506:
27:
1108:
595:. Note that since the particles in the ideal gas are non-interacting, the probability of finding a particle at a certain distance from another particle is the same as the probability of finding a particle at the same distance from any other point; we shall use the center of the sphere.
865:
1726:
2112:
1905:
472:, so one has to exercise care if an article fails to define the parameter exactly. On the other hand, it is often used in qualitative statements where such a numeric factor is either irrelevant or plays an insignificant role, e.g.,
1408:
1300:
1562:
1103:{\displaystyle P_{N}(r)dr=4\pi r^{2}dr{\frac {N}{V}}\left(1-{\frac {4\pi }{3}}r^{3}/V\right)^{N-1}={\frac {3}{a}}\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}dr\left(1-\left({\frac {r}{a}}\right)^{3}{\frac {1}{N}}\right)^{N-1}\,}
2010:
1175:
341:
229:
1474:
1575:
2021:
1770:
1228:
787:
857:
418:
1928:
1762:
276:
model, precise calculations of the proportionality factor are impossible analytically. Therefore, approximate expressions are often used. One such estimation is the
593:
266:
734:
470:
662:
450:
372:
168:
1198:
807:
705:
682:
636:
616:
559:
539:
1308:
1233:
2130:
Hertz, Paul (1909). "Ăśber den gegenseitigen durchschnittlichen
Abstand von Punkten, die mit bekannter mittlerer Dichte im Raume angeordnet sind".
1485:
1940:
44:
518:
91:
63:
70:
1119:
142:
From the very general considerations, the mean inter-particle distance is proportional to the size of the per-particle volume
77:
285:
59:
176:
269:
110:
1721:{\displaystyle \langle r^{k}\rangle =\int _{0}^{\infty }P(r)r^{k}dr=3a^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k+2}e^{-x^{3}}dx\,,}
1419:
2107:{\displaystyle \langle r\rangle =a\Gamma ({\frac {4}{3}})={\frac {a}{3}}\Gamma ({\frac {1}{3}})\approx 0.893a\,.}
1900:{\displaystyle \langle r^{k}\rangle =a^{k}\int _{0}^{\infty }t^{k/3}e^{-t}dt=a^{k}\Gamma (1+{\frac {k}{3}})\,,}
48:
2225:
514:
1207:
84:
809:
kinds of way to choose which particle, while the probability to find a particle outside that sphere is
739:
812:
2210:
488:
277:
37:
126:(or mean inter-particle separation) is the mean distance between microscopic particles (usually
380:
1913:
1734:
484:
2182:
664:
particles are at larger distances, i.e., they are somewhere outside the sphere with radius
564:
476:"a potential energy ... is proportional to some power n of the inter-particle distance r" (
237:
710:
455:
8:
1201:
641:
427:
349:
145:
2186:
517:
of distance to the nearest neighbor (NN) particle. (The problem was first considered by
2155:
1183:
792:
690:
667:
621:
601:
544:
524:
2159:
2147:
2230:
2190:
2139:
1403:{\displaystyle P(r)={\frac {3}{a}}\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}e^{-(r/a)^{3}}\,.}
424:
corresponding to the length of the edge of the cube with the per-particle volume
2173:
Chandrasekhar, S. (1943-01-01). "Stochastic
Problems in Physics and Astronomy".
1931:
1295:{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}
477:
2219:
2151:
2194:
687:
The probability to find a particle at the distance from the origin between
1557:{\displaystyle r_{\text{peak}}=\left(2/3\right)^{1/3}a\approx 0.874a\,.}
2143:
2005:{\displaystyle \langle r^{k}\rangle =a^{k}\Gamma (1+{\frac {k}{3}})\,.}
346:
which corresponds to the radius of a sphere having per-particle volume
505:
273:
131:
26:
483:"the inter-particle distance is much larger than the thermal
127:
452:. The two definitions differ by a factor of approximately
1170:{\displaystyle {\frac {1}{V}}={\frac {3}{4\pi Na^{3}}}.}
336:{\displaystyle \left({\frac {3}{4\pi n}}\right)^{1/3},}
2024:
1943:
1916:
1773:
1737:
1578:
1488:
1422:
1311:
1236:
1210:
1186:
1122:
868:
815:
795:
742:
713:
693:
670:
644:
624:
604:
567:
547:
527:
521:; for a modern derivation see, e.g.,.) Let us assume
458:
430:
383:
352:
288:
240:
179:
148:
1567:
638:particles resides at that distance while the rest
51:. Unsourced material may be challenged and removed.
2106:
2004:
1922:
1899:
1756:
1720:
1556:
1468:
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1169:
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851:
801:
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699:
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610:
587:
553:
533:
464:
444:
412:
366:
335:
272:. However, barring a few simple cases such as the
260:
223:
162:
2217:
1238:
500:
224:{\displaystyle \langle r\rangle \sim 1/n^{1/3},}
1469:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }P(r)dr=1\,.}
2172:
2031:
2025:
1957:
1944:
1787:
1774:
1592:
1579:
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180:
2100:
1998:
1893:
1714:
1550:
1462:
1396:
1099:
111:Learn how and when to remove this message
541:particles inside a sphere having volume
509:PDF of the NN distances in an ideal gas.
504:
2218:
2129:
1223:{\displaystyle N\rightarrow \infty }
859:. The sought-for expression is then
49:adding citations to reliable sources
20:
13:
2072:
2040:
1973:
1917:
1868:
1813:
1667:
1608:
1433:
1248:
1217:
14:
2242:
515:probability distribution function
1568:Mean distance and higher moments
782:{\displaystyle (4\pi r^{2}/V)dr}
374:. Another popular definition is
25:
1413:One can immediately check that
852:{\displaystyle 1-4\pi r^{3}/3V}
36:needs additional citations for
2166:
2123:
2088:
2075:
2056:
2043:
1995:
1976:
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1370:
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1315:
1245:
1214:
885:
879:
770:
743:
60:"Mean inter-particle distance"
1:
2117:
598:An NN particle at a distance
501:Nearest neighbor distribution
495:
137:
124:Mean inter-particle distance
7:
2204:
1479:The distribution peaks at
10:
2247:
2175:Reviews of Modern Physics
618:means exactly one of the
413:{\displaystyle 1/n^{1/3}}
134:) in a macroscopic body.
2195:10.1103/RevModPhys.15.1
1923:{\displaystyle \Gamma }
1757:{\displaystyle t=x^{3}}
2108:
2006:
1924:
1901:
1758:
1722:
1558:
1470:
1404:
1296:
1224:
1204:. Finally, taking the
1194:
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701:
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535:
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446:
414:
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337:
262:
225:
164:
2132:Mathematische Annalen
2109:
2007:
1925:
1902:
1759:
1723:
1559:
1471:
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1297:
1225:
1195:
1172:
1113:where we substituted
1105:
854:
804:
784:
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702:
679:
659:
633:
613:
590:
588:{\displaystyle n=N/V}
556:
536:
513:We want to calculate
508:
485:de Broglie wavelength
467:
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415:
369:
338:
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261:{\displaystyle n=N/V}
226:
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177:
146:
45:improve this article
2226:Concepts in physics
2211:Wigner–Seitz radius
2187:1943RvMP...15....1C
1817:
1671:
1612:
1437:
1202:Wigner-Seitz radius
657:{\displaystyle N-1}
445:{\displaystyle 1/n}
367:{\displaystyle 1/n}
278:Wigner–Seitz radius
163:{\displaystyle 1/n}
2144:10.1007/BF01450410
2104:
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1657:
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1167:
1100:
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779:
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697:
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511:
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1060:
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802:{\displaystyle N}
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677:{\displaystyle r}
631:{\displaystyle N}
611:{\displaystyle r}
554:{\displaystyle V}
534:{\displaystyle N}
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121:
120:
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1230:limit and using
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