63:
48:
2458:
5458:
5468:
1247:
2246:
2037:
1054:
292:
1848:
3576:
447:
2376:
4062:- John P. Nolan's introduction to stable distributions, some papers on stable laws, and a free program to compute stable densities, cumulative distribution functions, quantiles, estimate parameters, etc. See especially
361:
3068:
3126:
1113:
3720:
3439:
3192:
2089:
2980:
2564:
1893:
1655:
3303:
2786:
565:
2918:
732:
3490:
3239:
2718:
3354:
2832:
1506:
2632:
830:
1282:
1560:
921:
606:
171:
3873:
2405:
2666:
1692:
5497:
913:
2074:
3792:
1718:
1315:
184:
122:
3836:
1403:
753:
634:
475:
2446:
2275:
1877:
3743:
1383:
1363:
1343:
1077:
95:
3941:
3934:
3763:
1101:
1726:
4116:
17:
3495:
374:
2294:
305:
1242:{\displaystyle F(x;\mu ,c)=\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)=2-2\Phi \left({\sqrt {\frac {c}{(x-\mu )}}}\right),}
2989:
3075:
3613:
1566:
773:
2241:{\displaystyle M(t;c)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}}\,dx,}
4245:
3359:
3131:
5471:
4728:
2032:{\displaystyle m_{n}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x}x^{n}}{x^{3/2}}}\,dx,}
4636:
2934:
2477:
1575:
5423:
5289:
4501:
4260:
4109:
3442:
3244:
2723:
488:
5184:
4948:
2837:
3940:, Volume 36, by Instytut Podstawowych Problemów Techniki (Polska Akademia Nauk), publisher: Państwowe Wydawn. Naukowe., 1995,
668:
4622:
3930:
5512:
3963:
4943:
4887:
4785:
4547:
4185:
2925:
5229:
4963:
4816:
4491:
4235:
3451:
3200:
2679:
854:
4693:
5461:
5133:
5109:
4688:
4102:
4063:
3315:
2793:
5492:
5330:
5207:
5168:
5140:
5114:
5032:
4958:
4381:
4129:
3922:
3600:
5318:
5284:
5150:
5145:
4990:
4798:
4496:
4250:
1426:
1318:
298:
2288:, the wing of the probability density function exhibits heavy tail behavior falling off according to a power law:
2277:
and is therefore not defined on an interval around zero, so the moment-generating function is actually undefined.
30:
For the more general family of Lévy alpha-stable distributions, of which this distribution is a special case, see
5068:
4981:
4953:
4862:
4811:
4683:
4466:
4431:
2572:
1660:
Note that the characteristic function can also be written in the same form used for the stable distribution with
780:
5082:
4999:
4836:
4760:
4583:
4461:
4436:
4300:
4295:
4290:
1255:
1049:{\displaystyle f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}},}
5507:
5398:
5264:
4972:
4821:
4753:
4738:
4631:
4605:
4537:
4376:
4270:
4265:
4207:
4192:
3876:
2418:. This is illustrated in the diagram below, in which the probability density functions for various values of
1521:
5234:
5224:
4915:
4841:
4542:
4401:
886:
177:
5294:
850:
5279:
5274:
5219:
5155:
5099:
4920:
4907:
4698:
4643:
4595:
4386:
4315:
4180:
578:
138:
5413:
5189:
5008:
4790:
4743:
4612:
4588:
4568:
4411:
4285:
4165:
3893:
3592:
3579:
2921:
2080:
870:
763:
62:
47:
5418:
5202:
5163:
5037:
4874:
4718:
4663:
4561:
4525:
4396:
4361:
2411:
756:
2076:, so that the integer moments of the Lévy distribution do not exist (only some fractional moments).
5104:
4892:
4658:
4617:
4532:
4486:
4426:
4391:
4280:
4175:
4125:
3845:
2381:
2637:
5403:
5345:
5016:
4803:
4713:
4668:
4653:
4471:
4421:
4416:
4217:
4197:
2415:
1663:
287:{\displaystyle {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}}}
4573:
892:
5269:
5257:
5246:
5128:
5024:
4831:
4275:
4255:
4160:
2045:
3970:. The University of Alabama in Huntsville, Department of Mathematical Sciences. Archived from
3768:
1697:
1291:
100:
5393:
5350:
5194:
4869:
4723:
4703:
4600:
4170:
4030:"Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes"
3882:
The length of the path followed by a photon in a turbid medium follows the Lévy distribution.
3821:
1388:
738:
619:
460:
131:
73:
2425:
2254:
1856:
5443:
5438:
5433:
5428:
5365:
5335:
5214:
4857:
4748:
4351:
4310:
4305:
4202:
3994:
3808:
1884:
3728:
1368:
1348:
1328:
1062:
80:
8:
5502:
5377:
4902:
4882:
4852:
4826:
4780:
4708:
4520:
4456:
4029:
3795:
3306:
2983:
2468:
2285:
2281:
1406:
1322:
874:
660:
31:
3998:
5408:
4897:
4678:
4673:
4578:
4515:
4510:
4366:
4356:
4240:
3985:
Rogers, Geoffrey L. (2008). "Multiple path analysis of reflectance from turbid media".
3748:
1086:
1080:
838:
4080:
1843:{\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}(1-i\operatorname {sign} (t))}.}
5306:
4733:
4476:
4406:
4371:
4320:
4077:
4010:
3926:
3918:
3913:"van der Waals profile" appears with lowercase "van" in almost all sources, such as:
571:
367:
4481:
4155:
4094:
4002:
2449:
3571:{\displaystyle (X-\mu )^{-1/2}\sim \operatorname {FoldedNormal} (0,1/{\sqrt {c}})}
442:{\displaystyle \mu +{\frac {\sigma }{2\left({\textrm {erfc}}^{-1}(p)\right)^{2}}}}
3971:
3890:
1104:
858:
650:
124:
2371:{\displaystyle f(x;\mu ,c)\sim {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {1}{x^{3/2}}}}
4554:
4050:
3886:
3839:
1285:
453:
865:, this distribution, with frequency as the dependent variable, is known as a
5486:
5177:
4925:
4212:
4006:
4014:
3815:
862:
356:{\displaystyle {\textrm {erfc}}\left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)}
3063:{\displaystyle (Y-\mu )^{-2}\sim \operatorname {Levy} (0,1/\sigma ^{2}).}
2457:
2461:
Probability density function for the Lévy distribution on a log–log plot
3121:{\displaystyle X\sim \operatorname {Normal} (\mu ,1/{\sqrt {\sigma }})}
842:
4085:
3715:{\displaystyle X=F^{-1}(U)={\frac {c}{(\Phi ^{-1}(1-U/2))^{2}}}+\mu }
3434:{\displaystyle X\,\sim \,\operatorname {Scale-inv-\chi ^{2}} (1,c)}
640:
612:
3968:
Random. Probability, Mathematical
Statistics, Stochastic Processes
3917:
by Clive
Anthony Croxton, 1980, A Wiley-Interscience publication,
3187:{\displaystyle (X-\mu )^{-2}\sim \operatorname {Levy} (0,\sigma )}
3591:
Random samples from the Lévy distribution can be generated using
2467:
The standard Lévy distribution satisfies the condition of being
2975:{\displaystyle Y\sim \operatorname {Normal} (\mu ,\sigma ^{2})}
2559:{\displaystyle (X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n})\sim n^{1/\alpha }X,}
1345:
has the effect of shifting the curve to the right by an amount
481:
1650:{\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}.}
3875:. (For a Brownian motion with drift, this time may follow an
3298:{\displaystyle X\sim \operatorname {Stable} (1/2,1,c,\mu )}
2781:{\displaystyle kX+b\sim \operatorname {Levy} (k\mu +b,kc).}
4075:
1887:
of the unshifted Lévy distribution is formally defined by
560:{\displaystyle \mu +c/2({\textrm {erfc}}^{-1}(1/2))^{2}\,}
2913:{\displaystyle X\sim \operatorname {Inv-Gamma} (1/2,c/2)}
3794:
is the cumulative distribution function of the standard
727:{\displaystyle {\frac {1+3\gamma +\ln(16\pi c^{2})}{2}}}
2924:). Here, the Lévy distribution is a special case of a
3848:
3824:
3771:
3751:
3731:
3616:
3498:
3454:
3362:
3318:
3247:
3203:
3134:
3078:
2992:
2937:
2840:
2796:
2726:
2682:
2640:
2575:
2480:
2428:
2384:
2297:
2257:
2092:
2048:
1896:
1859:
1729:
1700:
1666:
1578:
1524:
1429:
1391:
1371:
1351:
1331:
1294:
1258:
1116:
1089:
1065:
924:
895:
783:
741:
671:
622:
581:
491:
463:
377:
308:
187:
141:
103:
83:
4124:
3485:{\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}
3234:{\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}
2713:{\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}
2410:which shows that the Lévy distribution is not just
5498:Probability distributions with non-finite variance
4064:An introduction to stable distributions, Chapter 1
3867:
3830:
3786:
3757:
3737:
3714:
3570:
3484:
3433:
3348:
3297:
3233:
3186:
3120:
3062:
2974:
2912:
2826:
2780:
2712:
2660:
2626:
2558:
2440:
2399:
2370:
2269:
2240:
2068:
2031:
1871:
1842:
1712:
1686:
1649:
1554:
1500:
1397:
1377:
1357:
1337:
1309:
1276:
1241:
1095:
1071:
1048:
907:
824:
747:
726:
628:
600:
559:
469:
441:
355:
286:
165:
116:
89:
3896:to a process associated with a Lévy distribution.
5484:
3349:{\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (0,c)}
2827:{\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (0,c)}
3879:, which has the Lévy distribution as a limit.)
3603:on the unit interval (0, 1], the variate
4110:
2634:are independent standard Lévy-variables with
1501:{\displaystyle f(x;\mu ,c)\,dx=f(y;0,1)\,dy,}
1409:, the Lévy distribution has a standard form
3987:Journal of the Optical Society of America A
3915:Statistical mechanics of the liquid surface
3586:
2627:{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},X}
4117:
4103:
4035:. University of Sheffield. pp. 37–53.
1365:and changing the support to the interval [
1107:. The cumulative distribution function is
825:{\displaystyle e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}}
4027:
3370:
3366:
2342:
2228:
2019:
1488:
1454:
969:
889:of the Lévy distribution over the domain
556:
113:
4021:
2670:
2456:
1277:{\displaystyle \operatorname {erfc} (z)}
3443:scaled-inverse-chi-squared distribution
14:
5485:
3984:
1555:{\displaystyle y={\frac {x-\mu }{c}}.}
4098:
4076:
4051:"Information on stable distributions"
3811:appears to follow a Lévy distribution
1569:of the Lévy distribution is given by
5467:
855:continuous probability distribution
601:{\displaystyle \mu +{\frac {c}{3}}}
166:{\displaystyle x\in (\mu ,\infty )}
24:
18:Levy skew alpha-stable distribution
3772:
3725:is Lévy-distributed with location
3658:
3396:
3393:
3390:
3384:
3381:
3378:
3375:
3372:
2872:
2869:
2866:
2863:
2860:
2854:
2851:
2848:
2391:
2168:
2130:
2127:
2124:
1956:
1420:which has the following property:
1392:
1295:
1199:
623:
464:
157:
25:
5524:
4069:
5466:
5457:
5456:
3838:from the starting point, by the
2926:Pearson type V distribution
61:
59:Cumulative distribution function
46:
3842:has the Lévy distribution with
3801:
869:. It is a special case of the
3978:
3956:
3907:
3781:
3775:
3694:
3690:
3670:
3654:
3642:
3636:
3565:
3541:
3512:
3499:
3479:
3467:
3428:
3416:
3343:
3331:
3292:
3260:
3228:
3216:
3181:
3169:
3148:
3135:
3115:
3091:
3054:
3027:
3006:
2993:
2969:
2950:
2907:
2879:
2821:
2809:
2772:
2748:
2707:
2695:
2526:
2481:
2388:
2319:
2301:
2108:
2096:
1832:
1829:
1823:
1805:
1787:
1775:
1751:
1733:
1600:
1582:
1485:
1467:
1451:
1433:
1304:
1298:
1271:
1265:
1225:
1213:
1176:
1164:
1138:
1120:
1023:
1010:
1001:
989:
946:
928:
715:
696:
547:
543:
529:
509:
422:
416:
342:
330:
264:
251:
242:
230:
160:
148:
13:
1:
4043:
3877:inverse Gaussian distribution
3868:{\displaystyle c=\alpha ^{2}}
2400:{\displaystyle x\to \infty ,}
2083:would be formally defined by
880:
3938:Journal of technical physics
3900:
3818:a single point, at distance
2661:{\displaystyle \alpha =1/2.}
887:probability density function
44:Probability density function
7:
2251:however, this diverges for
1687:{\displaystyle \alpha =1/2}
10:
5529:
5290:Wrapped asymmetric Laplace
4261:Extended negative binomial
3593:inverse transform sampling
3580:folded normal distribution
2922:inverse gamma distribution
2081:moment-generating function
908:{\displaystyle x\geq \mu }
871:inverse-gamma distribution
29:
5513:Paul Lévy (mathematician)
5452:
5386:
5344:
5245:
5081:
5059:
5050:
4949:Generalized extreme value
4934:
4769:
4729:Relativistic Breit–Wigner
4445:
4342:
4333:
4226:
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