13953:
12090:
13948:{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(\theta _{0}^{\alpha }\right)&={\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i}\right)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du^{\alpha }-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{i}^{\alpha }\right)dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx^{i}\right)\\&=d\left(V^{1}u^{\alpha }\right)-V^{1}u_{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\left(V^{1}x^{i}\right)\\&=d\phi ^{\alpha }-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\rho ^{i}\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{l}^{\alpha }\left\\&=\leftdx^{i}+\leftdu_{i}^{k}+\left({\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\right)\theta ^{k}\end{aligned}}}
18289:
17190:
7208:
18284:{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&={\mathcal {L}}_{V^{2}}(du_{1}-u_{2}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{2}}du_{1}-\left({\mathcal {L}}_{V^{2}}u_{2}\right)dx-u_{2}\left({\mathcal {L}}_{V^{2}}dx\right)\\&=d(V^{2}u_{1})-V^{2}u_{2}dx-u_{2}d(V^{2}x)\\&=d(1+u_{1}u_{1})-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du&=\theta +u_{1}dx\\&=2u_{1}(\theta _{1}+u_{2}dx)-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du_{1}&=\theta _{1}+u_{2}dx\\&=dx+u_{2}\theta +2u_{1}\theta _{1}\end{aligned}}}
15928:
11452:
9489:
6088:
15193:
10943:
9038:
6531:
11955:
15923:{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta )&={\mathcal {L}}_{V^{1}}(du-u_{1}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{1}\right)dx-u_{1}\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx\right)\\&=d\left(V^{1}u\right)-V^{1}u_{1}dx-u_{1}d\left(V^{1}x\right)\\&=dx-\rho (x,u,u_{1})dx+u_{1}du\\&=(1-\rho (x,u,u_{1}))dx+u_{1}du\\&=dx+u_{1}(\theta +u_{1}dx)&&du=\theta +u_{1}dx\\&=dx+u_{1}\theta \end{aligned}}}
17175:
5377:
11447:{\displaystyle {\begin{aligned}\left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u_{1}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u_{2}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)-2x^{2}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)\\&=\left(p^{2}\right)^{2}\cdot 2p^{1}p^{2}-2\cdot p^{2}\cdot p^{1}\left(p^{2}\right)^{2}\\&=2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}-2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}\\&=0\end{aligned}}}
9484:{\displaystyle V_{(x,u,w)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} V^{i}(x,u,w){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+V^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+V_{i}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i}^{\alpha }}}+V_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }}}+\cdots +V_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}}}
7203:{\displaystyle {\begin{aligned}\left(j_{p}^{2}\sigma \right)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{2}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma (x))+{}\\&\qquad \qquad c(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma '(x))+e(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma ''(x))\\&=adx+b\sigma '(x)dx+c\sigma ''(x)dx+e\sigma '''(x)dx\\&=dx\\&=0\end{aligned}}}
11635:
5058:
1381:
15132:
14755:
16884:
6083:{\displaystyle {\begin{aligned}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{1}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma (x))+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma '(x))\\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)dx+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)dx\\&=dx\end{aligned}}}
11950:{\displaystyle V^{1}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\chi _{i}^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}.}
16514:
2058:
4777:
460:
1087:
659:
14926:
18711:
8628:
14482:
8412:
1627:
10735:
1799:
4178:
4340:
17170:{\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}&=V^{1}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\end{aligned}}}
10446:
10932:
16228:
14124:
16309:
5053:{\displaystyle {\begin{aligned}x\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=x(p)=x\\u\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}=\sigma '(x)\end{aligned}}}
3080:
8898:
16755:
6267:
1880:
14255:
267:
1250:
5362:
894:
15127:{\displaystyle {\begin{aligned}V^{1}&=V+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\end{aligned}}}
10548:
6520:
9637:
18520:
14362:
482:
18539:
9026:
7373:
7692:
8472:
16085:
14750:{\displaystyle {\begin{aligned}x(j_{p}^{1}\sigma )&=x(p)=x\\u(j_{p}^{1}\sigma )&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}(j_{p}^{1}\sigma )&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}={\dot {\sigma }}(x)\end{aligned}}}
9969:
16633:
8272:
19170:
1457:
10559:
9825:
8264:
8159:
1638:
4002:
4189:
862:
14911:
8765:
3597:
7965:
2586:
7789:
5230:
12078:
3984:
3752:
10275:
7582:
10746:
7871:
16104:
19970:
14010:
16509:{\displaystyle V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.}
2896:
10040:
2053:{\displaystyle {\begin{cases}u_{I}^{\alpha }:U^{k}\to \mathbf {R} \\u_{I}^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}\end{cases}}}
19040:
18827:
2964:
8783:
4703:
16644:
7459:
455:{\displaystyle {\begin{aligned}|I|&:=\sum _{i=1}^{m}I(i)\\{\frac {\partial ^{|I|}}{\partial x^{I}}}&:=\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)^{I(i)}.\end{aligned}}}
2832:
2759:
14139:
2224:
18346:
17195:
16889:
16649:
16530:
15198:
14931:
14487:
12095:
10948:
6536:
5382:
4782:
1643:
1462:
272:
3194:
3268:
1868:
19417:
15185:
10264:
4638:
1120:
1082:{\displaystyle {\begin{cases}\pi _{r}:J^{r}(\pi )\to M\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto p\end{cases}},\qquad {\begin{cases}\pi _{r,0}:J^{r}(\pi )\to E\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto \sigma (p)\end{cases}}}
11612:
5247:
16873:
6149:
654:{\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\eta ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p},\quad 0\leq |I|\leq r.}
19813:
10457:
6278:
3798:
9500:
18706:{\displaystyle V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+3u_{1}u_{2}{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.}
18354:
14266:
2293:
19700:
19537:
19457:
19338:
19262:
19222:
18932:
18875:
2459:
2356:
8917:
4553:
14413:
11996:
7593:
249:
11496:
10123:
8007:
19618:
19570:
19375:
19298:
8623:{\displaystyle V_{(x,u)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,}
4588:
16297:
19756:
14835:
9692:
2642:
3910:
15939:
3644:
717:
9840:
8446:
2683:
19886:
19858:
3480:
3436:
3412:
3372:
16525:
8407:{\displaystyle V\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.\,}
7235:
3512:
3114:
2956:
2926:
20217:
Krasil'shchik, I. S., Vinogradov, A. M., , "Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999,
4445:
3866:
3691:
2140:
1622:{\displaystyle {\begin{aligned}U^{r}&=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma (p)\in U\right\}\\u^{r}&=\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right)\end{aligned}}}
13999:
10730:{\displaystyle {\begin{cases}\sigma :\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {R} \\\sigma (p_{1},p_{2})=\left(p^{1},p^{2},p^{1}(p^{2})^{2}\right)\end{cases}}}
2396:
19045:
104:
Since the early 1980s, jet bundles have appeared as a concise way to describe phenomena associated with the derivatives of maps, particularly those associated with the
3328:
9719:
3135:
1794:{\displaystyle {\begin{aligned}x^{i}\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=x^{i}(p)\\u^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=u^{\alpha }(\sigma (p))\end{aligned}}}
8179:
4173:{\displaystyle j_{p}^{1}\sigma =\left\{\psi :\psi \in \Gamma _{p}(\pi );{\bar {\psi }}(p)={\bar {\sigma }}(p);d{\bar {\psi }}_{p}=d{\bar {\sigma }}_{p}\right\}.\,}
8057:
4335:{\displaystyle {\begin{cases}J^{1}(\pi )\to T^{*}M\times \mathbf {R} \\j_{p}^{1}\sigma \mapsto \left(d{\bar {\sigma }}_{p},{\bar {\sigma }}(p)\right)\end{cases}}}
3664:
3348:
3288:
764:
14854:
8674:
3524:
7879:
2486:
20117:
7710:
21088:
18950:
16791:-th prolongation of a vector field by recursively applying the Lie derivative of the contact forms with respect to the prolonged vector fields,
5087:
20279:
12001:
3915:
10441:{\displaystyle S=\left\{j_{p}^{1}\sigma \in J^{1}\pi \ :\ \left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)=0\right\}}
10927:{\displaystyle j^{1}\sigma \left(p_{1},p_{2}\right)=\left(p^{1},p^{2},p^{1}\left(p^{2}\right)^{2},\left(p^{2}\right)^{2},2p^{1}p^{2}\right)}
3703:
21083:
16223:{\displaystyle V^{1}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}.}
7490:
14119:{\displaystyle {\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}=0}
7797:
20370:
20394:
19901:
20589:
4727:
the Cartan distribution becomes involutive and finite-dimensional: its dimension coincides with the dimension of the base manifold
20069:). However, this restriction does not simplify the theory, as the global triviality of π does not imply the global triviality of π
3075:{\displaystyle \left(\sigma ^{\alpha },{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right)\qquad 1\leq |I|\leq r.\,}
2840:
8893:{\displaystyle V=\rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}}
16750:{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta )&=0\\{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&=0\end{aligned}}}
9984:
18956:
18945:
appears to be an infinite-dimensional geometric object. In fact, the simplest way of introducing a differentiable structure on
18743:
4715:
The Cartan distribution is the main geometrical structure on jet spaces and plays an important role in the geometric theory of
4646:
20459:
20131:
14250:{\displaystyle \chi _{i}^{\alpha }={\widehat {D}}_{i}\phi ^{\alpha }-u_{l}^{\alpha }\left({\widehat {D}}_{i}\rho ^{l}\right)}
7406:
20685:
4723:. The dimension of the Cartan distribution grows with the order of the jet space. However, on the space of infinite jets
4720:
4482:. The Cartan distribution is spanned by all tangent planes to graphs of holonomic sections; that is, sections of the form
4468:
2767:
2706:
2146:
20738:
20266:
18297:
1245:{\displaystyle {\begin{cases}\pi _{r,k}:J^{r}(\pi )\to J^{k}(\pi )\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto j_{p}^{k}\sigma \end{cases}}}
19340:'s. It will be a commutative algebra, which can be assumed to be the smooth functions algebra over the geometric object
3148:
21022:
5357:{\displaystyle j^{1}\sigma =(u,u_{1})=\left(\sigma (p),\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}\right).}
1807:
19383:
15140:
10190:
6262:{\displaystyle u_{2}(j_{p}^{2}\sigma )=\left.{\frac {\partial ^{2}\sigma }{\partial x^{2}}}\right|_{p}=\sigma ''(x)\,}
4597:
3207:
20236:
20222:
20212:
20201:
20193:
11570:
10543:{\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial x^{1}}}{\frac {\partial \sigma }{\partial x^{2}}}-2x^{2}\sigma =0.}
6515:{\displaystyle \theta =a(x,u,u_{1},u_{2})dx+b(x,u,u_{1},u_{2})du+c(x,u,u_{1},u_{2})du_{1}+e(x,u,u_{1},u_{2})du_{2}\,}
9632:{\displaystyle \left(x,u,w,v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\cdots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }\right),}
20787:
19765:
is given by φ = 0, a formal solution can be understood as the set of Taylor coefficients of a section σ in a point
18515:{\displaystyle 3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})=0\quad \Leftrightarrow \quad \phi (x,u,u_{1},u_{2})=3u_{1}u_{2}.}
16801:
14377:
Thus, the contact conditions uniquely prescribe the prolongation of any point or contact vector field. That is, if
14357:{\displaystyle {\widehat {D}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+u_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial u^{k}}}}
4591:
109:
19776:
3760:
21136:
20770:
20379:
9021:{\displaystyle (x,u,w)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha },w_{i}^{\alpha }\right)\,}
2231:
21131:
7687:{\displaystyle u_{k}\left(j^{k}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{k}\sigma }{\partial x^{k}}}\right|_{p}.}
62:
19664:
19502:
19422:
19303:
19227:
19175:
18896:
18839:
2403:
2300:
20982:
20389:
14436:
These results are best understood when applied to a particular example. Hence, let us examine the following.
10059:
4716:
4512:
19984:
This article has defined jets of local sections of a bundle, but it is possible to define jets of functions
14380:
11963:
171:
20967:
20690:
20464:
11460:
10087:
7980:
19590:
19542:
19347:
19270:
4558:
21012:
20175:
Ehresmann, C., "Introduction à la théorie des structures infinitésimales et des pseudo-groupes de Lie."
16244:
16080:{\displaystyle 1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})=0\quad \Leftrightarrow \quad \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}.}
19720:
14792:
14129:
The former requirements provide explicit formulae for the coefficients of the first derivative terms in
9964:{\displaystyle {\begin{cases}\Psi :J^{r}(\pi )\to TJ^{r}(\pi )\\(x,u,w)\mapsto \Psi (u,w)=V\end{cases}}}
9645:
2602:
21017:
20987:
20695:
20651:
20632:
20399:
20343:
19377:, being born as a direct limit, carries an additional structure: it is a filtered commutative algebra.
3879:
17:
16628:{\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=du-u_{1}dx\\\theta _{1}&=du_{1}-u_{2}dx\end{aligned}}}
7368:{\displaystyle \theta =b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{0}+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{1},}
687:
20554:
20419:
8424:
3602:
2647:
19867:
19839:
10568:
9849:
8683:
4198:
3449:
3417:
3381:
3353:
1889:
1129:
988:
903:
20939:
20804:
20496:
20338:
15137:
If we now take the Lie derivative of the contact form with respect to this prolonged vector field,
1374:
19165:{\displaystyle \pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)}
3485:
3089:
2931:
2901:
20636:
20606:
20530:
20520:
20476:
20306:
20259:
4414:
3835:
3669:
2109:
13969:
9820:{\displaystyle v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\ldots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}
2363:
21141:
20977:
20596:
20491:
20404:
20311:
105:
8259:{\displaystyle (x,u)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,}
3297:
20626:
20621:
20097:
3515:
3120:
39:
24:
8154:{\displaystyle \psi ^{*}(\theta |_{W})=0,\forall \theta \in \Lambda _{C}^{1}\pi _{r+1,r}.\,}
1368:
20957:
20895:
20743:
20447:
20437:
20409:
20384:
20294:
3291:
669:
8:
21095:
20777:
20655:
20640:
20569:
20328:
19496:
12081:
3439:
857:{\displaystyle J^{r}(\pi )=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma \in \Gamma (p)\right\}.}
86:
21068:
21037:
20992:
20889:
20760:
20564:
20252:
19973:
7481:
4719:. The Cartan distributions are completely non-integrable. In particular, they are not
3649:
3443:
3333:
3273:
2084:
113:
20574:
20972:
20952:
20947:
20854:
20765:
20579:
20559:
20414:
20353:
20232:
20218:
20208:
20197:
20189:
20179:
Colloq. Inter. du Centre Nat. de la
Recherche Scientifique, Strasbourg, 1953, 97-127.
20127:
20092:
20087:
1388:
1317:
677:
125:
78:
58:
51:
47:
19620:
which is now closed under the operation of taking total derivative. The submanifold
43:
21110:
20904:
20859:
20782:
20753:
20611:
20544:
20539:
20534:
20524:
20316:
20299:
19580:
14906:{\displaystyle V=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}}
1412:
261:-tuple of non-negative integers, not necessarily in ascending order), then define:
98:
81:
conditions on newly introduced formal variables. Jet bundles are sometimes called
20207:
Saunders, D. J., "The
Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989,
8760:{\displaystyle {\begin{cases}\psi :E\to TE\\(x,u)\mapsto \psi (x,u)=V\end{cases}}}
21053:
20962:
20792:
20748:
20514:
20148:
20121:
10064:
3592:{\displaystyle {\Delta _{n}}^{*}\left({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{n+1}\right)}
32:
20149:"A beginner's guide to jet bundles from the point of view of algebraic geometry"
7960:{\displaystyle \theta _{I}^{\alpha }=du_{I}^{\alpha }-u_{I,i}^{\alpha }dx^{i}\,}
20919:
20844:
20814:
20712:
20705:
20645:
20616:
20486:
20481:
20442:
20228:
11565:
8660:
4472:
3829:
3809:
3519:
2581:{\displaystyle J^{r}\left(\pi |_{\pi ^{-1}(W)}\right)\cong \pi _{r}^{-1}(W).\,}
94:
4349:. Writing it out in coordinates shows that it is a diffeomorphism, because if
66:
21125:
21105:
20929:
20924:
20909:
20899:
20849:
20826:
20700:
20660:
20601:
20549:
20348:
19770:
18737:
7784:{\displaystyle \theta =\sum _{|I|=0}^{r}P_{\alpha }^{I}\theta _{I}^{\alpha }}
108:. Consequently, the jet bundle is now recognized as the correct domain for a
20231:, "Equivalence, Invariants and Symmetry", Cambridge University Press, 1995,
11541:
if it preserves the contact ideal, meaning that if θ is any contact form on
7697:
Similar arguments lead to a complete characterization of all contact forms.
7399:
is the next basic contact form (Note that here we are identifying the form θ
21032:
21027:
20869:
20836:
20809:
20717:
20358:
19265:
8169:
4498:
3697:
151:
90:
35:
11564:
forms a one-parameter group of contact transformations if and only if the
5225:{\displaystyle \theta =a(x,u,u_{1})dx+b(x,u,u_{1})du+c(x,u,u_{1})du_{1}\,}
20875:
20864:
20821:
20722:
20323:
17180:
Therefore, the Lie derivative of the second contact form with respect to
12073:{\displaystyle \theta _{0}^{\alpha }=du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i},}
3375:
254:
11617:
Let us begin with the first order case. Consider a general vector field
3979:{\displaystyle {\bar {\sigma }}=pr_{2}\circ \sigma \in C^{\infty }(M)\,}
21100:
21058:
20797:
20429:
20333:
20244:
13962:
determines a contact transformation if and only if the coefficients of
3800:. Observe that by the direct limit construction it is a filtered ring.
1380:
1371:
74:
16771:
dependency. Hence, from this equation we will pick up the formula for
8017:. Contact forms provide a characterization of those local sections of
3747:{\displaystyle {\mathcal {I}}^{n+1}\hookrightarrow {\mathcal {I}}^{n}}
162:, let Γ(p) denote the set of all local sections whose domain contains
20914:
20879:
20584:
20471:
20184:
20082:
16779:. Therefore, the problem is analogous to prolonging the vector field
10067:
4346:
10136:
Consider an example of a first order partial differential equation.
7577:{\displaystyle \theta _{k}=du_{k}-u_{k+1}dx\qquad k=0,\ldots ,r-1\,}
21078:
21073:
21063:
20454:
20275:
19896:
4494:
139:
7866:{\displaystyle P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })}
38:
out of a given smooth fiber bundle. It makes it possible to write
3145:
An independently motivated construction of the sheaf of sections
19459:, so it is a smooth function on the finite-dimensional manifold
3700:
of the sequence of injections given by the canonical inclusions
20670:
19965:{\displaystyle (E_{(\infty )},{\mathcal {C}}|_{E_{(\infty )}})}
18877:
is the equivalence class of sections of π that have the same
18720:
can be recovered by omitting the second derivative terms in
16775:, which will necessarily be the same result as we found for
14367:
denotes the zeroth order truncation of the total derivative
4371:
is the identity coordinate, then the derivative coordinates
2891:{\displaystyle \pi _{r}\circ j^{r}\sigma =\mathbb {id} _{W}}
14687:
10723:
9957:
8753:
7635:
6192:
5314:
4994:
4328:
2046:
1980:
1238:
1075:
975:
556:
488:
19709:
can be easily seen to be represented by a section σ whose
12084:
of the functions in terms of their coordinates to obtain:
10035:{\displaystyle \Psi \in \Gamma (T\left(J^{r}\pi \right)).}
8455:, meaning that all the horizontal coefficients vanish, if
6116:
must necessarily be a multiple of the basic contact form θ
19583:
applied to all its elements. This way we get a new ideal
19035:{\displaystyle \pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )}
18822:{\displaystyle \pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )}
15933:
Hence, for preservation of the contact ideal, we require
14001:
in the formula vanish. The latter requirements imply the
10937:
and is a solution of this differential equation, because
4493:
The annihilator of the Cartan distribution is a space of
18949:, not relying on differentiable charts, is given by the
14468:
defines the first jet bundle, and may be coordinated by
8421:, meaning that all the vertical coefficients vanish, if
4763:
defines the first jet bundle, and may be coordinated by
4698:{\displaystyle \left(j^{r+1}\sigma \right)^{*}\theta =0}
4411:), then there exists a canonical diffeomorphism between
465:
Define the local sections σ, η ∈ Γ(p) to have the same
7454:{\displaystyle \left(\pi _{2,1}\right)^{*}\theta _{0}}
3605:
3210:
19904:
19870:
19842:
19779:
19723:
19667:
19593:
19545:
19505:
19425:
19386:
19350:
19306:
19273:
19230:
19178:
19048:
18959:
18899:
18842:
18746:
18542:
18357:
18300:
17193:
16887:
16804:
16647:
16528:
16312:
16247:
16107:
15942:
15196:
15143:
14929:
14916:
Then, the first prolongation of this vector field to
14857:
14795:
14485:
14383:
14269:
14142:
14013:
13972:
12093:
12004:
11966:
11638:
11573:
11463:
10946:
10749:
10562:
10460:
10278:
10193:
10090:
9987:
9843:
9722:
9648:
9503:
9041:
8920:
8786:
8677:
8475:
8427:
8275:
8182:
8060:
7983:
7882:
7800:
7713:
7596:
7493:
7409:
7238:
6534:
6281:
6152:
5380:
5250:
5090:
4780:
4649:
4600:
4561:
4515:
4417:
4192:
4005:
3918:
3882:
3838:
3763:
3706:
3672:
3652:
3527:
3488:
3452:
3420:
3384:
3356:
3336:
3300:
3276:
3151:
3123:
3092:
2967:
2934:
2904:
2843:
2827:{\displaystyle (j^{r}\sigma )(p)=j_{p}^{r}\sigma .\,}
2770:
2754:{\displaystyle j^{r}\sigma :W\rightarrow J^{r}(\pi )}
2709:
2650:
2605:
2489:
2406:
2366:
2303:
2234:
2149:
2112:
1883:
1810:
1641:
1460:
1123:
897:
767:
690:
485:
270:
174:
2219:{\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r,k},J^{k}(\pi ))}
50:
may also be seen as the coordinate free versions of
16:"Jet space" redirects here. Not to be confused with
18341:{\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})}
11614:of any contact form θ preserves the contact ideal.
6093:This will vanish for all sections σ if and only if
4594:along every prolongation is zero. In other words,
19964:
19880:
19852:
19807:
19750:
19694:
19612:
19564:
19531:
19451:
19411:
19369:
19332:
19292:
19256:
19216:
19164:
19034:
18926:
18869:
18821:
18705:
18514:
18340:
18283:
17169:
16867:
16749:
16627:
16508:
16291:
16222:
16079:
15922:
15179:
15126:
14905:
14829:
14749:
14407:
14356:
14249:
14118:
13993:
13947:
12072:
11990:
11949:
11606:
11490:
11446:
10926:
10729:
10542:
10440:
10258:
10117:
10034:
9963:
9819:
9686:
9631:
9483:
9020:
8892:
8759:
8622:
8440:
8406:
8258:
8153:
8001:
7959:
7865:
7783:
7686:
7576:
7453:
7367:
7202:
6514:
6261:
6082:
5356:
5224:
5052:
4697:
4632:
4582:
4547:
4439:
4334:
4172:
3978:
3904:
3876:. To construct this diffeomorphism, for each σ in
3860:
3792:
3746:
3685:
3658:
3638:
3591:
3506:
3474:
3430:
3406:
3366:
3342:
3322:
3282:
3262:
3189:{\displaystyle \Gamma J^{k}\left(\pi _{TM}\right)}
3188:
3129:
3108:
3074:
2950:
2920:
2890:
2826:
2753:
2677:
2636:
2580:
2453:
2390:
2350:
2287:
2218:
2134:
2052:
1862:
1793:
1621:
1244:
1081:
856:
711:
653:
454:
243:
89:usually refer more specifically to the associated
16233:Let us also calculate the second prolongation of
10044:
3263:{\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}
1863:{\displaystyle n\left({\binom {m+r}{r}}-1\right)}
1843:
1822:
21123:
20004:then just corresponds to the jet of the section
19412:{\displaystyle \varphi \in {\mathcal {F}}(\pi )}
15180:{\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta ),}
10259:{\displaystyle F=u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}}
7700:In local coordinates, every contact one-form on
7229:. Therefore, θ is a contact form if and only if
4633:{\displaystyle \theta \in \Lambda ^{1}J^{r}\pi }
3140:
2359:all define fibered manifolds. In particular, if
18951:differential calculus over commutative algebras
11607:{\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}(\theta )}
93:induced on the corresponding bundle (e.g., the
20260:
16868:{\displaystyle \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}}
4590:. A one form is a contact form provided its
4555:and the space of contact forms is denoted by
4505:(π). The space of differential one-forms on
20185:Natural operations in differential geometry.
19822:Most importantly, the closure properties of
19808:{\displaystyle \varphi \circ j^{k}(\sigma )}
19466:
16286:
16248:
11537:) defines a contact transformation of order
3793:{\displaystyle {\mathcal {J}}^{\infty }(TM)}
2928:really is a section. In local coordinates,
116:formulations of fields using this approach.
57:Historically, jet bundles are attributed to
20188:Springer-Verlag: Berlin Heidelberg, 1993.
20123:Introduction to Global Variational Geometry
19579:by adding all the possible compositions of
19042:of manifolds is the sequence of injections
16303:. Hence, the prolonged vector has the form
31:is a certain construction that makes a new
20267:
20253:
18941:Just by thinking in terms of coordinates,
18348:to preserve the contact ideal, we require
16638:To preserve the contact ideal, we require
8024:which are prolongations of sections of π.
2688:Let σ be a local section of π with domain
2288:{\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r,0},E)}
2075:, the corresponding collection of charts (
19758:with arbitrarily high order of tangency.
16787:(π). That is to say, we may generate the
9017:
8619:
8403:
8255:
8150:
7956:
7573:
6511:
6258:
5221:
4169:
3975:
3071:
2878:
2875:
2823:
2633:
2577:
664:The relation that two maps have the same
20274:
19695:{\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}
19532:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}
19452:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}
19333:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}
19257:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}
19217:{\displaystyle C^{\infty }(J^{k}(\pi ))}
18927:{\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}
18870:{\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}
10269:gives rise to the differential equation
2454:{\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)}
2351:{\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)}
46:of a fiber bundle in an invariant form.
7704:can be written as a linear combination
4548:{\displaystyle \Lambda ^{1}J^{r}(\pi )}
1255:From this definition, it is clear that
21124:
20116:
19172:of commutative algebras. Let's denote
18953:. Dual to the sequence of projections
18731:
14408:{\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}}
11991:{\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}}
6525:This is a contact form if and only if
6272:a general 1-form has the construction
4395:Likewise, if π is the trivial bundle (
684:-jet with representative σ is denoted
244:{\displaystyle I=(I(1),I(2),...,I(m))}
20248:
20146:
19380:Roughly speaking, a concrete element
11556:The flow generated by a vector field
11491:{\displaystyle j_{p}^{1}\sigma \in S}
10118:{\displaystyle j_{p}^{r}\sigma \in S}
10078:. A solution is a local section σ ∈ Γ
8002:{\displaystyle \theta _{i}^{\alpha }}
6132:. Proceeding to the second jet space
1395:will generate a coordinate system on
61:, and were an advance on the method (
19613:{\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}
19565:{\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}
19370:{\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}
19293:{\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}
18716:Note that the first prolongation of
4583:{\displaystyle \Lambda _{C}^{r}\pi }
4458:
20182:Kolář, I., Michor, P., Slovák, J.,
16292:{\displaystyle \{x,u,u_{1},u_{2}\}}
11512:
4708:for all local sections σ of π over
13:
20169:
19949:
19929:
19916:
19873:
19845:
19751:{\displaystyle j_{p}^{k}(\sigma )}
19678:
19596:
19548:
19509:
19429:
19395:
19353:
19310:
19276:
19234:
19184:
19122:
19084:
18910:
18853:
18684:
18680:
18636:
18632:
18586:
18582:
18565:
18561:
18525:And so the second prolongation of
18304:
17416:
17356:
17314:
17245:
17201:
17147:
17143:
17078:
17074:
17028:
17024:
17007:
17003:
16972:
16968:
16699:
16655:
16487:
16483:
16418:
16414:
16356:
16352:
16335:
16331:
16201:
16197:
16151:
16147:
16130:
16126:
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15338:
15303:
15241:
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15147:
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15100:
15055:
15051:
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15030:
15000:
14996:
14979:
14975:
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14890:
14873:
14869:
14830:{\displaystyle \theta =du-u_{1}dx}
14700:
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13509:
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12640:
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11665:
11662:
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10491:
10472:
10464:
9994:
9988:
9930:
9852:
9687:{\displaystyle T_{xuw}(J^{r}\pi )}
9440:
9436:
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3767:
3733:
3710:
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3567:
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3531:
3454:
3423:
3386:
3359:
3212:
3152:
3021:
2990:
2637:{\displaystyle \pi _{r}^{-1}(p)\,}
2063:Given an atlas of adapted charts (
2017:
1986:
1826:
1379:
834:
593:
562:
525:
494:
410:
406:
355:
335:
110:geometrical covariant field theory
14:
21153:
16090:And so the first prolongation of
4640:is a contact form if and only if
3905:{\displaystyle \Gamma _{M}(\pi )}
19974:Vinogradov (C-spectral) sequence
19835:infinite-order contact structure
19539:, and hence in the direct limit
10740:has first prolongation given by
10608:
10594:
10579:
8163:
4240:
3639:{\textstyle \prod _{i=1}^{n+1}M}
2142:defines a manifold, the triples
1924:
746:
712:{\displaystyle j_{p}^{r}\sigma }
20147:Vakil, Ravi (August 25, 1998).
19972:, and can study the associated
18740:of the sequence of projections
18438:
18434:
16013:
16009:
8637:, with an element in the fiber
8441:{\displaystyle \phi ^{\alpha }}
7545:
6793:
6792:
4471:, that is, a sub-bundle of the
4382:correspond to the coordinates ∂
4345:is well-defined and is clearly
3042:
2678:{\displaystyle J_{p}^{r}(\pi )}
2399:is a fiber bundle, the triple
1309:. It is conventional to regard
982:
622:
20307:Differentiable/Smooth manifold
20140:
20110:
19959:
19952:
19946:
19936:
19919:
19913:
19905:
19881:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
19853:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
19802:
19796:
19745:
19739:
19689:
19683:
19607:
19601:
19559:
19553:
19526:
19520:
19446:
19440:
19406:
19400:
19364:
19358:
19327:
19321:
19287:
19281:
19251:
19245:
19211:
19208:
19202:
19189:
19154:
19148:
19114:
19111:
19108:
19102:
19089:
19029:
19023:
19010:
19007:
19001:
18921:
18915:
18864:
18858:
18816:
18810:
18797:
18794:
18788:
18627:
18598:
18480:
18442:
18435:
18425:
18387:
18335:
18322:
18226:
18223:
18185:
18153:
18089:
18064:
18042:
18004:
17995:
17963:
17900:
17875:
17853:
17815:
17745:
17707:
17637:
17599:
17590:
17561:
17545:
17529:
17481:
17458:
17298:
17263:
17232:
17219:
17138:
17100:
17069:
17040:
16963:
16925:
16833:
16808:
16730:
16717:
16679:
16673:
16478:
16440:
16409:
16371:
16192:
16163:
16042:
16017:
16010:
16000:
15975:
15891:
15888:
15863:
15828:
15781:
15756:
15734:
15731:
15706:
15694:
15656:
15653:
15628:
15616:
15578:
15553:
15287:
15259:
15228:
15222:
15171:
15165:
15095:
15070:
14740:
14734:
14675:
14654:
14637:
14631:
14622:
14619:
14613:
14607:
14598:
14595:
14589:
14583:
14570:
14549:
14533:
14527:
14514:
14493:
11601:
11595:
10706:
10692:
10645:
10619:
10589:
10045:Partial differential equations
10026:
9997:
9945:
9933:
9927:
9924:
9906:
9899:
9893:
9877:
9874:
9868:
9681:
9665:
9431:
9413:
9322:
9304:
9239:
9221:
9178:
9160:
9122:
9104:
9065:
9047:
8939:
8921:
8865:
8853:
8815:
8803:
8741:
8729:
8723:
8720:
8708:
8695:
8594:
8582:
8544:
8532:
8493:
8481:
8375:
8363:
8325:
8313:
8195:
8183:
8089:
8079:
8071:
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7816:
7734:
7726:
7349:
7346:
7340:
7326:
7320:
7308:
7289:
7286:
7280:
7266:
7260:
7248:
7174:
7171:
7165:
7148:
7142:
7125:
7119:
7099:
7080:
7074:
7051:
7045:
7022:
7016:
6980:
6977:
6971:
6960:
6954:
6951:
6945:
6931:
6925:
6911:
6905:
6893:
6884:
6881:
6875:
6864:
6858:
6855:
6849:
6835:
6829:
6815:
6809:
6797:
6779:
6776:
6770:
6764:
6758:
6755:
6749:
6735:
6729:
6715:
6709:
6697:
6682:
6679:
6673:
6659:
6653:
6639:
6633:
6621:
6495:
6457:
6435:
6397:
6382:
6344:
6329:
6291:
6255:
6249:
6184:
6163:
6067:
6064:
6058:
6047:
6044:
6038:
6024:
6018:
6006:
5997:
5991:
5980:
5977:
5971:
5957:
5951:
5939:
5930:
5927:
5921:
5907:
5901:
5889:
5883:
5864:
5858:
5847:
5844:
5838:
5824:
5818:
5806:
5791:
5785:
5774:
5771:
5765:
5751:
5745:
5733:
5718:
5715:
5709:
5695:
5689:
5677:
5661:
5658:
5652:
5641:
5635:
5632:
5626:
5612:
5606:
5594:
5585:
5582:
5576:
5570:
5564:
5561:
5555:
5541:
5535:
5523:
5508:
5505:
5499:
5485:
5479:
5467:
5306:
5300:
5286:
5267:
5205:
5180:
5165:
5140:
5125:
5100:
5043:
5037:
4940:
4934:
4925:
4922:
4916:
4910:
4901:
4898:
4892:
4886:
4832:
4826:
4717:partial differential equations
4542:
4536:
4434:
4428:
4317:
4311:
4305:
4284:
4266:
4220:
4217:
4211:
4149:
4124:
4108:
4102:
4096:
4084:
4078:
4072:
4060:
4054:
3972:
3966:
3925:
3899:
3893:
3855:
3849:
3787:
3778:
3754:of sheaves, gives rise to the
3727:
3475:{\displaystyle \Delta _{n}(M)}
3469:
3463:
3431:{\displaystyle {\mathcal {I}}}
3407:{\displaystyle \Delta _{n}(M)}
3401:
3395:
3367:{\displaystyle {\mathcal {I}}}
3317:
3311:
3227:
3058:
3050:
3003:
2995:
2796:
2790:
2787:
2771:
2748:
2742:
2729:
2672:
2666:
2630:
2624:
2571:
2565:
2534:
2528:
2510:
2448:
2426:
2420:
2407:
2385:
2367:
2345:
2323:
2317:
2304:
2282:
2254:
2248:
2235:
2213:
2210:
2204:
2169:
2163:
2150:
2129:
2123:
2101:
1999:
1991:
1920:
1784:
1781:
1775:
1769:
1707:
1701:
1529:
1523:
1214:
1189:
1183:
1170:
1167:
1161:
1069:
1063:
1057:
1029:
1026:
1020:
966:
938:
935:
929:
843:
837:
784:
778:
638:
630:
575:
567:
507:
499:
440:
434:
348:
340:
325:
319:
284:
276:
238:
235:
229:
208:
202:
193:
187:
181:
1:
20103:
10144:Let π be the trivial bundle (
10060:partial differential equation
9830:are real-valued functions on
9642:with an element in the fiber
8009:. Note that contact forms on
3832:between the first jet bundle
3828:), then there is a canonical
3141:Algebro-geometric perspective
2480:is an open submanifold, then
886:source and target projections
680:under this relation, and the
14439:
10139:
4734:
3507:{\displaystyle 0<n\leq k}
3270:, where the smooth manifold
3109:{\displaystyle j^{0}\sigma }
2951:{\displaystyle j^{r}\sigma }
2921:{\displaystyle j^{r}\sigma }
7:
21013:Classification of manifolds
20076:
19713:-jet's graph is tangent to
19419:will always belong to some
18724:, or by projecting back to
14415:satisfies these equations,
11998:to the basic contact forms
10160:) with global coordinates (
7873:of the basic contact forms
7484:of the basic contact forms
6136:with additional coordinate
5241:(π) has first prolongation
4440:{\displaystyle J^{1}(\pi )}
3861:{\displaystyle J^{1}(\pi )}
3686:{\displaystyle \Delta _{n}}
2135:{\displaystyle J^{r}(\pi )}
10:
21158:
20000:are manifolds; the jet of
18889:. The natural projection π
13994:{\displaystyle du_{i}^{k}}
4183:Consequently, the mapping
3803:
2391:{\displaystyle (E,\pi ,M)}
1433:induced coordinate chart (
867:We may define projections
123:
15:
21089:over commutative algebras
21046:
21005:
20938:
20835:
20731:
20678:
20669:
20505:
20428:
20367:
20287:
20177:Geometrie Differentielle,
20053:) of the trivial bundle (
19979:
19864:, so that by restricting
19475:-th order system of PDEs
19467:Infinitely prolonged PDEs
8451:A vector field is called
8417:A vector field is called
7794:with smooth coefficients
5077:(π). A general 1-form on
2701:-th jet prolongation of σ
112:and much work is done in
20805:Riemann curvature tensor
19463:(π) in the usual sense.
18885:as σ for all values of
11553:is also a contact form.
3693:is the sheaf of k-jets.
3323:{\displaystyle C^{k}(U)}
3204:Consider a diagonal map
2106:Since the atlas on each
11517:A local diffeomorphism
3130:{\displaystyle \sigma }
1870:functions known as the
119:
21137:Differential equations
20597:Manifold with boundary
20312:Differential structure
20048:graph of the function
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