38:
4063:
4626:
1452:
1743:
2048:
1933:
4986:
4236:
2277:
1792:
2132:
3917:
3807:
3097:
2736:
2352:
5388:
5653:
Unifying
Theories of Programming: First International Symposium, UTP 2006, Walworth Castle, County Durham, UK, February 5โ7, 2006, Revised Selected ... Computer Science and General Issues)
5216:
4715:
4421:
1980:
3986:
672:
3319:
3190:
2969:
2927:
2788:
5022:
4327:
4100:
2683:
4791:
2173:
1055:
997:
2652:
3994:
3744:
2828:
2603:
774:
88:
4461:
4168:
637:
3506:
2581:
1705:
1266:
5078:
4661:
2234:
3558:
1496:
1234:
813:
3359:
3234:
3034:
1084:
4515:
4488:
4263:
3949:
119:
66:
3677:
4289:
3451:
5474:
5431:
5302:
5259:
4877:
4738:
4350:
4127:
3854:
3601:
3402:
2851:
2465:
1523:
1147:
906:
859:
718:
150:
5451:
5408:
5350:
5330:
5279:
5236:
5178:
5158:
5138:
5118:
5043:
4897:
4854:
4834:
4814:
4520:
4370:
3831:
3704:
3621:
3578:
3526:
3471:
3379:
3339:
3274:
3254:
3214:
3140:
3118:
3012:
2992:
2539:
2515:
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2418:
2398:
2378:
2193:
1854:
1834:
1658:
1638:
1618:
1598:
1578:
1550:
1306:
1286:
1190:
1167:
1124:
1104:
951:
929:
879:
836:
738:
695:
607:
1318:
1710:
1985:
3626:
This result allows one to take two continuous functions defined on closed (or open) subsets of a topological space and create a new one.
1880:
4902:
4173:
2241:
1748:
17:
2063:
5636:
5589:
3859:
3749:
355:
2741:
5508:
565:
3043:
2688:
310:
2282:
5611:
5581:
5549:
956:
5355:
5183:
4666:
4375:
1938:
183:
2544:
2876:
2866:
1798:
541:
340:
3956:
642:
3282:
3153:
2932:
2890:
3710:, and requires that the objects satisfy certain conditions. The most important condition is that there are
31:
295:
4998:
4297:
4070:
2657:
3680:
375:
4770:
4058:{\displaystyle \operatorname {res} _{W,V}\circ \operatorname {res} _{V,U}=\operatorname {res} _{W,U}.}
2146:
1002:
5518:
2608:
5484:
3720:
2795:
2586:
746:
71:
5570:
4426:
4132:
612:
558:
325:
250:
205:
5502: โ property which occurs on sufficiently small or arbitrarily small neighborhoods of points
3809:
satisfying the following properties, which are designed to mimic the restriction of a function:
3476:
1663:
1242:
5057:
4631:
2198:
1193:
587:
158:
5539:
3531:
3424:
that relates the continuity of a function with the continuity of its restrictions to subsets.
1460:
1198:
786:
5671:
5513:
3344:
3219:
3019:
1060:
521:
4493:
4466:
4241:
3989:
3922:
2854:
1808:
675:
506:
468:
280:
191:
97:
44:
4621:{\displaystyle s_{i}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}},}
3653:
2853:) Alternatively, there is no need to restrict the domain if we allow the inverse to be a
8:
5490:
5081:
4268:
3430:
3143:
2470:
1861:
1309:
440:
430:
425:
5493: โ Continuous, position-preserving mapping from a topological space into a subspace
5456:
5413:
5284:
5241:
4859:
4720:
4332:
4109:
3836:
3583:
3384:
2833:
2447:
1505:
1129:
888:
841:
700:
132:
5436:
5393:
5335:
5315:
5264:
5221:
5163:
5143:
5123:
5103:
5028:
4882:
4839:
4819:
4799:
4355:
3816:
3689:
3606:
3563:
3511:
3456:
3364:
3324:
3259:
3239:
3199:
3125:
3103:
2997:
2977:
2872:
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2500:
2494:
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2403:
2383:
2363:
2178:
1874:
1839:
1819:
1643:
1623:
1603:
1583:
1563:
1535:
1291:
1271:
1175:
1152:
1109:
1089:
936:
914:
864:
821:
723:
680:
592:
551:
435:
410:
5632:
5607:
5585:
5577:
5545:
5052:
3707:
2357:
1237:
816:
511:
415:
405:
390:
385:
4103:
3037:
2488:
501:
478:
235:
91:
4794:
2884:
496:
473:
420:
5499:
2057:
516:
5665:
3415:
2421:
2238:
Restricting a function twice is the same as restricting it once, that is, if
1447:{\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),}
5487: โ Condition of an optimization problem which the solution must satisfy
3647:
3640:
3635:
3406:
Thus, the selection operator restricts to a subset of the entire database.
1499:
220:
3717:
between every pair of objects associated to nested open sets; that is, if
1738:{\displaystyle \operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F}
5565:
3643:
provide a way of generalizing restrictions to objects besides functions.
579:
126:
122:
1857:
400:
395:
37:
2685:
However, the function becomes one-to-one if we restrict to the domain
5544:(2nd ed.). San Francisco: W. H. Freeman and Company. pp. .
2053:
445:
2043:{\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}.}
3713:
3684:
3453:
be two closed subsets (or two open subsets) of a topological space
3421:
526:
265:
195:
5584:(Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011.
531:
5080:
for binary relations. These cases do not fit into the scheme of
5048:
1928:{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}
882:
5025:
4981:{\displaystyle G(A\triangleleft R)=\{(x,y)\in F(R):x\in A\}.}
4231:{\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=t{\big \vert }_{U_{i}}}
3193:
2272:{\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f,}
2060:
to the positive integers, with the argument shifted by one:
1787:{\displaystyle F{\big \vert }_{\operatorname {domain} f}=f.}
312:
4747:. If only the first two properties are satisfied, it is a
2880:
2127:{\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!}
2879:(sometimes called a restriction to avoid confusion with
5509:
Function (mathematics) ยง Restriction and extension
5495:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
3912:{\displaystyle \operatorname {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}
3802:{\displaystyle \operatorname {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}
2830:
then the inverse is the negative of the square root of
2541:
by restricting the domain. For example, the function
125:, then it does have an inverse function, known as the
5459:
5439:
5416:
5396:
5358:
5338:
5318:
5287:
5267:
5244:
5224:
5186:
5166:
5146:
5126:
5106:
5060:
5031:
5001:
4905:
4885:
4862:
4842:
4822:
4802:
4773:
4723:
4669:
4634:
4523:
4496:
4469:
4429:
4378:
4358:
4335:
4300:
4271:
4244:
4176:
4135:
4112:
4073:
3997:
3959:
3925:
3862:
3839:
3819:
3752:
3723:
3692:
3656:
3609:
3586:
3566:
3534:
3514:
3479:
3459:
3433:
3387:
3367:
3347:
3327:
3285:
3262:
3242:
3222:
3202:
3156:
3128:
3106:
3046:
3022:
3000:
2980:
2935:
2893:
2836:
2798:
2744:
2691:
2660:
2611:
2589:
2547:
2527:
2503:
2450:
2430:
2406:
2386:
2366:
2285:
2244:
2201:
2181:
2149:
2066:
1988:
1941:
1883:
1842:
1822:
1751:
1713:
1666:
1646:
1626:
1606:
1586:
1566:
1538:
1508:
1463:
1321:
1294:
1274:
1245:
1201:
1178:
1155:
1132:
1112:
1092:
1063:
1005:
959:
939:
917:
891:
867:
844:
824:
789:
749:
726:
703:
683:
645:
615:
595:
135:
100:
74:
47:
5627:
Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David (2008).
5504:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
5606:(2nd ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall.
241:
5468:
5445:
5425:
5402:
5382:
5344:
5324:
5296:
5273:
5253:
5230:
5210:
5172:
5152:
5132:
5112:
5072:
5037:
5016:
4980:
4891:
4871:
4848:
4828:
4808:
4785:
4732:
4709:
4655:
4620:
4509:
4482:
4455:
4415:
4364:
4344:
4321:
4283:
4257:
4230:
4162:
4121:
4094:
4057:
3980:
3943:
3911:
3848:
3825:
3801:
3738:
3698:
3671:
3615:
3595:
3572:
3552:
3520:
3500:
3465:
3445:
3396:
3373:
3353:
3333:
3313:
3268:
3248:
3228:
3208:
3184:
3134:
3112:
3092:{\displaystyle \{<,\leq ,=,\neq ,\geq ,>\},}
3091:
3028:
3006:
2986:
2963:
2921:
2845:
2822:
2782:
2731:{\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty ),}
2730:
2677:
2646:
2597:
2575:
2533:
2517:is not one-to-one, it may be possible to define a
2509:
2459:
2436:
2412:
2392:
2372:
2346:
2271:
2228:
2187:
2167:
2126:
2042:
1974:
1927:
1848:
1828:
1786:
1737:
1699:
1652:
1632:
1612:
1592:
1572:
1544:
1517:
1490:
1446:
1300:
1280:
1260:
1228:
1184:
1161:
1141:
1118:
1098:
1078:
1049:
991:
945:
923:
900:
873:
853:
830:
807:
768:
732:
712:
689:
666:
631:
601:
144:
113:
82:
60:
2093:
237:
5663:
2347:{\displaystyle \left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}.}
357:
4743:The collection of all such objects is called a
5576:Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974.
5383:{\displaystyle R\triangleright (F\setminus B)}
4754:
2493:For a function to have an inverse, it must be
5626:
5211:{\displaystyle (E\setminus A)\triangleleft R}
5051:understood as relations, such as ones of the
4676:
4584:
4537:
4210:
4183:
2137:
1758:
559:
4972:
4927:
4710:{\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=s_{i}}
4416:{\displaystyle x_{i}\in F\left(U_{i}\right)}
3083:
3047:
1975:{\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}
1405:
1351:
754:
620:
213:
4856:may be defined as a relation having domain
2195:gives back the original function, that is,
5629:Introduction to Topology: Pure and Applied
5024:Indeed, one could define a restriction to
566:
552:
222:
4463:of the covering sets the restrictions of
2694:
2668:
2591:
2081:
2011:
1997:
1944:
1899:
1891:
76:
3981:{\displaystyle W\subseteq V\subseteq U,}
667:{\displaystyle f{\upharpoonright _{A}},}
36:
5601:
5519:Relational algebra ยง Selection (ฯ)
342:
333:
14:
5664:
5564:
3560:is continuous when restricted to both
3314:{\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}
3185:{\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}
2964:{\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}
2922:{\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}
2860:
2792:(If we instead restrict to the domain
2783:{\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}
5537:
361:
346:
327:
316:
301:
282:
271:
252:
226:
207:
5531:
4759:More generally, the restriction (or
3409:
2482:
778:
297:
288:
5312:) of a function or binary relation
5100:) of a function or binary relation
5087:
4329:is an open covering of an open set
2056:function is the restriction of the
24:
5541:Sets, Logic and Axiomatic Theories
5514:Binary relation ยง Restriction
5017:{\displaystyle R\triangleright B.}
4322:{\displaystyle \left(U_{i}\right)}
4095:{\displaystyle \left(U_{i}\right)}
2805:
2719:
2678:{\displaystyle x\in \mathbb {R} .}
2069:
1966:
25:
5683:
5574:. Princeton, NJ: D. Van Nostrand.
5371:
5193:
4423:is given such that for each pair
3420:The pasting lemma is a result in
4786:{\displaystyle A\triangleleft R}
3528:also be a topological space. If
2168:{\displaystyle f:X\rightarrow Y}
1050:{\displaystyle {f|}_{A}(x)=f(x)}
267:
258:
2477:
1086:Informally, the restriction of
992:{\displaystyle {f|}_{A}:A\to F}
674:obtained by choosing a smaller
184:History of the function concept
5645:
5620:
5595:
5558:
5377:
5365:
5199:
5187:
4957:
4951:
4942:
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4650:
4644:
4157:
4151:
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3900:
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2867:Selection (relational algebra)
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2758:
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2647:{\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}
2635:
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2024:
2007:
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1012:
983:
966:
799:
651:
27:Function with a smaller domain
13:
1:
5651:Dunne, S. and Stoddart, Bill
5524:
5390:; it removes all elements of
5218:; it removes all elements of
3739:{\displaystyle V\subseteq U,}
2823:{\displaystyle (-\infty ,0],}
1527:
4988:Similarly, one can define a
3919:is the identity morphism on
3321:selects all those tuples in
2598:{\displaystyle \mathbb {R} }
769:{\displaystyle f\vert _{A}.}
83:{\displaystyle \mathbb {R} }
32:Restriction (disambiguation)
7:
5478:
4755:Left- and right-restriction
4456:{\displaystyle U_{i},U_{j}}
4163:{\displaystyle s,t\in F(U)}
3953:If we have three open sets
1867:
632:{\displaystyle f\vert _{A}}
609:is a new function, denoted
10:
5688:
5602:Munkres, James R. (2000).
3633:
3629:
3501:{\displaystyle A=X\cup Y,}
3413:
2864:
2576:{\displaystyle f(x)=x^{2}}
2486:
2138:Properties of restrictions
1700:{\displaystyle f(x)=F(x).}
1308:can be represented by its
1261:{\displaystyle E\times F,}
697:for the original function
542:List of specific functions
29:
5631:. Pearson Prentice Hall.
5073:{\displaystyle E\times F}
5047:relations, as well as to
4656:{\displaystyle s\in F(U)}
3856:the restriction morphism
3746:then there is a morphism
2229:{\displaystyle f|_{X}=f.}
1640:is also in the domain of
5433:It is sometimes denoted
5261:It is sometimes denoted
4628:then there is a section
3650:, one assigns an object
3553:{\displaystyle f:A\to B}
3381:attribute and the value
2605:is not one-to-one since
2583:defined on the whole of
1491:{\displaystyle (x,f(x))}
1268:then the restriction of
1229:{\displaystyle (x,f(x))}
1126:is the same function as
808:{\displaystyle f:E\to F}
5094:domain anti-restriction
4517:agree on the overlaps:
3354:{\displaystyle \theta }
3229:{\displaystyle \theta }
3029:{\displaystyle \theta }
2883:'s use of SELECT) is a
2356:The restriction of the
2143:Restricting a function
1873:The restriction of the
1149:but is only defined on
1079:{\displaystyle x\in A.}
18:Extension of a function
5538:Stoll, Robert (1974).
5470:
5447:
5427:
5404:
5384:
5346:
5326:
5306:range anti-restriction
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4285:
4265:of the covering, then
4259:
4232:
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1830:
1816:, etc.) of a function
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2600:
2578:
2536:
2512:
2469:The restriction of a
2462:
2439:
2415:
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2349:
2274:
2231:
2190:
2175:to its entire domain
2170:
2129:
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833:
815:be a function from a
810:
771:
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116:
114:{\displaystyle x^{2}}
85:
63:
61:{\displaystyle x^{2}}
40:
5592:(Paperback edition).
5457:
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3120:is a value constant,
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3020:
3014:are attribute names,
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2855:multivalued function
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1564:
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133:
121:to the non-negative
98:
72:
45:
30:For other uses, see
5491:Deformation retract
4284:{\displaystyle s=t}
3813:For every open set
3446:{\displaystyle X,Y}
2861:Selection operators
2471:continuous function
1836:is an extension of
1192:is thought of as a
5469:{\displaystyle B.}
5466:
5443:
5426:{\displaystyle F.}
5423:
5410:from the codomain
5400:
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5322:
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5251:
5228:
5208:
5180:may be defined as
5170:
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5098:domain subtraction
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3361:holds between the
3351:
3331:
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3246:
3236:holds between the
3226:
3206:
3192:selects all those
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3132:
3110:
3089:
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3004:
2984:
2961:
2919:
2873:relational algebra
2846:{\displaystyle y.}
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2820:
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2460:{\displaystyle X.}
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2370:
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851:
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730:
713:{\displaystyle f.}
710:
687:
664:
629:
599:
376:Classes/properties
153:
145:{\displaystyle x.}
142:
111:
80:
58:
5655:. Springer (2006)
5638:978-0-13-184869-6
5590:978-1-61427-131-4
5446:{\displaystyle R}
5403:{\displaystyle B}
5345:{\displaystyle B}
5325:{\displaystyle R}
5310:range subtraction
5274:{\displaystyle A}
5231:{\displaystyle A}
5173:{\displaystyle A}
5153:{\displaystyle F}
5133:{\displaystyle E}
5113:{\displaystyle R}
5053:Cartesian product
5038:{\displaystyle n}
4994:range restriction
4990:right-restriction
4892:{\displaystyle F}
4849:{\displaystyle F}
4829:{\displaystyle E}
4809:{\displaystyle R}
4365:{\displaystyle i}
3826:{\displaystyle U}
3708:topological space
3699:{\displaystyle U}
3616:{\displaystyle f}
3573:{\displaystyle X}
3521:{\displaystyle B}
3466:{\displaystyle A}
3410:The pasting lemma
3374:{\displaystyle a}
3334:{\displaystyle R}
3269:{\displaystyle b}
3249:{\displaystyle a}
3209:{\displaystyle R}
3135:{\displaystyle R}
3113:{\displaystyle v}
3007:{\displaystyle b}
2987:{\displaystyle a}
2775:
2534:{\displaystyle f}
2510:{\displaystyle f}
2483:Inverse functions
2437:{\displaystyle A}
2413:{\displaystyle X}
2393:{\displaystyle A}
2373:{\displaystyle X}
2358:identity function
2188:{\displaystyle X}
2020:
1908:
1860:(respectively, a
1849:{\displaystyle f}
1829:{\displaystyle f}
1653:{\displaystyle F}
1633:{\displaystyle x}
1613:{\displaystyle f}
1593:{\displaystyle x}
1573:{\displaystyle f}
1552:is said to be an
1545:{\displaystyle F}
1301:{\displaystyle A}
1281:{\displaystyle f}
1238:Cartesian product
1185:{\displaystyle f}
1162:{\displaystyle A}
1119:{\displaystyle A}
1099:{\displaystyle f}
946:{\displaystyle A}
924:{\displaystyle f}
874:{\displaystyle A}
831:{\displaystyle E}
779:Formal definition
733:{\displaystyle f}
690:{\displaystyle A}
602:{\displaystyle f}
576:
575:
488:Generalizations
94:. If we restrict
90:does not have an
16:(Redirected from
5679:
5656:
5649:
5643:
5642:
5624:
5618:
5617:
5599:
5593:
5575:
5571:Naive Set Theory
5562:
5556:
5555:
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