2647:
6218:
20:
7066:
264:
248:
5742:
5180:
3000:
573:
6822:
1649:
7394:
4853:
7703:
2323:
6213:{\displaystyle {\begin{aligned}b_{2}&=a_{1}^{2}+4a_{2},\quad &b_{4}&=a_{1}a_{3}+2a_{4},\\b_{6}&=a_{3}^{2}+4a_{6},\quad &b_{8}&=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2},\\c_{4}&=b_{2}^{2}-24b_{4},\quad &c_{6}&=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6},\end{aligned}}}
8264:
4414:
7967:
4918:
6784:
4639:
1338:
5558:
2830:
320:
7061:{\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;1-\lambda \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;\lambda \right)}}=i{\frac {\operatorname {M} (1,{\sqrt {1-\lambda }})}{\operatorname {M} (1,{\sqrt {\lambda }})}}}
5346:
1425:
8580:
4255:
7214:
4654:
7523:
2137:
3540:
3410:
conjectured a particular transcendence result that is often referred to as Mahler's conjecture, though it was proved as a corollary of results by Yu. V. Nesterenko and
Patrice Phillipon in the 1990s. Mahler's conjecture (now proven) is that, if
9268:
8082:
9499:
7199:
4301:
5175:{\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}(\tau )&={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\g_{3}(\tau )&={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54\left(abc\right)^{8}}{2}}}\\\end{aligned}}}
782:
3698:
1096:
7793:
7512:
956:
6614:
1951:
10189:
2122:
1829:
9394:
2492:
4466:
1183:
6391:
2799:
8342:
3872:
2995:{\displaystyle {\begin{aligned}|\tau |&\geq 1\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )\leq {\tfrac {1}{2}}\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1\end{aligned}}}
189:
5382:
8760:
5700:
4091:
2835:
6535:
8045:
The inversion is applied in high-precision calculations of elliptic function periods even as their ratios become unbounded. A related result is the expressibility via quadratic radicals of the values of
7782:
568:{\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{\Delta (\tau )}}=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}}}=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )}}}
3786:
1430:
1188:
2619:
4005:
showed that there are only a finite number of such functions (of some finite level), and Chris J. Cummins later showed that there are exactly 6486 of them, 616 of which have integral coefficients.
8454:
5747:
4923:
4659:
1644:{\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}}
5191:
9836:
8866:
9922:
8449:
6446:
4124:
9012:
7389:{\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {3}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;1-\gamma \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;\gamma \right)}}}
4848:{\displaystyle {\begin{aligned}a&=\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}}
10036:
7698:{\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {2}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;1-\beta \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;\beta \right)}}}
9306:
9773:
9558:
10093:
9634:
9100:
2318:{\displaystyle g_{2}(2i)={\frac {11\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{8}}{2^{8}\pi ^{2}}},\qquad g_{3}(2i)={\frac {7\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{12}}{2^{12}\pi ^{3}}}}
9950:
1694:
8259:{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!\left(k!\right)^{3}\left(-640320\right)^{3k}}}}
3444:
8951:
9163:
4409:{\displaystyle \left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace }
3996:
1413:
1377:
1171:
1135:
814:
229:
8441:
9402:
7962:{\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;1-\alpha \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;\alpha \right)}}}
7103:
8898:
2015:
655:
644:
6779:{\displaystyle j(\tau )={\frac {256{\bigl (}1-\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{3}}{{\bigl (}\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{2}}}={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}}
3589:
1983:
962:
605:
10302:
10241:
9700:
9667:
7416:
822:
9155:
9042:
8650:
1840:
8623:
10215:
9587:
10098:
9123:
8603:
8401:
8377:
2027:
1710:
9311:
4634:{\displaystyle \vartheta (0;\tau )=\vartheta _{00}(0;\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}
2342:
1333:{\displaystyle {\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\,E_{4}(\tau )\\G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\,E_{6}(\tau )\end{aligned}}}
4892:
6264:
5572:
as a function of a complex variable. However, as an invariant for isomorphism classes of elliptic curves, it can be defined purely algebraically. Let
10677:
2721:
8275:
5736:(note that this transformation can only be made when the characteristic of the field is not equal to 2 or 3). The resulting coefficients are:
5553:{\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}=32{\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}}{\left(abc\right)^{8}}}}
3808:
98:
8658:
5578:
2622:
4019:
6457:
7725:
3738:
8051:
10914:
10791:
10618:
10583:
10547:
10345:
2534:
10244:
1416:
5341:{\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}}
3438:
is algebraic then the following three numbers are algebraically independent, and thus at least two of them transcendental:
8575:{\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-25x\\E_{2}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-4x,\end{aligned}}}
276:
10243:), this definition coincides with the usual definition of the arithmetic–geometric mean for positive real numbers. See
8379:-invariant is only sensitive to isomorphism classes of elliptic curves over the complex numbers, or more generally, an
4250:{\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(e^{\pi i\tau })}{\theta _{3}^{4}(e^{\pi i\tau })}}=k^{2}(\tau )}
3879:
10313:
Gareth A. Jones and David
Singerman. (1987) Complex functions: an algebraic and geometric viewpoint. Cambridge UP.
9778:
8768:
6451:
In the case that the field over which the curve is defined has characteristic different from 2 or 3, this is equal to
2517:. This lattice can be rotated and scaled (operations that preserve the isomorphism class), so that it is generated by
10651:
9841:
6406:
8959:
3270:
2638:
as the modular discriminant is non-zero. This is due to the corresponding cubic polynomial having distinct roots.
9955:
2702:
9276:
10815:
10333:
9705:
9525:
7080:
10041:
2511:
is a complex torus, and thus can be identified with a rank 2 lattice; that is, a two-dimensional lattice of
2018:
10842:. Provides a variety of interesting algebraic identities, including the inverse as a hypergeometric series.
9592:
9047:
3144:
10986:
3535:{\displaystyle j(\tau ),{\frac {j^{\prime }(\tau )}{\pi }},{\frac {j^{\prime \prime }(\tau )}{\pi ^{2}}}}
2671:
one of weight four, so that its third power is also of weight twelve. Thus their quotient, and therefore
10575:
9927:
8380:
3930:
1834:
with no numerical factor other than 1728. This implies a third way to define the modular discriminant,
1657:
9263:{\displaystyle n={\frac {-9\pm {\sqrt {81-4\cdot 16\cdot (-25)}}}{2\cdot 16}}={\frac {-9\pm 41}{32}}.}
10991:
8348:
6569:
2650:
The usual choice of a fundamental domain (gray) for the modular group acting on the upper half plane.
8907:
1174:
9494:{\displaystyle (x,y)\mapsto (\mu ^{2}x,\mu ^{3}y)\ {\text{ where }}\ \mu ={\frac {\sqrt {10}}{2}}.}
7194:{\displaystyle j(\tau )={\frac {27\left(1+8\gamma \right)^{3}}{\gamma \left(1-\gamma \right)^{3}}}}
4645:
3954:
5709:. Then we may perform successive transformations to get the above equation into the standard form
1382:
1346:
1140:
1104:
790:
777:{\displaystyle \Delta (\tau )=g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}=(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )}
212:
10902:
10613:. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 112. New-York ect: Springer-Verlag. pp. 299–300.
8406:
6809:
6554:
4116:
3729:
3693:{\displaystyle j(\tau )=q^{-1}+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+20245856256q^{4}+\cdots }
1091:{\displaystyle g_{3}(\tau )=140G_{6}(\tau )=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-6}}
7507:{\displaystyle j(\tau )={\frac {64\left(1+3\beta \right)^{3}}{\beta \left(1-\beta \right)^{2}}}}
10981:
8871:
3162:
3140:
2128:
1988:
951:{\displaystyle g_{2}(\tau )=60G_{4}(\tau )=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-4}}
617:
1959:
1946:{\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\,{\frac {E_{4}(\tau )^{3}-E_{6}(\tau )^{2}}{1728}}}
581:
10531:
10287:
10220:
9672:
9639:
5352:
785:
10956:
10924:
10894:
10858:
10838:
10801:
10759:
10686:
10445:
10399:
10184:{\displaystyle \operatorname {M} (a,b)=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}
9128:
9020:
8901:
8628:
8073:
3335:
650:
85:
66:
10628:
10593:
10557:
10508:
10355:
8608:
2117:{\displaystyle \eta (2i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{11/8}\pi ^{3/4}}}}
1824:{\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {E_{4}(\tau )^{3}}{E_{4}(\tau )^{3}-E_{6}(\tau )^{2}}}}
8:
10672:
10668:
10325:
10194:
9566:
3353:
These classical results are the starting point for the theory of complex multiplication.
3255:
236:
10690:
9389:{\displaystyle E_{1}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))\cong E_{2}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))}
9105:
3432:
are never both simultaneously algebraic. Stronger results are now known, for example if
2487:{\displaystyle j(2i)=1728{\frac {g_{2}(2i)^{3}}{g_{2}(2i)^{3}-27g_{3}(2i)^{2}}}=66^{3}.}
10960:
10866:
10772:
10712:
10496:
10433:
10273:
8588:
8386:
8362:
8039:
7712:
7205:
6256:
4444:
3941:
3793:
2813:
1697:
256:
89:
10725:
8050:
at the points of the imaginary axis whose magnitudes are powers of 2 (thus permitting
3100:
10964:
10932:
10910:
10851:
Primes of the Form x^2 + ny^2: Fermat, Class Field Theory, and
Complex Multiplication
10787:
10730:
10704:
10647:
10614:
10579:
10543:
10488:
10341:
3948:
to look at the genus-zero modular functions. If they are normalized to have the form
3362:
3189:
3104:
194:
10500:
10944:
10882:
10824:
10779:
10720:
10694:
10624:
10589:
10553:
10504:
10484:
10480:
10425:
10385:
10351:
8055:
7090:
6546:
4002:
3934:
3904:
3385:
2329:
290:
77:
62:
54:
201:
are modular, and in fact give all modular functions of weight 0. Classically, the
10952:
10920:
10890:
10870:
10854:
10834:
10810:
10797:
10755:
10539:
10441:
10413:
10395:
10337:
10314:
3945:
3193:
3170:
3092:
2646:
10460:
6386:{\displaystyle \Delta =-b_{2}^{2}b_{8}+9b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}.}
3054:
has the property of mapping the fundamental region to the entire complex plane.
1704:-invariant can then be directly expressed in terms of the Eisenstein series as,
10767:
10747:
10678:
Proceedings of the
National Academy of Sciences of the United States of America
10369:
9561:
7403:
4457:
4432:
4261:
3919:
3895:
3725:
3570:
3566:
3017:
608:
306:
206:
81:
10783:
10644:
Pi and the AGM: A Study in
Analytic Number Theory and Computational Complexity
2501:
as representing an isomorphism class of elliptic curves. Every elliptic curve
10975:
10708:
10492:
3899:
2698:
2675:, is a modular function of weight zero, in particular a holomorphic function
612:
280:
232:
10886:
10763:. Provides a very readable introduction and various interesting identities.
10699:
3161:
is any point of the upper half plane whose corresponding elliptic curve has
10846:
10829:
10734:
10248:
3215:
2659:
10754:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 41, New York: Springer-Verlag,
4292:
3708:
3559:
3407:
3115:
is a modular function. In other words, the field of modular functions is
2794:{\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad ad-bc=1,}
36:
32:
10862:
Introduces the j-invariant and discusses the related class field theory.
10853:, New York: Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc.,
8354:
8337:{\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640320^{3}.}
3890:
More remarkably, the
Fourier coefficients for the positive exponents of
10948:
10606:
10437:
10390:
10373:
10278:
10574:, London Mathematical Society Student Texts, vol. 79, Cambridge:
10716:
10272:
Milne, Steven C. (2000). "Hankel
Determinants of Eisenstein Series".
8035:
10429:
3867:{\displaystyle {\frac {e^{4\pi {\sqrt {n}}}}{{\sqrt {2}}\,n^{3/4}}}}
3724:
All the
Fourier coefficients are integers, which results in several
184:{\displaystyle j\left(e^{2\pi i/3}\right)=0,\quad j(i)=1728=12^{3}.}
10813:; Chan, Heng Huat (1999), "Ramanujan and the modular j-invariant",
271:-invariant as a function of the square of the nome on the unit disk
10416:(1938). "The Fourier coefficients of the modular invariant j(τ)".
8755:{\displaystyle E_{2}(\mathbb {Q} )=\{\infty ,(2,0),(-2,0),(0,0)\}}
8383:. Over other fields there exist examples of elliptic curves whose
5695:{\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}
231:, but it also has surprising connections to the symmetries of the
19:
8403:-invariant is the same, but are non-isomorphic. For example, let
4644:
from which one can derive the auxiliary theta functions, defined
4086:{\displaystyle j(\tau )={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}}
3894:
are the dimensions of the graded part of an infinite-dimensional
3016:
when restricted to this region still takes on every value in the
2333:
10538:, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 281,
2715:
By a suitable choice of transformation belonging to this group,
10935:(1937), "Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale",
6601:
6530:{\displaystyle j=1728{\frac {c_{4}^{3}}{c_{4}^{3}-c_{6}^{2}}}.}
263:
10778:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 41 (2nd ed.),
10572:
Introduction to compact
Riemann surfaces and dessins d'enfants
9157:
solution, the quadratic formula gives the rational solutions:
3369:
is a quadratic irrational number in the upper half plane then
277:
Elliptic curve § Elliptic curves over the complex numbers
247:
8953:
are all irrational. On the other hand, on the set of points
7777:{\displaystyle j(\tau )={\frac {1728}{4\alpha (1-\alpha )}}}
10374:"Über die Entwicklungskoeffizienten der automorphen Formen"
3781:{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+744}
10928:. Provides a short review in the context of modular forms.
10898:. Includes a list of the 175 genus-zero modular functions.
4438:
3918:
part of the moonshine module, the first example being the
3082:
provides a bijection from the set of elliptic curves over
3035:, there is a unique τ in the fundamental region such that
3922:, which has dimension 196,884, corresponding to the term
6400:-invariant for the elliptic curve may now be defined as
3406:
function has numerous other transcendental properties.
3380:
is an algebraic integer. In addition he proved that if
10774:
Modular functions and
Dirichlet Series in Number Theory
10752:
Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory
3269:
associated in like manner to the same order define the
3254:
under multiplication form a ring with units, called an
2614:{\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}(\tau )x-g_{3}(\tau )}
7928:
7913:
7852:
7837:
7664:
7649:
7588:
7573:
7355:
7340:
7279:
7264:
6957:
6942:
6881:
6866:
5266:
5051:
4953:
3505:
2926:
2907:
2869:
10290:
10223:
10197:
10101:
10044:
9958:
9930:
9844:
9781:
9708:
9675:
9642:
9595:
9569:
9528:
9405:
9314:
9279:
9166:
9131:
9108:
9050:
9023:
8962:
8910:
8874:
8771:
8661:
8631:
8611:
8591:
8452:
8409:
8389:
8365:
8355:
Failure to classify elliptic curves over other fields
8278:
8085:
7796:
7728:
7526:
7419:
7217:
7106:
6825:
6617:
6460:
6409:
6267:
5745:
5581:
5385:
5194:
4921:
4657:
4469:
4304:
4127:
4022:
3957:
3811:
3741:
3592:
3447:
2833:
2724:
2537:
2345:
2140:
2030:
1991:
1962:
1843:
1713:
1660:
1428:
1385:
1349:
1186:
1143:
1107:
965:
825:
793:
658:
620:
584:
323:
215:
101:
10667:
10569:
9522:
The equality holds if the arithmetic–geometric mean
8443:
be the elliptic curves associated to the polynomials
8034:
is chosen. The latter three methods can be found in
3308:. Ordered by inclusion, the unique maximal order in
10461:"Congruence subgroups of groups commensurable with
10771:
10675:(1989), "The Computation of Classical Constants",
10304:, but this has been accounted for in this article.
10296:
10235:
10209:
10183:
10087:
10030:
9944:
9916:
9830:
9767:
9694:
9661:
9628:
9581:
9552:
9493:
9388:
9300:
9262:
9149:
9117:
9094:
9036:
9006:
8945:
8892:
8860:
8754:
8644:
8617:
8597:
8574:
8435:
8395:
8371:
8336:
8258:
7961:
7776:
7697:
7506:
7388:
7193:
7060:
6778:
6529:
6440:
6385:
6212:
5694:
5552:
5340:
5174:
4847:
4633:
4408:
4249:
4085:
3990:
3866:
3780:
3692:
3534:
2994:
2793:
2613:
2497:In general, this can be motivated by viewing each
2486:
2317:
2116:
2009:
1977:
1945:
1823:
1688:
1643:
1407:
1371:
1332:
1165:
1129:
1090:
950:
808:
776:
638:
599:
567:
223:
183:
8054:). The latter result is hardly evident since the
2531:. This lattice corresponds to the elliptic curve
10973:
10642:Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987).
10570:Girondo, Ernesto; González-Diez, Gabino (2012),
10156:
10127:
9831:{\displaystyle b_{n+1}=\pm {\sqrt {a_{n}b_{n}}}}
8861:{\displaystyle x^{3}-4x=x(x^{2}-4)=x(x-2)(x+2).}
3545:
205:-invariant was studied as a parameterization of
10530:
9917:{\displaystyle |a_{n}-b_{n}|\leq |a_{n}+b_{n}|}
289:-invariant can be defined as a function on the
10641:
10284:The paper uses a non-equivalent definition of
6441:{\displaystyle j={\frac {c_{4}^{3}}{\Delta }}}
3239:It is easy to see that all of the elements of
3111:; and, conversely, every rational function in
255:-invariant as a function of the square of the
9007:{\displaystyle \{n(-4,6):n\in \mathbb {Z} \}}
6714:
6688:
6673:
6641:
1956:For example, using the definitions above and
10865:
9001:
8963:
8749:
8686:
6553:-invariant can be expressed in terms of the
4291:is replaced by any of the six values of the
4272:, and is the square of the elliptic modulus
3929:. This startling observation, first made by
10875:Bulletin of the London Mathematical Society
10031:{\displaystyle |a_{n}-b_{n}|=|a_{n}+b_{n}|}
8904:to show that in that case the solutions to
3356:
3153:-invariant has many remarkable properties:
3129:
10809:
10412:
9301:{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {10}})}
6812:so the sextic can be solved as a cubic in
3940:The study of the Moonshine conjecture led
3334:having it as its associated order lead to
10931:
10909:, Cambridge: Cambridge University Press,
10828:
10724:
10698:
10389:
10368:
10324:
10277:
9938:
9366:
9329:
9281:
8997:
8676:
3842:
3365:proved the aforementioned result that if
3025:exactly once. In other words, for every
2641:
2261:
2172:
1878:
1306:
1234:
754:
542:
217:
84:. It is the unique such function that is
4008:
2645:
262:
246:
18:
10766:
10746:
10458:
9768:{\displaystyle a_{n+1}=(a_{n}+b_{n})/2}
9553:{\displaystyle \operatorname {M} (a,b)}
5563:
4439:Expressions in terms of theta functions
3214:is abelian, that is, it has an abelian
10974:
10901:
10646:(First ed.). Wiley-Interscience.
10245:The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss
10088:{\displaystyle \Im (b_{n}/a_{n})>0}
8052:compass and straightedge constructions
3173:with positive imaginary part, so that
10271:
9838:where the signs are chosen such that
9629:{\displaystyle a,b\neq 0;a\neq \pm b}
9095:{\displaystyle 36n^{2}=-64n^{3}+100n}
8868:There are no rational solutions with
3319:is the ring of algebraic integers of
3258:. The other lattices with generators
2808:to a value giving the same value for
10605:
10452:
9273:If these curves are considered over
8269:a proof of which uses the fact that
3064:produce the same elliptic curve iff
10845:
10524:
10515:
6594:can be done in at least four ways.
6540:
3908:– specifically, the coefficient of
3095:, the fundamental region has genus
2946:
2889:
578:with the third definition implying
235:(this connection is referred to as
13:
10291:
10166:
10137:
10102:
10045:
9529:
8689:
8140:
7030:
6997:
6433:
6268:
5195:
4609:
4604:
4544:
3502:
3471:
3192:. These special values are called
2262:
2173:
2052:
1844:
1588:
1484:
659:
373:
14:
11003:
10330:The Arithmetic of Elliptic Curves
9945:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
7517:then for any of the three roots,
3554:Several remarkable properties of
3415:is in the upper half plane, then
3388:but not imaginary quadratic then
2701:, which we may identify with the
1985:, then the Dedekind eta function
1689:{\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}
5568:So far we have been considering
2693:. Quotienting out by its centre
10873:(1979), "Monstrous moonshine",
10661:
10635:
10599:
10418:American Journal of Mathematics
10038:, the sign is chosen such that
9516:
8625:. Then, the rational points of
8030:, it makes no difference which
6123:
5915:
5801:
4876:are alternative notations, and
3715:-expansion has no terms below
3169:is any element of an imaginary
2820:, which consists of values for
2766:
2703:projective special linear group
2229:
146:
88:away from a simple pole at the
27:-invariant in the complex plane
16:Modular function in mathematics
10816:Canadian Mathematical Bulletin
10563:
10485:10.1080/10586458.2004.10504547
10406:
10362:
10318:
10307:
10265:
10163:
10134:
10120:
10108:
10076:
10048:
10024:
9996:
9988:
9960:
9910:
9882:
9874:
9846:
9754:
9728:
9547:
9535:
9456:
9424:
9421:
9418:
9406:
9383:
9380:
9370:
9362:
9346:
9343:
9333:
9325:
9295:
9285:
9214:
9205:
9144:
9132:
8984:
8969:
8946:{\displaystyle x^{3}-4x-a^{2}}
8852:
8840:
8837:
8825:
8816:
8797:
8746:
8734:
8728:
8713:
8707:
8695:
8680:
8672:
8347:For similar formulas, see the
8198:
8189:
8184:
8163:
8157:
8148:
8067:
7768:
7756:
7738:
7732:
7429:
7423:
7116:
7110:
7052:
7036:
7025:
7003:
6708:
6696:
6667:
6655:
6627:
6621:
6572:). Explicitly, given a number
5395:
5389:
5376:can then be rapidly computed,
5329:
5322:
5310:
5300:
5250:
5240:
5040:
5034:
4942:
4936:
4838:
4826:
4810:
4804:
4777:
4765:
4749:
4743:
4716:
4704:
4688:
4682:
4513:
4501:
4485:
4473:
4244:
4238:
4219:
4200:
4180:
4161:
4137:
4131:
4032:
4026:
3985:
3979:
3880:Hardy–Littlewood circle method
3602:
3596:
3516:
3510:
3482:
3476:
3457:
3451:
2978:
2970:
2966:
2957:
2951:
2900:
2894:
2847:
2839:
2728:
2685:invariant under the action of
2623:Weierstrass elliptic functions
2608:
2602:
2583:
2577:
2456:
2446:
2421:
2411:
2390:
2380:
2358:
2349:
2249:
2240:
2160:
2151:
2043:
2034:
2004:
1995:
1928:
1921:
1899:
1892:
1869:
1859:
1853:
1847:
1809:
1802:
1780:
1773:
1752:
1745:
1723:
1717:
1553:
1547:
1449:
1443:
1402:
1396:
1366:
1360:
1323:
1317:
1274:
1268:
1251:
1245:
1207:
1201:
1160:
1154:
1124:
1118:
1051:
1039:
1033:
1021:
1007:
1001:
982:
976:
911:
899:
893:
881:
867:
861:
842:
836:
803:
797:
771:
765:
745:
735:
723:
716:
691:
684:
668:
662:
594:
588:
559:
553:
533:
523:
512:
505:
474:
467:
442:
435:
414:
407:
382:
376:
362:
355:
333:
327:
156:
150:
53:, regarded as a function of a
1:
10334:Graduate Texts in Mathematics
9636:) is defined as follows: Let
9504:
7071:for any of the six values of
3991:{\displaystyle q^{-1}+{O}(q)}
3933:, was the starting point for
242:
10521:Chandrasekharan (1985) p.108
3885:
1408:{\displaystyle E_{6}(\tau )}
1372:{\displaystyle E_{4}(\tau )}
1166:{\displaystyle G_{6}(\tau )}
1130:{\displaystyle G_{4}(\tau )}
809:{\displaystyle \eta (\tau )}
649:The given functions are the
224:{\displaystyle \mathbb {C} }
7:
10907:Modular forms and functions
8436:{\displaystyle E_{1},E_{2}}
10:
11008:
10576:Cambridge University Press
10459:Cummins, Chris J. (2004).
9308:, there is an isomorphism
8900:. This can be shown using
8381:algebraically closed field
5705:be a plane elliptic curve
5185:and modular discriminant,
3914:is the dimension of grade-
3138:
2824:satisfying the conditions
816:, and modular invariants,
274:
10784:10.1007/978-1-4612-0999-7
8893:{\displaystyle y=a\neq 0}
7204:then for any of the four
7081:arithmetic–geometric mean
3569:expansion), written as a
3145:Hilbert's twelfth problem
2632:is defined everywhere in
2010:{\displaystyle \eta (2i)}
639:{\displaystyle {}=12^{3}}
10473:Experimental Mathematics
10258:
10217:are positive real (with
9509:
6576:, to solve the equation
4891:. Then we have the for
3878:as can be proved by the
3550:-expansion and moonshine
3357:Transcendence properties
3103:) modular function is a
3057:Additionally two values
1978:{\displaystyle \tau =2i}
600:{\displaystyle j(\tau )}
10700:10.1073/pnas.86.21.8178
10297:{\displaystyle \Delta }
10236:{\displaystyle a\neq b}
9695:{\displaystyle b_{0}=b}
9662:{\displaystyle a_{0}=a}
6810:modular lambda function
6555:hypergeometric function
4117:modular lambda function
3796:for the coefficient of
3130:Class field theory and
10830:10.4153/CMB-1999-050-1
10673:Chudnovsky, Gregory V.
10298:
10237:
10211:
10185:
10089:
10032:
9946:
9918:
9832:
9769:
9696:
9663:
9630:
9583:
9554:
9502:
9495:
9390:
9302:
9271:
9264:
9151:
9119:
9096:
9038:
9015:
9008:
8947:
8894:
8862:
8763:
8756:
8646:
8619:
8599:
8583:
8576:
8437:
8397:
8373:
8338:
8260:
8144:
8042:to alternative bases.
7976:, and the other gives
7963:
7778:
7699:
7508:
7390:
7195:
7062:
6780:
6568:(see also the article
6531:
6442:
6387:
6214:
5696:
5554:
5342:
5176:
4849:
4635:
4613:
4548:
4410:
4262:Jacobi theta functions
4251:
4087:
3992:
3898:representation of the
3868:
3782:
3694:
3536:
3163:complex multiplication
3141:Complex multiplication
3088:to the complex plane.
2996:
2795:
2662:of weight twelve, and
2651:
2642:The fundamental region
2615:
2488:
2319:
2129:transcendental numbers
2118:
2011:
1979:
1947:
1825:
1690:
1645:
1592:
1488:
1409:
1373:
1334:
1167:
1131:
1092:
952:
810:
778:
640:
607:can be expressed as a
601:
569:
272:
260:
225:
185:
28:
10887:10.1112/blms/11.3.308
10469:)$ of genus 0 and 1"
10299:
10238:
10212:
10186:
10090:
10033:
9947:
9919:
9833:
9770:
9697:
9664:
9631:
9584:
9555:
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