1423:
1179:
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705:
1875:
2257:
2104:
1418:{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {h} _{k}&=-F'(\mathbf {x} _{k})^{-1}F(\mathbf {x} _{k})\\\alpha _{k}&=M\,\|F'(\mathbf {x} _{k})^{-1}\|\,\|\mathbf {h} _{k}\|\\\mathbf {x} _{k+1}&=\mathbf {x} _{k}+\mathbf {h} _{k}.\end{alignedat}}}
538:
2617:
1976:
2794:
In 1986, Yamamoto proved that the error evaluations of the Newton method such as Doring (1969), Ostrowski (1971, 1973), Gragg-Tapia (1974), Potra-Ptak (1980), Miel (1981), Potra (1984), can be derived from the
Kantorovich theorem.
884:
2513:
2606:
945:
1618:
140:. The Kantorovich theorem gives conditions on the initial point of this sequence. If those conditions are satisfied then a solution exists close to the initial point and the sequence converges to that point.
586:
237:
1004:
578:
1473:
2313:
446:
2145:
789:
282:
181:
1987:
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1089:
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1679:
1650:
1506:
2777:{\displaystyle \|\mathbf {x} _{n+1}-\mathbf {x} ^{*}\|\leq \theta ^{2^{n}}\|\mathbf {x} _{n+1}-\mathbf {x} _{n}\|\leq {\frac {\theta ^{2^{n}}}{2^{n}}}\|\mathbf {h} _{0}\|.}
358:
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2335:
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1024:
453:
306:
68:
3287:
Yamamoto, Tetsuro (2001). "Historical
Developments in Convergence Analysis for Newton's and Newton-like Methods". In Brezinski, C.; Wuytack, L. (eds.).
794:
2520:
2396:
3335:
1184:
891:
700:{\displaystyle \|F'(\mathbf {x} )(\mathbf {v} )-F'(\mathbf {y} )(\mathbf {v} )\|\leq L\;\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|\,\|\mathbf {v} \|}
1555:
186:
3174:
Rajković, P. M.; Marinković, S. D.; Stanković, M. S. (2005). "On q-Newton–Kantorovich method for solving systems of equations".
3330:
950:
3276:
3155:
Rajkovic, P. M.; Stankovic, M. S.; Marinkovic, S. D. (2003). "On q-iterative methods for solving equations and systems".
3126:
Yamamoto, T. (1986). "A method for finding sharp error bounds for Newton's method under the
Kantorovich assumptions".
546:
3296:
3037:
2915:
2879:
2851:
1436:
2264:
415:
2252:{\displaystyle {\bar {B}}(\mathbf {x} _{1},\theta \|\mathbf {h} _{0}\|)\subset {\bar {B}}(\mathbf {x} _{0},t^{*})}
2099:{\displaystyle \theta ={\frac {t^{*}}{t^{**}}}={\frac {1-{\sqrt {1-2\alpha _{0}}}}{1+{\sqrt {1-2\alpha _{0}}}}}.}
244:
1870:{\displaystyle p(t)=\left({\tfrac {1}{2}}L\|F'(\mathbf {x} _{0})^{-1}\|^{-1}\right)t^{2}-t+\|\mathbf {h} _{0}\|}
249:
151:
3325:
1094:
1052:
3315:
1511:
716:
1688:
751:
50:
Newton's method constructs a sequence of points that under certain conditions will converge to a solution
3320:
2810:
for the
Kantorovich theorem. For other generalizations/variations, see Ortega & Rheinboldt (1970).
1136:
36:
2116:
1655:
1626:
1482:
2818:
Oishi and Tanabe claimed that the
Kantorovich theorem can be applied to obtain reliable solutions of
44:
240:
337:
2369:
2966:
Gragg, W. B.; Tapia, R. A. (1974). "Optimal Error Bounds for the Newton-Kantorovich
Theorem".
3264:
3128:
2903:
389:
363:
311:
108:
73:
2975:
1971:{\displaystyle t^{\ast /**}={\frac {2\|\mathbf {h} _{0}\|}{1\pm {\sqrt {1-2\alpha _{0}}}}}}
285:
2340:
533:{\displaystyle \|F'(\mathbf {x} )-F'(\mathbf {y} )\|\leq L\;\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|}
8:
3080:
Miel, G. J. (1981). "An updated version of the
Kantorovich theorem for Newton's method".
24:
3280:
2979:
2991:
2948:
2899:
2819:
2320:
1049:
As a last preparation, construct recursively, as long as it is possible, the sequences
1029:
1009:
291:
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28:
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3272:
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3033:
2911:
2875:
2847:
1685:
A statement that is more precise but slightly more difficult to prove uses the roots
2337:
is dominated by the convergence of the Newton iteration of the quadratic polynomial
3237:
3183:
3137:
3089:
3062:
2983:
2940:
3260:
543:
holds. The norm on the left is the operator norm. In other words, for any vector
3107:
Potra, F. A. (1984). "On the a posteriori error estimates for Newton's method".
2872:
Nonlinear
Functional Analysis and its Applications: Part 1: Fixed-Point Theorems
2846:. Springer Series in Computational Mathematics. Vol. 35. Berlin: Springer.
2844:
Newton
Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms
1046:
be the
Lipschitz constant for the Jacobian over this ball (assuming it exists).
2895:
879:{\displaystyle \mathbf {h} _{0}=-F'(\mathbf {x} _{0})^{-1}F(\mathbf {x} _{0}).}
23:, or Newton–Kantorovich theorem, is a mathematical statement on the semi-local
3187:
3309:
3269:
Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms: A Unified Approach
3009:
Ostrowski, A. M. (1971). "La method de Newton dans les espaces de Banach".
3053:
Potra, F. A.; Ptak, V. (1980). "Sharp error bounds for Newton's process".
2601:{\displaystyle \|\mathbf {x} _{k+p}-\mathbf {x} _{k}\|\leq t_{k+p}-t_{k}.}
3210:
3242:
3225:
2908:
Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations
3141:
3093:
3066:
2995:
2952:
2508:{\displaystyle t_{0}=0,\,t_{k+1}=t_{k}-{\tfrac {p(t_{k})}{p'(t_{k})}}}
3289:
Numerical Analysis : Historical Developments in the 20th Century
2987:
2944:
2804:
940:{\displaystyle \mathbf {x} _{1}=\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} _{0}}
1613:{\displaystyle {\bar {B}}(\mathbf {x} _{1},\|\mathbf {h} _{0}\|)}
232:{\displaystyle F:X\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
3281:
preview of 3. edition and sample material including Kant.-thm.
3203:
Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables
2612:
The quadratic convergence is obtained from the error estimate
308:
is twice differentiable). That is, it is assumed that for any
3226:"Numerical Inclusion of Optimum Point for Linear Programming"
3173:
3154:
2931:
Ortega, J. M. (1968). "The Newton-Kantorovich Theorem".
999:{\displaystyle B(\mathbf {x} _{1},\|\mathbf {h} _{0}\|)}
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1759:
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76:
56:
3030:
Solution of Equations in Euclidean and Banach Spaces
888:
The next assumption is that not only the next point
2910:. Englewood Cliffs: Prentice-Hall. pp. 92–94.
39:, although it states existence and uniqueness of a
2904:"The Kantorovich and Contractive Mapping Theorems"
2776:
2600:
2507:
2385:
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2307:
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1468:{\displaystyle \alpha _{0}\leq {\tfrac {1}{2}}}
2894:
2308:{\displaystyle B(\mathbf {x} _{0},t^{*\ast })}
441:{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in U}
105:or a vector solution of a system of equation
2768:
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791:is invertible and construct the Newton step
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1681:with at least linear order of convergence.
665:
510:
35:in 1948. It is similar to the form of the
3241:
3201:Ortega, J. M.; Rheinboldt, W. C. (1970).
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163:
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16:About the convergence of Newton's method
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2317:and the convergence to the solution of
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2261:it is unique inside the bigger ball
1721:{\displaystyle t^{\ast }\leq t^{**}}
784:{\displaystyle F'(\mathbf {x} _{0})}
3336:Optimization algorithms and methods
3291:. North-Holland. pp. 241–263.
3176:Applied Mathematics and Computation
13:
3254:
3109:Beiträge zur Numerische Mathematik
2968:SIAM Journal on Numerical Analysis
2798:
258:
14:
3347:
1623:the Newton iteration starting in
1166:{\displaystyle (\alpha _{k})_{k}}
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3331:Optimization in vector spaces
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713:Now choose any initial point
3032:. New York: Academic Press.
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353:{\displaystyle U\subset X}
37:Banach fixed-point theorem
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3028:Ostrowski, A. M. (1973).
2386:{\displaystyle t^{\ast }}
31:. It was first stated by
334:there is an open subset
241:differentiable function
3011:C. R. Acad. Sci. Paris
2874:. New York: Springer.
2842:Deuflhard, P. (2004).
2778:
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183:be an open subset and
177:
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133:{\displaystyle F(x)=0}
99:
98:{\displaystyle f(x)=0}
64:
3265:Barbara Burke Hubbard
3129:Numerische Mathematik
2779:
2603:
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3326:Theorems in analysis
2870:Zeidler, E. (1985).
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54:
3316:Functional analysis
3271:, Matrix Editions,
3243:10.14495/jsiaml.1.5
2980:1974SJNA...11...10G
2933:Amer. Math. Monthly
2900:Schnabel, Robert B.
21:Kantorovich theorem
3321:Numerical analysis
3142:10.1007/BF01389624
3094:10.1007/BF02237981
3067:10.1007/BF01463998
2820:linear programming
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33:Leonid Kantorovich
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