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377:
240:
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2288:
818:
3524:(membership) as its only primitive relation symbols, and no function symbols. In everyday mathematics, however, many other symbols are used such as the binary relation symbol
3835:
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442:
422:
264:
181:
149:". It can then be proved that doing so adds essentially nothing to the old theory, as should be expected from a definition. More precisely, the new theory is a
1554:
4229:
2537:
4904:
3471:. The manipulation of these abbreviations as actual formulas is then justified by the fact that extensions by definitions are conservative.
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4064:
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3648:
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5459:
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4637:
60:
that has no member. In the formal setting of first-order theories, this can be done by adding to the theory a new constant
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4271:
1329:
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The construction of this paragraph also works for constants, which can be viewed as 0-ary function symbols.
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formalize the introduction of new symbols by means of a definition. For example, it is common in naive
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by successive introductions of relation symbols and function symbols as above is called an
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3572:
operation), etc. All of these symbols belong in fact to extensions by definitions of ZF.
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3398:. Such a formula is not unique, but any two of them can be proved to be equivalent in
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1643:{\displaystyle \forall x_{1}\dots \forall x_{n}\exists !y\phi (y,x_{1},\dots ,x_{n})}
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2613:{\displaystyle \forall z(\phi (z,t_{1},\dots ,t_{n})\rightarrow \chi ^{\ast })}
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3959:{\displaystyle \forall x(x\times f(x)=e{\text{ and }}f(x)\times x=e)}
3569:
4103:, Addison-Wesley Publishing Company (reprinted in 2001 by AK Peters)
5820:
5618:
5066:
4771:
4365:
5416:
4208:
2778:
is formed by replacing every occurrence of an atomic subformula
3702:{\displaystyle \forall x(x\times e=x{\text{ and }}e\times x=x)}
3599:
in which the only primitive symbol is the binary product Ă. In
4960:
4306:
4151:
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3976:
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3306:
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135:
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66:
42:
2643:
if necessary so that the variables occurring in the
899:
if necessary so that the variables occurring in the
4041:
4011:
3982:
3958:
3874:
3854:
3829:
3776:
3751:
3731:
3714:and what we obtain is an extension by definitions
3701:
3603:, we can prove that there exists a unique element
3587:
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3366:{\displaystyle \psi \leftrightarrow \psi ^{\ast }}
3365:
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3127:
3107:
3071:
3051:
3031:
3012:. As in the case of relation symbols, the formula
3004:
2984:
2960:
2929:
2905:
2878:
2854:{\displaystyle \psi \leftrightarrow \psi ^{\ast }}
2853:
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1272:
1252:
1225:
1205:
1181:
1162:cannot be used to prove new theorems. The formula
1154:
1134:
1114:
1085:
1061:
1034:
1010:{\displaystyle \psi \leftrightarrow \psi ^{\ast }}
1009:
973:
918:
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812:
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717:
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416:
396:
371:
312:
285:
258:
234:
175:
141:
113:
72:
48:
1303:
156:
5866:
2397:by replacing that occurrence by a new variable
1487:are distinct and include the variables free in
3434:is not distinguished from the original theory
4122:
114:{\displaystyle \forall x(x\notin \emptyset )}
4065:Extension by new constant and function names
3085:
2724:{\displaystyle \phi (z,t_{1},\dots ,t_{n})}
1785:{\displaystyle \phi (y,x_{1},\dots ,x_{n})}
1541:{\displaystyle \phi (y,x_{1},\dots ,x_{n})}
1386:{\displaystyle \phi (y,x_{1},\dots ,x_{n})}
4314:
4129:
4115:
3480:Traditionally, the first-order set theory
2148:recursively as follows. If the new symbol
1877:, the logical axioms featuring the symbol
3405:In practice, an extension by definitions
974:{\displaystyle \phi (t_{1},\dots ,t_{n})}
868:{\displaystyle \phi (t_{1},\dots ,t_{n})}
372:{\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n})}
235:{\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n})}
3812:. Consequently, the first-order theory
320:are distinct and include the variables
5867:
4136:
4110:
2504:has already been defined, and we let
2283:{\displaystyle f(t_{1},\dots ,t_{n})}
2235:. Otherwise, choose an occurrence of
813:{\displaystyle R(t_{1},\dots ,t_{n})}
13:
4091:Introduction to Mathematical Logic
3970:is an extension by definitions of
3891:
3862:by adding a unary function symbol
3652:
3551:
2541:
1923:
1907:
1587:
1574:
1558:
514:
498:
136:
105:
90:
67:
43:
14:
5891:
2623:(changing the bound variables in
1142:shows that the defining axiom of
5848:
1792:. Form a new first-order theory
379:. Form a new first-order theory
4081:Introduction to Metamathematics
4070:
3184:is a conservative extension of
1122:is a conservative extension of
765:by replacing any occurrence of
4093:(4th ed.), Chapman & Hall.
4006:
4000:
3953:
3938:
3932:
3915:
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3631:. Therefore we can add to
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5804:History of logic
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