Knowledge

6630: 5947: 8870: 7674: 7123: 8315: 7130: 6625:{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}-b_{i}{\bar {b}}_{i}+a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=1-\sum _{i=1}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}+b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)+\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}a_{j}{\bar {a}}_{j}+b_{i}{\bar {b}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)+{\mathcal {O}}^{5+}.} 476: 9705: 6637: 41: 9283: 3468: 9278: 8865:{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\overline {a_{i}b_{i}}}\right)-\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}b_{i}{\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{j}+{\bar {a}}_{i}{\bar {b}}_{i}a_{j}b_{j}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right).} 8049: 7669:{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}\left(1-b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=1-\sum _{i=1}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}+b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}a_{j}{\bar {a}}_{j}+b_{i}{\bar {b}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}\right)+{\mathcal {O}}^{5+}.} 4903: 4477: 1067: 10002: 7118:{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}\left(1-b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\left(1-\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}a_{j}{\bar {a}}_{j}+{\mathcal {O}}^{5+}\right)\left(1-\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+{\mathcal {O}}^{5+}\right).} 5651: 3055: 8877: 7679: 471:{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)-\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}&=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\\&\left(={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}\right),\end{aligned}}} 8310: 9700:{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\overline {a_{i}b_{i}}}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}\right)\left({\overline {a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}}}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right).} 2015: 4501: 4071: 4078: 722: 747: 1701: 9712: 5236: 5345: 10006: 5287: 3746: 8056: 3463:{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}\ ,} 9273:{\displaystyle a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}-a_{i}b_{i}{\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{j}-{\bar {a}}_{i}{\bar {b}}_{i}a_{j}b_{j}=\left(a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}\right)\left({\bar {a}}_{i}b_{j}-{\bar {a}}_{j}b_{i}\right),} 8044:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right).} 1807: 2189: 5877: 3770: 1543: 546: 1558: 2975: 4953: 1385: 2470: 5288: 10351: 4898:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}-2\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}\ .} 4472:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}b_{i}^{2}-2\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}.} 1062:{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{2}\right)-\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}\left|a_{i}{\overline {b}}_{j}-a_{j}{\overline {b}}_{i}\right|^{2}} 3518: 9997:{\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|^{2}+\sum _{i<j}^{n}\left|a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}\right|^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}\left|b_{i}\right|^{2}\right).} 1802: 2866: 5646:{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}-b_{i}{\bar {b}}_{i}+a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}\left(1-b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)} 2339: 1222: 2643: 2061: 5702: 1425: 2871: 1229: 2374: 2714: 1226: 8305:{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bar {x}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}\left(x_{i}{\bar {x}}_{j}+{\bar {x}}_{i}x_{j}\right),} 2770: 46: 2520: 2010:{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)\mathbf {i} +\left(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\right)\mathbf {j} +\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)\mathbf {k} } 5337: 4066:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}\left(a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}-2a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}\right).} 717:{\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\,,} 5920: 1696:{\displaystyle \left|\mathbf {a} \right|^{2}\left|\mathbf {b} \right|^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right)=\left|\mathbf {a} \right|^{2}\left|\mathbf {b} \right|^{2}\sin ^{2}\theta } 5697: 1742: 5231:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}-2\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}} 2777: 2259: 1116: 5656: 2525: 5940: 10258: 1804: 3741:{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+2\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}\,,} 10229: 2658: 10469: 10424: 10021: 2193: 8053: 2729: 3764: 2481: 2184:{\displaystyle |\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-|\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}\ ,} 20: 5872:{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(1+x_{i}\right)=1+\sum _{i=1}^{n}x_{i}+\sum _{i<j}^{n}x_{i}x_{j}+{\mathcal {O}}^{3+}(x),} 736:-dimensional vectors with components that are real numbers. The extension to complex numbers requires the interpretation of the 10474: 1538:{\displaystyle |\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}} 10241: 10211: 10174: 10459: 1097: 2970:{\displaystyle |\mathbf {v} \mathbf {w} |^{2}=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )^{2}+|\mathbf {v} \times \mathbf {w} |^{2}.} 1552: 10417: 2017: 1380:{\displaystyle \|a\wedge b\|={\sqrt {(a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}}}={\sqrt {\|a\|^{2}\|b\|^{2}-(a\cdot b)^{2}}}.} 10016: 2465:{\displaystyle pq=(st-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )+s\ \mathbf {v} +t\ \mathbf {w} +\mathbf {v} \times \mathbf {w} .} 533: 10454: 10335: 10298: 10268: 10145: 10111: 10084: 10056: 10371:, Optics and Photonics 2011, vol. 8121 of The nature of light: What are photons? IV, pp. 812108–1–11. SPIE, 2011. 5294: 2226: 2038: 3767: 10410: 10520: 10166: 1077: 5882: 10525: 5653: 744: 5659: 10026: 4921: 537: 10288: 1081: 10203: 1548: 3507:, which can be broken up into a diagonal and a pair of triangles on either side of the diagonal. 10099: 1070: 10323: 10046: 10433: 10306: 10133: 10101: 10072: 1084: 35: 10191: 1797:{\displaystyle \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\left|\sin \theta \right|,} 10484: 8: 10479: 10449: 10444: 10192: 10138: 10494: 10489: 10388: 5925: 2774: 10385: 10331: 10294: 10264: 10237: 10207: 10170: 10141: 10107: 10080: 10052: 3027: 2647: 2861:{\displaystyle |\mathbf {v} \mathbf {w} |^{2}=|\mathbf {v} |^{2}|\mathbf {w} |^{2},} 2334:{\displaystyle p=t+\mathbf {v} =t+x\ \mathbf {i} +y\ \mathbf {j} +z\ \mathbf {k} .} 529: 3047: 10199: 2230: 1217:{\displaystyle (a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b).} 10499: 525: 1076: 10514: 1415: 1110: 741: 10100: 3510: 2638:{\displaystyle |q|^{2}=q{\overline {q}}=t^{2}\ +\ x^{2}+\ y^{2}\ +\ z^{2}.} 1419: 737: 521: 10402: 10328: 543: 2242: 10369: 10355: 4939:) ends up canceling out the first term on the right side of Equation ( 10393: 2726: 5282: 2984: 5339: 1098: 27: 10383: 7676: 6634: 5277: 2055:, Lagrange's identity takes on the same form as in the case of 10071: 2709:{\displaystyle \left|pq\right|=\left|p\right|\left|q\right|.} 10079:(3rd ed.). American Mathematical Society. p. 22. 10007: 8874: 1414:|, then Lagrange's identity can be written in terms of the 1104: 1389: 1394: 10263:(2nd ed.). Cambridge University Press. p. 94. 10227: 10134:"Exercise 4.4: Lagrange's identity for complex numbers" 7127: 4489: 9715: 9286: 8880: 8318: 8059: 7682: 7133: 6640: 5950: 5928: 5885: 5705: 5662: 5348: 5297: 4956: 4504: 4081: 3773: 3521: 3058: 2874: 2780: 2732: 2661: 2528: 2484: 2377: 2262: 2064: 1810: 1745: 1561: 1428: 1232: 1119: 750: 549: 44: 10286: 10103: 9280: 2765:{\displaystyle p=\mathbf {v} ,\quad q=\mathbf {w} .} 10236:(10th ed.). John Wiley and Sons. p. 162. 9996: 9699: 9272: 8864: 8304: 8043: 7668: 7117: 6624: 5934: 5914: 5871: 5691: 5645: 5331: 5230: 4933:). The first term on the right side of Equation ( 4897: 4471: 4065: 3740: 3462: 2969: 2860: 2764: 2708: 2637: 2514: 2464: 2333: 2183: 2009: 1796: 1695: 1537: 1379: 1216: 1061: 716: 470: 10131: 10044: 5276:), so Lagrange's identity is indeed an identity, 10512: 5283:Proof of Lagrange's identity for complex numbers 10321: 10256: 10234:Elementary Linear Algebra: Applications Version 2515:{\displaystyle {\overline {q}}=t-\mathbf {v} ,} 10230:"Relationships between dot and cross products" 10140:. Cambridge University Press. pp. 68–69. 10418: 10161:Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). 1547:Using the definition of angle based upon the 10470:Lagrange's identity (boundary value problem) 10293:(2nd ed.). Cambridge University Press. 10160: 10022:Lagrange's identity (boundary value problem) 4075:Distribute the summation on the right side, 3486:which means that the product of a column of 1338: 1331: 1322: 1315: 1245: 1233: 532:). This identity is a generalisation of the 10330:. Princeton University Press. p. 111. 5332:{\displaystyle a_{i},b_{i}\in \mathbb {C} } 10425: 10411: 10282: 10280: 10194:An Introduction to Complex Function Theory 5922:means terms with order three or higher in 3500:yields (a sum of elements of) a square of 2979: 1715:. The area of a parallelogram with sides 10432: 10075:; Steven G Krantz (2006). "Exercise 16". 5325: 3734: 710: 10250: 10127: 10125: 10123: 10093: 10038: 3012:. The second version follows by letting 1105:Lagrange's identity and exterior algebra 10315: 10277: 10163:Function Theory of One Complex Variable 10077:Function theory of one complex variable 10048:CRC concise encyclopedia of mathematics 1390:Lagrange's identity and vector calculus 10513: 5915:{\displaystyle {\mathcal {O}}^{3+}(x)} 1739:is known in elementary geometry to be 10406: 10384: 10344: 10189: 10120: 10106:. Vieweg+Teubner Verlag. p. 26. 10065: 4493:factors of the third term, yielding: 1113:, Lagrange's identity can be written 10221: 5699:can be expanded in terms of sums as 5692:{\displaystyle \left(1+x_{i}\right)} 4947: 4495: 3512: 3049: 21:Lagrange's identity (disambiguation) 10475:Lagrange's trigonometric identities 10228:Howard Anton; Chris Rorres (2010). 2201:in 7-dimensions may be the same as 2032: 1707:is the angle formed by the vectors 13: 7649: 7093: 6925: 6605: 5889: 5843: 2248:is defined as the sum of a scalar 528:(or more generally, elements of a 14: 10537: 10460:Lagrange's theorem (group theory) 10377: 2948: 2940: 2917: 2909: 2886: 2881: 2839: 2817: 2792: 2787: 2755: 2740: 2505: 2455: 2447: 2439: 2425: 2408: 2400: 2324: 2310: 2296: 2276: 2159: 2151: 2126: 2118: 2093: 2071: 2003: 1942: 1881: 1820: 1812: 1764: 1751: 1663: 1643: 1588: 1568: 1519: 1511: 1488: 1480: 1457: 1435: 605: 597: 576: 556: 10361: 5270:which is the same as Equation ( 2747: 2343:The product of two quaternions 2227:seven-dimensional cross product 2039:Seven-dimensional cross product 478:which applies to any two sets { 10455:Lagrange's four-square theorem 10183: 10154: 10017:Brahmagupta–Fibonacci identity 9853: 9821: 9677: 9617: 9549: 9517: 9476: 9444: 9240: 9208: 9179: 9147: 9090: 9071: 9049: 9030: 8988: 8959: 8927: 8898: 8842: 8782: 8719: 8690: 8658: 8629: 8546: 8527: 8505: 8486: 8272: 8250: 8192: 8134: 8021: 7961: 7898: 7869: 7837: 7808: 7750: 7721: 7626: 7597: 7565: 7536: 7473: 7413: 7350: 7318: 7249: 7183: 7075: 7046: 6993: 6907: 6878: 6825: 6756: 6690: 6582: 6553: 6521: 6492: 6429: 6400: 6368: 6339: 6281: 6252: 6194: 6162: 6093: 6064: 6032: 6000: 5909: 5903: 5863: 5857: 5626: 5560: 5491: 5462: 5430: 5398: 4606: 4559: 4183: 4136: 3875: 3828: 2954: 2935: 2922: 2905: 2892: 2876: 2845: 2834: 2823: 2812: 2798: 2782: 2539: 2530: 2474:The quaternionic conjugate of 2412: 2387: 2236: 2165: 2146: 2132: 2113: 2099: 2088: 2077: 2066: 1525: 1506: 1493: 1476: 1463: 1452: 1441: 1430: 1363: 1350: 1299: 1286: 1280: 1268: 1265: 1253: 1208: 1196: 1190: 1178: 1166: 1153: 1147: 1135: 1132: 1120: 852: 836: 794: 778: 610: 593: 580: 572: 560: 552: 534:Brahmagupta–Fibonacci identity 447: 400: 16:On products on sums of squares 1: 10490:Lagrange's mean value theorem 10290:Clifford algebras and spinors 10287:Door Pertti Lounesto (2001). 10260:Clifford algebras and spinors 10167:American Mathematical Society 10032: 10352:Frank Jones, Rice University 9562: 9388: 8420: 2560: 2490: 2217:are linearly independent of 1090:and its complex counterpart 1037: 1007: 7: 10354:, page 4 in Chapter 7 of a 10169:. p. 22, Exercise 16. 10051:(2nd ed.). CRC Press. 10010: 5272: 5258: 5246: 4941: 4935: 4929: 4923: 4911: 3754: 3476: 2229:is not compatible with the 10: 10542: 10356:book still to be published 10132:J. Michael Steele (2004). 10045:Eric W. Weisstein (2003). 2036: 536:and a special form of the 18: 10440: 4481:Now exchange the indices 1555:), the left-hand side is 1553:Cauchy–Schwarz inequality 10322:Jack B. Kuipers (2002). 10307:§ 7.4 Cross products in 10257:Pertti Lounesto (2001). 10190:Palka, Bruce P. (1991). 9709:In terms of the moduli, 2522:and the norm squared is 2980:Proof of algebraic form 9998: 9960: 9904: 9797: 9742: 9701: 9659: 9599: 9421: 9363: 9312: 9274: 8866: 8824: 8764: 8606: 8453: 8395: 8344: 8306: 8227: 8174: 8126: 8085: 8045: 8003: 7943: 7785: 7703: 7670: 7513: 7455: 7395: 7295: 7220: 7154: 7119: 7028: 6975: 6860: 6807: 6727: 6661: 6626: 6469: 6316: 6234: 6139: 5971: 5936: 5916: 5873: 5816: 5782: 5726: 5693: 5647: 5597: 5531: 5369: 5333: 5232: 5187: 5160: 5097: 5070: 5010: 4983: 4899: 4848: 4821: 4758: 4731: 4671: 4644: 4558: 4531: 4473: 4425: 4398: 4335: 4308: 4248: 4221: 4135: 4108: 4067: 3940: 3913: 3827: 3800: 3742: 3693: 3666: 3603: 3548: 3464: 3423: 3396: 3336: 3309: 3249: 3195: 3174: 3130: 3084: 2971: 2868:since, by definition, 2862: 2766: 2710: 2639: 2516: 2466: 2335: 2185: 2029:planes, respectively. 2011: 1798: 1697: 1539: 1381: 1218: 1063: 984: 957: 896: 834: 776: 718: 472: 399: 366: 262: 235: 170: 120: 74: 10434:Joseph-Louis Lagrange 10389:"Lagrange's Identity" 10367:M. Fernández-Guasti, 10027:Binet–Cauchy identity 9999: 9940: 9884: 9777: 9722: 9702: 9639: 9579: 9401: 9343: 9292: 9275: 8867: 8804: 8744: 8586: 8433: 8375: 8324: 8307: 8207: 8154: 8106: 8065: 8046: 7983: 7923: 7765: 7683: 7671: 7493: 7435: 7375: 7275: 7200: 7134: 7120: 7008: 6955: 6840: 6787: 6707: 6641: 6627: 6449: 6296: 6214: 6119: 5951: 5937: 5917: 5874: 5796: 5762: 5706: 5694: 5648: 5577: 5511: 5349: 5342:The product identity 5334: 5233: 5161: 5134: 5071: 5044: 4984: 4957: 4900: 4822: 4795: 4732: 4705: 4645: 4618: 4532: 4505: 4474: 4399: 4372: 4309: 4282: 4222: 4195: 4109: 4082: 4068: 3914: 3887: 3801: 3774: 3743: 3667: 3640: 3583: 3528: 3465: 3397: 3370: 3310: 3283: 3229: 3175: 3154: 3110: 3064: 2972: 2863: 2767: 2711: 2640: 2517: 2467: 2336: 2186: 2012: 1799: 1698: 1540: 1382: 1219: 1085:real coordinate space 1064: 958: 931: 876: 814: 756: 719: 538:Binet–Cauchy identity 473: 367: 346: 236: 209: 150: 100: 54: 36:Joseph Louis Lagrange 10521:Algebraic identities 10485:Lagrangian mechanics 10198:. Berlin, New York: 10165:. Providence, R.I.: 9713: 9284: 8878: 8316: 8057: 7680: 7131: 6638: 5948: 5926: 5883: 5703: 5660: 5346: 5295: 4954: 4502: 4079: 3771: 3519: 3056: 2872: 2778: 2730: 2659: 2526: 2482: 2375: 2260: 2062: 1808: 1743: 1559: 1426: 1230: 1117: 748: 547: 42: 19:For other uses, see 10526:Multilinear algebra 10480:Lagrange multiplier 10465:Lagrange's identity 10450:Lagrange polynomial 10445:Lagrange multiplier 5127: 5112: 5040: 5025: 4788: 4773: 4701: 4686: 4365: 4350: 4278: 4263: 4008: 3993: 3975: 3960: 3633: 3618: 3453: 3438: 3366: 3351: 3279: 3264: 3225: 3210: 3145: 3099: 1078:Cauchy's inequality 135: 89: 32:Lagrange's identity 10495:Lagrange stability 10386:Weisstein, Eric W. 10350:See, for example, 9994: 9697: 9270: 8862: 8302: 8041: 7666: 7115: 6622: 5932: 5912: 5869: 5689: 5643: 5329: 5228: 5113: 5098: 5026: 5011: 4895: 4774: 4759: 4687: 4672: 4469: 4351: 4336: 4264: 4249: 4063: 3994: 3979: 3961: 3946: 3738: 3619: 3604: 3460: 3439: 3424: 3352: 3337: 3265: 3250: 3211: 3196: 3131: 3085: 3028:complex conjugates 2967: 2858: 2762: 2706: 2635: 2512: 2462: 2331: 2181: 2007: 1794: 1693: 1535: 1377: 1214: 1082:finite-dimensional 1059: 714: 649: 468: 466: 121: 75: 10508: 10507: 10305:See particularly 10243:978-0-470-43205-1 10213:978-0-387-97427-9 10206:, Exercise 4.22. 10176:978-0-8218-2905-9 9856: 9824: 9680: 9620: 9565: 9552: 9520: 9479: 9447: 9391: 9243: 9211: 9182: 9150: 9093: 9074: 9052: 9033: 8991: 8962: 8930: 8901: 8845: 8785: 8722: 8693: 8661: 8632: 8549: 8530: 8508: 8489: 8423: 8275: 8253: 8195: 8137: 8024: 7964: 7901: 7872: 7840: 7811: 7753: 7724: 7629: 7600: 7568: 7539: 7476: 7416: 7353: 7321: 7252: 7186: 7078: 7049: 6996: 6910: 6881: 6828: 6759: 6693: 6585: 6556: 6524: 6495: 6432: 6403: 6371: 6342: 6284: 6255: 6197: 6165: 6096: 6067: 6035: 6003: 5935:{\displaystyle x} 5629: 5563: 5494: 5465: 5433: 5401: 5268: 5267: 4919: 4918: 4891: 3762: 3761: 3506: 3499: 3492: 3484: 3483: 3456: 2621: 2615: 2602: 2586: 2580: 2563: 2493: 2437: 2423: 2322: 2308: 2294: 2177: 1372: 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