1206:
730:
1201:{\displaystyle \mathbf {g} \left(\mathbf {x} \right)={\begin{bmatrix}g_{1}\left(\mathbf {x} \right)\\\vdots \\g_{i}\left(\mathbf {x} \right)\\\vdots \\g_{m}\left(\mathbf {x} \right)\end{bmatrix}},\quad \mathbf {h} \left(\mathbf {x} \right)={\begin{bmatrix}h_{1}\left(\mathbf {x} \right)\\\vdots \\h_{j}\left(\mathbf {x} \right)\\\vdots \\h_{\ell }\left(\mathbf {x} \right)\end{bmatrix}},\quad \mathbf {\mu } ={\begin{bmatrix}\mu _{1}\\\vdots \\\mu _{i}\\\vdots \\\mu _{m}\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {\lambda } ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\vdots \\\lambda _{j}\\\vdots \\\lambda _{\ell }\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {\alpha } ={\begin{bmatrix}\mu \\\lambda \end{bmatrix}}.}
2338:
721:
487:
8060:
66:, which allows only equality constraints. Similar to the Lagrange approach, the constrained maximization (minimization) problem is rewritten as a Lagrange function whose optimal point is a global maximum or minimum over the domain of the choice variables and a global minimum (maximum) over the multipliers. The Karush–Kuhn–Tucker theorem is sometimes referred to as the saddle-point theorem.
9521:
716:{\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\mathbf {\mu } ,\mathbf {\lambda } )=f(\mathbf {x} )+\mathbf {\mu } ^{\top }\mathbf {g} (\mathbf {x} )+\mathbf {\lambda } ^{\top }\mathbf {h} (\mathbf {x} )=L(\mathbf {x} ,\mathbf {\alpha } )=f(\mathbf {x} )+\mathbf {\alpha } ^{\top }{\begin{pmatrix}\mathbf {g} (\mathbf {x} )\\\mathbf {h} (\mathbf {x} )\end{pmatrix}}}
5535:. For the constrained case, the situation is more complicated, and one can state a variety of (increasingly complicated) "regularity" conditions under which a constrained minimizer also satisfies the KKT conditions. Some common examples for conditions that guarantee this are tabulated in the following, with the LICQ the most frequently used one:
7685:
6463:
In some cases, the necessary conditions are also sufficient for optimality. In general, the necessary conditions are not sufficient for optimality and additional information is required, such as the Second Order
Sufficient Conditions (SOSC). For smooth functions, SOSC involve the second derivatives,
9255:
5200:
5044:
2756:
2549:
8215:
8055:{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {{\text{d}}R}{{\text{d}}Q}}\right)(1+\mu )-\mu \left({\frac {{\text{d}}C}{{\text{d}}Q}}\right)\leq 0,\\&Q\geq 0,\\&Q\left=0,\\&R(Q)-C(Q)-G_{\min }\geq 0,\\&\mu \geq 0,\\&\mu =0.\end{aligned}}}
1976:
9009:
6821:
4883:
1740:
4643:
9516:{\displaystyle {\begin{aligned}&\mu _{0}\,\nabla f(x^{*})+\sum _{i=1}^{m}\mu _{i}\,\nabla g_{i}(x^{*})+\sum _{j=1}^{\ell }\lambda _{j}\,\nabla h_{j}(x^{*})=0,\\&\mu _{j}g_{i}(x^{*})=0,\quad i=1,\dots ,m,\end{aligned}}}
7690:
4812:
4741:
4482:
4580:
6174:
5080:
4924:
2585:
6926:
2381:
1587:
7266:
6252:
2141:
2091:
3167:
7416:
5397:
2840:
1827:
1270:
2041:
8858:
2919:
1635:
8664:
9260:
2987:
7549:, then the problem is a meaningful one if the revenue function levels off so it eventually is less steep than the cost function. The problem expressed in the previously given minimization form is
7440:
the KKT approach is used in theoretical models in order to obtain qualitative results. For example, consider a firm that maximizes its sales revenue subject to a minimum profit constraint. Letting
3073:
5335:
5252:
1777:
1866:
1313:
5791:
2332:
8123:
5299:
1373:
7092:
9208:
8576:
5853:
8774:
3807:
3745:
3548:
3481:
3346:
1879:
1343:
257:
6656:
436:
177:
2275:
2187:
8466:
8416:
8375:
8294:
8256:
7644:
3601:
3422:
3287:
8888:
8692:
8494:
6664:
375:
222:
5729:
4358:
4240:
4191:
4145:
1989:
solution can be derived analytically. In general, many optimization algorithms can be interpreted as methods for numerically solving the KKT system of equations and inequalities.
1668:
1402:
1474:
5533:
4407:
4312:
4099:
5434:
of the original, constrained optimization problem (assuming one exists) has to satisfy the above KKT conditions. This is similar to asking under what conditions the minimizer
290:
9247:
3683:
1436:
126:
10034:
Andreani, R.; Martínez, J. M.; Schuverdt, M. L. (2005). "On the relation between constant positive linear dependence condition and quasinormality constraint qualification".
9157:
6432:
6096:
6056:
7164:
1512:
6023:
1538:
3967:
3905:
6390:
4817:
7543:
9038:
7674:
7131:
6955:
6301:
4000:
8115:
1673:
9092:
9065:
7583:
7293:
6547:
6516:
6328:
5996:
5958:
5931:
5893:
5694:
5656:
5610:
5583:
5459:
5432:
4056:
4029:
3934:
3651:
3376:
3241:
2214:
480:
8334:
8314:
7516:
7487:
5488:
5075:
4919:
2580:
2376:
8089:
3195:
9112:
8883:
7458:
6575:
6485:
6348:
4260:
3879:
3859:
3836:
3621:
460:
310:
4585:
4746:
3809:
must close the duality gap, thus they must constitute a Nash equilibrium (since neither side could do any better), thus they satisfy the KKT conditions.
4648:
5906:
For each subset of gradients of active inequality constraints and gradients of equality constraints, if the subset of vectors is linearly dependent at
4424:
1985:
The system of equations and inequalities corresponding to the KKT conditions is usually not solved directly, except in the few special cases where a
5195:{\displaystyle \partial f(x^{*})+D\mathbf {g} (x^{*})^{\top }{\boldsymbol {\mu }}+D\mathbf {h} (x^{*})^{\top }{\boldsymbol {\lambda }}=\mathbf {0} }
5039:{\displaystyle \partial f(x^{*})-D\mathbf {g} (x^{*})^{\top }{\boldsymbol {\mu }}-D\mathbf {h} (x^{*})^{\top }{\boldsymbol {\lambda }}=\mathbf {0} }
4487:
2751:{\displaystyle -\partial f(x^{*})+\sum _{j=1}^{\ell }\lambda _{j}\partial h_{j}(x^{*})+\sum _{i=1}^{m}\mu _{i}\partial g_{i}(x^{*})\ni \mathbf {0} }
2544:{\displaystyle \partial f(x^{*})+\sum _{j=1}^{\ell }\lambda _{j}\partial h_{j}(x^{*})+\sum _{i=1}^{m}\mu _{i}\partial g_{i}(x^{*})\ni \mathbf {0} }
9094:
is interpreted as a resource constraint, the coefficients tell you how much increasing a resource will increase the optimum value of our function
6584:
It was shown by Martin in 1985 that the broader class of functions in which KKT conditions guarantees global optimality are the so-called Type 1
6101:
6832:
1543:
5868:
For each subset of the gradients of the active inequality constraints and the gradients of the equality constraints the rank at a vicinity of
7172:
3197:, i.e., when there are no inequality constraints, the KKT conditions turn into the Lagrange conditions, and the KKT multipliers are called
6179:
2096:
2046:
77:, who first published the conditions in 1951. Later scholars discovered that the necessary conditions for this problem had been stated by
3081:
9860:
7298:
5346:
2765:
1782:
1225:
9537:
The KKT conditions belong to a wider class of the first-order necessary conditions (FONC), which allow for non-smooth functions using
2003:
8786:
2846:
1592:
8589:
2930:
5971:
If the gradients of the active inequality constraints and the gradients of the equality constraints are linearly dependent at
5933:
with non-negative scalars associated with the inequality constraints, then it remains linearly dependent in a neighborhood of
10184:
2998:
5310:
90:
5211:
1745:
8210:{\displaystyle {\frac {{\text{d}}R}{{\text{d}}Q}}={\frac {\mu }{1+\mu }}\left({\frac {{\text{d}}C}{{\text{d}}Q}}\right).}
44:
1832:
1279:
10243:
9835:
5734:
3289:
to the dual problem, such that together they satisfy the KKT conditions, then the problem pair has strong duality, and
2280:
9683:"A contextualized historical analysis of the Kuhn-Tucker theorem in nonlinear programming: the impact of World War II"
9530:. This optimality conditions holds without constraint qualifications and it is equivalent to the optimality condition
5258:
1971:{\displaystyle \mathbf {\Gamma } =\left\{\mathbf {x} \in \mathbf {X} :g_{i}(\mathbf {x} )\leq 0,i=1,\ldots ,m\right\}}
1348:
10207:
10165:
10146:
10121:
10095:
10072:
9925:
9896:
9795:
9766:
9735:
9611:
6963:
9162:
8504:
5796:
8702:
3753:
3691:
3494:
3427:
3292:
1318:
232:
10248:
6608:
4418:
8117:
and hence the third condition implies that the first condition holds with equality. Solving that equality gives
6455:
In practice weaker constraint qualifications are preferred since they apply to a broader selection of problems.
384:
135:
9004:{\displaystyle \{a\in \mathbb {R} ^{m}\mid {\text{for some }}x\in X,g_{i}(x)\leq a_{i},i\in \{1,\ldots ,m\}\}.}
6816:{\displaystyle L(x,\lambda ,\mu )=f(x)+\sum _{i=1}^{m}\mu _{i}g_{i}(x)+\sum _{j=1}^{\ell }\lambda _{j}h_{j}(x)}
2223:
2150:
8436:
8383:
8342:
8261:
8223:
7592:
7166:) are applied. The solution is a strict constrained local minimum in the case the inequality is also strict.
3560:
3381:
3246:
1979:
8672:
8474:
323:
183:
9115:
5699:
4317:
4199:
4150:
4104:
2220:
and the optimization problem satisfies some regularity conditions (see below), then there exist constants
9819:
8430:
If we reconsider the optimization problem as a maximization problem with constant inequality constraints:
1644:
1378:
1441:
482:
respectively. Corresponding to the constrained optimization problem one can form the
Lagrangian function
9917:
9827:
9787:
7518:
be production costs with a positive first derivative and with a non-negative value at zero output, and
5493:
4363:
4268:
4065:
52:
266:
9213:
5627:
The gradients of the active inequality constraints and the gradients of the equality constraints are
3656:
1410:
100:
62:
Allowing inequality constraints, the KKT approach to nonlinear programming generalizes the method of
20:
9129:
6395:
6061:
6028:
7136:
4878:{\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=\left(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{\ell }\right)^{\top }}
1479:
439:
378:
6001:
1521:
10106:
3939:
3884:
6353:
3747:
satisfies the KKT conditions, thus is a Nash equilibrium, and therefore closes the duality gap.
10138:
10132:
9758:
9752:
7521:
7437:
3813:
1986:
1735:{\displaystyle \mathbf {\alpha } ^{\ast }={\begin{bmatrix}\mu ^{*}\\\lambda ^{*}\end{bmatrix}}}
10195:
9016:
7650:
7100:
10083:
9867:
9723:
9582:
9571:
9527:
6934:
6599:
6554:
6273:
5860:
4409:, since the particle is not on the boundary, the one-sided constraint force cannot activate.
3972:
1873:
1638:
48:
40:
8094:
9935:
9845:
9805:
9708:
9647:
9070:
9043:
7556:
7271:
6525:
6494:
6306:
5974:
5936:
5909:
5871:
5672:
5634:
5588:
5561:
5437:
5410:
4034:
4007:
3912:
3629:
3354:
3219:
3198:
2192:
465:
63:
9114:. This interpretation is especially important in economics and is used, for instance, in
8319:
8299:
7492:
7463:
5464:
5051:
4895:
2556:
2352:
8:
9678:
9555:
8419:
8068:
7431:
6267:
5628:
3174:
7489:
be sales revenue with a positive first derivative and with a zero value at zero output,
10228:
10051:
9966:
9097:
8868:
7546:
7443:
6560:
6470:
6333:
4245:
4031:
are two-sided constraint surfaces. The particle is allowed to move only on the surface
3864:
3844:
3821:
3606:
1998:
445:
313:
295:
8336:
is positive and so the revenue-maximizing firm operates at a level of output at which
10203:
10180:
10161:
10142:
10117:
10091:
10068:
10055:
9970:
9921:
9892:
9884:
9831:
9791:
9762:
9731:
9607:
9565:
4638:{\displaystyle \mathbf {h} (x):\,\!\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{\ell }}
10223:
10043:
9997:
9958:
9694:
9635:
9631:
9550:
8337:
6488:
6258:
4807:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\left(\mu _{1},\ldots ,\mu _{m}\right)^{\top }}
3551:
74:
9662:
8296:
are strictly positive, this inequality along with the non-negativity condition on
4736:{\displaystyle \mathbf {h} (x)=\left(h_{1}(x),\ldots ,h_{\ell }(x)\right)^{\top }}
2334:, called KKT multipliers, such that the following four groups of conditions hold:
9931:
9841:
9801:
9704:
9643:
7268:, the third order Taylor expansion of the Lagrangian should be used to verify if
6658:
found in the above section is a constrained local minimum if for the
Lagrangian,
6578:
6550:
6519:
6467:
The necessary conditions are sufficient for optimality if the objective function
5613:
1515:
4477:{\displaystyle \mathbf {g} (x):\,\!\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}
2337:
9627:
9577:
6586:
3685:: equilibrium is equivalent to primal feasibility and complementary slackness.
78:
70:
10047:
9664:
Minima of
Functions of Several Variables with Inequalities as Side Constraints
4575:{\displaystyle \mathbf {g} (x)=\left(g_{1}(x),\ldots ,g_{m}(x)\right)^{\top }}
10237:
9538:
8378:
7419:
3861:
is a potential field that the particle is minimizing. The force generated by
2217:
2144:
3814:
Interpretation: KKT conditions as balancing constraint-forces in state space
10002:
9985:
9699:
9682:
9561:
8418:— a result that is of interest because it contrasts with the behavior of a
6169:{\displaystyle \lambda _{j}\neq 0\Rightarrow \lambda _{j}h_{j}(x_{k})>0}
3818:
The primal problem can be interpreted as moving a particle in the space of
1273:
9667:(M.Sc. thesis). Dept. of Mathematics, Univ. of Chicago, Chicago, Illinois.
6921:{\displaystyle s^{T}\nabla _{xx}^{2}L(x^{*},\lambda ^{*},\mu ^{*})s\geq 0}
3936:
are one-sided constraint surfaces. The particle is allowed to move inside
3351:(necessity) If the problem pair has strong duality, then for any solution
1582:{\displaystyle \mathbf {x} _{0}\in \operatorname {relint} (\mathbf {X} )}
56:
9962:
5402:
260:
7261:{\displaystyle s^{T}\nabla _{xx}^{2}L(x^{*},\lambda ^{*},\mu ^{*})s=0}
5669:
The gradients of the equality constraints are linearly independent at
4242:
forces must be one-sided, pointing inwards into the feasible set for
442:
functions. The numbers of inequalities and equalities are denoted by
6247:{\displaystyle \mu _{i}\neq 0\Rightarrow \mu _{i}g_{i}(x_{k})>0.}
2136:{\displaystyle h_{j}\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
2086:{\displaystyle g_{i}\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
6602:
problems, a second order sufficient condition is given as follows.
3162:{\displaystyle \mu _{i}g_{i}(x^{*})=0,{\text{ for }}i=1,\ldots ,m.}
7411:{\displaystyle f(x_{1},x_{2})=(x_{2}-x_{1}^{2})(x_{2}-3x_{1}^{2})}
5392:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}^{\top }\mathbf {g} (x^{*})=0.}
2835:{\displaystyle h_{j}(x^{*})=0,{\text{ for }}j=1,\ldots ,\ell \,\!}
1822:{\displaystyle (\mathbf {x} ^{\ast },\mathbf {\alpha } ^{\ast })}
1265:{\displaystyle (\mathbf {x} ^{\ast },\mathbf {\alpha } ^{\ast })}
317:
3078:
The last condition is sometimes written in the equivalent form:
2036:{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
1670:
for the above optimization problem there is associated a vector
6581:, the necessary conditions are also sufficient for optimality.
1978:, the proof of the Karush–Kuhn–Tucker theorem makes use of the
9858:
9642:. Berkeley: University of California Press. pp. 481–492.
8853:{\displaystyle j\in \{1,\ldots ,\ell \},i\in \{1,\ldots ,m\},}
2914:{\displaystyle g_{i}(x^{*})\leq 0,{\text{ for }}i=1,\ldots ,m}
1630:{\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} _{0})<\mathbf {0} }
9861:"Karush-Kuhn-Tucker conditions, Optimization 10-725 / 36-725"
5900:
Constant positive linear dependence constraint qualification
8659:{\displaystyle V(a_{1},\ldots ,a_{n})=\sup \limits _{x}f(x)}
3550:
to satisfy the KKT conditions is equivalent to them being a
10196:"Inequality Constraints and the Theorem of Kuhn and Tucker"
10224:
Karush–Kuhn–Tucker conditions with derivation and examples
10202:. New York: Cambridge University Press. pp. 145–171.
2982:{\displaystyle \mu _{i}\geq 0,{\text{ for }}i=1,\ldots ,m}
10033:
8422:
firm, which operates at a level at which they are equal.
5490:
in an unconstrained problem has to satisfy the condition
1404:
is an optimal vector for the above optimization problem.
89:
Consider the following nonlinear optimization problem in
10081:
9606:. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. pp. 19–20.
2341:
Inequality constraint diagram for optimization problems
9040:
is the rate at which the value function increases as
3068:{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\mu _{i}g_{i}(x^{*})=0.}
1697:
1174:
1091:
1011:
892:
760:
666:
9258:
9216:
9165:
9132:
9100:
9073:
9046:
9019:
8891:
8871:
8789:
8705:
8675:
8592:
8507:
8477:
8439:
8386:
8345:
8322:
8302:
8264:
8226:
8126:
8097:
8091:
would violate the minimum profit constraint, we have
8071:
7688:
7653:
7595:
7559:
7524:
7495:
7466:
7446:
7301:
7274:
7175:
7139:
7103:
6966:
6937:
6835:
6667:
6611:
6593:
6563:
6528:
6497:
6473:
6398:
6356:
6336:
6309:
6276:
6182:
6104:
6064:
6031:
6004:
5977:
5939:
5912:
5874:
5799:
5737:
5702:
5675:
5637:
5591:
5564:
5496:
5467:
5440:
5413:
5349:
5330:{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\geq \mathbf {0} }
5313:
5261:
5214:
5083:
5054:
4927:
4898:
4820:
4749:
4651:
4588:
4490:
4427:
4366:
4320:
4271:
4248:
4202:
4153:
4107:
4068:
4037:
4010:
3975:
3942:
3915:
3887:
3867:
3847:
3824:
3756:
3694:
3659:
3632:
3609:
3563:
3497:
3430:
3384:
3357:
3295:
3249:
3222:
3177:
3084:
3001:
2933:
2849:
2768:
2588:
2559:
2384:
2355:
2283:
2226:
2195:
2153:
2099:
2049:
2006:
1882:
1835:
1785:
1748:
1676:
1647:
1595:
1546:
1524:
1482:
1444:
1413:
1381:
1351:
1321:
1282:
1228:
733:
490:
468:
448:
387:
326:
298:
269:
235:
186:
138:
103:
9568:
to problems that contain "greater-than" constraints.
7133:
corresponding to strict complementarity (i.e. where
5403:
Regularity conditions (or constraint qualifications)
5247:{\displaystyle \mathbf {g} (x^{*})\leq \mathbf {0} }
3838:, and subjecting it to three kinds of force fields:
3623:: equilibrium is equivalent to primal stationarity.
3348:
is a solution pair to the primal and dual problems.
1772:{\displaystyle \mathbf {\mu } ^{*}\geq \mathbf {0} }
9891:(2 ed.). Athena Scientific. pp. 329–330.
9730:. New York: John Wiley & Sons. pp. 39–44.
7460:be the quantity of output produced (to be chosen),
4885:. Then the necessary conditions can be written as:
9515:
9241:
9202:
9151:
9106:
9086:
9059:
9032:
9003:
8877:
8852:
8768:
8686:
8658:
8570:
8488:
8460:
8410:
8369:
8328:
8308:
8288:
8250:
8209:
8109:
8083:
8054:
7668:
7638:
7577:
7537:
7510:
7481:
7452:
7410:
7287:
7260:
7158:
7125:
7086:
6949:
6920:
6815:
6650:
6569:
6541:
6510:
6479:
6426:
6384:
6342:
6322:
6295:
6246:
6168:
6090:
6050:
6017:
5990:
5952:
5925:
5887:
5847:
5785:
5723:
5688:
5650:
5604:
5577:
5527:
5482:
5453:
5426:
5391:
5329:
5293:
5246:
5194:
5069:
5038:
4913:
4877:
4806:
4735:
4637:
4574:
4476:
4401:
4352:
4306:
4254:
4234:
4196:Dual feasibility additionally states that all the
4185:
4139:
4093:
4050:
4023:
3994:
3961:
3928:
3899:
3873:
3853:
3830:
3801:
3739:
3677:
3645:
3615:
3595:
3542:
3475:
3416:
3370:
3340:
3281:
3235:
3189:
3161:
3067:
2981:
2913:
2834:
2750:
2574:
2543:
2370:
2326:
2269:
2208:
2181:
2135:
2085:
2035:
1970:
1861:{\displaystyle L(\mathbf {x} ,\mathbf {\alpha } )}
1860:
1821:
1771:
1734:
1662:
1629:
1581:
1532:
1506:
1468:
1430:
1396:
1367:
1337:
1308:{\displaystyle L(\mathbf {x} ,\mathbf {\alpha } )}
1307:
1264:
1200:
715:
474:
454:
430:
369:
304:
284:
251:
216:
171:
120:
9949:Martin, D. H. (1985). "The Essence of Invexity".
9883:
5786:{\displaystyle \nabla g_{i}(x^{*})^{\top }d<0}
4607:
4446:
2831:
2327:{\displaystyle \lambda _{j}\ (j=1,\ldots ,\ell )}
84:
10235:
10116:. Cambridge University Press. pp. 241–249.
10104:
10082:Boltyanski, V.; Martini, H.; Soltan, V. (1998).
9911:
9781:
8034:
7957:
7601:
7530:
5294:{\displaystyle \mathbf {h} (x^{*})=\mathbf {0} }
1368:{\displaystyle \mathbf {\mu } \geq \mathbf {0} }
10036:Journal of Optimization Theory and Applications
7097:where only those active inequality constraints
7087:{\displaystyle \left^{T}s=0_{\mathbb {R} ^{2}}}
5663:Mangasarian-Fromovitz constraint qualification
4062:Primal stationarity states that the "force" of
69:The KKT conditions were originally named after
10156:Rau, Nicholas (1981). "Lagrange Multipliers".
9724:"Saddle-point Property of Lagrangian Function"
9203:{\displaystyle (\mu _{0},\mu ,\lambda )\neq 0}
8571:{\displaystyle g_{i}(x)\leq a_{i},h_{j}(x)=0.}
6577:of a minimization problem is a differentiable
6487:of a maximization problem is a differentiable
5848:{\displaystyle \nabla h_{j}(x^{*})^{\top }d=0}
4101:is exactly balanced by a linear sum of forces
10174:
10018:Fundamental Methods of Mathematical Economics
8769:{\displaystyle g_{i}(x)\leq a_{i},h_{j}(x)=0}
5621:Linear independence constraint qualification
4417:The necessary conditions can be written with
3802:{\displaystyle x^{*},(\mu ^{*},\lambda ^{*})}
3740:{\displaystyle x^{*},(\mu ^{*},\lambda ^{*})}
3543:{\displaystyle x^{*},(\mu ^{*},\lambda ^{*})}
3476:{\displaystyle x^{*},(\mu ^{*},\lambda ^{*})}
3341:{\displaystyle x^{*},(\mu ^{*},\lambda ^{*})}
1872:Since the idea of this approach is to find a
10229:Examples and Tutorials on the KKT Conditions
9912:Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004).
9782:Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004).
8995:
8992:
8974:
8892:
8844:
8826:
8814:
8796:
7545:be the positive minimal acceptable level of
6557:holds. Similarly, if the objective function
6058:for inequalities, then there is no sequence
1338:{\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {X} }
252:{\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {X} }
10088:Geometric Methods and Optimization Problems
10065:Nonlinear Programming: Analysis and Methods
9818:
9604:Optimal Control by Mathematical Programming
6651:{\displaystyle x^{*},\lambda ^{*},\mu ^{*}}
259:is the optimization variable chosen from a
10130:
9750:
9626:
9249:the KKT stationarity conditions turn into
8445:
5793:for all active inequality constraints and
431:{\displaystyle h_{j}\ (j=1,\ldots ,\ell )}
172:{\displaystyle g_{i}(\mathbf {x} )\leq 0,}
10001:
9698:
9660:
9564:, for linear problems, which extends the
9395:
9331:
9274:
8903:
7072:
5965:Quasi-normality constraint qualification
5711:
4625:
4610:
4606:
4464:
4449:
4445:
3216:(sufficiency) If there exists a solution
2830:
2270:{\displaystyle \mu _{i}\ (i=1,\ldots ,m)}
2182:{\displaystyle x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}}
2169:
2129:
2115:
2079:
2065:
2029:
2015:
272:
10193:
10131:Kemp, Murray C.; Kimura, Yoshio (1978).
9751:Kemp, Murray C.; Kimura, Yoshio (1978).
9715:
9677:
9602:Tabak, Daniel; Kuo, Benjamin C. (1971).
9601:
9013:Given this definition, each coefficient
8461:{\displaystyle {\text{Maximize }}\;f(x)}
7295:is a local minimum. The minimization of
6458:
4412:
2336:
10160:. London: Macmillan. pp. 156–174.
8411:{\displaystyle {\text{d}}C/{\text{d}}Q}
8370:{\displaystyle {\text{d}}R/{\text{d}}Q}
8289:{\displaystyle {\text{d}}C/{\text{d}}Q}
8251:{\displaystyle {\text{d}}R/{\text{d}}Q}
7639:{\displaystyle G_{\min }\leq R(Q)-C(Q)}
5352:
5315:
5180:
5141:
5024:
4985:
4822:
4751:
4265:Complementary slackness states that if
3596:{\displaystyle (\mu ^{*},\lambda ^{*})}
3417:{\displaystyle (\mu ^{*},\lambda ^{*})}
3378:to the primal problem and any solution
3282:{\displaystyle (\mu ^{*},\lambda ^{*})}
1992:
10236:
10134:Introduction to Mathematical Economics
10090:. New York: Springer. pp. 78–92.
10062:
9986:"Invexity and the Kuhn-Tucker Theorem"
9983:
9948:
9754:Introduction to Mathematical Economics
8687:{\displaystyle {\text{subject to }}\ }
8489:{\displaystyle {\text{subject to }}\ }
6957:is a vector satisfying the following,
5861:Constant rank constraint qualification
5407:One can ask whether a minimizer point
370:{\displaystyle g_{i}\ (i=1,\ldots ,m)}
217:{\displaystyle h_{j}(\mathbf {x} )=0.}
10200:A First Course in Optimization Theory
10158:Matrices and Mathematical Programming
9721:
9640:Proceedings of 2nd Berkeley Symposium
9574:a method to solve the KKT conditions.
6439:The strict implications can be shown
5724:{\displaystyle d\in \mathbb {R} ^{n}}
5616:, then no other condition is needed.
4353:{\displaystyle \partial g_{i}(x^{*})}
4235:{\displaystyle \partial g_{i}(x^{*})}
4186:{\displaystyle \partial g_{i}(x^{*})}
4140:{\displaystyle \partial h_{j}(x^{*})}
9859:Geoff Gordon & Ryan Tibshirani.
7418:is a good counter-example, see also
1663:{\displaystyle \mathbf {x} ^{\ast }}
1641:holds). Then with an optimal vector
1397:{\displaystyle \mathbf {x} ^{\ast }}
16:Concept in mathematical optimization
10175:Nocedal, J.; Wright, S. J. (2006).
10155:
10105:Boyd, S.; Vandenberghe, L. (2004).
5552:Linearity constraint qualification
1469:{\displaystyle g_{i}(\mathbf {x} )}
13:
10027:
9396:
9332:
9275:
9217:
9121:
7187:
7013:
6974:
6847:
6594:Second-order sufficient conditions
5831:
5800:
5769:
5738:
5497:
5357:
5174:
5135:
5084:
5018:
4979:
4928:
4870:
4799:
4728:
4567:
4321:
4203:
4154:
4108:
4069:
3891:
3243:to the primal problem, a solution
2711:
2648:
2592:
2504:
2441:
2385:
656:
583:
552:
493:
14:
10260:
10217:
10020:, 3rd edition, 1984, pp. 750–752.
8583:The value function is defined as
8425:
6330:is affine), there exists a point
5528:{\displaystyle \nabla f(x^{*})=0}
4421:of the constraint functions. Let
4402:{\displaystyle \mu _{i}(x^{*})=0}
4307:{\displaystyle g_{i}(x^{*})<0}
4094:{\displaystyle \partial f(x^{*})}
3483:must satisfy the KKT conditions.
81:in his master's thesis in 1939.
10194:Sundaram, Rangarajan K. (1996).
9159:, which may be zero (as long as
5363:
5323:
5287:
5263:
5240:
5216:
5188:
5152:
5113:
5032:
4996:
4957:
4653:
4590:
4492:
4429:
2744:
2537:
1926:
1905:
1897:
1884:
1843:
1791:
1765:
1650:
1623:
1606:
1597:
1572:
1549:
1526:
1459:
1421:
1384:
1361:
1331:
1323:
1290:
1234:
978:
944:
910:
876:
867:
846:
812:
778:
744:
735:
698:
690:
678:
670:
639:
614:
597:
589:
566:
558:
535:
502:
285:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
245:
237:
201:
153:
111:
10137:. New York: Springer. pp.
10010:
9977:
9942:
9905:
9877:
9757:. New York: Springer. pp.
9484:
9242:{\displaystyle \nabla f(x^{*})}
3688:Sufficiency: the solution pair
3678:{\displaystyle (\mu ,\lambda )}
1431:{\displaystyle f(\mathbf {x} )}
1160:
1154:
1077:
997:
865:
121:{\displaystyle f(\mathbf {x} )}
9852:
9812:
9775:
9744:
9671:
9654:
9620:
9595:
9472:
9459:
9422:
9409:
9358:
9345:
9294:
9281:
9236:
9223:
9191:
9166:
9152:{\displaystyle \mu _{0}\geq 0}
8949:
8943:
8757:
8751:
8722:
8716:
8653:
8647:
8628:
8596:
8559:
8553:
8524:
8518:
8455:
8449:
8039:
8023:
8017:
8008:
8002:
7996:
7946:
7940:
7931:
7925:
7862:
7850:
7738:
7726:
7633:
7627:
7618:
7612:
7572:
7566:
7505:
7499:
7476:
7470:
7405:
7371:
7368:
7337:
7331:
7305:
7246:
7207:
7120:
7114:
7045:
7032:
7006:
6993:
6906:
6867:
6810:
6804:
6757:
6751:
6704:
6698:
6689:
6671:
6427:{\displaystyle g_{i}(x)<0.}
6415:
6409:
6373:
6367:
6270:(i.e., assuming minimization,
6235:
6222:
6199:
6157:
6144:
6121:
6091:{\displaystyle x_{k}\to x^{*}}
6075:
6051:{\displaystyle \mu _{i}\geq 0}
5855:for all equality constraints.
5827:
5813:
5765:
5751:
5516:
5503:
5477:
5471:
5380:
5367:
5280:
5267:
5233:
5220:
5170:
5156:
5131:
5117:
5103:
5090:
5064:
5058:
5014:
5000:
4975:
4961:
4947:
4934:
4908:
4902:
4719:
4713:
4691:
4685:
4663:
4657:
4620:
4600:
4594:
4558:
4552:
4530:
4524:
4502:
4496:
4459:
4439:
4433:
4390:
4377:
4347:
4334:
4295:
4282:
4229:
4216:
4180:
4167:
4134:
4121:
4088:
4075:
3796:
3770:
3734:
3708:
3672:
3660:
3590:
3564:
3537:
3511:
3470:
3444:
3424:to the dual problem, the pair
3411:
3385:
3335:
3309:
3276:
3250:
3118:
3105:
3056:
3043:
2873:
2860:
2792:
2779:
2737:
2724:
2674:
2661:
2611:
2598:
2569:
2563:
2530:
2517:
2467:
2454:
2404:
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2075:
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1930:
1922:
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1259:
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157:
149:
115:
107:
85:Nonlinear optimization problem
43:(sometimes called first-order
1:
9588:
9116:utility maximization problems
7159:{\displaystyle \mu _{i}>0}
6491:, the inequality constraints
4314:, then the force coming from
3750:Necessity: any solution pair
2043:and the constraint functions
1980:hyperplane separation theorem
1507:{\displaystyle i=1,\ldots ,m}
7425:
6018:{\displaystyle \lambda _{j}}
5998:with associated multipliers
1533:{\displaystyle \mathbf {X} }
7:
9544:
8635:
7679:and the KKT conditions are
6522:, the equality constraints
3962:{\displaystyle g_{i}\leq 0}
3900:{\displaystyle -\partial f}
1212:then states the following.
10:
10265:
9918:Cambridge University Press
9828:Princeton University Press
9788:Cambridge University Press
8220:Because it was given that
7429:
6385:{\displaystyle h_{j}(x)=0}
5696:and there exists a vector
3969:, but whenever it touches
1210:Karush–Kuhn–Tucker theorem
10244:Mathematical optimization
10084:"The Kuhn–Tucker Theorem"
10063:Avriel, Mordecai (2003).
10048:10.1007/s10957-004-1861-9
9126:With an extra multiplier
9067:increases. Thus if each
7538:{\displaystyle G_{\min }}
6464:which explains its name.
6451:LICQ ⇒ CRCQ ⇒ CPLD ⇒ QNCQ
6443:LICQ ⇒ MFCQ ⇒ CPLD ⇒ QNCQ
1407:(necessity) Suppose that
21:mathematical optimization
9033:{\displaystyle \mu _{i}}
7669:{\displaystyle Q\geq 0,}
7126:{\displaystyle g_{i}(x)}
3204:
10107:"Optimality Conditions"
9728:Methods of Optimization
9636:"Nonlinear programming"
6950:{\displaystyle s\neq 0}
6600:non-linear optimization
6296:{\displaystyle f,g_{i}}
5341:Complementary slackness
4002:, it is pushed inwards.
3995:{\displaystyle g_{i}=0}
3171:In the particular case
2993:Complementary slackness
10249:Mathematical economics
10179:. New York: Springer.
10177:Numerical Optimization
10003:10.1006/jmaa.1999.6484
9984:Hanson, M. A. (1999).
9824:Nonlinear Optimization
9700:10.1006/hmat.2000.2289
9517:
9384:
9320:
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8111:
8110:{\displaystyle Q>0}
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7640:
7579:
7539:
7512:
7483:
7454:
7438:mathematical economics
7412:
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1631:
1583:
1540:and that there exists
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122:
41:first derivative tests
37:Kuhn–Tucker conditions
9951:J. Optim. Theory Appl
9889:Nonlinear Programming
9722:Walsh, G. R. (1975).
9572:Interior-point method
9528:Fritz John conditions
9526:which are called the
9518:
9364:
9300:
9244:
9205:
9154:
9109:
9089:
9087:{\displaystyle a_{i}}
9062:
9060:{\displaystyle a_{i}}
9035:
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8855:
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7578:{\displaystyle -R(Q)}
7540:
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7288:{\displaystyle x^{*}}
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6459:Sufficient conditions
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5427:{\displaystyle x^{*}}
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1973:
1874:supporting hyperplane
1863:
1829:is a saddle point of
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457:
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219:
174:
123:
57:regularity conditions
55:, provided that some
49:nonlinear programming
9820:Ruszczyński, Andrzej
9679:Kjeldsen, Tinne Hoff
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5629:linearly independent
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5052:
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1876:on the feasible set
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267:
233:
184:
136:
101:
64:Lagrange multipliers
47:) for a solution in
45:necessary conditions
35:, also known as the
10114:Convex Optimization
9990:J. Math. Anal. Appl
9914:Convex Optimization
9784:Convex Optimization
9556:Lagrange multiplier
8084:{\displaystyle Q=0}
7432:Profit maximization
7404:
7367:
7203:
6863:
6518:are differentiable
6025:for equalities and
4360:must be zero i.e.,
3214: —
3190:{\displaystyle m=0}
1220: —
377:are the inequality
9963:10.1007/BF00941316
9661:W. Karush (1939).
9583:Slater's condition
9513:
9511:
9239:
9200:
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7636:
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214:
169:
118:
25:Karush–Kuhn–Tucker
10186:978-0-387-30303-1
10016:Chiang, Alpha C.
9885:Dimitri Bertsekas
9826:. Princeton, NJ:
9566:simplex algorithm
9532:KKT or (not-MFCQ)
9107:{\displaystyle f}
8919:
8878:{\displaystyle V}
8865:so the domain of
8683:
8679:
8634:
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8481:
8443:
8420:profit maximizing
8403:
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8362:
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