31:
2252:
1755:
473:
2042:
3271:
1445:
1946:
The leapfrog algorithm is an approximate solution to the motion of non-interacting classical particles. If exact, the solution will never change the initial randomly-generated energy distribution, as energy is conserved for each particle in the presence of a classical potential energy field. In order
3101:
for the backward particle. In each iteration, the binary tree selects at random uniformly to move the forward particle forwards in time or the backward particle backwards in time. Also for each iteration, the number of leap frog steps increase by a factor of 2. For example, in the first iteration,
3705:
2534:
1577:
1571:
2247:{\displaystyle \mathbf {X} _{n+1}|\mathbf {X} _{n}=\mathbf {x} _{n}={\begin{cases}\mathbf {x} _{n}(L\Delta t)&{\text{with probability }}\alpha \left(\mathbf {x} _{n}(0),\mathbf {x} _{n}(L\Delta t)\right)\\\mathbf {x} _{n}(0)&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
325:
706:
3111:
1947:
to reach a thermodynamic equilibrium distribution, particles must have some sort of interaction with, for example, a surrounding heat bath, so that the entire system can take on different energies with probabilities according to the
Boltzmann distribution.
2841:
Loosely, NUTS runs the
Hamiltonian dynamics both forwards and backwards in time randomly until a U-Turn condition is satisfied. When that happens, a random point from the path is chosen for the MCMC sample and the process is repeated from that new point.
1285:
97:
proposal distribution in the
Metropolis–Hastings algorithm, Hamiltonian Monte Carlo reduces the correlation between successive sampled states by proposing moves to distant states which maintain a high probability of acceptance due to the approximate
2561:(independently of the previous iterations), then integrating the equations of motion (e.g. with leapfrog), and finally obtaining the new configuration from the Metropolis-Hastings accept/reject step. This updating mechanism is repeated to obtain
2642:
3557:
310:
2263:
1750:{\displaystyle \mathbf {p} _{n}(t+\Delta t)=\mathbf {p} _{n}\left(t+{\dfrac {\Delta t}{2}}\right)-{\dfrac {\Delta t}{2}}\nabla \left.U(\mathbf {x} )\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} _{n}(t+\Delta t)}}
2963:
1451:
1224:
1136:
804:
468:{\displaystyle {\frac {{\text{d}}x_{i}}{{\text{d}}t}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\quad {\text{and}}\quad {\dfrac {{\text{d}}p_{i}}{{\text{d}}t}}=-{\dfrac {\partial H}{\partial x_{i}}}}
1999:
1083:
219:
3266:{\displaystyle (\mathbf {x} _{n}^{+}-\mathbf {x} _{n}^{-})\cdot \mathbf {p} _{n}^{-}<0\quad {\text{or}}\quad .(\mathbf {x} _{n}^{+}-\mathbf {x} _{n}^{-})\cdot \mathbf {p} _{n}^{+}<0}
610:
2739:
1941:
1897:
1440:{\displaystyle \mathbf {p} _{n}\left(t+{\dfrac {\Delta t}{2}}\right)=\mathbf {p} _{n}(t)-{\dfrac {\Delta t}{2}}\nabla \left.U(\mathbf {x} )\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} _{n}(t)}}
3099:
3065:
3031:
2997:
870:
3805:
3485:
3378:
1834:
1796:
1181:
3552:
2034:
740:
182:
2792:
923:
3514:
2559:
953:
1250:
1277:
1039:
245:
530:
503:
3102:
the forward particle moves forwards in time using 1 leap frog step. In the next iteration, the backward particle moves backwards in time using 2 leap frog steps.
2836:
2816:
2690:
2670:
1853:
1016:
993:
973:
893:
831:
598:
578:
550:
3824:
3700:{\displaystyle \{\mathbf {x} _{n}^{-},\ldots ,\mathbf {x} _{n}(-\Delta t),\mathbf {x} _{n}(0),\mathbf {x} _{n}(\Delta t),\ldots ,\mathbf {x} _{n}^{+}\}}
2564:
4019:
Betancourt, Michael; Girolami, Mark (2015). "Hamiltonian Monte Carlo for
Hierarchical Models". In Upadhyay, Satyanshu Kumar; et al. (eds.).
2529:{\displaystyle \alpha \left(\mathbf {x} _{n}(0),\mathbf {x} _{n}(L\Delta t)\right)={\text{min}}\left(1,{\dfrac {\exp \left}{\exp \left}}\right).}
250:
2849:
is constructed to trace the path of the leap frog steps. To produce a MCMC sample, an iterative procedure is conducted. A slice variable
3929:
Gelman, Andrew; Lee, Daniel; Guo, Jiqiang (2015). "Stan: A Probabilistic
Programming Language for Bayesian Inference and Optimization".
4106:
137:
delayed the wider adoption of the algorithm in statistics and other quantitative disciplines, until in the mid-2010s the developers of
4123:
117:
The algorithm was originally proposed by Simon Duane, Anthony
Kennedy, Brian Pendleton and Duncan Roweth in 1987 for calculations in
3841:
1950:
One way to move the system towards a thermodynamic equilibrium distribution is to change the state of the particles using the
1566:{\displaystyle \mathbf {x} _{n}(t+\Delta t)=\mathbf {x} _{n}(t)+\Delta t\mathbf {p} _{n}\left(t+{\dfrac {\Delta t}{2}}\right)}
4062:
4028:
2852:
1186:
1088:
752:
1960:
1044:
17:
187:
4163:
4088:
3913:
1951:
701:{\displaystyle H(\mathbf {x} ,\mathbf {p} )=U(\mathbf {x} )+{\dfrac {1}{2}}\mathbf {p} ^{\text{T}}M^{-1}\mathbf {p} }
78:
4143:
2695:
1902:
1858:
55:
4138:
110:
samples are needed to approximate integrals with respect to the target probability distribution for a given
4158:
3070:
3036:
3002:
2968:
836:
3713:
3389:
3282:
1801:
1763:
1148:
3522:
2004:
3819:
3861:
Duane, Simon; Kennedy, Anthony D.; Pendleton, Brian J.; Roweth, Duncan (1987). "Hybrid Monte Carlo".
714:
156:
142:
126:
2104:
2744:
898:
59:
47:
3493:
2542:
931:
111:
1229:
810:
125:
showed how the method could be used for a broader class of statistical problems, in particular
99:
1259:
1021:
94:
316:
224:
103:
82:
51:
3870:
1253:
508:
481:
90:
71:
3964:
Betancourt, Michael (2018-07-15). "A Conceptual
Introduction to Hamiltonian Monte Carlo".
8:
3860:
2795:
1142:
553:
3874:
4039:
3965:
3946:
2821:
2801:
2675:
2655:
1838:
1001:
978:
958:
926:
878:
816:
583:
563:
535:
86:
4084:
4058:
4024:
3909:
3882:
3554:, is obtained by sampling uniformly the leap frog path traced out by the binary tree
4038:
Betancourt, Michael (2018). "A Conceptual
Introduction to Hamiltonian Monte Carlo".
3950:
4073:
3987:"The No-U-turn sampler: adaptively setting path lengths in Hamiltonian Monte Carlo"
3938:
3901:
3878:
743:
134:
3829:
1139:
138:
122:
67:
3905:
2637:{\displaystyle \mathbf {X} _{n+1},\mathbf {X} _{n+2},\mathbf {X} _{n+3},\ldots }
833:
is dimensionless in this formulation because the exponential probability weight
4053:
Barbu, Adrian; Zhu, Song-Chun (2020). "Hamiltonian and
Langevin Monte Carlo".
3033:
be the position and momentum of the forward particle respectively. Similarly,
2818:
too large, the particle will oscillate and thus waste computational time. For
4152:
3986:
3942:
3105:
The iterative procedure continues until the U-Turn condition is met, that is
1954:. So first, one applies the leapfrog step, then a Metropolis-Hastings step.
62:
that is difficult to sample directly. This sequence can be used to estimate
107:
93:) to propose a move to a new point in the state space. Compared to using a
34:
Hamiltonian Monte Carlo sampling a two-dimensional probability distribution
305:{\displaystyle \mathbf {X} _{0},\mathbf {X} _{1},\mathbf {X} _{2},\ldots }
30:
2846:
1252:, this is done by solving the Hamilton's equations numerically using the
873:
601:
118:
3900:. Lecture Notes in Statistics. Vol. 118. Springer. pp. 55–98.
3810:
This is usually satisfied if the remaining HMC parameters are sensible.
4079:. In Steve Brooks; Andrew Gelman; Galin L. Jones; Xiao-Li Meng (eds.).
998:
The algorithm requires a positive integer for number of leapfrog steps
63:
4044:
3970:
557:
130:
1226:. Next, the particle will run under Hamiltonian dynamics for time
604:
which is symmetric and positive definite, then the
Hamiltonian is
4131:
4114:
2539:
A full update consists of first randomly sampling the momenta
872:
has to be well defined. For example, in simulations at finite
102:
properties of the simulated Hamiltonian dynamic when using a
2652:
The No U-Turn Sampler (NUTS) is an extension by controlling
4107:"Efficient Bayesian inference with Hamiltonian Monte Carlo"
3835:
2240:
1684:
1383:
89:
and volume-preserving numerical integrator (typically the
77:
Hamiltonian Monte Carlo corresponds to an instance of the
4021:
Current Trends in Bayesian Methodology with Applications
3838:, a probabilistic programming language implementing HMC.
3519:
Once the U-Turn condition is met, the next MCMC sample,
2838:
too small, the particle will behave like a random walk.
3896:
Neal, Radford M. (1996). "Monte Carlo Implementation".
3832:, a probabilistic programing language implementing HMC.
2958:{\displaystyle U_{n}\sim {\text{Uniform}}(0,\exp(-H))}
3716:
3560:
3525:
3496:
3392:
3285:
3114:
3073:
3039:
3005:
2971:
2855:
2824:
2804:
2747:
2698:
2678:
2658:
2567:
2545:
2351:
2266:
2045:
2007:
1963:
1905:
1861:
1841:
1804:
1766:
1663:
1638:
1580:
1542:
1454:
1362:
1313:
1288:
1262:
1232:
1219:{\displaystyle {\text{N}}\left(\mathbf {0} ,M\right)}
1189:
1151:
1091:
1047:
1024:
1004:
981:
961:
934:
901:
881:
839:
819:
755:
717:
657:
613:
586:
566:
538:
511:
484:
437:
398:
328:
253:
227:
190:
159:
1131:{\displaystyle \mathbf {x} _{n}(0)=\mathbf {x} _{n}}
799:{\displaystyle U(\mathbf {x} )=-\ln f(\mathbf {x} )}
4018:
3799:
3699:
3546:
3508:
3479:
3372:
3265:
3093:
3059:
3025:
2991:
2957:
2830:
2810:
2786:
2733:
2684:
2664:
2636:
2553:
2528:
2246:
2028:
1993:
1935:
1891:
1847:
1828:
1790:
1749:
1565:
1439:
1271:
1244:
1218:
1175:
1130:
1077:
1033:
1010:
987:
967:
947:
917:
887:
864:
825:
798:
734:
700:
592:
572:
544:
524:
497:
467:
304:
239:
213:
176:
3788:
2692:is critical. For example, in the one dimensional
1994:{\displaystyle \mathbf {X} _{n}=\mathbf {x} _{n}}
1078:{\displaystyle \mathbf {X} _{n}=\mathbf {x} _{n}}
4150:
3931:Journal of Educational and Behavioral Statistics
746:. The potential energy for a target is given as
214:{\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}}
1256:. The position and momentum vectors after time
3984:
153:Suppose the target distribution to sample is
3928:
3694:
3561:
3985:Hoffman, Matthew D; Gelman, Andrew (2014).
3825:Software for Monte Carlo molecular modeling
3276:or when the Hamiltonian becomes inaccurate
2734:{\displaystyle {\text{N}}(0,1/{\sqrt {k}})}
1936:{\displaystyle \mathbf {p} _{n}(L\Delta t)}
1892:{\displaystyle \mathbf {x} _{n}(L\Delta t)}
129:. However, the burden of having to provide
4037:
3963:
4057:. Singapore: Springer. pp. 281–326.
4043:
3969:
201:
4052:
2794:which corresponds to the potential of a
1018:and a positive number for the step size
29:
14:
4151:
4104:
3842:Metropolis-adjusted Langevin algorithm
106:. The reduced correlation means fewer
4121:
3898:Bayesian Learning for Neural Networks
1760:These equations are to be applied to
4144:Optimization and Monte Carlo Methods
4139:Hamiltonian Monte Carlo from scratch
4081:Handbook of Markov Chain Monte Carlo
4071:
3991:Journal of Machine Learning Research
3895:
3094:{\displaystyle \mathbf {p} _{n}^{-}}
3060:{\displaystyle \mathbf {x} _{n}^{-}}
3026:{\displaystyle \mathbf {p} _{n}^{+}}
2992:{\displaystyle \mathbf {x} _{n}^{+}}
2647:
865:{\displaystyle \exp \left(-H\right)}
141:implemented HMC in combination with
66:of the target distribution, such as
3800:{\displaystyle U_{n}<\exp \left}
3480:{\displaystyle \exp \left<U_{n}}
3373:{\displaystyle \exp \left<U_{n}}
1829:{\displaystyle \mathbf {p} _{n}(0)}
1791:{\displaystyle \mathbf {x} _{n}(0)}
1279:using the leapfrog algorithm are:
1176:{\displaystyle \mathbf {p} _{n}(0)}
50:method for obtaining a sequence of
24:
4012:
3659:
3608:
3547:{\displaystyle \mathbf {x} _{n+1}}
2422:
2392:
2317:
2191:
2125:
2029:{\displaystyle \mathbf {X} _{n+1}}
1924:
1880:
1736:
1679:
1666:
1641:
1602:
1545:
1512:
1476:
1378:
1365:
1316:
1263:
1236:
1025:
448:
440:
374:
366:
25:
4175:
4098:
4074:"MCMC Using Hamiltonian Dynamics"
3783:
3780:
3777:
3773:
3762:
3759:
3756:
3752:
3679:
3646:
3622:
3592:
3566:
3528:
3435:
3415:
3328:
3308:
3242:
3219:
3199:
3163:
3140:
3120:
3076:
3042:
3008:
2974:
2927:
2903:
2612:
2591:
2570:
2547:
2487:
2463:
2406:
2376:
2301:
2277:
2211:
2175:
2151:
2109:
2086:
2071:
2048:
2010:
1981:
1966:
1908:
1864:
1807:
1769:
1717:
1708:
1694:
1616:
1583:
1520:
1490:
1457:
1416:
1407:
1393:
1339:
1291:
1201:
1154:
1118:
1094:
1065:
1050:
789:
763:
725:
694:
670:
646:
629:
621:
286:
271:
256:
192:
167:
3190:
3184:
735:{\displaystyle U(\mathbf {x} )}
396:
390:
177:{\displaystyle f(\mathbf {x} )}
42:algorithm (originally known as
4023:. CRC Press. pp. 79–101.
3978:
3957:
3922:
3889:
3854:
3747:
3665:
3656:
3638:
3632:
3614:
3602:
3450:
3410:
3343:
3303:
3234:
3194:
3155:
3115:
2952:
2949:
2946:
2943:
2937:
2919:
2913:
2898:
2889:
2874:
2757:
2751:
2728:
2704:
2506:
2503:
2497:
2479:
2473:
2458:
2431:
2428:
2416:
2398:
2386:
2371:
2323:
2311:
2293:
2287:
2227:
2221:
2197:
2185:
2167:
2161:
2131:
2119:
2065:
1930:
1918:
1886:
1874:
1823:
1817:
1785:
1779:
1742:
1727:
1698:
1690:
1608:
1593:
1506:
1500:
1482:
1467:
1432:
1426:
1397:
1389:
1355:
1349:
1170:
1164:
1110:
1104:
793:
785:
767:
759:
729:
721:
650:
642:
633:
617:
171:
163:
119:lattice quantum chromodynamics
13:
1:
3847:
2787:{\displaystyle U(x)=kx^{2}/2}
1952:Metropolis–Hastings algorithm
918:{\displaystyle k_{\text{B}}T}
79:Metropolis–Hastings algorithm
3883:10.1016/0370-2693(87)91197-X
3509:{\displaystyle \delta =1000}
2554:{\displaystyle \mathbf {p} }
955:) is directly absorbed into
948:{\displaystyle k_{\text{B}}}
813:. Note that the Hamiltonian
148:
85:evolution simulated using a
7:
4128:Statistical Rethinking 2022
3906:10.1007/978-1-4612-0745-0_3
3813:
10:
4180:
4124:"Markov chain Monte Carlo"
3820:Dynamic Monte Carlo method
2796:simple harmonic oscillator
1041:. Suppose the chain is at
127:artificial neural networks
1245:{\displaystyle L\Delta t}
247:) and a chain of samples
143:automatic differentiation
4164:Markov chain Monte Carlo
4083:. Chapman and Hall/CRC.
4072:Neal, Radford M (2011).
3943:10.3102/1076998615606113
1272:{\displaystyle \Delta t}
1034:{\displaystyle \Delta t}
580:is the Hamiltonian. Let
560:vector respectively and
60:probability distribution
48:Markov chain Monte Carlo
2741:case, the potential is
240:{\displaystyle d\geq 1}
40:Hamiltonian Monte Carlo
3801:
3701:
3548:
3510:
3481:
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