4505:
3101:
3321:
4170:
1587:
989:
2884:
3105:
4207:
4721:
1756:
1265:
672:
2094:
1946:
2762:
2650:
2538:
547:
3471:
299:
1414:
3944:
2851:
3096:{\displaystyle \left({\Gamma ^{1}}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{1}}_{11}\mathbf {r} _{uv}+\left({\Gamma ^{2}}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{v}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf {r} _{vv}+L_{v}\mathbf {n} +L\mathbf {n} _{v}}
3316:{\displaystyle =\left({\Gamma ^{1}}_{12}\right)_{u}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{1}}_{12}\mathbf {r} _{uu}+\left(\Gamma _{12}^{2}\right)_{u}\mathbf {r} _{v}+{\Gamma ^{2}}_{12}\mathbf {r} _{uv}+M_{u}\mathbf {n} +M\mathbf {n} _{u}}
4500:{\displaystyle \operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\sum _{j=1}^{k}\langle R'(X,e_{j})e_{j},W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(X,E_{i})\alpha _{j}(E_{i},W)-H_{j}\alpha _{j}(X,W)\right).}
807:
1350:
4923:
5402:
4520:
3668:
1602:
5087:
3834:
5211:
3907:
Observe that the mean curvature is a trace, or average, of the second fundamental form, for any given component. Sometimes mean curvature is defined by multiplying the sum on the right-hand side by
2312:
1123:
5566:
2176:
1952:
1804:
372:
5266:
2656:
2544:
2432:
3730:
3564:
558:
2422:
and the elements of the second fundamental form. We choose the first two components of the basis as they are intrinsic to the surface and intend to prove intrinsic property of the
3336:
143:
2416:
5439:
4792:
799:
403:
706:
213:
4760:
4951:
4825:
1406:
1071:
1017:
734:
436:
5116:
1582:{\displaystyle \left({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha \right)(Y,Z)=D_{X}\left(\alpha (Y,Z)\right)-\alpha \left(\nabla _{X}Y,Z\right)-\alpha \left(Y,\nabla _{X}Z\right).}
5321:
3902:
452:
4165:{\displaystyle \langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\left(\alpha _{j}(X,Z)\alpha _{j}(Y,W)-\alpha _{j}(Y,Z)\alpha _{j}(X,W)\right).}
1111:
1091:
5734:
Translated from the second
Portuguese edition by Francis Flaherty. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. xiv+300 pp.
4199:
3933:
3871:
177:
5289:
4971:
5748:
Interscience Tracts in Pure and
Applied Mathematics, No. 15 Vol. II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney 1969 xv+470 pp.
2776:
984:{\displaystyle \langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\langle \alpha (X,Z),\alpha (Y,W)\rangle -\langle \alpha (Y,Z),\alpha (X,W)\rangle }
1280:
5329:
4716:{\displaystyle \operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\langle R'(X,n)n,W\rangle +\sum _{i=1}^{m}h(X,E_{i})h(E_{i},W)-Hh(X,W)}
1751:{\displaystyle \bot \left(R'(X,Y)Z\right)=\left({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha \right)(Y,Z)-\left({\tilde {\nabla }}_{Y}\alpha \right)(X,Z).}
3576:
6088:
50:) are fundamental formulas that link together the induced metric and second fundamental form of a submanifold of (or immersion into) a
4833:
2767:
4987:
3746:
5124:
17:
1260:{\displaystyle \nabla '_{X}\xi =\top \left(\nabla '_{X}\xi \right)+\bot \left(\nabla '_{X}\xi \right)=-A_{\xi }(X)+D_{X}(\xi ).}
2211:
5775:
5721:
5879:
5926:
5121:
We can already use these equations to draw some conclusions. For example, any minimal immersion into the round sphere
2089:{\displaystyle M_{v}-N_{u}=L\Gamma ^{1}{}_{22}+M\left({\Gamma ^{2}}_{22}-{\Gamma ^{1}}_{12}\right)-N{\Gamma ^{2}}_{12}}
1941:{\displaystyle L_{v}-M_{u}=L\Gamma ^{1}{}_{12}+M\left({\Gamma ^{2}}_{12}-{\Gamma ^{1}}_{11}\right)-N{\Gamma ^{2}}_{11}}
6014:
5951:
5760:
5739:
5725:
5668:
2757:{\displaystyle \mathbf {r} _{vv}={\Gamma ^{1}}_{22}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{22}\mathbf {r} _{v}+N\mathbf {n} }
2645:{\displaystyle \mathbf {r} _{uv}={\Gamma ^{1}}_{12}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{12}\mathbf {r} _{v}+M\mathbf {n} }
2533:{\displaystyle \mathbf {r} _{uu}={\Gamma ^{1}}_{11}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf {r} _{v}+L\mathbf {n} }
2109:
77:
of the surface, at any given point, is dictated by the derivatives of the Gauss map at that point, as encoded by the
6098:
314:
5219:
5901:
5617:(1828), "Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas" [General Discussions about Curved Surfaces],
5857:
5631:
667:{\displaystyle \nabla _{X}Y=\top \left(\nabla '_{X}Y\right),\quad \alpha (X,Y)=\bot \left(\nabla '_{X}Y\right).}
3676:
3510:
5641:
5408:
6093:
3466:{\displaystyle M{\Gamma ^{1}}_{11}+N{\Gamma ^{2}}_{11}+L_{v}=L{\Gamma ^{1}}_{12}+M{\Gamma ^{2}}_{12}+M_{u}}
5636:
116:
5921:
5847:
5693:
192:
102:
55:
35:
2392:
6044:
6019:
5941:
5418:
4764:
1020:
757:
294:{\displaystyle 0\rightarrow T_{x}M\rightarrow T_{x}P|_{M}\rightarrow T_{x}^{\perp }M\rightarrow 0.}
5991:
5872:
5660:
2360:
1783:
1762:
744:
684:
78:
5996:
5986:
5716:
Revised & updated second edition. Dover
Publications, Inc., Mineola, NY, 2016. xvi+510 pp.
3326:
Now substitute the above expressions for the second derivatives and equate the coefficients of
709:
378:
5836:
4729:
542:{\displaystyle \nabla '_{X}Y=\top \left(\nabla '_{X}Y\right)+\bot \left(\nabla '_{X}Y\right).}
383:
5893:
4797:
1779:
1391:
1047:
719:
412:
5852:
5828:
5095:
5614:
5294:
3880:
2356:
2099:
The Gauss formula, depending on how one chooses to define the
Gaussian curvature, may be a
1039:
305:
90:
70:
1096:
1076:
8:
6034:
6006:
5961:
4178:
3910:
3850:
2419:
156:
101:(1868–1869), who independently derived the result, although it was discovered earlier by
61:
The equations were originally discovered in the context of surfaces in three-dimensional
51:
31:
4931:
997:
5966:
5916:
5865:
5832:
5811:
5755:
Pure and
Applied Mathematics, 103. Academic Press, Inc. , New York, 1983. xiii+468 pp.
5603:
5274:
4956:
2423:
2202:
740:
6103:
5815:
5771:
5756:
5735:
5717:
5664:
5653:
5607:
5480:
2846:{\displaystyle \left(\mathbf {r} _{uu}\right)_{v}=\left(\mathbf {r} _{uv}\right)_{u}}
2100:
1361:
6029:
5931:
5801:
5677:
5595:
3732:
is a local orthonormal frame (of tangent vector fields) on the same open subset of
2385:
normal to the surface. It is possible to express the second partial derivatives of
1765:
is, in particular, a local embedding, the above formulas also hold for immersions.
94:
5564:(1867), "Memoire sur la theorie des surfaces applicables sur une surface donnee",
6024:
5936:
5887:
5579:
3874:
98:
74:
62:
6057:
6052:
5971:
3737:
180:
3873:, then there is only one mean curvature to speak of. The immersion is called
1044:
is an analog of the Gauss formula for a connection in the normal bundle. Let
6082:
5976:
5561:
5450:
1768:
1345:{\displaystyle \langle A_{\xi }X,Y\rangle =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangle }
200:
5806:
5648:
1093:
a normal vector field. Then decompose the ambient covariant derivative of
1380:. These combine to form a connection on any tensor product of copies of T
1368:
There are thus a pair of connections: ∇, defined on the tangent bundle of
27:
Fundamental formulas linking the metric and curvature tensor of a manifold
6062:
5792:
Takahashi, Tsunero (1966), "Minimal immersions of
Riemannian manifolds",
5599:
2317:
where the three component functions depend smoothly on ordered pairs (
5911:
5889:
5397:{\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{m}\nabla _{E_{i}}\nabla _{E_{i}}}
3476:
Rearranging this equation gives the first
Codazzi–Mainardi equation.
5583:
6067:
196:
93:
of the second fundamental form is fully symmetric. It is named for
3663:{\displaystyle \alpha (X,Y)=\sum _{j=1}^{k}\alpha _{j}(X,Y)e_{j}.}
1782:
of surfaces, the
Codazzi–Mainardi equations are expressed via the
743:
with values in the normal bundle. It is often referred to as the
4918:{\displaystyle R'=R+2\operatorname {Ric} '(n,n)+\|h\|^{2}-H^{2}}
5082:{\displaystyle \|h\|^{2}=\sum _{i,j=1}^{m}h(E_{i},E_{j})^{2}.}
3829:{\displaystyle H_{j}=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(E_{i},E_{i}).}
5768:
Differential geometry of curves and surfaces: A concise guide
5848:
Peterson–Mainardi–Codazzi
Equations – from Wolfram MathWorld
409:
decomposes into tangential and normal components. For each
5584:"Sulle coordinate curvilinee d'una superficie dello spazio"
5206:{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1}
5118:, the scalar curvature equation might be more complicated.
1388:. In particular, they defined the covariant derivative of
149:-dimensional embedded submanifold of a Riemannian manifold
5753:
Semi-Riemannian geometry. With applications to relativity.
1769:
Gauss–Codazzi equations in classical differential geometry
3566:
be a local orthonormal frame of vector fields normal to
2307:{\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}
65:. In this context, the first equation, often called the
5421:
5332:
5297:
5277:
5222:
5127:
5098:
4990:
4959:
4934:
4836:
4800:
4767:
4732:
4523:
4210:
4181:
3947:
3913:
3883:
3853:
3749:
3679:
3579:
3513:
3339:
3108:
2887:
2779:
2659:
2547:
2435:
2395:
2214:
2112:
1955:
1807:
1605:
1417:
1394:
1283:
1126:
1099:
1079:
1050:
1000:
810:
760:
722:
687:
561:
455:
415:
386:
317:
216:
159:
119:
2196:
2193:) are the components of the first fundamental form.
1773:
5680:(1856), "Su la teoria generale delle superficie",
5652:
5433:
5396:
5315:
5283:
5260:
5205:
5110:
5081:
4965:
4945:
4917:
4819:
4786:
4754:
4715:
4499:
4193:
4164:
3927:
3896:
3865:
3828:
3724:
3662:
3558:
3465:
3315:
3095:
2845:
2756:
2644:
2532:
2410:
2306:
2170:
2088:
1940:
1750:
1581:
1400:
1344:
1259:
1105:
1085:
1065:
1011:
983:
793:
728:
700:
666:
541:
430:
397:
366:
293:
171:
137:
5655:Mathematical Thought from Ancient to Modern Times
6080:
3938:We can now write the Gauss–Codazzi equations as
5714:Differential geometry of curves & surfaces.
2171:{\displaystyle K={\frac {LN-M^{2}}{eg-f^{2}}},}
5746:Foundations of differential geometry. Vol. II.
4827:. In that case, one more contraction yields,
3479:The second equation may be derived similarly.
5873:
5626:("General Discussions about Curved Surfaces")
367:{\displaystyle TP|_{M}=TM\oplus T^{\perp }M.}
5794:Journal of the Mathematical Society of Japan
5578:
5261:{\displaystyle \Delta x_{j}+\lambda x_{j}=0}
4998:
4991:
4893:
4886:
4612:
4577:
4334:
4285:
4019:
3989:
3983:
3948:
1339:
1312:
1306:
1284:
978:
936:
930:
888:
882:
852:
846:
811:
2426:. The last term in the basis is extrinsic.
44:Gauss–Codazzi–Weingarten-Mainardi equations
5880:
5866:
5823:Minimal varieties in riemannian manifolds.
5805:
5791:
5765:
5541:
5468:
3725:{\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots ,E_{m}}
3559:{\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{k}}
2770:states that partial derivatives commute:
2402:
2398:
5692:
5676:
5509:
5744:Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi.
5479:This equation is the basis for Gauss's
3495:-dimensional manifold immersed in the (
1117:into tangential and normal components:
752:Gauss equation for the curvature tensor
179:. There is a natural inclusion of the
14:
6081:
5629:
5560:
5520:
4514:is a hypersurface, this simplifies to
5861:
5766:Toponogov, Victor Andreevich (2006).
5647:
5613:
5497:
5484:
2333:-plane. Assume that this surface is
5825:Ann. of Math. (2) 88 (1968), 62–105.
5700:, Doctoral thesis, Dorpat University
5532:Terminology from Spivak, Volume III.
108:
24:
5927:Radius of curvature (applications)
5378:
5361:
5333:
5223:
3434:
3409:
3371:
3346:
3246:
3204:
3164:
3120:
3026:
2982:
2940:
2896:
2715:
2681:
2603:
2569:
2491:
2457:
2070:
2040:
2018:
1986:
1922:
1892:
1870:
1838:
1707:
1657:
1606:
1559:
1518:
1427:
1376:, defined on the normal bundle of
1187:
1178:
1155:
1146:
1128:
689:
641:
632:
587:
578:
563:
516:
507:
484:
475:
457:
388:
138:{\displaystyle i\colon M\subset P}
81:. The second equation, called the
25:
6115:
6089:Differential geometry of surfaces
6015:Curvature of Riemannian manifolds
5841:
3482:
2197:Derivation of classical equations
5682:Giornale Dell' Istituto Lombardo
5567:Journal de l'École Polytechnique
3303:
3291:
3264:
3230:
3182:
3148:
3083:
3071:
3044:
3010:
2958:
2924:
2820:
2787:
2750:
2733:
2699:
2662:
2638:
2621:
2587:
2550:
2526:
2509:
2475:
2438:
2411:{\displaystyle \mathbb {R^{3}} }
2216:
1774:Statement of classical equations
377:Relative to this splitting, the
610:
48:Gauss–Peterson–Codazzi formulas
5535:
5526:
5514:
5503:
5490:
5473:
5462:
5067:
5040:
4880:
4868:
4710:
4698:
4686:
4667:
4661:
4642:
4600:
4588:
4571:
4559:
4547:
4535:
4486:
4474:
4448:
4429:
4416:
4397:
4315:
4296:
4258:
4246:
4234:
4222:
4151:
4139:
4126:
4114:
4098:
4086:
4073:
4061:
4007:
3995:
3971:
3959:
3820:
3794:
3644:
3632:
3595:
3583:
3503:)-dimensional smooth manifold
2381:}, by selecting a unit vector
2301:
2298:
2286:
2277:
2265:
2256:
2244:
2238:
2232:
2220:
1742:
1730:
1710:
1692:
1680:
1660:
1634:
1622:
1498:
1486:
1462:
1450:
1430:
1330:
1318:
1251:
1245:
1229:
1223:
975:
963:
954:
942:
927:
915:
906:
894:
870:
858:
834:
822:
750:An immediate corollary is the
626:
614:
326:
285:
264:
254:
236:
220:
13:
1:
5730:do Carmo, Manfredo Perdigão.
5549:
5434:{\displaystyle \lambda >0}
4973:are the scalar curvatures of
4787:{\displaystyle h=\alpha _{1}}
794:{\displaystyle X,Y,Z,W\in TM}
5698:Über die Biegung der Flächen
5632:"Peterson–Codazzi equations"
7:
5694:Peterson, Karl Mikhailovich
5637:Encyclopedia of Mathematics
5444:
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