5235:
3916:
4925:
3673:
5230:{\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {YY} }={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}\mathbf {y} \mathbf {y} ^{\dagger }={\frac {1}{T}}\mathbf {Y} \mathbf {Y} ^{\dagger }={\frac {1}{T}}\mathbf {U} {\mathbf {\Sigma } \mathbf {\Sigma } ^{\dagger }}\mathbf {U} ^{\dagger }={\frac {1}{T}}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }^{2}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }^{\dagger }+{\frac {1}{T}}\mathbf {U} _{\mathrm {N} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }^{2}\mathbf {U} _{\mathrm {N} }^{\dagger }.}
3911:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} ={\begin{bmatrix}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }&\mathbf {U} _{\mathrm {N} }\end{bmatrix}},&&\mathbf {\Sigma } ={\begin{bmatrix}\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }&\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }&\mathbf {0} \end{bmatrix}},&&\mathbf {V} ={\begin{bmatrix}\mathbf {V} _{\mathrm {S} }&\mathbf {V} _{\mathrm {N} }&\mathbf {V} _{\mathrm {0} }\end{bmatrix}}\end{aligned}},}
5559:
66:
25:
5350:
3322:
112:
231:
163:
4284:
3138:
2347:
5554:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} _{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} _{1}\mathbf {A} \mathbf {H} \implies \mathbf {J} _{2}(\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {F} ^{-1})=\mathbf {J} _{1}(\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {F} ^{-1})\mathbf {H} \implies \mathbf {S} _{2}=\mathbf {S} _{1}\mathbf {P} ,\end{aligned}}}
4164:
7810:
Ibrahim, A. M.; Marei, M. I.; Mekhamer, S. F.; Mansour, M. M. (2011). "An
Artificial Neural Network Based Protection Approach Using Total Least Square Estimation of Signal Parameters via the Rotational Invariance Technique for Flexible AC Transmission System Compensated Transmission Lines".
4697:
6192:
4769:
7326:
3133:
3317:{\displaystyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} _{1}\mathbf {A} \mathbf {H} ,\quad {\text{where}}\quad {\mathbf {H} }:={\begin{bmatrix}e^{-j\omega _{1}}&\\&e^{-j\omega _{2}}\\&&\ddots \\&&&e^{-j\omega _{K}}\end{bmatrix}}.}
4884:
1639:
1405:
4279:{\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }\mathbf {V} _{\mathrm {S} }^{\dagger }+\mathbf {U} _{\mathrm {N} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }\mathbf {V} _{\mathrm {N} }^{\dagger },}
5301:
3403:
6368:
181:
38:
5675:
5617:
4136:
6581:
6523:
6297:
5728:
2291:
2201:
2111:
4816:
1977:
6420:
4020:
3968:
7537:
5980:
2337:
6048:
5896:
5345:
1532:
1290:
6928:
4625:
5828:
6841:
6779:
2931:
1903:
587:
6092:
44:
3489:
3446:
5355:
3678:
4702:
1123:
4559:
4377:
2569:
7222:
3029:
697:
7001:
7413:
7379:
3024:
2607:
4528:
4497:
4466:
4346:
4315:
7643:
Volodymyr
Vasylyshyn. The direction of arrival estimation using ESPRIT with sparse arrays.// Proc. 2009 European Radar Conference (EuRAD). – 30 Sept.-2 Oct. 2009. - Pp. 246 - 249. -
2452:
4821:
2824:
7139:
7077:
6705:
6643:
3324:
The above relation is the first major observation required for ESPRIT. The second major observation concerns the signal subspace that can be computed from the output signals.
2789:
2727:
7197:
6083:
2665:
2636:
3511:
1295:
952:
906:
1537:
7168:
1759:
7563:
7487:
7465:
5918:
5779:
5754:
2878:
7839:
Haardt, M., Zoltowski, M. D., Mathews, C. P., & Nossek, J. (1995, May). 2D unitary ESPRIT for efficient 2D parameter estimation. In icassp (pp. 2096-2099). IEEE.
2021:
774:
727:
467:
373:
7435:
6863:
6730:
6462:
4906:
4617:
4435:
4084:
4062:
3668:
3361:
3356:
6955:
3537:
7760:
3557:
2410:
2383:
3586:
863:
4595:
4413:
2856:
810:
623:
429:
335:
1779:
2986:
7345:
7217:
6440:
6317:
5680:
4156:
4040:
3646:
3626:
3606:
1799:
1163:
1143:
830:
747:
393:
299:
279:
4774:
1908:
2296:
5247:
6326:
5622:
5564:
4089:
6528:
6470:
472:
129:
6212:
2206:
2116:
2026:
6373:
5923:
3973:
3921:
7492:
4692:{\textstyle \mathbf {A} \mathbf {X} =\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }\mathbf {V} _{\mathrm {S} }^{\dagger }}
3670:
can be partitioned into submatrices, where some submatrices correspond to the signal subspace and some correspond to the noise subspace.
3648:
largest singular values stem from these input signals and other singular values are presumed to stem from noise. The matrices in SVD of
5985:
1410:
1168:
5833:
5306:
6871:
5784:
2457:
6787:
6187:{\displaystyle {\mathbf {P} }=(\mathbf {S} _{1}^{\dagger }{\mathbf {S} _{1}})^{-1}\mathbf {S} _{1}^{\dagger }{\mathbf {S} _{2}}}
6735:
2886:
1804:
7741:
7621:
7579:
4764:{\textstyle \mathbf {N} =\mathbf {U} _{\mathrm {N} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }\mathbf {V} _{\mathrm {N} }^{\dagger }}
7724:
Paulraj, A.; Roy, R.; Kailath, T. (1985), "Estimation Of Signal
Parameters Via Rotational Invariance Techniques - Esprit",
7604:
Paulraj, A.; Roy, R.; Kailath, T. (1985), "Estimation Of Signal
Parameters Via Rotational Invariance Techniques - Esprit",
7467:
has been defined to be a diagonal matrix that stores the sought-after complex exponentials on its main diagonal. However,
3451:
3408:
7791:
957:
625:
denotes the noise added by the system. The one-dimensional form of ESPRIT can be applied if the weights have the form
217:
199:
52:
7321:{\displaystyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {a} (\omega _{k})=e^{-j\omega _{k}}\mathbf {J} _{1}\mathbf {a} (\omega _{k})}
3128:{\displaystyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {a} (\omega _{k})=e^{-j\omega _{k}}\mathbf {J} _{1}\mathbf {a} (\omega _{k})}
4533:
4351:
245:
in background noise. This technique was first proposed for frequency estimation. However, with the introduction of
86:
4915:
628:
7584:
7574:
6960:
2991:
2574:
7384:
7350:
4502:
4471:
4440:
4320:
4289:
4879:{\displaystyle {\mathbf {F} }=\mathbf {X} \mathbf {V} _{\mathrm {S} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }^{-1}}
7657:"An ESPRIT-Based Approach for 2-D Localization of Incoherently Distributed Sources in Massive MIMO Systems"
3333:
2419:
7489:
may also exhibit some other structure. For instance, it may be an upper triangular matrix. In this case,
173:
2794:
7852:
7082:
7020:
6648:
6586:
2732:
2670:
1634:{\displaystyle \mathbf {a} (\omega _{1}),\ \mathbf {a} (\omega _{2}),\ ...,\ \mathbf {a} (\omega _{K})}
7173:
6059:
2641:
2612:
3494:
914:
868:
79:
article reads like an overly detailed proof, and lacks encyclopedic tone. It needs rewriting as per
5731:
1647:
7546:
7470:
7448:
7144:
5901:
5762:
5737:
2861:
7862:
752:
705:
1982:
4919:
3539:, that holds the singular values from the largest (top left) in descending order. The operator
434:
340:
7418:
6846:
6713:
6445:
4889:
4600:
4418:
4067:
4045:
3651:
3339:
7857:
6933:
122:
7678:
3516:
2388:
2361:
3542:
8:
6195:
3565:
835:
7682:
7644:
7445:
The rotational invariance used in the derivation may be generalized. So far, the matrix
1400:{\displaystyle \mathbf {y} =\sum _{k=1}^{K}\mathbf {a} (\omega _{k})x_{k}+\mathbf {n} ,}
7828:
7783:
7747:
7702:
7668:
7627:
4564:
4382:
2829:
1764:
1642:
779:
592:
398:
304:
2935:
7832:
7737:
7694:
7617:
700:
7787:
7706:
7820:
7775:
7751:
7729:
7686:
7631:
7609:
7330:
7202:
6425:
6302:
4141:
4025:
3631:
3611:
3591:
1784:
1148:
1128:
815:
732:
378:
284:
264:
250:
5296:{\textstyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} _{1}\mathbf {A} \mathbf {H} }
4886:. In the sequel, it is only important that there exists such an invertible matrix
3398:{\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{\dagger }}
7824:
137:
7761:"Esprit - Estimation Of Signal Parameters Via Rotational Invariance Techniques"
7690:
7656:
6363:{\textstyle \mathbf {Y} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{\dagger }}
133:
7733:
7613:
7846:
7698:
6086:
239:
Estimation of signal parameters via rotational invariant techniques (ESPRIT),
7347:, or some generalization of it (see below) holds; accordingly, the matrices
5670:{\displaystyle \mathbf {S} _{2}=\mathbf {J} _{2}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }}
5612:{\displaystyle \mathbf {S} _{1}=\mathbf {J} _{1}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }}
2346:
246:
4131:{\textstyle \mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }\in \mathbb {C} ^{K\times K}}
6576:{\textstyle \mathbf {S} _{2}=\mathbf {J} _{2}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }}
6518:{\textstyle \mathbf {S} _{1}=\mathbf {J} _{1}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }}
6292:{\textstyle \mathbf {Y} :=\,\ \mathbf {y} \,\ \dots \,\ \mathbf {y} \,]}
729:. This frequency only depends on the index of the system's input, i.e.,
80:
7655:
Hu, Anzhong; Lv, Tiejun; Gao, Hui; Zhang, Zhang; Yang, Shaoshi (2014).
5723:{\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {H} \mathbf {F} .}
2286:{\textstyle \mathbf {N} =\,\ \mathbf {n} \,\ \dots \,\ \mathbf {n} \,]}
2196:{\textstyle \mathbf {X} =\,\ \mathbf {x} \,\ \dots \,\ \mathbf {x} \,]}
2106:{\textstyle \mathbf {Y} =\,\ \mathbf {y} \,\ \dots \,\ \mathbf {y} \,]}
7779:
4811:{\displaystyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }=\mathbf {A} \mathbf {F} ,}
1972:{\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {A} \,\mathbf {x} +\mathbf {n} .}
242:
6415:{\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }\in \mathbb {C} ^{M\times K}}
4015:{\textstyle \mathbf {V} _{\mathrm {S} }\in \mathbb {C} ^{N\times K}}
3963:{\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }\in \mathbb {C} ^{M\times K}}
7532:{\textstyle \mathbf {P} =\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {H} \mathbf {F} }
5975:{\displaystyle \lambda _{k}=\alpha _{k}\mathrm {e} ^{j\omega _{k}}}
2332:{\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {A} \mathbf {X} +\mathbf {N} .}
7673:
7726:
Nineteenth
Asilomar Conference on Circuits, Systems and Computers
7606:
Nineteenth
Asilomar Conference on Circuits, Systems and Computers
6043:{\displaystyle \omega _{1},\ \omega _{2},\ \ldots ,\ \omega _{K}}
5891:{\textstyle \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \ldots ,\ \lambda _{K}}
5340:{\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }=\mathbf {A} \mathbf {F} }
1527:{\displaystyle \mathbf {n} =\,\ n_{2}\,\ ...\,\ n_{M}\,]^{\top }}
1285:{\displaystyle \mathbf {y} =\,\ y_{2}\,\ ...\,\ y_{M}\,]^{\top }}
6923:{\textstyle \lambda _{k}=\alpha _{k}\mathrm {e} ^{j\omega _{k}}}
3559:
denotes the complex-conjugate transpose (Hermitian transpose).
7768:
IEEE Transactions on
Acoustics, Speech, and Signal Processing
5823:{\displaystyle \mathbf {S} _{2}=\mathbf {S} _{1}\mathbf {P} }
6050:
are estimated as the phases (argument) of the eigenvalues.
230:
7809:
6836:{\textstyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{K}}
241:
is a technique to determine the parameters of a mixture of
6774:{\textstyle \mathbf {S} _{2}=\mathbf {S} _{1}\mathbf {P} }
3608:
input signals. If there was no noise, there would only be
832:. Since the radial frequencies are the actual objectives,
2926:{\displaystyle \mathbf {J} _{1}\mathbf {a} (\omega _{k})}
1898:{\displaystyle \mathbf {x} =\,\ ...\,\ x_{k}\,]^{\top }}
582:{\displaystyle y_{m}=\sum _{k=1}^{K}a_{m,k}x_{k}+n_{m},}
5734:, and the phases of eigenvalues in the diagonal matrix
7495:
7421:
7387:
7353:
7333:
7205:
7147:
6963:
6936:
6874:
6849:
6790:
6738:
6716:
6531:
6473:
6448:
6428:
6376:
6329:
6305:
6215:
5836:
5309:
5250:
4892:
4705:
4628:
4603:
4567:
4536:
4505:
4474:
4443:
4421:
4385:
4354:
4323:
4292:
4144:
4092:
4070:
4048:
4028:
3976:
3924:
3844:
3754:
3694:
3654:
3634:
3614:
3594:
3568:
3545:
3519:
3497:
3454:
3411:
3342:
3209:
2832:
2422:
2209:
2119:
2029:
1985:
1787:
1151:
1131:
917:
871:
838:
818:
782:
735:
631:
595:
437:
401:
381:
343:
307:
287:
267:
7549:
7473:
7451:
7225:
7176:
7085:
7023:
6651:
6589:
6095:
6062:
5988:
5926:
5904:
5787:
5765:
5740:
5683:
5625:
5567:
5353:
4928:
4824:
4777:
4167:
3676:
3484:{\textstyle \mathbf {V} \in \mathbb {C} ^{T\times T}}
3441:{\textstyle \mathbf {U} \in \mathbb {C} ^{M\times M}}
3364:
3141:
3032:
2994:
2938:
2889:
2864:
2797:
2735:
2673:
2644:
2615:
2577:
2460:
2391:
2364:
2299:
1911:
1807:
1767:
1650:
1540:
1413:
1298:
1171:
960:
755:
708:
475:
7661:
IEEE Journal of
Selected Topics in Signal Processing
7440:
249:
systems in everyday technology, it is also used for
5239:
4914:The signal subspace can also be extracted from the
2454:
has the property that adjacent entries are related.
2341:
7557:
7531:
7481:
7459:
7429:
7407:
7373:
7339:
7320:
7211:
7191:
7162:
7133:
7071:
6995:
6949:
6922:
6857:
6835:
6773:
6724:
6699:
6637:
6575:
6517:
6456:
6434:
6414:
6362:
6323:Compute the singular value decomposition (SVD) of
6311:
6291:
6186:
6077:
6042:
5974:
5912:
5890:
5822:
5773:
5748:
5722:
5669:
5611:
5553:
5339:
5295:
5229:
4900:
4878:
4810:
4763:
4691:
4611:
4589:
4553:
4522:
4491:
4460:
4429:
4407:
4371:
4340:
4309:
4278:
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4130:
4078:
4056:
4034:
4014:
3962:
3910:
3662:
3640:
3620:
3600:
3580:
3551:
3531:
3505:
3483:
3440:
3397:
3350:
3316:
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2980:
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2601:
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2331:
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1971:
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1753:
1633:
1526:
1399:
1284:
1157:
1137:
1118:{\displaystyle \mathbf {a} (\omega _{k})=^{\top }}
1117:
946:
900:
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804:
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741:
721:
691:
617:
581:
461:
423:
387:
367:
329:
293:
273:
7723:
7603:
7199:may be used as long as the rotational invariance
2609:, the equation introduces two selection matrices
7844:
7017:In the derivation above, the selection matrices
2358:is the number of sensors in each sub-array, and
301:(complex -valued) output signals (measurements)
234:Example of separation into subarrays (2D ESPRIT)
7012:
5756:are used to estimate the radial frequencies.
4379:represent the contribution of the input signal
176:for grammar, style, cohesion, tone, or spelling
4908:and its actual content will not be important.
4554:{\textstyle \mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }}
4372:{\textstyle \mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }}
7141:were used. However, any appropriate matrices
3628:non-zero singular values. We assume that the
699:, whose phases are integer multiples of some
7654:
5677:denote the truncated signal sub spaces, and
5244:We have established two expressions so far:
2564:{\displaystyle _{m+1}=e^{-j\omega _{k}}_{m}}
75:needs attention from an expert in statistics
4622:Hence, from the system model, we can write
692:{\textstyle a_{m,k}=e^{-j(m-1)\omega _{k}}}
53:Learn how and when to remove these messages
7758:
6996:{\textstyle \omega _{k}=\arg \lambda _{k}}
5511:
5507:
5404:
5400:
4922:of the measurements, which is estimated as
7672:
7408:{\textstyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {A} }
7374:{\textstyle \mathbf {J} _{1}\mathbf {A} }
6396:
6285:
6267:
6260:
6242:
6227:
4112:
3996:
3944:
3465:
3422:
3019:{\displaystyle \mathbf {a} (\omega _{k})}
2602:{\displaystyle \mathbf {a} (\omega _{k})}
2279:
2261:
2254:
2236:
2221:
2189:
2171:
2164:
2146:
2131:
2099:
2081:
2074:
2056:
2041:
1934:
1884:
1861:
1848:
1828:
1747:
1722:
1709:
1684:
1662:
1513:
1490:
1477:
1454:
1434:
1271:
1248:
1235:
1212:
1192:
1104:
1062:
1049:
1019:
992:
988:
256:
218:Learn how and when to remove this message
200:Learn how and when to remove this message
4523:{\textstyle \mathbf {V} _{\mathrm {N} }}
4492:{\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {N} }}
4461:{\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }}
4341:{\textstyle \mathbf {V} _{\mathrm {S} }}
4310:{\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }}
2354:denotes number of sensors in the array,
2345:
229:
2350:Maximum overlapping of two sub-arrays (
1979:With several measurements at instances
7845:
5730:The above equation has the form of an
2447:{\textstyle \mathbf {a} (\omega _{k})}
89:may be able to help recruit an expert.
7813:Electric Power Components and Systems
7580:Generalized pencil-of-function method
4771:. Also, from the former, we can write
6201:
4561:represent the contribution of noise
4138:is a diagonal matrix comprising the
749:. The goal of ESPRIT is to estimate
156:
105:
59:
18:
6085:is not invertible. One can use the
1534:. Further, when the weight vectors
375:, of the system are related to the
13:
7717:
6900:
6567:
6509:
6385:
5952:
5661:
5603:
5478:
5428:
5318:
5213:
5194:
5180:
5148:
5129:
5115:
4940:
4937:
4862:
4848:
4786:
4750:
4736:
4722:
4678:
4664:
4650:
4545:
4514:
4483:
4468:the signal subspace. In contrast,
4452:
4363:
4332:
4301:
4262:
4248:
4234:
4212:
4198:
4184:
4101:
3985:
3933:
3871:
3855:
3804:
3765:
3721:
3705:
3327:
2819:{\displaystyle \mathbf {I} _{M-1}}
1890:
1519:
1277:
1110:
14:
7874:
7441:Generalized rotational invariance
7134:{\displaystyle \mathbf {J} _{2}=}
7072:{\displaystyle \mathbf {J} _{1}=}
6700:{\displaystyle \mathbf {J} _{2}=}
6638:{\displaystyle \mathbf {J} _{1}=}
6319:(estimate if not already known).
2784:{\displaystyle \mathbf {J} _{2}=}
2722:{\displaystyle \mathbf {J} _{1}=}
812:and the number of input signals,
34:This article has multiple issues.
7551:
7525:
7520:
7506:
7497:
7475:
7453:
7423:
7401:
7390:
7367:
7356:
7298:
7287:
7239:
7228:
7192:{\displaystyle \mathbf {J} _{2}}
7179:
7150:
7112:
7105:
7088:
7062:
7044:
7026:
6851:
6767:
6756:
6741:
6718:
6678:
6671:
6654:
6628:
6610:
6592:
6561:
6549:
6534:
6503:
6491:
6476:
6450:
6379:
6370:and extract the signal subspace
6350:
6344:
6339:
6331:
6272:
6247:
6229:
6217:
6173:
6155:
6129:
6111:
6098:
6078:{\displaystyle \mathbf {S} _{1}}
6065:
5906:
5830:, we would find the eigenvalues
5816:
5805:
5790:
5767:
5742:
5713:
5708:
5694:
5685:
5655:
5643:
5628:
5597:
5585:
5570:
5540:
5529:
5514:
5503:
5486:
5472:
5457:
5436:
5422:
5407:
5396:
5391:
5380:
5371:
5360:
5333:
5328:
5312:
5289:
5284:
5273:
5264:
5253:
5240:Estimation of radial frequencies
5207:
5188:
5174:
5142:
5123:
5109:
5084:
5071:
5065:
5059:
5035:
5029:
4995:
4981:
4931:
4894:
4856:
4842:
4836:
4827:
4801:
4796:
4780:
4744:
4730:
4716:
4707:
4672:
4658:
4644:
4635:
4630:
4605:
4539:
4508:
4477:
4446:
4423:
4357:
4326:
4295:
4256:
4242:
4228:
4206:
4192:
4178:
4169:
4095:
4072:
4050:
3979:
3927:
3881:
3865:
3849:
3832:
3813:
3798:
3790:
3781:
3774:
3759:
3742:
3715:
3699:
3682:
3656:
3499:
3456:
3413:
3385:
3379:
3374:
3366:
3344:
3196:
3180:
3175:
3164:
3155:
3144:
3105:
3094:
3046:
3035:
2996:
2955:
2944:
2903:
2892:
2866:
2800:
2762:
2755:
2738:
2712:
2694:
2676:
2660:{\displaystyle \mathbf {J} _{2}}
2647:
2631:{\displaystyle \mathbf {J} _{1}}
2618:
2579:
2531:
2465:
2424:
2342:Dividing into virtual sub-arrays
2322:
2314:
2309:
2301:
2266:
2241:
2223:
2211:
2176:
2151:
2133:
2121:
2086:
2061:
2043:
2031:
1953:
1936:
1930:
1913:
1809:
1727:
1689:
1664:
1652:
1611:
1569:
1542:
1415:
1381:
1338:
1300:
1173:
962:
395:(complex -valued) input signals
161:
110:
64:
23:
7109:
7060:
6930:provide the radial frequencies
6675:
6626:
4161:Thus, The SVD can be written as
3506:{\textstyle \mathbf {\Sigma } }
3193:
3187:
2759:
2710:
947:{\textstyle a_{m}(\omega _{k})}
901:{\textstyle a_{m}(\omega _{k})}
42:or discuss these issues on the
7648:
7637:
7597:
7585:Independent component analysis
7575:Multiple signal classification
7334:
7315:
7302:
7256:
7243:
7206:
7128:
7101:
7066:
7039:
6868:The phases of the eigenvalues
6694:
6667:
6632:
6605:
6299:, the number of input signals
6286:
6282:
6276:
6257:
6251:
6239:
6233:
6224:
6194:. An alternative would be the
6141:
6106:
5508:
5499:
5467:
5449:
5417:
5401:
5006:
4999:
4991:
4985:
4584:
4578:
4402:
4396:
3122:
3109:
3063:
3050:
3013:
3000:
2975:
2972:
2959:
2939:
2920:
2907:
2845:
2833:
2826:is an identity matrix of size
2778:
2751:
2716:
2689:
2596:
2583:
2552:
2548:
2535:
2527:
2486:
2482:
2469:
2461:
2441:
2428:
2280:
2276:
2270:
2251:
2245:
2233:
2227:
2218:
2190:
2186:
2180:
2161:
2155:
2143:
2137:
2128:
2100:
2096:
2090:
2071:
2065:
2053:
2047:
2038:
1963:
1957:
1946:
1940:
1923:
1917:
1886:
1881:
1875:
1845:
1839:
1825:
1819:
1813:
1748:
1744:
1731:
1706:
1693:
1681:
1668:
1659:
1628:
1615:
1586:
1573:
1559:
1546:
1515:
1510:
1504:
1474:
1468:
1451:
1445:
1431:
1425:
1419:
1391:
1385:
1374:
1368:
1355:
1342:
1310:
1304:
1273:
1268:
1262:
1232:
1226:
1209:
1203:
1189:
1183:
1177:
1106:
1089:
1077:
985:
979:
966:
941:
928:
895:
882:
799:
793:
674:
662:
612:
606:
573:
567:
551:
545:
492:
486:
418:
412:
324:
318:
1:
7759:Roy, R.; Kailath, T. (1989).
7590:
7163:{\textstyle \mathbf {J} _{1}}
5982:, and the radial frequencies
3513:is a diagonal matrix of size
1754:{\displaystyle \mathbf {A} =}
136:in tone and meet Knowledge's
7825:10.1080/15325008.2010.513363
7558:{\displaystyle \mathbf {P} }
7482:{\displaystyle \mathbf {H} }
7460:{\displaystyle \mathbf {H} }
7013:Choice of selection matrices
5913:{\displaystyle \mathbf {P} }
5774:{\displaystyle \mathbf {P} }
5749:{\displaystyle \mathbf {H} }
3334:singular value decomposition
3026:except the last one. Thus,
2873:{\displaystyle \mathbf {0} }
2293:, the model equation becomes
7:
7568:
2016:{\textstyle t=1,2,\dots ,T}
1145:output signals at instance
769:{\displaystyle \omega _{k}}
722:{\displaystyle \omega _{k}}
77:. The specific problem is:
10:
7879:
7691:10.1109/JSTSP.2014.2313409
4158:largest singular values.
462:{\textstyle k=1,\ldots ,K}
368:{\textstyle m=1,\ldots ,M}
7734:10.1109/ACSSC.1985.671426
7614:10.1109/ACSSC.1985.671426
7430:{\textstyle \mathbf {A} }
6858:{\textstyle \mathbf {P} }
6725:{\textstyle \mathbf {P} }
6457:{\textstyle \mathbf {U} }
4901:{\textstyle \mathbf {F} }
4612:{\textstyle \mathbf {Y} }
4430:{\textstyle \mathbf {Y} }
4079:{\textstyle \mathbf {V} }
4057:{\textstyle \mathbf {U} }
3663:{\textstyle \mathbf {Y} }
3491:are unitary matrices and
3351:{\textstyle \mathbf {Y} }
2988:contains all elements of
7415:may contain any rows of
7007:
6950:{\textstyle \omega _{k}}
6784:Compute the eigenvalues
5759:Thus, after solving for
5732:eigenvalue decomposition
16:Signal processing method
6781:(see the remark above).
4920:auto-correlation matrix
2880:is a vector of zero.
2412:are selection matrices)
7559:
7533:
7483:
7461:
7431:
7409:
7375:
7341:
7322:
7213:
7193:
7164:
7135:
7073:
6997:
6951:
6924:
6859:
6837:
6775:
6726:
6701:
6639:
6577:
6519:
6458:
6436:
6416:
6364:
6313:
6293:
6188:
6079:
6044:
5976:
5914:
5892:
5824:
5775:
5750:
5724:
5671:
5613:
5555:
5341:
5297:
5231:
4979:
4916:spectral decomposition
4902:
4880:
4812:
4765:
4693:
4613:
4591:
4555:
4524:
4493:
4462:
4431:
4409:
4373:
4342:
4311:
4280:
4152:
4132:
4080:
4058:
4036:
4016:
3964:
3912:
3664:
3642:
3622:
3602:
3588:. Notice that we have
3582:
3553:
3533:
3532:{\textstyle M\times T}
3507:
3485:
3442:
3399:
3352:
3318:
3129:
3020:
2982:
2927:
2874:
2852:
2820:
2785:
2723:
2661:
2632:
2603:
2565:
2448:
2413:
2406:
2379:
2333:
2287:
2197:
2107:
2017:
1973:
1899:
1795:
1775:
1755:
1635:
1528:
1401:
1336:
1286:
1159:
1139:
1119:
948:
911:Collating the weights
902:
859:
826:
806:
776:'s, given the outputs
770:
743:
723:
693:
619:
583:
518:
463:
425:
389:
369:
331:
295:
275:
257:One-dimensional ESPRIT
235:
87:WikiProject Statistics
7560:
7534:
7484:
7462:
7432:
7410:
7376:
7342:
7323:
7214:
7194:
7165:
7136:
7074:
6998:
6952:
6925:
6860:
6838:
6776:
6727:
6702:
6640:
6578:
6520:
6459:
6437:
6417:
6365:
6314:
6294:
6189:
6080:
6045:
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