3124:
1959:
503:
3119:{\displaystyle {\begin{aligned}\omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}}{{\mathcal {Re}}}}\right)\\&={\frac {1}{1+\left({\frac {{\mathcal {Im}}}{{\mathcal {Re}}}}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathcal {Im}}}{{\mathcal {Re}}}}\right)\\&={\frac {{\mathcal {Re}}{\frac {d{\mathcal {Im}}}{dt}}-{\mathcal {Im}}{\frac {d{\mathcal {Re}}}{dt}}}{({\mathcal {Re}})^{2}+({\mathcal {Im}})^{2}}}\\&={\frac {1}{|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}}}\left({\mathcal {Re}}{\frac {d{\mathcal {Im}}}{dt}}-{\mathcal {Im}}{\frac {d{\mathcal {Re}}}{dt}}\right)\\&={\frac {1}{(s(t))^{2}+\left({\hat {s}}(t)\right)^{2}}}\left(s(t){\frac {d{\hat {s}}(t)}{dt}}-{\hat {s}}(t){\frac {ds(t)}{dt}}\right)\end{aligned}}}
494:
1555:
3442:
36:
1905:
1287:
3135:
1593:
1009:
1550:{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\int _{-\infty }^{t}\omega (\tau )\,d\tau =2\pi \int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{0}\omega (\tau )\,d\tau +\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau \\&=\varphi (0)+\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau .\end{aligned}}}
716:
369:
3882:
3437:{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\varphi +\omega \\&=\varphi +\underbrace {\arg\{s_{\mathrm {a} }\}-\arg\{s_{\mathrm {a} }\}} _{\Delta \varphi }\\&=\varphi +\arg \left\{{\frac {s_{\mathrm {a} }}{s_{\mathrm {a} }}}\right\}\\\end{aligned}}}
1900:{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\&=\operatorname {atan2} ({\mathcal {Im}},{\mathcal {Re}})+2m_{1}\pi \\&=\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}}{{\mathcal {Re}}}}\right)+m_{2}\pi \end{aligned}}}
1233:
506:
Instantaneous phase of a frequency-modulated waveform: MSK (minimum shift keying). A 360° "wrapped" plot is simply replicated vertically two more times, creating the illusion of an unwrapped plot, but using only 3x360° of the vertical
871:
856:
3602:
1964:
3709:
497:
Instantaneous phase vs time. The function has two true discontinuities of 180° at times 21 and 59, indicative of amplitude zero-crossings. The 360° "discontinuities" at times 19, 37, and 91 are artifacts of phase
1598:
1292:
596:
238:
1117:
233:
3140:
876:
601:
3725:
581:
176:
3719:
In some applications, such as averaging the values of phase at several moments of time, it may be useful to convert each value to a complex number, or vector representation:
3607:
where the asterisk denotes complex conjugate. The discrete-time instantaneous frequency (in units of radians per sample) is simply the advancement of phase for that sample
410:
1132:
1004:{\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},\\\varphi (t)&=\omega t-{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}
764:
3485:
745:
is not. In the next example, we also see that the phase offset of a real-valued sinusoid is ambiguous unless a reference (sin or cos) is specified.
54:
3949:
Sejdic, E.; Djurovic, I.; Stankovic, L. (August 2008). "Quantitative
Performance Analysis of Scalogram as Instantaneous Frequency Estimator".
3613:
3891:
in the phase, but similar to the unwrapped phase representation since it is continuous. A vector-average phase can be obtained as the
711:{\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j(\omega t+\theta )},\\\varphi (t)&=\omega t+\theta .\end{aligned}}}
3475:
to accumulate without limit and produces an unwrapped instantaneous phase. An equivalent formulation that replaces the modulo 2
502:
364:{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\&=\arg\{s(t)+j{\hat {s}}(t)\},\end{aligned}}}
1058:
4099:
3877:{\displaystyle e^{i\varphi (t)}={\frac {s_{\mathrm {a} }(t)}{|s_{\mathrm {a} }(t)|}}=\cos(\varphi (t))+i\sin(\varphi (t)).}
3887:
This representation is similar to the wrapped phase representation in that it does not distinguish between multiples of 2
17:
4094:
72:
524:
4109:
4009:
122:
50:
3892:
1584:
186:
4002:
Digital Signal
Processing: Mathematical and Computational Methods, Software Development and Applications
4114:
4089:
4104:
377:
3924:
194:
1228:{\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\omega (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}}
92:
that occur in the context of the representation and analysis of time-varying functions. The
3958:
3914:
3904:
8:
3962:
3982:
3929:
493:
4005:
3974:
413:
89:
3986:
4038:
3966:
851:{\displaystyle s(t)=A\sin(\omega t)=A\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right),}
3909:
3597:{\displaystyle \varphi =\varphi +\arg\{s_{\mathrm {a} }\,s_{\mathrm {a} }^{*}\},}
436:
213:
4027:"An Improved Quality Guided Phase Unwrapping Method and Its Applications to MRI"
1569:
4083:
3978:
3970:
4043:
4026:
3919:
1267:
3704:{\displaystyle \omega =\arg\{s_{\mathrm {a} }\,s_{\mathrm {a} }^{*}\}.}
490:. Unless otherwise indicated, the continuous form should be inferred.
3895:
of the sum of the complex numbers without concern about wrap-around.
3129:
For discrete-time functions, this can be written as a recursion:
2866:
2823:
2772:
2729:
2617:
2564:
2511:
2468:
2417:
2374:
2317:
2278:
2203:
2164:
2090:
2051:
1838:
1799:
1717:
1677:
1934:
necessary to add to unwrap the phase. At values of time,
1041:. This has applications in the field of computer vision.
3948:
1281:
The inverse operation, which always unwraps phase, is:
1112:{\displaystyle \omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}},}
3728:
3616:
3488:
3138:
1962:
1596:
1290:
1135:
1061:
874:
767:
599:
527:
380:
236:
125:
45:
may be too technical for most readers to understand
3876:
3703:
3596:
3436:
3118:
1899:
1549:
1227:
1111:
1003:
850:
710:
575:
404:
363:
170:
4081:
4070:
4004:(2 ed.). Woodhead Publishing. p. 134.
721:In this simple sinusoidal example, the constant
3447:Discontinuities can then be removed by adding 2
576:{\displaystyle s(t)=A\cos(\omega t+\theta ),}
471:, which is a continuous function of argument
3695:
3638:
3588:
3531:
3479:operation with a complex multiplication is:
3302:
3272:
3260:
3236:
1650:
1626:
351:
309:
290:
266:
162:
147:
3999:
4042:
3714:
3662:
3555:
1533:
1474:
1437:
1390:
1344:
171:{\displaystyle \varphi (t)=\arg\{s(t)\},}
73:Learn how and when to remove this message
57:, without removing the technical details.
501:
492:
212:), it is determined from the function's
14:
4082:
3951:IEEE Transactions on Signal Processing
1938:, where there is no change to integer
4073:Signal Processing for Computer Vision
4061:
4031:Progress in Electromagnetics Research
1587:without concern of phase unwrapping.
1014:In both examples the local maxima of
55:make it understandable to non-experts
4024:
1568:), can be derived directly from the
29:
24:
4055:
3791:
3763:
3669:
3647:
3562:
3540:
3402:
3379:
3312:
3281:
3245:
2880:
2863:
2837:
2820:
2786:
2769:
2743:
2726:
2689:
2631:
2614:
2578:
2561:
2525:
2508:
2482:
2465:
2431:
2414:
2388:
2371:
2331:
2314:
2292:
2275:
2217:
2200:
2178:
2161:
2104:
2087:
2065:
2048:
1852:
1835:
1813:
1796:
1731:
1714:
1691:
1674:
1635:
1415:
1368:
1322:
1124:instantaneous (ordinary) frequency
885:
610:
275:
25:
4126:
1258:) is wrapped, discontinuities in
86:Instantaneous phase and frequency
4000:Blackledge, Jonathan M. (2006).
725:is also commonly referred to as
116:), is the real-valued function:
34:
1050:Instantaneous angular frequency
1044:
4018:
3993:
3942:
3868:
3865:
3859:
3853:
3838:
3835:
3829:
3823:
3807:
3803:
3797:
3781:
3775:
3769:
3746:
3740:
3692:
3680:
3659:
3653:
3626:
3620:
3585:
3573:
3552:
3546:
3519:
3507:
3498:
3492:
3420:
3408:
3391:
3385:
3354:
3342:
3324:
3318:
3299:
3287:
3257:
3251:
3220:
3208:
3192:
3186:
3177:
3165:
3152:
3146:
3093:
3087:
3075:
3069:
3063:
3040:
3034:
3028:
3013:
3007:
2982:
2976:
2970:
2946:
2942:
2936:
2930:
2895:
2892:
2886:
2871:
2852:
2849:
2843:
2828:
2801:
2798:
2792:
2777:
2758:
2755:
2749:
2734:
2706:
2701:
2695:
2679:
2650:
2646:
2643:
2637:
2622:
2609:
2597:
2593:
2590:
2584:
2569:
2556:
2540:
2537:
2531:
2516:
2497:
2494:
2488:
2473:
2446:
2443:
2437:
2422:
2403:
2400:
2394:
2379:
2346:
2343:
2337:
2322:
2307:
2304:
2298:
2283:
2232:
2229:
2223:
2208:
2193:
2190:
2184:
2169:
2119:
2116:
2110:
2095:
2080:
2077:
2071:
2056:
1997:
1991:
1976:
1970:
1867:
1864:
1858:
1843:
1828:
1825:
1819:
1804:
1749:
1746:
1743:
1737:
1722:
1706:
1703:
1697:
1682:
1669:
1647:
1641:
1610:
1604:
1560:This instantaneous frequency,
1530:
1524:
1500:
1494:
1471:
1465:
1434:
1428:
1387:
1381:
1341:
1335:
1304:
1298:
1211:
1205:
1175:
1169:
1145:
1139:
1092:
1086:
1071:
1065:
965:
959:
897:
891:
801:
792:
777:
771:
679:
673:
658:
643:
622:
616:
567:
552:
537:
531:
486:) is a continuous function of
399:
393:
387:
348:
342:
336:
321:
315:
287:
281:
250:
244:
159:
153:
135:
129:
27:Electrical engineering concept
13:
1:
4075:. Kluwer Academic Publishers.
3935:
1930:are the integer multiples of
405:{\displaystyle {\hat {s}}(t)}
756:
753:) is unambiguously defined.
516:
197:of the instantaneous phase.
7:
4071:Granlund; Knutsson (1995).
3898:
1037:for integer values of
511:
10:
4131:
88:are important concepts in
4095:Digital signal processing
741:) is a function of time;
465:. Otherwise it is called
187:complex argument function
1570:real and imaginary parts
435:) is constrained to its
4100:Time–frequency analysis
4064:Time-Frequency Analysis
3971:10.1109/TSP.2008.924856
3925:Instantaneous amplitude
214:analytic representation
195:temporal rate of change
191:instantaneous frequency
4110:Electrical engineering
3878:
3715:Complex representation
3705:
3598:
3438:
3120:
1901:
1551:
1229:
1113:
1005:
852:
712:
577:
508:
499:
439:, either the interval
406:
365:
172:
3879:
3706:
3599:
3439:
3121:
1902:
1552:
1230:
1114:
1006:
853:
713:
578:
505:
496:
407:
366:
173:
4062:Cohen, Leon (1995).
4044:10.2528/PIER14021005
3915:Frequency modulation
3905:Angular displacement
3726:
3614:
3486:
3136:
1960:
1945:, the derivative of
1594:
1288:
1133:
1059:
872:
765:
597:
525:
378:
234:
123:
3963:2008ITSP...56.3837S
3679:
3572:
3459:, and subtracting 2
1520:
1461:
1424:
1377:
1331:
94:instantaneous phase
18:Instantaneous phase
3930:Negative frequency
3874:
3701:
3663:
3594:
3556:
3434:
3432:
3328:
3309:
3116:
3114:
1897:
1895:
1583:), instead of the
1547:
1545:
1506:
1447:
1407:
1360:
1314:
1225:
1109:
1001:
999:
848:
708:
706:
573:
509:
500:
402:
361:
359:
168:
4115:Audio engineering
4090:Signal processing
4025:Wang, S. (2014).
3812:
3424:
3228:
3226:
3105:
3066:
3052:
3031:
2997:
2973:
2907:
2813:
2717:
2660:
2552:
2458:
2350:
2264:
2249:
2236:
2123:
2031:
2009:
1871:
1266:) will result in
1223:
1194:
1164:
1104:
992:
940:
838:
414:Hilbert transform
390:
339:
90:signal processing
83:
82:
75:
16:(Redirected from
4122:
4105:Fourier analysis
4076:
4067:
4066:. Prentice Hall.
4049:
4048:
4046:
4022:
4016:
4015:
3997:
3991:
3990:
3957:(8): 3837–3845.
3946:
3890:
3883:
3881:
3880:
3875:
3813:
3811:
3810:
3796:
3795:
3794:
3784:
3778:
3768:
3767:
3766:
3755:
3750:
3749:
3710:
3708:
3707:
3702:
3678:
3673:
3672:
3652:
3651:
3650:
3603:
3601:
3600:
3595:
3571:
3566:
3565:
3545:
3544:
3543:
3478:
3470:
3467: >
3462:
3458:
3450:
3443:
3441:
3440:
3435:
3433:
3429:
3425:
3423:
3407:
3406:
3405:
3394:
3384:
3383:
3382:
3371:
3332:
3327:
3310:
3305:
3286:
3285:
3284:
3250:
3249:
3248:
3198:
3125:
3123:
3122:
3117:
3115:
3111:
3107:
3106:
3104:
3096:
3079:
3068:
3067:
3059:
3053:
3051:
3043:
3033:
3032:
3024:
3017:
2998:
2996:
2995:
2994:
2989:
2985:
2975:
2974:
2966:
2954:
2953:
2925:
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