4420:
2493:
2507:
1519:
1762:
1681:
1600:
1962:
893:
2029:
819:
1842:
737:
1007:
954:
1438:
1385:
1288:
675:
1891:
1332:
1239:
1181:
1103:
1059:
605:
406:
1146:
374:
2148:
567:
520:
304:
336:
2432:
2322:
2253:
476:
444:
210:
2111:
244:, so proper interpretation would depend on the context. Logical equivalence is different from material equivalence, although the two concepts are intrinsically related.
154:
2054:
238:
180:
2479:
2459:
2406:
2386:
2366:
2346:
2296:
2276:
2227:
2207:
128:
108:
76:
56:
2799:
1444:
1687:
1606:
3474:
1525:
252:
In logic, many common logical equivalences exist and are often listed as laws or properties. The following tables illustrate some of these.
3557:
2698:
1897:
824:
1968:
750:
2555:
2545:
1779:
680:
3871:
2162:. Semantically, (1) and (2) are true in exactly the same models (interpretations, valuations); namely, those in which either
959:
906:
4029:
1391:
1338:
1245:
2817:
3884:
3207:
618:
17:
4459:
3889:
3879:
3616:
3469:
2822:
2813:
4025:
2642:
1848:
3367:
1294:
1201:
4122:
3866:
2691:
3427:
3120:
2861:
1151:
4383:
4085:
3848:
3843:
3668:
3089:
2773:
1064:
1020:
572:
379:
1116:
4378:
4161:
4078:
3791:
3722:
3599:
2841:
347:
4454:
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4129:
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2119:
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2411:
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2753:
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4068:
4035:
3928:
3774:
3759:
3732:
3683:
3567:
3502:
3327:
3293:
3288:
3162:
2993:
2970:
133:
2634:
2481:. The statements are logically equivalent if, in every model, they have the same truth value.
4293:
4146:
3938:
3656:
3392:
3298:
3157:
3142:
3023:
2998:
2535:
2039:
215:
2626:
4266:
4228:
4105:
3909:
3749:
3673:
3651:
3479:
3437:
3336:
3303:
3167:
2955:
2866:
241:
2437:
On the other hand, the claim that two formulas are logically equivalent is a statement in
159:
8:
4395:
4286:
4271:
4251:
4208:
4095:
4045:
3971:
3916:
3853:
3646:
3641:
3589:
3357:
3346:
3018:
2846:
2837:
2833:
2768:
2763:
2520:
2178:
1011:
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3678:
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3132:
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3069:
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3013:
2988:
2758:
2707:
2525:
2464:
2444:
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2331:
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2261:
2212:
2192:
113:
93:
61:
41:
3377:
4419:
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4166:
3976:
3966:
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3574:
3550:
3331:
3315:
3220:
3197:
3074:
3043:
3008:
2903:
2738:
2638:
2627:
2622:
2512:
2498:
2229:
are logically equivalent if and only if the statement of their material equivalence (
4373:
4368:
4261:
4218:
4040:
4001:
3996:
3981:
3807:
3764:
3661:
3459:
3409:
2983:
2945:
2540:
897:
4354:
4344:
4298:
4281:
4236:
4198:
4100:
4020:
3827:
3754:
3727:
3715:
3621:
3535:
3509:
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3432:
3233:
3035:
2978:
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2851:
2587:
2174:
2159:
741:
609:
524:
240:, depending on the notation being used. However, these symbols are also used for
4339:
4318:
4276:
4256:
4151:
4006:
3604:
3594:
3584:
3579:
3513:
3387:
3263:
3152:
3147:
3125:
2726:
2530:
2155:
1107:
2116:
If Lisa is not in Europe, then she is not in
Denmark (a statement of the form
4438:
4313:
3991:
3498:
3283:
3273:
3243:
3228:
2898:
2325:
1514:{\displaystyle (p\implies q)\wedge (p\implies r)\equiv p\implies (q\wedge r)}
87:
4213:
4060:
3961:
3953:
3833:
3781:
3690:
3626:
3609:
3540:
3399:
3258:
2960:
2743:
2438:
1757:{\displaystyle (p\implies r)\vee (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r}
1676:{\displaystyle (p\implies r)\wedge (q\implies r)\equiv (p\vee q)\implies r}
2154:
Syntactically, (1) and (2) are derivable from each other via the rules of
4323:
4203:
3382:
3372:
3319:
3003:
2923:
2908:
2788:
2733:
2658:
1595:{\displaystyle (p\implies q)\vee (p\implies r)\equiv p\implies (q\vee r)}
83:
35:
1191:
3253:
3108:
3079:
2885:
4405:
4308:
3361:
3278:
3238:
3202:
3138:
2950:
2940:
2913:
2676:
2189:
Logical equivalence is different from material equivalence. Formulas
4390:
4188:
3636:
3341:
2935:
1957:{\displaystyle p\iff q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)}
888:{\displaystyle p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)}
3986:
2778:
2078:
2024:{\displaystyle \neg (p\iff q)\equiv p\iff \neg q\equiv p\oplus q}
814:{\displaystyle p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)}
1769:
2082:
1837:{\displaystyle p\iff q\equiv (p\implies q)\wedge (q\implies p)}
3530:
2876:
2721:
732:{\displaystyle (p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)}
31:
2057:
2441:, which expresses a relationship between two statements
1002:{\displaystyle \neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q}
949:{\displaystyle \neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q}
1433:{\displaystyle \neg (p\implies q)\equiv p\wedge \neg q}
1380:{\displaystyle p\wedge q\equiv \neg (p\implies \neg q)}
1283:{\displaystyle p\implies q\equiv \neg q\implies \neg p}
2467:
2447:
2414:
2394:
2374:
2354:
2334:
2304:
2284:
2264:
2235:
2215:
2195:
2181:
do not deem (1) and (2) to be logically equivalent.)
2122:
2091:
2042:
1971:
1900:
1851:
1782:
1690:
1609:
1528:
1447:
1394:
1341:
1297:
1248:
1204:
1192:
Logical equivalences involving conditional statements
1154:
1119:
1067:
1023:
962:
909:
827:
753:
683:
670:{\displaystyle (p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)}
621:
575:
537:
490:
452:
420:
382:
350:
312:
280:
218:
188:
162:
136:
116:
96:
64:
44:
2488:
2669:(New International ed.). Pearson. p. 348.
2184:
2073:The following statements are logically equivalent:
2473:
2453:
2426:
2400:
2380:
2360:
2340:
2316:
2290:
2270:
2247:
2221:
2201:
2142:
2105:
2048:
2023:
1956:
1885:
1836:
1756:
1675:
1594:
1513:
1432:
1379:
1326:
1282:
1233:
1175:
1140:
1097:
1053:
1001:
948:
887:
813:
731:
669:
599:
561:
514:
470:
438:
400:
368:
330:
298:
232:
204:
174:
148:
122:
102:
70:
50:
4436:
2657:
1886:{\displaystyle p\iff q\equiv \neg p\iff \neg q}
255:
1327:{\displaystyle p\vee q\equiv \neg p\implies q}
1234:{\displaystyle p\implies q\equiv \neg p\vee q}
2692:
1770:Logical equivalences involving biconditionals
2884:
2699:
2685:
2324:) is itself another statement in the same
2133:
2129:
2099:
2095:
2002:
1998:
1985:
1981:
1908:
1904:
1876:
1872:
1859:
1855:
1827:
1823:
1807:
1803:
1790:
1786:
1750:
1746:
1721:
1717:
1701:
1697:
1669:
1665:
1640:
1636:
1620:
1616:
1576:
1572:
1559:
1555:
1539:
1535:
1495:
1491:
1478:
1474:
1458:
1454:
1408:
1404:
1367:
1363:
1320:
1316:
1273:
1269:
1256:
1252:
1212:
1208:
1176:{\displaystyle p\wedge \neg p\equiv \bot }
226:
222:
2621:
1098:{\displaystyle p\wedge (p\vee q)\equiv p}
1054:{\displaystyle p\vee (p\wedge q)\equiv p}
600:{\displaystyle p\wedge q\equiv q\wedge p}
401:{\displaystyle p\wedge \bot \equiv \bot }
191:
1141:{\displaystyle p\vee \neg p\equiv \top }
369:{\displaystyle p\vee \top \equiv \top }
247:
14:
4437:
2706:
2434:can change from one model to another.
2408:'". In particular, the truth value of
2368:. This statement expresses the idea "'
2680:
2143:{\displaystyle \neg e\implies \neg d}
562:{\displaystyle p\vee q\equiv q\vee p}
515:{\displaystyle \neg (\neg p)\equiv p}
299:{\displaystyle p\wedge \top \equiv p}
331:{\displaystyle p\vee \bot \equiv p}
24:
2629:Introduction to Mathematical Logic
2427:{\displaystyle p\leftrightarrow q}
2317:{\displaystyle p\leftrightarrow q}
2248:{\displaystyle p\leftrightarrow q}
2134:
2123:
2003:
1972:
1945:
1936:
1877:
1866:
1424:
1395:
1368:
1354:
1310:
1274:
1263:
1219:
1170:
1161:
1135:
1126:
993:
984:
963:
940:
931:
910:
497:
491:
395:
389:
363:
357:
319:
287:
25:
4471:
471:{\displaystyle p\wedge p\equiv p}
4418:
2600:the bidirectional arrow (U+2194
2505:
2491:
2185:Relation to material equivalence
439:{\displaystyle p\vee p\equiv p}
205:{\displaystyle {\textsf {E}}pq}
2651:
2615:
2418:
2308:
2239:
2130:
2096:
1999:
1989:
1982:
1975:
1951:
1933:
1927:
1915:
1905:
1873:
1856:
1831:
1824:
1817:
1811:
1804:
1797:
1787:
1747:
1743:
1731:
1725:
1718:
1711:
1705:
1698:
1691:
1666:
1662:
1650:
1644:
1637:
1630:
1624:
1617:
1610:
1589:
1577:
1573:
1563:
1556:
1549:
1543:
1536:
1529:
1508:
1496:
1492:
1482:
1475:
1468:
1462:
1455:
1448:
1412:
1405:
1398:
1374:
1364:
1357:
1317:
1270:
1253:
1209:
1086:
1074:
1042:
1030:
978:
966:
925:
913:
882:
870:
864:
852:
846:
834:
808:
796:
790:
778:
772:
760:
726:
714:
696:
684:
664:
652:
634:
622:
503:
494:
223:
13:
1:
4379:History of mathematical logic
2608:
480:Idempotent or tautology laws
90:. The logical equivalence of
4304:Primitive recursive function
2258:The material equivalence of
2173:(Note that in this example,
256:General logical equivalences
7:
2665:; McMahon, Kenneth (2014).
2484:
2106:{\displaystyle d\implies e}
2068:
2063:
10:
4476:
3368:SchröderâBernstein theorem
3095:Monadic predicate calculus
2754:Foundations of mathematics
130:is sometimes expressed as
4460:Equivalence (mathematics)
4414:
4401:Philosophy of mathematics
4350:Automated theorem proving
4332:
4227:
4059:
3952:
3804:
3521:
3497:
3475:Von NeumannâBernaysâGödel
3420:
3314:
3218:
3116:
3107:
3034:
2969:
2875:
2797:
2714:
2085:(a statement of the form
149:{\displaystyle p\equiv q}
4051:Self-verifying theories
3872:Tarski's axiomatization
2823:Tarski's undefinability
2818:incompleteness theorems
2633:(2 ed.). pp.
2592:LEFT RIGHT DOUBLE ARROW
2548:the iff symbol (U+2261
2049:{\displaystyle \oplus }
233:{\displaystyle p\iff q}
4425:Mathematics portal
4036:Proof of impossibility
3684:propositional variable
2994:Propositional calculus
2590:biconditional (U+21D4
2475:
2455:
2428:
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