3156:
2744:
4072:
4604:. Moreover, if the base field is not algebraically closed then solvability and nilpotency of a Lie algebra is unaffected by extending the base field to its algebraic closure. Hence, one concludes the statement (the other implication is obvious):
3740:
4308:
1245:
5819:
6014:
5275:
3370:
1840:
3523:
156:
3151:{\displaystyle X\cdot v_{n+1}=Y\cdot (X\cdot v_{n})+\cdot v_{n}=Y\cdot \sum _{i=0}^{n}a_{i,n,X}v_{i}+\sum _{i=0}^{n}a_{i,n,}v_{i}=a_{0,n,}v_{0}+\sum _{i=1}^{n}(a_{i-1,n,X}+a_{i,n,})v_{i}+\lambda (X)v_{n+1},}
5620:
4748:
5223:
2494:
74:
5549:
1593:
5966:
5895:
5423:
5360:
5171:
4392:
1029:
4163:
1736:
1068:
1534:
2581:
2133:
290:
232:
3898:
2345:
4813:
1924:
1628:
4114:
1410:
2183:
2003:
1674:
4514:
4428:
4558:
2616:
2399:
2245:
1775:
813:
743:
673:
428:
364:
193:
5930:
4843:
3189:
2670:
2275:
1338:
320:
3805:
3412:
2736:
1149:
626:
464:
4684:
1371:
964:
5748:
5664:
5474:
5299:
5132:
5058:
5003:
4974:
4950:
4772:
4631:
4356:
4332:
4222:
2694:
2640:
1305:
1092:
992:
908:
884:
572:
544:
5507:
2042:
1872:
5450:
5387:
4914:
4194:
3890:
3843:
3238:
1281:
3539:
3287:
1957:
1070:
is a nonzero abelian Lie algebra, which certainly contains an ideal of codimension one and by the ideal correspondence, it corresponds to an ideal of codimension one in
854:
6034:
5859:
5724:
5640:
5324:
4242:
1118:
5093:
3258:
1462:
780:
710:
5034:
4889:
2210:
2069:
5839:
2523:
1436:
5704:
4598:
4257:
1157:
5753:
5971:
5232:
3292:
1780:
3421:
514:-dimensional representation (considered as an abelian Lie algebra) gives a solvable Lie algebra whose derived algebra is not nilpotent.
90:
5554:
381:
A consequence of Lie's theorem is that any finite dimensional solvable Lie algebra over a field of characteristic 0 has a nilpotent
4707:
5176:
4252:
2407:
1250:
is nonzero. This follows from the inductive hypothesis (it is easy to check that the eigenvalues determine a linear functional).
27:
5512:
1539:
6249:
6206:
5102:
is one-dimensional; this fact remains true over any base field since in this case every vector subspace is a Lie subalgebra.
4692:
5935:
5864:
5392:
5329:
5140:
4981:
Indeed, Lie's theorem clearly implies this statement. Conversely, assume the statement is true. Given a finite-dimensional
4361:
997:
4128:
1683:
1034:
6305:
6271:
5226:
4067:{\displaystyle X\cdot (Y\cdot v)=Y\cdot (X\cdot v)+\cdot v=Y\cdot (\lambda (X)v)+\lambda ()v=\lambda (X)(Y\cdot v),}
1467:
6331:
4169:
is a one-dimensional vector subspace. Since the base field is algebraically closed, there exists an eigenvector in
2528:
2074:
967:
382:
237:
198:
2280:
77:
6178:
4777:
1877:
1598:
4080:
1376:
6190:
2142:
1962:
1633:
4433:
4397:
4519:
2586:
2350:
2215:
1745:
785:
715:
645:
400:
336:
165:
5900:
4818:
3164:
2645:
2250:
1313:
295:
3748:
3375:
2699:
1123:
581:
433:
6182:
4636:
1343:
916:
366:
are represented by upper triangular matrices. This is a generalization of the result of
Frobenius that
5729:
5645:
5455:
5280:
5113:
5039:
4984:
4955:
4931:
4753:
4612:
4337:
4313:
4203:
2675:
2621:
1286:
1073:
973:
889:
865:
553:
525:
510:), which has no eigenvectors. Taking the semidirect product of this 3-dimensional Lie algebra by the
5479:
3735:{\displaystyle \operatorname {tr} (\pi ()|_{U})=\operatorname {tr} (|_{U}])=\operatorname {tr} ()=0}
5135:
5134:
be a finite-dimensional Lie algebra over an algebraically closed field of characteristic zero with
2008:
1845:
5428:
5365:
4899:
4172:
3848:
3810:
3202:
1259:
6054:
3263:
1929:
818:
6019:
5844:
5709:
5625:
5309:
4227:
1307:-invariant subspace. (Note this step proves a general fact and does not involve solvability.)
1103:
6048:
5063:
4601:
3243:
1441:
752:
682:
546:
and consists of several steps. (Note: the structure of the proof is very similar to that for
85:
6315:
6281:
6216:
5012:
4848:
4334:
over an algebraically closed field of characteristic zero; thus, one can choose a basis on
2188:
2047:
397:(that consist of linear transformations stabilizing the flag); thus, the theorem says that
81:
5824:
4952:
over an algebraically closed field of characteristic zero, each finite-dimensional simple
8:
5099:
2502:
1415:
375:
371:
4303:{\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}
6044:
547:
367:
159:
5669:
4563:
6301:
6267:
6245:
6234:
6220:
6202:
478:>0 Lie's theorem holds provided the dimension of the representation is less than
6293:
6266:(Republication of the 1962 original ed.), New York: Dover Publications, Inc.,
6194:
4633:
over a field of characteristic zero is solvable if and only if the derived algebra
3845:
is invertible (because of the assumption on the characteristic of the base field),
394:
1240:{\displaystyle V_{\lambda }=\{v\in V|X\cdot v=\lambda (X)v,X\in {\mathfrak {h}}\}}
6311:
6277:
6259:
6241:
6212:
5098:
The statement says in particular that a finite-dimensional simple module over an
2212:, and we get the desired contradiction. We'll prove by induction that for every
5060:-submodule (which exists by finiteness of the dimension). Then, by maximality,
486:. An example is given by the 3-dimensional nilpotent Lie algebra spanned by 1,
6297:
6198:
6325:
6224:
4704:
is a finite-dimensional vector space over a field of characteristic zero and
5095:
is simple; thus, is one-dimensional. The induction now finishes the proof.
24:
states that, over an algebraically closed field of characteristic zero, if
5814:{\displaystyle (\pi ,V)\simeq (\pi ,V)\otimes (-\lambda )\otimes \lambda }
17:
4394:
consists of upper triangular matrices. It follows easily that for each
679:
Indeed, the theorem says in particular that a nonzero vector spanning
6193:, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag.
6009:{\displaystyle {\mathfrak {g}}/\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}
5270:{\displaystyle {\mathfrak {g}}/\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}
482:(see the proof below), but can fail for representations of dimension
3365:{\displaystyle \operatorname {tr} (\pi (X)|_{U})=\dim(U)\lambda (X)}
1835:{\displaystyle v_{m}\notin \langle v_{0},\ldots ,v_{\ell }\rangle }
4976:-module (i.e., irreducible as a representation) has dimension one.
4896:
Indeed, as above, after extending the base field, the implication
3518:{\displaystyle \operatorname {tr} (\pi ()|_{U})=\dim(U)\lambda ()}
151:{\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0}
1742:. Indeed, assume by contradiction that it's not the case and let
6057:, which is about a (connected) solvable linear algebraic group.
5615:{\displaystyle \operatorname {tr} (\pi (X))=\dim(V)\lambda (X)}
1676:
are linearly independent. Then we'll prove that they generate
712:
is a common eigenvector for all the linear transformations in
5968:
and thus is the restriction of a (simple) representation of
4743:{\displaystyle {\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {gl}}(V)}
4200:. Since that vector is also eigenvector for each element of
3161:
and the induction step follows. This implies that for every
550:.) The basic case is trivial and we assume the dimension of
5218:{\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}
4916:
is seen easily. (The converse is more difficult to prove.)
2489:{\displaystyle X\cdot v_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i,n,X}v_{i}.}
634:: Observe that the theorem is equivalent to the statement:
389:). Also, to each flag in a finite-dimensional vector space
69:{\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}
5544:{\displaystyle X\in \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}
329:
Put in another way, the theorem says there is a basis for
4560:
is a strictly upper triangular matrix. This implies that
642:
that is an eigenvector for each linear transformation in
1588:{\displaystyle U=\operatorname {span} \{v_{i}|i\geq 0\}}
4122:: Finish up the proof by finding a common eigenvector.
6236:
Introduction to Lie
Algebras and Representation Theory
5301:(i.e., a linear functional vanishing on Lie brackets).
6022:
5974:
5961:{\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}
5938:
5903:
5890:{\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}
5867:
5847:
5827:
5756:
5732:
5712:
5672:
5648:
5628:
5557:
5515:
5482:
5458:
5431:
5418:{\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}
5395:
5368:
5355:{\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}
5332:
5312:
5283:
5235:
5179:
5173:. Then each finite-dimensional simple representation
5166:{\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}
5143:
5116:
5066:
5042:
5015:
4987:
4958:
4934:
4902:
4851:
4821:
4780:
4756:
4710:
4639:
4615:
4566:
4522:
4436:
4400:
4364:
4340:
4316:
4260:
4230:
4206:
4175:
4131:
4083:
3901:
3851:
3813:
3751:
3542:
3424:
3378:
3295:
3266:
3246:
3205:
3167:
2747:
2702:
2678:
2648:
2624:
2589:
2531:
2505:
2410:
2353:
2283:
2253:
2218:
2191:
2145:
2077:
2050:
2011:
1965:
1932:
1880:
1848:
1783:
1748:
1686:
1636:
1601:
1542:
1470:
1444:
1418:
1379:
1346:
1316:
1289:
1262:
1160:
1126:
1106:
1076:
1037:
1000:
976:
919:
892:
868:
821:
788:
755:
718:
685:
648:
584:
556:
528:
436:
403:
339:
298:
240:
201:
168:
93:
30:
4387:{\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}
3260:
is upper triangular with diagonal elements equal to
2583:. Now assume that we have proved the claim for some
1024:{\displaystyle D{\mathfrak {g}}\neq {\mathfrak {g}}}
6233:
6028:
6008:
5960:
5924:
5889:
5853:
5833:
5813:
5742:
5718:
5698:
5658:
5634:
5614:
5543:
5501:
5468:
5444:
5417:
5381:
5354:
5318:
5306:By Lie's theorem, we can find a linear functional
5293:
5269:
5217:
5165:
5126:
5087:
5052:
5028:
4997:
4968:
4944:
4908:
4883:
4837:
4807:
4766:
4742:
4678:
4625:
4592:
4552:
4508:
4422:
4386:
4350:
4326:
4302:
4236:
4216:
4188:
4157:
4108:
4066:
3884:
3837:
3799:
3734:
3517:
3406:
3364:
3281:
3252:
3232:
3183:
3150:
2730:
2688:
2664:
2634:
2610:
2575:
2517:
2488:
2393:
2339:
2269:
2239:
2204:
2177:
2127:
2063:
2036:
1997:
1951:
1918:
1866:
1834:
1769:
1730:
1668:
1622:
1587:
1528:
1456:
1430:
1404:
1365:
1332:
1299:
1275:
1239:
1143:
1112:
1086:
1062:
1023:
986:
958:
902:
878:
848:
807:
774:
737:
704:
667:
620:
566:
538:
474:For algebraically closed fields of characteristic
458:
422:
358:
314:
284:
226:
187:
150:
68:
4158:{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+L}
2139:each of these vectors is a linear combination of
1731:{\displaystyle \alpha =(v_{0},\ldots ,v_{\ell })}
6323:
4691:Lie's theorem also establishes one direction in
1063:{\displaystyle {\mathfrak {g}}/D{\mathfrak {g}}}
6073:
6071:
4310:of a (finite-dimensional) solvable Lie algebra
1529:{\displaystyle v_{0}=v,\,v_{i+1}=Y\cdot v_{i}}
522:The proof is by induction on the dimension of
2576:{\displaystyle X\cdot v_{0}=\lambda (X)v_{0}}
2128:{\displaystyle v_{m-\ell -1},\ldots ,v_{m-1}}
285:{\displaystyle \pi (X)(V_{i})\subseteq V_{i}}
227:{\displaystyle \operatorname {codim} V_{i}=i}
6177:
6161:
6068:
5726:is then a one-dimensional representation of
3745:since commutators have zero trace, and thus
1829:
1797:
1582:
1555:
1234:
1174:
815:admits a common eigenvector in the quotient
5425:. By Step 4 of the proof of Lie's theorem,
3529:is also obviously an invariant subspace of
2340:{\displaystyle a_{0,n,X},\ldots ,a_{n,n,X}}
16:In mathematics, specifically the theory of
5105:Here is another quite useful application:
6231:
6113:
6089:
5277:with a one-dimensional representation of
4808:{\displaystyle \operatorname {tr} (XY)=0}
4251:The theorem applies in particular to the
4196:for some (thus every) nonzero element of
2598:
2227:
1919:{\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell +1}}
1757:
1623:{\displaystyle \ell \in \mathbb {N} _{0}}
1610:
1490:
430:is contained in some Borel subalgebra of
6258:
6149:
4516:has diagonal consisting of zeros; i.e.,
4109:{\displaystyle Y\cdot v\in V_{\lambda }}
1405:{\displaystyle Y\cdot v\in V_{\lambda }}
994:is solvable and has positive dimension,
333:such that all linear transformations in
2178:{\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell }}
1998:{\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell }}
1669:{\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell }}
6324:
4509:{\displaystyle \operatorname {ad} ()=}
4423:{\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}
1100:: There exists some linear functional
578:is not zero. For simplicity, we write
6287:
6187:Representation theory. A first course
6137:
6125:
6101:
6077:
4553:{\displaystyle \operatorname {ad} ()}
3199:and the matrix of the restricted map
2611:{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}
2394:{\displaystyle a_{n,n,X}=\lambda (X)}
2240:{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}
1770:{\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}
808:{\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}
738:{\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}
668:{\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}
423:{\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}
359:{\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}
188:{\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}
5925:{\displaystyle V\otimes (-\lambda )}
4838:{\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}
3184:{\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}
2665:{\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}
2270:{\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}
1333:{\displaystyle Y\in {\mathfrak {g}}}
374:, as commuting matrices generate an
315:{\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}
5998:
5977:
5950:
5879:
5735:
5688:
5678:
5651:
5533:
5461:
5407:
5344:
5286:
5259:
5238:
5201:
5198:
5188:
5155:
5119:
5045:
4990:
4961:
4937:
4873:
4863:
4830:
4759:
4726:
4723:
4713:
4668:
4658:
4645:
4618:
4582:
4572:
4415:
4376:
4343:
4319:
4292:
4282:
4279:
4269:
4209:
4144:
4134:
3800:{\displaystyle \dim(U)\lambda ()=0}
3407:{\displaystyle \in {\mathfrak {h}}}
3399:
3176:
2731:{\displaystyle \in {\mathfrak {h}}}
2723:
2681:
2657:
2627:
2262:
1325:
1292:
1229:
1144:{\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}
1130:
1079:
1055:
1040:
1016:
1006:
979:
948:
938:
925:
895:
871:
797:
727:
657:
621:{\displaystyle X\cdot v=\pi (X)(v)}
559:
531:
459:{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}
442:
439:
412:
348:
307:
177:
52:
49:
39:
13:
5362:so that there is the weight space
4923:) is equivalent to the statement:
4693:Cartan's criterion for solvability
469:
14:
6343:
4679:{\displaystyle D{\mathfrak {g}}=}
4609:A finite-dimensional Lie algebra
1366:{\displaystyle v\in V_{\lambda }}
959:{\displaystyle D{\mathfrak {g}}=}
386:
378:, which is a fortiori solvable.
6290:Complex Semisimple Lie Algebras
5743:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
5659:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
5469:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
5294:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
5127:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
5053:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4998:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4969:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4945:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4767:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4626:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4351:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4327:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4246:
4217:{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
2689:{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
2635:{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
1300:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1087:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
987:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
903:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
879:{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
567:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
539:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
6155:
6143:
6131:
6119:
6116:, Ch. II, § 4.1., Corollary C.
6107:
6095:
6092:, Ch. II, § 4.1., Corollary A.
6083:
6003:
5993:
5955:
5945:
5919:
5910:
5884:
5874:
5802:
5793:
5787:
5775:
5769:
5757:
5693:
5673:
5609:
5603:
5597:
5591:
5579:
5576:
5570:
5564:
5538:
5528:
5502:{\displaystyle V=V_{\lambda }}
5412:
5402:
5349:
5339:
5264:
5254:
5229:of a simple representation of
5212:
5206:
5193:
5160:
5150:
4903:
4878:
4858:
4796:
4787:
4737:
4731:
4673:
4653:
4587:
4567:
4547:
4544:
4532:
4529:
4503:
4500:
4494:
4482:
4476:
4467:
4461:
4458:
4446:
4443:
4381:
4371:
4297:
4287:
4274:
4058:
4046:
4043:
4037:
4025:
4022:
4010:
4007:
3998:
3992:
3986:
3980:
3962:
3950:
3944:
3932:
3920:
3908:
3873:
3870:
3858:
3855:
3826:
3820:
3788:
3785:
3773:
3770:
3764:
3758:
3723:
3720:
3710:
3705:
3699:
3683:
3678:
3672:
3666:
3663:
3651:
3648:
3638:
3633:
3630:
3624:
3615:
3609:
3603:
3600:
3588:
3578:
3573:
3570:
3558:
3555:
3549:
3512:
3509:
3497:
3494:
3488:
3482:
3470:
3460:
3455:
3452:
3440:
3437:
3431:
3391:
3379:
3359:
3353:
3347:
3341:
3329:
3319:
3314:
3308:
3302:
3276:
3270:
3220:
3215:
3209:
3126:
3120:
3101:
3096:
3084:
3033:
2994:
2982:
2947:
2935:
2816:
2804:
2798:
2779:
2715:
2703:
2560:
2554:
2525:case is straightforward since
2388:
2382:
1725:
1693:
1569:
1212:
1206:
1187:
953:
933:
802:
792:
749:is a common eigenvector, take
732:
722:
662:
652:
615:
609:
606:
600:
453:
447:
417:
407:
353:
343:
266:
253:
250:
244:
182:
172:
63:
57:
44:
1:
6191:Graduate Texts in Mathematics
6061:
2135:. Since by the minimality of
2037:{\displaystyle Y^{m-\ell -1}}
1867:{\displaystyle m\geq \ell +1}
1438:then it's obvious, so assume
6232:Humphreys, James E. (1972),
5445:{\displaystyle V_{\lambda }}
5382:{\displaystyle V_{\lambda }}
4909:{\displaystyle \Rightarrow }
4189:{\displaystyle V_{\lambda }}
3885:{\displaystyle \lambda ()=0}
3838:{\displaystyle \dim(U)>0}
3233:{\displaystyle \pi (X)|_{U}}
3195:is an invariant subspace of
2347:of the base field such that
1276:{\displaystyle V_{\lambda }}
574:is positive. We also assume
7:
6288:Serre, Jean-Pierre (2001),
6038:
4928:For a solvable Lie algebra
4919:Lie's theorem (for various
4774:is solvable if and only if
3282:{\displaystyle \lambda (X)}
2071:is a linear combination of
1959:is a linear combination of
1952:{\displaystyle v_{\ell +1}}
10:
6348:
6171:
5642:to a linear functional on
5509:. In particular, for each
1777:be the smallest such that
502:-dimensional vector space
6298:10.1007/978-3-642-56884-8
6199:10.1007/978-1-4612-0979-9
4224:, the proof is complete.
1630:be the largest such that
849:{\displaystyle V/V_{n-1}}
638:There exists a vector in
6162:Fulton & Harris 1991
6029:{\displaystyle \square }
5854:{\displaystyle \lambda }
5719:{\displaystyle \lambda }
5635:{\displaystyle \lambda }
5319:{\displaystyle \lambda }
4237:{\displaystyle \square }
1926:are linearly dependent,
1373:, then we need to prove
1113:{\displaystyle \lambda }
782:to be its span and then
517:
76:is a finite-dimensional
6332:Theorems about algebras
6152:, Ch. II, § 6, Lemma 5.
5088:{\displaystyle V/V_{1}}
4750:a Lie subalgebra, then
3253:{\displaystyle \alpha }
1457:{\displaystyle v\neq 0}
856:; repeat the argument.
775:{\displaystyle V_{n-1}}
705:{\displaystyle V_{n-1}}
6030:
6010:
5962:
5926:
5891:
5855:
5835:
5815:
5744:
5720:
5700:
5660:
5636:
5616:
5545:
5503:
5470:
5446:
5419:
5383:
5356:
5320:
5295:
5271:
5219:
5167:
5128:
5089:
5054:
5030:
4999:
4970:
4946:
4910:
4885:
4839:
4809:
4768:
4744:
4680:
4627:
4594:
4554:
4510:
4424:
4388:
4358:with respect to which
4352:
4328:
4304:
4253:adjoint representation
4238:
4218:
4190:
4159:
4110:
4068:
3886:
3839:
3801:
3736:
3519:
3408:
3366:
3283:
3254:
3234:
3185:
3152:
3032:
2917:
2861:
2732:
2690:
2666:
2636:
2612:
2577:
2519:
2490:
2450:
2395:
2341:
2271:
2241:
2206:
2179:
2129:
2065:
2038:
1999:
1953:
1920:
1868:
1836:
1771:
1732:
1670:
1624:
1589:
1530:
1458:
1432:
1406:
1367:
1334:
1301:
1277:
1241:
1145:
1114:
1088:
1064:
1025:
988:
960:
904:
886:of codimension one in
880:
850:
809:
776:
739:
706:
669:
622:
568:
540:
460:
424:
372:upper triangularizable
360:
316:
286:
228:
189:
152:
70:
6049:nilpotent Lie algebra
6031:
6011:
5963:
5927:
5892:
5856:
5836:
5816:
5745:
5721:
5701:
5661:
5637:
5617:
5546:
5504:
5471:
5447:
5420:
5384:
5357:
5321:
5296:
5272:
5220:
5168:
5129:
5090:
5055:
5031:
5029:{\displaystyle V_{1}}
5000:
4971:
4947:
4911:
4886:
4884:{\displaystyle Y\in }
4840:
4810:
4769:
4745:
4681:
4628:
4602:nilpotent Lie algebra
4595:
4555:
4511:
4425:
4389:
4353:
4329:
4305:
4239:
4219:
4191:
4160:
4111:
4069:
3887:
3840:
3802:
3737:
3525:. On the other hand,
3520:
3409:
3372:. Applying this with
3367:
3284:
3255:
3235:
3186:
3153:
3012:
2897:
2841:
2733:
2691:
2667:
2637:
2613:
2578:
2520:
2491:
2430:
2396:
2342:
2277:there exist elements
2272:
2242:
2207:
2205:{\displaystyle v_{m}}
2180:
2130:
2066:
2064:{\displaystyle v_{m}}
2039:
2000:
1954:
1921:
1869:
1837:
1772:
1733:
1671:
1625:
1590:
1531:
1459:
1433:
1407:
1368:
1335:
1302:
1278:
1242:
1146:
1115:
1089:
1065:
1026:
989:
961:
905:
881:
851:
810:
777:
740:
707:
670:
623:
569:
541:
461:
425:
393:, there correspond a
361:
317:
287:
229:
190:
153:
71:
6292:, Berlin: Springer,
6240:, Berlin, New York:
6020:
5972:
5936:
5901:
5865:
5845:
5834:{\displaystyle \pi }
5825:
5754:
5730:
5710:
5670:
5646:
5626:
5555:
5513:
5480:
5456:
5429:
5393:
5366:
5330:
5310:
5281:
5233:
5177:
5141:
5114:
5064:
5040:
5013:
4985:
4956:
4932:
4900:
4849:
4819:
4778:
4754:
4708:
4637:
4613:
4564:
4520:
4434:
4398:
4362:
4338:
4314:
4258:
4228:
4204:
4173:
4129:
4081:
3899:
3849:
3811:
3749:
3540:
3422:
3376:
3293:
3264:
3244:
3203:
3165:
2745:
2700:
2676:
2646:
2622:
2618:and all elements of
2587:
2529:
2503:
2408:
2351:
2281:
2251:
2216:
2189:
2143:
2075:
2048:
2009:
1963:
1930:
1878:
1846:
1781:
1746:
1684:
1634:
1599:
1540:
1468:
1464:and set recursively
1442:
1416:
1377:
1344:
1314:
1287:
1260:
1158:
1124:
1104:
1074:
1035:
1031:and so the quotient
998:
974:
917:
890:
866:
819:
786:
753:
716:
683:
646:
582:
554:
526:
434:
401:
337:
296:
238:
199:
166:
91:
82:solvable Lie algebra
28:
6164:, Proposition 9.17.
6055:Lie–Kolchin theorem
6047:, which concerns a
5100:abelian Lie algebra
2518:{\displaystyle n=0}
2005:. Applying the map
1431:{\displaystyle v=0}
376:abelian Lie algebra
370:are simultaneously
160:invariant subspaces
6104:, Theorem 3″
6026:
6006:
5958:
5922:
5887:
5851:
5831:
5811:
5740:
5716:
5696:
5656:
5632:
5612:
5541:
5499:
5466:
5442:
5415:
5379:
5352:
5316:
5291:
5267:
5215:
5163:
5124:
5085:
5050:
5026:
4995:
4966:
4942:
4906:
4881:
4835:
4805:
4764:
4740:
4676:
4623:
4590:
4550:
4506:
4420:
4384:
4348:
4324:
4300:
4234:
4214:
4186:
4155:
4106:
4064:
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3835:
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3732:
3515:
3404:
3362:
3279:
3250:
3230:
3181:
3148:
2728:
2696:is an ideal, it's
2686:
2662:
2632:
2608:
2573:
2515:
2486:
2391:
2337:
2267:
2237:
2202:
2175:
2125:
2061:
2034:
1995:
1949:
1916:
1864:
1832:
1767:
1728:
1666:
1620:
1585:
1526:
1454:
1428:
1402:
1363:
1330:
1297:
1273:
1237:
1141:
1110:
1084:
1060:
1021:
984:
956:
900:
876:
846:
805:
772:
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