4071:
2796:
1466:
5134:
2013:
3598:
3944:
3432:
3237:
3038:
2597:
3132:
2908:
5319:
407:
737:
3903:
2102:
5470:. (By self-adjointness the diagonal entries will be real.) Freudenthal's diagonalization theorem immediately implies the Jordan condition, since Jordan products by real diagonal matrices commute on
4440:
2635:
by construction are skew-symmetric and orthogonal. In fact
Eckmann constructed operators of this type in a slightly different but equivalent way. It is in fact the method originally followed in
2645:
4178:
4972:
1269:
4997:
1836:
4312:
4810:
3491:
4066:{\displaystyle \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }XY=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }YX,\qquad \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }(XY)Z=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }X(YZ).}
5194:
6035:
3322:
3143:
6274:
2946:
2491:
109:. Hurwitz's theorem implies that multiplicative formulas for sums of squares can only occur in 1, 2, 4 and 8 dimensions, a result originally
3708:
1-dimensional complex representations. The total number of irreducible complex representations is the number of conjugacy classes. So since
3049:
2826:
5205:
1172:
are examples of associative
Euclidean Hurwitz algebras with their standard norms and involutions. There are moreover natural inclusions
5816:
5524:
preserves the sums of all the squares, this is equivalent to maximizing the sums of the squares of the norms of the diagonal terms of
3736:
is even, there are two and their dimension must divide the order of the group, so is a power of two, so they must both have dimension
293:
17:
637:
412:
Evidently the involution has period two and preserves the inner product and norm. These operators have the following properties:
3831:
126:
2024:
6619:
6561:
6456:
6430:
6396:
6322:
6248:
4338:
6047:
3712:
is even, there are two further irreducible complex representations. Since the sum of the squares of the dimensions equals
146:
6531:
6141:
6085:
2791:{\displaystyle \displaystyle {(x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2})(y_{1}^{2}+\cdots +y_{N}^{2})=z_{1}^{2}+\cdots +z_{N}^{2},}}
6204:
Jordan, P.; von
Neumann, J.; Wigner, E. (1934), "On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism",
6642:
6597:
6657:
4102:
1461:{\displaystyle \displaystyle {C=B\oplus Bj,\,\,\,(a+bj)^{*}=a^{*}-bj,\,\,\,(a+bj)(c+dj)=(ac-d^{*}b)+(bc^{*}+da)j.}}
2280:
The only
Euclidean Hurwitz algebras are the real numbers, the complex numbers, the quaternions and the octonions.
6240:
1258:
1190:
5129:{\displaystyle \operatorname {Tr} (T(X(X^{2}))-T(X^{2}(X)))=\operatorname {Tr} T(aI)=\operatorname {Tr} (T)a=0,}
4926:
162:
105:
The theory of composition algebras has subsequently been generalized to arbitrary quadratic forms and arbitrary
6652:
4709:
because of the properties of the real trace. The main axiom to check is the Jordan condition for the operators
2008:{\displaystyle \displaystyle {(\|a\|^{2}+\|b\|^{2})(\|c\|^{2}+\|d\|^{2})=\|ac-d^{*}b\|^{2}+\|bc^{*}+da\|^{2},}}
6667:
6637:
5806:
3593:{\displaystyle \displaystyle {v_{i}^{2}=\varepsilon ,\quad v_{i}v_{j}=\varepsilon v_{j}v_{i}\,\,(i\neq j),}}
4660:
satisfies the axioms for a
Euclidean Jordan algebra, the real trace defines a symmetric bilinear form with
6164:
6151:
6003:
4262:
6662:
4748:
6388:
2439:
2404:
5145:
2603:
6199:, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 39, American Mathematical Society
6004:"Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von Hurwitz–Radon über die Komposition quadratischer Formen"
4202:. Polarizing it follows that the associator is antisymmetric in its three entries. Furthermore, if
2173:
with the product and inner product above gives a noncommutative nonassociative algebra generated by
6647:
5811:
4585:
2442:, known to be equivalent to the representation theory of real Clifford algebras. Indeed, taking an
284:
51:
6589:
64:
60:
6553:
6541:
6302:
4638:
3624:
3608:
2457:
2431:
1194:
74:
into the positive real numbers on the non-zero part of the algebra, then the algebra must be
6258:
5374:
follows by this and the associativity property of the inner product in the identity above.
2914:
2400:
2369:
6584:(1990) "Composition Algebras. Hurwitz's Theorem — Vector-Product Algebras", chapter 10 of
6571:
6466:
6440:
6406:
6332:
6266:
6073:
8:
4192:
3612:
2613:
596:
253:
106:
99:
6511:
6493:
6422:
6415:
6372:
6294:
6221:
6184:
6120:
6023:
5982:
4614:
4462:
3427:{\displaystyle \displaystyle {V_{i}^{2}=-I,\quad V_{i}V_{j}=-V_{j}V_{i}\,\,(i\neq j).}}
142:
110:
6615:
6593:
6557:
6527:
6452:
6426:
6392:
6376:
6318:
6298:
6244:
6188:
6137:
6124:
6081:
6027:
3449:
2443:
158:
6136:, Carus Mathematical Monographs, vol. 15, Mathematical Association of America,
1257:. It is unital and is again a Euclidean Hurwitz algebra. It satisfies the following
1205:
a proper unital subalgebra, so a
Euclidean Hurwitz algebra in its own right. Pick a
6581:
6567:
6503:
6462:
6436:
6402:
6364:
6328:
6286:
6262:
6213:
6176:
6112:
6015:
5974:
5415:
2617:
2377:
2297:
495:
417:
138:
6515:
6507:
6611:
6549:
6310:
6254:
5550:
5467:
3667:
154:
114:
47:
6056:
603:
These properties are proved starting from the polarized version of the identity
6603:
6344:
4633:
150:
83:
67:
54:
6275:"Sur le théorème de Hurwitz-Radon pour la composition des formes quadratiques"
2376:
contains no unit vectors orthogonal to 1). The real
Clifford algebra and its
6631:
6232:
6152:"Über die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln"
5509:
minimizing the sums of the squares of the norms of the off-diagonal terms of
5425:
3232:{\displaystyle \displaystyle {T_{i}T_{j}^{t}+T_{j}T_{i}^{t}=2\delta _{ij}I.}}
2185:
94:, and that there are no other possibilities. Such algebras, sometimes called
43:
121:. Subsequent proofs of the restrictions on the dimension have been given by
6481:
6103:
5390:
3460:
2435:
71:
6451:, De Gruyter Expositions in Mathematics, vol. 33, Walter de Gruyter,
3305:
are skew-adjoint, orthogonal satisfying exactly the same relations as the
6577:
5432:
3033:{\displaystyle \displaystyle {T(x)T(x)^{t}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}.}}
1206:
79:
57:
31:
6368:
6290:
6225:
6180:
6116:
6019:
5986:
4092:
2592:{\displaystyle U_{i}^{2}=-I,\quad U_{i}U_{j}=-U_{j}U_{i}\,\,(i\neq j).}
2412:
87:
75:
6524:
On quaternions and octonions: their geometry, arithmetic, and symmetry
4592:
is associative (the real numbers, complex numbers or quaternions) and
6498:
5793:
has no local maximum (only a global minimum), a contradiction. Hence
5428:
4681:. So it is an inner product. It satisfies the associativity property
6352:
6217:
5978:
3825:. It is a unital nonassociative algebra with an involution given by
6357:
5965:
Albert, A. A. (1934), "On a certain algebra of quantum mechanics",
3755:. It breaks up into some of complex irreducible representations of
3127:{\displaystyle \displaystyle {T(x)=T_{1}x_{1}+\cdots +T_{N}x_{N},}}
2903:{\displaystyle \displaystyle {z_{i}=\sum _{j=1}^{N}a_{ij}(x)y_{j}}}
2181:
91:
6387:, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 171,
5314:{\displaystyle (D(X),Y\circ Z)+(D(Y),Z\circ X)+(D(Z),X\circ Y)=0.}
4887:
a special argument is required, one of the shortest being due to
4457:
is a sum of two associators involving only off diagonal terms of
39:
5413:
leaving invariant the inner product. It is a closed subgroup of
402:{\displaystyle a^{*}=-a+2(a,1)1,\quad L(a)b=ab,\quad R(a)b=ba.}
494:, so that the involution on the algebra corresponds to taking
27:
Non-associative algebras with positive-definite quadratic form
6341:
Lie groups and Lie algebras. Lectures in geometry. Semester V
4076:
These are immediate consequences of the known identities for
6546:
Hypercomplex numbers. An elementary introduction to algebras
732:{\displaystyle \displaystyle {2(a,b)(c,d)=(ac,bd)+(ad,bc).}}
186:
is a finite-dimensional not necessarily associative algebra
6080:, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press,
3751:'s act can be complexified. It will have complex dimension
5754:
preserves the real-valued trace. Since it can only change
3898:{\displaystyle \displaystyle {(x_{ij})^{*}=(x_{ji}^{*}).}}
190:
with identity endowed with a nondegenerate quadratic form
70:. The theorem states that if the quadratic form defines a
6098:, Mathematisch Instituut der Rijksuniversiteit te Utrecht
6057:"Topology, algebra, analysis—relations and missing links"
46:(1859–1919), published posthumously in 1923, solving the
2097:{\displaystyle \displaystyle {(ac,d^{*}b)=(bc^{*},da).}}
6203:
5881:
4435:{\displaystyle \displaystyle {y_{ij}=\sum _{k,\ell }.}}
2639:. Assume that there is a composition law for two forms
1533:. The formula for the involution follows. To show that
221:. If the underlying coefficient field is the reals and
6602:
6542:"Normed algebras with an identity. Hurwitz's theorem."
5995:
The algebraic theory of spinors and
Clifford algebras
5208:
5148:
5000:
4930:
4929:
4752:
4751:
4342:
4341:
4266:
4265:
4106:
4105:
3947:
3835:
3834:
3495:
3494:
3326:
3325:
3147:
3146:
3053:
3052:
2950:
2949:
2830:
2829:
2649:
2648:
2494:
2028:
2027:
1840:
1839:
1273:
1272:
641:
640:
296:
5545:, it can be assumed that the maximum is attained at
5670:. The diagonal entries are real. The derivative of
4835:is an associative algebra so a Jordan algebra with
3631:is even the center has order 4 with extra elements
6539:
6414:
5313:
5188:
5128:
4966:
4804:
4434:
4306:
4172:
4065:
3916:is defined as the sum of the diagonal elements of
3897:
3788:
3781:, the dimension is 4, which does not divide 6. So
3592:
3426:
3231:
3126:
3032:
2902:
2790:
2591:
2403:, so the Clifford algebra has exactly two complex
2096:
2007:
1460:
731:
401:
6608:Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups
6036:"Hurwitz–Radon matrices and periodicity modulo 8"
6629:
6197:Structure and representations of Jordan algebras
2624:is assumed to be greater than 1.) The operators
113:by Hurwitz in 1898. It is a special case of the
6243:, vol. 67, American Mathematical Society,
6165:"Über die Komposition der quadratischen Formen"
5772:, it preserves their sum. However, on the line
5563:, acting by permuting the coordinates, lies in
4238:has certain commutation properties. In fact if
287:and right and left multiplication operators by
5644:. Then only the first two diagonal entries in
6096:Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie
6071:
5942:
5904:
5892:
4173:{\displaystyle \displaystyle {=a(bc)-(ab)c.}}
2438:, or the projective representation theory of
1806:Imposing the multiplicativity of the norm on
1154:It is routine to check that the real numbers
168:
4461:. Since the associators are invariant under
4183:It is trilinear and vanishes identically if
2308:must be 1, 2, 4 or 8. In fact the operators
2204:, the argument above shows that it contains
2180:. This recovers the usual definition of the
1991:
1965:
1953:
1927:
1912:
1905:
1893:
1886:
1871:
1864:
1852:
1845:
6521:
6417:An introduction to non-associative algebras
6237:Introduction to Quadratic Forms over Fields
6102:
6093:
5493:To prove the diagonalization theorem, take
5436:
4888:
3728:, the two irreducibles must have dimension
2228:. But there the process must stop, because
4967:{\displaystyle \displaystyle {D(X)=TX-XT}}
3474:be the finite group generated by elements
2135:This analysis applies to the inclusion of
6540:Kantor, I.L.; Solodovnikov, A.S. (1989),
6522:Conway, John H.; Smith, Derek A. (2003),
6497:
6338:
5992:
5948:
5571:is not diagonal, it can be supposed that
5335:is skew-adjoint. The derivation property
4488:be the space of self-adjoint elements in
3569:
3568:
3403:
3402:
2570:
2569:
2293:
2222:. If it is larger still, it must contain
1351:
1350:
1349:
1298:
1297:
1296:
1189:Analysing such an inclusion leads to the
134:
6309:
6194:
6131:
5925:
5385:as in the statement of the theorem, let
2940:. The relations above are equivalent to
2342:and so form a real Clifford algebra. If
2192:is a Euclidean algebra, it must contain
163:classification of simple Jordan algebras
141:. Hurwitz's theorem has been applied in
6446:
6412:
6382:
6353:"Lineare scharen orthogonaler matrizen"
6162:
6149:
6054:
6033:
6001:
5919:
5868:
5863:
5847:
5842:
4256:with real entries on the diagonal then
3797:be a Euclidean Hurwitz algebra and let
2636:
2427:
122:
14:
6630:
6548:, Trans. A. Shenitzer (2nd ed.),
5964:
5435:consists of skew-adjoint derivations.
4603:is nonassociative (the octonions) and
4449:are real, the off-diagonal entries of
2419:. It is easy to see that this implies
127:representation theory of finite groups
6350:
5882:Jordan, von Neumann & Wigner 1934
4977:defines a skew-adjoint derivation of
118:
6479:
4307:{\displaystyle \displaystyle {=aI,}}
6272:
6231:
5837:
4805:{\displaystyle \displaystyle {=0.}}
3938:. The real-valued trace satisfies:
2289:
1201:be a Euclidean Hurwitz algebra and
275:is a Euclidean Hurwitz algebra and
130:
24:
6473:
3763:. In particular this dimension is
1260:Cayley–Dickson multiplication laws
25:
6679:
5730:. This derivative is non-zero if
1149:
5593:be the skew-adjoint matrix with
5486:for any non-associative algebra
4036:
4003:
3978:
3954:
2388:-dimensional complex space. If
2198:. If it is strictly larger than
6449:Compositions of quadratic forms
6241:Graduate Studies in Mathematics
5743:. On the other hand, the group
5189:{\displaystyle (D(X),X^{2})=0.}
4453:vanish. Each diagonal entry of
3996:
3789:Applications to Jordan algebras
3774:is less than or equal to 8. If
3623:is odd this coincides with the
3521:
3355:
2522:
2380:act on the complexification of
2283:
1543:is closed under multiplication
371:
343:
5933:
5910:
5898:
5886:
5875:
5854:
5828:
5302:
5287:
5281:
5275:
5269:
5254:
5248:
5242:
5236:
5221:
5215:
5209:
5177:
5161:
5155:
5149:
5111:
5105:
5093:
5084:
5069:
5066:
5063:
5057:
5044:
5035:
5032:
5019:
5013:
5007:
4941:
4935:
4791:
4788:
4775:
4766:
4760:
4754:
4445:Since the diagonal entries of
4424:
4376:
4287:
4268:
4159:
4150:
4144:
4135:
4126:
4108:
4057:
4048:
4021:
4012:
3887:
3866:
3854:
3837:
3582:
3570:
3416:
3404:
3064:
3058:
2974:
2967:
2961:
2955:
2885:
2879:
2738:
2696:
2693:
2651:
2583:
2571:
2086:
2061:
2055:
2030:
1921:
1883:
1880:
1842:
1447:
1422:
1416:
1391:
1385:
1370:
1367:
1352:
1315:
1299:
721:
703:
697:
679:
673:
661:
658:
646:
381:
375:
353:
347:
334:
322:
225:is positive-definite, so that
13:
1:
6508:10.1090/S0273-0979-01-00934-X
6413:Schafer, Richard D. (1995) ,
5958:
5807:Multiplicative quadratic form
3920:and the real-valued trace by
2460:of 1 gives rise to operators
1070:Substituting the formula for
173:
63:endowed with a nondegenerate
2357:is skew-adjoint with square
2234:is not associative. In fact
7:
6447:Shapiro, Daniel B. (2000),
6078:Analysis on symmetric cones
5997:, Columbia University Press
5800:
4815:This is easy to check when
2440:elementary abelian 2-groups
2405:irreducible representations
2300:to show that the dimension
1249:be subalgebra generated by
1191:Cayley–Dickson construction
10:
6684:
6389:Cambridge University Press
6094:Freudenthal, Hans (1951),
4465:, the diagonal entries of
3785:can only be 1, 2, 4 or 8.
3720:and the dimensions divide
2423:can only be 1, 2, 4 or 8.
1067:gives the other identity.
1041:. Applied to 1 this gives
978:By the polarized identity
169:Euclidean Hurwitz algebras
6606:; F. D. Veldkamp (2000),
6317:, Van Nostrand Reinhold,
6128:(reprint of 1951 article)
5943:Faraut & Koranyi 1994
5905:Faraut & Koranyi 1994
5893:Faraut & Koranyi 1994
5447:there is an automorphism
4224:. These facts imply that
3740:. The space on which the
3666:is not in the center its
2604:projective representation
262:Euclidean Hurwitz algebra
18:Euclidean Hurwitz algebra
6643:Non-associative algebras
6132:Herstein, I. N. (1968),
6061:Notices Amer. Math. Soc.
5822:
5613:and 0 elsewhere and let
4586:Euclidean Jordan algebra
3615:is just formed of 1 and
264:or (finite-dimensional)
147:vector fields on spheres
61:non-associative algebras
6658:Theorems about algebras
6590:Heinz-Dieter Ebbinghaus
6383:Rajwade, A. R. (1993),
6046:: 77–91, archived from
3759:, all having dimension
2606:of a direct product of
2346:is a unit vector, then
2240:is not commutative and
2210:. If it is larger than
1146:is proved analogously.
266:normed division algebra
6486:Bull. Amer. Math. Soc.
6480:Baez, John C. (2002),
6339:Postnikov, M. (1986),
6055:Eckmann, Beno (1999),
6034:Eckmann, Beno (1989),
6002:Eckmann, Beno (1943),
5993:Chevalley, C. (1954),
5315:
5190:
5130:
4968:
4819:is associative, since
4806:
4436:
4308:
4187:is associative. Since
4174:
4067:
3899:
3684:conjugacy classes for
3594:
3428:
3233:
3128:
3034:
2904:
2865:
2792:
2593:
2098:
2009:
1709:taking adjoints above.
1510:, since by orthogonal
1480:are orthogonal, since
1462:
1160:, the complex numbers
733:
403:
6653:Representation theory
6195:Jacobson, N. (1968),
5695:coordinate of , i.e.
5666:differ from those of
5617:be the derivation ad
5316:
5191:
5131:
4969:
4807:
4437:
4309:
4175:
4068:
3900:
3595:
3429:
3234:
3137:the relations become
3129:
3035:
2905:
2845:
2793:
2594:
2458:orthogonal complement
2432:representation theory
2099:
2010:
1463:
734:
416:the involution is an
404:
6668:Hypercomplex numbers
6638:Composition algebras
6315:Topological Geometry
6279:Comment. Math. Helv.
6163:Hurwitz, A. (1923),
6150:Hurwitz, A. (1898),
6134:Noncommutative rings
6008:Comment. Math. Helv.
5812:Radon–Hurwitz number
5206:
5146:
4998:
4927:
4749:
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4263:
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3144:
3050:
2947:
2827:
2646:
2492:
2372:or 1 (in which case
2025:
1837:
1559:is orthogonal to 1,
1270:
1166:and the quaternions
638:
294:
100:composition algebras
6273:Lee, H. C. (1948),
5199:Polarizing yields:
4463:cyclic permutations
4193:alternative algebra
3886:
3613:commutator subgroup
3511:
3342:
3201:
3173:
3024:
3000:
2782:
2758:
2737:
2713:
2692:
2668:
2509:
2130:must be associative
597:alternative algebra
184:composition algebra
6663:1923 introductions
6592:et al., Springer,
6423:Dover Publications
6369:10.1007/bf02940576
6351:Radon, J. (1922),
6291:10.1007/bf02568038
6181:10.1007/bf01448439
6117:10.1007/bf00233101
6020:10.1007/bf02565652
5928:, pp. 141–144
5797:must be diagonal.
5589:are non-zero. Let
5439:showed that given
5437:Freudenthal (1951)
5311:
5186:
5126:
4964:
4963:
4889:Freudenthal (1951)
4802:
4801:
4539:and inner product
4432:
4431:
4375:
4304:
4303:
4170:
4169:
4063:
3895:
3894:
3869:
3813:be the algebra of
3590:
3589:
3497:
3424:
3423:
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3229:
3228:
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3123:
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2787:
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2589:
2495:
2094:
2093:
2005:
2004:
1742:= 0, so that, for
1458:
1457:
1228:, it follows that
729:
728:
399:
143:algebraic topology
98:, are examples of
52:finite-dimensional
6621:978-3-540-66337-9
6563:978-0-387-96980-0
6458:978-3-11-012629-7
6432:978-0-486-68813-8
6398:978-0-521-42668-8
6324:978-0-442-06606-2
6250:978-0-8218-1095-8
5817:Frobenius Theorem
5505:can be chosen in
5501:. By compactness
4360:
3932: ) = Re Tr(
3680:. Thus there are
3450:orthogonal matrix
2444:orthonormal basis
2298:Clifford algebras
1484:is orthogonal to
159:quantum mechanics
139:Clifford algebras
117:, solved also in
65:positive-definite
36:Hurwitz's theorem
16:(Redirected from
6675:
6624:
6582:Reinhold Remmert
6574:
6536:
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6501:
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6306:
6301:, archived from
6269:
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5989:
5953:
5945:, pp. 88–91
5937:
5931:
5914:
5908:
5907:, pp. 81–86
5902:
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5890:
5884:
5879:
5873:
5858:
5852:
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5771:
5762:
5753:
5742:
5729:
5694:
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5588:
5580:and its adjoint
5579:
5570:
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5538:
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5423:
5412:
5389:be the group of
5388:
5384:
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5330:
5320:
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4456:
4452:
4448:
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4439:
4438:
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4430:
4423:
4422:
4407:
4406:
4391:
4390:
4374:
4356:
4355:
4331:
4324:
4320:
4313:
4311:
4310:
4305:
4302:
4286:
4285:
4255:
4241:
4237:
4223:
4219:
4213:
4209:
4205:
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4176:
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3673:
3665:
3661:
3657:
3650:
3630:
3622:
3618:
3611:of order 2. The
3606:
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3597:
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3566:
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135:Chevalley (1954)
96:Hurwitz algebras
21:
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6682:
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6677:
6676:
6674:
6673:
6672:
6648:Quadratic forms
6628:
6627:
6622:
6612:Springer-Verlag
6604:Springer, T. A.
6564:
6550:Springer-Verlag
6534:
6482:"The octonions"
6476:
6474:Further reading
6459:
6433:
6399:
6325:
6251:
6218:10.2307/1968117
6144:
6088:
5979:10.2307/1968118
5961:
5956:
5938:
5934:
5915:
5911:
5903:
5899:
5891:
5887:
5880:
5876:
5859:
5855:
5833:
5829:
5825:
5803:
5794:
5784:
5773:
5770:
5764:
5761:
5755:
5752:
5744:
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