce that this is the case if and only if
1363:The matrix equation is equivalent to a homogeneous
7089:
7068:
7033:
7010:
6989:
6965:
6931:
6909:
6844:
6808:
6775:
6755:
6731:
6699:
6668:
6638:
6618:
6540:
6520:
6477:
6427:
6206:
5811:
5418:
5217:
5145:
5005:
4813:
4684:
4611:
4423:
4182:
3965:
3857:
3717:
3631:
3533:
3452:
3333:
3189:The kernel of this matrix consists of all vectors
3181:
3064:Geometrically, this says that the solution set to
3056:
2916:
2819:
2300:
2122:
1774:
1355:
1177:
1155:
1006:
966:
916:
835:
730:
675:
622:
527:
448:
308:
235:
6370:
6369:
6302:
6301:
6237:
6236:
2174:(or perpendicular) to each of the row vectors of
8048:
7511:Elementary Linear Algebra (Applications Version)
4838:whose derivatives are zero, i.e. the set of all
4190:which illustrates that vectors in the kernel of
2957:can be expressed as the sum of a fixed solution
7153:, but are faster and behave better with modern
7173:, a floating-point matrix has almost always a
3641:Rewriting the matrix in equation form yields:
1082:is finite-dimensional, then a linear operator
7620:
7160:
6528:means that there exists an invertible matrix
5083:of the kernel of a matrix may be computed by
4194:are orthogonal to each of the row vectors of
2944:It follows that any solution to the equation
7549:Trefethen, Lloyd N.; Bau, David III (1997),
7548:
1986:
1021:
6845:{\displaystyle B\mathbf {w} =\mathbf {0} ,}
676:{\displaystyle \dim(\operatorname {im} L),}
65:of the domain. That is, given a linear map
7627:
7613:
7600:Introduction to the Null Space of a Matrix
7468:Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
7069:{\displaystyle \mathbf {v} =C\mathbf {w} }
6966:{\displaystyle B\mathbf {w} =\mathbf {0} }
6809:{\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {0} }
6363:
6295:
4599:
4595:
4575:
4571:
4551:
4547:
4517:
4513:
4493:
4489:
4469:
4465:
4369:
3109:§ Computation by Gaussian elimination
2798:
2794:
2764:
2760:
2756:
2752:
2722:
2718:
2684:
2649:
2645:
2615:
2611:
2607:
2603:
2576:
2572:
2530:
2526:
2496:
2492:
2488:
2484:
2457:
2453:
2392:Nonhomogeneous systems of linear equations
1755:
1751:
1721:
1717:
1713:
1709:
1679:
1675:
1641:
1613:
1609:
1579:
1575:
1571:
1567:
1540:
1536:
1501:
1497:
1467:
1463:
1459:
1455:
1428:
1424:
1396:
1395:
1391:
1390:
1032:The notion of kernel also makes sense for
4437:is the set of solutions to the equations
3848:
1171:
1149:
1055:
693:refers to the dimension of the kernel of
7319:
7101:
3341:which can be expressed as a homogeneous
2197:. By the above reasoning, the kernel of
638:refers to the dimension of the image of
458:From this, it follows that the image of
249:
7260:
1185:), that is operating on column vectors
1120:Consider a linear map represented as a
1116:Representation as matrix multiplication
14:
8049:
8018:Comparison of linear algebra libraries
7522:(7th ed.), Pearson Prentice Hall.
7401:: CS1 maint: archived copy as title (
6975:if and only if the nonzero entries of
5233:such that the corresponding column of
4814:{\displaystyle D(f)={\frac {df}{dx}}.}
2246:. These quantities are related by the
1834:, has the following three properties:
1789:
7608:
7508:
7492:Linear Algebra: A Modern Introduction
7489:
7464:
7426:
7420:Linear algebra § Further reading
7345:
7330:
7273:
7109:
6428:{\displaystyle \left,\;\left,\;\left}
4253:is the solution set to a homogeneous
4006:The following dot products are zero:
2350:of a matrix. The left null space of
2234:, and the dimension of the kernel of
7526:
7517:
7513:(9th ed.), Wiley International.
7341:
7339:
7297:
7295:
5229:consists in the non-zero columns of
4257:. As in the above illustration, if
2364:is the orthogonal complement to the
2205:to the row space. That is, a vector
94:is the vector space of all elements
7448:Linear Algebra and Its Applications
7445:
7326:
7118:of the matrix may be computed with
5075:Computation by Gaussian elimination
27:Vectors mapped to 0 by a linear map
24:
7634:
6997:correspond to the zero columns of
4205:—a plane orthogonal to the vector
4095:
4092:
4089:
2310:
2222:The dimension of the row space of
1249:
25:
8083:
7571:
7431:(2nd ed.), Springer-Verlag,
7336:
7292:
5045:is a subspace, the kernel of the
254:Kernel and image of a linear map
8031:
8030:
8008:Basic Linear Algebra Subprograms
7766:
7520:Linear Algebra With Applications
7450:(3rd ed.), Addison Wesley,
7062:
7051:
6983:
6959:
6951:
6903:
6882:
6861:
6835:
6827:
6802:
6794:
6749:
3547:, the matrix can be reduced to:
3024:
3016:
3008:
2997:
2989:
2910:
2902:
2894:
2886:
2875:
2861:
2853:
2415:
2407:
2105:
2091:
2074:
2060:
2050:
2036:
2019:
1386:
1378:
1341:
1333:
1309:
439:
420:
405:
374:
348:
223:
194:
183:
163:
7906:Seven-dimensional cross product
7413:
7165:For matrices whose entries are
4099:
4087:
3832:
3102:
2425:
2419:
2327:consists of all column vectors
2004:can be written in terms of the
790:
784:
394:
388:
7364:
7267:
4997:
4952:
4946:
4888:
4782:
4776:
4676:
4670:
4661:
4655:
4418:
4318:
4312:
4273:
3852:
3833:
3043:
3037:
2865:
2849:
2286:
2280:
2268:
2262:
2150:denote the rows of the matrix
1392:
1297:
1291:
1279:
1273:
1261:
1255:
1001:
995:
961:
955:
880:
874:
862:
856:
827:
815:
803:
797:
781:
769:
757:
751:
722:
710:
667:
655:
614:
608:
596:
584:
572:
560:
519:
513:
493:
487:
297:
227:
219:
187:
179:
151:
145:
13:
1:
7494:(2nd ed.), Brooks/Cole,
6646:in column echelon form. Thus
6435:are a basis of the kernel of
5104:, we construct first the row
4855:of infinitely many copies of
4827:consists of all functions in
2354:is the same as the kernel of
1100:if and only if the kernel of
731:{\displaystyle \dim(\ker L).}
245:
7748:Eigenvalues and eigenvectors
7138:of integer multiplication).
6990:{\displaystyle \mathbf {w} }
6756:{\displaystyle \mathbf {v} }
4685:{\displaystyle L(f)=f(0.3).}
1178:{\displaystyle \mathbb {C} }
1156:{\displaystyle \mathbb {R} }
7:
7584:Encyclopedia of Mathematics
7427:Axler, Sheldon Jay (1997),
7196:
6939:is in column echelon form,
5090:For this purpose, given an
4227:
2384:associated with the matrix
1018:, or coimage, of a matrix.
974:can be identified with the
10:
8088:
7417:
7229:Four fundamental subspaces
7214:System of linear equations
7161:Floating point computation
6216:The last three columns of
5248:For example, suppose that
4698:consists of all functions
4255:system of linear equations
3987:). Here, since the vector
3343:system of linear equations
2382:four fundamental subspaces
2185:, or coimage, of a matrix
1990:
1365:system of linear equations
1059:
1025:
391: if and only if
29:
8026:
7988:
7944:
7881:
7833:
7775:
7764:
7660:
7642:
7429:Linear Algebra Done Right
7128:Chinese remainder theorem
6763:belongs to the kernel of
5225:A basis of the kernel of
4220:, and the dimension 3 of
2360:. The left null space of
1987:The row space of a matrix
1822:. That is, the kernel of
1076:topological vector spaces
1022:Generalization to modules
967:{\displaystyle V/\ker(L)}
309:{\displaystyle L:V\to W,}
8072:Numerical linear algebra
7552:Numerical Linear Algebra
7518:Leon, Steven J. (2006),
7333:, and Strang's lectures.
7151:computational complexity
7136:computational complexity
4764:differentiation operator
3545:Gauss–Jordan elimination
1062:Topological vector space
132:, or more symbolically:
7465:Meyer, Carl D. (2001),
2008:of vectors as follows:
1134:with coefficients in a
1007:{\displaystyle \ker(L)}
32:Kernel (disambiguation)
7733:Row and column vectors
7509:Anton, Howard (2005),
7446:Lay, David C. (2005),
7348:"Rank-Nullity Theorem"
7167:floating-point numbers
7091:
7070:
7035:
7012:
6991:
6967:
6933:
6911:
6846:
6810:
6777:
6757:
6733:
6701:
6670:
6640:
6620:
6542:
6522:
6479:
6429:
6208:
5813:
5420:
5219:
5147:
5007:
4815:
4686:
4613:
4425:
4184:
3981:through the origin in
3967:
3859:
3729:parametric vector form
3719:
3633:
3632:{\displaystyle \left.}
3535:
3534:{\displaystyle \left.}
3454:
3335:
3183:
3058:
2937:lies in the kernel of
2918:
2821:
2346:, where T denotes the
2302:
2211:lies in the kernel of
2193:of the row vectors of
2124:
1776:
1357:
1179:
1157:
1056:In functional analysis
1008:
968:
918:
837:
732:
677:
624:
529:
450:
310:
266:
237:
7738:Row and column spaces
7683:Scalar multiplication
7490:Poole, David (2006),
7352:mathworld.wolfram.com
7280:mathworld.wolfram.com
7219:Row and column spaces
7102:Numerical computation
7092:
7071:
7036:
7013:
6992:
6968:
6934:
6912:
6847:
6811:
6778:
6758:
6734:
6702:
6671:
6641:
6621:
6543:
6523:
6480:
6430:
6209:
5814:
5421:
5220:
5148:
5060:orthogonal complement
5047:orthogonal projection
5008:
4816:
4687:
4614:
4426:
4247:, then the kernel of
4185:
3968:
3860:
3720:
3634:
3536:
3455:
3336:
3184:
3059:
2919:
2822:
2372:, and is dual to the
2303:
2203:orthogonal complement
2125:
1777:
1358:
1218:is understood as the
1180:
1158:
1009:
976:orthogonal complement
969:
919:
838:
733:
678:
625:
530:
451:
311:
253:
238:
57:, is the part of the
7873:Gram–Schmidt process
7825:Gaussian elimination
7579:"Kernel of a matrix"
7261:Notes and references
7254:Fredholm alternative
7181:, i.e. it has a low
7081:
7047:
7025:
7002:
6979:
6944:
6923:
6857:
6820:
6787:
6767:
6745:
6732:{\displaystyle AC=B}
6714:
6700:{\displaystyle IP=C}
6682:
6669:{\displaystyle AP=B}
6651:
6630:
6552:
6532:
6489:
6446:
6228:
5825:
5430:
5252:
5183:
5111:
5085:Gaussian elimination
4882:
4770:
4649:
4441:
4267:
4010:
3879:
3735:
3645:
3551:
3466:
3361:
3214:
3118:
3114:Consider the matrix
3093:Fredholm alternative
2980:
2843:
2400:
2253:
2248:rank–nullity theorem
2160:is in the kernel of
2012:
1993:Rank–nullity theorem
1845:always contains the
1371:
1246:
1240:set-builder notation
1167:
1145:
1028:Module (mathematics)
986:
938:
847:
742:
701:
646:
551:
545:rank–nullity theorem
478:
336:
285:
281:. In the linear map
136:
49:, also known as the
30:For other uses, see
8062:Functional analysis
8003:Numerical stability
7883:Multilinear algebra
7858:Inner product space
7708:Linear independence
7346:Weisstein, Eric W.
7274:Weisstein, Eric W.
7116:column echelon form
5177:column echelon form
5039:inner product space
5013:Then the kernel of
4821:Then the kernel of
4692:Then the kernel of
4431:then the kernel of
4216:, the nullity 1 of
4212:With the rank 2 of
1790:Subspace properties
1782:Thus the kernel of
932:inner product space
543:, this implies the
7713:Linear combination
7124:modular arithmetic
7110:Exact coefficients
7087:
7066:
7031:
7020:By multiplying by
7008:
6987:
6963:
6929:
6907:
6842:
6806:
6773:
6753:
6729:
6697:
6666:
6636:
6616:
6607:
6575:
6538:
6518:
6512:
6475:
6469:
6425:
6418:
6353:
6285:
6204:
6195:
5848:
5809:
5800:
5453:
5416:
5407:
5215:
5206:
5143:
5134:
5003:
4840:constant functions
4811:
4682:
4609:
4607:
4421:
4180:
4165:
4126:
4075:
4036:
3963:
3954:
3909:
3855:
3826:
3765:
3715:
3713:
3629:
3620:
3531:
3522:
3450:
3448:
3331:
3322:
3293:
3260:
3179:
3170:
3054:
2914:
2817:
2815:
2298:
2154:. It follows that
2120:
2111:
1772:
1770:
1353:
1175:
1153:
1004:
964:
914:
833:
728:
673:
620:
541:finite-dimensional
535:In the case where
525:
446:
306:
267:
233:
8044:
8043:
7911:Geometric algebra
7868:Kronecker product
7703:Linear projection
7688:Vector projection
7562:978-0-89871-361-9
7478:978-0-89871-454-8
7457:978-0-321-28713-7
7155:computer hardware
7120:Bareiss algorithm
7090:{\displaystyle C}
7034:{\displaystyle C}
7011:{\displaystyle B}
6932:{\displaystyle B}
6816:) if and only if
6776:{\displaystyle A}
6639:{\displaystyle B}
6541:{\displaystyle P}
4806:
4263:is the operator:
3999:. The nullity of
3995:of the kernel of
3839:
3703:
3673:
3081:of the kernel of
2683:
2423:
2164:, if and only if
1766:
1640:
1226:of the kernel of
788:
392:
16:(Redirected from
8079:
8034:
8033:
7916:Exterior algebra
7853:Hadamard product
7770:
7758:Linear equations
7629:
7622:
7615:
7606:
7605:
7592:
7566:
7545:
7523:
7514:
7505:
7486:
7481:, archived from
7461:
7442:
7407:
7406:
7400:
7392:
7390:
7389:
7383:
7377:. Archived from
7376:
7368:
7362:
7361:
7359:
7358:
7343:
7334:
7323:
7317:
7316:
7314:
7313:
7299:
7290:
7289:
7287:
7286:
7271:
7204:Kernel (algebra)
7183:condition number
7179:well conditioned
7098:
7096:
7094:
7093:
7088:
7075:
7073:
7072:
7067:
7065:
7054:
7042:
7040:
7038:
7037:
7032:
7019:
7017:
7015:
7014:
7009:
6996:
6994:
6993:
6988:
6986:
6974:
6972:
6970:
6969:
6964:
6962:
6954:
6938:
6936:
6935:
6930:
6918:
6916:
6914:
6913:
6908:
6906:
6901:
6900:
6885:
6880:
6879:
6864:
6851:
6849:
6848:
6843:
6838:
6830:
6815:
6813:
6812:
6807:
6805:
6797:
6782:
6780:
6779:
6774:
6762:
6760:
6759:
6754:
6752:
6741:A column vector
6740:
6738:
6736:
6735:
6730:
6708:
6706:
6704:
6703:
6698:
6677:
6675:
6673:
6672:
6667:
6645:
6643:
6642:
6637:
6625:
6623:
6622:
6617:
6612:
6611:
6580:
6579:
6547:
6545:
6544:
6539:
6527:
6525:
6524:
6519:
6517:
6516:
6484:
6482:
6481:
6476:
6474:
6473:
6438:
6434:
6432:
6431:
6426:
6424:
6420:
6419:
6359:
6355:
6354:
6291:
6287:
6286:
6223:
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