8408:
8181:
7636:
1011:
8176:{\displaystyle {\begin{aligned}W_{1}(\mu ,\nu )&=\sup _{g}\sup _{f(x)+g(y)\leq d(x,y)}\mathbb {E} _{x\sim \mu }+\mathbb {E} _{y\sim \nu }\\&=\sup _{g}\sup _{\|f\|_{L}\leq 1,f(x)+g(y)\leq d(x,y)}\mathbb {E} _{x\sim \mu }+\mathbb {E} _{y\sim \nu }\\&=\sup _{\|f\|_{L}\leq 1}\sup _{g,f(x)+g(y)\leq d(x,y)}\mathbb {E} _{x\sim \mu }+\mathbb {E} _{y\sim \nu }.\end{aligned}}}
5718:
4446:
9447:
6244:
10764:
10117:
5903:
5116:
514:
6658:
9077:
5554:
4188:
7127:
6472:
7376:
3716:
9588:
2133:
5350:
9282:
6048:
10599:
3488:
9909:
2318:
9957:
10505:
1001:
911:
5757:
10279:
4936:
112:, the metric is the minimum "cost" of turning one pile into the other, which is assumed to be the amount of earth that needs to be moved times the mean distance it has to be moved. This problem was first formalised by
9171:
360:
2157:
is not unique; the optimal transport plan is the plan with the minimal cost out of all possible transport plans. As mentioned, the requirement for a plan to be valid is that it is a joint distribution with marginals
6488:
8700:
6973:
1988:
8908:
3184:
696:
6306:
1917:
1635:
1547:
8849:
7203:
5995:
4665:
3562:
8556:
2876:
8801:
8742:
10825:
9480:
3910:
3844:
2013:
7641:
5221:
143:(Russian original 1939) in the context of optimal transport planning of goods and materials. Some scholars thus encourage use of the terms "Kantorovich metric" and "Kantorovich distance". Most
4100:
2655:
6478:, since the primal problem is feasible and bounded, so is the dual problem, and the minimum in the first problem equals the maximum in the second problem. That is, the problem pair exhibits
6294:
3341:
9792:
9787:
8315:
7471:
4019:
2970:
2923:
2457:
2410:
2594:
635:
5713:{\displaystyle W_{1}(\mu ,\nu )=\sup \left\{\left.\int _{M}f(x)\,\mathrm {d} (\mu -\nu )(x)\,\right|{\text{ continuous }}f:M\to \mathbb {R} ,\operatorname {Lip} (f)\leq 1\right\},}
7563:
6904:
4441:{\displaystyle W_{2}(\mu _{1},\mu _{2})^{2}=\|m_{1}-m_{2}\|_{2}^{2}+\mathop {\mathrm {trace} } {\bigl (}C_{1}+C_{2}-2{\bigl (}C_{2}^{1/2}C_{1}C_{2}^{1/2}{\bigr )}^{1/2}{\bigr )}.}
2221:
1760:
1699:
3332:
3266:
549:
10375:
9277:
4129:
3947:
3086:
3053:
10404:
8354:
8220:
7628:
1460:
such that at the end, both the pile of earth and the hole in the ground completely vanish. In order for this plan to be meaningful, it must satisfy the following properties:
7160:
9471:
5439:
The
Wasserstein metric and related formulations have also been used to provide a unified theory for shape observable analysis in high energy and collider physics datasets.
8903:
8485:
4687:
2681:
2541:
1378:
1261:
915:
825:
8401:
5186:
5151:
820:
10594:
8881:
750:
8508:
4931:
4904:
4857:
4810:
4763:
4727:
4183:
4156:
2781:
2754:
10884:
6942:
4481:
2707:
2216:
2155:
2008:
1780:
1138:
1089:
720:
10864:
8459:
8432:
6968:
10182:
9702:
9211:
4563:
4536:
4052:
3977:
3024:
2997:
2519:
2492:
2345:
248:
199:
10319:
10299:
10157:
10137:
9932:
9753:
9442:{\displaystyle W_{2}(p,q)=\min _{\mathbf {v}}\int _{0}^{1}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\|{\mathbf {v}}({\mathbf {x}},t)\|^{2}\rho ({\mathbf {x}},t)\,d{\mathbf {x}}\,dt}
6816:
6767:
6718:
6698:
6239:{\displaystyle {\begin{cases}\min _{\gamma }\sum _{x,y}c(x,y)\gamma (x,y)\\\sum _{y}\gamma (x,y)=\mu (x)\\\sum _{x}\gamma (x,y)=\nu (y)\\\gamma \geq 0\end{cases}}}
3738:
2196:
2176:
1824:
1804:
1458:
1438:
1343:
1323:
1218:
1198:
1178:
1158:
1052:
1032:
794:
774:
593:
573:
311:
291:
9248:
7589:
7198:
5216:
4589:
1054:, plotted on the x and y axes, and one possible joint distribution that defines a transport plan between them. The joint distribution/transport plan is not unique
9082:
8579:
7498:
10395:
10343:
10177:
9952:
9726:
9628:
9608:
8762:
8619:
8599:
8240:
7396:
6836:
6787:
6738:
6043:
4877:
4830:
4783:
4505:
3758:
3555:
3535:
3515:
3286:
3216:
2727:
1864:
1844:
1723:
1662:
1570:
1482:
1418:
1398:
1303:
1283:
1109:
351:
331:
268:
109:
81:
10759:{\displaystyle W_{\infty }(\mu ,\nu )=\lim _{p\rightarrow +\infty }W_{p}(\mu ,\nu )=\inf _{\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )}\gamma \operatorname {-essup} d(x,y),}
9660:
1180:. This problem only makes sense if the pile to be created has the same mass as the pile to be moved; therefore without loss of generality assume that
10953:
4765:. Then the transport problem has an analytic solution: Optimal transport preserves the order of probability mass elements, so the mass at quantile
3091:
10112:{\displaystyle \|\mu \|_{{\dot {H}}^{-1}(\pi )}=\sup {\bigg \{}|\langle f,\mu \rangle |\,{\bigg |}\,\|f\|_{{\dot {H}}^{1}(\pi )}\leq 1{\bigg \}}.}
1575:
1487:
17:
5928:
2786:
12053:
5898:{\displaystyle \rho (\mu ,\nu ):=\sup \left\{\left.\int _{M}f(x)\,\mathrm {d} (\mu -\nu )(x)\,\right|{\text{ continuous }}f:M\to \right\}.}
6906:. The Kantorovich duality states that the shipper can make a price schedule that makes you pay almost as much as you would ship yourself.
8624:
1922:
5111:{\displaystyle W_{p}(\mu _{1},\mu _{2})=\left(\int _{0}^{1}\left|F_{1}^{-1}(q)-F_{2}^{-1}(q)\right|^{p}\,\mathrm {d} q\right)^{1/p},}
509:{\displaystyle W_{p}(\mu ,\nu )=\inf _{\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )}\left(\mathbf {E} _{(x,y)\sim \gamma }d(x,y)^{p}\right)^{1/p},}
640:
2320:
If the cost of a move is simply the distance between the two points, then the optimal cost is identical to the definition of the
4484:
1869:
8806:
6653:{\displaystyle {\begin{cases}\sup _{f,g}\mathbb {E} _{x\sim \mu }+\mathbb {E} _{y\sim \nu }\\f(x)+g(y)\leq c(x,y)\end{cases}}}
4606:
12002:
11906:
11532:
8516:
8767:
8708:
10769:
3849:
3783:
11814:
Bogachev VI, Kolesnikov AV (October 2012). "The Monge–Kantorovich problem: achievements, connections, and perspectives".
10958:
7122:{\displaystyle W_{1}(\mu ,\nu )={\frac {1}{K}}\sup _{\|f\|_{L}\leq K}\mathbb {E} _{x\sim \mu }-\mathbb {E} _{y\sim \nu }}
4565:. This result generalises the earlier example of the Wasserstein distance between two point masses (at least in the case
9072:{\displaystyle \mathbb {E} _{x\sim \mu }-\mathbb {E} _{y\sim \nu }=\int f'(x)(F_{\nu }(x)-F_{\mu }(x))\,\mathrm {d} x,}
4591:), since a point mass can be regarded as a normal distribution with covariance matrix equal to zero, in which case the
4057:
2599:
11564:
11489:
11420:
6467:{\displaystyle {\begin{cases}\max _{f,g}\sum _{x}\mu (x)f(x)+\sum _{y}\nu (y)g(y)\\f(x)+g(y)\leq c(x,y)\end{cases}}}
4690:
1225:
135:
on Markov processes describing large systems of automata (Russian, 1969). However the metric was first defined by
7371:{\displaystyle W_{1}(\mu ,\nu )=\sup _{f(x)+g(y)\leq d(x,y)}\mathbb {E} _{x\sim \mu }+\mathbb {E} _{y\sim \nu }.}
3711:{\displaystyle W_{p}(P,Q)=\inf _{\pi }\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\|X_{i}-Y_{\pi (i)}\|^{p}\right)^{1/p},}
11446:
6249:
11421:"Awards, fellowships and the shape of physics: News from the College | Imperial News | Imperial College London"
9758:
8245:
7401:
5401:
3982:
1783:
1220:
are probability distributions containing a total mass of 1. Assume also that there is given some cost function
5367:, where one variable is derived from the other by small, non-uniform perturbations (random or deterministic).
2928:
2881:
2415:
2368:
12058:
11986:
9583:{\displaystyle {\dot {\rho }}+\nabla \cdot (\rho {\mathbf {v}})=0\quad \rho (\cdot ,0)=p,\;\rho (\cdot ,1)=q}
5433:
2546:
2128:{\displaystyle \iint c(x,y)\gamma (x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int c(x,y)\,\mathrm {d} \gamma (x,y).}
10995:
9590:
That is, the mass should be conserved, and the velocity field should transport the probability distribution
598:
11816:
6019:
The following is an intuitive proof which skips over technical points. A fully rigorous proof is found in.
5502:
5345:{\displaystyle W_{1}(\mu _{1},\mu _{2})=\int _{\mathbb {R} }\left|F_{1}(x)-F_{2}(x)\right|\,\mathrm {d} x.}
10943:
7503:
6844:
1728:
1667:
11981:
10973:
5742:
4022:
3291:
3225:
11976:
6475:
519:
11917:
10348:
5409:
5405:
11116:
9253:
4105:
3923:
3062:
3029:
10963:
8320:
8186:
7594:
5390:
3761:
1059:
121:
7132:
6497:
6315:
6057:
12048:
9452:
8407:
5546:
3483:{\displaystyle W_{p}(P,Q)=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\|X_{(i)}-Y_{(i)}\|^{p}\right)^{1/p}.}
2464:
57:
11934:
9904:{\displaystyle \|f\|_{{\dot {H}}^{1}(\pi )}^{2}=\int _{M}\|\nabla f(x)\|^{2}\,\pi (\mathrm {d} x)}
8886:
8468:
5359:
The
Wasserstein metric is a natural way to compare the probability distributions of two variables
4670:
2664:
2524:
1348:
12043:
2460:
8359:
5156:
5121:
799:
11929:
11165:
Petitjean M (2004). "From shape similarity to shape complementarity: toward a docking theory".
10573:
8860:
4592:
1990:, following the definition of the cost function. Therefore, the total cost of a transport plan
729:
552:
36:
11298:"From the Phenomenology to the Mechanisms of Consciousness: Integrated Information Theory 3.0"
8493:
5400:', Arjovsky et al. use the Wasserstein-1 metric as a way to improve the original framework of
4909:
4882:
4835:
4788:
4732:
4696:
4595:
term disappears and only the term involving the
Euclidean distance between the means remains.
4161:
4134:
2759:
2732:
10869:
6927:
4451:
2686:
2313:{\displaystyle C=\inf _{\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )}\int c(x,y)\,\mathrm {d} \gamma (x,y).}
2218:
denote the set of all such measures as in the first section, the cost of the optimal plan is
2201:
2140:
1993:
1765:
1114:
1065:
753:
705:
10996:"Markov processes over denumerable products of spaces, describing large systems of automata"
10834:
8441:
8414:
6947:
11959:
11825:
11378:
11309:
11223:
11131:
9680:
9189:
5727:
5466:
4541:
4514:
4030:
3955:
3002:
2975:
2497:
2470:
2323:
1111:, we wish to transport the mass in such a way that it is transformed into the distribution
354:
212:
172:
53:
11355:
Ba, Demba; Dogra, Akshunna S.; Gambhir, Rikab; Tasissa, Abiy; Thaler, Jesse (2023-06-29).
10304:
10284:
10142:
10122:
9917:
9738:
8581:, then at each point, draw a cone of slope 1, and take the lower envelope of the cones as
6792:
6743:
6703:
6683:
3723:
2181:
2161:
1809:
1789:
1443:
1423:
1328:
1308:
1203:
1183:
1163:
1143:
1037:
1017:
779:
759:
578:
558:
296:
276:
8:
11590:"A computational fluid mechanics solution to the Monge-Kantorovich mass transfer problem"
11178:
9732:
9474:
9227:
9218:
7568:
7474:
7177:
6300:
5423:
5416:
5195:
4568:
3917:
3765:
271:
47:
11829:
11382:
11313:
11227:
11135:
10948:
10500:{\displaystyle \|\mu -\nu \|_{{\dot {H}}^{-1}(\pi )}\leq {\sqrt {C}}\,W_{2}(\mu ,\nu ).}
8561:
7480:
6045:
is discrete, solving for the 1-Wasserstein distance is a problem in linear programming:
206:
12021:"What is the advantages of Wasserstein metric compared to Kullback–Leibler divergence?"
11963:
11841:
11730:
11644:
11617:
11402:
11368:
11332:
11297:
11246:
11213:
11201:
11182:
11147:
11037:
10828:
10380:
10328:
10162:
9937:
9711:
9613:
9593:
8747:
8604:
8584:
8225:
7381:
6821:
6772:
6723:
6028:
5531:
4862:
4815:
4768:
4490:
3743:
3540:
3520:
3500:
3271:
3201:
2712:
1849:
1829:
1708:
1647:
1555:
1467:
1403:
1383:
1288:
1268:
1094:
336:
316:
253:
136:
94:
66:
43:
11202:"Determining clinically relevant features in cytometry data using persistent homology"
9633:
90:
Intuitively, if each distribution is viewed as a unit amount of earth (soil) piled on
11998:
11947:
11902:
11845:
11750:
11698:
11635:
Finlay, Chris; Jacobsen, Joern-Henrik; Nurbekyan, Levon; Oberman, Adam (2020-11-21).
11609:
11570:
11560:
11528:
11495:
11485:
11406:
11394:
11337:
11251:
11186:
11097:
11078:
11073:
11056:
11020:
Kantorovich LV (1939). "Mathematical
Methods of Organizing and Planning Production".
10933:
5189:
4025:
3219:
996:{\displaystyle \int _{A}\int _{M}\gamma (x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\nu (A).}
906:{\displaystyle \int _{A}\int _{M}\gamma (x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\mu (A),}
723:
132:
84:
11967:
11837:
11719:"Uniqueness of the solution to the Vlasov–Poisson system with bounded density"
11636:
11151:
6669:
5408:
and the mode collapse issues. The special case of normal distributions is used in a
2543:. There is only one possible coupling of these two measures, namely the point mass
11939:
11872:
11833:
11793:
11740:
11688:
11621:
11601:
11520:
11458:
11386:
11327:
11317:
11278:
11241:
11231:
11174:
11139:
11068:
11029:
8465:
The two infimal convolution steps are visually clear when the probability space is
3913:
3335:
144:
128:
117:
11463:
8411:
Infimal convolution of a cone with a curve. Note how the lower envelope has slope
4507:. Note that the second term (involving the trace) is precisely the (unnormalised)
11955:
11745:
11718:
11519:, Universitext, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, pp. 81–104,
11514:
11322:
11236:
10968:
10543:
10398:
9729:
9214:
6673:
6485:
For the general case, the dual problem is found by converting sums to integrals:
5397:
5382:
148:
11637:"How to Train Your Neural ODE: the World of Jacobian and Kinetic Regularization"
11524:
11390:
6740:. Now a shipper comes and offers to do the transport for you. You would pay him
12025:
10547:
9912:
7163:
5386:
3950:
3056:
2658:
11943:
11282:
11270:
10938:
10274:{\displaystyle W_{2}(\mu ,\nu )\leq 2\,\|\mu -\nu \|_{{\dot {H}}^{-1}(\pi )}.}
5429:
The
Wasserstein metric also has been used in inverse problems in geophysics.
12037:
11951:
11920:(January 1998). "The variational formulation of the Fokker–Planck equation".
11877:
11860:
11754:
11702:
11613:
11398:
11082:
9705:
699:
113:
11574:
11499:
6299:
By carefully writing the above equations as matrix equations, we obtain its
5422:
In computational biology, Wasserstein metric can be used to compare between
12020:
11798:
11770:
11693:
11665:
11447:"An elementary proof of the triangle inequality for the Wasserstein metric"
11341:
11255:
9166:{\displaystyle f(x)=K\cdot \operatorname {sign} (F_{\nu }(x)-F_{\mu }(x)).}
6008:
5749:
4508:
1572:
must equal the depth of the hole that was there at the beginning; that is,
796:
on the first and second factors, respectively. That is, for all measurable
202:
61:
11605:
11356:
8621:
cannot increase with slope larger than 1. Thus all its secants have slope
151:
spelling "Wasserstein" (attributed to the name "Vaseršteĭn" (Russian:
11554:
11479:
11033:
10322:
5543:
31:
11899:
Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of
Probability Measures
11589:
11513:
Matoušek, Jiří; Gärtner, Bernd (2007), "Duality of Linear
Programming",
11057:"The distance between two random vectors with given dispersion matrices"
1420:. You can imagine the task as the need to move a pile of earth of shape
11041:
3769:
11143:
9665:
5436:
to compute the difference between concepts and conceptual structures.
11735:
9704:
of order two is
Lipschitz equivalent to a negative-order homogeneous
6011:) implies convergence in the Wasserstein metric, but not vice versa.
11296:
Oizumi, Masafumi; Albantakis, Larissa; Tononi, Giulio (2014-05-08).
11649:
11373:
11218:
5419:, with application to chirality measures, and to shape analysis.
1010:
158:
8695:{\displaystyle {\bigg |}{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}{\bigg |}\leq 1}
1983:{\displaystyle c(x,y)\gamma (x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}
1005:
10923:
is the space of all probability measures with bounded support.
1265:
that gives the cost of transporting a unit mass from the point
141:
The
Mathematical Method of Production Planning and Organization
11861:"A class of Wasserstein metrics for probability distributions"
11634:
11478:
Villani, Cédric (2003). "Chapter 1: The
Kantorovich Duality".
6680:
Suppose you want to ship some coal from mines, distributed as
1058:
One way to understand the above definition is to consider the
5462:
3179:{\displaystyle W_{p}(\mu _{1},\mu _{2})=\|a_{1}-a_{2}\|_{2}.}
1484:
must equal the amount that was there to begin with; that is,
691:{\displaystyle \lim _{p\rightarrow +\infty }W_{p}(\mu ,\nu )}
6841:
For you to accept the deal, the price schedule must satisfy
10570:
It is also possible to consider the Wasserstein metric for
8438:
to the curve on the parts where the curve itself has slope
6646:
6460:
6232:
5791:
5595:
27:
Distance function defined between probability distributions
1912:{\displaystyle \gamma (x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}
116:
in 1781. Because of this analogy, the metric is known in
11553:
Villani, Cédric (2003). "1.1.3. The shipper's problem.".
11199:
1630:{\displaystyle \int \gamma (x,y)\,\mathrm {d} x=\nu (y).}
1542:{\displaystyle \int \gamma (x,y)\,\mathrm {d} y=\mu (x),}
8844:{\displaystyle {\text{cone}}\mathbin {\square } (-f)=-f}
5990:{\displaystyle 2W_{1}(\mu ,\nu )\leq C\rho (\mu ,\nu ),}
4660:{\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}\in P_{p}(\mathbb {R} )}
11786:
ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations
11681:
ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations
11200:
Mukherjee S, Wethington D, Dey TK, Das J (March 2022).
9175:
8551:{\displaystyle f={\text{cone}}\mathbin {\square } (-g)}
2871:{\displaystyle W_{p}(\mu _{1},\mu _{2})=|a_{1}-a_{2}|.}
11915:
11295:
11271:"Seeing through rock with help from optimal transport"
11095:
11354:
10872:
10837:
10772:
10602:
10576:
10407:
10383:
10351:
10331:
10307:
10287:
10185:
10165:
10145:
10125:
9960:
9940:
9920:
9795:
9761:
9741:
9714:
9683:
9677:
Under suitable assumptions, the Wasserstein distance
9636:
9616:
9596:
9483:
9477:
with boundary conditions on the fluid density field:
9455:
9285:
9256:
9230:
9192:
9186:
Benamou & Brenier found a dual representation of
9085:
8911:
8889:
8863:
8809:
8796:{\displaystyle {\text{cone}}\mathbin {\square } (-f)}
8770:
8750:
8737:{\displaystyle {\text{cone}}\mathbin {\square } (-f)}
8711:
8705:
For the second step, picture the infimal convolution
8627:
8607:
8587:
8564:
8519:
8496:
8471:
8444:
8417:
8362:
8323:
8248:
8228:
8189:
7639:
7597:
7571:
7506:
7483:
7404:
7384:
7206:
7180:
7135:
6976:
6950:
6930:
6847:
6824:
6795:
6775:
6746:
6726:
6706:
6686:
6491:
6309:
6252:
6051:
6031:
5999:
and so convergence in the Radon metric (identical to
5931:
5760:
5557:
5224:
5198:
5159:
5124:
4939:
4912:
4885:
4865:
4838:
4818:
4791:
4771:
4735:
4699:
4673:
4609:
4571:
4544:
4517:
4493:
4454:
4191:
4164:
4137:
4108:
4102:. Then, with respect to the usual Euclidean norm on
4060:
4033:
3985:
3958:
3926:
3852:
3786:
3746:
3726:
3565:
3543:
3523:
3503:
3344:
3294:
3274:
3228:
3204:
3094:
3065:
3032:
3005:
2978:
2931:
2884:
2789:
2762:
2735:
2715:
2689:
2667:
2602:
2549:
2527:
2500:
2473:
2418:
2371:
2326:
2224:
2204:
2184:
2164:
2143:
2016:
1996:
1925:
1872:
1852:
1832:
1812:
1792:
1768:
1731:
1711:
1670:
1650:
1578:
1558:
1490:
1470:
1446:
1426:
1406:
1386:
1351:
1331:
1311:
1291:
1271:
1228:
1206:
1186:
1166:
1146:
1117:
1097:
1068:
1040:
1020:
918:
828:
802:
782:
762:
732:
708:
643:
601:
581:
561:
522:
363:
339:
319:
299:
279:
256:
215:
175:
97:
69:
11102:
International Conference on Machine Learning 214-223
10820:{\displaystyle \gamma \operatorname {-essup} d(x,y)}
5492:
th moment. Furthermore, convergence with respect to
3905:{\displaystyle \mu _{2}={\mathcal {N}}(m_{2},C_{2})}
3839:{\displaystyle \mu _{1}={\mathcal {N}}(m_{1},C_{1})}
1140:
on the same space; transforming the 'pile of earth'
11896:
11813:
10878:
10858:
10819:
10758:
10588:
10499:
10389:
10369:
10337:
10313:
10293:
10273:
10171:
10151:
10131:
10111:
9946:
9926:
9903:
9781:
9747:
9720:
9696:
9654:
9622:
9602:
9582:
9465:
9441:
9271:
9242:
9205:
9165:
9071:
8897:
8875:
8843:
8795:
8756:
8736:
8694:
8613:
8593:
8573:
8550:
8502:
8479:
8453:
8426:
8395:
8348:
8309:
8234:
8214:
8175:
7622:
7583:
7557:
7492:
7465:
7390:
7370:
7192:
7154:
7121:
6962:
6936:
6898:
6830:
6810:
6781:
6761:
6732:
6712:
6692:
6652:
6466:
6288:
6238:
6037:
5989:
5897:
5712:
5484:) consisting of all Borel probability measures on
5377:is widely used to compare discrete distributions,
5344:
5210:
5180:
5145:
5110:
4925:
4898:
4871:
4851:
4824:
4804:
4777:
4757:
4721:
4681:
4659:
4583:
4557:
4530:
4499:
4475:
4440:
4177:
4150:
4123:
4094:
4046:
4013:
3971:
3941:
3904:
3838:
3752:
3732:
3710:
3549:
3529:
3509:
3482:
3326:
3280:
3260:
3210:
3178:
3080:
3047:
3018:
2991:
2964:
2917:
2870:
2775:
2748:
2721:
2701:
2675:
2649:
2588:
2535:
2513:
2486:
2451:
2404:
2339:
2312:
2210:
2190:
2170:
2149:
2127:
2002:
1982:
1911:
1858:
1838:
1818:
1798:
1774:
1754:
1717:
1693:
1656:
1629:
1564:
1541:
1476:
1452:
1432:
1412:
1392:
1372:
1337:
1317:
1297:
1277:
1255:
1212:
1192:
1172:
1152:
1132:
1103:
1083:
1046:
1026:
995:
905:
814:
788:
768:
744:
714:
690:
629:
587:
567:
543:
508:
345:
325:
305:
285:
262:
242:
193:
103:
75:
11588:Benamou, Jean-David; Brenier, Yann (2000-01-01).
11559:. Providence, RI: American Mathematical Society.
11484:. Providence, RI: American Mathematical Society.
10561:
10101:
10046:
10013:
8764:have slope at most 1, then the lower envelope of
8681:
8630:
4095:{\displaystyle C_{2}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}
2650:{\displaystyle (a_{1},a_{2})\in \mathbb {R} ^{2}}
12035:
11451:Proceedings of the American Mathematical Society
11275:Snapshots of Modern Mathematics from Oberwolfach
11269:Frederick, Christina; Yang, Yunan (2022-05-06).
10954:Total variation distance of probability measures
10679:
10632:
10509:
10008:
9315:
8265:
8031:
8002:
7837:
7827:
7687:
7677:
7421:
7236:
7016:
6501:
6319:
6061:
5782:
5586:
4598:
3595:
2232:
1826:. Thus, the infinitesimal mass transported from
645:
393:
11782:norm, and localization of Wasserstein distance"
11677:norm, and localization of Wasserstein distance"
11512:
11054:
11587:
11096:Arjovsky M, Chintala S, Bottou L (July 2017).
10596:. In this case, the defining formula becomes:
5415:The Wasserstein metric has a formal link with
2360:
127:The name "Wasserstein distance" was coined by
11859:Givens, Clark R; Shortt, Rae Michael (1984).
11268:
11098:"Wasserstein Generative Adversarial Networks"
8510:denote the infimal convolution operation.
5370:In computer science, for example, the metric
5218:, a change of variables leads to the formula
4430:
4409:
4345:
4309:
1762:. This is equivalent to the requirement that
1006:Intuition and connection to optimal transport
152:
131:in 1970, after learning of it in the work of
11858:
11723:Journal de Mathématiques Pures et Appliquées
11641:International Conference on Machine Learning
11444:
10421:
10408:
10231:
10218:
10059:
10052:
10035:
10023:
9968:
9961:
9874:
9855:
9803:
9796:
9390:
9360:
8331:
8324:
8197:
8190:
8013:
8006:
7848:
7841:
7605:
7598:
7143:
7136:
7027:
7020:
6910:This result can be pressed further to yield:
5530:is a special case of the duality theorem of
5512:
4268:
4241:
3677:
3641:
3449:
3410:
3164:
3137:
1380:which gives the amount of mass to move from
11974:
11019:
6672:recounts the following interpretation from
3720:where the infimum is over all permutations
3537:are empirical distributions, each based on
3334:, the distance is a simple function of the
11516:Understanding and Using Linear Programming
11357:"SHAPER: can you hear the shape of a jet?"
10993:
9555:
8803:are just the cone-apices themselves, thus
7398:, one can push the term higher by setting
6289:{\displaystyle c:M\times M\to [0,\infty )}
3188:
11933:
11876:
11797:
11744:
11734:
11692:
11648:
11462:
11372:
11331:
11321:
11245:
11235:
11217:
11164:
11114:
11072:
10468:
10217:
10051:
10043:
9883:
9782:{\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }
9775:
9432:
9421:
9348:
9259:
9057:
8953:
8914:
8891:
8473:
8310:{\displaystyle g(y)=\inf _{x}d(x,y)-f(x)}
8132:
8093:
7957:
7918:
7782:
7743:
7466:{\displaystyle f(x)=\inf _{y}d(x,y)-g(y)}
7331:
7292:
7085:
7046:
6557:
6518:
5846:
5816:
5674:
5650:
5620:
5330:
5273:
5077:
4675:
4650:
4111:
4076:
4014:{\displaystyle m_{2}\in \mathbb {R} ^{n}}
4001:
3929:
3068:
3035:
2669:
2637:
2529:
2283:
2098:
2065:
2056:
1971:
1962:
1900:
1891:
1600:
1512:
966:
957:
876:
867:
11901:. Basel: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag.
10321:each have densities with respect to the
9473:ranges over velocity fields driving the
8406:
6944:is a metric space, then for any fixed
5748:Compare this with the definition of the
2965:{\displaystyle \mu _{2}=\delta _{a_{2}}}
2918:{\displaystyle \mu _{1}=\delta _{a_{1}}}
2452:{\displaystyle \mu _{2}=\delta _{a_{2}}}
2405:{\displaystyle \mu _{1}=\delta _{a_{1}}}
1009:
11992:
11552:
11477:
3775:
2589:{\displaystyle \delta _{(a_{1},a_{2})}}
1464:the amount of earth moved out of point
14:
12036:
11897:Ambrosio L, Gigli N, Savaré G (2005).
11716:
11055:Olkin I, Pukelsheim F (October 1982).
1062:. That is, for a distribution of mass
630:{\displaystyle W_{\infty }(\mu ,\nu )}
11922:SIAM Journal on Mathematical Analysis
11768:
11663:
9217:, which allows efficient solution by
6476:duality theorem of linear programming
5523:The following dual representation of
4131:, the 2-Wasserstein distance between
3288:is an empirical measure with samples
2661:function as the distance function on
1552:the amount of earth moved into point
10345:that are both bounded above by some
7558:{\displaystyle f(x)-f(y)\leq d(x,y)}
6899:{\displaystyle f(x)+g(y)\leq c(x,y)}
6720:. The cost function of transport is
3492:
1755:{\displaystyle \nu (y)\mathrm {d} y}
1694:{\displaystyle \mu (x)\mathrm {d} x}
12054:Theory of probability distributions
11061:Linear Algebra and Its Applications
10914:) is separable and complete. Here,
6818:per coal for unloading the coal at
5447:
3327:{\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n}}
3261:{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
2972:are point masses located at points
1640:That is, that the total mass moved
1440:to the hole in the ground of shape
24:
11889:
11179:10.1023/B:JOMC.0000033252.59423.6b
10792:
10789:
10786:
10783:
10780:
10728:
10725:
10722:
10719:
10716:
10689:
10645:
10608:
10583:
10364:
10119:Then any two probability measures
9891:
9858:
9499:
9176:Fluid mechanics interpretation of
9059:
8513:For the first step, where we used
6931:
6280:
5818:
5622:
5432:The Wasserstein metric is used in
5332:
5079:
4299:
4296:
4293:
4290:
4287:
3868:
3802:
2285:
2242:
2205:
2100:
2067:
2058:
1973:
1964:
1902:
1893:
1745:
1684:
1602:
1514:
1014:Two one-dimensional distributions
968:
959:
878:
869:
658:
607:
544:{\displaystyle \Gamma (\mu ,\nu )}
523:
403:
234:
25:
12070:
12013:
11167:Journal of Mathematical Chemistry
10370:{\displaystyle 0<C<\infty }
9735:equipped with a positive measure
9673:and a negative-order Sobolev norm
8905:, then integration by parts give
7174:It suffices to prove the case of
6769:per coal for loading the coal at
4691:cumulative distribution functions
11556:Topics in optimal transportation
11481:Topics in optimal transportation
9513:
9458:
9427:
9407:
9375:
9365:
9320:
9272:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
9224:Given two probability densities
8601:, as shown in the diagram, then
8490:For notational convenience, let
8434:, and how the lower envelope is
6919:(Kantorovich-Rubenstein duality)
4124:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
4023:symmetric positive semi-definite
3942:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
3193:
3081:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
3048:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
431:
11852:
11838:10.1070/RM2012v067n05ABEH004808
11807:
11762:
11710:
11657:
11628:
11581:
11546:
11506:
11471:
11438:
11413:
11348:
11124:Journal of Mathematical Physics
9527:
8349:{\displaystyle \|f\|_{L}\leq 1}
8215:{\displaystyle \|f\|_{L}\leq 1}
7623:{\displaystyle \|f\|_{L}\leq 1}
6700:, to factories, distributed as
5402:generative adversarial networks
5354:
5192:(inverse CDFs). In the case of
3088:as the distance function, then
2355:
1644:an infinitesimal region around
1345:can be described by a function
147:-language publications use the
11995:Optimal Transport, Old and New
11361:Journal of High Energy Physics
11289:
11262:
11193:
11158:
11108:
11089:
11048:
11013:
10987:
10853:
10841:
10814:
10802:
10750:
10738:
10704:
10692:
10672:
10660:
10639:
10625:
10613:
10491:
10479:
10453:
10447:
10263:
10257:
10208:
10196:
10088:
10082:
10039:
10019:
10000:
9994:
9898:
9887:
9870:
9864:
9832:
9826:
9771:
9649:
9637:
9571:
9559:
9543:
9531:
9518:
9505:
9418:
9402:
9386:
9370:
9308:
9296:
9157:
9154:
9148:
9132:
9126:
9113:
9095:
9089:
9054:
9051:
9045:
9029:
9023:
9010:
9007:
9001:
8984:
8981:
8975:
8969:
8945:
8942:
8936:
8930:
8829:
8820:
8790:
8781:
8731:
8722:
8662:
8656:
8647:
8641:
8545:
8536:
8390:
8384:
8372:
8366:
8304:
8298:
8289:
8277:
8258:
8252:
8163:
8160:
8154:
8148:
8124:
8121:
8115:
8109:
8086:
8074:
8065:
8059:
8050:
8044:
7988:
7985:
7979:
7973:
7949:
7946:
7940:
7934:
7911:
7899:
7890:
7884:
7875:
7869:
7813:
7810:
7804:
7798:
7774:
7771:
7765:
7759:
7736:
7724:
7715:
7709:
7700:
7694:
7666:
7654:
7552:
7540:
7531:
7525:
7516:
7510:
7460:
7454:
7445:
7433:
7414:
7408:
7362:
7359:
7353:
7347:
7323:
7320:
7314:
7308:
7285:
7273:
7264:
7258:
7249:
7243:
7229:
7217:
7155:{\displaystyle \|\cdot \|_{L}}
7116:
7113:
7107:
7101:
7077:
7074:
7068:
7062:
6999:
6987:
6893:
6881:
6872:
6866:
6857:
6851:
6805:
6799:
6756:
6750:
6640:
6628:
6619:
6613:
6604:
6598:
6588:
6585:
6579:
6573:
6549:
6546:
6540:
6534:
6454:
6442:
6433:
6427:
6418:
6412:
6402:
6396:
6390:
6384:
6365:
6359:
6353:
6347:
6296:is a general "cost function".
6283:
6271:
6268:
6213:
6207:
6198:
6186:
6166:
6160:
6151:
6139:
6119:
6107:
6101:
6089:
5981:
5969:
5957:
5945:
5919:) is bounded by some constant
5884:
5869:
5866:
5843:
5837:
5834:
5822:
5813:
5807:
5776:
5764:
5693:
5687:
5670:
5647:
5641:
5638:
5626:
5617:
5611:
5580:
5568:
5505:plus convergence of the first
5322:
5316:
5300:
5294:
5261:
5235:
5063:
5057:
5033:
5027:
4976:
4950:
4879:-Wasserstein distance between
4752:
4746:
4716:
4710:
4654:
4646:
4229:
4202:
3899:
3873:
3833:
3807:
3671:
3665:
3588:
3576:
3443:
3437:
3424:
3418:
3367:
3355:
3131:
3105:
2861:
2833:
2826:
2800:
2729:-Wasserstein distance between
2629:
2603:
2581:
2555:
2304:
2292:
2280:
2268:
2257:
2245:
2119:
2107:
2095:
2083:
2053:
2041:
2035:
2023:
1959:
1947:
1941:
1929:
1888:
1876:
1784:joint probability distribution
1741:
1735:
1680:
1674:
1621:
1615:
1597:
1585:
1533:
1527:
1509:
1497:
1367:
1355:
1244:
1232:
1127:
1121:
1078:
1072:
987:
981:
954:
942:
897:
891:
864:
852:
685:
673:
652:
624:
612:
538:
526:
475:
462:
448:
436:
418:
406:
386:
374:
237:
222:
188:
176:
18:Kantorovich-Rubinstein theorem
13:
1:
11865:Michigan Mathematical Journal
11464:10.1090/S0002-9939-07-09020-X
10980:
10558:) is separable and complete.
10510:Separability and completeness
9708:. More precisely, if we take
9466:{\displaystyle {\mathbf {v}}}
5442:
5434:integrated information theory
4599:One-dimensional distributions
164:
11817:Russian Mathematical Surveys
11746:10.1016/j.matpur.2006.01.005
11323:10.1371/journal.pcbi.1003588
11237:10.1371/journal.pcbi.1009931
11074:10.1016/0024-3795(82)90112-4
11003:Problemy Peredači Informacii
8898:{\displaystyle \mathbb {R} }
8480:{\displaystyle \mathbb {R} }
8242:can be optimized by setting
5534:and Rubinstein (1958): when
5503:weak convergence of measures
4682:{\displaystyle \mathbb {R} }
2676:{\displaystyle \mathbb {R} }
2536:{\displaystyle \mathbb {R} }
1919:, and the cost of moving is
1373:{\displaystyle \gamma (x,y)}
1256:{\displaystyle c(x,y)\geq 0}
7:
11982:Encyclopedia of Mathematics
11525:10.1007/978-3-540-30717-4_6
11445:Clement P, Desch W (2008).
10926:
10281:In the other direction, if
6924:When the probability space
6666:Kantorovich duality theorem
6001:total variation convergence
5743:integral probability metric
5501:is equivalent to the usual
4667:be probability measures on
3764:, and can be solved by the
2361:Deterministic distributions
2350:
1305:. A transport plan to move
10:
12075:
11916:Jordan R, Kinderlehrer D,
11302:PLOS Computational Biology
11206:PLOS Computational Biology
8396:{\displaystyle g(y)=-f(y)}
7500:with a cone. This implies
5410:Frechet inception distance
5181:{\displaystyle F_{2}^{-1}}
5146:{\displaystyle F_{1}^{-1}}
815:{\displaystyle A\subset M}
11944:10.1137/S0036141096303359
11283:10.14760/SNAP-2022-004-EN
10589:{\displaystyle p=\infty }
10562:Wasserstein distance for
10179:satisfy the upper bound
9755:, then we may define for
9630:during the time interval
8876:{\displaystyle \mu ,\nu }
8744:, then if all secants of
6664:still holds. This is the
5469:on the Wasserstein space
3762:linear assignment problem
2878:By similar reasoning, if
2657:. Thus, using the usual
2465:Dirac delta distributions
1701:and the total mass moved
1060:optimal transport problem
745:{\displaystyle M\times M}
153:
58:probability distributions
11928:(1): 1–17 (electronic).
11769:Peyre R (October 2018).
11664:Peyre R (October 2018).
10866:with respect to measure
8558:, plot out the curve of
8503:{\displaystyle \square }
8183:Next, for any choice of
7378:Then, for any choice of
6014:
5404:(GAN), to alleviate the
4926:{\displaystyle \mu _{2}}
4899:{\displaystyle \mu _{1}}
4852:{\displaystyle \mu _{2}}
4805:{\displaystyle \mu _{1}}
4758:{\displaystyle F_{2}(x)}
4722:{\displaystyle F_{1}(x)}
4178:{\displaystyle \mu _{2}}
4151:{\displaystyle \mu _{1}}
2776:{\displaystyle \mu _{2}}
2749:{\displaystyle \mu _{1}}
2461:degenerate distributions
11975:Rüschendorf L (2001) ,
11391:10.1007/JHEP06(2023)195
10974:Kolmogorov–Smirnov test
10879:{\displaystyle \gamma }
10518:≥ 1, the metric space (
10323:standard volume measure
6937:{\displaystyle \Omega }
5734:. This form shows that
5513:Dual representation of
5426:of cytometry datasets.
4476:{\displaystyle C^{1/2}}
3189:Empirical distributions
3055:, and we use the usual
2702:{\displaystyle p\geq 1}
2211:{\displaystyle \Gamma }
2150:{\displaystyle \gamma }
2003:{\displaystyle \gamma }
1775:{\displaystyle \gamma }
1133:{\displaystyle \nu (x)}
1084:{\displaystyle \mu (x)}
715:{\displaystyle \gamma }
11878:10.1307/mmj/1029003026
11717:Loeper G (July 2006).
10994:Vaserstein LN (1969).
10964:Earth mover's distance
10880:
10860:
10859:{\displaystyle d(x,y)}
10821:
10760:
10590:
10501:
10391:
10371:
10339:
10315:
10295:
10275:
10173:
10153:
10133:
10113:
9948:
9928:
9905:
9783:
9749:
9722:
9698:
9656:
9624:
9604:
9584:
9467:
9443:
9273:
9244:
9207:
9167:
9073:
8899:
8877:
8845:
8797:
8758:
8738:
8696:
8615:
8595:
8575:
8552:
8504:
8481:
8462:
8455:
8454:{\displaystyle \leq 1}
8428:
8427:{\displaystyle \leq 1}
8397:
8350:
8311:
8236:
8216:
8177:
7624:
7585:
7559:
7494:
7467:
7392:
7372:
7194:
7156:
7123:
6964:
6963:{\displaystyle K>0}
6938:
6908:
6900:
6832:
6812:
6783:
6763:
6734:
6714:
6694:
6654:
6468:
6290:
6240:
6039:
5991:
5899:
5854: continuous
5726:) denotes the minimal
5714:
5658: continuous
5391:earth mover's distance
5346:
5212:
5182:
5147:
5112:
4927:
4900:
4873:
4853:
4826:
4806:
4779:
4759:
4723:
4683:
4661:
4585:
4559:
4532:
4501:
4477:
4442:
4179:
4152:
4125:
4096:
4048:
4015:
3973:
3943:
3912:be two non-degenerate
3906:
3840:
3754:
3734:
3712:
3640:
3551:
3531:
3511:
3484:
3409:
3328:
3282:
3262:
3212:
3180:
3082:
3049:
3020:
2993:
2966:
2919:
2872:
2777:
2750:
2723:
2703:
2677:
2651:
2590:
2537:
2515:
2488:
2453:
2406:
2341:
2314:
2212:
2192:
2172:
2151:
2129:
2004:
1984:
1913:
1860:
1840:
1820:
1800:
1776:
1756:
1719:
1695:
1658:
1631:
1566:
1543:
1478:
1454:
1434:
1414:
1394:
1374:
1339:
1319:
1299:
1279:
1257:
1214:
1194:
1174:
1154:
1134:
1105:
1085:
1055:
1048:
1028:
997:
907:
816:
790:
770:
746:
716:
692:
631:
589:
569:
545:
510:
347:
327:
307:
287:
270:-distance between two
264:
244:
195:
122:earth mover's distance
105:
77:
11606:10.1007/s002110050002
11594:Numerische Mathematik
10959:Transportation theory
10944:Lévy–Prokhorov metric
10881:
10861:
10822:
10761:
10591:
10502:
10392:
10372:
10340:
10316:
10296:
10276:
10174:
10154:
10134:
10114:
9949:
9929:
9906:
9784:
9750:
9723:
9699:
9697:{\displaystyle W_{2}}
9657:
9625:
9605:
9585:
9468:
9444:
9274:
9245:
9208:
9206:{\displaystyle W_{2}}
9168:
9074:
8900:
8883:are distributions on
8878:
8846:
8798:
8759:
8739:
8697:
8616:
8596:
8576:
8553:
8505:
8482:
8456:
8429:
8410:
8398:
8351:
8312:
8237:
8217:
8178:
7625:
7586:
7560:
7495:
7468:
7393:
7373:
7195:
7157:
7124:
6965:
6939:
6901:
6833:
6813:
6784:
6764:
6735:
6715:
6695:
6678:
6655:
6469:
6291:
6241:
6040:
5992:
5911:of the metric space (
5900:
5715:
5452:It can be shown that
5347:
5213:
5183:
5148:
5113:
4928:
4901:
4874:
4854:
4827:
4807:
4780:
4760:
4724:
4684:
4662:
4586:
4560:
4558:{\displaystyle C_{2}}
4533:
4531:{\displaystyle C_{1}}
4502:
4485:principal square root
4478:
4443:
4180:
4153:
4126:
4097:
4049:
4047:{\displaystyle C_{1}}
4016:
3974:
3972:{\displaystyle m_{1}}
3944:
3907:
3841:
3755:
3735:
3713:
3620:
3552:
3532:
3512:
3485:
3389:
3329:
3283:
3263:
3213:
3181:
3083:
3050:
3021:
3019:{\displaystyle a_{2}}
2994:
2992:{\displaystyle a_{1}}
2967:
2920:
2873:
2778:
2751:
2724:
2704:
2678:
2652:
2591:
2538:
2516:
2514:{\displaystyle a_{2}}
2489:
2487:{\displaystyle a_{1}}
2454:
2407:
2342:
2340:{\displaystyle W_{1}}
2315:
2213:
2193:
2173:
2152:
2130:
2005:
1985:
1914:
1861:
1841:
1821:
1801:
1777:
1757:
1720:
1696:
1659:
1632:
1567:
1544:
1479:
1455:
1435:
1415:
1395:
1375:
1340:
1320:
1300:
1280:
1258:
1215:
1195:
1175:
1155:
1135:
1106:
1086:
1049:
1029:
1013:
998:
908:
817:
791:
771:
747:
717:
698:and corresponds to a
693:
632:
590:
570:
546:
511:
348:
328:
308:
288:
265:
245:
243:{\displaystyle p\in }
196:
194:{\displaystyle (M,d)}
106:
78:
12059:Statistical distance
11977:"Wasserstein metric"
11799:10.1051/cocv/2017050
11771:"Comparison between
11694:10.1051/cocv/2017050
11666:"Comparison between
11115:Petitjean M (2002).
11034:10.1287/mnsc.6.4.366
10886:. The metric space (
10870:
10835:
10770:
10600:
10574:
10405:
10381:
10349:
10329:
10314:{\displaystyle \nu }
10305:
10294:{\displaystyle \mu }
10285:
10183:
10163:
10152:{\displaystyle \nu }
10143:
10132:{\displaystyle \mu }
10123:
9958:
9938:
9927:{\displaystyle \mu }
9918:
9793:
9759:
9748:{\displaystyle \pi }
9739:
9712:
9681:
9634:
9614:
9594:
9481:
9453:
9283:
9254:
9228:
9190:
9083:
8909:
8887:
8861:
8807:
8768:
8748:
8709:
8625:
8605:
8585:
8562:
8517:
8494:
8469:
8442:
8415:
8360:
8321:
8246:
8226:
8187:
7637:
7595:
7569:
7504:
7481:
7402:
7382:
7204:
7178:
7133:
6974:
6948:
6928:
6845:
6822:
6811:{\displaystyle g(y)}
6793:
6773:
6762:{\displaystyle f(x)}
6744:
6724:
6713:{\displaystyle \nu }
6704:
6693:{\displaystyle \mu }
6684:
6489:
6307:
6250:
6049:
6029:
5929:
5758:
5555:
5424:persistence diagrams
5222:
5196:
5157:
5122:
4937:
4910:
4883:
4863:
4836:
4816:
4789:
4769:
4733:
4697:
4671:
4607:
4569:
4542:
4515:
4491:
4452:
4189:
4162:
4135:
4106:
4058:
4031:
3983:
3956:
3924:
3918:normal distributions
3850:
3784:
3776:Normal distributions
3760:elements. This is a
3744:
3733:{\displaystyle \pi }
3724:
3563:
3541:
3521:
3501:
3342:
3292:
3272:
3226:
3202:
3092:
3063:
3030:
3003:
2976:
2929:
2882:
2787:
2760:
2733:
2713:
2687:
2665:
2600:
2547:
2525:
2498:
2471:
2467:) located at points
2416:
2369:
2324:
2222:
2202:
2191:{\displaystyle \nu }
2182:
2171:{\displaystyle \mu }
2162:
2141:
2014:
1994:
1923:
1870:
1850:
1830:
1819:{\displaystyle \nu }
1810:
1799:{\displaystyle \mu }
1790:
1766:
1729:
1709:
1668:
1648:
1576:
1556:
1488:
1468:
1453:{\displaystyle \nu }
1444:
1433:{\displaystyle \mu }
1424:
1404:
1384:
1349:
1338:{\displaystyle \nu }
1329:
1318:{\displaystyle \mu }
1309:
1289:
1269:
1226:
1213:{\displaystyle \nu }
1204:
1193:{\displaystyle \mu }
1184:
1173:{\displaystyle \nu }
1164:
1153:{\displaystyle \mu }
1144:
1115:
1095:
1066:
1047:{\displaystyle \nu }
1038:
1027:{\displaystyle \mu }
1018:
916:
826:
822:a coupling fulfills
800:
789:{\displaystyle \nu }
780:
769:{\displaystyle \mu }
760:
730:
706:
641:
599:
588:{\displaystyle \nu }
579:
568:{\displaystyle \mu }
559:
520:
361:
337:
317:
306:{\displaystyle \nu }
297:
286:{\displaystyle \mu }
277:
272:probability measures
254:
213:
173:
95:
83:. It is named after
67:
11830:2012RuMaS..67..785B
11643:. PMLR: 3154–3164.
11383:2023JHEP...06..195B
11314:2014PLSCB..10E3588O
11228:2022PLSCB..18E9931M
11136:2002JMP....43.4147P
9841:
9733:Riemannian manifold
9475:continuity equation
9340:
9243:{\displaystyle p,q}
9219:convex optimization
7584:{\displaystyle x,y}
7475:infimal convolution
7193:{\displaystyle K=1}
6922: —
5417:Procrustes analysis
5211:{\displaystyle p=1}
5177:
5142:
5056:
5026:
5002:
4689:, and denote their
4584:{\displaystyle p=2}
4405:
4372:
4281:
4026:covariance matrices
3766:Hungarian algorithm
3557:observations, then
11993:Villani C (2008).
11804:(See Theorem 2.5.)
11759:(See Theorem 2.9.)
11707:(See Theorem 2.1.)
11022:Management Science
10906:) is complete if (
10876:
10856:
10829:essential supremum
10817:
10756:
10708:
10649:
10586:
10497:
10387:
10367:
10335:
10311:
10291:
10271:
10169:
10149:
10129:
10109:
9944:
9924:
9901:
9802:
9779:
9745:
9718:
9694:
9652:
9620:
9600:
9580:
9463:
9439:
9326:
9325:
9269:
9240:
9203:
9163:
9069:
8895:
8873:
8841:
8793:
8754:
8734:
8692:
8611:
8591:
8574:{\displaystyle -g}
8571:
8548:
8500:
8477:
8463:
8451:
8424:
8393:
8346:
8307:
8273:
8232:
8212:
8173:
8171:
8090:
8029:
7915:
7835:
7740:
7685:
7620:
7581:
7555:
7493:{\displaystyle -g}
7490:
7463:
7429:
7388:
7368:
7289:
7200:. Start with
7190:
7172:
7152:
7119:
7043:
6960:
6934:
6916:
6896:
6828:
6808:
6779:
6759:
6730:
6710:
6690:
6650:
6645:
6515:
6464:
6459:
6380:
6343:
6333:
6286:
6236:
6231:
6182:
6135:
6085:
6069:
6035:
5987:
5895:
5728:Lipschitz constant
5710:
5461:satisfies all the
5406:vanishing gradient
5393:for more details.
5342:
5208:
5190:quantile functions
5178:
5160:
5143:
5125:
5108:
5039:
5009:
4988:
4923:
4896:
4869:
4849:
4822:
4812:moves to quantile
4802:
4775:
4755:
4719:
4679:
4657:
4581:
4555:
4528:
4497:
4473:
4438:
4383:
4350:
4267:
4175:
4148:
4121:
4092:
4044:
4011:
3969:
3949:, with respective
3939:
3902:
3836:
3750:
3730:
3708:
3603:
3547:
3527:
3507:
3480:
3324:
3278:
3258:
3208:
3176:
3078:
3045:
3016:
2989:
2962:
2915:
2868:
2773:
2746:
2719:
2699:
2673:
2647:
2586:
2533:
2511:
2484:
2449:
2402:
2337:
2310:
2261:
2208:
2188:
2168:
2147:
2125:
2000:
1980:
1909:
1856:
1836:
1816:
1796:
1772:
1752:
1715:
1691:
1654:
1627:
1562:
1539:
1474:
1450:
1430:
1410:
1390:
1370:
1335:
1315:
1295:
1275:
1253:
1210:
1190:
1170:
1150:
1130:
1101:
1081:
1056:
1044:
1024:
993:
903:
812:
786:
766:
742:
712:
688:
662:
627:
585:
565:
551:is the set of all
541:
506:
422:
343:
323:
303:
283:
260:
250:, the Wasserstein
240:
191:
137:Leonid Kantorovich
101:
73:
12029:. August 1, 2017.
12004:978-3-540-71050-9
11908:978-3-7643-2428-5
11534:978-3-540-30697-9
11144:10.1063/1.1484559
11117:"Chiral mixtures"
10934:Hutchinson metric
10779:
10715:
10678:
10631:
10466:
10435:
10397:has non-negative
10390:{\displaystyle M}
10338:{\displaystyle M}
10245:
10172:{\displaystyle M}
10073:
9982:
9947:{\displaystyle M}
9817:
9721:{\displaystyle M}
9623:{\displaystyle q}
9603:{\displaystyle p}
9493:
9314:
8813:
8774:
8757:{\displaystyle f}
8715:
8677:
8614:{\displaystyle f}
8594:{\displaystyle f}
8529:
8264:
8235:{\displaystyle g}
8030:
8001:
7836:
7826:
7686:
7676:
7420:
7391:{\displaystyle g}
7235:
7170:
7015:
7013:
6914:
6831:{\displaystyle y}
6782:{\displaystyle x}
6733:{\displaystyle c}
6500:
6371:
6334:
6318:
6173:
6126:
6070:
6060:
6038:{\displaystyle M}
5855:
5659:
4872:{\displaystyle p}
4825:{\displaystyle q}
4778:{\displaystyle q}
4500:{\displaystyle C}
3914:Gaussian measures
3753:{\displaystyle n}
3618:
3594:
3550:{\displaystyle n}
3530:{\displaystyle Q}
3510:{\displaystyle P}
3493:Higher dimensions
3387:
3281:{\displaystyle Q}
3220:empirical measure
3211:{\displaystyle P}
2722:{\displaystyle p}
2231:
1859:{\displaystyle y}
1839:{\displaystyle x}
1718:{\displaystyle y}
1664:must be equal to
1657:{\displaystyle x}
1565:{\displaystyle y}
1477:{\displaystyle x}
1413:{\displaystyle y}
1393:{\displaystyle x}
1298:{\displaystyle y}
1278:{\displaystyle x}
1104:{\displaystyle X}
724:joint probability
644:
637:is defined to be
392:
346:{\displaystyle p}
326:{\displaystyle M}
263:{\displaystyle p}
133:Leonid Vaseršteĭn
104:{\displaystyle M}
85:Leonid Vaseršteĭn
76:{\displaystyle M}
54:distance function
16:(Redirected from
12066:
12030:
12008:
11989:
11971:
11937:
11912:
11883:
11882:
11880:
11856:
11850:
11849:
11811:
11805:
11803:
11801:
11792:(4): 1489–1501.
11766:
11760:
11758:
11748:
11738:
11714:
11708:
11706:
11696:
11687:(4): 1489–1501.
11661:
11655:
11654:
11652:
11632:
11626:
11625:
11585:
11579:
11578:
11550:
11544:
11543:
11542:
11541:
11510:
11504:
11503:
11475:
11469:
11468:
11466:
11442:
11436:
11435:
11433:
11432:
11417:
11411:
11410:
11376:
11352:
11346:
11345:
11335:
11325:
11293:
11287:
11286:
11266:
11260:
11259:
11249:
11239:
11221:
11197:
11191:
11190:
11162:
11156:
11155:
11130:(8): 4147–4157.
11121:
11112:
11106:
11105:
11093:
11087:
11086:
11076:
11052:
11046:
11045:
11017:
11011:
11010:
11000:
10991:
10949:Fréchet distance
10885:
10883:
10882:
10877:
10865:
10863:
10862:
10857:
10826:
10824:
10823:
10818:
10795:
10777:
10765:
10763:
10762:
10757:
10731:
10713:
10707:
10659:
10658:
10648:
10612:
10611:
10595:
10593:
10592:
10587:
10506:
10504:
10503:
10498:
10478:
10477:
10467:
10462:
10457:
10456:
10446:
10445:
10437:
10436:
10428:
10396:
10394:
10393:
10388:
10376:
10374:
10373:
10368:
10344:
10342:
10341:
10336:
10320:
10318:
10317:
10312:
10300:
10298:
10297:
10292:
10280:
10278:
10277:
10272:
10267:
10266:
10256:
10255:
10247:
10246:
10238:
10195:
10194:
10178:
10176:
10175:
10170:
10158:
10156:
10155:
10150:
10138:
10136:
10135:
10130:
10118:
10116:
10115:
10110:
10105:
10104:
10092:
10091:
10081:
10080:
10075:
10074:
10066:
10050:
10049:
10042:
10022:
10017:
10016:
10004:
10003:
9993:
9992:
9984:
9983:
9975:
9953:
9951:
9950:
9945:
9933:
9931:
9930:
9925:
9910:
9908:
9907:
9902:
9894:
9882:
9881:
9854:
9853:
9840:
9835:
9825:
9824:
9819:
9818:
9810:
9788:
9786:
9785:
9780:
9778:
9754:
9752:
9751:
9746:
9727:
9725:
9724:
9719:
9703:
9701:
9700:
9695:
9693:
9692:
9661:
9659:
9658:
9655:{\displaystyle }
9653:
9629:
9627:
9626:
9621:
9609:
9607:
9606:
9601:
9589:
9587:
9586:
9581:
9517:
9516:
9495:
9494:
9486:
9472:
9470:
9469:
9464:
9462:
9461:
9448:
9446:
9445:
9440:
9431:
9430:
9411:
9410:
9398:
9397:
9379:
9378:
9369:
9368:
9359:
9358:
9357:
9356:
9351:
9339:
9334:
9324:
9323:
9295:
9294:
9278:
9276:
9275:
9270:
9268:
9267:
9262:
9249:
9247:
9246:
9241:
9212:
9210:
9209:
9204:
9202:
9201:
9172:
9170:
9169:
9164:
9147:
9146:
9125:
9124:
9078:
9076:
9075:
9070:
9062:
9044:
9043:
9022:
9021:
9000:
8968:
8967:
8956:
8929:
8928:
8917:
8904:
8902:
8901:
8896:
8894:
8882:
8880:
8879:
8874:
8850:
8848:
8847:
8842:
8819:
8814:
8811:
8802:
8800:
8799:
8794:
8780:
8775:
8772:
8763:
8761:
8760:
8755:
8743:
8741:
8740:
8735:
8721:
8716:
8713:
8701:
8699:
8698:
8693:
8685:
8684:
8678:
8676:
8665:
8636:
8634:
8633:
8620:
8618:
8617:
8612:
8600:
8598:
8597:
8592:
8580:
8578:
8577:
8572:
8557:
8555:
8554:
8549:
8535:
8530:
8527:
8509:
8507:
8506:
8501:
8486:
8484:
8483:
8478:
8476:
8460:
8458:
8457:
8452:
8433:
8431:
8430:
8425:
8402:
8400:
8399:
8394:
8355:
8353:
8352:
8347:
8339:
8338:
8316:
8314:
8313:
8308:
8272:
8241:
8239:
8238:
8233:
8221:
8219:
8218:
8213:
8205:
8204:
8182:
8180:
8179:
8174:
8172:
8147:
8146:
8135:
8108:
8107:
8096:
8089:
8028:
8021:
8020:
7994:
7972:
7971:
7960:
7933:
7932:
7921:
7914:
7856:
7855:
7834:
7819:
7797:
7796:
7785:
7758:
7757:
7746:
7739:
7684:
7653:
7652:
7629:
7627:
7626:
7621:
7613:
7612:
7590:
7588:
7587:
7582:
7564:
7562:
7561:
7556:
7499:
7497:
7496:
7491:
7472:
7470:
7469:
7464:
7428:
7397:
7395:
7394:
7389:
7377:
7375:
7374:
7369:
7346:
7345:
7334:
7307:
7306:
7295:
7288:
7216:
7215:
7199:
7197:
7196:
7191:
7161:
7159:
7158:
7153:
7151:
7150:
7128:
7126:
7125:
7120:
7100:
7099:
7088:
7061:
7060:
7049:
7042:
7035:
7034:
7014:
7006:
6986:
6985:
6969:
6967:
6966:
6961:
6943:
6941:
6940:
6935:
6923:
6920:
6905:
6903:
6902:
6897:
6837:
6835:
6834:
6829:
6817:
6815:
6814:
6809:
6788:
6786:
6785:
6780:
6768:
6766:
6765:
6760:
6739:
6737:
6736:
6731:
6719:
6717:
6716:
6711:
6699:
6697:
6696:
6691:
6659:
6657:
6656:
6651:
6649:
6648:
6572:
6571:
6560:
6533:
6532:
6521:
6514:
6473:
6471:
6470:
6465:
6463:
6462:
6379:
6342:
6332:
6295:
6293:
6292:
6287:
6245:
6243:
6242:
6237:
6235:
6234:
6181:
6134:
6084:
6068:
6044:
6042:
6041:
6036:
5996:
5994:
5993:
5988:
5944:
5943:
5904:
5902:
5901:
5896:
5891:
5887:
5856:
5853:
5851:
5847:
5821:
5803:
5802:
5719:
5717:
5716:
5711:
5706:
5702:
5677:
5660:
5657:
5655:
5651:
5625:
5607:
5606:
5567:
5566:
5448:Metric structure
5396:In their paper '
5383:color histograms
5351:
5349:
5348:
5343:
5335:
5329:
5325:
5315:
5314:
5293:
5292:
5278:
5277:
5276:
5260:
5259:
5247:
5246:
5234:
5233:
5217:
5215:
5214:
5209:
5187:
5185:
5184:
5179:
5176:
5168:
5152:
5150:
5149:
5144:
5141:
5133:
5117:
5115:
5114:
5109:
5104:
5103:
5099:
5090:
5086:
5082:
5076:
5075:
5070:
5066:
5055:
5047:
5025:
5017:
5001:
4996:
4975:
4974:
4962:
4961:
4949:
4948:
4932:
4930:
4929:
4924:
4922:
4921:
4905:
4903:
4902:
4897:
4895:
4894:
4878:
4876:
4875:
4870:
4858:
4856:
4855:
4850:
4848:
4847:
4831:
4829:
4828:
4823:
4811:
4809:
4808:
4803:
4801:
4800:
4784:
4782:
4781:
4776:
4764:
4762:
4761:
4756:
4745:
4744:
4728:
4726:
4725:
4720:
4709:
4708:
4688:
4686:
4685:
4680:
4678:
4666:
4664:
4663:
4658:
4653:
4645:
4644:
4632:
4631:
4619:
4618:
4590:
4588:
4587:
4582:
4564:
4562:
4561:
4556:
4554:
4553:
4537:
4535:
4534:
4529:
4527:
4526:
4506:
4504:
4503:
4498:
4482:
4480:
4479:
4474:
4472:
4471:
4467:
4447:
4445:
4444:
4439:
4434:
4433:
4427:
4426:
4422:
4413:
4412:
4404:
4400:
4391:
4382:
4381:
4371:
4367:
4358:
4349:
4348:
4336:
4335:
4323:
4322:
4313:
4312:
4303:
4302:
4280:
4275:
4266:
4265:
4253:
4252:
4237:
4236:
4227:
4226:
4214:
4213:
4201:
4200:
4184:
4182:
4181:
4176:
4174:
4173:
4157:
4155:
4154:
4149:
4147:
4146:
4130:
4128:
4127:
4122:
4120:
4119:
4114:
4101:
4099:
4098:
4093:
4091:
4090:
4079:
4070:
4069:
4053:
4051:
4050:
4045:
4043:
4042:
4020:
4018:
4017:
4012:
4010:
4009:
4004:
3995:
3994:
3978:
3976:
3975:
3970:
3968:
3967:
3948:
3946:
3945:
3940:
3938:
3937:
3932:
3911:
3909:
3908:
3903:
3898:
3897:
3885:
3884:
3872:
3871:
3862:
3861:
3845:
3843:
3842:
3837:
3832:
3831:
3819:
3818:
3806:
3805:
3796:
3795:
3759:
3757:
3756:
3751:
3739:
3737:
3736:
3731:
3717:
3715:
3714:
3709:
3704:
3703:
3699:
3690:
3686:
3685:
3684:
3675:
3674:
3653:
3652:
3639:
3634:
3619:
3611:
3602:
3575:
3574:
3556:
3554:
3553:
3548:
3536:
3534:
3533:
3528:
3516:
3514:
3513:
3508:
3489:
3487:
3486:
3481:
3476:
3475:
3471:
3462:
3458:
3457:
3456:
3447:
3446:
3428:
3427:
3408:
3403:
3388:
3380:
3354:
3353:
3336:order statistics
3333:
3331:
3330:
3325:
3323:
3322:
3304:
3303:
3287:
3285:
3284:
3279:
3267:
3265:
3264:
3259:
3257:
3256:
3238:
3237:
3217:
3215:
3214:
3209:
3185:
3183:
3182:
3177:
3172:
3171:
3162:
3161:
3149:
3148:
3130:
3129:
3117:
3116:
3104:
3103:
3087:
3085:
3084:
3079:
3077:
3076:
3071:
3054:
3052:
3051:
3046:
3044:
3043:
3038:
3025:
3023:
3022:
3017:
3015:
3014:
2998:
2996:
2995:
2990:
2988:
2987:
2971:
2969:
2968:
2963:
2961:
2960:
2959:
2958:
2941:
2940:
2924:
2922:
2921:
2916:
2914:
2913:
2912:
2911:
2894:
2893:
2877:
2875:
2874:
2869:
2864:
2859:
2858:
2846:
2845:
2836:
2825:
2824:
2812:
2811:
2799:
2798:
2782:
2780:
2779:
2774:
2772:
2771:
2755:
2753:
2752:
2747:
2745:
2744:
2728:
2726:
2725:
2720:
2708:
2706:
2705:
2700:
2682:
2680:
2679:
2674:
2672:
2656:
2654:
2653:
2648:
2646:
2645:
2640:
2628:
2627:
2615:
2614:
2595:
2593:
2592:
2587:
2585:
2584:
2580:
2579:
2567:
2566:
2542:
2540:
2539:
2534:
2532:
2520:
2518:
2517:
2512:
2510:
2509:
2493:
2491:
2490:
2485:
2483:
2482:
2458:
2456:
2455:
2450:
2448:
2447:
2446:
2445:
2428:
2427:
2411:
2409:
2408:
2403:
2401:
2400:
2399:
2398:
2381:
2380:
2346:
2344:
2343:
2338:
2336:
2335:
2319:
2317:
2316:
2311:
2288:
2260:
2217:
2215:
2214:
2209:
2197:
2195:
2194:
2189:
2177:
2175:
2174:
2169:
2156:
2154:
2153:
2148:
2134:
2132:
2131:
2126:
2103:
2070:
2061:
2009:
2007:
2006:
2001:
1989:
1987:
1986:
1981:
1976:
1967:
1918:
1916:
1915:
1910:
1905:
1896:
1865:
1863:
1862:
1857:
1845:
1843:
1842:
1837:
1825:
1823:
1822:
1817:
1805:
1803:
1802:
1797:
1781:
1779:
1778:
1773:
1761:
1759:
1758:
1753:
1748:
1724:
1722:
1721:
1716:
1705:a region around
1700:
1698:
1697:
1692:
1687:
1663:
1661:
1660:
1655:
1636:
1634:
1633:
1628:
1605:
1571:
1569:
1568:
1563:
1548:
1546:
1545:
1540:
1517:
1483:
1481:
1480:
1475:
1459:
1457:
1456:
1451:
1439:
1437:
1436:
1431:
1419:
1417:
1416:
1411:
1399:
1397:
1396:
1391:
1379:
1377:
1376:
1371:
1344:
1342:
1341:
1336:
1324:
1322:
1321:
1316:
1304:
1302:
1301:
1296:
1284:
1282:
1281:
1276:
1262:
1260:
1259:
1254:
1219:
1217:
1216:
1211:
1199:
1197:
1196:
1191:
1179:
1177:
1176:
1171:
1159:
1157:
1156:
1151:
1139:
1137:
1136:
1131:
1110:
1108:
1107:
1102:
1090:
1088:
1087:
1082:
1053:
1051:
1050:
1045:
1033:
1031:
1030:
1025:
1002:
1000:
999:
994:
971:
962:
938:
937:
928:
927:
912:
910:
909:
904:
881:
872:
848:
847:
838:
837:
821:
819:
818:
813:
795:
793:
792:
787:
775:
773:
772:
767:
751:
749:
748:
743:
721:
719:
718:
713:
697:
695:
694:
689:
672:
671:
661:
636:
634:
633:
628:
611:
610:
594:
592:
591:
586:
574:
572:
571:
566:
550:
548:
547:
542:
515:
513:
512:
507:
502:
501:
497:
488:
484:
483:
482:
458:
457:
434:
421:
373:
372:
352:
350:
349:
344:
332:
330:
329:
324:
312:
310:
309:
304:
292:
290:
289:
284:
269:
267:
266:
261:
249:
247:
246:
241:
200:
198:
197:
192:
156:
155:
118:computer science
110:
108:
107:
102:
82:
80:
79:
74:
56:defined between
21:
12074:
12073:
12069:
12068:
12067:
12065:
12064:
12063:
12049:Metric geometry
12034:
12033:
12019:
12016:
12011:
12005:
11909:
11892:
11890:Further reading
11887:
11886:
11857:
11853:
11812:
11808:
11777:
11767:
11763:
11715:
11711:
11672:
11662:
11658:
11633:
11629:
11586:
11582:
11567:
11551:
11547:
11539:
11537:
11535:
11511:
11507:
11492:
11476:
11472:
11443:
11439:
11430:
11428:
11419:
11418:
11414:
11353:
11349:
11308:(5): e1003588.
11294:
11290:
11267:
11263:
11212:(3): e1009931.
11198:
11194:
11163:
11159:
11119:
11113:
11109:
11094:
11090:
11053:
11049:
11018:
11014:
10998:
10992:
10988:
10983:
10978:
10969:Wasserstein GAN
10929:
10922:
10905:
10894:
10871:
10868:
10867:
10836:
10833:
10832:
10776:
10771:
10768:
10767:
10712:
10682:
10654:
10650:
10635:
10607:
10603:
10601:
10598:
10597:
10575:
10572:
10571:
10568:
10541:
10528:
10512:
10473:
10469:
10461:
10438:
10427:
10426:
10425:
10424:
10420:
10406:
10403:
10402:
10399:Ricci curvature
10382:
10379:
10378:
10350:
10347:
10346:
10330:
10327:
10326:
10306:
10303:
10302:
10286:
10283:
10282:
10248:
10237:
10236:
10235:
10234:
10230:
10190:
10186:
10184:
10181:
10180:
10164:
10161:
10160:
10144:
10141:
10140:
10124:
10121:
10120:
10100:
10099:
10076:
10065:
10064:
10063:
10062:
10058:
10045:
10044:
10038:
10018:
10012:
10011:
9985:
9974:
9973:
9972:
9971:
9967:
9959:
9956:
9955:
9939:
9936:
9935:
9919:
9916:
9915:
9890:
9877:
9873:
9849:
9845:
9836:
9820:
9809:
9808:
9807:
9806:
9794:
9791:
9790:
9774:
9760:
9757:
9756:
9740:
9737:
9736:
9713:
9710:
9709:
9688:
9684:
9682:
9679:
9678:
9675:
9672:
9666:Equivalence of
9635:
9632:
9631:
9615:
9612:
9611:
9595:
9592:
9591:
9512:
9511:
9485:
9484:
9482:
9479:
9478:
9457:
9456:
9454:
9451:
9450:
9426:
9425:
9406:
9405:
9393:
9389:
9374:
9373:
9364:
9363:
9352:
9347:
9346:
9345:
9341:
9335:
9330:
9319:
9318:
9290:
9286:
9284:
9281:
9280:
9263:
9258:
9257:
9255:
9252:
9251:
9229:
9226:
9225:
9215:fluid mechanics
9197:
9193:
9191:
9188:
9187:
9184:
9182:
9142:
9138:
9120:
9116:
9084:
9081:
9080:
9058:
9039:
9035:
9017:
9013:
8993:
8957:
8952:
8951:
8918:
8913:
8912:
8910:
8907:
8906:
8890:
8888:
8885:
8884:
8862:
8859:
8858:
8815:
8810:
8808:
8805:
8804:
8776:
8771:
8769:
8766:
8765:
8749:
8746:
8745:
8717:
8712:
8710:
8707:
8706:
8680:
8679:
8666:
8637:
8635:
8629:
8628:
8626:
8623:
8622:
8606:
8603:
8602:
8586:
8583:
8582:
8563:
8560:
8559:
8531:
8526:
8518:
8515:
8514:
8495:
8492:
8491:
8472:
8470:
8467:
8466:
8443:
8440:
8439:
8416:
8413:
8412:
8405:
8361:
8358:
8357:
8356:, this implies
8334:
8330:
8322:
8319:
8318:
8268:
8247:
8244:
8243:
8227:
8224:
8223:
8200:
8196:
8188:
8185:
8184:
8170:
8169:
8136:
8131:
8130:
8097:
8092:
8091:
8034:
8016:
8012:
8005:
7992:
7991:
7961:
7956:
7955:
7922:
7917:
7916:
7851:
7847:
7840:
7830:
7817:
7816:
7786:
7781:
7780:
7747:
7742:
7741:
7690:
7680:
7669:
7648:
7644:
7640:
7638:
7635:
7634:
7608:
7604:
7596:
7593:
7592:
7570:
7567:
7566:
7505:
7502:
7501:
7482:
7479:
7478:
7473:, making it an
7424:
7403:
7400:
7399:
7383:
7380:
7379:
7335:
7330:
7329:
7296:
7291:
7290:
7239:
7211:
7207:
7205:
7202:
7201:
7179:
7176:
7175:
7168:
7146:
7142:
7134:
7131:
7130:
7089:
7084:
7083:
7050:
7045:
7044:
7030:
7026:
7019:
7005:
6981:
6977:
6975:
6972:
6971:
6949:
6946:
6945:
6929:
6926:
6925:
6921:
6918:
6846:
6843:
6842:
6823:
6820:
6819:
6794:
6791:
6790:
6774:
6771:
6770:
6745:
6742:
6741:
6725:
6722:
6721:
6705:
6702:
6701:
6685:
6682:
6681:
6674:Luis Caffarelli
6644:
6643:
6592:
6591:
6561:
6556:
6555:
6522:
6517:
6516:
6504:
6493:
6492:
6490:
6487:
6486:
6458:
6457:
6406:
6405:
6375:
6338:
6322:
6311:
6310:
6308:
6305:
6304:
6251:
6248:
6247:
6230:
6229:
6217:
6216:
6177:
6170:
6169:
6130:
6123:
6122:
6074:
6064:
6053:
6052:
6050:
6047:
6046:
6030:
6027:
6026:
6017:
5939:
5935:
5930:
5927:
5926:
5852:
5817:
5798:
5794:
5793:
5790:
5789:
5785:
5759:
5756:
5755:
5740:
5673:
5656:
5621:
5602:
5598:
5597:
5594:
5593:
5589:
5562:
5558:
5556:
5553:
5552:
5529:
5521:
5519:
5500:
5479:
5460:
5450:
5445:
5398:Wasserstein GAN
5376:
5357:
5331:
5310:
5306:
5288:
5284:
5283:
5279:
5272:
5271:
5267:
5255:
5251:
5242:
5238:
5229:
5225:
5223:
5220:
5219:
5197:
5194:
5193:
5169:
5164:
5158:
5155:
5154:
5134:
5129:
5123:
5120:
5119:
5095:
5091:
5078:
5071:
5048:
5043:
5018:
5013:
5008:
5004:
5003:
4997:
4992:
4987:
4983:
4982:
4970:
4966:
4957:
4953:
4944:
4940:
4938:
4935:
4934:
4917:
4913:
4911:
4908:
4907:
4890:
4886:
4884:
4881:
4880:
4864:
4861:
4860:
4843:
4839:
4837:
4834:
4833:
4817:
4814:
4813:
4796:
4792:
4790:
4787:
4786:
4770:
4767:
4766:
4740:
4736:
4734:
4731:
4730:
4704:
4700:
4698:
4695:
4694:
4674:
4672:
4669:
4668:
4649:
4640:
4636:
4627:
4623:
4614:
4610:
4608:
4605:
4604:
4601:
4570:
4567:
4566:
4549:
4545:
4543:
4540:
4539:
4522:
4518:
4516:
4513:
4512:
4492:
4489:
4488:
4463:
4459:
4455:
4453:
4450:
4449:
4429:
4428:
4418:
4414:
4408:
4407:
4406:
4396:
4392:
4387:
4377:
4373:
4363:
4359:
4354:
4344:
4343:
4331:
4327:
4318:
4314:
4308:
4307:
4286:
4285:
4276:
4271:
4261:
4257:
4248:
4244:
4232:
4228:
4222:
4218:
4209:
4205:
4196:
4192:
4190:
4187:
4186:
4169:
4165:
4163:
4160:
4159:
4142:
4138:
4136:
4133:
4132:
4115:
4110:
4109:
4107:
4104:
4103:
4080:
4075:
4074:
4065:
4061:
4059:
4056:
4055:
4038:
4034:
4032:
4029:
4028:
4005:
4000:
3999:
3990:
3986:
3984:
3981:
3980:
3963:
3959:
3957:
3954:
3953:
3951:expected values
3933:
3928:
3927:
3925:
3922:
3921:
3893:
3889:
3880:
3876:
3867:
3866:
3857:
3853:
3851:
3848:
3847:
3827:
3823:
3814:
3810:
3801:
3800:
3791:
3787:
3785:
3782:
3781:
3778:
3745:
3742:
3741:
3725:
3722:
3721:
3695:
3691:
3680:
3676:
3661:
3657:
3648:
3644:
3635:
3624:
3610:
3609:
3605:
3604:
3598:
3570:
3566:
3564:
3561:
3560:
3542:
3539:
3538:
3522:
3519:
3518:
3502:
3499:
3498:
3495:
3467:
3463:
3452:
3448:
3436:
3432:
3417:
3413:
3404:
3393:
3379:
3378:
3374:
3373:
3349:
3345:
3343:
3340:
3339:
3318:
3314:
3299:
3295:
3293:
3290:
3289:
3273:
3270:
3269:
3252:
3248:
3233:
3229:
3227:
3224:
3223:
3203:
3200:
3199:
3196:
3191:
3167:
3163:
3157:
3153:
3144:
3140:
3125:
3121:
3112:
3108:
3099:
3095:
3093:
3090:
3089:
3072:
3067:
3066:
3064:
3061:
3060:
3039:
3034:
3033:
3031:
3028:
3027:
3010:
3006:
3004:
3001:
3000:
2983:
2979:
2977:
2974:
2973:
2954:
2950:
2949:
2945:
2936:
2932:
2930:
2927:
2926:
2907:
2903:
2902:
2898:
2889:
2885:
2883:
2880:
2879:
2860:
2854:
2850:
2841:
2837:
2832:
2820:
2816:
2807:
2803:
2794:
2790:
2788:
2785:
2784:
2767:
2763:
2761:
2758:
2757:
2740:
2736:
2734:
2731:
2730:
2714:
2711:
2710:
2688:
2685:
2684:
2668:
2666:
2663:
2662:
2641:
2636:
2635:
2623:
2619:
2610:
2606:
2601:
2598:
2597:
2575:
2571:
2562:
2558:
2554:
2550:
2548:
2545:
2544:
2528:
2526:
2523:
2522:
2505:
2501:
2499:
2496:
2495:
2478:
2474:
2472:
2469:
2468:
2441:
2437:
2436:
2432:
2423:
2419:
2417:
2414:
2413:
2394:
2390:
2389:
2385:
2376:
2372:
2370:
2367:
2366:
2363:
2358:
2353:
2331:
2327:
2325:
2322:
2321:
2284:
2235:
2223:
2220:
2219:
2203:
2200:
2199:
2183:
2180:
2179:
2163:
2160:
2159:
2142:
2139:
2138:
2099:
2066:
2057:
2015:
2012:
2011:
1995:
1992:
1991:
1972:
1963:
1924:
1921:
1920:
1901:
1892:
1871:
1868:
1867:
1851:
1848:
1847:
1831:
1828:
1827:
1811:
1808:
1807:
1791:
1788:
1787:
1786:with marginals
1767:
1764:
1763:
1744:
1730:
1727:
1726:
1710:
1707:
1706:
1683:
1669:
1666:
1665:
1649:
1646:
1645:
1601:
1577:
1574:
1573:
1557:
1554:
1553:
1513:
1489:
1486:
1485:
1469:
1466:
1465:
1445:
1442:
1441:
1425:
1422:
1421:
1405:
1402:
1401:
1385:
1382:
1381:
1350:
1347:
1346:
1330:
1327:
1326:
1310:
1307:
1306:
1290:
1287:
1286:
1270:
1267:
1266:
1227:
1224:
1223:
1205:
1202:
1201:
1185:
1182:
1181:
1165:
1162:
1161:
1145:
1142:
1141:
1116:
1113:
1112:
1096:
1093:
1092:
1067:
1064:
1063:
1039:
1036:
1035:
1019:
1016:
1015:
1008:
967:
958:
933:
929:
923:
919:
917:
914:
913:
877:
868:
843:
839:
833:
829:
827:
824:
823:
801:
798:
797:
781:
778:
777:
761:
758:
757:
731:
728:
727:
707:
704:
703:
667:
663:
648:
642:
639:
638:
606:
602:
600:
597:
596:
580:
577:
576:
560:
557:
556:
521:
518:
517:
493:
489:
478:
474:
435:
430:
429:
428:
424:
423:
396:
368:
364:
362:
359:
358:
338:
335:
334:
318:
315:
314:
298:
295:
294:
278:
275:
274:
255:
252:
251:
214:
211:
210:
174:
171:
170:
167:
129:R. L. Dobrushin
96:
93:
92:
68:
65:
64:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
12072:
12062:
12061:
12056:
12051:
12046:
12044:Measure theory
12032:
12031:
12026:Stack Exchange
12015:
12014:External links
12012:
12010:
12009:
12003:
11990:
11972:
11913:
11907:
11893:
11891:
11888:
11885:
11884:
11871:(2): 231–240.
11851:
11824:(5): 785–890.
11806:
11775:
11761:
11709:
11670:
11656:
11627:
11600:(3): 375–393.
11580:
11565:
11545:
11533:
11505:
11490:
11470:
11457:(1): 333–339.
11437:
11412:
11347:
11288:
11261:
11192:
11173:(3): 147–158.
11157:
11107:
11088:
11047:
11028:(4): 366–422.
11012:
10985:
10984:
10982:
10979:
10977:
10976:
10971:
10966:
10961:
10956:
10951:
10946:
10941:
10936:
10930:
10928:
10925:
10920:
10903:
10892:
10875:
10855:
10852:
10849:
10846:
10843:
10840:
10816:
10813:
10810:
10807:
10804:
10801:
10798:
10794:
10791:
10788:
10785:
10782:
10775:
10755:
10752:
10749:
10746:
10743:
10740:
10737:
10734:
10730:
10727:
10724:
10721:
10718:
10711:
10706:
10703:
10700:
10697:
10694:
10691:
10688:
10685:
10681:
10677:
10674:
10671:
10668:
10665:
10662:
10657:
10653:
10647:
10644:
10641:
10638:
10634:
10630:
10627:
10624:
10621:
10618:
10615:
10610:
10606:
10585:
10582:
10579:
10567:
10560:
10537:
10524:
10511:
10508:
10496:
10493:
10490:
10487:
10484:
10481:
10476:
10472:
10465:
10460:
10455:
10452:
10449:
10444:
10441:
10434:
10431:
10423:
10419:
10416:
10413:
10410:
10386:
10366:
10363:
10360:
10357:
10354:
10334:
10310:
10290:
10270:
10265:
10262:
10259:
10254:
10251:
10244:
10241:
10233:
10229:
10226:
10223:
10220:
10216:
10213:
10210:
10207:
10204:
10201:
10198:
10193:
10189:
10168:
10148:
10128:
10108:
10103:
10098:
10095:
10090:
10087:
10084:
10079:
10072:
10069:
10061:
10057:
10054:
10048:
10041:
10037:
10034:
10031:
10028:
10025:
10021:
10015:
10010:
10007:
10002:
9999:
9996:
9991:
9988:
9981:
9978:
9970:
9966:
9963:
9954:the dual norm
9943:
9923:
9913:signed measure
9900:
9897:
9893:
9889:
9886:
9880:
9876:
9872:
9869:
9866:
9863:
9860:
9857:
9852:
9848:
9844:
9839:
9834:
9831:
9828:
9823:
9816:
9813:
9805:
9801:
9798:
9777:
9773:
9770:
9767:
9764:
9744:
9717:
9691:
9687:
9674:
9670:
9664:
9651:
9648:
9645:
9642:
9639:
9619:
9599:
9579:
9576:
9573:
9570:
9567:
9564:
9561:
9558:
9554:
9551:
9548:
9545:
9542:
9539:
9536:
9533:
9530:
9526:
9523:
9520:
9515:
9510:
9507:
9504:
9501:
9498:
9492:
9489:
9460:
9438:
9435:
9429:
9424:
9420:
9417:
9414:
9409:
9404:
9401:
9396:
9392:
9388:
9385:
9382:
9377:
9372:
9367:
9362:
9355:
9350:
9344:
9338:
9333:
9329:
9322:
9317:
9313:
9310:
9307:
9304:
9301:
9298:
9293:
9289:
9266:
9261:
9239:
9236:
9233:
9200:
9196:
9183:
9180:
9174:
9162:
9159:
9156:
9153:
9150:
9145:
9141:
9137:
9134:
9131:
9128:
9123:
9119:
9115:
9112:
9109:
9106:
9103:
9100:
9097:
9094:
9091:
9088:
9068:
9065:
9061:
9056:
9053:
9050:
9047:
9042:
9038:
9034:
9031:
9028:
9025:
9020:
9016:
9012:
9009:
9006:
9003:
8999:
8996:
8992:
8989:
8986:
8983:
8980:
8977:
8974:
8971:
8966:
8963:
8960:
8955:
8950:
8947:
8944:
8941:
8938:
8935:
8932:
8927:
8924:
8921:
8916:
8893:
8872:
8869:
8866:
8840:
8837:
8834:
8831:
8828:
8825:
8822:
8818:
8792:
8789:
8786:
8783:
8779:
8753:
8733:
8730:
8727:
8724:
8720:
8691:
8688:
8683:
8675:
8672:
8669:
8664:
8661:
8658:
8655:
8652:
8649:
8646:
8643:
8640:
8632:
8610:
8590:
8570:
8567:
8547:
8544:
8541:
8538:
8534:
8525:
8522:
8499:
8475:
8450:
8447:
8423:
8420:
8392:
8389:
8386:
8383:
8380:
8377:
8374:
8371:
8368:
8365:
8345:
8342:
8337:
8333:
8329:
8326:
8306:
8303:
8300:
8297:
8294:
8291:
8288:
8285:
8282:
8279:
8276:
8271:
8267:
8263:
8260:
8257:
8254:
8251:
8231:
8211:
8208:
8203:
8199:
8195:
8192:
8168:
8165:
8162:
8159:
8156:
8153:
8150:
8145:
8142:
8139:
8134:
8129:
8126:
8123:
8120:
8117:
8114:
8111:
8106:
8103:
8100:
8095:
8088:
8085:
8082:
8079:
8076:
8073:
8070:
8067:
8064:
8061:
8058:
8055:
8052:
8049:
8046:
8043:
8040:
8037:
8033:
8027:
8024:
8019:
8015:
8011:
8008:
8004:
8000:
7997:
7995:
7993:
7990:
7987:
7984:
7981:
7978:
7975:
7970:
7967:
7964:
7959:
7954:
7951:
7948:
7945:
7942:
7939:
7936:
7931:
7928:
7925:
7920:
7913:
7910:
7907:
7904:
7901:
7898:
7895:
7892:
7889:
7886:
7883:
7880:
7877:
7874:
7871:
7868:
7865:
7862:
7859:
7854:
7850:
7846:
7843:
7839:
7833:
7829:
7825:
7822:
7820:
7818:
7815:
7812:
7809:
7806:
7803:
7800:
7795:
7792:
7789:
7784:
7779:
7776:
7773:
7770:
7767:
7764:
7761:
7756:
7753:
7750:
7745:
7738:
7735:
7732:
7729:
7726:
7723:
7720:
7717:
7714:
7711:
7708:
7705:
7702:
7699:
7696:
7693:
7689:
7683:
7679:
7675:
7672:
7670:
7668:
7665:
7662:
7659:
7656:
7651:
7647:
7643:
7642:
7619:
7616:
7611:
7607:
7603:
7600:
7580:
7577:
7574:
7554:
7551:
7548:
7545:
7542:
7539:
7536:
7533:
7530:
7527:
7524:
7521:
7518:
7515:
7512:
7509:
7489:
7486:
7462:
7459:
7456:
7453:
7450:
7447:
7444:
7441:
7438:
7435:
7432:
7427:
7423:
7419:
7416:
7413:
7410:
7407:
7387:
7367:
7364:
7361:
7358:
7355:
7352:
7349:
7344:
7341:
7338:
7333:
7328:
7325:
7322:
7319:
7316:
7313:
7310:
7305:
7302:
7299:
7294:
7287:
7284:
7281:
7278:
7275:
7272:
7269:
7266:
7263:
7260:
7257:
7254:
7251:
7248:
7245:
7242:
7238:
7234:
7231:
7228:
7225:
7222:
7219:
7214:
7210:
7189:
7186:
7183:
7169:
7164:Lipschitz norm
7149:
7145:
7141:
7138:
7118:
7115:
7112:
7109:
7106:
7103:
7098:
7095:
7092:
7087:
7082:
7079:
7076:
7073:
7070:
7067:
7064:
7059:
7056:
7053:
7048:
7041:
7038:
7033:
7029:
7025:
7022:
7018:
7012:
7009:
7004:
7001:
6998:
6995:
6992:
6989:
6984:
6980:
6959:
6956:
6953:
6933:
6912:
6895:
6892:
6889:
6886:
6883:
6880:
6877:
6874:
6871:
6868:
6865:
6862:
6859:
6856:
6853:
6850:
6827:
6807:
6804:
6801:
6798:
6789:, and pay him
6778:
6758:
6755:
6752:
6749:
6729:
6709:
6689:
6670:Cédric Villani
6662:strong duality
6647:
6642:
6639:
6636:
6633:
6630:
6627:
6624:
6621:
6618:
6615:
6612:
6609:
6606:
6603:
6600:
6597:
6594:
6593:
6590:
6587:
6584:
6581:
6578:
6575:
6570:
6567:
6564:
6559:
6554:
6551:
6548:
6545:
6542:
6539:
6536:
6531:
6528:
6525:
6520:
6513:
6510:
6507:
6503:
6499:
6498:
6496:
6480:strong duality
6461:
6456:
6453:
6450:
6447:
6444:
6441:
6438:
6435:
6432:
6429:
6426:
6423:
6420:
6417:
6414:
6411:
6408:
6407:
6404:
6401:
6398:
6395:
6392:
6389:
6386:
6383:
6378:
6374:
6370:
6367:
6364:
6361:
6358:
6355:
6352:
6349:
6346:
6341:
6337:
6331:
6328:
6325:
6321:
6317:
6316:
6314:
6285:
6282:
6279:
6276:
6273:
6270:
6267:
6264:
6261:
6258:
6255:
6233:
6228:
6225:
6222:
6219:
6218:
6215:
6212:
6209:
6206:
6203:
6200:
6197:
6194:
6191:
6188:
6185:
6180:
6176:
6172:
6171:
6168:
6165:
6162:
6159:
6156:
6153:
6150:
6147:
6144:
6141:
6138:
6133:
6129:
6125:
6124:
6121:
6118:
6115:
6112:
6109:
6106:
6103:
6100:
6097:
6094:
6091:
6088:
6083:
6080:
6077:
6073:
6067:
6063:
6059:
6058:
6056:
6034:
6016:
6013:
5986:
5983:
5980:
5977:
5974:
5971:
5968:
5965:
5962:
5959:
5956:
5953:
5950:
5947:
5942:
5938:
5934:
5907:If the metric
5894:
5890:
5886:
5883:
5880:
5877:
5874:
5871:
5868:
5865:
5862:
5859:
5850:
5845:
5842:
5839:
5836:
5833:
5830:
5827:
5824:
5820:
5815:
5812:
5809:
5806:
5801:
5797:
5792:
5788:
5784:
5781:
5778:
5775:
5772:
5769:
5766:
5763:
5738:
5709:
5705:
5701:
5698:
5695:
5692:
5689:
5686:
5683:
5680:
5676:
5672:
5669:
5666:
5663:
5654:
5649:
5646:
5643:
5640:
5637:
5634:
5631:
5628:
5624:
5619:
5616:
5613:
5610:
5605:
5601:
5596:
5592:
5588:
5585:
5582:
5579:
5576:
5573:
5570:
5565:
5561:
5527:
5520:
5517:
5511:
5496:
5488:having finite
5475:
5456:
5449:
5446:
5444:
5441:
5387:digital images
5374:
5356:
5353:
5341:
5338:
5334:
5328:
5324:
5321:
5318:
5313:
5309:
5305:
5302:
5299:
5296:
5291:
5287:
5282:
5275:
5270:
5266:
5263:
5258:
5254:
5250:
5245:
5241:
5237:
5232:
5228:
5207:
5204:
5201:
5175:
5172:
5167:
5163:
5140:
5137:
5132:
5128:
5107:
5102:
5098:
5094:
5089:
5085:
5081:
5074:
5069:
5065:
5062:
5059:
5054:
5051:
5046:
5042:
5038:
5035:
5032:
5029:
5024:
5021:
5016:
5012:
5007:
5000:
4995:
4991:
4986:
4981:
4978:
4973:
4969:
4965:
4960:
4956:
4952:
4947:
4943:
4920:
4916:
4893:
4889:
4868:
4846:
4842:
4821:
4799:
4795:
4774:
4754:
4751:
4748:
4743:
4739:
4718:
4715:
4712:
4707:
4703:
4677:
4656:
4652:
4648:
4643:
4639:
4635:
4630:
4626:
4622:
4617:
4613:
4600:
4597:
4580:
4577:
4574:
4552:
4548:
4525:
4521:
4496:
4470:
4466:
4462:
4458:
4437:
4432:
4425:
4421:
4417:
4411:
4403:
4399:
4395:
4390:
4386:
4380:
4376:
4370:
4366:
4362:
4357:
4353:
4347:
4342:
4339:
4334:
4330:
4326:
4321:
4317:
4311:
4306:
4301:
4298:
4295:
4292:
4289:
4284:
4279:
4274:
4270:
4264:
4260:
4256:
4251:
4247:
4243:
4240:
4235:
4231:
4225:
4221:
4217:
4212:
4208:
4204:
4199:
4195:
4172:
4168:
4145:
4141:
4118:
4113:
4089:
4086:
4083:
4078:
4073:
4068:
4064:
4041:
4037:
4008:
4003:
3998:
3993:
3989:
3966:
3962:
3936:
3931:
3901:
3896:
3892:
3888:
3883:
3879:
3875:
3870:
3865:
3860:
3856:
3835:
3830:
3826:
3822:
3817:
3813:
3809:
3804:
3799:
3794:
3790:
3777:
3774:
3749:
3729:
3707:
3702:
3698:
3694:
3689:
3683:
3679:
3673:
3670:
3667:
3664:
3660:
3656:
3651:
3647:
3643:
3638:
3633:
3630:
3627:
3623:
3617:
3614:
3608:
3601:
3597:
3593:
3590:
3587:
3584:
3581:
3578:
3573:
3569:
3546:
3526:
3506:
3494:
3491:
3479:
3474:
3470:
3466:
3461:
3455:
3451:
3445:
3442:
3439:
3435:
3431:
3426:
3423:
3420:
3416:
3412:
3407:
3402:
3399:
3396:
3392:
3386:
3383:
3377:
3372:
3369:
3366:
3363:
3360:
3357:
3352:
3348:
3321:
3317:
3313:
3310:
3307:
3302:
3298:
3277:
3255:
3251:
3247:
3244:
3241:
3236:
3232:
3207:
3195:
3192:
3190:
3187:
3175:
3170:
3166:
3160:
3156:
3152:
3147:
3143:
3139:
3136:
3133:
3128:
3124:
3120:
3115:
3111:
3107:
3102:
3098:
3075:
3070:
3057:Euclidean norm
3042:
3037:
3013:
3009:
2986:
2982:
2957:
2953:
2948:
2944:
2939:
2935:
2910:
2906:
2901:
2897:
2892:
2888:
2867:
2863:
2857:
2853:
2849:
2844:
2840:
2835:
2831:
2828:
2823:
2819:
2815:
2810:
2806:
2802:
2797:
2793:
2770:
2766:
2743:
2739:
2718:
2698:
2695:
2692:
2671:
2659:absolute value
2644:
2639:
2634:
2631:
2626:
2622:
2618:
2613:
2609:
2605:
2583:
2578:
2574:
2570:
2565:
2561:
2557:
2553:
2531:
2508:
2504:
2481:
2477:
2444:
2440:
2435:
2431:
2426:
2422:
2397:
2393:
2388:
2384:
2379:
2375:
2362:
2359:
2357:
2354:
2352:
2349:
2334:
2330:
2309:
2306:
2303:
2300:
2297:
2294:
2291:
2287:
2282:
2279:
2276:
2273:
2270:
2267:
2264:
2259:
2256:
2253:
2250:
2247:
2244:
2241:
2238:
2234:
2230:
2227:
2207:
2187:
2167:
2146:
2124:
2121:
2118:
2115:
2112:
2109:
2106:
2102:
2097:
2094:
2091:
2088:
2085:
2082:
2079:
2076:
2073:
2069:
2064:
2060:
2055:
2052:
2049:
2046:
2043:
2040:
2037:
2034:
2031:
2028:
2025:
2022:
2019:
1999:
1979:
1975:
1970:
1966:
1961:
1958:
1955:
1952:
1949:
1946:
1943:
1940:
1937:
1934:
1931:
1928:
1908:
1904:
1899:
1895:
1890:
1887:
1884:
1881:
1878:
1875:
1855:
1835:
1815:
1795:
1771:
1751:
1747:
1743:
1740:
1737:
1734:
1714:
1690:
1686:
1682:
1679:
1676:
1673:
1653:
1638:
1637:
1626:
1623:
1620:
1617:
1614:
1611:
1608:
1604:
1599:
1596:
1593:
1590:
1587:
1584:
1581:
1561:
1550:
1538:
1535:
1532:
1529:
1526:
1523:
1520:
1516:
1511:
1508:
1505:
1502:
1499:
1496:
1493:
1473:
1449:
1429:
1409:
1389:
1369:
1366:
1363:
1360:
1357:
1354:
1334:
1314:
1294:
1274:
1252:
1249:
1246:
1243:
1240:
1237:
1234:
1231:
1209:
1189:
1169:
1149:
1129:
1126:
1123:
1120:
1100:
1080:
1077:
1074:
1071:
1043:
1023:
1007:
1004:
992:
989:
986:
983:
980:
977:
974:
970:
965:
961:
956:
953:
950:
947:
944:
941:
936:
932:
926:
922:
902:
899:
896:
893:
890:
887:
884:
880:
875:
871:
866:
863:
860:
857:
854:
851:
846:
842:
836:
832:
811:
808:
805:
785:
765:
741:
738:
735:
711:
687:
684:
681:
678:
675:
670:
666:
660:
657:
654:
651:
647:
626:
623:
620:
617:
614:
609:
605:
584:
564:
540:
537:
534:
531:
528:
525:
505:
500:
496:
492:
487:
481:
477:
473:
470:
467:
464:
461:
456:
453:
450:
447:
444:
441:
438:
433:
427:
420:
417:
414:
411:
408:
405:
402:
399:
395:
391:
388:
385:
382:
379:
376:
371:
367:
342:
322:
302:
282:
259:
239:
236:
233:
230:
227:
224:
221:
218:
190:
187:
184:
181:
178:
166:
163:
100:
72:
26:
9:
6:
4:
3:
2:
12071:
12060:
12057:
12055:
12052:
12050:
12047:
12045:
12042:
12041:
12039:
12028:
12027:
12022:
12018:
12017:
12006:
12000:
11996:
11991:
11988:
11984:
11983:
11978:
11973:
11969:
11965:
11961:
11957:
11953:
11949:
11945:
11941:
11936:
11935:10.1.1.6.8815
11931:
11927:
11923:
11919:
11914:
11910:
11904:
11900:
11895:
11894:
11879:
11874:
11870:
11866:
11862:
11855:
11847:
11843:
11839:
11835:
11831:
11827:
11823:
11819:
11818:
11810:
11800:
11795:
11791:
11787:
11783:
11781:
11778:distance and
11774:
11765:
11756:
11752:
11747:
11742:
11737:
11732:
11728:
11724:
11720:
11713:
11704:
11700:
11695:
11690:
11686:
11682:
11678:
11676:
11673:distance and
11669:
11660:
11651:
11646:
11642:
11638:
11631:
11623:
11619:
11615:
11611:
11607:
11603:
11599:
11595:
11591:
11584:
11576:
11572:
11568:
11566:0-8218-3312-X
11562:
11558:
11557:
11549:
11536:
11530:
11526:
11522:
11518:
11517:
11509:
11501:
11497:
11493:
11491:0-8218-3312-X
11487:
11483:
11482:
11474:
11465:
11460:
11456:
11452:
11448:
11441:
11426:
11425:Imperial News
11422:
11416:
11408:
11404:
11400:
11396:
11392:
11388:
11384:
11380:
11375:
11370:
11366:
11362:
11358:
11351:
11343:
11339:
11334:
11329:
11324:
11319:
11315:
11311:
11307:
11303:
11299:
11292:
11284:
11280:
11276:
11272:
11265:
11257:
11253:
11248:
11243:
11238:
11233:
11229:
11225:
11220:
11215:
11211:
11207:
11203:
11196:
11188:
11184:
11180:
11176:
11172:
11168:
11161:
11153:
11149:
11145:
11141:
11137:
11133:
11129:
11125:
11118:
11111:
11103:
11099:
11092:
11084:
11080:
11075:
11070:
11066:
11062:
11058:
11051:
11043:
11039:
11035:
11031:
11027:
11023:
11016:
11008:
11004:
10997:
10990:
10986:
10975:
10972:
10970:
10967:
10965:
10962:
10960:
10957:
10955:
10952:
10950:
10947:
10945:
10942:
10940:
10937:
10935:
10932:
10931:
10924:
10919:
10918:
10913:
10909:
10902:
10898:
10891:
10890:
10873:
10850:
10847:
10844:
10838:
10830:
10811:
10808:
10805:
10799:
10796:
10773:
10753:
10747:
10744:
10741:
10735:
10732:
10709:
10701:
10698:
10695:
10686:
10683:
10675:
10669:
10666:
10663:
10655:
10651:
10642:
10636:
10628:
10622:
10619:
10616:
10604:
10580:
10577:
10565:
10559:
10557:
10553:
10549:
10545:
10540:
10536:
10532:
10527:
10523:
10522:
10517:
10507:
10494:
10488:
10485:
10482:
10474:
10470:
10463:
10458:
10450:
10442:
10439:
10432:
10429:
10417:
10414:
10411:
10400:
10384:
10361:
10358:
10355:
10352:
10332:
10324:
10308:
10288:
10268:
10260:
10252:
10249:
10242:
10239:
10227:
10224:
10221:
10214:
10211:
10205:
10202:
10199:
10191:
10187:
10166:
10146:
10126:
10106:
10096:
10093:
10085:
10077:
10070:
10067:
10055:
10032:
10029:
10026:
10005:
9997:
9989:
9986:
9979:
9976:
9964:
9941:
9921:
9914:
9895:
9884:
9878:
9867:
9861:
9850:
9846:
9842:
9837:
9829:
9821:
9814:
9811:
9799:
9789:the seminorm
9768:
9765:
9762:
9742:
9734:
9731:
9715:
9707:
9689:
9685:
9669:
9663:
9646:
9643:
9640:
9617:
9597:
9577:
9574:
9568:
9565:
9562:
9556:
9552:
9549:
9546:
9540:
9537:
9534:
9528:
9524:
9521:
9508:
9502:
9496:
9490:
9487:
9476:
9436:
9433:
9422:
9415:
9412:
9399:
9394:
9383:
9380:
9353:
9342:
9336:
9331:
9327:
9311:
9305:
9302:
9299:
9291:
9287:
9264:
9237:
9234:
9231:
9222:
9220:
9216:
9198:
9194:
9179:
9173:
9160:
9151:
9143:
9139:
9135:
9129:
9121:
9117:
9110:
9107:
9104:
9101:
9098:
9092:
9086:
9066:
9063:
9048:
9040:
9036:
9032:
9026:
9018:
9014:
9004:
8997:
8994:
8990:
8987:
8978:
8972:
8964:
8961:
8958:
8948:
8939:
8933:
8925:
8922:
8919:
8870:
8867:
8864:
8856:
8852:
8838:
8835:
8832:
8826:
8823:
8816:
8787:
8784:
8777:
8751:
8728:
8725:
8718:
8703:
8689:
8686:
8673:
8670:
8667:
8659:
8653:
8650:
8644:
8638:
8608:
8588:
8568:
8565:
8542:
8539:
8532:
8523:
8520:
8511:
8497:
8488:
8448:
8445:
8437:
8421:
8418:
8409:
8404:
8387:
8381:
8378:
8375:
8369:
8363:
8343:
8340:
8335:
8327:
8301:
8295:
8292:
8286:
8283:
8280:
8274:
8269:
8261:
8255:
8249:
8229:
8209:
8206:
8201:
8193:
8166:
8157:
8151:
8143:
8140:
8137:
8127:
8118:
8112:
8104:
8101:
8098:
8083:
8080:
8077:
8071:
8068:
8062:
8056:
8053:
8047:
8041:
8038:
8035:
8025:
8022:
8017:
8009:
7998:
7996:
7982:
7976:
7968:
7965:
7962:
7952:
7943:
7937:
7929:
7926:
7923:
7908:
7905:
7902:
7896:
7893:
7887:
7881:
7878:
7872:
7866:
7863:
7860:
7857:
7852:
7844:
7831:
7823:
7821:
7807:
7801:
7793:
7790:
7787:
7777:
7768:
7762:
7754:
7751:
7748:
7733:
7730:
7727:
7721:
7718:
7712:
7706:
7703:
7697:
7691:
7681:
7673:
7671:
7663:
7660:
7657:
7649:
7645:
7631:
7617:
7614:
7609:
7601:
7578:
7575:
7572:
7549:
7546:
7543:
7537:
7534:
7528:
7522:
7519:
7513:
7507:
7487:
7484:
7476:
7457:
7451:
7448:
7442:
7439:
7436:
7430:
7425:
7417:
7411:
7405:
7385:
7365:
7356:
7350:
7342:
7339:
7336:
7326:
7317:
7311:
7303:
7300:
7297:
7282:
7279:
7276:
7270:
7267:
7261:
7255:
7252:
7246:
7240:
7232:
7226:
7223:
7220:
7212:
7208:
7187:
7184:
7181:
7167:
7165:
7147:
7139:
7110:
7104:
7096:
7093:
7090:
7080:
7071:
7065:
7057:
7054:
7051:
7039:
7036:
7031:
7023:
7010:
7007:
7002:
6996:
6993:
6990:
6982:
6978:
6957:
6954:
6951:
6911:
6907:
6890:
6887:
6884:
6878:
6875:
6869:
6863:
6860:
6854:
6848:
6839:
6825:
6802:
6796:
6776:
6753:
6747:
6727:
6707:
6687:
6677:
6675:
6671:
6667:
6663:
6637:
6634:
6631:
6625:
6622:
6616:
6610:
6607:
6601:
6595:
6582:
6576:
6568:
6565:
6562:
6552:
6543:
6537:
6529:
6526:
6523:
6511:
6508:
6505:
6494:
6483:
6481:
6477:
6451:
6448:
6445:
6439:
6436:
6430:
6424:
6421:
6415:
6409:
6399:
6393:
6387:
6381:
6376:
6372:
6368:
6362:
6356:
6350:
6344:
6339:
6335:
6329:
6326:
6323:
6312:
6302:
6297:
6277:
6274:
6265:
6262:
6259:
6256:
6253:
6226:
6223:
6220:
6210:
6204:
6201:
6195:
6192:
6189:
6183:
6178:
6174:
6163:
6157:
6154:
6148:
6145:
6142:
6136:
6131:
6127:
6116:
6113:
6110:
6104:
6098:
6095:
6092:
6086:
6081:
6078:
6075:
6071:
6065:
6054:
6032:
6024:
6023:Discrete case
6020:
6012:
6010:
6006:
6002:
5997:
5984:
5978:
5975:
5972:
5966:
5963:
5960:
5954:
5951:
5948:
5940:
5936:
5932:
5924:
5922:
5918:
5914:
5910:
5905:
5892:
5888:
5881:
5878:
5875:
5872:
5863:
5860:
5857:
5848:
5840:
5831:
5828:
5825:
5810:
5804:
5799:
5795:
5786:
5779:
5773:
5770:
5767:
5761:
5753:
5751:
5746:
5744:
5737:
5733:
5729:
5725:
5720:
5707:
5703:
5699:
5696:
5690:
5684:
5681:
5678:
5667:
5664:
5661:
5652:
5644:
5635:
5632:
5629:
5614:
5608:
5603:
5599:
5590:
5583:
5577:
5574:
5571:
5563:
5559:
5550:
5548:
5545:
5541:
5537:
5533:
5526:
5516:
5510:
5508:
5504:
5499:
5495:
5491:
5487:
5483:
5478:
5474:
5473:
5468:
5464:
5459:
5455:
5440:
5437:
5435:
5430:
5427:
5425:
5420:
5418:
5413:
5411:
5407:
5403:
5399:
5394:
5392:
5388:
5384:
5380:
5373:
5368:
5366:
5362:
5352:
5339:
5336:
5326:
5319:
5311:
5307:
5303:
5297:
5289:
5285:
5280:
5268:
5264:
5256:
5252:
5248:
5243:
5239:
5230:
5226:
5205:
5202:
5199:
5191:
5173:
5170:
5165:
5161:
5138:
5135:
5130:
5126:
5105:
5100:
5096:
5092:
5087:
5083:
5072:
5067:
5060:
5052:
5049:
5044:
5040:
5036:
5030:
5022:
5019:
5014:
5010:
5005:
4998:
4993:
4989:
4984:
4979:
4971:
4967:
4963:
4958:
4954:
4945:
4941:
4918:
4914:
4891:
4887:
4866:
4844:
4840:
4819:
4797:
4793:
4772:
4749:
4741:
4737:
4713:
4705:
4701:
4692:
4641:
4637:
4633:
4628:
4624:
4620:
4615:
4611:
4596:
4594:
4578:
4575:
4572:
4550:
4546:
4523:
4519:
4510:
4494:
4486:
4468:
4464:
4460:
4456:
4435:
4423:
4419:
4415:
4401:
4397:
4393:
4388:
4384:
4378:
4374:
4368:
4364:
4360:
4355:
4351:
4340:
4337:
4332:
4328:
4324:
4319:
4315:
4304:
4282:
4277:
4272:
4262:
4258:
4254:
4249:
4245:
4238:
4233:
4223:
4219:
4215:
4210:
4206:
4197:
4193:
4170:
4166:
4143:
4139:
4116:
4087:
4084:
4081:
4071:
4066:
4062:
4039:
4035:
4027:
4024:
4006:
3996:
3991:
3987:
3964:
3960:
3952:
3934:
3919:
3915:
3894:
3890:
3886:
3881:
3877:
3863:
3858:
3854:
3828:
3824:
3820:
3815:
3811:
3797:
3792:
3788:
3773:
3771:
3767:
3763:
3747:
3727:
3718:
3705:
3700:
3696:
3692:
3687:
3681:
3668:
3662:
3658:
3654:
3649:
3645:
3636:
3631:
3628:
3625:
3621:
3615:
3612:
3606:
3599:
3591:
3585:
3582:
3579:
3571:
3567:
3558:
3544:
3524:
3504:
3490:
3477:
3472:
3468:
3464:
3459:
3453:
3440:
3433:
3429:
3421:
3414:
3405:
3400:
3397:
3394:
3390:
3384:
3381:
3375:
3370:
3364:
3361:
3358:
3350:
3346:
3337:
3319:
3315:
3311:
3308:
3305:
3300:
3296:
3275:
3253:
3249:
3245:
3242:
3239:
3234:
3230:
3222:with samples
3221:
3205:
3194:One dimension
3186:
3173:
3168:
3158:
3154:
3150:
3145:
3141:
3134:
3126:
3122:
3118:
3113:
3109:
3100:
3096:
3073:
3058:
3040:
3011:
3007:
2984:
2980:
2955:
2951:
2946:
2942:
2937:
2933:
2908:
2904:
2899:
2895:
2890:
2886:
2865:
2855:
2851:
2847:
2842:
2838:
2829:
2821:
2817:
2813:
2808:
2804:
2795:
2791:
2768:
2764:
2741:
2737:
2716:
2696:
2693:
2690:
2660:
2642:
2632:
2624:
2620:
2616:
2611:
2607:
2576:
2572:
2568:
2563:
2559:
2551:
2506:
2502:
2479:
2475:
2466:
2462:
2442:
2438:
2433:
2429:
2424:
2420:
2395:
2391:
2386:
2382:
2377:
2373:
2348:
2332:
2328:
2307:
2301:
2298:
2295:
2289:
2277:
2274:
2271:
2265:
2262:
2254:
2251:
2248:
2239:
2236:
2228:
2225:
2185:
2165:
2144:
2135:
2122:
2116:
2113:
2110:
2104:
2092:
2089:
2086:
2080:
2077:
2074:
2071:
2062:
2050:
2047:
2044:
2038:
2032:
2029:
2026:
2020:
2017:
1997:
1977:
1968:
1956:
1953:
1950:
1944:
1938:
1935:
1932:
1926:
1906:
1897:
1885:
1882:
1879:
1873:
1853:
1833:
1813:
1793:
1785:
1769:
1749:
1738:
1732:
1712:
1704:
1688:
1677:
1671:
1651:
1643:
1624:
1618:
1612:
1609:
1606:
1594:
1591:
1588:
1582:
1579:
1559:
1551:
1536:
1530:
1524:
1521:
1518:
1506:
1503:
1500:
1494:
1491:
1471:
1463:
1462:
1461:
1447:
1427:
1407:
1387:
1364:
1361:
1358:
1352:
1332:
1312:
1292:
1285:to the point
1272:
1263:
1250:
1247:
1241:
1238:
1235:
1229:
1221:
1207:
1187:
1167:
1147:
1124:
1118:
1098:
1075:
1069:
1061:
1041:
1021:
1012:
1003:
990:
984:
978:
975:
972:
963:
951:
948:
945:
939:
934:
930:
924:
920:
900:
894:
888:
885:
882:
873:
861:
858:
855:
849:
844:
840:
834:
830:
809:
806:
803:
783:
763:
755:
739:
736:
733:
725:
709:
702:. A coupling
701:
700:supremum norm
682:
679:
676:
668:
664:
655:
649:
621:
618:
615:
603:
582:
562:
554:
535:
532:
529:
503:
498:
494:
490:
485:
479:
471:
468:
465:
459:
454:
451:
445:
442:
439:
425:
415:
412:
409:
400:
397:
389:
383:
380:
377:
369:
365:
356:
340:
320:
300:
280:
273:
257:
231:
228:
225:
219:
216:
208:
204:
185:
182:
179:
162:
160:
150:
146:
142:
138:
134:
130:
125:
123:
119:
115:
114:Gaspard Monge
111:
98:
88:
86:
70:
63:
59:
55:
51:
49:
45:
40:
38:
33:
19:
12024:
11997:. Springer.
11994:
11980:
11925:
11921:
11898:
11868:
11864:
11854:
11821:
11815:
11809:
11789:
11785:
11779:
11772:
11764:
11736:math/0504140
11729:(1): 68–79.
11726:
11722:
11712:
11684:
11680:
11674:
11667:
11659:
11640:
11630:
11597:
11593:
11583:
11555:
11548:
11538:, retrieved
11515:
11508:
11480:
11473:
11454:
11450:
11440:
11429:. Retrieved
11427:. 2023-03-29
11424:
11415:
11364:
11360:
11350:
11305:
11301:
11291:
11274:
11264:
11209:
11205:
11195:
11170:
11166:
11160:
11127:
11123:
11110:
11101:
11091:
11064:
11060:
11050:
11025:
11021:
11015:
11006:
11002:
10989:
10916:
10915:
10911:
10907:
10900:
10896:
10888:
10887:
10827:denotes the
10569:
10563:
10555:
10551:
10538:
10534:
10530:
10525:
10520:
10519:
10515:
10513:
9706:Sobolev norm
9676:
9667:
9223:
9185:
9177:
8857:. When both
8854:
8853:
8704:
8512:
8489:
8464:
8435:
7632:
7173:
6913:
6909:
6840:
6679:
6665:
6661:
6484:
6479:
6301:dual problem
6298:
6022:
6021:
6018:
6009:Polish space
6004:
6000:
5998:
5925:
5920:
5916:
5912:
5908:
5906:
5754:
5750:Radon metric
5747:
5735:
5731:
5723:
5721:
5551:
5539:
5535:
5524:
5522:
5514:
5509:th moments.
5506:
5497:
5493:
5489:
5485:
5481:
5476:
5471:
5470:
5457:
5453:
5451:
5438:
5431:
5428:
5421:
5414:
5395:
5378:
5371:
5369:
5364:
5360:
5358:
5355:Applications
4859:. Thus, the
4602:
4509:Bures metric
4483:denotes the
3779:
3719:
3559:
3496:
3197:
2364:
2356:Point masses
2136:
1702:
1641:
1639:
1264:
1222:
1160:to the pile
1057:
333:with finite
207:Polish space
203:metric space
168:
140:
126:
91:
89:
62:metric space
42:
35:
29:
11067:: 257–263.
11009:(3): 64–72.
10939:Lévy metric
7591:, that is,
6474:and by the
5532:Kantorovich
2596:located at
1091:on a space
726:measure on
157:) being of
60:on a given
44:Kantorovich
37:Wasserstein
32:mathematics
12038:Categories
11650:2002.02798
11540:2022-07-15
11431:2023-10-31
11374:2302.12266
11367:(6): 195.
11219:2203.06263
11104:: 214–223.
10981:References
9911:and for a
8855:1D Example
5722:where Lip(
5443:Properties
3770:cubic time
2683:, for any
2347:distance.
2198:; letting
205:that is a
165:Definition
154:Васерштейн
48:Rubinstein
11987:EMS Press
11952:0036-1410
11930:CiteSeerX
11846:121411457
11755:1292-8119
11703:1292-8119
11614:0945-3245
11407:257205971
11399:1029-8479
11187:121320315
11083:0024-3795
10874:γ
10797:
10774:γ
10733:
10710:γ
10702:ν
10696:μ
10690:Γ
10687:∈
10684:γ
10670:ν
10664:μ
10646:∞
10640:→
10623:ν
10617:μ
10609:∞
10584:∞
10566:= ∞
10546:, and is
10544:separable
10489:ν
10483:μ
10459:≤
10451:π
10440:−
10433:˙
10422:‖
10418:ν
10415:−
10412:μ
10409:‖
10401:, then
10365:∞
10309:ν
10289:μ
10261:π
10250:−
10243:˙
10232:‖
10228:ν
10225:−
10222:μ
10219:‖
10212:≤
10206:ν
10200:μ
10147:ν
10127:μ
10094:≤
10086:π
10071:˙
10060:‖
10053:‖
10036:⟩
10033:μ
10024:⟨
9998:π
9987:−
9980:˙
9969:‖
9965:μ
9962:‖
9922:μ
9885:π
9875:‖
9859:∇
9856:‖
9847:∫
9830:π
9815:˙
9804:‖
9797:‖
9772:→
9766::
9743:π
9730:connected
9563:⋅
9557:ρ
9535:⋅
9529:ρ
9509:ρ
9503:⋅
9500:∇
9491:˙
9488:ρ
9400:ρ
9391:‖
9361:‖
9343:∫
9328:∫
9144:μ
9136:−
9122:ν
9111:
9105:⋅
9041:μ
9033:−
9019:ν
8991:∫
8965:ν
8962:∼
8949:−
8926:μ
8923:∼
8871:ν
8865:μ
8836:−
8824:−
8817:◻
8785:−
8778:◻
8726:−
8719:◻
8687:≤
8671:−
8651:−
8566:−
8540:−
8533:◻
8498:◻
8446:≤
8419:≤
8379:−
8341:≤
8332:‖
8325:‖
8293:−
8207:≤
8198:‖
8191:‖
8144:ν
8141:∼
8105:μ
8102:∼
8069:≤
8023:≤
8014:‖
8007:‖
7969:ν
7966:∼
7930:μ
7927:∼
7894:≤
7858:≤
7849:‖
7842:‖
7794:ν
7791:∼
7755:μ
7752:∼
7719:≤
7664:ν
7658:μ
7615:≤
7606:‖
7599:‖
7535:≤
7520:−
7485:−
7449:−
7343:ν
7340:∼
7304:μ
7301:∼
7268:≤
7227:ν
7221:μ
7144:‖
7140:⋅
7137:‖
7097:ν
7094:∼
7081:−
7058:μ
7055:∼
7037:≤
7028:‖
7021:‖
6997:ν
6991:μ
6932:Ω
6876:≤
6708:ν
6688:μ
6623:≤
6569:ν
6566:∼
6530:μ
6527:∼
6437:≤
6382:ν
6373:∑
6345:μ
6336:∑
6281:∞
6269:→
6263:×
6224:≥
6221:γ
6205:ν
6184:γ
6175:∑
6158:μ
6137:γ
6128:∑
6105:γ
6072:∑
6066:γ
5979:ν
5973:μ
5967:ρ
5961:≤
5955:ν
5949:μ
5873:−
5867:→
5832:ν
5829:−
5826:μ
5796:∫
5774:ν
5768:μ
5762:ρ
5697:≤
5685:
5671:→
5636:ν
5633:−
5630:μ
5600:∫
5578:ν
5572:μ
5304:−
5269:∫
5253:μ
5240:μ
5171:−
5136:−
5050:−
5037:−
5020:−
4990:∫
4968:μ
4955:μ
4915:μ
4888:μ
4841:μ
4794:μ
4634:∈
4625:μ
4612:μ
4338:−
4305:
4269:‖
4255:−
4242:‖
4220:μ
4207:μ
4167:μ
4140:μ
4085:×
4072:∈
3997:∈
3855:μ
3789:μ
3728:π
3678:‖
3663:π
3655:−
3642:‖
3622:∑
3600:π
3450:‖
3430:−
3411:‖
3391:∑
3309:…
3243:…
3165:‖
3151:−
3138:‖
3123:μ
3110:μ
2947:δ
2934:μ
2900:δ
2887:μ
2848:−
2818:μ
2805:μ
2765:μ
2738:μ
2694:≥
2633:∈
2552:δ
2434:δ
2421:μ
2387:δ
2374:μ
2290:γ
2263:∫
2255:ν
2249:μ
2243:Γ
2240:∈
2237:γ
2206:Γ
2186:ν
2166:μ
2145:γ
2137:The plan
2105:γ
2078:∫
2039:γ
2018:∬
1998:γ
1945:γ
1874:γ
1814:ν
1794:μ
1770:γ
1733:ν
1672:μ
1613:ν
1583:γ
1580:∫
1525:μ
1495:γ
1492:∫
1448:ν
1428:μ
1353:γ
1333:ν
1313:μ
1248:≥
1208:ν
1188:μ
1168:ν
1148:μ
1119:ν
1070:μ
1042:ν
1022:μ
979:ν
940:γ
931:∫
921:∫
889:μ
850:γ
841:∫
831:∫
807:⊂
784:ν
764:μ
754:marginals
737:×
710:γ
683:ν
677:μ
659:∞
653:→
622:ν
616:μ
608:∞
583:ν
563:μ
553:couplings
536:ν
530:μ
524:Γ
455:γ
452:∼
416:ν
410:μ
404:Γ
401:∈
398:γ
384:ν
378:μ
301:ν
281:μ
235:∞
220:∈
161:origin).
11968:13890235
11575:51477002
11500:51477002
11342:24811198
11256:35312683
11152:85454709
10927:See also
10548:complete
10514:For any
9728:to be a
8998:′
8317:. Since
7633:Thus,
7565:for any
6660:and the
5188:are the
4511:between
2351:Examples
1725:must be
39:distance
11960:1617171
11826:Bibcode
11780:Ḣ
11675:Ḣ
11622:1100384
11379:Bibcode
11333:4014402
11310:Bibcode
11247:9009779
11224:Bibcode
11132:Bibcode
11042:2627082
10910:,
7162:is the
6915:Theorem
6025:: When
5923:, then
5547:support
5544:bounded
5385:of two
2459:be two
355:moments
159:Yiddish
145:English
120:as the
12001:
11966:
11958:
11950:
11932:
11918:Otto F
11905:
11844:
11753:
11701:
11620:
11612:
11573:
11563:
11531:
11498:
11488:
11405:
11397:
11340:
11330:
11254:
11244:
11185:
11150:
11081:
11040:
10766:where
10377:, and
9449:where
7129:where
6917:
6246:where
5741:is an
5467:metric
5463:axioms
5389:; see
5118:where
4448:where
3916:(i.e.
3218:is an
2709:, the
2463:(i.e.
1642:out of
752:whose
516:where
209:. For
149:German
50:metric
34:, the
11964:S2CID
11842:S2CID
11731:arXiv
11645:arXiv
11618:S2CID
11403:S2CID
11369:arXiv
11214:arXiv
11183:S2CID
11148:S2CID
11120:(PDF)
11038:JSTOR
10999:(PDF)
10542:) is
9079:thus
8487:.
8436:equal
7171:Proof
6015:Proof
6007:is a
6003:when
5542:have
5465:of a
4593:trace
3920:) on
1782:be a
1325:into
722:is a
201:be a
52:is a
11999:ISBN
11948:ISSN
11903:ISBN
11751:ISSN
11699:ISSN
11610:ISSN
11571:OCLC
11561:ISBN
11529:ISBN
11496:OCLC
11486:ISBN
11395:ISSN
11365:2023
11338:PMID
11252:PMID
11079:ISSN
10550:if (
10362:<
10356:<
10301:and
10139:and
9108:sign
8851:.
8812:cone
8773:cone
8714:cone
8702:.
8528:cone
6955:>
5730:for
5538:and
5381:the
5379:e.g.
5363:and
5153:and
4906:and
4729:and
4603:Let
4538:and
4158:and
4054:and
4021:and
3979:and
3846:and
3780:Let
3517:and
3268:and
2999:and
2925:and
2756:and
2494:and
2412:and
2365:Let
2178:and
1806:and
1703:into
1200:and
1034:and
776:and
756:are
575:and
293:and
169:Let
11940:doi
11873:doi
11834:doi
11794:doi
11741:doi
11689:doi
11602:doi
11521:doi
11459:doi
11455:136
11387:doi
11328:PMC
11318:doi
11279:doi
11242:PMC
11232:doi
11175:doi
11140:doi
11069:doi
11030:doi
10899:),
10831:of
10680:inf
10633:lim
10533:),
10325:on
10159:on
10009:sup
9934:on
9610:to
9316:min
9250:on
9213:by
8266:inf
8032:sup
8003:sup
7838:sup
7828:sup
7688:sup
7678:sup
7630:.
7477:of
7422:inf
7237:sup
7017:sup
6838:.
6502:sup
6320:max
6062:min
5783:sup
5682:Lip
5587:sup
5412:.
4933:is
4832:of
4785:of
4693:by
4487:of
4185:is
3768:in
3740:of
3596:inf
3497:If
3198:If
3059:on
3026:in
2783:is
2521:in
2233:inf
2010:is
1866:is
1846:to
1549:and
1400:to
646:lim
555:of
394:inf
357:is
313:on
139:in
41:or
30:In
12040::
12023:.
11985:,
11979:,
11962:.
11956:MR
11954:.
11946:.
11938:.
11926:29
11924:.
11869:31
11867:.
11863:.
11840:.
11832:.
11822:67
11820:.
11790:24
11788:.
11784:.
11749:.
11739:.
11727:86
11725:.
11721:.
11697:.
11685:24
11683:.
11679:.
11639:.
11616:.
11608:.
11598:84
11596:.
11592:.
11569:.
11527:,
11494:.
11453:.
11449:.
11423:.
11401:.
11393:.
11385:.
11377:.
11363:.
11359:.
11336:.
11326:.
11316:.
11306:10
11304:.
11300:.
11277:.
11273:.
11250:.
11240:.
11230:.
11222:.
11210:18
11208:.
11204:.
11181:.
11171:35
11169:.
11146:.
11138:.
11128:43
11126:.
11122:.
11100:.
11077:.
11065:48
11063:.
11059:.
11036:.
11024:.
11005:.
11001:.
10554:,
9662:.
9279:,
9221:.
8461:.
8403:.
8222:,
7166:.
6970:,
6676::
6668:.
6482:.
6303::
5780::=
5752::
5745:.
5549:,
3772:.
3338::
595:;
124:.
87:.
12007:.
11970:.
11942::
11911:.
11881:.
11875::
11848:.
11836::
11828::
11802:.
11796::
11776:2
11773:W
11757:.
11743::
11733::
11705:.
11691::
11671:2
11668:W
11653:.
11647::
11624:.
11604::
11577:.
11523::
11502:.
11467:.
11461::
11434:.
11409:.
11389::
11381::
11371::
11344:.
11320::
11312::
11285:.
11281::
11258:.
11234::
11226::
11216::
11189:.
11177::
11154:.
11142::
11134::
11085:.
11071::
11044:.
11032::
11026:6
11007:5
10921:∞
10917:P
10912:d
10908:M
10904:∞
10901:W
10897:M
10895:(
10893:∞
10889:P
10854:)
10851:y
10848:,
10845:x
10842:(
10839:d
10815:)
10812:y
10809:,
10806:x
10803:(
10800:d
10793:p
10790:u
10787:s
10784:s
10781:e
10778:-
10754:,
10751:)
10748:y
10745:,
10742:x
10739:(
10736:d
10729:p
10726:u
10723:s
10720:s
10717:e
10714:-
10705:)
10699:,
10693:(
10676:=
10673:)
10667:,
10661:(
10656:p
10652:W
10643:+
10637:p
10629:=
10626:)
10620:,
10614:(
10605:W
10581:=
10578:p
10564:p
10556:d
10552:M
10539:p
10535:W
10531:M
10529:(
10526:p
10521:P
10516:p
10495:.
10492:)
10486:,
10480:(
10475:2
10471:W
10464:C
10454:)
10448:(
10443:1
10430:H
10385:M
10359:C
10353:0
10333:M
10269:.
10264:)
10258:(
10253:1
10240:H
10215:2
10209:)
10203:,
10197:(
10192:2
10188:W
10167:M
10107:.
10102:}
10097:1
10089:)
10083:(
10078:1
10068:H
10056:f
10047:|
10040:|
10030:,
10027:f
10020:|
10014:{
10006:=
10001:)
9995:(
9990:1
9977:H
9942:M
9899:)
9896:x
9892:d
9888:(
9879:2
9871:)
9868:x
9865:(
9862:f
9851:M
9843:=
9838:2
9833:)
9827:(
9822:1
9812:H
9800:f
9776:R
9769:M
9763:f
9716:M
9690:2
9686:W
9671:2
9668:W
9650:]
9647:1
9644:,
9641:0
9638:[
9618:q
9598:p
9578:q
9575:=
9572:)
9569:1
9566:,
9560:(
9553:,
9550:p
9547:=
9544:)
9541:0
9538:,
9532:(
9525:0
9522:=
9519:)
9514:v
9506:(
9497:+
9459:v
9437:t
9434:d
9428:x
9423:d
9419:)
9416:t
9413:,
9408:x
9403:(
9395:2
9387:)
9384:t
9381:,
9376:x
9371:(
9366:v
9354:n
9349:R
9337:1
9332:0
9321:v
9312:=
9309:)
9306:q
9303:,
9300:p
9297:(
9292:2
9288:W
9265:n
9260:R
9238:q
9235:,
9232:p
9199:2
9195:W
9181:2
9178:W
9161:.
9158:)
9155:)
9152:x
9149:(
9140:F
9133:)
9130:x
9127:(
9118:F
9114:(
9102:K
9099:=
9096:)
9093:x
9090:(
9087:f
9067:,
9064:x
9060:d
9055:)
9052:)
9049:x
9046:(
9037:F
9030:)
9027:x
9024:(
9015:F
9011:(
9008:)
9005:x
9002:(
8995:f
8988:=
8985:]
8982:)
8979:y
8976:(
8973:f
8970:[
8959:y
8954:E
8946:]
8943:)
8940:x
8937:(
8934:f
8931:[
8920:x
8915:E
8892:R
8868:,
8839:f
8833:=
8830:)
8827:f
8821:(
8791:)
8788:f
8782:(
8752:f
8732:)
8729:f
8723:(
8690:1
8682:|
8674:y
8668:x
8663:)
8660:y
8657:(
8654:f
8648:)
8645:x
8642:(
8639:f
8631:|
8609:f
8589:f
8569:g
8546:)
8543:g
8537:(
8524:=
8521:f
8474:R
8449:1
8422:1
8391:)
8388:y
8385:(
8382:f
8376:=
8373:)
8370:y
8367:(
8364:g
8344:1
8336:L
8328:f
8305:)
8302:x
8299:(
8296:f
8290:)
8287:y
8284:,
8281:x
8278:(
8275:d
8270:x
8262:=
8259:)
8256:y
8253:(
8250:g
8230:g
8210:1
8202:L
8194:f
8167:.
8164:]
8161:)
8158:y
8155:(
8152:g
8149:[
8138:y
8133:E
8128:+
8125:]
8122:)
8119:x
8116:(
8113:f
8110:[
8099:x
8094:E
8087:)
8084:y
8081:,
8078:x
8075:(
8072:d
8066:)
8063:y
8060:(
8057:g
8054:+
8051:)
8048:x
8045:(
8042:f
8039:,
8036:g
8026:1
8018:L
8010:f
7999:=
7989:]
7986:)
7983:y
7980:(
7977:g
7974:[
7963:y
7958:E
7953:+
7950:]
7947:)
7944:x
7941:(
7938:f
7935:[
7924:x
7919:E
7912:)
7909:y
7906:,
7903:x
7900:(
7897:d
7891:)
7888:y
7885:(
7882:g
7879:+
7876:)
7873:x
7870:(
7867:f
7864:,
7861:1
7853:L
7845:f
7832:g
7824:=
7814:]
7811:)
7808:y
7805:(
7802:g
7799:[
7788:y
7783:E
7778:+
7775:]
7772:)
7769:x
7766:(
7763:f
7760:[
7749:x
7744:E
7737:)
7734:y
7731:,
7728:x
7725:(
7722:d
7716:)
7713:y
7710:(
7707:g
7704:+
7701:)
7698:x
7695:(
7692:f
7682:g
7674:=
7667:)
7661:,
7655:(
7650:1
7646:W
7618:1
7610:L
7602:f
7579:y
7576:,
7573:x
7553:)
7550:y
7547:,
7544:x
7541:(
7538:d
7532:)
7529:y
7526:(
7523:f
7517:)
7514:x
7511:(
7508:f
7488:g
7461:)
7458:y
7455:(
7452:g
7446:)
7443:y
7440:,
7437:x
7434:(
7431:d
7426:y
7418:=
7415:)
7412:x
7409:(
7406:f
7386:g
7366:.
7363:]
7360:)
7357:y
7354:(
7351:g
7348:[
7337:y
7332:E
7327:+
7324:]
7321:)
7318:x
7315:(
7312:f
7309:[
7298:x
7293:E
7286:)
7283:y
7280:,
7277:x
7274:(
7271:d
7265:)
7262:y
7259:(
7256:g
7253:+
7250:)
7247:x
7244:(
7241:f
7233:=
7230:)
7224:,
7218:(
7213:1
7209:W
7188:1
7185:=
7182:K
7148:L
7117:]
7114:)
7111:y
7108:(
7105:f
7102:[
7091:y
7086:E
7078:]
7075:)
7072:x
7069:(
7066:f
7063:[
7052:x
7047:E
7040:K
7032:L
7024:f
7011:K
7008:1
7003:=
7000:)
6994:,
6988:(
6983:1
6979:W
6958:0
6952:K
6894:)
6891:y
6888:,
6885:x
6882:(
6879:c
6873:)
6870:y
6867:(
6864:g
6861:+
6858:)
6855:x
6852:(
6849:f
6826:y
6806:)
6803:y
6800:(
6797:g
6777:x
6757:)
6754:x
6751:(
6748:f
6728:c
6641:)
6638:y
6635:,
6632:x
6629:(
6626:c
6620:)
6617:y
6614:(
6611:g
6608:+
6605:)
6602:x
6599:(
6596:f
6589:]
6586:)
6583:y
6580:(
6577:g
6574:[
6563:y
6558:E
6553:+
6550:]
6547:)
6544:x
6541:(
6538:f
6535:[
6524:x
6519:E
6512:g
6509:,
6506:f
6495:{
6455:)
6452:y
6449:,
6446:x
6443:(
6440:c
6434:)
6431:y
6428:(
6425:g
6422:+
6419:)
6416:x
6413:(
6410:f
6403:)
6400:y
6397:(
6394:g
6391:)
6388:y
6385:(
6377:y
6369:+
6366:)
6363:x
6360:(
6357:f
6354:)
6351:x
6348:(
6340:x
6330:g
6327:,
6324:f
6313:{
6284:)
6278:,
6275:0
6272:[
6266:M
6260:M
6257::
6254:c
6227:0
6214:)
6211:y
6208:(
6202:=
6199:)
6196:y
6193:,
6190:x
6187:(
6179:x
6167:)
6164:x
6161:(
6155:=
6152:)
6149:y
6146:,
6143:x
6140:(
6132:y
6120:)
6117:y
6114:,
6111:x
6108:(
6102:)
6099:y
6096:,
6093:x
6090:(
6087:c
6082:y
6079:,
6076:x
6055:{
6033:M
6005:M
5985:,
5982:)
5976:,
5970:(
5964:C
5958:)
5952:,
5946:(
5941:1
5937:W
5933:2
5921:C
5917:d
5915:,
5913:M
5909:d
5893:.
5889:}
5885:]
5882:1
5879:,
5876:1
5870:[
5864:M
5861::
5858:f
5849:|
5844:)
5841:x
5838:(
5835:)
5823:(
5819:d
5814:)
5811:x
5808:(
5805:f
5800:M
5787:{
5777:)
5771:,
5765:(
5739:1
5736:W
5732:f
5724:f
5708:,
5704:}
5700:1
5694:)
5691:f
5688:(
5679:,
5675:R
5668:M
5665::
5662:f
5653:|
5648:)
5645:x
5642:(
5639:)
5627:(
5623:d
5618:)
5615:x
5612:(
5609:f
5604:M
5591:{
5584:=
5581:)
5575:,
5569:(
5564:1
5560:W
5540:ν
5536:μ
5528:1
5525:W
5518:1
5515:W
5507:p
5498:p
5494:W
5490:p
5486:M
5482:M
5480:(
5477:p
5472:P
5458:p
5454:W
5375:1
5372:W
5365:Y
5361:X
5340:.
5337:x
5333:d
5327:|
5323:)
5320:x
5317:(
5312:2
5308:F
5301:)
5298:x
5295:(
5290:1
5286:F
5281:|
5274:R
5265:=
5262:)
5257:2
5249:,
5244:1
5236:(
5231:1
5227:W
5206:1
5203:=
5200:p
5174:1
5166:2
5162:F
5139:1
5131:1
5127:F
5106:,
5101:p
5097:/
5093:1
5088:)
5084:q
5080:d
5073:p
5068:|
5064:)
5061:q
5058:(
5053:1
5045:2
5041:F
5034:)
5031:q
5028:(
5023:1
5015:1
5011:F
5006:|
4999:1
4994:0
4985:(
4980:=
4977:)
4972:2
4964:,
4959:1
4951:(
4946:p
4942:W
4919:2
4892:1
4867:p
4845:2
4820:q
4798:1
4773:q
4753:)
4750:x
4747:(
4742:2
4738:F
4717:)
4714:x
4711:(
4706:1
4702:F
4676:R
4655:)
4651:R
4647:(
4642:p
4638:P
4629:2
4621:,
4616:1
4579:2
4576:=
4573:p
4551:2
4547:C
4524:1
4520:C
4495:C
4469:2
4465:/
4461:1
4457:C
4436:.
4431:)
4424:2
4420:/
4416:1
4410:)
4402:2
4398:/
4394:1
4389:2
4385:C
4379:1
4375:C
4369:2
4365:/
4361:1
4356:2
4352:C
4346:(
4341:2
4333:2
4329:C
4325:+
4320:1
4316:C
4310:(
4300:e
4297:c
4294:a
4291:r
4288:t
4283:+
4278:2
4273:2
4263:2
4259:m
4250:1
4246:m
4239:=
4234:2
4230:)
4224:2
4216:,
4211:1
4203:(
4198:2
4194:W
4171:2
4144:1
4117:n
4112:R
4088:n
4082:n
4077:R
4067:2
4063:C
4040:1
4036:C
4007:n
4002:R
3992:2
3988:m
3965:1
3961:m
3935:n
3930:R
3900:)
3895:2
3891:C
3887:,
3882:2
3878:m
3874:(
3869:N
3864:=
3859:2
3834:)
3829:1
3825:C
3821:,
3816:1
3812:m
3808:(
3803:N
3798:=
3793:1
3748:n
3706:,
3701:p
3697:/
3693:1
3688:)
3682:p
3672:)
3669:i
3666:(
3659:Y
3650:i
3646:X
3637:n
3632:1
3629:=
3626:i
3616:n
3613:1
3607:(
3592:=
3589:)
3586:Q
3583:,
3580:P
3577:(
3572:p
3568:W
3545:n
3525:Q
3505:P
3478:.
3473:p
3469:/
3465:1
3460:)
3454:p
3444:)
3441:i
3438:(
3434:Y
3425:)
3422:i
3419:(
3415:X
3406:n
3401:1
3398:=
3395:i
3385:n
3382:1
3376:(
3371:=
3368:)
3365:Q
3362:,
3359:P
3356:(
3351:p
3347:W
3320:n
3316:Y
3312:,
3306:,
3301:1
3297:Y
3276:Q
3254:n
3250:X
3246:,
3240:,
3235:1
3231:X
3206:P
3174:.
3169:2
3159:2
3155:a
3146:1
3142:a
3135:=
3132:)
3127:2
3119:,
3114:1
3106:(
3101:p
3097:W
3074:n
3069:R
3041:n
3036:R
3012:2
3008:a
2985:1
2981:a
2956:2
2952:a
2943:=
2938:2
2909:1
2905:a
2896:=
2891:1
2866:.
2862:|
2856:2
2852:a
2843:1
2839:a
2834:|
2830:=
2827:)
2822:2
2814:,
2809:1
2801:(
2796:p
2792:W
2769:2
2742:1
2717:p
2697:1
2691:p
2670:R
2643:2
2638:R
2630:)
2625:2
2621:a
2617:,
2612:1
2608:a
2604:(
2582:)
2577:2
2573:a
2569:,
2564:1
2560:a
2556:(
2530:R
2507:2
2503:a
2480:1
2476:a
2443:2
2439:a
2430:=
2425:2
2396:1
2392:a
2383:=
2378:1
2333:1
2329:W
2308:.
2305:)
2302:y
2299:,
2296:x
2293:(
2286:d
2281:)
2278:y
2275:,
2272:x
2269:(
2266:c
2258:)
2252:,
2246:(
2229:=
2226:C
2123:.
2120:)
2117:y
2114:,
2111:x
2108:(
2101:d
2096:)
2093:y
2090:,
2087:x
2084:(
2081:c
2075:=
2072:y
2068:d
2063:x
2059:d
2054:)
2051:y
2048:,
2045:x
2042:(
2036:)
2033:y
2030:,
2027:x
2024:(
2021:c
1978:y
1974:d
1969:x
1965:d
1960:)
1957:y
1954:,
1951:x
1948:(
1942:)
1939:y
1936:,
1933:x
1930:(
1927:c
1907:y
1903:d
1898:x
1894:d
1889:)
1886:y
1883:,
1880:x
1877:(
1854:y
1834:x
1750:y
1746:d
1742:)
1739:y
1736:(
1713:y
1689:x
1685:d
1681:)
1678:x
1675:(
1652:x
1625:.
1622:)
1619:y
1616:(
1610:=
1607:x
1603:d
1598:)
1595:y
1592:,
1589:x
1586:(
1560:y
1537:,
1534:)
1531:x
1528:(
1522:=
1519:y
1515:d
1510:)
1507:y
1504:,
1501:x
1498:(
1472:x
1408:y
1388:x
1368:)
1365:y
1362:,
1359:x
1356:(
1293:y
1273:x
1251:0
1245:)
1242:y
1239:,
1236:x
1233:(
1230:c
1128:)
1125:x
1122:(
1099:X
1079:)
1076:x
1073:(
991:.
988:)
985:A
982:(
976:=
973:y
969:d
964:x
960:d
955:)
952:y
949:,
946:x
943:(
935:M
925:A
901:,
898:)
895:A
892:(
886:=
883:x
879:d
874:y
870:d
865:)
862:y
859:,
856:x
853:(
845:M
835:A
810:M
804:A
740:M
734:M
686:)
680:,
674:(
669:p
665:W
656:+
650:p
625:)
619:,
613:(
604:W
539:)
533:,
527:(
504:,
499:p
495:/
491:1
486:)
480:p
476:)
472:y
469:,
466:x
463:(
460:d
449:)
446:y
443:,
440:x
437:(
432:E
426:(
419:)
413:,
407:(
390:=
387:)
381:,
375:(
370:p
366:W
353:-
341:p
321:M
258:p
238:]
232:+
229:,
226:1
223:[
217:p
189:)
186:d
183:,
180:M
177:(
99:M
71:M
46:–
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
