1128:
4048:
1513:
2023:
2751:. This can be used to calculate, for example, the time it takes for a Brownian motion particle in a box to hit the boundary of the box, or the time it takes for a Brownian motion particle in a potential well to escape the well. Under certain assumptions, the escape time satisfies the
844:
3848:
3619:
470:
1286:
1827:
3221:
3841:
4269:
574:
1699:
757:
3482:
2157:
3457:
2964:
2672:
353:
1575:
2875:
118:
3730:
1123:{\displaystyle Af(x)=-c(x)f(x)+l(x)\cdot \nabla f(x)+{\frac {1}{2}}{\text{div}}Q(x)\nabla f(x)+\int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus {\{0\}}}\left(f(x+y)-f(x)-\nabla f(x)\cdot y\chi (|y|)\right)N(x,dy),}
4043:{\displaystyle {\mathcal {A}}f(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}(t,x)+\theta (\mu -x){\frac {\partial f}{\partial x}}(t,x)+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(t,x)}
2452:
1764:
2550:
3010:
4157:
3096:
2345:
1508:{\displaystyle Af(x)=l\cdot \nabla f(x)+{\frac {1}{2}}{\text{div}}Q\nabla f(x)+\int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus {\{0\}}}\left(f(x+y)-f(x)-\nabla f(x)\cdot y\chi (|y|)\right)\nu (dy)}
1234:
2749:
2380:
1273:
474:
287:
169:
3332:
235:
3254:
1600:
806:
2058:
3735:
3300:
4076:
3647:
3040:
1790:
2018:{\displaystyle \psi (\xi )=\psi (0)-il\cdot \xi +{\frac {1}{2}}\xi \cdot Q\xi +\int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}(1-e^{iy\cdot \xi }+i\xi \cdot y\chi (|y|))\nu (dy)}
2186:
1163:
2576:
1822:
610:
348:
16:
This article is about infinitesimal generator for general stochastic processes. For generators for the special case of finite-state continuous time Markov chains, see
3352:
4162:
2209:
2706:
2277:
2257:
2237:
138:
4472:
1595:
835:
2063:
3384:
3087:
3477:
3379:
3064:
777:
630:
307:
2880:
2581:
5007:
635:
759:. In general, it is not easy to describe the domain of the Feller generator. However, the Feller generator is always closed and densely defined. If
4831:
4427:
2578:
are
Lipschitz and of linear growth, then for each deterministic initial condition there exists a unique solution, which is Feller with symbol
4964:
4944:
5348:
1518:
5698:
2773:
3614:{\displaystyle {\mathcal {A}}f(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}(t,x)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(t,x)}
5265:
2456:
Note that in general, the solution of an SDE driven by a Feller process which is not LĂ©vy might fail to be Feller or even
Markovian.
4949:
5275:
4959:
73:
5317:
5214:
2188:
denotes the
Fourier transform. So the generator of a LĂ©vy process (or semigroup) is a Fourier multiplier operator with symbol
465:{\displaystyle D(A)=\left\{f\in C_{0}(E):\lim _{t\downarrow 0}{\frac {T_{t}f-f}{t}}{\text{ exists as uniform limit}}\right\},}
5504:
5494:
5340:
5032:
5017:
4369:
4302:
3652:
2385:
5404:
5368:
1704:
5672:
5409:
2969:
2462:
5321:
4519:
4420:
5474:
4333:
4081:
5519:
5325:
5309:
5224:
5052:
5022:
4444:
5424:
5389:
5358:
5353:
4789:
4706:
3479:
is a one-dimensional
Brownian motion, can be thought of as the graph of that Brownian motion, and has generator:
2282:
5363:
4992:
4987:
4794:
4691:
3624:
5677:
5454:
5290:
5189:
5174:
4713:
4586:
4502:
4413:
1168:
40:
5449:
5329:
2711:
5459:
2350:
1243:
64:
47:
5464:
5100:
5062:
4646:
4591:
4507:
4388:
240:
5394:
3216:{\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}f=-\sum _{i}\partial _{i}(f\mu _{i})+\sum _{ij}\partial _{ij}(fD_{ij})}
143:
5399:
5384:
5027:
4997:
4564:
4462:
194:
172:
60:
3305:
3230:
782:
5479:
5280:
5194:
5179:
5110:
4686:
4569:
4467:
4053:
2028:
5313:
5199:
4701:
4676:
4621:
3259:
4059:
3630:
3015:
1769:
5614:
5604:
5419:
5295:
5077:
5002:
4816:
4681:
4537:
4492:
2162:
1133:
5556:
5484:
4909:
4899:
4743:
3223:
The following are commonly used special cases for the general n-dimensional diffusion process.
3090:
2764:
2555:
1795:
17:
579:
312:
5579:
5561:
5541:
5536:
5255:
5087:
5067:
4914:
4857:
4696:
4606:
4361:
LĂ©vy
Matters III: LĂ©vy-Type Processes: Construction, Approximation and Sample Path Properties
3337:
2191:
569:{\displaystyle Af=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {T_{t}f-f}{t}},~~{\text{ for any }}f\in D(A).}
5654:
5609:
5599:
5285:
5260:
5229:
5209:
5047:
4969:
4954:
4821:
2684:
2262:
2242:
123:
28:
1580:
811:
8:
5649:
5489:
5414:
5219:
4979:
4889:
4779:
4280:
1694:{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}\min(|y|^{2},1)\nu (dy)<\infty }
3069:
171:
is the adjoint of the infinitesimal generator of the underlying stochastic process. The
5619:
5584:
5499:
5469:
5300:
5239:
5234:
5057:
4894:
4559:
4497:
4436:
3462:
3364:
3049:
2752:
762:
615:
292:
3836:{\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=\theta (\mu -x)f'(x)+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}f''(x)}
39:(i.e. a continuous-time Markov process satisfying certain regularity conditions) is a
5639:
4852:
4769:
4738:
4631:
4611:
4601:
4457:
4452:
4365:
4329:
4298:
56:
5444:
5095:
4313:
5659:
5546:
5429:
5305:
5042:
4799:
4774:
4723:
4574:
4527:
4321:
3355:
2763:
For finite-state continuous time Markov chains the generator may be expressed as a
2222:
4651:
63:, also known as Kolmogorov forward equation, which describes the evolution of the
5624:
5524:
5509:
5270:
5204:
4882:
4826:
4809:
4554:
4359:
752:{\displaystyle T_{t}f(x)=\mathbb {E} ^{x}f(X_{t})=\mathbb {E} (f(X_{t})|X_{0}=x)}
5439:
4671:
1237:
5629:
5594:
5514:
5120:
4867:
4784:
4753:
4748:
4728:
4718:
4661:
4636:
4616:
4581:
4549:
4532:
4264:{\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=rxf'(x)+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}x^{2}f''(x)}
3043:
838:
189:
36:
4656:
4325:
5692:
5531:
5072:
4904:
4862:
4804:
4626:
4542:
4482:
2214:
2152:{\displaystyle Af(x)=-\int e^{ix\cdot \xi }\psi (\xi ){\hat {f}}(\xi )d\xi }
5589:
5551:
5105:
5037:
4926:
4921:
4733:
4666:
4641:
4477:
3452:{\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}={\mathrm {d} t \choose \mathrm {d} B_{t}}}
5634:
5169:
5153:
5148:
5143:
5133:
4936:
4877:
4872:
4836:
4596:
4487:
24:
5644:
5184:
5128:
5012:
4965:
Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model
4405:
3845:
Similarly, the graph of the
OrnsteinâUhlenbeck process has generator:
2959:{\displaystyle {\mathcal {A}}f=(\nabla f)^{T}\mu +tr((\nabla ^{2}f)D)}
2667:{\displaystyle q(x,\xi )=-il(x)\cdot \xi +{\frac {1}{2}}\xi Q(x)\xi .}
5138:
4318:
Stochastic
Differential Equations: An Introduction with Applications
1570:{\displaystyle l\in \mathbb {R} ^{d},Q\in \mathbb {R} ^{d\times d}}
51:
50:, which describes the evolution of statistics of the process; its
4295:
An
Informal Introduction to Stochastic Calculus with Applications
2870:{\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}}
43:
that encodes a great deal of information about the process.
632:
vanishing at infinity, equipped with the supremum norm, and
4945:
Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model
2279:
be locally
Lipschitz and bounded. The solution of the SDE
2215:
Stochastic differential equations driven by LĂ©vy processes
113:{\displaystyle \partial _{t}\rho ={\mathcal {A}}^{*}\rho }
46:
The generator is used in evolution equations such as the
4473:
Independent and identically distributed random variables
70:
The
Kolmogorov forward equation in the notation is just
4297:. Singapore: World Scientific Publishing. p. 315.
4078:, which satisfies the stochastic differential equation
3725:{\textstyle dX_{t}=\theta (\mu -X_{t})dt+\sigma dB_{t}}
3649:, which satisfies the stochastic differential equation
3256:, which satisfies the stochastic differential equation
4950:
Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model
4084:
3655:
3308:
2758:
2465:
2447:{\displaystyle q(x,\xi )=\psi (\Phi ^{\top }(x)\xi ).}
2225:
4389:"Lecture 10: Forward and Backward equations for SDEs"
4358:
Böttcher, Björn; Schilling, René; Wang, Jian (2013).
4357:
4165:
4062:
3851:
3738:
3633:
3485:
3465:
3387:
3367:
3340:
3262:
3233:
3099:
3072:
3052:
3018:
2972:
2883:
2776:
2714:
2687:
2584:
2558:
2388:
2353:
2285:
2265:
2245:
2194:
2165:
2066:
2031:
1830:
1798:
1772:
1759:{\displaystyle 0\leq 1-\chi (s)\leq \kappa \min(s,1)}
1707:
1603:
1583:
1521:
1289:
1246:
1171:
1136:
847:
814:
785:
765:
638:
618:
582:
477:
356:
315:
295:
243:
197:
146:
126:
76:
612:
denotes the Banach space of continuous functions on
4320:. Universitext (Sixth ed.). Berlin: Springer.
2552:with a Brownian motion driving noise. If we assume
2545:{\textstyle dX_{t}=l(X_{t})dt+\sigma (X_{t})dW_{t}}
4263:
4151:
4070:
4042:
3835:
3724:
3641:
3613:
3471:
3451:
3373:
3346:
3326:
3294:
3248:
3215:
3081:
3058:
3034:
3005:{\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sigma \sigma ^{T}}
3004:
2958:
2869:
2743:
2700:
2666:
2570:
2544:
2446:
2374:
2339:
2271:
2251:
2231:
2203:
2180:
2151:
2052:
2017:
1816:
1784:
1758:
1693:
1589:
1569:
1507:
1267:
1228:
1157:
1122:
829:
800:
771:
751:
624:
604:
568:
464:
342:
301:
281:
229:
163:
132:
112:
3443:
3409:
5690:
4832:Stochastic chains with memory of variable length
2347:exists for each deterministic initial condition
1738:
1635:
488:
406:
4152:{\textstyle dX_{t}=rX_{t}dt+\alpha X_{t}dB_{t}}
1283:The generator of LĂ©vy semigroup is of the form
4421:
2770:The general n-dimensional diffusion process
1927:
1921:
1630:
1624:
1395:
1389:
1001:
995:
841:(compactly supported smooth functions) then
59:is used in evolution equations such as the
4960:Autoregressiveâmoving-average (ARMA) model
4428:
4414:
4353:
4351:
4349:
2676:
2340:{\displaystyle dX_{t}=\Phi (X_{t-})dL_{t}}
4064:
3635:
3236:
2853:
2818:
2362:
1908:
1611:
1551:
1530:
1375:
1255:
981:
788:
699:
666:
140:is the probability density function, and
4435:
4312:
2382:and yields a Feller process with symbol
4346:
1229:{\displaystyle (l(x),Q(x),N(x,\cdot ))}
5691:
5266:Doob's martingale convergence theorems
2744:{\displaystyle {\mathcal {A}}T_{1}=-1}
5018:Constant elasticity of variance (CEV)
5008:ChanâKarolyiâLongstaffâSanders (CKLS)
4409:
4364:. Springer International Publishing.
4292:
2375:{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}
2060:then the generator can be written as
1268:{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}
4383:
4381:
2759:Generators of some common processes
282:{\displaystyle T=(T_{t})_{t\geq 0}}
13:
5505:Skorokhod's representation theorem
5286:Law of large numbers (weak/strong)
4168:
4009:
3995:
3947:
3939:
3891:
3883:
3854:
3741:
3580:
3566:
3525:
3517:
3488:
3426:
3416:
3413:
3389:
3341:
3321:
3179:
3134:
3103:
3020:
2935:
2900:
2886:
2717:
2421:
2417:
2302:
2266:
1688:
1442:
1350:
1314:
1048:
956:
911:
164:{\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}
150:
96:
78:
14:
5710:
5699:Stochastic differential equations
5475:Martingale representation theorem
4378:
3327:{\textstyle {1 \over {2}}\Delta }
1918:
1621:
1385:
1278:
991:
230:{\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}
5520:Stochastic differential equation
5410:Doob's optional stopping theorem
5405:DoobâMeyer decomposition theorem
3249:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
801:{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
5390:Convergence of random variables
5276:FisherâTippettâGnedenko theorem
183:
4988:Binomial options pricing model
4258:
4252:
4208:
4202:
4182:
4176:
4037:
4025:
3968:
3956:
3933:
3921:
3912:
3900:
3874:
3862:
3830:
3824:
3793:
3787:
3776:
3764:
3755:
3749:
3694:
3675:
3608:
3596:
3546:
3534:
3508:
3496:
3210:
3191:
3159:
3143:
2953:
2947:
2931:
2928:
2907:
2897:
2850:
2831:
2815:
2796:
2655:
2649:
2621:
2615:
2600:
2588:
2526:
2513:
2498:
2485:
2438:
2432:
2426:
2413:
2404:
2392:
2321:
2305:
2239:be a LĂ©vy process with symbol
2172:
2140:
2134:
2128:
2119:
2113:
2079:
2073:
2053:{\displaystyle \psi (0)\geq 0}
2041:
2035:
2012:
2003:
1997:
1994:
1990:
1982:
1978:
1932:
1855:
1849:
1840:
1834:
1811:
1805:
1753:
1741:
1729:
1723:
1682:
1673:
1667:
1651:
1642:
1638:
1502:
1493:
1482:
1478:
1470:
1466:
1454:
1448:
1436:
1430:
1421:
1409:
1362:
1356:
1326:
1320:
1302:
1296:
1223:
1220:
1208:
1199:
1193:
1184:
1178:
1172:
1146:
1140:
1114:
1099:
1088:
1084:
1076:
1072:
1060:
1054:
1042:
1036:
1027:
1015:
968:
962:
953:
947:
923:
917:
905:
899:
890:
884:
878:
872:
860:
854:
824:
818:
746:
726:
722:
709:
703:
692:
679:
658:
652:
599:
593:
560:
554:
495:
413:
399:
393:
366:
360:
337:
334:
328:
316:
264:
250:
212:
198:
1:
5455:Kolmogorov continuity theorem
5291:Law of the iterated logarithm
4286:
3295:{\displaystyle dX_{t}=dB_{t}}
2459:As a simple example consider
1597:is a LĂ©vy measure satisfying
1577:is positive semidefinite and
451: exists as uniform limit
178:
65:probability density functions
5460:Kolmogorov extension theorem
5139:Generalized queueing network
4647:Interacting particle systems
4071:{\displaystyle \mathbb {R} }
3642:{\displaystyle \mathbb {R} }
3361:The two-dimensional process
3227:Standard Brownian motion on
3035:{\displaystyle \nabla ^{2}f}
2681:The mean first passage time
1785:{\displaystyle \kappa >0}
48:Kolmogorov backward equation
7:
4592:Continuous-time random walk
4274:
175:is a special case of that.
41:Fourier multiplier operator
10:
5715:
5600:Extreme value theory (EVT)
5400:Doob decomposition theorem
4692:OrnsteinâUhlenbeck process
4463:Chinese restaurant process
3625:OrnsteinâUhlenbeck process
2181:{\displaystyle {\hat {f}}}
1158:{\displaystyle c(x)\geq 0}
15:
5668:
5572:
5480:Optional stopping theorem
5377:
5339:
5281:Large deviation principle
5248:
5162:
5119:
5086:
5033:HeathâJarrowâMorton (HJM)
4978:
4970:Moving-average (MA) model
4955:Autoregressive (AR) model
4935:
4845:
4780:Hidden Markov model (HMM)
4762:
4714:SchrammâLoewner evolution
4518:
4443:
4326:10.1007/978-3-642-14394-6
4054:geometric Brownian motion
3093:. Its adjoint operator is
3012:is the diffusion matrix,
2571:{\displaystyle l,\sigma }
1824:is bounded. If we define
1817:{\displaystyle s\chi (s)}
27:— specifically, in
5395:Doléans-Dade exponential
5225:Progressively measurable
5023:CoxâIngersollâRoss (CIR)
605:{\displaystyle C_{0}(E)}
343:{\displaystyle (A,D(A))}
309:we define the generator
5615:Mathematical statistics
5605:Large deviations theory
5435:Infinitesimal generator
5296:Maximal ergodic theorem
5215:Piecewise-deterministic
4817:Random dynamical system
4682:Markov additive process
3347:{\displaystyle \Delta }
2677:Mean first passage time
33:infinitesimal generator
5450:KarhunenâLoĂšve theorem
5385:CameronâMartin formula
5349:BurkholderâDavisâGundy
4744:Variance gamma process
4293:Calin, Ovidiu (2015).
4265:
4153:
4072:
4044:
3837:
3726:
3643:
3615:
3473:
3453:
3375:
3348:
3328:
3296:
3250:
3217:
3083:
3060:
3036:
3006:
2960:
2871:
2765:transition rate matrix
2745:
2702:
2668:
2572:
2546:
2448:
2376:
2341:
2273:
2253:
2233:
2220:
2205:
2204:{\displaystyle -\psi }
2182:
2153:
2054:
2019:
1818:
1786:
1760:
1695:
1591:
1571:
1509:
1269:
1230:
1159:
1124:
831:
802:
773:
753:
626:
606:
570:
466:
344:
303:
283:
237:with Feller semigroup
231:
173:KleinâKramers equation
165:
134:
114:
61:FokkerâPlanck equation
18:transition rate matrix
5580:Actuarial mathematics
5542:Uniform integrability
5537:Stratonovich integral
5465:LĂ©vyâProkhorov metric
5369:MarcinkiewiczâZygmund
5256:Central limit theorem
4858:Gaussian random field
4687:McKeanâVlasov process
4607:Dyson Brownian motion
4468:GaltonâWatson process
4266:
4154:
4073:
4045:
3838:
3727:
3644:
3616:
3474:
3454:
3376:
3349:
3329:
3297:
3251:
3218:
3084:
3061:
3037:
3007:
2961:
2872:
2746:
2703:
2701:{\displaystyle T_{1}}
2669:
2573:
2547:
2449:
2377:
2342:
2274:
2272:{\displaystyle \Phi }
2254:
2252:{\displaystyle \psi }
2234:
2206:
2183:
2154:
2055:
2020:
1819:
1787:
1761:
1696:
1592:
1572:
1510:
1270:
1231:
1160:
1125:
832:
803:
774:
754:
627:
607:
571:
467:
345:
304:
284:
232:
166:
135:
133:{\displaystyle \rho }
115:
5655:Time series analysis
5610:Mathematical finance
5495:Reflection principle
4822:Regenerative process
4622:FlemingâViot process
4437:Stochastic processes
4163:
4082:
4060:
3849:
3736:
3653:
3631:
3483:
3463:
3385:
3365:
3338:
3306:
3260:
3231:
3097:
3070:
3050:
3016:
2970:
2881:
2774:
2712:
2685:
2582:
2556:
2463:
2386:
2351:
2283:
2263:
2243:
2223:
2192:
2163:
2064:
2029:
1828:
1796:
1770:
1705:
1601:
1590:{\displaystyle \nu }
1581:
1519:
1287:
1244:
1169:
1134:
845:
830:{\displaystyle D(A)}
812:
783:
763:
636:
616:
580:
475:
354:
313:
293:
241:
195:
144:
124:
74:
5650:Stochastic analysis
5490:Quadratic variation
5485:Prokhorov's theorem
5420:FeynmanâKac formula
4890:Markov random field
4538:Birthâdeath process
542: for any
29:stochastic analysis
5620:Probability theory
5500:Skorokhod integral
5470:Malliavin calculus
5053:Korn-Kreer-Lenssen
4937:Time series models
4900:PitmanâYor process
4314:Ăksendal, Bernt K.
4261:
4149:
4068:
4040:
3833:
3722:
3639:
3611:
3469:
3449:
3371:
3344:
3324:
3292:
3246:
3213:
3177:
3132:
3082:{\displaystyle tr}
3079:
3056:
3032:
3002:
2956:
2867:
2753:Arrhenius equation
2741:
2698:
2664:
2568:
2542:
2444:
2372:
2337:
2269:
2249:
2229:
2201:
2178:
2149:
2050:
2015:
1814:
1782:
1756:
1691:
1587:
1567:
1505:
1265:
1226:
1155:
1120:
827:
798:
769:
749:
622:
602:
566:
502:
462:
420:
340:
299:
279:
227:
161:
130:
110:
5686:
5685:
5640:Signal processing
5359:Doob's upcrossing
5354:Doob's martingale
5318:EngelbertâSchmidt
5261:Donsker's theorem
5195:Feller-continuous
5063:RendlemanâBartter
4853:Dirichlet process
4770:Branching process
4739:Telegraph process
4632:Geometric process
4612:Empirical process
4602:Diffusion process
4458:Branching process
4453:Bernoulli process
4371:978-3-319-02683-1
4340:(See Section 7.3)
4304:978-981-4678-93-3
4222:
4159:, has generator:
4023:
3989:
3954:
3898:
3814:
3732:, has generator:
3594:
3560:
3532:
3472:{\displaystyle B}
3441:
3374:{\displaystyle Y}
3319:
3165:
3123:
3059:{\displaystyle f}
2987:
2641:
2259:(see above). Let
2175:
2131:
1884:
1345:
1340:
942:
937:
772:{\displaystyle X}
625:{\displaystyle E}
543:
539:
536:
529:
487:
452:
447:
405:
302:{\displaystyle E}
57:Hermitian adjoint
5706:
5660:Machine learning
5547:Usual hypotheses
5430:Girsanov theorem
5415:Dynkin's formula
5180:Continuous paths
5088:Actuarial models
5028:GarmanâKohlhagen
4998:BlackâKarasinski
4993:BlackâDermanâToy
4980:Financial models
4846:Fields and other
4775:Gaussian process
4724:Sigma-martingale
4528:Additive process
4430:
4423:
4416:
4407:
4406:
4400:
4399:
4393:
4385:
4376:
4375:
4355:
4339:
4308:
4281:Dynkin's formula
4270:
4268:
4267:
4262:
4251:
4243:
4242:
4233:
4232:
4223:
4215:
4201:
4172:
4171:
4158:
4156:
4155:
4150:
4148:
4147:
4135:
4134:
4113:
4112:
4097:
4096:
4077:
4075:
4074:
4069:
4067:
4049:
4047:
4046:
4041:
4024:
4022:
4021:
4020:
4007:
4003:
4002:
3992:
3990:
3985:
3984:
3975:
3955:
3953:
3945:
3937:
3899:
3897:
3889:
3881:
3858:
3857:
3842:
3840:
3839:
3834:
3823:
3815:
3810:
3809:
3800:
3786:
3745:
3744:
3731:
3729:
3728:
3723:
3721:
3720:
3693:
3692:
3668:
3667:
3648:
3646:
3645:
3640:
3638:
3620:
3618:
3617:
3612:
3595:
3593:
3592:
3591:
3578:
3574:
3573:
3563:
3561:
3553:
3533:
3531:
3523:
3515:
3492:
3491:
3478:
3476:
3475:
3470:
3458:
3456:
3455:
3450:
3448:
3447:
3446:
3440:
3439:
3438:
3429:
3423:
3419:
3412:
3402:
3401:
3392:
3380:
3378:
3377:
3372:
3356:Laplace operator
3353:
3351:
3350:
3345:
3333:
3331:
3330:
3325:
3320:
3318:
3310:
3302:, has generator
3301:
3299:
3298:
3293:
3291:
3290:
3275:
3274:
3255:
3253:
3252:
3247:
3245:
3244:
3239:
3222:
3220:
3219:
3214:
3209:
3208:
3190:
3189:
3176:
3158:
3157:
3142:
3141:
3131:
3113:
3112:
3107:
3106:
3088:
3086:
3085:
3080:
3065:
3063:
3062:
3057:
3046:of the function
3041:
3039:
3038:
3033:
3028:
3027:
3011:
3009:
3008:
3003:
3001:
3000:
2988:
2980:
2965:
2963:
2962:
2957:
2943:
2942:
2915:
2914:
2890:
2889:
2876:
2874:
2873:
2868:
2866:
2865:
2843:
2842:
2808:
2807:
2789:
2788:
2750:
2748:
2747:
2742:
2731:
2730:
2721:
2720:
2707:
2705:
2704:
2699:
2697:
2696:
2673:
2671:
2670:
2665:
2642:
2634:
2577:
2575:
2574:
2569:
2551:
2549:
2548:
2543:
2541:
2540:
2525:
2524:
2497:
2496:
2478:
2477:
2453:
2451:
2450:
2445:
2425:
2424:
2381:
2379:
2378:
2373:
2371:
2370:
2365:
2346:
2344:
2343:
2338:
2336:
2335:
2320:
2319:
2298:
2297:
2278:
2276:
2275:
2270:
2258:
2256:
2255:
2250:
2238:
2236:
2235:
2230:
2210:
2208:
2207:
2202:
2187:
2185:
2184:
2179:
2177:
2176:
2168:
2158:
2156:
2155:
2150:
2133:
2132:
2124:
2109:
2108:
2059:
2057:
2056:
2051:
2024:
2022:
2021:
2016:
1993:
1985:
1959:
1958:
1931:
1930:
1917:
1916:
1911:
1885:
1877:
1823:
1821:
1820:
1815:
1791:
1789:
1788:
1783:
1765:
1763:
1762:
1757:
1700:
1698:
1697:
1692:
1660:
1659:
1654:
1645:
1634:
1633:
1620:
1619:
1614:
1596:
1594:
1593:
1588:
1576:
1574:
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