1205:
6086:
5869:
6107:
31:
6075:
4896:
6144:
6117:
6097:
4283:
4077:
4131:
3925:
3057:
2852:
4885:
1701:
4550:
5269:
2770:
5393:
5149:
3120:
3678:
2681:
4691:
3611:
4278:{\displaystyle {\operatorname {int} _{X}}{\biggl (}\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} _{X}S_{i}{\biggr )}={\operatorname {int} _{X}\operatorname {cl} _{X}}{\biggl (}\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}{\biggr )}.}
4072:{\displaystyle {\operatorname {cl} _{X}}{\biggl (}\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} _{X}S_{i}{\biggr )}={\operatorname {cl} _{X}\operatorname {int} _{X}}{\biggl (}\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}{\biggr )}.}
4605:
4822:
3217:
3349:
1538:
4899:
The red shapes are not interior-disjoint with the blue
Triangle. The green and the yellow shapes are interior-disjoint with the blue Triangle, but only the yellow shape is entirely disjoint from the blue
2953:
3296:
2621:
2431:
1366:
2910:
1834:
1475:
4483:
1195:
4379:
862:
3514:
2581:
1927:
3545:
2110:
4408:
2017:
2458:
2301:
2181:
1159:
1087:
1017:
947:
888:
3844:
2777:
3747:
4833:
4781:
2948:
1588:
1331:
3176:
2396:
1973:
1951:
1858:
1765:
1593:
1497:
1413:
510:
918:
4714:
3421:
3401:
3149:
5197:
3616:
2698:
4640:
3550:
426:
5321:
5316:
5192:
5077:
5289:
5169:
4106:
3900:
3464:
3444:
3062:
4737:
4478:
4435:
4346:
3870:
3778:
3725:
2328:
2273:
2156:
2058:
1302:
1268:
1110:
1060:
990:
829:
774:
687:
291:
4942:
4922:
4631:
4455:
4323:
4126:
3920:
3698:
3264:
3244:
2544:
2524:
2498:
2478:
2370:
2350:
2250:
2230:
2210:
2133:
2078:
1743:
1560:
1388:
1245:
1225:
1133:
1037:
967:
806:
747:
727:
707:
664:
644:
624:
604:
580:
560:
540:
466:
446:
397:
377:
357:
337:
314:
268:
244:
224:
200:
4557:
2023:
These examples show that the interior of a set depends upon the topology of the underlying space. The last two examples are special cases of the following.
2633:
6147:
5544:
4786:
3181:
3301:
1506:
5412:
5725:
5688:
5658:
5628:
5590:
5556:
5526:
5466:
5432:
128:
3052:{\displaystyle (\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)=(-\infty ,0)\cup (0,\infty )=\mathbb {R} \setminus \{0\}}
3269:
5781:
2591:
2401:
1336:
4948:
if the intersection of their interiors is empty. Interior-disjoint shapes may or may not intersect in their boundary.
6135:
6130:
5496:
5017:
2857:
1774:
5424:
1418:
6125:
4480:
The exterior is the interior of the complement, which is the same as the complement of the closure; in formulas,
1164:
4351:
3757:
can be readily translated into the language of interior operators, by replacing sets with their complements in
834:
3492:
2551:
1867:
6027:
5582:
3523:
2083:
4384:
2847:{\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)~\supseteq ~(\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)}
1978:
2437:
2280:
2160:
1138:
1066:
996:
926:
867:
3803:
750:
6168:
6035:
4880:{\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {ext} \left(\operatorname {ext} S\right).}
6173:
3754:
3475:
1696:{\displaystyle \operatorname {int} (\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq 1\})=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}.}
4545:{\displaystyle \operatorname {ext} S=\operatorname {int} (X\setminus S)=X\setminus {\overline {S}}.}
3730:
5834:
4757:
2915:
1568:
1307:
17:
5264:{\displaystyle \operatorname {int} (S\cap T)=(\operatorname {int} S)\cap (\operatorname {int} T).}
3155:
2765:{\displaystyle \operatorname {int} (S\cap T)=(\operatorname {int} S)\cap (\operatorname {int} T).}
2375:
1956:
1934:
1841:
1748:
1480:
1396:
471:
6120:
6106:
5419:
4981:
3750:
1204:
893:
4696:
3406:
3386:
3134:
6055:
5976:
5853:
5841:
5814:
5774:
5616:
5388:{\displaystyle \operatorname {cl} (S\cup T)=(\operatorname {cl} S)\cup (\operatorname {cl} T).}
5144:{\displaystyle \operatorname {cl} (S\cup T)=(\operatorname {cl} S)\cup (\operatorname {cl} T).}
6050:
5897:
5824:
3847:
3783:
2690:
402:
5298:
5174:
3115:{\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} \mathbb {R} =\mathbb {R} .}
6045:
5997:
5971:
5819:
5274:
5154:
4975:
4750:
Some of the properties of the exterior operator are unlike those of the interior operator:
4084:
3878:
3449:
3429:
1768:
166:
5484:
5171:
of two open sets is open, so too does the interior operator distribute over intersections
8:
5458:
5151:
These identities may be remembered with the following mnemonic. Just as the intersection
4610:
147:
116:
6096:
4719:
4460:
4417:
4328:
3852:
3760:
3707:
2310:
2255:
2138:
2040:
1284:
1250:
1092:
1042:
972:
811:
756:
669:
273:
6090:
6060:
6040:
5961:
5951:
5829:
5809:
5717:
5620:
5292:
5071:
4957:
4927:
4907:
4634:
4616:
4440:
4308:
4111:
3905:
3683:
3517:
3372:
3249:
3229:
2529:
2509:
2483:
2463:
2355:
2335:
2235:
2215:
2195:
2118:
2063:
1728:
1545:
1373:
1230:
1210:
1118:
1022:
952:
791:
732:
712:
692:
649:
629:
609:
589:
565:
545:
525:
451:
431:
382:
362:
342:
322:
299:
253:
229:
209:
185:
151:
120:
81:
6085:
6078:
5944:
5902:
5767:
5731:
5721:
5694:
5684:
5664:
5654:
5634:
5624:
5596:
5586:
5562:
5552:
5532:
5522:
5502:
5492:
5472:
5462:
5438:
5428:
5023:
5013:
4987:
3701:
2501:
1861:
515:
74:
6110:
5858:
5804:
5408:
4969:
2035:
59:
3673:{\displaystyle {\overline {S}}=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}
2676:{\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {int} S)=\operatorname {int} S.}
5917:
5912:
5707:
5676:
5450:
4686:{\displaystyle X=\operatorname {int} S\cup \partial S\cup \operatorname {ext} S,}
4637:
the whole space into three blocks (or fewer when one or more of these is empty):
4411:
3606:{\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus {\overline {(X\setminus S)}}}
1706:
1500:
203:
6100:
6007:
5939:
5646:
5574:
5514:
5457:. Undergraduate Texts in Mathematics. Translated by Berberian, S. K. New York:
2546:
2028:
1563:
3782:
In general, the interior operator does not commute with unions. However, in a
6162:
6017:
5927:
5907:
5713:
5698:
5608:
5536:
5027:
5638:
5476:
5442:
3359:
The above statements will remain true if all instances of the symbols/words
6002:
5922:
5868:
5566:
5506:
317:
162:
5735:
5668:
5600:
2774:
However, the interior operator does not distribute over unions since only
6012:
4600:{\displaystyle \operatorname {int} S=\operatorname {ext} (X\setminus S).}
4290:
1718:
154:
the whole space into three blocks (or fewer when one or more of these is
55:
30:
5956:
5887:
5846:
5753:
5749:
4827:
4744:
2625:
1710:
2854:
is guaranteed in general and equality might not hold. For example, if
5981:
4817:{\displaystyle \operatorname {ext} T\subseteq \operatorname {ext} S.}
3212:{\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {int} T.}
1391:
1275:
247:
155:
4895:
3344:{\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} S.}
5966:
5934:
5883:
5790:
4740:
2304:
519:
293:(This is illustrated in the introductory section to this article.)
89:
5491:. Translated by CsĂĄszĂĄr, KlĂĄra. Bristol England: Adam Hilger Ltd.
5585:. Vol. 27. New York: Springer Science & Business Media.
146:; it consists of the points that are in neither the set nor its
4963:
4289:
The result above implies that every complete metric space is a
2113:
1953:
the topology in which the only open sets are the empty set and
67:
5064:
3753:. Therefore, the abstract theory of closure operators and the
2031:, since every set is open, every set is equal to its interior.
1533:{\displaystyle \operatorname {int} \mathbb {Q} =\varnothing .}
1247:
because there is an Δ-neighbourhood of a which is a subset of
1721:, one can put other topologies rather than the standard one:
150:. The interior, boundary, and exterior of a subset together
5759:
4554:
Similarly, the interior is the exterior of the complement:
5427:. Berlin New York: Springer Science & Business Media.
5012:. River Edge, N.J. London: World Scientific. p. 33.
4978: â A closed curve divides the plane into two regions
920:
can be defined in any of the following equivalent ways:
5324:
5301:
5277:
5200:
5177:
5157:
5080:
5046:
5034:
4930:
4910:
4836:
4789:
4760:
4722:
4699:
4643:
4619:
4560:
4486:
4463:
4443:
4420:
4387:
4354:
4331:
4311:
4134:
4114:
4087:
3928:
3908:
3881:
3855:
3806:
3763:
3733:
3710:
3686:
3619:
3553:
3526:
3495:
3452:
3432:
3409:
3389:
3304:
3272:
3252:
3232:
3184:
3158:
3137:
3065:
2956:
2918:
2860:
2780:
2701:
2636:
2594:
2554:
2532:
2512:
2486:
2466:
2440:
2404:
2378:
2358:
2338:
2313:
2283:
2258:
2238:
2218:
2198:
2163:
2141:
2121:
2086:
2066:
2043:
1981:
1959:
1937:
1870:
1844:
1777:
1751:
1731:
1596:
1571:
1548:
1509:
1483:
1421:
1399:
1376:
1339:
1310:
1287:
1253:
1233:
1213:
1167:
1141:
1135:
is understood from context then the shorter notation
1121:
1095:
1069:
1045:
1025:
999:
975:
955:
929:
896:
870:
837:
814:
794:
759:
735:
715:
695:
672:
652:
632:
612:
592:
568:
548:
528:
474:
454:
434:
405:
385:
365:
345:
325:
302:
276:
256:
232:
212:
188:
5001:
5387:
5310:
5283:
5263:
5186:
5163:
5143:
4936:
4916:
4879:
4816:
4775:
4731:
4708:
4685:
4625:
4599:
4544:
4472:
4449:
4429:
4402:
4373:
4340:
4317:
4277:
4120:
4100:
4071:
3914:
3894:
3864:
3838:
3772:
3741:
3719:
3692:
3672:
3605:
3539:
3508:
3458:
3438:
3415:
3395:
3363:"interior", "int", "open", "subset", and "largest"
3343:
3291:{\displaystyle \operatorname {int} T=\varnothing }
3290:
3258:
3238:
3211:
3170:
3143:
3114:
3051:
2942:
2904:
2846:
2764:
2675:
2615:
2575:
2538:
2518:
2492:
2472:
2452:
2425:
2390:
2364:
2344:
2322:
2295:
2267:
2244:
2224:
2204:
2175:
2150:
2127:
2104:
2072:
2052:
2011:
1967:
1945:
1921:
1852:
1828:
1759:
1737:
1695:
1582:
1554:
1532:
1491:
1469:
1407:
1382:
1360:
1325:
1296:
1262:
1239:
1219:
1189:
1153:
1127:
1104:
1081:
1054:
1031:
1011:
984:
961:
941:
912:
882:
856:
823:
800:
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721:
701:
681:
658:
638:
618:
598:
574:
554:
534:
504:
460:
440:
420:
391:
371:
351:
331:
308:
285:
262:
238:
218:
194:
4267:
4232:
4197:
4149:
4061:
4026:
3991:
3943:
2616:{\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}
2426:{\displaystyle T\subseteq \operatorname {int} S.}
1361:{\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}
6160:
2060:since the only open sets are the empty set and
5683:. Mineola, New York: Dover Publications, Inc.
5291:of two closed sets is closed, so too does the
4990: â Generalization of topological interior
4960: â Generalization of topological interior
4754:The exterior operator reverses inclusions; if
2905:{\displaystyle X=\mathbb {R} ,S=(-\infty ,0],}
5775:
3375:", "cl", "closed", "superset", and "smallest"
1829:{\displaystyle \operatorname {int} ()=[0,1).}
4984: â Generalization of algebraic interior
4437:namely, it is the union of all open sets in
3046:
3040:
1687:
1651:
1642:
1606:
1470:{\displaystyle \operatorname {int} ()=(0,1)}
4890:
6143:
6116:
5782:
5768:
1190:{\displaystyle \operatorname {int} _{X}S.}
296:This definition generalizes to any subset
165:are a slightly different concept; see the
5007:
4374:{\displaystyle \operatorname {ext} _{X}S}
4249:
4166:
4043:
3960:
3738:
3734:
3105:
3097:
3033:
2868:
1961:
1939:
1846:
1753:
1661:
1616:
1573:
1517:
1485:
1401:
857:{\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}
127:. In this sense interior and closure are
5675:
5645:
5513:
5407:
5052:
5040:
5010:Convex analysis in general vector spaces
4894:
3509:{\displaystyle \operatorname {int} _{X}}
2576:{\displaystyle \operatorname {int} S=S.}
1922:{\displaystyle \operatorname {int} ()=.}
1203:
29:
5705:
5607:
5483:
5449:
3540:{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}
3379:and the following symbols are swapped:
2105:{\displaystyle \operatorname {int} X=X}
14:
6161:
5573:
4403:{\displaystyle \operatorname {ext} S,}
3547:or by an overline , in the sense that
3471:
2012:{\displaystyle \operatorname {int} ()}
5763:
5551:. New York: John Wiley and Sons Ltd.
5543:
4739:The interior and exterior are always
3470:For more details on this matter, see
2453:{\displaystyle \operatorname {int} S}
2296:{\displaystyle \operatorname {int} S}
2176:{\displaystyle \operatorname {int} S}
1154:{\displaystyle \operatorname {int} S}
1089:is the set of all interior points of
1082:{\displaystyle \operatorname {int} S}
1012:{\displaystyle \operatorname {int} S}
942:{\displaystyle \operatorname {int} S}
883:{\displaystyle \operatorname {int} S}
96:. A point that is in the interior of
27:Largest open subset of some given set
4296:
3481:
779:
142:is the complement of the closure of
3839:{\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }
1415:(with the standard topology), then
542:is a subset of a topological space
24:
4830:. It does have the property that
4700:
4662:
3023:
2999:
2934:
2887:
1274:In any space, the interior of the
646:is contained in an open subset of
25:
6185:
5743:
5271:And similarly, just as the union
4585:
4526:
4511:
3658:
3636:
3588:
3576:
3285:
3037:
1524:
1019:is the union of all open sets of
270:which is completely contained in
177:
6142:
6115:
6105:
6095:
6084:
6074:
6073:
5867:
5549:Introduction to General Topology
3786:the following result does hold:
1477:whereas the interior of the set
666:that is completely contained in
5401:
5070:The analogous identity for the
2212:be a topological space and let
518:by replacing "open ball" with "
514:This definition generalizes to
399:if there exists a real number
161:The interior and exterior of a
5653:. London: Macdonald & Co.
5414:General Topology: Chapters 1â4
5379:
5367:
5361:
5349:
5343:
5331:
5255:
5243:
5237:
5225:
5219:
5207:
5135:
5123:
5117:
5105:
5099:
5087:
4591:
4579:
4517:
4505:
3846:be a sequence of subsets of a
3742:{\displaystyle \,\setminus \,}
3664:
3652:
3594:
3582:
3520:operator, which is denoted by
3323:
3311:
3131:nondecreasing with respect to
3084:
3072:
3026:
3014:
3008:
2993:
2987:
2975:
2969:
2957:
2937:
2925:
2896:
2881:
2841:
2829:
2823:
2811:
2799:
2787:
2756:
2744:
2738:
2726:
2720:
2708:
2655:
2643:
2006:
2003:
1991:
1988:
1913:
1901:
1895:
1892:
1880:
1877:
1820:
1808:
1802:
1799:
1787:
1784:
1677:
1669:
1645:
1632:
1624:
1603:
1464:
1452:
1446:
1443:
1431:
1428:
949:is the largest open subset of
490:
478:
172:
13:
1:
5583:Graduate Texts in Mathematics
4994:
4826:The exterior operator is not
4776:{\displaystyle S\subseteq T,}
3367:are respectively replaced by
2943:{\displaystyle T=(0,\infty )}
2187:
1583:{\displaystyle \mathbb {C} ,}
1326:{\displaystyle S\subseteq X,}
5789:
4534:
3625:
3598:
3171:{\displaystyle S\subseteq T}
2391:{\displaystyle T\subseteq S}
1968:{\displaystyle \mathbb {R} }
1946:{\displaystyle \mathbb {R} }
1853:{\displaystyle \mathbb {R} }
1760:{\displaystyle \mathbb {R} }
1492:{\displaystyle \mathbb {Q} }
1408:{\displaystyle \mathbb {R} }
505:{\displaystyle d(x,y)<r.}
7:
5521:. Boston: Allyn and Bacon.
4972: â Algebraic structure
4951:
1199:
913:{\displaystyle S^{\circ },}
10:
6190:
6036:Banach fixed-point theorem
5706:Willard, Stephen (2004) .
4709:{\displaystyle \partial S}
3416:{\displaystyle \supseteq }
3396:{\displaystyle \subseteq }
3222:Other properties include:
3144:{\displaystyle \subseteq }
6069:
6026:
5990:
5876:
5865:
5797:
4966: â Topological model
3755:Kuratowski closure axioms
3476:Kuratowski closure axioms
3355:Relationship with closure
5425:ĂlĂ©ments de mathĂ©matique
4891:Interior-disjoint shapes
4743:, while the boundary is
4716:denotes the boundary of
4613:, and exterior of a set
4410:is the largest open set
3751:set-theoretic difference
1227:is an interior point of
1161:is usually preferred to
709:is an interior point of
379:is an interior point of
226:is an interior point of
38:is an interior point of
5295:distribute over unions
4982:Quasi-relative interior
4457:that are disjoint from
4325:of a topological space
808:of a topological space
421:{\displaystyle r>0,}
6091:Mathematics portal
5991:Metrics and properties
5977:Second-countable space
5617:Upper Saddle River, NJ
5389:
5312:
5311:{\displaystyle \cup ;}
5285:
5265:
5188:
5187:{\displaystyle \cap ;}
5165:
5145:
4938:
4918:
4901:
4881:
4818:
4777:
4733:
4710:
4687:
4627:
4601:
4546:
4474:
4451:
4431:
4404:
4375:
4342:
4319:
4279:
4122:
4102:
4073:
3916:
3896:
3866:
3840:
3774:
3743:
3721:
3694:
3674:
3607:
3541:
3510:
3460:
3440:
3417:
3397:
3345:
3292:
3260:
3240:
3213:
3172:
3145:
3116:
3059:is a proper subset of
3053:
2944:
2906:
2848:
2766:
2677:
2617:
2577:
2540:
2520:
2494:
2474:
2454:
2427:
2392:
2366:
2346:
2324:
2297:
2269:
2246:
2226:
2206:
2177:
2152:
2129:
2106:
2074:
2054:
2013:
1969:
1947:
1923:
1860:the topology in which
1854:
1830:
1761:
1739:
1709:, the interior of any
1697:
1584:
1556:
1534:
1493:
1471:
1409:
1384:
1362:
1327:
1298:
1270:
1264:
1241:
1221:
1191:
1155:
1129:
1106:
1083:
1056:
1033:
1013:
986:
963:
943:
914:
884:
858:
825:
802:
770:
743:
723:
703:
683:
660:
640:
620:
600:
576:
556:
536:
506:
468:whenever the distance
462:
442:
422:
393:
373:
353:
333:
310:
287:
264:
240:
220:
196:
51:
46:is on the boundary of
5681:Topology for Analysis
5390:
5313:
5286:
5284:{\displaystyle \cup }
5266:
5189:
5166:
5164:{\displaystyle \cap }
5146:
5008:Zalinescu, C (2002).
4939:
4919:
4898:
4882:
4819:
4778:
4734:
4711:
4688:
4628:
4602:
4547:
4475:
4452:
4432:
4405:
4376:
4343:
4320:
4280:
4123:
4103:
4101:{\displaystyle S_{i}}
4074:
3917:
3897:
3895:{\displaystyle S_{i}}
3867:
3848:complete metric space
3841:
3784:complete metric space
3775:
3744:
3722:
3695:
3675:
3608:
3542:
3511:
3474:below or the article
3461:
3459:{\displaystyle \cap }
3441:
3439:{\displaystyle \cup }
3418:
3398:
3346:
3293:
3261:
3241:
3214:
3173:
3146:
3117:
3054:
2945:
2907:
2849:
2767:
2678:
2618:
2578:
2541:
2526:is an open subset of
2521:
2495:
2475:
2460:is an open subset of
2455:
2428:
2393:
2367:
2347:
2325:
2298:
2270:
2247:
2227:
2207:
2178:
2153:
2130:
2107:
2075:
2055:
2014:
1970:
1948:
1924:
1855:
1831:
1762:
1740:
1698:
1585:
1557:
1535:
1494:
1472:
1410:
1385:
1363:
1328:
1299:
1265:
1242:
1222:
1207:
1192:
1156:
1130:
1107:
1084:
1057:
1034:
1014:
987:
964:
944:
915:
885:
859:
826:
803:
771:
744:
724:
704:
684:
661:
641:
621:
601:
577:
557:
537:
507:
463:
443:
423:
394:
374:
354:
334:
311:
288:
265:
241:
221:
197:
123:of the complement of
33:
6046:Invariance of domain
5998:Euler characteristic
5972:Bundle (mathematics)
5679:(17 October 2008) .
5322:
5299:
5275:
5198:
5175:
5155:
5078:
4976:Jordan curve theorem
4928:
4908:
4834:
4787:
4758:
4720:
4697:
4641:
4617:
4558:
4484:
4461:
4441:
4418:
4385:
4352:
4329:
4309:
4132:
4112:
4085:
3926:
3906:
3879:
3853:
3804:
3761:
3731:
3708:
3684:
3617:
3551:
3524:
3493:
3450:
3430:
3407:
3387:
3302:
3270:
3250:
3230:
3182:
3156:
3135:
3063:
2954:
2916:
2858:
2778:
2699:
2634:
2592:
2552:
2530:
2510:
2484:
2464:
2438:
2402:
2376:
2356:
2336:
2311:
2281:
2256:
2236:
2216:
2196:
2161:
2139:
2119:
2084:
2064:
2041:
1979:
1957:
1935:
1931:If one considers on
1868:
1842:
1838:If one considers on
1775:
1769:lower limit topology
1749:
1745:is the real numbers
1729:
1594:
1569:
1546:
1507:
1481:
1419:
1397:
1374:
1337:
1308:
1285:
1251:
1231:
1211:
1165:
1139:
1119:
1093:
1067:
1043:
1023:
997:
973:
953:
927:
894:
868:
835:
812:
792:
757:
733:
713:
693:
670:
650:
630:
610:
590:
566:
546:
526:
472:
452:
432:
403:
383:
363:
343:
323:
300:
274:
254:
230:
210:
186:
167:Jordan curve theorem
6056:Tychonoff's theorem
6051:Poincaré conjecture
5805:General (point-set)
5615:(Second ed.).
3798: —
2693:binary intersection
246:if there exists an
6041:De Rham cohomology
5962:Polyhedral complex
5952:Simplicial complex
5718:Dover Publications
5621:Prentice Hall, Inc
5420:Topologie Générale
5385:
5308:
5281:
5261:
5184:
5161:
5141:
4958:Algebraic interior
4934:
4914:
4902:
4877:
4814:
4773:
4732:{\displaystyle S.}
4729:
4706:
4683:
4623:
4597:
4542:
4473:{\displaystyle S.}
4470:
4447:
4430:{\displaystyle S,}
4427:
4400:
4371:
4341:{\displaystyle X,}
4338:
4315:
4275:
4254:
4171:
4118:
4098:
4069:
4048:
3965:
3912:
3892:
3865:{\displaystyle X.}
3862:
3836:
3792:
3773:{\displaystyle X.}
3770:
3739:
3727:and the backslash
3720:{\displaystyle S,}
3717:
3690:
3670:
3603:
3537:
3506:
3456:
3436:
3413:
3393:
3341:
3288:
3256:
3236:
3209:
3168:
3141:
3112:
3049:
2940:
2902:
2844:
2762:
2673:
2613:
2573:
2536:
2516:
2490:
2470:
2450:
2423:
2388:
2362:
2342:
2323:{\displaystyle X.}
2320:
2293:
2268:{\displaystyle X.}
2265:
2242:
2222:
2202:
2173:
2151:{\displaystyle X,}
2148:
2125:
2102:
2070:
2053:{\displaystyle X,}
2050:
2009:
1965:
1943:
1919:
1850:
1826:
1757:
1735:
1693:
1580:
1552:
1530:
1489:
1467:
1405:
1380:
1358:
1323:
1297:{\displaystyle X,}
1294:
1271:
1263:{\displaystyle M.}
1260:
1237:
1217:
1187:
1151:
1125:
1105:{\displaystyle S.}
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