341:
235:
1917:
1602:
971:
1269:
587:
894:
457:
815:
1396:
735:
1713:
1186:
1785:
243:
2028:
1984:
146:
1509:
1790:
621:
1317:
664:
488:
1081:
1013:
1448:
1422:
1039:
2096:
2072:
2052:
1939:
508:
384:
364:
1514:
899:
1191:
822:
740:
1324:
513:
669:
389:
2154:
17:
1607:
1086:
1718:
336:{\displaystyle \mathrm {ker} (f)\subseteq \mathrm {ker} (f^{2})\subseteq \mathrm {ker} (f^{3})\subseteq \ldots }
230:{\displaystyle \mathrm {im} (f)\supseteq \mathrm {im} (f^{2})\supseteq \mathrm {im} (f^{3})\supseteq \ldots }
1989:
1948:
1912:{\displaystyle x\in \mathrm {ker} (f^{k})+f^{k}(y)\subseteq \mathrm {ker} (f^{k})+\mathrm {im} (f^{k}).}
1453:
2177:
1274:
628:
1044:
976:
2172:
592:
462:
1942:
60:
1427:
1401:
1018:
98:
48:
8:
106:
2081:
2057:
2037:
1924:
493:
369:
349:
64:
52:
2150:
87:
366:
has finite length, both of these chains must eventually stabilize, so there is some
40:
2142:
2166:
76:
68:
36:
2075:
28:
113:
91:
1597:{\displaystyle f^{k}(x)\in \mathrm {im} (f^{k})=\mathrm {im} (f^{2k})}
2099:
136:
80:
966:{\displaystyle x\in \mathrm {ker} (f^{k})\cap \mathrm {im} (f^{k})}
101:. This is in fact a special case of the version above, since every
1264:{\displaystyle y\in \mathrm {ker} (f^{2k})=\mathrm {ker} (f^{k})}
889:{\displaystyle \mathrm {ker} (f^{k})\cap \mathrm {im} (f^{k})=0}
2078:. Depending on which of the two summands is zero, we find that
2054:
is indecomposable, one of those two summands must be equal to
810:{\displaystyle \mathrm {ker} (f^{2k})=\mathrm {ker} (f^{k}).}
1391:{\displaystyle \mathrm {ker} (f^{k})+\mathrm {im} (f^{k})=M}
582:{\displaystyle \mathrm {ker} (f^{m})=\mathrm {ker} (f^{m'})}
730:{\displaystyle \mathrm {im} (f^{2k})=\mathrm {im} (f^{k})}
452:{\displaystyle \mathrm {im} (f^{n})=\mathrm {im} (f^{n'})}
1708:{\displaystyle f^{k}(x-f^{k}(y))=f^{k}(x)-f^{2k}(y)=0}
2084:
2060:
2040:
1992:
1951:
1927:
1793:
1721:
1610:
1517:
1456:
1430:
1404:
1327:
1277:
1194:
1089:
1047:
1021:
979:
902:
825:
743:
672:
631:
595:
516:
496:
465:
392:
372:
352:
246:
149:
1181:{\displaystyle 0=f^{k}(x)=f^{k}(f^{k}(y))=f^{2k}(y)}
1780:{\displaystyle x-f^{k}(y)\in \mathrm {ker} (f^{k})}
2090:
2066:
2046:
2022:
1978:
1933:
1911:
1779:
1707:
1596:
1503:
1442:
1416:
1390:
1311:
1263:
1180:
1075:
1033:
1007:
965:
888:
809:
729:
658:
615:
581:
502:
482:
451:
378:
358:
335:
229:
127:To prove Fitting's lemma, we take an endomorphism
97:A version of Fitting's lemma is often used in the
2164:
638:
90:of every finite-length indecomposable module is
86:As an immediate consequence, we see that the
653:
641:
135:and consider the following two chains of
2141:
2117:
2030:. (This statement is also known as the
14:
2165:
2149:, vol. 2 (2nd ed.), Dover,
2023:{\displaystyle \mathrm {ker} (f^{k})}
1979:{\displaystyle \mathrm {im} (f^{k})}
112:can be viewed as a module over the
24:
2129:Jacobson (2009), p. 113–114.
2000:
1997:
1994:
1956:
1953:
1886:
1883:
1859:
1856:
1853:
1807:
1804:
1801:
1757:
1754:
1751:
1571:
1568:
1544:
1541:
1504:{\displaystyle f^{k}(x)=f^{2k}(y)}
1362:
1359:
1335:
1332:
1329:
1241:
1238:
1235:
1208:
1205:
1202:
943:
940:
916:
913:
910:
860:
857:
833:
830:
827:
784:
781:
778:
751:
748:
745:
707:
704:
677:
674:
554:
551:
548:
524:
521:
518:
424:
421:
397:
394:
307:
304:
301:
277:
274:
271:
254:
251:
248:
240:the second is the ascending chain
201:
198:
174:
171:
154:
151:
143:The first is the descending chain
25:
2189:
666:, and note that by construction
35:– named after the mathematician
99:representation theory of groups
2123:
2111:
2017:
2004:
1973:
1960:
1903:
1890:
1876:
1863:
1846:
1840:
1824:
1811:
1774:
1761:
1744:
1738:
1696:
1690:
1671:
1665:
1649:
1646:
1640:
1621:
1591:
1575:
1561:
1548:
1534:
1528:
1498:
1492:
1473:
1467:
1379:
1366:
1352:
1339:
1300:
1294:
1258:
1245:
1228:
1212:
1175:
1169:
1150:
1147:
1141:
1128:
1112:
1106:
1064:
1058:
1002:
996:
960:
947:
933:
920:
877:
864:
850:
837:
801:
788:
771:
755:
724:
711:
697:
681:
576:
558:
541:
528:
446:
428:
414:
401:
324:
311:
294:
281:
264:
258:
218:
205:
191:
178:
164:
158:
13:
1:
2135:
2120:, A lemma before Theorem 3.7.
2032:Fitting decomposition theorem
1312:{\displaystyle x=f^{k}(y)=0.}
659:{\displaystyle k=\max\{n,m\}}
105:-linear representation of a
7:
10:
2194:
2074:and the other must be the
1076:{\displaystyle f^{k}(x)=0}
1008:{\displaystyle x=f^{k}(y)}
39:– is a basic statement in
616:{\displaystyle m'\geq m.}
2105:
483:{\displaystyle n'\geq n}
122:
2092:
2068:
2048:
2024:
1980:
1935:
1913:
1781:
1709:
1598:
1505:
1444:
1443:{\displaystyle y\in M}
1418:
1417:{\displaystyle x\in M}
1392:
1313:
1265:
1182:
1077:
1035:
1034:{\displaystyle y\in M}
1009:
967:
890:
811:
731:
660:
617:
583:
504:
484:
453:
380:
360:
337:
231:
2093:
2069:
2049:
2025:
1981:
1936:
1914:
1782:
1710:
1599:
1506:
1445:
1419:
1393:
1314:
1266:
1183:
1078:
1036:
1010:
968:
891:
812:
732:
661:
618:
584:
505:
485:
454:
381:
361:
338:
232:
18:Fitting decomposition
2082:
2058:
2038:
1990:
1949:
1925:
1791:
1719:
1608:
1515:
1454:
1428:
1424:, there exists some
1402:
1325:
1275:
1192:
1087:
1045:
1019:
977:
900:
823:
741:
670:
629:
593:
514:
494:
463:
390:
370:
350:
244:
147:
2088:
2064:
2044:
2020:
1976:
1931:
1909:
1777:
1705:
1594:
1501:
1440:
1414:
1388:
1309:
1261:
1178:
1073:
1031:
1005:
963:
886:
807:
727:
656:
613:
579:
500:
480:
449:
376:
356:
333:
227:
2178:Lemmas in algebra
2156:978-0-486-47187-7
2091:{\displaystyle f}
2067:{\displaystyle M}
2047:{\displaystyle M}
1934:{\displaystyle M}
503:{\displaystyle m}
379:{\displaystyle n}
359:{\displaystyle M}
88:endomorphism ring
16:(Redirected from
2185:
2159:
2143:Jacobson, Nathan
2130:
2127:
2121:
2115:
2097:
2095:
2094:
2089:
2073:
2071:
2070:
2065:
2053:
2051:
2050:
2045:
2029:
2027:
2026:
2021:
2016:
2015:
2003:
1985:
1983:
1982:
1977:
1972:
1971:
1959:
1940:
1938:
1937:
1932:
1918:
1916:
1915:
1910:
1902:
1901:
1889:
1875:
1874:
1862:
1839:
1838:
1823:
1822:
1810:
1786:
1784:
1783:
1778:
1773:
1772:
1760:
1737:
1736:
1714:
1712:
1711:
1706:
1689:
1688:
1664:
1663:
1639:
1638:
1620:
1619:
1603:
1601:
1600:
1595:
1590:
1589:
1574:
1560:
1559:
1547:
1527:
1526:
1510:
1508:
1507:
1502:
1491:
1490:
1466:
1465:
1449:
1447:
1446:
1441:
1423:
1421:
1420:
1415:
1397:
1395:
1394:
1389:
1378:
1377:
1365:
1351:
1350:
1338:
1318:
1316:
1315:
1310:
1293:
1292:
1270:
1268:
1267:
1262:
1257:
1256:
1244:
1227:
1226:
1211:
1187:
1185:
1184:
1179:
1168:
1167:
1140:
1139:
1127:
1126:
1105:
1104:
1082:
1080:
1079:
1074:
1057:
1056:
1040:
1038:
1037:
1032:
1014:
1012:
1011:
1006:
995:
994:
972:
970:
969:
964:
959:
958:
946:
932:
931:
919:
896:. Indeed, every
895:
893:
892:
887:
876:
875:
863:
849:
848:
836:
816:
814:
813:
808:
800:
799:
787:
770:
769:
754:
736:
734:
733:
728:
723:
722:
710:
696:
695:
680:
665:
663:
662:
657:
622:
620:
619:
614:
603:
588:
586:
585:
580:
575:
574:
573:
557:
540:
539:
527:
509:
507:
506:
501:
489:
487:
486:
481:
473:
458:
456:
455:
450:
445:
444:
443:
427:
413:
412:
400:
385:
383:
382:
377:
365:
363:
362:
357:
342:
340:
339:
334:
323:
322:
310:
293:
292:
280:
257:
236:
234:
233:
228:
217:
216:
204:
190:
189:
177:
157:
41:abstract algebra
21:
2193:
2192:
2188:
2187:
2186:
2184:
2183:
2182:
2163:
2162:
2157:
2138:
2133:
2128:
2124:
2116:
2112:
2108:
2083:
2080:
2079:
2059:
2056:
2055:
2039:
2036:
2035:
2011:
2007:
1993:
1991:
1988:
1987:
1967:
1963:
1952:
1950:
1947:
1946:
1926:
1923:
1922:
1897:
1893:
1882:
1870:
1866:
1852:
1834:
1830:
1818:
1814:
1800:
1792:
1789:
1788:
1768:
1764:
1750:
1732:
1728:
1720:
1717:
1716:
1681:
1677:
1659:
1655:
1634:
1630:
1615:
1611:
1609:
1606:
1605:
1582:
1578:
1567:
1555:
1551:
1540:
1522:
1518:
1516:
1513:
1512:
1483:
1479:
1461:
1457:
1455:
1452:
1451:
1429:
1426:
1425:
1403:
1400:
1399:
1373:
1369:
1358:
1346:
1342:
1328:
1326:
1323:
1322:
1288:
1284:
1276:
1273:
1272:
1252:
1248:
1234:
1219:
1215:
1201:
1193:
1190:
1189:
1160:
1156:
1135:
1131:
1122:
1118:
1100:
1096:
1088:
1085:
1084:
1052:
1048:
1046:
1043:
1042:
1020:
1017:
1016:
990:
986:
978:
975:
974:
954:
950:
939:
927:
923:
909:
901:
898:
897:
871:
867:
856:
844:
840:
826:
824:
821:
820:
795:
791:
777:
762:
758:
744:
742:
739:
738:
718:
714:
703:
688:
684:
673:
671:
668:
667:
630:
627:
626:
596:
594:
591:
590:
566:
565:
561:
547:
535:
531:
517:
515:
512:
511:
495:
492:
491:
466:
464:
461:
460:
436:
435:
431:
420:
408:
404:
393:
391:
388:
387:
371:
368:
367:
351:
348:
347:
318:
314:
300:
288:
284:
270:
247:
245:
242:
241:
212:
208:
197:
185:
181:
170:
150:
148:
145:
144:
125:
63:and has finite
23:
22:
15:
12:
11:
5:
2191:
2181:
2180:
2175:
2161:
2160:
2155:
2137:
2134:
2132:
2131:
2122:
2109:
2107:
2104:
2102:or nilpotent.
2087:
2076:zero submodule
2063:
2043:
2019:
2014:
2010:
2006:
2002:
1999:
1996:
1975:
1970:
1966:
1962:
1958:
1955:
1930:
1921:Consequently,
1908:
1905:
1900:
1896:
1892:
1888:
1885:
1881:
1878:
1873:
1869:
1865:
1861:
1858:
1855:
1851:
1848:
1845:
1842:
1837:
1833:
1829:
1826:
1821:
1817:
1813:
1809:
1806:
1803:
1799:
1796:
1776:
1771:
1767:
1763:
1759:
1756:
1753:
1749:
1746:
1743:
1740:
1735:
1731:
1727:
1724:
1704:
1701:
1698:
1695:
1692:
1687:
1684:
1680:
1676:
1673:
1670:
1667:
1662:
1658:
1654:
1651:
1648:
1645:
1642:
1637:
1633:
1629:
1626:
1623:
1618:
1614:
1593:
1588:
1585:
1581:
1577:
1573:
1570:
1566:
1563:
1558:
1554:
1550:
1546:
1543:
1539:
1536:
1533:
1530:
1525:
1521:
1500:
1497:
1494:
1489:
1486:
1482:
1478:
1475:
1472:
1469:
1464:
1460:
1439:
1436:
1433:
1413:
1410:
1407:
1387:
1384:
1381:
1376:
1372:
1368:
1364:
1361:
1357:
1354:
1349:
1345:
1341:
1337:
1334:
1331:
1308:
1305:
1302:
1299:
1296:
1291:
1287:
1283:
1280:
1260:
1255:
1251:
1247:
1243:
1240:
1237:
1233:
1230:
1225:
1222:
1218:
1214:
1210:
1207:
1204:
1200:
1197:
1177:
1174:
1171:
1166:
1163:
1159:
1155:
1152:
1149:
1146:
1143:
1138:
1134:
1130:
1125:
1121:
1117:
1114:
1111:
1108:
1103:
1099:
1095:
1092:
1072:
1069:
1066:
1063:
1060:
1055:
1051:
1030:
1027:
1024:
1004:
1001:
998:
993:
989:
985:
982:
962:
957:
953:
949:
945:
942:
938:
935:
930:
926:
922:
918:
915:
912:
908:
905:
885:
882:
879:
874:
870:
866:
862:
859:
855:
852:
847:
843:
839:
835:
832:
829:
819:We claim that
806:
803:
798:
794:
790:
786:
783:
780:
776:
773:
768:
765:
761:
757:
753:
750:
747:
726:
721:
717:
713:
709:
706:
702:
699:
694:
691:
687:
683:
679:
676:
655:
652:
649:
646:
643:
640:
637:
634:
612:
609:
606:
602:
599:
578:
572:
569:
564:
560:
556:
553:
550:
546:
543:
538:
534:
530:
526:
523:
520:
499:
479:
476:
472:
469:
448:
442:
439:
434:
430:
426:
423:
419:
416:
411:
407:
403:
399:
396:
375:
355:
344:
343:
332:
329:
326:
321:
317:
313:
309:
306:
303:
299:
296:
291:
287:
283:
279:
276:
273:
269:
266:
263:
260:
256:
253:
250:
238:
226:
223:
220:
215:
211:
207:
203:
200:
196:
193:
188:
184:
180:
176:
173:
169:
166:
163:
160:
156:
153:
124:
121:
61:indecomposable
9:
6:
4:
3:
2:
2190:
2179:
2176:
2174:
2173:Module theory
2171:
2170:
2168:
2158:
2152:
2148:
2147:Basic algebra
2144:
2140:
2139:
2126:
2119:
2118:Jacobson 2009
2114:
2110:
2103:
2101:
2085:
2077:
2061:
2041:
2033:
2012:
2008:
1968:
1964:
1944:
1928:
1919:
1906:
1898:
1894:
1879:
1871:
1867:
1849:
1843:
1835:
1831:
1827:
1819:
1815:
1797:
1794:
1769:
1765:
1747:
1741:
1733:
1729:
1725:
1722:
1702:
1699:
1693:
1685:
1682:
1678:
1674:
1668:
1660:
1656:
1652:
1643:
1635:
1631:
1627:
1624:
1616:
1612:
1586:
1583:
1579:
1564:
1556:
1552:
1537:
1531:
1523:
1519:
1495:
1487:
1484:
1480:
1476:
1470:
1462:
1458:
1437:
1434:
1431:
1411:
1408:
1405:
1385:
1382:
1374:
1370:
1355:
1347:
1343:
1319:
1306:
1303:
1297:
1289:
1285:
1281:
1278:
1253:
1249:
1231:
1223:
1220:
1216:
1198:
1195:
1172:
1164:
1161:
1157:
1153:
1144:
1136:
1132:
1123:
1119:
1115:
1109:
1101:
1097:
1093:
1090:
1070:
1067:
1061:
1053:
1049:
1028:
1025:
1022:
999:
991:
987:
983:
980:
955:
951:
936:
928:
924:
906:
903:
883:
880:
872:
868:
853:
845:
841:
817:
804:
796:
792:
774:
766:
763:
759:
719:
715:
700:
692:
689:
685:
650:
647:
644:
635:
632:
623:
610:
607:
604:
600:
597:
570:
567:
562:
544:
536:
532:
497:
477:
474:
470:
467:
440:
437:
432:
417:
409:
405:
373:
353:
330:
327:
319:
315:
297:
289:
285:
267:
261:
239:
224:
221:
213:
209:
194:
186:
182:
167:
161:
142:
141:
140:
138:
134:
130:
120:
118:
115:
114:group algebra
111:
108:
104:
100:
95:
93:
89:
84:
82:
78:
75:is either an
74:
70:
67:, then every
66:
62:
58:
54:
50:
46:
42:
38:
34:
33:Fitting lemma
30:
19:
2146:
2125:
2113:
2031:
1920:
1604:), and thus
1398:: for every
1320:
1188:, therefore
818:
624:
345:
132:
128:
126:
116:
109:
102:
96:
85:
77:automorphism
72:
69:endomorphism
56:
44:
37:Hans Fitting
32:
26:
2034:.) Because
490:, and some
29:mathematics
2167:Categories
2136:References
2098:is either
1943:direct sum
1715:, so that
1450:such that
1321:Moreover,
1083:, so that
973:satisfies
137:submodules
51:over some
43:. Suppose
2100:bijective
1850:⊆
1798:∈
1787:and thus
1748:∈
1726:−
1675:−
1628:−
1538:∈
1435:∈
1409:∈
1271:and thus
1199:∈
1041:but also
1026:∈
1015:for some
937:∩
907:∈
854:∩
605:≥
475:≥
331:…
328:⊆
298:⊆
268:⊆
225:…
222:⊇
195:⊇
168:⊇
81:nilpotent
2145:(2009),
625:Let now
601:′
589:for all
571:′
471:′
459:for all
441:′
346:Because
1941:is the
1511:(since
2153:
65:length
49:module
31:, the
2106:Notes
510:with
386:with
123:Proof
107:group
92:local
55:. If
47:is a
2151:ISBN
1986:and
737:and
53:ring
1945:of
639:max
131:of
79:or
71:of
59:is
27:In
2169::
1307:0.
139::
119:.
117:KG
94:.
83:.
2086:f
2062:M
2042:M
2018:)
2013:k
2009:f
2005:(
2001:r
1998:e
1995:k
1974:)
1969:k
1965:f
1961:(
1957:m
1954:i
1929:M
1907:.
1904:)
1899:k
1895:f
1891:(
1887:m
1884:i
1880:+
1877:)
1872:k
1868:f
1864:(
1860:r
1857:e
1854:k
1847:)
1844:y
1841:(
1836:k
1832:f
1828:+
1825:)
1820:k
1816:f
1812:(
1808:r
1805:e
1802:k
1795:x
1775:)
1770:k
1766:f
1762:(
1758:r
1755:e
1752:k
1745:)
1742:y
1739:(
1734:k
1730:f
1723:x
1703:0
1700:=
1697:)
1694:y
1691:(
1686:k
1683:2
1679:f
1672:)
1669:x
1666:(
1661:k
1657:f
1653:=
1650:)
1647:)
1644:y
1641:(
1636:k
1632:f
1625:x
1622:(
1617:k
1613:f
1592:)
1587:k
1584:2
1580:f
1576:(
1572:m
1569:i
1565:=
1562:)
1557:k
1553:f
1549:(
1545:m
1542:i
1535:)
1532:x
1529:(
1524:k
1520:f
1499:)
1496:y
1493:(
1488:k
1485:2
1481:f
1477:=
1474:)
1471:x
1468:(
1463:k
1459:f
1438:M
1432:y
1412:M
1406:x
1386:M
1383:=
1380:)
1375:k
1371:f
1367:(
1363:m
1360:i
1356:+
1353:)
1348:k
1344:f
1340:(
1336:r
1333:e
1330:k
1304:=
1301:)
1298:y
1295:(
1290:k
1286:f
1282:=
1279:x
1259:)
1254:k
1250:f
1246:(
1242:r
1239:e
1236:k
1232:=
1229:)
1224:k
1221:2
1217:f
1213:(
1209:r
1206:e
1203:k
1196:y
1176:)
1173:y
1170:(
1165:k
1162:2
1158:f
1154:=
1151:)
1148:)
1145:y
1142:(
1137:k
1133:f
1129:(
1124:k
1120:f
1116:=
1113:)
1110:x
1107:(
1102:k
1098:f
1094:=
1091:0
1071:0
1068:=
1065:)
1062:x
1059:(
1054:k
1050:f
1029:M
1023:y
1003:)
1000:y
997:(
992:k
988:f
984:=
981:x
961:)
956:k
952:f
948:(
944:m
941:i
934:)
929:k
925:f
921:(
917:r
914:e
911:k
904:x
884:0
881:=
878:)
873:k
869:f
865:(
861:m
858:i
851:)
846:k
842:f
838:(
834:r
831:e
828:k
805:.
802:)
797:k
793:f
789:(
785:r
782:e
779:k
775:=
772:)
767:k
764:2
760:f
756:(
752:r
749:e
746:k
725:)
720:k
716:f
712:(
708:m
705:i
701:=
698:)
693:k
690:2
686:f
682:(
678:m
675:i
654:}
651:m
648:,
645:n
642:{
636:=
633:k
611:.
608:m
598:m
577:)
568:m
563:f
559:(
555:r
552:e
549:k
545:=
542:)
537:m
533:f
529:(
525:r
522:e
519:k
498:m
478:n
468:n
447:)
438:n
433:f
429:(
425:m
422:i
418:=
415:)
410:n
406:f
402:(
398:m
395:i
374:n
354:M
325:)
320:3
316:f
312:(
308:r
305:e
302:k
295:)
290:2
286:f
282:(
278:r
275:e
272:k
265:)
262:f
259:(
255:r
252:e
249:k
237:,
219:)
214:3
210:f
206:(
202:m
199:i
192:)
187:2
183:f
179:(
175:m
172:i
165:)
162:f
159:(
155:m
152:i
133:M
129:f
110:G
103:K
73:M
57:M
45:M
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.