Jacobi elliptic functions

28745: 3134: 27982: 25063: 28740:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {sn} (z)&={\frac {\operatorname {dn} (z)\operatorname {cn} (z)((1-m)z-{\mathcal {E}}(z)+m\operatorname {cd} (z)\operatorname {sn} (z))}{2m(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {cn} (z)&={\frac {\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z)((m-1)z+{\mathcal {E}}(z)-m\operatorname {sn} (z)\operatorname {cd} (z))}{2m(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {dn} (z)&={\frac {\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z)((m-1)z+{\mathcal {E}}(z)-\operatorname {dn} (z)\operatorname {sc} (z))}{2(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}{\mathcal {E}}(z)&={\frac {\operatorname {cn} (z)(\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z)-\operatorname {cn} (z){\mathcal {E}}(z))}{2(1-m)}}-{\frac {z}{2}}\operatorname {sn} (z)^{2}.\end{aligned}}} 10960: 24477: 10337: 25058:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} (x+y)&={\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\\operatorname {sn} (x+y)&={\operatorname {sn} (x)\operatorname {cn} (y)\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {dn} (x) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\\operatorname {dn} (x+y)&={\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y)-m\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.\end{aligned}}} 34369: 17483: 10955:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {zn} (u,m)&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{4}'(\zeta |\tau )}{\theta _{4}(\zeta |\tau )}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{3}'(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\zeta |\tau )}}+m{\frac {\operatorname {sn} (u,m)\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{2}'(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\zeta |\tau )}}+{\frac {\operatorname {dn} (u,m)\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {cn} (u,m)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{1}'(\zeta |\tau )}{\theta _{1}(\zeta |\tau )}}-{\frac {\operatorname {cn} (u,m)\operatorname {dn} (u,m)}{\operatorname {sn} (u,m)}}\end{aligned}}} 16518: 6359: 33553: 17104: 10326: 12015: 34364:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {{\textrm {dn}}\left((p/2-a)\tau K\left;k\left({\frac {p\tau }{2}}\right)\right)}{\sqrt {k'\left({\frac {p\tau }{2}}\right)}}}={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}{\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}}\\={}&-1+{\frac {2}{1-{}}}\,{\frac {q^{a}+q^{p-a}}{1-q^{p}+{}}}\,{\frac {(q^{a}+q^{2p-a})(q^{a+p}+q^{p-a})}{1-q^{3p}+{}}}\,{\frac {q^{p}(q^{a}+q^{3p-a})(q^{a+2p}+q^{p-a})}{1-q^{5p}+{}}}\,{\frac {q^{2p}(q^{a}+q^{4p-a})(q^{a+3p}+q^{p-a})}{1-q^{7p}+{}}}\cdots \end{aligned}}} 17478:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sc} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {sd} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}},\qquad \operatorname {dc} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {ds} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cs} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cd} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}.\end{aligned}}} 1687: 11025: 1780: 1749: 1718: 32031: 27809: 9905: 11597: 25411: 17576: 12339: 36405: 31612: 27490: 10321:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {\theta _{3}(\tau )\theta _{1}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {cn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{2}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {dn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{3}(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}}.\end{aligned}}} 12010:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {\theta _{3}(\tau )\theta _{1}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {cn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{2}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {dn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{3}(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}}\end{aligned}}} 25070: 127: 14241: 31365: 35291: 34867: 36032: 32026:{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}=u&b_{0}={\frac {1-{\sqrt {1-m}}}{1+{\sqrt {1-m}}}}\\&a_{1}={\frac {a_{0}}{1+b_{0}}}&b_{1}={\frac {1-{\sqrt {1-b_{0}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-b_{0}^{2}}}}}\\&\vdots =\vdots &\vdots =\vdots \\&a_{n}={\frac {a_{n-1}}{1+b_{n-1}}}&b_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-b_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-b_{n-1}^{2}}}}}\\\end{aligned}}} 35957: 23159: 18428:′) are in accordance with the description of the pole and zero placement described in the introduction above. Also, the size of the white ovals indicating poles are a rough measure of the absolute value of the residue for that pole. The residues of the poles closest to the origin in the figure (i.e. in the auxiliary rectangle) are listed in the following table: 31569: 35618: 27804:{\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=2\arcsin({\sqrt {m}}\operatorname {cd} ({\sqrt {c}}t,m))\\&=2\operatorname {am} \left({\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}}({\sqrt {c}}t+K),{\frac {4{\sqrt {m}}}{(1+{\sqrt {m}})^{2}}}\right)-2\operatorname {am} \left({\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}}({\sqrt {c}}t-K),{\frac {4{\sqrt {m}}}{(1+{\sqrt {m}})^{2}}}\right)-\pi \end{aligned}}} 16898:. So our ellipse has a dual ellipse with m replaced by 1-m. This leads to the complex torus mentioned in the Introduction. Generally, m may be a complex number, but when m is real and m<0, the curve is an ellipse with major axis in the x direction. At m=0 the curve is a circle, and for 0<m<1, the curve is an ellipse with major axis in the y direction. At 15821: 32320: 17093: 25406:{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}(x+y,m)&={\mathcal {E}}(x,m)+{\mathcal {E}}(y,m)-m\operatorname {sn} (x,m)\operatorname {sn} (y,m)\operatorname {sn} (x+y,m),\\\operatorname {zn} (x+y,m)&=\operatorname {zn} (x,m)+\operatorname {zn} (y,m)-m\operatorname {sn} (x,m)\operatorname {sn} (y,m)\operatorname {sn} (x+y,m).\end{aligned}}} 15641: 6734: 7682: 19716: 31035: 34954: 22208: 21523: 34552: 13915: 36400:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {{\textrm {sn}}(t){\textrm {cn}}(t)}{{\textrm {dn}}(t)}}e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\cdot 1^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{4}}{2\cdot 3^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{4}}{2\cdot 5^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots } 21373: 18363:

When the factor (−1) is equal to −1, the equation expresses quasi-periodicity. When it is equal to unity, it expresses full periodicity. It can be seen, for example, that for the entries containing only α when α is even, full periodicity is expressed by the above equation, and the function

14603:

is a multiplication factor common to these three functions, and the prime indicates the transformed function. The other nine transformed functions can be built up from the above three. The reason the cs, ns, ds functions were chosen to represent the transformation is that the other functions will be

9122: 18411:

In the diagram on the right, which plots one repeating unit for each function, indicating phase along with the location of poles and zeroes, a number of regularities can be noted: The inverse of each function is opposite the diagonal, and has the same size unit cell, with poles and zeroes exchanged.

35705: 16470: 22795: 31376: 17579:

Plots of the phase for the twelve Jacobi Elliptic functions pq(u,m) as a function complex argument u, with poles and zeroes indicated. The plots are over one full cycle in the real and imaginary directions with the colored portion indicating phase according to the color wheel at the lower right

35378: 16286: 38148:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 569. 8096: 32945: 32787: 3123: 21237: 29695: 11493: 33085: 15647: 9275: 32042: 17612:(⋅) being the complete elliptic integral of the first kind. Arrows at the poles point in direction of zero phase. Right and left arrows imply positive and negative real residues respectively. Up and down arrows imply positive and negative imaginary residues respectively. 16944: 30517: 16807: 6157:

Historically, the Jacobi elliptic functions were first defined by using the amplitude. In more modern texts on elliptic functions, the Jacobi elliptic functions are defined by other means, for example by ratios of theta functions (see below), and the amplitude is ignored.

29518: 29333: 2684: 32629: 16117: 29148: 15487: 26114: 30675: 26022: 30729:

In conjunction with the addition theorems for elliptic functions (which hold for complex numbers in general) and the Jacobi transformations, the method of computation described above can be used to compute all Jacobi elliptic functions in the whole complex plane.

25933: 30245: 15014: 12320: 2898: 1118:– in effect, their domain can be taken to be a torus, just as cosine and sine are in effect defined on a circle. Instead of having only one circle, we now have the product of two circles, one real and the other imaginary. The complex plane can be replaced by a 29842: 24132: 17580:(which replaces the trivial dd function). Regions with absolute value below 1/3 are colored black, roughly indicating the location of a zero, while regions with absolute value above 3 are colored white, roughly indicating the position of a pole. All plots use 6553: 31024: 24224: 36753: 21377: 18212: 9527: 7506: 36876: 3332: 2526:

from which all other functions can be derived and expressions are often written solely in terms of these three functions, however, various symmetries and generalizations are often most conveniently expressed using the full set. (This notation is due to

36627: 21779: 12733: 33370: 31360:{\displaystyle {\begin{aligned}y_{N}&={\frac {a_{N}}{\sin(a_{N}u)}}\\y_{N-1}&=y_{N}+{\frac {a_{N}c_{N}}{y_{N}}}\\y_{N-2}&=y_{N-1}+{\frac {a_{N-1}c_{N-1}}{y_{N-1}}}\\\vdots &=\vdots \\y_{0}&=y_{1}+{\frac {m}{4y_{1}}}.\end{aligned}}} 18016: 35286:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}^{2}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {2z^{-1}}{2^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {2\cdot 3^{2}\cdot 4k^{2}}{4^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {4\cdot 5^{2}\cdot 6k^{2}}{6^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots } 23546: 23354: 21241: 37279: 19566: 18780:′ have the same value but with signs reversed, while those diagonally opposite have the same value. Note that poles and zeroes on the left and lower edges are considered part of the unit cell, while those on the upper and right edges are not. 13150: 21885: 9393: 24028: 14590: 14481: 14372: 3663: 4178:. This multivalued function can be made single-valued by cutting the complex plane along the line segments joining these branch points (the cutting can be done in non-equivalent ways, giving non-equivalent single-valued functions), thus making 5296: 24300: 26366: 11288: 34862:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{1^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{2}}{3^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{2}}{5^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots } 14236:{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{IR}(m)&=&\mu _{I}(\mu _{R}(m))&=&-m'/m\\\mu _{RI}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(m))&=&1/m'\\\mu _{RIR}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(\mu _{R}(m)))&=&-m/m'\end{aligned}}} 23796: 17562: 15161: 13042:

are proportional to the circular trigonometric functions with imaginary arguments, it follows that the Jacobi functions will yield the hyperbolic functions for m=1. In the figure, the Jacobi curve has degenerated to two vertical lines at

23668: 27123: 25512: 5658: 27363: 26874: 25810: 15962: 29932: 21640: 11152: 7363: 23731: 35952:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {dn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{z+{}}}\,{\frac {1^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {2^{2}}{z+{}}}\,{\frac {3^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {4^{2}}{z+{}}}\,{\frac {5^{2}k^{2}}{z+{}}}\cdots } 26611: 21106: 11566: 8943: 2723: 32798: 32640: 27452: 23154:{\displaystyle x={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}k^{2}\operatorname {sn} \left^{2}\operatorname {sn} \left^{2}={\frac {\operatorname {sn} \left^{2}-\operatorname {sn} \left^{2}}{2\operatorname {sn} \left\operatorname {sn} \left}}} 21123: 12917: 12798: 31564:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {1}{y_{0}}}\\\operatorname {cn} (u,m)&={\sqrt {1-{\frac {1}{y_{0}^{2}}}}}\\\operatorname {dn} (u,m)&={\sqrt {1-{\frac {m}{y_{0}^{2}}}}}\end{aligned}}} 5937: 25591: 35613:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {cn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{z+{}}}\,{\frac {1^{2}}{z+{}}}\,{\frac {2^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {3^{2}}{z+{}}}\,{\frac {4^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {5^{2}}{z+{}}}\cdots } 30850: 27011: 26517: 13334: 13215: 2756: 32391: 26768: 27254: 26177: 17803: 12566: 32953: 24460: 7965: 7957: 1895:

The elliptic functions can be given in a variety of notations, which can make the subject unnecessarily confusing. Elliptic functions are functions of two variables. The first variable might be given in terms of the

24385: 17720: 12641: 12485: 6926: 6816: 16896: 17636:) in which the positions of the poles and zeroes are exchanged. The periods of repetition are generally different in the real and imaginary directions, hence the use of the term "doubly periodic" to describe them. 16292: 22787: 7165: 2909: 3561: 3475: 22634: 2605: 2790: 29526: 22505: 11378: 7856: 6153: 26026: 15816:{\displaystyle \cos(\operatorname {am} (u+v)-\operatorname {am} (u-v))={\dfrac {\operatorname {cn} ^{2}v-\operatorname {sn} ^{2}v\operatorname {dn} ^{2}u}{1-m\operatorname {sn} ^{2}u\operatorname {sn} ^{2}v}}} 6289: 6224: 32490: 32315:{\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=\sin(a_{n})\\y_{n}&={\frac {y_{n+1}(1+b_{n})}{1+y_{n+1}^{2}b_{n}}}\\\vdots &=\vdots \\y_{0}&={\frac {y_{1}(1+b_{0})}{1+y_{1}^{2}b_{0}}}\\\end{aligned}}} 25937: 24482: 23608: 7269: 5411: 25851: 17088:{\displaystyle \operatorname {ns} (u)={\frac {1}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {nc} (u)={\frac {1}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {nd} (u)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u)}}.} 37145: 9128: 17889: 16123: 5820: 33538: 21005: 10997:

In fact, the definition of the Jacobi elliptic functions in Whittaker & Watson is stated a little bit differently than the one given above (but it's equivalent to it) and relies on modular inversion:

6348: 33558: 28851: 25707: 25649: 30397: 21873: 16681: 29341: 29156: 9728: 9662: 9596: 7082: 15636:{\displaystyle \sin(\operatorname {am} (u+v)+\operatorname {am} (u-v))={\frac {2\operatorname {sn} u\operatorname {cn} u\operatorname {dn} v}{1-m\operatorname {sn} ^{2}u\operatorname {sn} ^{2}v}},} 13769:

Jacobi's real and imaginary transformations can be combined in various ways to yield three more simple transformations . The real and imaginary transformations are two transformations in a group (

8812: 8762: 5739: 21646: 12154: 8570: 8421: 34424: 32047: 31617: 31381: 31040: 28988: 27987: 27495: 25075: 17109: 13920: 11602: 10342: 9910: 6558: 3389: 30554: 19301: 19059: 18832: 15973: 13571: 13540: 13488: 36505: 35661: 35334: 34910: 33230: 30062: 28889: 12075: 8157: 1675: 1640: 16662: 12226: 6729:{\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b>1,\\&m=1-{\frac {1}{b^{2}}},\quad 0<m<1,\\&x=r\cos \varphi ,\quad y=r\sin \varphi \end{aligned}}} 2804: 36461: 30019: 24034: 22309: 8935: 4265: 29703: 1519: 6510: 30856: 22381: 20955: 27872: 24138: 23946: 19214: 7677:{\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {x}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {sn} (u,m)={\frac {y}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {dn} (u,m)={\frac {1}{r(\varphi ,m)}}.} 5741:

are zero, so the integral is path-independent. So the Jacobi epsilon relates the incomplete elliptic integral of the first kind to the incomplete elliptic integral of the second kind:

4979: 1408: 37078: 30330: 20852: 20763: 20668: 20573: 20484: 20389: 20300: 20205: 20110: 20021: 19926: 19831: 18644: 14687: 7498: 7460: 5155: 5071: 4889: 4805: 4652: 4614: 4368: 4327: 4214: 3937: 2524: 2486: 2448: 2410: 2240: 925: 359: 189: 30733:

Another method of fast computation of the Jacobi elliptic functions via the arithmetic–geometric mean, avoiding the computation of the Jacobi amplitude, is due to Herbert E. Salzer:

15071: 13909:

in the imaginary transformation, then the other transformations can be built up by successive application of these two basic transformations, yielding only three more possibilities:

13900: 8903: 8847: 8707: 36633: 27156: 26907: 26667: 26420: 23915: 20722: 20627: 20069: 19980: 18083: 17620:, the Jacobi elliptic functions form a repeating pattern of poles (and zeroes). The residues of the poles all have the same absolute value, differing only in sign. Each function pq( 9399: 2199: 36759: 24230: 18726: 18685: 18572: 15864: 3237: 36513: 25428: 19711:{\displaystyle \operatorname {sl} u=\operatorname {sn} (u,-1),\quad \operatorname {cl} u=\operatorname {cd} (u,-1)={\frac {\operatorname {cn} (u,-1)}{\operatorname {dn} (u,-1)}}.} 18972: 15313: 15279: 15242: 13713: 13621: 13410: 11195: 8226: 4542: 4465: 4142: 4065: 2616: 1545: 1460: 1434: 37173: 30724: 21025: 19558: 19538: 19393: 19151: 18924: 16507: 13734: 13689: 13663: 13597: 13452: 13431: 4576: 4285: 4176: 3818: 3798: 3778: 1803: 1772: 1741: 1710: 1605: 1575: 1480: 76: 25711: 23735: 23362: 23170: 22203:{\displaystyle \operatorname {sn} \left={\frac {{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}-1}{{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}} 19359: 19117: 18890: 8669: 8622: 8523: 8473: 8374: 8327: 2082: 37178: 36988: 35988: 34508: 34457: 30389: 30361: 27926: 23859: 9855: 5442: 5007: 4741: 732:

of the first kind. The nature of the unit cell can be determined by inspecting the "auxiliary rectangle" (generally a parallelogram), which is a rectangle formed by the origin

33192: 23612: 21539: 14911: 9897: 28977: 18531: 18500: 13831: 12649: 9281: 3852: 23683: 18602: 15447: 12846: 11343: 9809: 5684: 3584: 693: 33423: 33238: 3718: 1862: 31598: 30704: 11313: 2372: 2350: 2328: 2306: 2284: 2262: 1375: 1353: 969: 947: 887: 865: 843: 821: 321: 299: 277: 255: 233: 211: 33150: 32452: 30054: 27482: 19438: 14764: 14727: 13066: 5474: 5210: 2159: 1044: 799: 13263: 1295: 26291: 25519: 21518:{\displaystyle \operatorname {cn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {m'+\operatorname {dn} (u,m)+m\operatorname {cn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}} 17895: 14487: 14378: 14269: 11206: 6537: 726: 36024: 35697: 35370: 34946: 34544: 11019: 6839: 4713: 3229: 1917: 1323: 1171: 612: 584: 32477: 30546: 30274: 28922: 20906: 20443: 20348: 20259: 20164: 19885: 18260: 15389: 15348: 7391: 6461: 4767: 2043: 2018: 1216: 1089: 27898: 20879: 20790: 20695: 20600: 20511: 20416: 20232: 20137: 19953: 19858: 17494: 10987: 9763: 5033: 4851: 647: 21368:{\displaystyle \operatorname {cn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {\operatorname {cn} (u,m)+\operatorname {dn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}} 11589: 11370: 11053: 6961: 6072: 5114: 3988: 762: 96: 27016: 19515: 18048: 5566: 33118: 27259: 19771: 19745: 12206: 12180: 1882: 26773: 24391: 18761: 7414: 1143: 556: 533: 37008: 34477: 32420: 27974: 27954: 26631: 25846: 24316: 20811: 20532: 20321: 20042: 19478: 19458: 19254: 19234: 19012: 18992: 18072: 15479: 13755: 13642: 13509: 13386: 12095: 7785: 7765: 7745: 7725: 7705: 7205: 7185: 7001: 6981: 6040: 6020: 6000: 5980: 5960: 5558: 5538: 5518: 5498: 5323: 5199: 5175: 5091: 4909: 4825: 4672: 4388: 3961: 3896: 3872: 3758: 3738: 3686: 3209: 3189: 3169: 2122: 2102: 1985: 1960: 1937: 1828: 1261: 1241: 1191: 1112: 1064: 1012: 992: 506: 483: 463: 443: 423: 399: 379: 148: 37040: 11062: 9117:{\displaystyle \theta _{1}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}e^{(2n+1)iz+\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}},} 26526: 21037: 11501: 2695: 27378: 29850: 5825:

The Jacobi epsilon function is not an elliptic function, but it appears when differentiating the Jacobi elliptic functions with respect to the parameter.

5838: 30742: 23567: 26912: 26425: 17098:

Similarly, the ratios of the three primary functions correspond to the first letter of the numerator followed by the first letter of the denominator:

15875: 15082: 2729: 1091:

will be real and the auxiliary parallelogram will in fact be a rectangle, and the Jacobi elliptic functions will all be real valued on the real line.

32331: 26672: 14263:) yield the six-element group. With regard to the Jacobi elliptic functions, the general transformation can be expressed using just three functions: 12857: 12738: 27161: 8091:{\displaystyle x={\frac {\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}.} 7280: 3133: 26125: 12491: 25653: 25595: 16465:{\displaystyle \sin(\operatorname {am} ((1+{\sqrt {m'}})u,m_{1})+\operatorname {am} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}))=\sin(2\operatorname {am} (u,m))} 13274: 13155: 12646:

Using the multiplication rule, all other functions may be expressed in terms of the above three. The transformations may be generally written as

7864: 37948: 17645: 12572: 12416: 6847: 6745: 3118:{\displaystyle K(m)=K(k^{2})=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}.} 17: 21785: 16815: 32940:{\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)+u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).} 32782:{\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)-{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).} 12398: = 0 (circular trigonometric functions) but with imaginary arguments, they correspond to the six hyperbolic trigonometric functions. 24472:

defined by the above two equations. We now may define a group law for points on this curve by the addition formulas for the Jacobi functions

22650: 21232:{\displaystyle \operatorname {sn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\operatorname {cn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}} 17726: 29944:

The theta function ratios provide an efficient way of computing the Jacobi elliptic functions. There is an alternative method, based on the

29690:{\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\pi }{2K(m)}}+{\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos(2nv),} 11488:{\displaystyle F_{1}=\{\tau \in \mathbb {H} :\left|\operatorname {Re} \tau \right|\leq 1,\left|\operatorname {Re} (1/\tau )\right|\leq 1\}.} 3498: 3412: 33541: 31603:

Yet, another method for a rapidly converging fast computation of the Jacobi elliptic sine function found in the literature is shown below.

22513: 2541: 2762: 22392: 7793: 6081: 58:, the ellipse in particular. The relation to trigonometric functions is contained in the notation, for example, by the matching notation 9270:{\displaystyle \theta _{2}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{(2n+1)iz+\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}},} 6229: 6164: 38395: 16281:{\displaystyle \sin(\operatorname {am} ({\sqrt {m'}}u,-m/m')+\operatorname {am} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}))=\operatorname {sn} (u,m),} 5338: 37649: 38271: 37995: 37915: 37872: 37555: 37512: 37083: 5302: 37705: 33080:{\displaystyle \operatorname {am} (u,m)\approx \operatorname {gd} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} (u).} 17809: 5747: 3149: 33428: 30706:. This is notable for its rapid convergence. It is then trivial to compute all Jacobi elliptic functions from the Jacobi amplitude 30512:{\displaystyle \varphi _{n-1}={\frac {1}{2}}\left(\varphi _{n}+\arcsin \left({\frac {c_{n}}{a_{n}}}\sin \varphi _{n}\right)\right)} 20960: 18051: 6294: 38029: 16802:{\displaystyle x={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,1-m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,1-m)}{\operatorname {dn} (u,1-m)}}} 29513:{\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {2\pi }{kK(m)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos((2n+1)v),} 29328:{\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)={\frac {2\pi }{kK(m)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin((2n+1)v),} 38077: 971:

corner. The twelve functions correspond to the twelve ways of arranging these poles and zeroes in the corners of the rectangle.

7087: 38280: 38251: 38153: 38004: 37924: 37881: 37689: 37564: 37521: 37311: 26118:

These can be used to derive the derivatives of all other functions as shown in the table below (arguments (u,m) suppressed):

9667: 9601: 9535: 7213: 7013: 29143:{\displaystyle \operatorname {am} (u,m)={\frac {\pi u}{2K(m)}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n(1+q^{2n})}}\sin(2nv),} 28762: 26109:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {dn} (z)=-m\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z).} 8768: 8718: 5693: 32624:{\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)\approx \tanh(u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} ^{2}(u).} 30670:{\displaystyle \operatorname {am} (u,m)=\varphi _{0},\quad \operatorname {zn} (u,m)=\sum _{n=1}^{N}c_{n}\sin \varphi _{n}} 26017:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cn} (z)=-\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z),} 16112:{\displaystyle \cos(\operatorname {am} (u,m)+\operatorname {am} (K-u,m))=-\operatorname {sn} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}),} 12100: 8529: 8380: 34377: 25928:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sn} (z)=\operatorname {cn} (z)\operatorname {dn} (z),} 30240:{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+b_{n-1}}{2}},\,b_{n}={\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}},\,c_{n}={\frac {a_{n-1}-b_{n-1}}{2}}} 14908:

Thus, for example, we may build the following table for the RIR transformation. The transformation is generally written

3347: 38483: 19262: 19020: 18793: 13546: 13515: 13463: 12325:

Simplifications of complicated products of the Jacobi elliptic functions are often made easier using these identities.

12315:{\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}} 2893:{\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}} 38365:

Eléments de la théorie des fonctions elliptiques. Tome III, Calcul intégral. Ire partie, Théorèmes généraux. Inversion

36466: 35626: 35299: 34875: 11055:

in the complex plane. It is bounded by two semicircles from below, by a ray from the left and by a ray from the right.

38202: 33197: 29837:{\displaystyle \operatorname {zn} (u,m)={\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{2n}}}\sin(2nv)} 28856: 16938:

Reversing the order of the two letters of the function name results in the reciprocals of the three functions above:

12023: 8112: 4291:

in the whole complex plane. Since every elliptic function is meromorphic in the whole complex plane (by definition),

1329:

The Jacobian elliptic functions are then doubly periodic, meromorphic functions satisfying the following properties:

16607: 15405:

The value of the Jacobi transformations is that any set of Jacobi elliptic functions with any real-valued parameter

37743:

Schett, Alois (1976). "Properties of the Taylor series expansion coefficients of the Jacobian Elliptic Functions".

36422: 31019:{\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\,b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\,c_{n+1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}.} 29961: 27369: 22230: 8908: 5480:

in each of the variables otherwise: the Jacobi epsilon function is meromorphic in the whole complex plane (in both

4226: 3720:(but can be complex in general), and so the elliptic functions can be thought of as being given by two variables, 1485: 36908: 36416: 6477: 22317: 20916: 1645: 1610: 54:

are defined with reference to a circle, the Jacobi elliptic functions are a generalization which refer to other

38437: 36748:{\displaystyle \operatorname {arccn} (x,m)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-m+mt^{2})}}}} 27817: 26384: 19156: 18784: 18207:{\displaystyle \operatorname {pq} (u+2\alpha K(m)+2i\beta K(1-m)\,,\,m)=(-1)^{\gamma }\operatorname {pq} (u,m)} 13059:

The Jacobi real transformations yield expressions for the elliptic functions in terms with alternate values of

9522:{\displaystyle \theta _{4}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{2niz+\pi i\tau n^{2}}} 4914: 1383: 99: 37045: 36871:{\displaystyle \operatorname {arcdn} (x,m)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(t^{2}+m-1)}}}} 30282: 20819: 20730: 20635: 20540: 20451: 20356: 20267: 20172: 20077: 19988: 19893: 19798: 14640: 7465: 7427: 5122: 5038: 4856: 4772: 4619: 4581: 4335: 4294: 4181: 3904: 3327:{\displaystyle u=F(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}} 2491: 2453: 2415: 2377: 2207: 892: 326: 156: 38447: 37949:

https://www.researchgate.net/publication/331370071_Evaluations_of_Series_Related_to_Jacobi_Elliptic_Functions

36943: 36938: 36887: 36622:{\displaystyle \operatorname {arcsn} (x,m)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}} 21774:{\displaystyle \operatorname {cn} \left={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt{1-k^{2}}}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}} 19518: 8874: 8818: 8678: 2679:{\displaystyle \operatorname {pq} \cdot \operatorname {p'q'} =\operatorname {pq'} \cdot \operatorname {p'q} } 115: 27129: 26880: 26640: 26393: 20701: 20606: 20048: 19959: 6075: 801:

as the diagonally opposite corner. As in the diagram, the four corners of the auxiliary rectangle are named

102:

as they do not require notions of complex analysis to be defined and/or understood. They were introduced by

23541:{\displaystyle \operatorname {sn} \left=(1+k^{2})^{-1/2}{\sqrt {2(1-x-x^{2})(x^{2}+1+x{\sqrt {x^{2}+1}})}}} 23349:{\displaystyle \operatorname {sn} \left=(1+k^{2})^{-1/2}{\sqrt {2(1-x-x^{2})(x^{2}+1-x{\sqrt {x^{2}+1}})}}} 15829: 8162:

The following table summarizes the expressions for all Jacobi elliptic functions pq(u,m) in the variables (

2532: 37473:"Transformations of the Jacobian Amplitude Function and Its Calculation via the Arithmetic-Geometric Mean" 37274:{\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {sn} (K(m)-u,m)}}} 18929: 13695: 13603: 13392: 11160: 4470: 4393: 4070: 3993: 1524: 1439: 1413: 38488: 38442: 37727: 37675: 37596: 37158: 30709: 21010: 19543: 19523: 19364: 19122: 18895: 18608: 16478: 15009:{\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')} 13719: 13674: 13648: 13582: 13437: 13416: 8181: 4547: 4270: 4147: 3803: 3783: 3763: 1788: 1757: 1726: 1695: 1465: 61: 13846: 12728:{\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)} 9388:{\displaystyle \theta _{3}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2niz+\pi i\tau n^{2}},} 8628: 8581: 8482: 8432: 8333: 8286: 2610:

The functions are notationally related to each other by the multiplication rule: (arguments suppressed)

2412:

are trivially set to unity for notational completeness. The “major” functions are generally taken to be

2048: 38493: 38345:

Eléments de la théorie des fonctions elliptiques. Tome I, Introduction. Calcul différentiel. Ire partie

36965: 35965: 34485: 34429: 33365:{\textstyle k(\tau )={\sqrt {1-k'(\tau )^{2}}}=(\vartheta _{10}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau ))^{2}} 30366: 30338: 29949: 27903: 23864: 23811: 9814: 5687: 5419: 4984: 4718: 3658:{\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {am} (u,m).} 2795:

The multiplication rule follows immediately from the identification of the elliptic functions with the

33158: 25814: 24127:{\displaystyle -m'\operatorname {nd} ^{2}{}+m'=-mm'\operatorname {sd} ^{2}=m\operatorname {cd} ^{2}-m} 18696: 18655: 18542: 29945: 28927: 18506: 18475: 15286: 15252: 15215: 13786: 13770: 3823: 38375:

Eléments de la théorie des fonctions elliptiques. Tome IV, Calcul intégral. IIe partie, Applications

18580: 16667:

from applying Jacobi's imaginary transformation to the elliptic functions in the above equation for

15412: 13145:{\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)} 12807: 11318: 5665: 5291:{\displaystyle E(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta } 3137:

Model of the Jacobi amplitude (measured along vertical axis) as a function of independent variables

1580: 1550: 36928: 36923: 36507:. They can be represented as elliptic integrals, and power series representations have been found. 33375: 23556:

Relations between squares of the functions can be derived from two basic relationships (Arguments (

19306: 19064: 18837: 15019: 3691: 1837: 103: 31577: 30683: 26361:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\mathcal {E}}(z)=\operatorname {dn} (z)^{2}.} 24219:{\displaystyle m'\operatorname {sc} ^{2}{}+m'=m'\operatorname {nc} ^{2}=\operatorname {dc} ^{2}-m} 24023:{\displaystyle -\operatorname {dn} ^{2}{}+m'=-m\operatorname {cn} ^{2}=m\operatorname {sn} ^{2}-m} 18011:{\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2iK',m)={\mathcal {E}}(u,m)+2iE{\frac {K'}{K}}-{\frac {\pi i}{K}}} 16517: 14585:{\displaystyle \operatorname {ds} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ds'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))} 14476:{\displaystyle \operatorname {ns} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ns'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))} 14367:{\displaystyle \operatorname {cs} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {cs'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))} 11296: 11283:{\displaystyle F_{1}-(\partial F_{1}\cap \{\tau \in \mathbb {H} :\operatorname {Re} \tau <0\})} 2355: 2333: 2311: 2289: 2267: 2245: 1358: 1336: 1222:. Each function has two zeroes and two poles at opposite positions on the torus. Among the points 952: 930: 870: 848: 826: 804: 512:. Depending on the function, one repeating parallelogram, or unit cell, will have sides of length 304: 282: 260: 238: 216: 194: 38216: 36933: 33123: 30027: 27460: 19398: 14733: 14705: 14607:

The following table lists the multiplication factors for the three ps functions, the transformed

12394:

of the first kind. The dotted curve is the unit circle. Since these are the Jacobi functions for

12217: 10999: 9860: 5447: 2164: 1017: 13224: 8109:-coordinates of points on the unit ellipse may be considered as generalization of the relations 6358: 36913: 17557:{\displaystyle \operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pn} (u)}{\operatorname {qn} (u)}}} 12208:, the Jacobi elliptic functions degenerate to non-elliptic functions which is described below. 9768: 6519: 4267:

and other elliptic functions have no branch points, give consistent values for every branch of

2796: 702: 652: 35993: 35666: 35339: 34915: 34513: 24295:{\displaystyle \operatorname {cs} ^{2}{}+m'=\operatorname {ds} ^{2}=\operatorname {ns} ^{2}-m} 14604:

ratios of these three (except for their inverses) and the multiplication factors will cancel.

11004: 6824: 4677: 3214: 1902: 38459: 38417:

Rapidly-convergent methods for evaluating elliptic integrals and theta and elliptic functions

38143: 30525: 30253: 28894: 27118:{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-m+my^{2})} 25507:{\displaystyle \operatorname {pq} ({\tfrac {1}{2}}u,m)^{2}=f_{\mathrm {p} }/f_{\mathrm {q} }} 21028: 20885: 20422: 20327: 20238: 20143: 19864: 18245: 6433: 5653:{\displaystyle {\mathcal {E}}(u,m)=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(t,m)\,\mathrm {d} t;} 5477: 4746: 2028: 1990: 32425: 27877: 27358:{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-m-y^{2})} 20858: 20769: 20674: 20579: 20490: 20395: 20211: 20116: 19932: 19837: 9733: 5012: 4830: 2127: 767: 617: 38290: 38171: 38092: 38014: 37934: 37891: 37836: 37764: 37574: 37531: 37344: 26869:{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-my^{2})} 25805:{\displaystyle f_{\mathrm {d} }=(1+\operatorname {dn} (u,m))-m(1-\operatorname {cn} (u,m))} 23791:{\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}{}+m'\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {dq} ^{2}} 13039: 11574: 11348: 11031: 6934: 6045: 5096: 4288: 3970: 3940: 1266: 735: 465:-plane is well-known. However, questions of the distribution of the zeros and poles in the 402: 401:

is the parameter, both of which may be complex. In fact, the Jacobi elliptic functions are

111: 81: 43: 38355:

Eléments de la théorie des fonctions elliptiques. Tome II, Calcul différentiel. IIe partie

32402:

The Jacobi elliptic functions can be expanded in terms of the hyperbolic functions. When

26383: < 1 the major functions are therefore solutions to the following nonlinear 19491: 18024: 8: 38334: 38324: 38314: 38304: 38233: 38219: 38207: 37719: 37588: 37452: 37448: 33097: 23663:{\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+m'\operatorname {sn} ^{2}=\operatorname {dn} ^{2}} 21635:{\displaystyle \operatorname {sn} \left={\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}} 19750: 19724: 12185: 12159: 11147:{\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}},} 1867: 1300: 1148: 589: 561: 38241: 38096: 37840: 37829:"The Even- and Odd-Mode Capacitance Parameters for Coupled Lines in Suspended Substrate" 37348: 32457: 18743: 15369: 15328: 12402:

The Jacobi imaginary transformations relate various functions of the imaginary variable

7396: 7371: 1830:, illustrating their double periodic behavior. Images generated using a version of the 1196: 1125: 1069: 538: 515: 38036: 37975:

Perron, O. (1957). "Die Lehre von den Kettenbruchen", Band II, B.G. Teubner, Stuttgart.

37809: 37768: 37368: 37360: 36993: 34462: 33545: 33153: 32405: 28756: 27959: 27939: 26616: 25831: 25828:

of the three basic Jacobi elliptic functions (with respect to the first variable, with

23726:{\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}+\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {nq} ^{2}} 20796: 20517: 20306: 20027: 19463: 19443: 19239: 19219: 18997: 18977: 18057: 15464: 13740: 13627: 13494: 13371: 12080: 10968: 7770: 7750: 7730: 7710: 7690: 7190: 7170: 6986: 6966: 6931:(the incomplete elliptic integral of the first kind) is computed. On the unit circle ( 6025: 6005: 5985: 5965: 5945: 5543: 5523: 5503: 5483: 5308: 5184: 5160: 5076: 4894: 4810: 4657: 4373: 4220: 3946: 3881: 3857: 3743: 3723: 3671: 3194: 3174: 3154: 2528: 2107: 2087: 1970: 1945: 1922: 1813: 1246: 1226: 1176: 1097: 1049: 997: 977: 491: 468: 448: 428: 408: 384: 364: 133: 37947:

N.Bagis.(2020)."Evaluations of series related to Jacobi elliptic functions". preprint

37756: 37013: 26606:{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=1-m\sin(y)^{2}} 21101:{\displaystyle \operatorname {pq} (u,1)=\operatorname {pq} (\operatorname {gd} (u),0)} 14614:

s, and the transformed function names for each of the six transformations. (As usual,

11561:{\displaystyle m\,{\overset {\text{def}}{=}}\,\lambda (\tau )\in \mathbb {C} -\{0,1\}} 11024: 2718:{\displaystyle {\frac {\operatorname {pr} }{\operatorname {qr} }}=\operatorname {pq} } 38456: 38276: 38266: 38247: 38198: 38175: 38159: 38149: 38131: 38000: 37990: 37920: 37910: 37877: 37867: 37772: 37685: 37679: 37616: 37560: 37550: 37517: 37507: 37372: 37307: 27447:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+c\sin \theta =0,} 16582: 12391: 6463:). The dotted curve is the unit circle. Tangent lines from the circle and ellipse at 6427: 4216: 729: 39: 37966:

H.S. Wall. (1948). "Analytic Theory of Continued Fractions", Van Nostrand, New York.

37813: 29927:{\displaystyle \left|\operatorname {Im} (u/K)\right|<\operatorname {Im} (iK'/K).} 38100: 38030:"The AMath and DAMath Special Functions: Reference Manual and Implementation Notes" 37844: 37799: 37752: 37723: 37592: 37484: 37352: 25815:

Jacobi elliptic functions as solutions of nonlinear ordinary differential equations

13777: 12156:), but it is in fact not a necessary restriction (see the Cox reference). Also, if 5932:{\displaystyle \operatorname {zn} (u,m)={\mathcal {E}}(u,m)-{\frac {E(m)}{K(m)}}u.} 2201:. These four terms are used below without comment to simplify various expressions. 1964: 98:. The Jacobi elliptic functions are used more often in practical problems than the 38105: 25586:{\displaystyle f_{\mathrm {c} }=\operatorname {cn} (u,m)+\operatorname {dn} (u,m)} 23941:. Using the multiplication rule, other relationships may be derived. For example: 7500:. These projections may be interpreted as 'definition as trigonometry'. In short: 6543:-axis. Similarly, Jacobi elliptic functions are defined on the unit ellipse, with 38286: 38167: 38145:

Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables

38139: 38010: 37930: 37887: 37760: 37570: 37527: 37472: 30845:{\displaystyle 0\leq m\leq 1,\,0\leq u\leq K(m),\,a_{0}=1,\,b_{0}={\sqrt {1-m}},} 18229:(⋅) is the complete elliptic integral of the first kind, also known as the 1831: 509: 47: 27006:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2m)y+2my^{3}=0} 26512:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+m\sin(y)\cos(y)=0} 25415:

Double angle formulae can be easily derived from the above equations by setting

16585:

of the first kind. The dotted curve is the unit circle. For the ds-dc triangle,

15957:{\displaystyle m_{1}=\left({\frac {1-{\sqrt {m'}}}{1+{\sqrt {m'}}}}\right)^{2},} 15156:{\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')} 2751:{\displaystyle \operatorname {pr} \cdot \operatorname {rq} =\operatorname {pq} } 38392:

Fast Computation of Complete Elliptic Integrals and Jacobian Elliptic Functions

38384: 38374: 38364: 38354: 38344: 37828: 36918: 36903: 36891: 33233: 32386:{\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=y_{0}{\text{ as }}n\rightarrow \infty } 28980: 26763:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+m)y-2my^{3}=0} 24465: 18230: 12912:{\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)} 12793:{\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)} 8868: 3875: 3760:. The remaining nine elliptic functions are easily built from the above three ( 1219: 696: 37848: 36415:

The inverses of the Jacobi elliptic functions can be defined similarly to the

27249:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-m)y+2y^{3}=0} 7358:{\displaystyle x'=\operatorname {cn} (u,m),\quad y'=\operatorname {sn} (u,m).} 4715:

and it has singularities at the logarithmic branch points mentioned above. If

38477: 38186: 26172:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {pq} (u,m)} 18077:

The double periodicity of the Jacobi elliptic functions may be expressed as:

3148:

There is a definition, relating the elliptic functions to the inverse of the

2022: 1119: 55: 38403:

On the Inversion of the q-Series Associated with Jacobian Elliptic Functions

12561:{\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=-i\operatorname {sc} (i\,u,1\!-\!m)} 7004: 38410:

A partition formula for the integer coefficients of the theta function nome

38229:. 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990. S. 469–470. 38135: 37612: 37356: 24455:{\displaystyle \operatorname {dn} ^{2}(u)+m\operatorname {sn} ^{2}(u)=1.\,} 23808:, these correspond trigonometrically to the equations for the unit circle ( 18412:

The pole and zero arrangement in the auxiliary rectangle formed by (0,0), (

13329:{\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)} 13210:{\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)} 7952:{\displaystyle x=r(\varphi ,m)\cos(\varphi ),y=r(\varphi ,m)\sin(\varphi )} 4329:(when considered as a single-valued function) is not an elliptic function. 3964: 51: 37804: 37787: 24380:{\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}(u)+\operatorname {sn} ^{2}(u)=1,\,} 17715:{\displaystyle \operatorname {am} (u+2K,m)=\operatorname {am} (u,m)+\pi ,} 17575: 12636:{\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)=\operatorname {dc} (i\,u,1\!-\!m)} 12480:{\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=\operatorname {nc} (i\,u,1\!-\!m)} 6921:{\displaystyle u=u(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }r(\theta ,m)\,d\theta } 6811:{\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}\,.} 6161:

In modern terms, the relation to elliptic integrals would be expressed by

38424:

Neue Untersuchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen

16891:{\displaystyle x=\operatorname {dn} (u,1-m),y=\operatorname {sn} (u,1-m)} 8867:

Equivalently, Jacobi's elliptic functions can be defined in terms of the

126: 31: 38210: 23164:

To get the sn-values, we put the solution x into following expressions:

3128: 37364: 37333:"The Analyticity of Jacobian Functions with Respect to the Parameter k" 37332: 25825: 22782:{\displaystyle 4k^{2}x^{6}+8k^{2}x^{5}+2(1-k^{2})^{2}x-(1-k^{2})^{2}=0} 19773:, the Jacobi elliptic functions are reduced to non-elliptic functions: 17798:{\displaystyle \operatorname {am} (u+4iK',m)=\operatorname {am} (u,m),} 25067:

The Jacobi epsilon and zn functions satisfy a quasi-addition theorem:

16601:

Introducing complex numbers, our ellipse has an associated hyperbola:

11591:. Then Whittaker & Watson define the Jacobi elliptic functions by 3556:{\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=\cos \operatorname {am} (u,m)} 3470:{\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=\sin \operatorname {am} (u,m)} 38464: 38300: 22629:{\displaystyle \operatorname {dn} \left=1/\operatorname {sn} \left-1} 2600:{\displaystyle \operatorname {pq} (u,t^{2})=\operatorname {pq} (u;t)} 38269:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), 38179: 37993:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), 37913:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), 37870:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), 37553:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), 37510:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), 37488: 15461:

In the following, the second variable is suppressed and is equal to

14246:

These five transformations, along with the identity transformation (

12338: 10331:

The Jacobi zn function can be expressed by theta functions as well:

8857: 2785:{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {qp} }}=\operatorname {pq} } 37417: 22500:{\displaystyle \operatorname {cn} \left=1-\operatorname {sn} \left} 12216:

The Jacobi elliptic functions can be defined very simply using the

10989:

denotes the partial derivative with respect to the first variable.

7851:{\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,m)}}} 6148:{\displaystyle Z(\varphi ,m)=\operatorname {zn} (F(\varphi ,m),m).} 114:

had already studied special Jacobi elliptic functions in 1797, the

38454: 38335:

Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications (vol. 3)

38325:

Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications (vol. 2)

38315:

Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications (vol. 1)

38211:

The elementary properties of the elliptic functions, with examples

27931: 22386:

These equations lead to the other values of the Jacobi-Functions:

12358: = ∞) and the twelve Jacobi Elliptic functions pq( 6284:{\displaystyle \operatorname {cn} (F(\varphi ,m),m)=\cos \varphi } 6219:{\displaystyle \operatorname {sn} (F(\varphi ,m),m)=\sin \varphi } 38305:

Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications

37503: 37397:"NIST Digital Library of Mathematical Functions (Release 1.0.17)" 32397: 29936:

Bivariate power series expansions have been published by Schett.

25819: 24469: 23603:{\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1} 16902: = 1, the curve degenerates into two vertical lines at 14599:= U, I, IR, R, RI, or RIR, identifying the transformation, γ 12211: 6353: 5406:{\displaystyle {\mathcal {E}}(u,m)=E(\operatorname {am} (u,m),m)} 38163: 37906: 37546: 16922:

or both are complex and the curve cannot be described on a real

1939:

given below. The second variable might be given in terms of the

1810:

Plots of four Jacobi Elliptic Functions in the complex plane of

37422: 37140:{\displaystyle {\sqrt {1-m\sin ^{2}\operatorname {am} (u,m)}}.} 7167:

be the point where the unit circle intersects the line between

1686: 38412:. Mathematics of computation, Volume 29, Nummer 131, Juli 1975 24309:

The functions satisfy the two square relations (dependence on

22217:, we take the tangent of twice the arctangent of the modulus. 17884:{\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2K,m)={\mathcal {E}}(u,m)+2E,} 5815:{\displaystyle E(\varphi ,m)={\mathcal {E}}(F(\varphi ,m),m).} 2204:

The twelve Jacobi elliptic functions are generally written as

1779: 1748: 1717: 37986: 37863: 37732:(4th ed.). Cambridge University Press. pp. 504–505. 37418:"cplot, Python package for plotting complex-valued functions" 33533:{\displaystyle K(x)=\pi /2\cdot {}_{2}F_{1}(1/2,1/2;1;x^{2})} 23551: 21000:{\displaystyle \operatorname {am} (u,1)=\operatorname {gd} u} 17628:) has an "inverse function" (in the multiplicative sense) qp( 6343:{\displaystyle \operatorname {am} (F(\varphi ,m),m)=\varphi } 2689:

from which other commonly used relationships can be derived:

1115: 1094:

Since the Jacobian elliptic functions are doubly periodic in

38063:

Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists

27956:

fixed, the derivatives with respect to the second variable

25702:{\displaystyle f_{\mathrm {n} }=1+\operatorname {dn} (u,m)} 25644:{\displaystyle f_{\mathrm {s} }=1-\operatorname {cn} (u,m)} 5157:

this way gives rise to very complicated branch cuts in the

4616:

at the branch cuts by continuity from some direction. Then

38262: 37396: 18392:), while those with α + β have full periods of 4 17639:

For the Jacobi amplitude and the Jacobi epsilon function:

12406:

or, equivalently, relations between various values of the

508:, the twelve functions form a repeating lattice of simple 22220:

Also this equation leads to the sn-value of the third of

21868:{\displaystyle \operatorname {dn} \left={\sqrt{1-k^{2}}}} 6539:

arc length of the unit circle measured from the positive

5942:

It is a singly periodic function which is meromorphic in

361:

are trivially set to unity for notational completeness.)

37601:(4th ed.). Cambridge University Press. p. 492. 7160:{\displaystyle P'=(x',y')=(\cos \varphi ,\sin \varphi )} 3688:

is a free parameter, usually taken to be real such that

889:, going counter-clockwise from the origin. The function 37962: 37960: 37958: 37956: 19303:

is the unique elliptic function having simple poles at

19061:

is the unique elliptic function having simple poles at

18834:

is the unique elliptic function having simple poles at

16537:

imaginary) and the twelve Jacobi Elliptic functions pq(

12333: 12077:. In the book, they place an additional restriction on 9723:{\displaystyle \theta _{4}(\tau )=\theta _{4}(0|\tau )} 9657:{\displaystyle \theta _{3}(\tau )=\theta _{3}(0|\tau )} 9591:{\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\theta _{2}(0|\tau )} 7264:{\displaystyle x'=\cos \varphi ,\quad y'=\sin \varphi } 7077:{\displaystyle P=(x,y)=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )} 5201:-plane); they have not been fully described as of yet. 38078:"Power series for inverse Jacobian elliptic functions" 33241: 28846:{\displaystyle q=\exp(-\pi K'(m)/K(m))=e^{i\pi \tau }} 25442: 23378: 23186: 22904: 22851: 22586: 22529: 22463: 22408: 22339: 21801: 21662: 21555: 8184: 7207:. Then the familiar relations from the unit circle: 2167: 153:

There are twelve Jacobi elliptic functions denoted by

118:

in particular, but his work was published much later.

38426:. J. reine u. angew. Math. 157, 1927. pages 209 – 218 38195:

AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79

37181: 37161: 37086: 37048: 37016: 36996: 36968: 36762: 36636: 36516: 36469: 36425: 36035: 35996: 35968: 35708: 35669: 35629: 35381: 35342: 35302: 34957: 34918: 34878: 34555: 34516: 34488: 34465: 34432: 34380: 33556: 33431: 33378: 33200: 33161: 33126: 33100: 32956: 32801: 32643: 32493: 32460: 32428: 32408: 32334: 32045: 31615: 31580: 31379: 31038: 30859: 30745: 30712: 30686: 30557: 30528: 30400: 30369: 30341: 30285: 30256: 30065: 30030: 29964: 29853: 29706: 29529: 29344: 29159: 28991: 28930: 28897: 28859: 28765: 27985: 27962: 27942: 27906: 27880: 27820: 27493: 27463: 27381: 27262: 27164: 27132: 27019: 26915: 26883: 26776: 26675: 26643: 26619: 26529: 26428: 26396: 26294: 26128: 26029: 25940: 25854: 25834: 25714: 25656: 25598: 25522: 25431: 25073: 24480: 24394: 24319: 24233: 24141: 24037: 23949: 23867: 23814: 23738: 23686: 23615: 23570: 23365: 23173: 22798: 22653: 22516: 22395: 22320: 22233: 21888: 21788: 21649: 21542: 21380: 21244: 21126: 21040: 21013: 20963: 20919: 20888: 20861: 20822: 20799: 20772: 20733: 20704: 20677: 20638: 20609: 20582: 20543: 20520: 20493: 20454: 20425: 20398: 20359: 20330: 20309: 20270: 20241: 20214: 20175: 20146: 20119: 20080: 20051: 20030: 19991: 19962: 19935: 19896: 19867: 19840: 19801: 19753: 19727: 19569: 19546: 19526: 19494: 19466: 19446: 19401: 19367: 19309: 19265: 19242: 19222: 19159: 19125: 19067: 19023: 19000: 18980: 18932: 18898: 18840: 18796: 18746: 18699: 18658: 18611: 18583: 18545: 18509: 18478: 18380:). Likewise, functions with entries containing only 18248: 18086: 18060: 18027: 17898: 17812: 17729: 17648: 17497: 17107: 16947: 16818: 16684: 16610: 16481: 16295: 16126: 15976: 15878: 15832: 15712: 15650: 15490: 15467: 15415: 15372: 15331: 15289: 15255: 15218: 15085: 15022: 14914: 14736: 14708: 14643: 14490: 14381: 14272: 13918: 13849: 13789: 13743: 13722: 13698: 13677: 13651: 13630: 13606: 13585: 13549: 13518: 13497: 13466: 13440: 13419: 13395: 13374: 13277: 13227: 13158: 13069: 12860: 12810: 12741: 12652: 12575: 12494: 12419: 12229: 12188: 12162: 12103: 12083: 12026: 11600: 11577: 11504: 11381: 11351: 11321: 11299: 11209: 11163: 11065: 11034: 11007: 10971: 10340: 9908: 9863: 9817: 9771: 9736: 9670: 9604: 9538: 9433: 9402: 9315: 9284: 9162: 9131: 8977: 8946: 8911: 8877: 8821: 8807:{\displaystyle 1/y=\csc(\varphi )\operatorname {dn} } 8771: 8757:{\displaystyle 1/x=\sec(\varphi )\operatorname {dn} } 8721: 8681: 8631: 8584: 8532: 8485: 8435: 8383: 8336: 8289: 8115: 7968: 7867: 7796: 7773: 7753: 7733: 7713: 7693: 7509: 7468: 7430: 7399: 7374: 7283: 7216: 7193: 7173: 7090: 7016: 6989: 6969: 6937: 6850: 6827: 6748: 6556: 6522: 6480: 6436: 6378: real) and the twelve Jacobi elliptic functions 6297: 6232: 6167: 6084: 6048: 6028: 6008: 5988: 5968: 5948: 5841: 5750: 5734:{\displaystyle t\mapsto \operatorname {dn} (t,m)^{2}} 5696: 5668: 5569: 5546: 5526: 5506: 5486: 5450: 5422: 5341: 5311: 5213: 5187: 5163: 5125: 5099: 5079: 5041: 5015: 4987: 4917: 4897: 4859: 4833: 4813: 4775: 4749: 4721: 4680: 4660: 4622: 4584: 4550: 4473: 4396: 4376: 4338: 4297: 4273: 4229: 4184: 4150: 4073: 3996: 3973: 3949: 3907: 3884: 3860: 3826: 3806: 3786: 3766: 3746: 3726: 3694: 3674: 3587: 3501: 3415: 3350: 3240: 3217: 3197: 3177: 3157: 3129:

Definition in terms of inverses of elliptic integrals

2912: 2807: 2765: 2732: 2698: 2619: 2544: 2494: 2456: 2418: 2380: 2358: 2336: 2314: 2292: 2270: 2248: 2210: 2130: 2110: 2090: 2051: 2031: 1993: 1973: 1948: 1925: 1905: 1870: 1840: 1816: 1791: 1760: 1729: 1698: 1648: 1613: 1583: 1553: 1527: 1488: 1468: 1442: 1416: 1386: 1361: 1339: 1303: 1269: 1249: 1229: 1199: 1179: 1151: 1128: 1100: 1072: 1052: 1020: 1000: 980: 955: 933: 895: 873: 851: 829: 807: 770: 738: 705: 655: 620: 592: 564: 541: 518: 494: 471: 451: 431: 411: 387: 367: 329: 307: 285: 263: 241: 219: 197: 159: 136: 84: 64: 37953: 37833:

IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques

12149:{\displaystyle m\notin (-\infty ,0)\cup (1,\infty )} 8565:{\displaystyle y=\sin(\varphi )/\operatorname {dn} } 8416:{\displaystyle x=\cos(\varphi )/\operatorname {dn} } 3820:), and are given in a section below. Note that when 38419:. J. Austral. Math. Soc. (Series B) 24, 1982, S. 57 34419:{\displaystyle {\textrm {sn}}(t),{\textrm {cn}}(t)} 24464:From this we see that (cn, sn, dn) parametrizes an 18783:The information about poles can in fact be used to 17570: 37788:"Quick calculation of Jacobian elliptic functions" 37273: 37167: 37139: 37072: 37034: 37002: 36982: 36870: 36747: 36621: 36499: 36455: 36399: 36018: 35982: 35951: 35691: 35655: 35612: 35364: 35328: 35285: 34940: 34904: 34861: 34538: 34502: 34471: 34451: 34418: 34363: 33532: 33417: 33364: 33224: 33186: 33144: 33112: 33079: 32939: 32781: 32623: 32471: 32446: 32414: 32385: 32314: 32025: 31592: 31563: 31359: 31018: 30844: 30718: 30698: 30669: 30540: 30511: 30383: 30355: 30324: 30268: 30239: 30048: 30013: 29926: 29836: 29689: 29512: 29327: 29142: 28971: 28916: 28883: 28845: 28739: 27968: 27948: 27920: 27892: 27866: 27803: 27476: 27446: 27357: 27248: 27150: 27117: 27005: 26901: 26868: 26762: 26661: 26625: 26605: 26511: 26414: 26360: 26171: 26108: 26016: 25927: 25840: 25804: 25701: 25643: 25585: 25506: 25405: 25057: 24454: 24379: 24294: 24218: 24126: 24022: 23909: 23853: 23790: 23725: 23674:= 1. Multiplying by any function of the form 23662: 23602: 23540: 23348: 23153: 22781: 22628: 22499: 22375: 22303: 22202: 21867: 21773: 21634: 21517: 21367: 21231: 21100: 21019: 20999: 20949: 20900: 20873: 20846: 20805: 20784: 20757: 20716: 20689: 20662: 20621: 20594: 20567: 20526: 20505: 20478: 20437: 20410: 20383: 20342: 20315: 20294: 20253: 20226: 20199: 20158: 20131: 20104: 20063: 20036: 20015: 19974: 19947: 19920: 19879: 19852: 19825: 19765: 19739: 19710: 19552: 19532: 19509: 19472: 19452: 19432: 19387: 19353: 19295: 19248: 19228: 19208: 19145: 19111: 19053: 19006: 18986: 18966: 18918: 18884: 18826: 18755: 18720: 18679: 18638: 18596: 18566: 18525: 18494: 18254: 18206: 18066: 18042: 18010: 17883: 17797: 17714: 17556: 17477: 17087: 16910: > 1, the curve is a hyperbola. When 16890: 16801: 16656: 16501: 16464: 16280: 16111: 15956: 15858: 15815: 15635: 15473: 15441: 15383: 15342: 15307: 15273: 15236: 15155: 15065: 15008: 14758: 14721: 14681: 14584: 14475: 14366: 14235: 13894: 13825: 13749: 13728: 13707: 13683: 13657: 13636: 13615: 13591: 13565: 13534: 13503: 13482: 13446: 13425: 13404: 13380: 13328: 13257: 13209: 13144: 13063:. The transformations may be generally written as 13054: 12911: 12840: 12792: 12727: 12635: 12560: 12479: 12314: 12200: 12174: 12148: 12089: 12069: 12009: 11583: 11560: 11487: 11364: 11337: 11307: 11282: 11189: 11146: 11047: 11013: 10981: 10954: 10320: 9891: 9849: 9803: 9757: 9722: 9656: 9590: 9521: 9387: 9269: 9116: 8929: 8897: 8841: 8806: 8756: 8701: 8663: 8616: 8564: 8517: 8467: 8415: 8368: 8321: 8220: 8159:for the coordinates of points on the unit circle. 8151: 8090: 7951: 7850: 7779: 7759: 7739: 7719: 7699: 7676: 7492: 7454: 7408: 7385: 7357: 7263: 7199: 7179: 7159: 7076: 6995: 6975: 6955: 6920: 6833: 6810: 6728: 6531: 6504: 6455: 6342: 6283: 6218: 6147: 6066: 6034: 6014: 5994: 5974: 5954: 5931: 5814: 5733: 5678: 5652: 5552: 5532: 5512: 5492: 5468: 5436: 5405: 5317: 5290: 5193: 5169: 5149: 5108: 5085: 5065: 5027: 5001: 4973: 4903: 4883: 4845: 4819: 4799: 4761: 4735: 4707: 4666: 4646: 4608: 4570: 4536: 4459: 4382: 4362: 4321: 4279: 4259: 4208: 4170: 4136: 4059: 3982: 3955: 3931: 3890: 3866: 3846: 3812: 3792: 3772: 3752: 3732: 3712: 3680: 3657: 3555: 3469: 3384:{\displaystyle \operatorname {am} (u,m)=\varphi .} 3383: 3326: 3223: 3203: 3183: 3163: 3117: 2892: 2784: 2750: 2717: 2678: 2599: 2518: 2480: 2442: 2404: 2366: 2344: 2322: 2300: 2278: 2256: 2234: 2193: 2153: 2116: 2096: 2076: 2037: 2012: 1979: 1954: 1931: 1911: 1876: 1856: 1822: 1797: 1766: 1735: 1704: 1669: 1634: 1599: 1569: 1539: 1513: 1474: 1454: 1428: 1402: 1369: 1347: 1317: 1289: 1255: 1235: 1210: 1185: 1165: 1137: 1106: 1083: 1058: 1038: 1006: 986: 963: 941: 919: 881: 859: 837: 815: 793: 756: 720: 687: 641: 606: 578: 550: 527: 500: 477: 457: 437: 417: 393: 373: 353: 315: 293: 271: 249: 227: 205: 183: 142: 130:The fundamental rectangle in the complex plane of 90: 70: 37941: 37395:Olver, F. W. J.; et al., eds. (2017-12-22). 28750: 19296:{\displaystyle u\mapsto \operatorname {dn} (u,m)} 19054:{\displaystyle u\mapsto \operatorname {cn} (u,m)} 18827:{\displaystyle u\mapsto \operatorname {sn} (u,m)} 13566:{\displaystyle {\frac {1}{k}}\operatorname {sc} } 13535:{\displaystyle {\frac {1}{k}}\operatorname {sn} } 13483:{\displaystyle {\frac {1}{k}}\operatorname {sd} } 12902: 12898: 12831: 12827: 12783: 12779: 12718: 12714: 12626: 12622: 12551: 12547: 12470: 12466: 8858:Definition in terms of the Jacobi theta functions 6983:would be an arc length. However, the relation of 445:. The distribution of the zeros and poles in the 38475: 38261:Reinhardt, William P.; Walker, Peter L. (2010), 38243:Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum 38130: 37399:. National Institute of Standards and Technology 37301: 36500:{\displaystyle \xi =\operatorname {arcsn} (x,m)} 35656:{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}} 35329:{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}} 34905:{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}} 38260: 37984: 37904: 37861: 37718: 37674: 37650:"Introduction to the Jacobi elliptic functions" 37587: 37501: 33225:{\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0} 28884:{\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0} 27932:Derivatives with respect to the second variable 13764: 12070:{\displaystyle \zeta =u/\theta _{3}(\tau )^{2}} 8152:{\displaystyle x=\cos \varphi ,y=\sin \varphi } 5303:incomplete elliptic integral of the second kind 38256:, Reprinted by Cambridge University Press 2012 37306:(First ed.). Cambridge University Press. 32398:Approximation in terms of hyperbolic functions 25820:Derivatives with respect to the first variable 17567:where p and q are any of the letters s, c, d. 16657:{\displaystyle x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} 12366:. The solid curve is the degenerate ellipse ( 12212:Definition in terms of Neville theta functions 11315:is the upper half-plane in the complex plane, 8231:Jacobi elliptic functions pq as functions of { 6354:Definition as trigonometry: the Jacobi ellipse 3150:incomplete elliptic integral of the first kind 38377:(Paris : Gauthier-Villars et fils, 1893) 38367:(Paris : Gauthier-Villars et fils, 1893) 38357:(Paris : Gauthier-Villars et fils, 1893) 38347:(Paris : Gauthier-Villars et fils, 1893) 37443: 37441: 37439: 37437: 37435: 37433: 36456:{\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi ,m)} 30014:{\displaystyle a_{0}=1,\,b_{0}={\sqrt {1-m}}} 22304:{\displaystyle k^{2}s^{4}-2k^{2}s^{3}+2s-1=0} 18052:complete elliptic integral of the second kind 8930:{\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0} 7368:So the projections of the intersection point 4654:becomes single-valued and singly-periodic in 4260:{\displaystyle \sin \operatorname {am} (u,m)} 3967:(the branches differ by integer multiples of 1547:is also periodic in the other two directions 38234:Lectures on the theory of elliptic functions 38225:Edmund T. Whittaker, George Neville Watson: 38191:Elements of the Theory of Elliptic Functions 38060: 37644: 37642: 37640: 37638: 37636: 37634: 35650: 35644: 35323: 35317: 34899: 34893: 33542:complete elliptic integral of the first kind 15456: 15409:can be converted into another set for which 12410:parameter. In terms of the major functions: 11555: 11543: 11479: 11395: 11274: 11242: 11184: 11172: 6512:are defined on the unit circle, with radius 1514:{\displaystyle 2(\mathrm {p} -\mathrm {q} )} 1410:is equal to half the period of the function 42:. They are found in the description of the 25423:. Half angle formulae are all of the form: 22644:Following equation has following solution: 18772:When applicable, poles displaced above by 2 16553:. The solid curve is the hyperbola, with 16475:where all the identities are valid for all 8862: 6505:{\displaystyle \cos \varphi ,\sin \varphi } 1122:. The circumference of the first circle is 38396:National Astronomical Observatory of Japan 38193:(1970) Moscow, translated into English as 37430: 23552:Relations between squares of the functions 22376:{\displaystyle s=\operatorname {sn} \left} 20950:{\displaystyle \operatorname {am} (u,0)=u} 13840:parameter in the real transformation, and 10992: 1670:{\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} '} 1635:{\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {p} '} 38104: 37803: 37631: 37302:Armitage, J. V.; Eberlein, W. F. (2006). 36976: 36297: 36200: 36123: 35976: 35909: 35884: 35847: 35822: 35785: 35756: 35637: 35582: 35545: 35520: 35483: 35458: 35429: 35310: 35189: 35098: 35012: 34886: 34765: 34674: 34603: 34496: 34226: 34101: 33989: 33930: 30961: 30914: 30812: 30792: 30764: 30377: 30349: 30179: 30126: 29984: 27914: 27867:{\displaystyle m=\sin(\theta _{0}/2)^{2}} 24451: 24376: 21709: 19381: 19209:{\displaystyle (-1)^{r+s-1}i/{\sqrt {m}}} 19139: 18912: 18624: 18154: 18150: 16495: 15852: 15124: 15096: 15034: 14977: 14949: 13305: 13234: 13186: 13121: 12888: 12817: 12769: 12704: 12612: 12537: 12456: 12362:,1) for a particular value of angle 12328: 11536: 11519: 11508: 11405: 11301: 11252: 11165: 8891: 6911: 6804: 6398:. The solid curve is the ellipse, with 5638: 5430: 5279: 4995: 4974:{\displaystyle 2(2s+1)K(1/m)/{\sqrt {m}}} 4729: 4564: 4164: 1403:{\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} } 46:, as well as in the design of electronic 38415:J. D. Fenton and R. S. Gardiner-Garden: 38065:(2nd ed.). Berlin: Springer-Verlag. 37985:Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), 37905:Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), 37862:Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), 37617:"The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss" 37502:Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), 37390: 37388: 37386: 37384: 37382: 37326: 37324: 37073:{\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)} 30325:{\displaystyle \varphi _{N}=2^{N}a_{N}u} 28979:. Then the functions have expansions as 20847:{\displaystyle \operatorname {sc} (u,m)} 20758:{\displaystyle \operatorname {dc} (u,m)} 20663:{\displaystyle \operatorname {ds} (u,m)} 20568:{\displaystyle \operatorname {cs} (u,m)} 20479:{\displaystyle \operatorname {cd} (u,m)} 20384:{\displaystyle \operatorname {sd} (u,m)} 20295:{\displaystyle \operatorname {nd} (u,m)} 20200:{\displaystyle \operatorname {nc} (u,m)} 20105:{\displaystyle \operatorname {ns} (u,m)} 20016:{\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)} 19921:{\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)} 19826:{\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)} 17574: 16516: 15826:where both identities are valid for all 14682:{\displaystyle \gamma _{i}u,\mu _{i}(m)} 12337: 11023: 7493:{\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)} 7455:{\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)} 6357: 5686:is well-defined in this way because all 5150:{\displaystyle \operatorname {am} (u,m)} 5066:{\displaystyle \operatorname {am} (u,m)} 4884:{\displaystyle \operatorname {am} (u,m)} 4800:{\displaystyle \operatorname {am} (u,m)} 4647:{\displaystyle \operatorname {am} (u,m)} 4609:{\displaystyle \operatorname {am} (u,m)} 4363:{\displaystyle \operatorname {am} (u,m)} 4322:{\displaystyle \operatorname {am} (u,m)} 4209:{\displaystyle \operatorname {am} (u,m)} 3932:{\displaystyle \operatorname {am} (u,m)} 3132: 2535:and is not Jacobi's original notation.) 2519:{\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)} 2481:{\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)} 2443:{\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)} 2405:{\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)} 2235:{\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)} 920:{\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)} 354:{\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)} 184:{\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)} 125: 38387:( Paris : Gauthier-Villars, 1875) 38272:NIST Handbook of Mathematical Functions 38075: 37996:NIST Handbook of Mathematical Functions 37916:NIST Handbook of Mathematical Functions 37873:NIST Handbook of Mathematical Functions 37706:"Elliptic Functions: Complex Variables" 37668: 37556:NIST Handbook of Mathematical Functions 37544: 37513:NIST Handbook of Mathematical Functions 37447: 21034:In general if neither of p,q is d then 16512: 16509:such that both sides are well-defined. 15866:such that both sides are well-defined. 14695:Parameters for the six transformations 8898:{\displaystyle z,\tau \in \mathbb {C} } 8842:{\displaystyle 1/r=\operatorname {dn} } 8702:{\displaystyle r=1/\operatorname {dn} } 3171:. These functions take the parameters 1355:, and a simple pole at the corner 14: 38476: 38239: 38220:The applications of elliptic functions 37969: 37785: 37742: 37466: 37464: 37330: 36894:based on Jacobian elliptic functions. 33089: 27368:The function which exactly solves the 27151:{\displaystyle \operatorname {dn} (x)} 26902:{\displaystyle \operatorname {cn} (x)} 26662:{\displaystyle \operatorname {sn} (x)} 26415:{\displaystyle \operatorname {am} (x)} 26372: 20717:{\displaystyle \operatorname {csch} u} 20622:{\displaystyle \operatorname {csch} u} 20064:{\displaystyle \operatorname {sech} u} 19975:{\displaystyle \operatorname {sech} u} 18434:Residues of Jacobi Elliptic Functions 7787:we get, after inserting the relation: 5520:). Alternatively, throughout both the 107: 38455: 38408:H. Ferguson, D. E. Nielsen, G. Cook: 38236:(New York, J. Wiley & sons, 1910) 37826: 37477:SIAM Journal on Mathematical Analysis 37394: 37379: 37321: 27484:and zero initial angular velocity is 26182: 24468:which is the intersection of the two 21116: 18438: 18265: 17616:In the complex plane of the argument 15859:{\displaystyle u,v,m\in \mathbb {C} } 15166: 13339: 12922: 12342:Plot of the degenerate Jacobi curve ( 8251: 1333:There is a simple zero at the corner 488:In the complex plane of the argument 38337:(Paris, Gauthier-Villars, 1886–1891) 38327:(Paris, Gauthier-Villars, 1886–1891) 38317:(Paris, Gauthier-Villars, 1886–1891) 38027: 37470: 36410: 34374:Known continued fractions involving 24304: 18967:{\displaystyle (-1)^{r}/{\sqrt {m}}} 15453:, the function values will be real. 13708:{\displaystyle k\operatorname {cs} } 13616:{\displaystyle k\operatorname {ns} } 13405:{\displaystyle k\operatorname {ds} } 12334:The Jacobi imaginary transformations 11190:{\displaystyle \mathbb {C} -\{0,1\}} 8221:{\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} 6471:-axis at dc are shown in light grey. 4537:{\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i} 4460:{\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i} 4137:{\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i} 4060:{\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i} 1540:{\displaystyle \operatorname {pq} u} 1455:{\displaystyle \operatorname {pq} u} 1429:{\displaystyle \operatorname {pq} u} 38222:(London, New York, Macmillan, 1892) 38061:Byrd, P.F.; Friedman, M.D. (1971). 37684:. New York, USA: The MacMillan Co. 37611: 37461: 37168:{\displaystyle \operatorname {dn} } 30719:{\displaystyle \operatorname {am} } 29939: 21020:{\displaystyle \operatorname {gd} } 19553:{\displaystyle \operatorname {cl} } 19533:{\displaystyle \operatorname {sl} } 19388:{\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} } 19146:{\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} } 18919:{\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} } 18639:{\displaystyle -{\frac {i}{k\,k'}}} 18237:) is given in the following table: 16502:{\displaystyle u,m\in \mathbb {C} } 13729:{\displaystyle \operatorname {cn} } 13684:{\displaystyle \operatorname {cd} } 13658:{\displaystyle \operatorname {nc} } 13592:{\displaystyle \operatorname {nd} } 13447:{\displaystyle \operatorname {dc} } 13426:{\displaystyle \operatorname {dn} } 7084:be a point on the ellipse, and let 4571:{\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} } 4280:{\displaystyle \operatorname {am} } 4171:{\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} } 3813:{\displaystyle \operatorname {dn} } 3793:{\displaystyle \operatorname {cn} } 3773:{\displaystyle \operatorname {sn} } 1798:{\displaystyle \operatorname {sc} } 1767:{\displaystyle \operatorname {dn} } 1736:{\displaystyle \operatorname {cn} } 1705:{\displaystyle \operatorname {sn} } 1475:{\displaystyle \operatorname {pq} } 71:{\displaystyle \operatorname {sn} } 24: 37471:Sala, Kenneth L. (November 1989). 37457:. Oxford: Oxford University Press. 36806: 36680: 36560: 36125: 36046: 35758: 35719: 35431: 35392: 35014: 34968: 34605: 34566: 33807: 33802: 33724: 33719: 32380: 31587: 30693: 29773: 29623: 29414: 29229: 29067: 28655: 28563: 28551: 28545: 28462: 28371: 28365: 28276: 28185: 28179: 28090: 27999: 27993: 27403: 27387: 27282: 27272: 27186: 27170: 27158:solves the differential equations 27039: 27029: 26937: 26921: 26909:solves the differential equations 26796: 26786: 26697: 26681: 26669:solves the differential equations 26549: 26539: 26450: 26434: 26422:solves the differential equations 26316: 26304: 26298: 26138: 26132: 26039: 26033: 25950: 25944: 25864: 25858: 25721: 25663: 25605: 25529: 25498: 25481: 25140: 25115: 25080: 17943: 17901: 17849: 17815: 16933: 15102: 15098: 14955: 14951: 14530: 14526: 14421: 14417: 14312: 14308: 13895:{\displaystyle \mu _{I}(m)=1-m=m'} 13040:hyperbolic trigonometric functions 12289: 12262: 12140: 12116: 11322: 11226: 9453: 9448: 9335: 9330: 9182: 9177: 8997: 8992: 8664:{\displaystyle r/y=\csc(\varphi )} 8617:{\displaystyle r/x=\sec(\varphi )} 8518:{\displaystyle y/r=\sin(\varphi )} 8468:{\displaystyle y/x=\tan(\varphi )} 8369:{\displaystyle x/r=\cos(\varphi )} 8322:{\displaystyle x/y=\cot(\varphi )} 6430:of the first kind (with parameter 5868: 5774: 5671: 5640: 5572: 5344: 5281: 4332:However, a particular cutting for 3621: 3615: 3287: 2867: 2840: 2672: 2665: 2652: 2648: 2636: 2628: 2360: 2338: 2316: 2294: 2272: 2250: 2077:{\displaystyle m=\sin ^{2}\alpha } 1659: 1650: 1624: 1615: 1589: 1586: 1559: 1556: 1504: 1496: 1396: 1388: 1363: 1341: 957: 935: 875: 853: 831: 809: 485:-plane remain to be investigated. 309: 287: 265: 243: 221: 199: 25: 38505: 38430: 38405:. Bull. Amer. Math. Soc. 48, 1942 38385:Théorie des fonctions elliptiques 37757:10.1090/S0025-5718-1976-0391477-3 36983:{\displaystyle u\in \mathbb {R} } 36881: 35983:{\displaystyle z\in \mathbb {C} } 35641: 35314: 34890: 34503:{\displaystyle z\in \mathbb {C} } 34452:{\displaystyle {\textrm {dn}}(t)} 30384:{\displaystyle N\in \mathbb {N} } 30356:{\displaystyle u\in \mathbb {R} } 27921:{\displaystyle t\in \mathbb {R} } 23910:{\displaystyle x^{2}{}+m'y^{2}=1} 23854:{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} 19483: 16545:) for particular values of angle 12854:Jacobi Imaginary transformations 9850:{\displaystyle \zeta =\pi u/(2K)} 6390:) for particular values of angle 5437:{\displaystyle u\in \mathbb {R} } 5002:{\displaystyle s\in \mathbb {Z} } 4736:{\displaystyle m\in \mathbb {R} } 4578:; then it only remains to define 37786:Salzer, Herbert E. (July 1962). 37337:Proceedings of the Royal Society 33187:{\displaystyle q=e^{\pi i\tau }} 18721:{\displaystyle -{\frac {i}{k'}}} 18680:{\displaystyle -{\frac {1}{k'}}} 18567:{\displaystyle -{\frac {1}{k'}}} 18384:have full periods of 2K(m) and 4 17571:Periodicity, poles, and residues 13152:. The following table gives the 12735:. The following table gives the 1919:, or more commonly, in terms of 1778: 1747: 1716: 1685: 1326:there is one zero and one pole. 18:Jacobi's elliptic functions 38307:(Paris, Gauthier Villars, 1897) 38069: 38054: 38021: 37978: 37898: 37855: 37820: 37779: 37736: 37712: 37698: 37605: 37581: 37149: 36417:inverse trigonometric functions 30595: 28972:{\displaystyle v=\pi u/(2K(m))} 26385:ordinary differential equations 23678:yields more general equations: 19609: 18787:the Jacobi elliptic functions: 18526:{\displaystyle -{\frac {1}{k}}} 18495:{\displaystyle -{\frac {i}{k}}} 18233:. The power of negative unity ( 17411: 17351: 17291: 17231: 17171: 17039: 16993: 16730: 15308:{\displaystyle {\frac {1}{k'}}} 15274:{\displaystyle {\frac {1}{k'}}} 15237:{\displaystyle {\frac {1}{k'}}} 13826:{\displaystyle \mu _{R}(m)=1/m} 13055:The Jacobi real transformations 8028: 7619: 7564: 7319: 7240: 6703: 6658: 6608: 3847:{\displaystyle \varphi =\pi /2} 38401:Lowan, Blanch und Horenstein: 38275:, Cambridge University Press, 37999:, Cambridge University Press, 37919:, Cambridge University Press, 37876:, Cambridge University Press, 37827:Smith, John I. (May 5, 1971). 37559:, Cambridge University Press, 37538: 37516:, Cambridge University Press, 37495: 37410: 37295: 37265: 37250: 37244: 37238: 37227: 37215: 37200: 37188: 37129: 37117: 37067: 37055: 37029: 37017: 36956: 36862: 36837: 36834: 36815: 36781: 36769: 36739: 36711: 36708: 36689: 36655: 36643: 36613: 36591: 36588: 36569: 36535: 36523: 36494: 36482: 36450: 36438: 36370: 36351: 36273: 36254: 36176: 36157: 36101: 36095: 36083: 36077: 36067: 36061: 36006: 35998: 35737: 35731: 35679: 35671: 35410: 35404: 35352: 35344: 35256: 35237: 35165: 35146: 35074: 35055: 34993: 34987: 34928: 34920: 34832: 34813: 34741: 34722: 34650: 34631: 34584: 34578: 34526: 34518: 34446: 34440: 34413: 34407: 34394: 34388: 34322: 34281: 34278: 34243: 34194: 34153: 34150: 34115: 34069: 34031: 34028: 33993: 33880: 33860: 33822: 33812: 33778: 33758: 33597: 33577: 33527: 33480: 33441: 33435: 33412: 33409: 33403: 33397: 33388: 33382: 33353: 33349: 33337: 33319: 33307: 33294: 33280: 33273: 33251: 33245: 33213: 33207: 33071: 33065: 33056: 33047: 33041: 33032: 33026: 33017: 32993: 32987: 32975: 32963: 32931: 32925: 32916: 32910: 32901: 32892: 32886: 32877: 32871: 32862: 32838: 32832: 32820: 32808: 32773: 32767: 32758: 32752: 32743: 32734: 32728: 32719: 32713: 32704: 32680: 32674: 32662: 32650: 32615: 32609: 32593: 32584: 32578: 32569: 32563: 32554: 32530: 32524: 32512: 32500: 32377: 32353: 32341: 32269: 32250: 32154: 32135: 32092: 32079: 31584: 31515: 31503: 31451: 31439: 31402: 31390: 31095: 31079: 30786: 30780: 30690: 30614: 30602: 30576: 30564: 29918: 29896: 29879: 29865: 29831: 29819: 29751: 29745: 29725: 29713: 29681: 29669: 29601: 29595: 29572: 29566: 29548: 29536: 29504: 29498: 29483: 29480: 29392: 29386: 29363: 29351: 29319: 29313: 29298: 29295: 29207: 29201: 29178: 29166: 29134: 29122: 29110: 29088: 29039: 29033: 29010: 28998: 28966: 28963: 28957: 28948: 28872: 28866: 28821: 28818: 28812: 28801: 28795: 28778: 28751:Expansion in terms of the nome 28721: 28714: 28689: 28677: 28669: 28666: 28660: 28650: 28644: 28632: 28626: 28617: 28611: 28602: 28599: 28593: 28574: 28568: 28529: 28517: 28509: 28506: 28500: 28491: 28485: 28473: 28467: 28451: 28439: 28436: 28433: 28427: 28418: 28412: 28393: 28387: 28349: 28337: 28326: 28323: 28317: 28308: 28302: 28287: 28281: 28265: 28253: 28250: 28247: 28241: 28232: 28226: 28207: 28201: 28163: 28151: 28140: 28137: 28131: 28122: 28116: 28101: 28095: 28079: 28067: 28064: 28061: 28055: 28046: 28040: 28021: 28015: 27855: 27833: 27774: 27757: 27736: 27717: 27661: 27644: 27623: 27604: 27555: 27552: 27533: 27517: 27370:pendulum differential equation 27352: 27327: 27324: 27305: 27218: 27206: 27145: 27139: 27112: 27084: 27081: 27062: 26972: 26957: 26896: 26890: 26863: 26841: 26838: 26819: 26729: 26717: 26656: 26650: 26594: 26587: 26500: 26494: 26485: 26479: 26409: 26403: 26346: 26339: 26327: 26321: 26166: 26154: 26100: 26094: 26085: 26079: 26061: 26055: 26008: 26002: 25993: 25987: 25972: 25966: 25919: 25913: 25904: 25898: 25886: 25880: 25799: 25796: 25784: 25769: 25760: 25757: 25745: 25730: 25696: 25684: 25638: 25626: 25580: 25568: 25556: 25544: 25463: 25438: 25393: 25375: 25366: 25354: 25345: 25333: 25318: 25306: 25294: 25282: 25266: 25248: 25232: 25214: 25205: 25193: 25184: 25172: 25157: 25145: 25132: 25120: 25103: 25085: 25042: 25036: 25020: 25014: 24987: 24981: 24972: 24966: 24957: 24951: 24942: 24936: 24921: 24915: 24906: 24900: 24881: 24869: 24850: 24844: 24828: 24822: 24795: 24789: 24780: 24774: 24765: 24759: 24747: 24741: 24732: 24726: 24717: 24711: 24692: 24680: 24661: 24655: 24639: 24633: 24606: 24600: 24591: 24585: 24576: 24570: 24561: 24555: 24543: 24537: 24528: 24522: 24503: 24491: 24442: 24436: 24414: 24408: 24364: 24358: 24339: 24333: 23533: 23488: 23485: 23460: 23435: 23415: 23398: 23392: 23341: 23296: 23293: 23268: 23243: 23223: 23206: 23200: 23134: 23128: 23090: 23084: 23035: 23029: 22981: 22975: 22924: 22918: 22871: 22865: 22764: 22744: 22729: 22709: 22606: 22600: 22549: 22543: 22483: 22477: 22428: 22422: 22359: 22353: 21821: 21815: 21682: 21676: 21575: 21569: 21508: 21496: 21479: 21467: 21452: 21440: 21358: 21346: 21329: 21317: 21305: 21293: 21222: 21210: 21193: 21181: 21095: 21086: 21080: 21071: 21059: 21047: 20982: 20970: 20938: 20926: 20841: 20829: 20752: 20740: 20657: 20645: 20562: 20550: 20473: 20461: 20378: 20366: 20289: 20277: 20194: 20182: 20099: 20087: 20010: 19998: 19915: 19903: 19820: 19808: 19699: 19684: 19673: 19658: 19643: 19628: 19603: 19588: 19412: 19402: 19337: 19322: 19290: 19278: 19269: 19170: 19160: 19095: 19080: 19048: 19036: 19027: 18943: 18933: 18868: 18853: 18821: 18809: 18800: 18776:or displaced to the right by 2 18597:{\displaystyle {\frac {1}{k}}} 18201: 18189: 18174: 18164: 18158: 18147: 18135: 18117: 18111: 18093: 18037: 18031: 17960: 17948: 17935: 17906: 17866: 17854: 17841: 17820: 17789: 17777: 17765: 17736: 17700: 17688: 17676: 17655: 17548: 17542: 17531: 17525: 17510: 17504: 17462: 17456: 17445: 17439: 17424: 17418: 17402: 17396: 17385: 17379: 17364: 17358: 17342: 17336: 17325: 17319: 17304: 17298: 17282: 17276: 17265: 17259: 17244: 17238: 17222: 17216: 17205: 17199: 17184: 17178: 17162: 17156: 17145: 17139: 17124: 17118: 17076: 17070: 17052: 17046: 17030: 17024: 17006: 17000: 16984: 16978: 16960: 16954: 16885: 16867: 16849: 16831: 16793: 16775: 16764: 16746: 16721: 16703: 16521:Plot of the Jacobi hyperbola ( 16459: 16456: 16444: 16432: 16420: 16417: 16390: 16369: 16366: 16354: 16335: 16314: 16311: 16302: 16272: 16260: 16248: 16245: 16218: 16197: 16194: 16182: 16142: 16133: 16103: 16076: 16055: 16052: 16037: 16034: 16016: 16004: 15992: 15983: 15705: 15702: 15690: 15678: 15666: 15657: 15545: 15542: 15530: 15518: 15506: 15497: 15442:{\displaystyle 0<m\leq 1/2} 15150: 15113: 15060: 15023: 15003: 14966: 14933: 14921: 14753: 14747: 14676: 14670: 14579: 14576: 14570: 14541: 14509: 14497: 14470: 14467: 14461: 14432: 14400: 14388: 14361: 14358: 14352: 14323: 14291: 14279: 14198: 14195: 14192: 14186: 14173: 14160: 14138: 14132: 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10697: 10690: 10675: 10668: 10661: 10614: 10602: 10591: 10579: 10570: 10558: 10537: 10530: 10523: 10508: 10501: 10494: 10447: 10440: 10433: 10418: 10411: 10404: 10363: 10351: 10305: 10298: 10291: 10278: 10272: 10257: 10250: 10243: 10230: 10224: 10201: 10189: 10170: 10163: 10156: 10143: 10137: 10122: 10115: 10108: 10095: 10089: 10066: 10054: 10035: 10028: 10021: 10008: 10002: 9987: 9980: 9973: 9960: 9954: 9931: 9919: 9844: 9835: 9798: 9786: 9752: 9746: 9717: 9710: 9703: 9687: 9681: 9651: 9644: 9637: 9621: 9615: 9585: 9578: 9571: 9555: 9549: 9468: 9458: 9427: 9420: 9413: 9309: 9302: 9295: 9207: 9192: 9156: 9149: 9142: 9054: 9039: 9012: 9002: 8971: 8964: 8957: 8798: 8792: 8748: 8742: 8658: 8652: 8611: 8605: 8551: 8545: 8512: 8506: 8462: 8456: 8402: 8396: 8363: 8357: 8316: 8310: 8079: 8067: 8056: 8044: 8019: 8007: 7996: 7984: 7946: 7940: 7931: 7919: 7904: 7898: 7889: 7877: 7842: 7830: 7812: 7800: 7665: 7653: 7638: 7626: 7610: 7598: 7583: 7571: 7555: 7543: 7528: 7516: 7487: 7475: 7449: 7437: 7349: 7337: 7313: 7301: 7154: 7130: 7124: 7102: 7071: 7041: 7035: 7023: 6908: 6896: 6872: 6860: 6764: 6752: 6331: 6322: 6310: 6304: 6266: 6257: 6245: 6239: 6201: 6192: 6180: 6174: 6139: 6130: 6118: 6112: 6100: 6088: 6061: 6055: 5917: 5911: 5903: 5897: 5885: 5873: 5860: 5848: 5806: 5797: 5785: 5779: 5766: 5754: 5722: 5709: 5700: 5679:{\displaystyle {\mathcal {E}}} 5635: 5623: 5589: 5577: 5400: 5391: 5379: 5370: 5361: 5349: 5229: 5217: 5144: 5132: 5093:on the real line and jumps by 5060: 5048: 4956: 4942: 4936: 4921: 4911:-plane cross the real line at 4878: 4866: 4794: 4782: 4702: 4690: 4641: 4629: 4603: 4591: 4528: 4516: 4510: 4495: 4489: 4483: 4451: 4439: 4433: 4418: 4412: 4406: 4357: 4345: 4316: 4304: 4254: 4242: 4203: 4191: 4128: 4116: 4110: 4095: 4089: 4083: 4051: 4039: 4033: 4018: 4012: 4006: 3926: 3914: 3649: 3637: 3606: 3594: 3550: 3538: 3520: 3508: 3464: 3452: 3434: 3422: 3369: 3357: 3262: 3250: 3106: 3077: 3074: 3055: 3020: 2998: 2995: 2976: 2944: 2931: 2922: 2916: 2884: 2872: 2857: 2845: 2826: 2814: 2594: 2582: 2570: 2551: 2513: 2501: 2475: 2463: 2437: 2425: 2399: 2387: 2229: 2217: 1600:{\displaystyle \mathrm {pq} '} 1570:{\displaystyle \mathrm {pp} '} 1508: 1492: 914: 902: 788: 771: 751: 739: 715: 709: 682: 670: 636: 630: 348: 336: 178: 166: 100:Weierstrass elliptic functions 13: 1: 38263:"Jacobian Elliptic Functions" 38124: 38106:10.1090/s0025-5718-07-02049-2 37907:"Jacobian Elliptic Functions" 37864:"Jacobian Elliptic Functions" 37656:. Wolfram Research, Inc. 2018 37504:"Jacobian Elliptic Functions" 36944:Lemniscate elliptic functions 36939:Weierstrass elliptic function 36888:Peirce quincuncial projection 33418:{\displaystyle K=K(k(\tau ))} 32422:is close to unity, such that 21527: 21111: 19519:lemniscate elliptic functions 19354:{\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'} 19112:{\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'} 18885:{\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'} 16557: = 1 − 1/ 15066:{\displaystyle (k'\,u,-m/m')} 13780:) of six transformations. If 8101:The latter relations for the 6467: = cd crossing the 6402: = 1 − 1/ 4390:-plane by line segments from 3901:In the most general setting, 3713:{\displaystyle 0\leq m\leq 1} 1857:{\displaystyle k={\sqrt {m}}} 1462:is periodic in the direction 614:on the imaginary axis, where 116:lemniscate elliptic functions 38035:. p. 42. Archived from 37288: 33546:continued fraction expansion 31593:{\displaystyle N\to \infty } 30699:{\displaystyle N\to \infty } 13765:Other Jacobi transformations 13271:Jacobi real transformations 11308:{\displaystyle \mathbb {H} } 7416:with the unit circle on the 6362:Plot of the Jacobi ellipse ( 2367:{\displaystyle \mathrm {d} } 2345:{\displaystyle \mathrm {n} } 2323:{\displaystyle \mathrm {s} } 2301:{\displaystyle \mathrm {c} } 2279:{\displaystyle \mathrm {q} } 2257:{\displaystyle \mathrm {p} } 2194:{\textstyle k'={\sqrt {m'}}} 1370:{\displaystyle \mathrm {q} } 1348:{\displaystyle \mathrm {p} } 964:{\displaystyle \mathrm {q} } 942:{\displaystyle \mathrm {p} } 882:{\displaystyle \mathrm {n} } 860:{\displaystyle \mathrm {d} } 838:{\displaystyle \mathrm {c} } 816:{\displaystyle \mathrm {s} } 316:{\displaystyle \mathrm {d} } 294:{\displaystyle \mathrm {n} } 272:{\displaystyle \mathrm {s} } 250:{\displaystyle \mathrm {c} } 228:{\displaystyle \mathrm {q} } 206:{\displaystyle \mathrm {p} } 104:Carl Gustav Jakob Jacobi 7: 38460:"Jacobi Elliptic Functions" 38443:Encyclopedia of Mathematics 38438:"Jacobi elliptic functions" 38383:C. Briot and J. C. Bouquet 38227:A Course in Modern Analysis 37729:A Course of Modern Analysis 37681:A Course in Modern Analysis 37621:L'Enseignement Mathématique 37598:A Course of Modern Analysis 37454:Jacobian Elliptic Functions 36909:Schwarz–Christoffel mapping 36897: 33544:, then holds the following 33145:{\displaystyle 0<a<p} 32479:can be neglected, we have: 30049:{\displaystyle 0<m<1} 27477:{\displaystyle \theta _{0}} 19433:{\displaystyle (-1)^{s-1}i} 18731: 18649: 18536: 18464: 16812:It follows that we can put 14759:{\displaystyle \mu _{i}(m)} 14722:{\displaystyle \gamma _{i}} 14637:′ and the arguments ( 9892:{\displaystyle \tau =iK'/K} 5982:(due to the branch cuts of 5469:{\displaystyle 0<m<1} 5332:function can be defined as 1890: 1834:method. All have values of 1039:{\displaystyle 0<m<1} 121: 10: 38510: 38085:Mathematics of Computation 37987:"§22.15 Inverse Functions" 37654:The Wolfram Functions Site 32950:For the Jacobi amplitude, 20913:For the Jacobi amplitude, 18454: 18451: 18448: 18445: 18321:α + β 18225:are any pair of integers. 13258:{\displaystyle (k\,u,1/m)} 38484:Jacobi elliptic functions 38240:Jacobi, C. G. J. (1829), 38197:(1990) AMS, Rhode Island 37849:10.1109/TMTT.1971.1127543 37792:Communications of the ACM 29946:arithmetic-geometric mean 26203: 26184: 23861:) and the unit ellipse ( 18459: 18440: 18349:α + β 18329:α + β 18301:α + β 18286: 18267: 16914:is complex but not real, 16581:(⋅,⋅) is the 15457:Amplitude transformations 15187: 15168: 13905:is the transformation of 13360: 13341: 12943: 12924: 12390:(⋅,⋅) is the 9804:{\displaystyle K'=K(1-m)} 8272: 8253: 6532:{\displaystyle \varphi =} 6516: = 1 and angle 6426:(⋅,⋅) is the 6022:). Its minimal period in 4219:everywhere except on the 3965:logarithmic branch points 2538:Throughout this article, 1785:Jacobi elliptic function 1754:Jacobi elliptic function 1723:Jacobi elliptic function 1692:Jacobi elliptic function 1607:, with periods such that 949:corner and a pole at the 721:{\displaystyle K(\cdot )} 688:{\displaystyle K'=K(1-m)} 323:. (Functions of the form 36:Jacobi elliptic functions 38373:J. Tannery and J. Molk 38363:J. Tannery and J. Molk 38353:J. Tannery and J. Molk 38246:(in Latin), Königsberg, 37851:– via IEEE Xplore. 37720:Whittaker, Edmund Taylor 37589:Whittaker, Edmund Taylor 36949: 36929:Dixon elliptic functions 36924:Ramanujan theta function 36019:{\displaystyle |k|<1} 35692:{\displaystyle |k|<1} 35365:{\displaystyle |k|<1} 34941:{\displaystyle |k|<1} 34539:{\displaystyle |k|<1} 29950:Landen's transformations 27936:With the first argument 17488:More compactly, we have 15449:and, for real values of 11014:{\displaystyle \lambda } 8863:Using elliptic integrals 7005:arc length of an ellipse 6834:{\displaystyle \varphi } 5116:on the discontinuities. 4708:{\displaystyle 4iK(1-m)} 4674:with the minimal period 3668:In the above, the value 3224:{\displaystyle \varphi } 2374:. Functions of the form 1912:{\displaystyle \varphi } 1482:, with the period being 1436:; that is, the function 1114:, they factor through a 927:will have a zero at the 38343:J. Tannery and J. Molk 38217:Alfred George Greenhill 38076:Carlson, B. C. (2008). 37678:; Watson, G.N. (1940). 37545:Carlson, B. C. (2010), 37080:can be also written as 36934:Abel elliptic functions 30541:{\displaystyle n\geq 1} 30269:{\displaystyle n\geq 1} 28917:{\displaystyle m=k^{2}} 26373:addition theorems above 20901:{\displaystyle \sinh u} 20438:{\displaystyle \sinh u} 20343:{\displaystyle \cosh u} 20254:{\displaystyle \cosh u} 20159:{\displaystyle \coth u} 19880:{\displaystyle \tanh u} 18255:{\displaystyle \gamma } 15079:The RIR transformation 12218:Neville theta functions 11568:can be associated with 11157:assumes every value in 10993:Using modular inversion 6456:{\displaystyle m=k^{2}} 6074:. It is related to the 5832:function is defined by 4827:on the real line. When 4762:{\displaystyle m\leq 1} 3963:) with infinitely many 3740:and the parameter 3394:In this framework, the 2797:Neville theta functions 2286:are any of the letters 2038:{\displaystyle \alpha } 2013:{\displaystyle k^{2}=m} 235:are any of the letters 52:trigonometric functions 37724:Watson, George Neville 37593:Watson, George Neville 37357:10.1098/rspa.2003.1157 37331:Walker, Peter (2003). 37275: 37169: 37141: 37074: 37036: 37004: 36984: 36914:Carlson symmetric form 36872: 36749: 36623: 36501: 36457: 36401: 36020: 35984: 35953: 35693: 35657: 35614: 35366: 35330: 35287: 34942: 34906: 34863: 34540: 34504: 34473: 34459:with elliptic modulus 34453: 34420: 34365: 33811: 33728: 33534: 33419: 33366: 33226: 33188: 33146: 33114: 33094:Assuming real numbers 33081: 32941: 32783: 32625: 32473: 32454:and higher powers of 32448: 32447:{\displaystyle m'^{2}} 32416: 32387: 32316: 32027: 31594: 31565: 31361: 31020: 30846: 30720: 30700: 30671: 30640: 30542: 30513: 30385: 30357: 30326: 30270: 30241: 30050: 30015: 29928: 29838: 29777: 29691: 29627: 29514: 29418: 29329: 29233: 29144: 29071: 28973: 28918: 28885: 28847: 28741: 27970: 27950: 27922: 27894: 27893:{\displaystyle c>0} 27868: 27805: 27478: 27448: 27359: 27250: 27152: 27119: 27007: 26903: 26870: 26764: 26663: 26627: 26607: 26513: 26416: 26379:with 0 < 26362: 26173: 26110: 26018: 25929: 25842: 25806: 25703: 25645: 25587: 25508: 25407: 25059: 24456: 24381: 24296: 24220: 24128: 24024: 23911: 23855: 23792: 23727: 23672:m + m' 23664: 23604: 23542: 23350: 23155: 22783: 22630: 22501: 22377: 22305: 22204: 21869: 21775: 21636: 21519: 21369: 21233: 21102: 21021: 21001: 20951: 20902: 20875: 20874:{\displaystyle \tan u} 20848: 20807: 20786: 20785:{\displaystyle \sec u} 20759: 20718: 20691: 20690:{\displaystyle \csc u} 20664: 20623: 20596: 20595:{\displaystyle \cot u} 20569: 20528: 20507: 20506:{\displaystyle \cos u} 20480: 20439: 20412: 20411:{\displaystyle \sin u} 20385: 20344: 20317: 20296: 20255: 20228: 20227:{\displaystyle \sec u} 20201: 20160: 20133: 20132:{\displaystyle \csc u} 20106: 20065: 20038: 20017: 19976: 19949: 19948:{\displaystyle \cos u} 19922: 19881: 19854: 19853:{\displaystyle \sin u} 19827: 19767: 19741: 19712: 19554: 19534: 19511: 19474: 19454: 19434: 19389: 19355: 19297: 19250: 19230: 19210: 19147: 19113: 19055: 19008: 18988: 18968: 18920: 18886: 18828: 18757: 18722: 18681: 18640: 18598: 18568: 18527: 18496: 18256: 18208: 18068: 18044: 18012: 17885: 17799: 17716: 17613: 17584: = 2/3 with 17558: 17479: 17089: 16892: 16803: 16658: 16598: 16503: 16466: 16282: 16113: 15958: 15860: 15817: 15637: 15475: 15443: 15385: 15344: 15309: 15275: 15238: 15157: 15067: 15010: 14760: 14723: 14683: 14586: 14477: 14368: 14237: 13896: 13827: 13751: 13730: 13709: 13685: 13659: 13638: 13617: 13593: 13567: 13536: 13505: 13484: 13448: 13427: 13406: 13382: 13330: 13259: 13211: 13146: 12913: 12842: 12794: 12729: 12637: 12562: 12481: 12399: 12329:Jacobi transformations 12316: 12202: 12176: 12150: 12091: 12071: 12011: 11585: 11562: 11489: 11366: 11339: 11309: 11284: 11191: 11148: 11056: 11049: 11015: 10983: 10956: 10322: 9893: 9851: 9805: 9759: 9758:{\displaystyle K=K(m)} 9724: 9658: 9592: 9523: 9457: 9389: 9339: 9271: 9186: 9118: 9001: 8931: 8899: 8843: 8808: 8758: 8703: 8665: 8618: 8566: 8519: 8469: 8417: 8370: 8323: 8222: 8153: 8092: 7953: 7852: 7781: 7761: 7741: 7721: 7701: 7678: 7494: 7456: 7410: 7387: 7359: 7274:read for the ellipse: 7265: 7201: 7181: 7161: 7078: 6997: 6977: 6957: 6922: 6835: 6812: 6730: 6533: 6506: 6472: 6457: 6344: 6285: 6220: 6149: 6068: 6036: 6016: 5996: 5976: 5956: 5933: 5816: 5735: 5680: 5654: 5554: 5534: 5514: 5494: 5470: 5438: 5407: 5319: 5292: 5195: 5171: 5151: 5110: 5087: 5067: 5029: 5028:{\displaystyle m>1} 5003: 4975: 4905: 4885: 4847: 4846:{\displaystyle m>1} 4821: 4801: 4763: 4737: 4709: 4668: 4648: 4610: 4572: 4538: 4461: 4384: 4364: 4323: 4281: 4261: 4210: 4172: 4138: 4061: 3984: 3957: 3933: 3892: 3868: 3848: 3814: 3794: 3774: 3754: 3734: 3714: 3682: 3659: 3557: 3471: 3385: 3328: 3225: 3205: 3185: 3165: 3145: 3119: 2894: 2786: 2752: 2719: 2680: 2601: 2520: 2482: 2444: 2406: 2368: 2346: 2324: 2302: 2280: 2258: 2236: 2195: 2155: 2154:{\displaystyle m'=1-m} 2118: 2098: 2078: 2039: 2014: 1981: 1956: 1933: 1913: 1878: 1858: 1824: 1799: 1768: 1737: 1706: 1671: 1636: 1601: 1571: 1541: 1515: 1476: 1456: 1430: 1404: 1371: 1349: 1319: 1291: 1257: 1237: 1212: 1187: 1167: 1139: 1108: 1085: 1060: 1040: 1008: 988: 965: 943: 921: 883: 861: 839: 817: 795: 794:{\displaystyle (K,K')} 758: 722: 689: 643: 642:{\displaystyle K=K(m)} 608: 580: 558:on the real axis, and 552: 529: 502: 479: 459: 439: 419: 395: 375: 355: 317: 295: 273: 251: 229: 207: 185: 150: 144: 92: 72: 37805:10.1145/368273.368573 37276: 37170: 37142: 37075: 37037: 37005: 36985: 36919:Jacobi theta function 36873: 36750: 36624: 36502: 36458: 36402: 36021: 35985: 35954: 35694: 35658: 35615: 35367: 35331: 35288: 34943: 34907: 34864: 34541: 34505: 34474: 34454: 34421: 34366: 33788: 33705: 33535: 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J. 37508:Olver, Frank W. J. 37304:Elliptic Functions 37271: 37165: 37137: 37070: 37032: 37000: 36980: 36868: 36787: 36745: 36661: 36619: 36541: 36497: 36453: 36397: 36036: 36016: 35980: 35949: 35709: 35689: 35653: 35610: 35382: 35362: 35326: 35283: 34958: 34938: 34902: 34859: 34556: 34536: 34500: 34469: 34449: 34416: 34361: 34359: 33530: 33415: 33362: 33222: 33184: 33142: 33110: 33077: 32937: 32779: 32621: 32472:{\displaystyle m'} 32469: 32444: 32412: 32383: 32312: 32310: 32280: 32165: 32023: 32021: 31993: 31954: 31813: 31780: 31590: 31561: 31559: 31538: 31474: 31357: 31355: 31016: 30842: 30726:on the real line. 30716: 30696: 30667: 30538: 30509: 30381: 30353: 30322: 30266: 30237: 30046: 30011: 29924: 29834: 29687: 29510: 29325: 29140: 28969: 28914: 28881: 28843: 28737: 28735: 27966: 27946: 27918: 27890: 27864: 27801: 27799: 27474: 27444: 27355: 27246: 27148: 27115: 27003: 26899: 26866: 26760: 26659: 26623: 26603: 26509: 26412: 26358: 26169: 26121: 26106: 26014: 25925: 25838: 25802: 25699: 25641: 25583: 25504: 25451: 25403: 25401: 25055: 25053: 24452: 24377: 24292: 24216: 24124: 24020: 23907: 23851: 23788: 23723: 23660: 23600: 23538: 23387: 23346: 23195: 23151: 22913: 22860: 22779: 22626: 22595: 22538: 22497: 22472: 22417: 22373: 22348: 22301: 22200: 21865: 21810: 21771: 21671: 21632: 21564: 21515: 21365: 21229: 21117:Half angle formula 21098: 21017: 20997: 20947: 20898: 20871: 20844: 20803: 20782: 20755: 20714: 20687: 20660: 20619: 20592: 20565: 20524: 20503: 20476: 20435: 20408: 20381: 20340: 20313: 20292: 20251: 20224: 20197: 20156: 20129: 20102: 20061: 20034: 20013: 19972: 19945: 19918: 19877: 19850: 19823: 19763: 19737: 19708: 19550: 19530: 19507: 19470: 19450: 19430: 19385: 19351: 19293: 19246: 19226: 19206: 19143: 19109: 19051: 19004: 18984: 18964: 18916: 18882: 18824: 18756:{\displaystyle -i} 18753: 18718: 18677: 18636: 18594: 18564: 18523: 18492: 18433: 18252: 18242: 18204: 18064: 18040: 18008: 17881: 17795: 17712: 17614: 17554: 17475: 17473: 17085: 16888: 16799: 16654: 16599: 16589: = sin( 16499: 16462: 16278: 16109: 15954: 15856: 15813: 15811: 15633: 15471: 15439: 15384:{\displaystyle k'} 15381: 15343:{\displaystyle k'} 15340: 15305: 15271: 15234: 15153: 15078: 15063: 15006: 14756: 14719: 14694: 14689:) are suppressed) 14679: 14582: 14473: 14364: 14233: 14231: 13892: 13823: 13747: 13726: 13705: 13681: 13655: 13634: 13613: 13589: 13563: 13532: 13501: 13480: 13444: 13423: 13402: 13378: 13326: 13270: 13255: 13221:). (The arguments 13207: 13142: 12909: 12853: 12838: 12804:). (The arguments 12790: 12725: 12633: 12558: 12477: 12400: 12312: 12198: 12172: 12146: 12087: 12067: 12007: 12005: 11581: 11558: 11498:In this way, each 11485: 11362: 11335: 11305: 11280: 11198:once and only once 11187: 11144: 11057: 11045: 11011: 10979: 10952: 10950: 10812: 10648: 10481: 10391: 10318: 10316: 9889: 9847: 9801: 9755: 9720: 9654: 9588: 9519: 9518: 9385: 9384: 9267: 9266: 9114: 9113: 8927: 8895: 8839: 8804: 8754: 8699: 8661: 8614: 8562: 8515: 8465: 8413: 8366: 8319: 8230: 8218: 8149: 8088: 7949: 7848: 7777: 7757: 7737: 7717: 7697: 7674: 7490: 7452: 7409:{\displaystyle OP} 7406: 7386:{\displaystyle P'} 7383: 7355: 7261: 7197: 7177: 7157: 7074: 6993: 6973: 6953: 6918: 6878: 6831: 6808: 6726: 6724: 6529: 6502: 6473: 6453: 6340: 6281: 6216: 6145: 6064: 6032: 6012: 5992: 5972: 5952: 5929: 5812: 5731: 5676: 5650: 5595: 5550: 5530: 5510: 5490: 5466: 5434: 5403: 5315: 5288: 5235: 5191: 5167: 5147: 5106: 5083: 5063: 5025: 4999: 4971: 4901: 4881: 4843: 4817: 4797: 4759: 4733: 4705: 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