1969:
42:
30:
1612:
9839:
7460:
9849:
1964:{\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{cases}}\\&={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {sgn}(x-\mu )\left(1-\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\right).\end{aligned}}}
8391:
5713:
397:
5961:
6947:
555:
1192:
7917:
This distribution is often referred to as "Laplace's first law of errors". He published it in 1774, modeling the frequency of an error as an exponential function of its magnitude once its sign was disregarded. Laplace would later replace this model with his "second law of errors", based on the normal
5440:
239:
6292:
approach. For any set of independent continuous random variables, for any linear combination of those variables, its characteristic function (which uniquely determines the distribution) can be acquired by multiplying the corresponding characteristic functions.
6194:
5774:
6595:
5057:
6749:
410:
3411:
3255:
1420:
1009:
2295:
6437:
5708:{\displaystyle P(\mu +bZ_{1}>Z_{2})={\begin{cases}{\frac {b^{2}e^{\mu /b}-e^{\mu }}{2(b^{2}-1)}},&{\text{when }}\mu <0\\1-{\frac {b^{2}e^{-\mu /b}-e^{-\mu }}{2(b^{2}-1)}},&{\text{when }}\mu >0\\\end{cases}}}
7331:
2092:
2628:
3867:
916:
3558:
2858:
2745:
226:
4918:
4336:
3130:
4396:
7728:
6713:
4025:
392:{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\text{if }}x\leq \mu \\1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\text{if }}x\geq \mu \end{cases}}}
2425:
6339:
5237:
5178:
2680:
5433:
4147:
6651:
4091:
3909:
3727:
7418:
3685:
3041:
4704:
4445:
3310:
996:
3948:
3469:
1617:
4603:
4515:
2906:
2793:
2349:
7200:
4189:
3766:
1304:
2957:
2521:
1574:. Continuous symmetric distributions that have exponential tails, like the Laplace distribution, but which have probability density functions that are differentiable at the mode include the
6995:
6270:
2569:
2473:
5956:{\displaystyle P(\mu +Z_{1}>Z_{2})={\begin{cases}e^{\mu }{\frac {(2-\mu )}{4}},&{\text{when }}\mu <0\\1-e^{-\mu }{\frac {(2+\mu )}{4}},&{\text{when }}\mu >0\\\end{cases}}}
4642:
4554:
7860:
5994:
4817:
4760:
3616:
7899:
7813:
7521:
The
Laplace distribution has applications in finance. For example, S.G. Kou developed a model for financial instrument prices incorporating a Laplace distribution (in some cases an
5368:
6483:
7642:
7114:
4953:
7550:
distribution, is applicable in situations where the lower values originate under different external conditions than the higher ones so that they follow a different pattern.
6942:{\displaystyle f_{p}(x)={\tfrac {1}{2}}\exp(-\alpha |x|){\frac {\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}\alpha ^{j}|x|^{j}}{\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{p}j!\beta _{j}}},}
4230:
139:
550:{\displaystyle {\begin{cases}\mu +b\ln \left(2F\right)&{\text{if }}F\leq {\frac {1}{2}}\\\mu -b\ln \left(2-2F\right)&{\text{if }}F\geq {\frac {1}{2}}\end{cases}}}
5989:
5310:
5272:
4948:
807:
6225:
4846:
6475:
5767:
1503:
1473:
677:
105:
9893:
7751:
7138:
6368:
1560:
1443:
639:
611:
583:
71:
7021:
5741:
5119:
1529:
9903:
8353:
Laplace, P-S. (1774). Mémoire sur la probabilité des causes par les évènements. Mémoires de l’Academie Royale des
Sciences Presentés par Divers Savan, 6, 621–656
1187:{\displaystyle {\begin{cases}\mu +b\left({\frac {p}{1-p}}\right)(1-\ln(2p))&,p<.5\\\mu +b\left(1-\ln \left(2(1-p)\right)\right)&,p\geq .5\end{cases}}}
7771:
7583:
7223:
7049:
6741:
4250:
4048:
3968:
3790:
761:
733:
705:
3315:
3135:
1316:
8028:
6376:
7906:
7819:
1236:
8497:
7928:
published a paper in 1911 based on his earlier thesis wherein he showed that the
Laplace distribution minimised the absolute deviation from the median.
2110:
8095:
7235:
1980:
2574:
7498:
the
Laplace distribution is applied to extreme events such as annual maximum one-day rainfalls and river discharges. The blue picture, made with
3795:
820:
3474:
7447:
The addition of noise drawn from a
Laplacian distribution, with scaling parameter appropriate to a function's sensitivity, to the output of a
2798:
2685:
152:
7962:
6289:
922:
6442:
respectively. On multiplying these characteristic functions (equivalent to the characteristic function of the sum of the random variables
4851:
4255:
9878:
8626:
3050:
9852:
9109:
4344:
9888:
9017:
9804:
7937:
7650:
6659:
7986:"Calculating CVaR and bPOE for common probability distributions with application to portfolio optimization and density estimation"
3973:
9898:
9670:
8882:
8641:
8490:
6281:
1566:
from the mean. Consequently, the
Laplace distribution has fatter tails than the normal distribution. It is a special case of the
41:
2354:
9565:
9329:
8030:
The
Laplace distribution and generalizations: a revisit with applications to Communications, Economics, Engineering and Finance
7502:, illustrates an example of fitting the Laplace distribution to ranked annually maximum one-day rainfalls showing also the 90%
6299:
5183:
5124:
2640:
5373:
4096:
9003:
8257:
7560:
6603:
4057:
3875:
3693:
29:
7346:
3625:
2969:
9324:
9268:
9166:
8928:
8566:
4647:
4405:
3263:
929:
9610:
9344:
9197:
8872:
8616:
8136:
5060:
3914:
3423:
9074:
7985:
7424:
9842:
9514:
9490:
9069:
8483:
4563:
4460:
2866:
2753:
2309:
7150:
4155:
3732:
1271:
9873:
9711:
9588:
9549:
9521:
9495:
9413:
9339:
8762:
8510:
8327:
8082:
8062:
8038:
7942:
7586:
3619:
2911:
2478:
6955:
6230:
6189:{\displaystyle P(\mu +Z_{1}>Z_{2})=1-P(\mu +Z_{1}<Z_{2})=1-P(-\mu -Z_{1}>-Z_{2})=1-P(-\mu +Z_{1}>Z_{2})}
2529:
2433:
9699:
9665:
9531:
9526:
9371:
9179:
8877:
8631:
8193:"JPEG standard uniform quantization error modeling with applications to sequential and progressive operation modes"
4608:
4520:
1603:
232:
7824:
9449:
9362:
9334:
9243:
9192:
9064:
8847:
8812:
7522:
4765:
4709:
1567:
3570:
9463:
9380:
9217:
9141:
8964:
8842:
8817:
8681:
8676:
8671:
6590:{\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}{(-it+\lambda )(it+\lambda )}}={\frac {\lambda ^{2}}{t^{2}+\lambda ^{2}}}.}
2960:
1579:
7865:
7779:
9883:
9779:
9645:
9353:
9202:
9134:
9119:
9012:
8986:
8918:
8757:
8651:
8646:
8588:
8573:
8468:
7515:
5315:
4399:
9615:
9605:
9296:
9222:
8923:
8782:
8192:
7592:
7054:
1307:
145:
9675:
8458:
8098:(May 1984). "The Double Exponential Distribution: Using Calculus to Find a Maximum Likelihood Estimator".
9660:
9655:
9600:
9536:
9480:
9301:
9288:
9079:
9024:
8976:
8767:
8696:
8561:
8463:
6723:
Sargan distributions are a system of distributions of which the
Laplace distribution is a core member. A
5052:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\mu }{n}}+X_{i}-Y_{i}\right)\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}
1542:; however, whereas the normal distribution is expressed in terms of the squared difference from the mean
419:
248:
9794:
9570:
9389:
9171:
9124:
8993:
8969:
8949:
8792:
8666:
8546:
7436:
813:
683:
9799:
9583:
9544:
9418:
9255:
9099:
9044:
8942:
8906:
8777:
8742:
8100:
7473:
7440:
7337:
1583:
5824:
5493:
1688:
1018:
9485:
9273:
9039:
8998:
8913:
8867:
8807:
8772:
8661:
8556:
8506:
3414:
2631:
1532:
1224:
1212:
4194:
122:
9784:
9726:
9397:
9184:
9094:
9049:
9034:
8852:
8802:
8797:
8598:
8578:
7226:
4451:
4051:
1571:
8954:
9650:
9638:
9627:
9509:
9405:
9212:
8656:
8636:
8541:
5968:
5280:
5242:
4927:
3769:
1248:
774:
6201:
9774:
9731:
9575:
9250:
9104:
9084:
8981:
8551:
8247:
7919:
7507:
7476:
estimate arises as the maximum likelihood estimate if the errors have a
Laplace distribution.
4825:
4557:
1575:
115:
49:
6445:
5746:
1482:
1452:
652:
84:
9824:
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9809:
9746:
9716:
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9129:
8732:
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8686:
8583:
7452:
7448:
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9029:
7736:
7123:
6344:
1545:
1428:
624:
596:
568:
56:
8:
9758:
9283:
9263:
9233:
9207:
9161:
9089:
8901:
8837:
7956:
7484:
7469:
7000:
5720:
5098:
3406:{\displaystyle {\frac {\displaystyle 2}{b}}\sum _{i=1}^{n}|X_{i}-\mu |\sim \chi ^{2}(2n)}
3044:
1563:
1539:
1508:
1232:
767:
3250:{\displaystyle (X_{1}^{2}-X_{2}^{2}+X_{3}^{2}-X_{4}^{2})/2\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}
1538:
The probability density function of the
Laplace distribution is also reminiscent of the
1415:{\displaystyle f(x\mid \mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right),}
9789:
9278:
9059:
9054:
8959:
8896:
8891:
8747:
8737:
8621:
8437:
8294:
8159:
8117:
7756:
7568:
7488:
7480:
7208:
7117:
7034:
6726:
4921:
4235:
4033:
3953:
3775:
1446:
1200:
1002:
746:
718:
690:
73:
6432:{\displaystyle {\frac {\lambda }{-it+\lambda }},\quad {\frac {\lambda }{it+\lambda }}}
9687:
9114:
8857:
8787:
8752:
8701:
8429:
8380:
8323:
8253:
8078:
8058:
8034:
7511:
7439:
coefficients and in JPEG image compression to model AC coefficients generated by a
617:
403:
7959:, also called the "Lorentzian distribution", ie the Fourier transform of the Laplace
8862:
8536:
8475:
8421:
8376:
8372:
8286:
8215:
8207:
8163:
8151:
8109:
8000:
7534:
7435:
The Laplacian distribution has been used in speech recognition to model priors on
2290:{\displaystyle \mu _{r}'={\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}\sum _{k=0}^{r}{\bigg }.}
7503:
1476:
1265:
1240:
739:
107:
7537:
that often occur when using a normal distribution for pricing these instruments.
8935:
8290:
8004:
7951:
3561:
1599:
1244:
561:
8167:
7773:. This follows from the inverse cumulative distribution function given above.
7326:{\displaystyle {\hat {b}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\hat {\mu }}|.}
2087:{\displaystyle F^{-1}(p)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0.5)\,\ln(1-2|p-0.5|).}
9867:
9558:
9306:
8593:
8433:
8395:
8384:
7947:
2623:{\displaystyle \left|X\right|\sim {\textrm {Exponential}}\left(b^{-1}\right)}
8155:
1239:
exponential random variables is governed by a Laplace distribution, as is a
3862:{\displaystyle X(2Y-1)\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)}
911:{\displaystyle {\frac {\exp(\mu t)}{1-b^{2}t^{2}}}{\text{ for }}|t|<1/b}
8342:
8320:
General Equilibrium Option Pricing Method: Theoretical and Empirical Study
3553:{\displaystyle {\tfrac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}
77:
8234:
8441:
8121:
2853:{\displaystyle \left|X-\mu \right|\sim {\textrm {Exponential}}(b^{-1})}
2740:{\displaystyle X-Y\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)}
1204:
221:{\displaystyle {\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)}
8298:
8274:
8220:
8211:
6280:
A Laplace random variable can be represented as the difference of two
5090:
1243:
evaluated at an exponentially distributed random time. Increments of
7902:
7495:
6288:) exponential random variables. One way to show this is by using the
5083:
8425:
8409:
8113:
4913:{\displaystyle X_{i},Y_{i}\sim \Gamma \left({\frac {1}{n}},b\right)}
4331:{\displaystyle X=\mu +b{\sqrt {2V}}Z\sim \mathrm {Laplace} (\mu ,b)}
8249:
Statistical Analysis of Empirical Data Methods for Applied Sciences
7530:
7526:
1595:
1228:
1227:(with an additional location parameter) spliced together along the
711:
645:
8027:
Kotz, Samuel; Kozubowski, Tomasz J.; PodgĂłrski, Krzysztof (2001).
7459:
3125:{\displaystyle X_{1}X_{2}-X_{3}X_{4}\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}
8410:"The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them"
8394:
This article incorporates text from this source, which is in the
7815:
7499:
4391:{\displaystyle X\sim {\textrm {GeometricStable}}(2,0,\lambda ,0)}
1598:(if one distinguishes two symmetric cases) due to the use of the
8363:
Wilson, Edwin Bidwell (1923). "First and Second Laws of Error".
1251:
evaluated over the time scale also have a Laplace distribution.
8033:. Birkhauser. pp. 23 (Proposition 2.2.2, Equation 2.2.8).
7925:
7141:
589:
7723:{\displaystyle X=\mu -b\,\operatorname {sgn}(U)\,\ln(1-2|U|)}
6708:{\displaystyle {\frac {1}{1+{\frac {t^{2}}{\lambda ^{2}}}}}.}
7340:. A correction for small samples can be applied as follows:
4020:{\displaystyle \lambda X-\nu Y\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}
7984:
Norton, Matthew; Khokhlov, Valentyn; Uryasev, Stan (2019).
6275:
5949:
5701:
1829:
1231:, although the term is also sometimes used to refer to the
1180:
543:
385:
7463:
Fitted Laplace distribution to maximum one-day rainfalls
2420:{\displaystyle kX+c\sim {\textrm {Laplace}}(k\mu +c,|k|b)}
1475:, which is sometimes referred to as the "diversity", is a
8134:
6334:{\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}
6285:
5232:{\displaystyle Y\sim {\textrm {Laplace}}(\mu _{Y},b_{Y})}
5173:{\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu _{X},b_{X})}
2675:{\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}
1974:
The inverse cumulative distribution function is given by
5428:{\displaystyle Z_{1},Z_{2}\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}
4142:{\displaystyle XY\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )}
8026:
6646:{\displaystyle Z\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )}
4086:{\displaystyle Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}
3904:{\displaystyle X\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}
3722:{\displaystyle X\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )}
7413:{\displaystyle {\hat {b}}^{*}={\hat {b}}\cdot n/(n-2)}
7336:
revealing a link between the Laplace distribution and
6776:
3680:{\displaystyle \log(X/Y)\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}
3479:
3036:{\displaystyle X_{1},...,X_{4}\sim {\textrm {N}}(0,1)}
1859:
1844:
1811:
1736:
7983:
7868:
7827:
7782:
7759:
7739:
7653:
7595:
7571:
7349:
7238:
7211:
7153:
7126:
7057:
7037:
7003:
6958:
6889:
6820:
6752:
6729:
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6606:
6486:
6448:
6379:
6347:
6302:
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5971:
5777:
5749:
5723:
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5318:
5283:
5245:
5186:
5127:
5101:
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4930:
4854:
4828:
4768:
4712:
4699:{\displaystyle Y^{2}\sim {\textrm {Gamma}}(1,2b^{2})}
4650:
4611:
4566:
4523:
4463:
4440:{\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,\lambda )}
4408:
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4238:
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4158:
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4036:
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3956:
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3778:
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3696:
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3573:
3477:
3426:
3321:
3318:
3305:{\displaystyle X_{i}\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}
3266:
3138:
3053:
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2914:
2869:
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2312:
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1455:
1431:
1319:
1274:
1012:
932:
823:
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693:
655:
627:
599:
571:
413:
242:
155:
125:
87:
59:
8505:
6600:
This is the same as the characteristic function for
4762:, which in turn equals the exponential distribution
991:{\displaystyle {\frac {\exp(\mu it)}{1+b^{2}t^{2}}}}
5091:
Probability of a Laplace being greater than another
4450:The Laplace distribution is a limiting case of the
3943:{\displaystyle Y\sim {\textrm {Exponential}}(\nu )}
3464:{\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}
1589:
1562:, the Laplace density is expressed in terms of the
7950:, a generalisation of the Laplace distribution to
7893:
7854:
7807:
7765:
7745:
7722:
7636:
7577:
7412:
7325:
7217:
7194:
7132:
7108:
7043:
7015:
6989:
6941:
6735:
6707:
6645:
6589:
6469:
6431:
6362:
6333:
6264:
6219:
6188:
5983:
5955:
5761:
5743:, both expressions are replaced by their limit as
5735:
5707:
5427:
5362:
5304:
5266:
5231:
5172:
5113:
5051:
4942:
4912:
4840:
4811:
4754:
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4636:
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4548:
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4330:
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4019:
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3124:
3035:
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2515:
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2289:
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1963:
1554:
1523:
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1467:
1437:
1414:
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1186:
990:
910:
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727:
699:
671:
633:
605:
577:
549:
391:
220:
133:
99:
65:
7938:Generalized normal distribution#Symmetric version
4598:{\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}
4510:{\displaystyle X|Y\sim {\textrm {N}}(\mu ,Y^{2})}
2901:{\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}
2788:{\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}
2344:{\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)}
2279:
2177:
2149:
2132:
1658:
1657:
9865:
8108:(2). American Statistical Association: 135–136.
8094:
8073:Johnson, N.L., Kotz S., Balakrishnan, N. (1994)
7195:{\displaystyle {\hat {\mu }}=\mathrm {med} (x).}
7051:independent and identically distributed samples
4184:{\displaystyle V\sim {\textrm {Exponential}}(1)}
3761:{\displaystyle Y\sim {\textrm {Bernoulli}}(0.5)}
1299:{\displaystyle \operatorname {Laplace} (\mu ,b)}
9894:Location-scale family probability distributions
8365:Journal of the American Statistical Association
8190:
7818:can also be generated as the difference of two
5312:can be reduced (using the properties below) to
5078:has a log-Laplace distribution; conversely, if
2952:{\displaystyle X\sim {\textrm {EPD}}(\mu ,b,1)}
2516:{\displaystyle bX\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)}
1259:
9904:Infinitely divisible probability distributions
7430:
6990:{\displaystyle \alpha \geq 0,\beta _{j}\geq 0}
6265:{\displaystyle Z\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}
2564:{\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)}
2468:{\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)}
8491:
7425:exponential distribution#Parameter estimation
4637:{\displaystyle Y\sim {\textrm {Rayleigh}}(b)}
4549:{\displaystyle Y\sim {\textrm {Rayleigh}}(b)}
8235:CumFreq for probability distribution fitting
7963:Characteristic function (probability theory)
7855:{\displaystyle {\textrm {Exponential}}(1/b)}
7554:
2274:
2246:
8347:
8275:"A Jump-Diffusion Model for Option Pricing"
7733:has a Laplace distribution with parameters
4812:{\displaystyle {\textrm {Exp}}(1/(2b^{2}))}
4755:{\displaystyle {\textrm {E}}(Y^{2})=2b^{2}}
8498:
8484:
8401:
8356:
8317:
8137:"On the multivariate Laplace distribution"
8135:Eltoft, T.; Taesu Kim; Te-Won Lee (2006).
7451:query is the most common means to provide
3611:{\displaystyle X,Y\sim {\textrm {U}}(0,1)}
8272:
8219:
7918:distribution, after the discovery of the
7685:
7669:
6743:th order Sargan distribution has density
5121:be independent laplace random variables:
5082:has a log-Laplace distribution, then its
2040:
2018:
1671:
127:
8414:Journal of the Royal Statistical Society
7979:
7977:
7894:{\displaystyle {\textrm {Laplace}}(0,1)}
7808:{\displaystyle {\textrm {Laplace}}(0,b)}
7458:
7026:
6276:Relation to the exponential distribution
2300:
8343:A collection of composite distributions
7510:. The rainfall data are represented by
6997:. The Laplace distribution results for
6718:
6282:independent and identically distributed
5363:{\displaystyle P(\mu +bZ_{1}>Z_{2})}
1531:, the positive half-line is exactly an
9866:
8407:
8362:
8055:The Cambridge Dictionary of Statistics
8022:
8020:
1223:, because it can be thought of as two
8479:
8245:
7974:
7637:{\displaystyle \left(-1/2,1/2\right)}
7561:Non-uniform random variate generation
7109:{\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}
9848:
8371:(143). Informa UK Limited: 841–851.
6296:Consider two i.i.d random variables
1594:The Laplace distribution is easy to
8075:Continuous Univariate Distributions
8017:
6341:. The characteristic functions for
1237:independent identically distributed
1219:. It is also sometimes called the
13:
9879:Compound probability distributions
8191:Minguillon, J.; Pujol, J. (2001).
7542:The Laplace distribution, being a
7176:
7173:
7170:
4881:
4309:
4306:
4303:
4300:
4297:
4294:
4291:
3529:
1673:
1647:
14:
9915:
8451:
7943:Multivariate Laplace distribution
5070:has a Laplace distribution, then
9889:Exponential family distributions
9847:
9838:
9837:
8389:
7862:random variables. Equivalently,
1604:cumulative distribution function
1590:Cumulative distribution function
40:
38:Cumulative distribution function
28:
8336:
8311:
8266:
7523:asymmetric Laplace distribution
6407:
5435:. This probability is equal to
1568:generalized normal distribution
1221:double exponential distribution
9899:Geometric stable distributions
8377:10.1080/01621459.1923.10502116
8239:
8228:
8184:
8144:IEEE Signal Processing Letters
8128:
8088:
8067:
8047:
7888:
7876:
7849:
7835:
7802:
7790:
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7713:
7705:
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7682:
7676:
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7395:
7378:
7357:
7316:
7309:
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7245:
7186:
7180:
7160:
6878:
6869:
6815:
6811:
6803:
6793:
6769:
6763:
6640:
6620:
6536:
6521:
6518:
6500:
6464:
6455:
6328:
6322:
6259:
6247:
6183:
6148:
6133:
6095:
6080:
6048:
6033:
6001:
5918:
5906:
5852:
5840:
5813:
5781:
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5654:
5564:
5545:
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5410:
5357:
5322:
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5287:
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5249:
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5200:
5167:
5141:
5046:
5034:
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4803:
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4776:
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4720:
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4671:
4631:
4625:
4592:
4580:
4543:
4537:
4504:
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4422:
4385:
4361:
4325:
4313:
4219:
4207:
4178:
4172:
4136:
4116:
4080:
4074:
4014:
4002:
3937:
3931:
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3892:
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3802:
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3605:
3593:
3547:
3535:
3518:
3504:
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3483:
3458:
3446:
3400:
3391:
3374:
3353:
3299:
3287:
3244:
3232:
3211:
3139:
3119:
3107:
3030:
3018:
2961:exponential power distribution
2946:
2928:
2895:
2883:
2847:
2831:
2782:
2770:
2669:
2663:
2558:
2546:
2510:
2498:
2462:
2450:
2414:
2407:
2399:
2380:
2338:
2326:
2265:
2255:
2241:
2229:
2205:
2193:
2078:
2074:
2060:
2047:
2037:
2025:
2003:
1997:
1934:
1920:
1888:
1876:
1668:
1662:
1629:
1623:
1580:hyperbolic secant distribution
1394:
1380:
1341:
1323:
1293:
1281:
1254:
1235:. The difference between two
1150:
1138:
1083:
1080:
1071:
1056:
954:
942:
890:
882:
842:
833:
796:
784:
203:
189:
1:
8200:Journal of Electronic Imaging
7993:Annals of Operations Research
7968:
7901:can also be generated as the
7516:cumulative frequency analysis
4400:geometric stable distribution
2097:
8273:Kou, S.G. (August 8, 2002).
7999:(1–2). Springer: 1281–1315.
4225:{\displaystyle Z\sim N(0,1)}
1308:probability density function
1260:Probability density function
134:{\displaystyle \mathbb {R} }
26:Probability density function
7:
8464:Encyclopedia of Mathematics
7931:
7431:Occurrence and applications
5086:has a Laplace distribution.
10:
9920:
9671:Wrapped asymmetric Laplace
8642:Extended negative binomial
8291:10.1287/mnsc.48.8.1086.166
8005:10.1007/s10479-019-03373-1
7912:
7909:uniform random variables.
7558:
2102:
9833:
9767:
9725:
9626:
9462:
9440:
9431:
9330:Generalized extreme value
9315:
9150:
9110:Relativistic Breit–Wigner
8826:
8723:
8714:
8607:
8527:
8518:
8507:Probability distributions
8101:The American Statistician
7555:Random variate generation
7525:) to address problems of
7474:least absolute deviations
7455:in statistical databases.
7338:least absolute deviations
5984:{\displaystyle \mu >0}
5305:{\displaystyle P(X>Y)}
5267:{\displaystyle P(X>Y)}
5239:, and we want to compute
4943:{\displaystyle k,\theta }
1584:Champernowne distribution
1225:exponential distributions
1006:
1001:
926:
921:
817:
812:
802:{\displaystyle \log(2be)}
771:
766:
743:
738:
715:
710:
687:
682:
649:
644:
621:
616:
593:
588:
565:
560:
407:
402:
236:
231:
149:
144:
119:
114:
53:
48:
36:
24:
9874:Continuous distributions
8322:. Springer. p. 70.
8252:. Springer. p. 58.
7565:Given a random variable
6220:{\displaystyle Z\sim -Z}
5965:To compute the case for
4950:characterization), then
3415:chi-squared distribution
2632:exponential distribution
1533:exponential distribution
1213:probability distribution
16:Probability distribution
9325:Generalized chi-squared
9269:Normal-inverse Gaussian
8156:10.1109/LSP.2006.870353
7483:can be thought of as a
7227:mean absolute deviation
6290:characteristic function
4841:{\displaystyle n\geq 1}
4452:hyperbolic distribution
4052:Rademacher distribution
1572:hyperbolic distribution
9637:Univariate (circular)
9198:Generalized hyperbolic
8627:Conway–Maxwell–Poisson
8617:Beta negative binomial
8459:"Laplace distribution"
8408:Keynes, J. M. (1911).
7895:
7856:
7809:
7767:
7747:
7724:
7644:, the random variable
7638:
7579:
7464:
7414:
7327:
7284:
7219:
7196:
7134:
7110:
7045:
7017:
6991:
6943:
6916:
6847:
6737:
6709:
6647:
6591:
6471:
6470:{\displaystyle X+(-Y)}
6433:
6364:
6335:
6266:
6221:
6190:
5985:
5957:
5763:
5762:{\displaystyle b\to 1}
5737:
5709:
5429:
5364:
5306:
5268:
5233:
5174:
5115:
5053:
4977:
4944:
4914:
4842:
4813:
4756:
4700:
4638:
4599:
4550:
4511:
4441:
4392:
4332:
4246:
4226:
4185:
4143:
4087:
4044:
4021:
3964:
3944:
3905:
3863:
3786:
3770:Bernoulli distribution
3762:
3723:
3681:
3612:
3554:
3465:
3407:
3351:
3306:
3251:
3126:
3037:
2953:
2902:
2854:
2789:
2741:
2676:
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