4335:
1170:
5985:
2862:
3845:
680:
5518:
3818:
2395:
621:
5019:
1854:
4330:{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\left({\eta _{0}+\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({\sum _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}}}
1165:{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({E_{0}+\sum _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}}}
17:
5980:{\displaystyle \left({\eta _{0}+\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({\sum _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}}
2857:{\displaystyle \left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({E_{0}+\sum _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}}
3431:
234:
4655:
1490:
5481:
6344:
2358:
3813:{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}}}
616:{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}}}
6177:
3249:
48:
does not occur at a single time, but in a set of times. Due to the presence of molecular segments of different lengths, with shorter ones contributing less than longer ones, there is a varying time distribution. The
Wiechert model shows this by having as many spring–dashpot Maxwell elements as are
5014:{\displaystyle \left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}}
1849:{\displaystyle \left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}}
4618:
1453:
3044:
2158:
5285:
5281:
6207:
2162:
5147:
1982:
4464:
1299:
6020:
3111:
4468:
1303:
2897:
2041:
3391:
194:
5476:{\displaystyle {\left({\eta _{0}+\sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\left({E_{i}+E_{j}}\right)\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\epsilon }}{\partial {t}^{2}}}}
6339:{\displaystyle \sigma +\tau _{1}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}=\left({\eta _{0}+\tau _{1}E_{1}{\frac {\partial }{\partial t}}}\right){\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}}
5174:
2353:{\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\left({E_{0}+E_{i}+E_{j}}\right)\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\epsilon }}{\partial {t}^{2}}}}
5054:
1889:
2037:
676:
4380:
1215:
6172:{\displaystyle \left({\eta _{0}+\left({\sum _{j=1}^{N}E_{j}}\right)\left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right)}\right){\frac {\partial ^{N}{\epsilon }}{\partial {t}^{N}}}}
3244:{\displaystyle \sigma +\tau _{1}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}=E_{0}\epsilon +\tau _{1}\left({E_{0}+E_{1}}\right){\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}}
3337:
140:
4376:
3427:
1211:
230:
6016:
5512:
5050:
4649:
3310:
3089:
2893:
2389:
1885:
1484:
113:
3283:
86:
5168:
3839:
2003:
642:
4613:{\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\sigma }}{\partial {t}^{2}}}}
1448:{\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\sigma }}{\partial {t}^{2}}}}
3039:{\displaystyle \left({E_{0}+\sum _{j=1}^{N}E_{j}}\right)\left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right){\frac {\partial ^{N}{\epsilon }}{\partial {t}^{N}}}}
6406:
2153:{\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N}{\left({E_{0}+E_{i}}\right)\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}+}
3342:
145:
5276:{\displaystyle {\left({\eta _{0}+\sum _{i=1}^{N}{E_{i}\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}+}
6416:
49:
necessary to accurately represent the distribution. The figure on the right shows the generalised
Wiechert model.
6370:
Wiechert, E (1893); "Gesetze der elastischen
Nachwirkung fĂĽr constante Temperatur", Annalen der Physik, Vol. 286,
6442:
5142:{\displaystyle \left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right){\frac {\partial ^{N}{\sigma }}{\partial {t}^{N}}}}
1977:{\displaystyle \left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right){\frac {\partial ^{N}{\sigma }}{\partial {t}^{N}}}}
6447:
6190:
3099:
3092:
3053:
6437:
4459:{\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}+}
1294:{\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}+}
2009:
648:
6395:
Tschoegl, Nicholas W. (1989); "The
Phenomenological Theory of Linear Viscoelastic Behavior", 119-126
6361:
Wiechert, E (1889); "Ueber elastische
Nachwirkung", Dissertation, Königsberg University, Germany
3315:
118:
4358:
3409:
1193:
212:
5989:
5485:
5023:
4622:
3288:
3062:
2866:
2362:
1858:
1457:
91:
8:
4341:
This may be more easily understood by showing the model in a slightly more expanded form:
3262:
1176:
This may be more easily understood by showing the model in a slightly more expanded form:
65:
33:
5153:
3824:
1988:
627:
6412:
41:
45:
37:
6431:
6375:
6371:
36:
and E Wiechert) is the most general form of the linear model for
6193:
is the three parameter fluid, also known as the
Jeffreys model:
6386:
16:
44:
are assembled in parallel. It takes into account that the
198:
The general form for the model for solids is given by :
3395:
The general form for the model for fluids is given by:
3051:
6210:
6023:
5992:
5521:
5488:
5288:
5177:
5156:
5057:
5026:
4658:
4625:
4471:
4383:
4361:
3848:
3827:
3434:
3412:
3345:
3318:
3291:
3265:
3114:
3065:
2900:
2869:
2398:
2365:
2165:
2044:
2012:
1991:
1892:
1861:
1493:
1460:
1306:
1218:
1196:
683:
651:
630:
237:
215:
148:
121:
94:
68:
3386:{\displaystyle \tau _{i}={\frac {\eta _{i}}{E_{i}}}}
189:{\displaystyle \tau _{i}={\frac {\eta _{i}}{E_{i}}}}
6338:
6171:
6010:
5979:
5506:
5475:
5275:
5162:
5141:
5044:
5013:
4643:
4612:
4458:
4370:
4329:
3833:
3812:
3421:
3385:
3331:
3304:
3277:
3243:
3083:
3038:
2887:
2856:
2383:
2352:
2152:
2031:
1997:
1976:
1879:
1848:
1478:
1447:
1293:
1205:
1164:
670:
636:
615:
224:
188:
134:
107:
80:
6184:
6429:
6404:
6364:
6355:
15:
6389:
6380:
6430:
52:
6197:Three Parameter Maxwell Fluid Model
20:Schematic of Maxwell–Wiechert model
13:
6325:
6315:
6298:
6294:
6240:
6230:
6151:
6135:
5959:
5943:
5455:
5439:
5259:
5249:
5121:
5105:
4993:
4977:
4592:
4576:
4442:
4432:
4308:
4292:
3791:
3775:
3230:
3220:
3144:
3134:
3018:
3002:
2836:
2820:
2332:
2316:
2136:
2126:
1956:
1940:
1828:
1812:
1427:
1411:
1277:
1267:
1143:
1127:
594:
578:
14:
6459:
6405:Gutierrez-Lemini, Danton (2013).
3059:Following the above model with
2032:{\displaystyle E_{0}\epsilon +}
671:{\displaystyle E_{0}\epsilon +}
6398:
6185:Example: three parameter fluid
1:
6349:
7:
6408:Engineering Viscoelasticity
6200:
6191:standard linear solid model
6189:The analogous model to the
4351:
4348:General Maxwell Fluid Model
3402:
3399:General Maxwell Fluid Model
3104:
3100:Standard Linear Solid Model
3093:standard linear solid model
3054:standard linear solid model
1186:
1183:General Maxwell Solid Model
205:
202:General Maxwell Solid Model
10:
6464:
3332:{\displaystyle \eta _{i}}
3254:
135:{\displaystyle \eta _{i}}
57:
40:. In this model, several
26:generalized Maxwell model
6411:. Springer. p. 88.
4371:{\displaystyle \sigma +}
3422:{\displaystyle \sigma +}
1206:{\displaystyle \sigma +}
225:{\displaystyle \sigma +}
3339:, and relaxation times
142:, and relaxation times
6340:
6173:
6108:
6067:
6012:
5981:
5731:
5669:
5579:
5508:
5477:
5367:
5334:
5277:
5217:
5164:
5143:
5083:
5046:
5015:
4855:
4793:
4703:
4645:
4614:
4537:
4504:
4460:
4410:
4372:
4331:
4080:
4018:
3928:
3869:
3835:
3814:
3653:
3591:
3501:
3455:
3423:
3387:
3333:
3306:
3279:
3245:
3085:
3040:
2980:
2939:
2889:
2858:
2595:
2533:
2443:
2385:
2354:
2231:
2198:
2154:
2071:
2033:
1999:
1978:
1918:
1881:
1850:
1690:
1628:
1538:
1480:
1449:
1372:
1339:
1295:
1245:
1207:
1166:
902:
840:
750:
704:
672:
638:
617:
456:
394:
304:
258:
226:
190:
136:
109:
82:
30:Maxwell–Wiechert model
21:
6341:
6174:
6088:
6047:
6013:
6011:{\displaystyle +...+}
5982:
5685:
5595:
5540:
5509:
5507:{\displaystyle +...+}
5478:
5341:
5308:
5278:
5197:
5165:
5144:
5063:
5047:
5045:{\displaystyle +...+}
5016:
4809:
4719:
4664:
4646:
4644:{\displaystyle +...+}
4615:
4511:
4478:
4461:
4390:
4373:
4332:
4034:
3944:
3889:
3849:
3836:
3815:
3607:
3517:
3462:
3435:
3424:
3388:
3334:
3307:
3305:{\displaystyle E_{i}}
3285:elements with moduli
3280:
3246:
3086:
3084:{\displaystyle N+1=2}
3041:
2960:
2919:
2890:
2888:{\displaystyle +...+}
2859:
2549:
2459:
2404:
2386:
2384:{\displaystyle +...+}
2355:
2205:
2172:
2155:
2051:
2034:
2000:
1979:
1898:
1882:
1880:{\displaystyle +...+}
1851:
1644:
1554:
1499:
1481:
1479:{\displaystyle +...+}
1450:
1346:
1313:
1296:
1225:
1208:
1167:
856:
766:
711:
684:
673:
639:
618:
410:
320:
265:
238:
227:
191:
137:
110:
108:{\displaystyle E_{i}}
88:elements with moduli
83:
19:
6443:Non-Newtonian fluids
6376:issue 11, p. 546–570
6372:issue 10, p. 335–348
6208:
6021:
5990:
5519:
5486:
5286:
5175:
5154:
5055:
5024:
4656:
4623:
4469:
4381:
4359:
3846:
3825:
3432:
3410:
3343:
3316:
3289:
3263:
3112:
3091:elements yields the
3063:
2898:
2867:
2396:
2363:
2163:
2042:
2010:
1989:
1890:
1859:
1491:
1458:
1304:
1216:
1194:
681:
649:
628:
235:
213:
146:
119:
92:
66:
6448:James Clerk Maxwell
3278:{\displaystyle N+1}
81:{\displaystyle N+1}
34:James Clerk Maxwell
6336:
6169:
6008:
5977:
5880:
5800:
5504:
5473:
5273:
5160:
5139:
5042:
5011:
4919:
4641:
4610:
4456:
4368:
4327:
4229:
4149:
3831:
3810:
3717:
3419:
3383:
3329:
3302:
3275:
3241:
3081:
3036:
2885:
2854:
2757:
2677:
2381:
2350:
2150:
2029:
1995:
1974:
1877:
1846:
1754:
1476:
1445:
1291:
1203:
1162:
1064:
984:
668:
634:
613:
520:
222:
186:
132:
105:
78:
53:General model form
28:also known as the
22:
6438:Materials science
6334:
6305:
6249:
6167:
5975:
5823:
5743:
5471:
5268:
5163:{\displaystyle =}
5137:
5009:
4862:
4608:
4451:
4324:
4172:
4092:
3834:{\displaystyle =}
3807:
3660:
3381:
3239:
3153:
3034:
2852:
2700:
2620:
2348:
2145:
1998:{\displaystyle =}
1972:
1844:
1697:
1443:
1286:
1159:
1007:
927:
637:{\displaystyle =}
610:
463:
184:
6455:
6423:
6422:
6402:
6396:
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