3778:
3575:
2527:
79:
While the exact definition is not immediately straightforward, intuitively the essential supremum of a function is the smallest value that is greater than or equal to the function values everywhere while ignoring what the function does at a set of points of measure zero. For example, if one takes the
2344:
3468:
2148:
2412:
3236:
2912:
3339:
2038:
1773:
3773:{\displaystyle \|f\|_{\infty }=\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(x)|\leq C{\text{ for almost every }}x\}={\begin{cases}\operatorname {ess} \sup |f|&{\text{ if }}0<\mu (S),\\0&{\text{ if }}0=\mu (S),\end{cases}}}
2601:
respectively. However, from the point of view of the
Lebesgue measure, the set of rational numbers is of measure zero; thus, what really matters is what happens in the complement of this set, where the function is given as
955:
3032:
1839:
2231:
1247:
1880:
173:
then the supremum of the function equals one. However, its essential supremum is zero if we apply the
Lebesgue-Borel measure and are allowed to ignore what the function does at the single point where
3070:
4018:
866:
3111:
1918:
1339:
576:
1461:
3562:
3158:
2814:
1014:
504:
3261:
3386:
2066:
1943:
1680:
405:
2943:
3915:
3514:
1554:
1073:
1173:
2406:
respectively, which are of measure zero. Everywhere else, the function takes the value 2. Thus, the essential supremum and the essential infimum of this function are both 2.
1132:
3817:
672:
3153:
2549:
4279:
2732:
2629:
1609:
1374:
753:
611:
3967:
2807:
2781:
2599:
2688:
2206:
2171:
2061:
2573:
2404:
782:
171:
2657:
1423:
1296:
640:
533:
3852:
2372:
1100:
1629:
1574:
1394:
1267:
107:
2522:{\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\text{if }}x\in \mathbb {Q} \\\arctan x,&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} \\\end{cases}}}
875:
133:
2755:
1675:
436:
3381:
3361:
3256:
2226:
1652:
1509:
1481:
1197:
1034:
975:
718:
692:
460:
368:
348:
324:
304:
284:
264:
240:
220:
192:
1786:
5341:
5419:
4486:
2348:
The supremum of this function (largest value) is 5, and the infimum (smallest value) is â4. However, the function takes these values only on the sets
5436:
4503:
2947:
202:
As is often the case in measure-theoretic questions, the definition of essential supremum and infimum does not start by asking what a function
787:
1202:
1844:
4603:
3037:
5259:
5090:
3972:
4630:
2339:{\displaystyle f(x)={\begin{cases}5,&{\text{if }}x=1\\-4,&{\text{if }}x=-1\\2,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
3075:
5251:
4435:
4086:
1885:
1199:
is measurable. Similar to the supremum, the essential supremum of a function is characterised by the following property:
1301:
538:
5037:
4361:
1428:
1039:
5431:
4498:
3521:
4417:
17:
5388:
5378:
5188:
5097:
4861:
984:
465:
4397:
4377:
4717:
3463:{\displaystyle \operatorname {ess} \sup(fg)~\leq ~(\operatorname {ess} \sup f)\,(\operatorname {ess} \sup g).}
2143:{\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{a\in \mathbb {R} :f(x)\geq a{\text{ for almost all }}x\in X\}}
5426:
5373:
5267:
5173:
4493:
4427:
4331:
4214:
5292:
5272:
5236:
5160:
4880:
4596:
5414:
5193:
5155:
5107:
4481:
4351:
376:
2917:
5497:
5319:
5287:
5277:
5198:
5165:
4796:
4705:
4445:
4387:
4244:
3875:
3478:
1514:
3231:{\displaystyle \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \sup f~\leq ~\sup f.}
2907:{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{if }}x\neq 0\\0,&{\text{if }}x=0.\\\end{cases}}}
1140:
5336:
5241:
5017:
4945:
4450:
4382:
1105:
5326:
4402:
3787:
3675:
2838:
2436:
2255:
5409:
4855:
4786:
4476:
4455:
4392:
645:
4722:
3334:{\displaystyle +\infty ~=~\operatorname {ess} \inf f~\geq ~\operatorname {ess} \sup f~=~-\infty .}
3123:
2532:
5502:
5178:
4936:
4896:
4589:
4257:
4079:
2695:
2605:
1579:
1344:
723:
581:
5461:
5361:
5183:
4905:
4751:
4407:
4336:
4229:
4209:
3937:
2786:
2760:
2578:
412:
2662:
2188:
2153:
2043:
5022:
4975:
4970:
4965:
4807:
4690:
4648:
4234:
4126:
2558:
2555:. This function is unbounded both from above and from below, so its supremum and infimum are
2377:
1176:
758:
138:
2634:
2033:{\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}}
1768:{\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }=\{a\in \mathbb {R} :\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}}
1402:
1275:
619:
512:
5331:
5297:
5205:
4915:
4870:
4712:
4635:
4412:
4298:
4183:
3830:
2351:
1078:
1614:
1559:
1379:
1252:
83:
8:
5314:
5304:
5150:
5114:
4940:
4669:
4626:
4568:
4356:
4239:
4178:
4147:
3917:
is contained in a set of measure zero. Alternatively, one can assume that the measure is
112:
55:
4992:
2737:
1657:
418:
5507:
5466:
5226:
5211:
4910:
4791:
4769:
4538:
4440:
4346:
4293:
4219:
4152:
4072:
4058:
3781:
3366:
3346:
3241:
2211:
1637:
1494:
1466:
1182:
1019:
960:
703:
677:
445:
353:
333:
309:
289:
269:
249:
225:
205:
177:
5383:
5119:
5080:
5075:
4982:
4900:
4685:
4658:
4326:
68:
63:
4038:
5400:
5309:
5085:
5070:
5060:
5045:
5012:
5007:
4997:
4875:
4850:
4665:
4528:
4467:
4288:
4188:
4143:
4131:
3918:
3566:
2182:
3565:
consisting of all of measurable functions that are bounded almost everywhere is a
5476:
5456:
5231:
5129:
5124:
5102:
4960:
4925:
4845:
4739:
2552:
5366:
5221:
5216:
5027:
5002:
4955:
4885:
4865:
4825:
4815:
4612:
4341:
4157:
3872:
For nonmeasurable functions the definition has to be modified by assuming that
51:
5491:
5471:
5134:
5055:
5050:
4950:
4920:
4890:
4840:
4835:
4830:
4820:
4734:
4653:
4553:
4548:
4533:
4523:
4224:
4138:
4113:
3473:
950:{\displaystyle U_{f}=\{a\in \mathbb {R} :f^{-1}(a,\infty )=\varnothing \}\,}
5065:
4987:
4727:
4310:
4109:
4050:
4764:
3027:{\displaystyle \mu (\{x\in \mathbb {R} :1/x>a\})\geq {\tfrac {1}{|a|}}}
4930:
4041:: Treatise On Analysis, Vol. II. Associated Press, New York 1976. p 172f.
696:
408:
31:
4774:
4563:
4254:
4054:
1834:{\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=\inf U_{f}^{\mathrm {ess} }}
4756:
4700:
4695:
4558:
4543:
3856: â Function spaces generalizing finite-dimensional p norm spaces
869:
4781:
4640:
4198:
4167:
4118:
4095:
3827:
3570:
3517:
439:
327:
73:
47:
4581:
978:
43:
194:
is peculiar. The essential infimum is defined in a similar way.
1242:{\displaystyle f(x)\leq \operatorname {ess} \sup f\leq \infty }
58:, where one often deals with statements that are not valid for
1875:{\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }\neq \varnothing ,}
4064:
3766:
2900:
2515:
2332:
3065:{\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }=\varnothing }
2040:
if the set of essential lower bounds is nonempty, and as
2063:
otherwise; again there is an alternative expression as
4013:{\displaystyle \operatorname {ess} \sup |f|=-\infty .}
3001:
861:{\displaystyle f^{-1}(a,\infty )=\{x\in X:f(x)>a\}}
4260:
3975:
3940:
3878:
3833:
3790:
3578:
3524:
3481:
3389:
3369:
3349:
3264:
3244:
3161:
3126:
3078:
3040:
2950:
2920:
2817:
2789:
2763:
2740:
2698:
2665:
2637:
2608:
2581:
2561:
2535:
2415:
2380:
2354:
2234:
2214:
2191:
2156:
2069:
2046:
1946:
1888:
1847:
1789:
1683:
1660:
1640:
1617:
1582:
1562:
1517:
1497:
1469:
1431:
1405:
1382:
1347:
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1278:
1255:
1205:
1185:
1143:
1108:
1081:
1042:
1022:
987:
963:
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584:
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379:
356:
336:
312:
292:
272:
252:
228:
208:
180:
141:
115:
86:
3106:{\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty .}
1179:
space and, for simplicity, assume that the function
1913:{\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty }
4273:
4012:
3961:
3909:
3846:
3811:
3772:
3556:
3508:
3462:
3375:
3355:
3333:
3250:
3230:
3147:
3105:
3064:
3026:
2937:
2906:
2801:
2775:
2749:
2726:
2682:
2651:
2623:
2593:
2567:
2543:
2521:
2398:
2366:
2338:
2220:
2200:
2165:
2142:
2055:
2032:
1912:
1874:
1833:
1767:
1669:
1646:
1623:
1603:
1568:
1548:
1503:
1475:
1455:
1417:
1388:
1368:
1334:{\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}
1333:
1290:
1261:
1241:
1191:
1167:
1126:
1094:
1067:
1028:
1008:
969:
949:
860:
776:
747:
712:
686:
666:
634:
605:
571:{\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}
570:
527:
498:
454:
430:
399:
362:
342:
318:
298:
278:
258:
234:
214:
186:
165:
127:
101:
1456:{\displaystyle \operatorname {ess} \sup f\leq a.}
5489:
4059:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
3982:
3684:
3598:
3557:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}
3448:
3429:
3396:
3307:
3286:
3219:
3204:
3183:
3162:
3085:
2085:
2076:
1962:
1953:
1895:
1805:
1796:
1438:
1227:
1109:
1052:
1043:
988:
649:
484:
1775:be the set of essential upper bounds. Then the
266:), but rather by asking for the set of points
4597:
4080:
5342:RieszâMarkovâKakutani representation theorem
3664:
3601:
3586:
3579:
3343:If the essential supremums of two functions
2991:
2957:
2390:
2381:
2361:
2355:
2137:
2088:
2027:
2015:
1988:
1965:
1762:
1702:
1328:
1319:
943:
892:
855:
822:
565:
556:
462:is characterized by the following property:
1009:{\displaystyle \inf \varnothing =+\infty .}
499:{\displaystyle f(x)\leq \sup f\leq \infty }
109:that is equal to zero everywhere except at
5437:Vitale's random BrunnâMinkowski inequality
4604:
4590:
4504:Vitale's random BrunnâMinkowski inequality
4087:
4073:
2631:It follows that the essential supremum is
2409:As another example, consider the function
3612:
3438:
2967:
2928:
2692:On the other hand, consider the function
2537:
2508:
2500:
2466:
2098:
1975:
1712:
1312:
946:
902:
549:
393:
4049:This article incorporates material from
1923:Exactly in the same way one defines the
14:
5490:
27:Infimum and supremum almost everywhere
4585:
4068:
5450:Applications & related
4517:Applications & related
3784:of a function's absolute value when
4436:Marcinkiewicz interpolation theorem
400:{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }
24:
4611:
4362:Symmetric decreasing rearrangement
4266:
4004:
3901:
3590:
3534:
3528:
3491:
3325:
3268:
3097:
2938:{\displaystyle a\in \mathbb {R} ,}
2793:
2767:
2585:
2562:
2192:
2160:
2050:
1907:
1825:
1822:
1819:
1747:
1540:
1325:
1236:
1153:
1121:
1000:
931:
813:
562:
493:
25:
5519:
3910:{\displaystyle f^{-1}(a,\infty )}
3509:{\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ),}
3059:
2185:and its corresponding đ-algebra
1866:
1549:{\displaystyle f^{-1}(a,\infty )}
1068:{\displaystyle \sup f=\inf U_{f}}
991:
940:
5379:Lebesgue differentiation theorem
5260:Carathéodory's extension theorem
1168:{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}
2659:while the essential infimum is
1127:{\displaystyle \sup f=+\infty }
674:More concretely, a real number
4057:, which is licensed under the
4032:
3994:
3986:
3950:
3944:
3928:
3904:
3892:
3866:
3812:{\displaystyle \mu (S)\neq 0.}
3800:
3794:
3757:
3751:
3722:
3716:
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197:
3658: for almost every
3383:are both nonnegative, then
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2544:{\displaystyle \mathbb {Q} }
1137:Now assume in addition that
7:
5432:PrĂ©kopaâLeindler inequality
4499:PrĂ©kopaâLeindler inequality
4352:Locally integrable function
4274:{\displaystyle L^{\infty }}
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2176:
1576:-measure zero, That is, if
1075:if the set of upper bounds
10:
5524:
5374:Lebesgue's density theorem
4245:Square-integrable function
2757:Its essential supremum is
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2624:{\displaystyle \arctan x.}
2125: for almost all
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1463:More concretely, a number
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4718:Carathéodory's criterion
4477:Isoperimetric inequality
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306:equals a specific value
5415:BrunnâMinkowski theorem
5284:Decomposition theorems
4482:BrunnâMinkowski theorem
3258:has measure zero then
2568:{\displaystyle \infty }
2399:{\displaystyle \{-1\},}
1931:as the supremum of the
777:{\displaystyle x\in X;}
166:{\displaystyle f(0)=1,}
72:, that is, except on a
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5362:Disintegration theorem
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5038:Particular measures
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4357:Measurable function
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4230:Parseval's identity
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74:set of measure zero
56:functional analysis
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4752:Locally measurable
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3238:and otherwise, if
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2208:Define a function
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455:{\displaystyle f}
415:defined on a set
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319:{\displaystyle y}
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259:{\displaystyle f}
235:{\displaystyle x}
215:{\displaystyle f}
187:{\displaystyle f}
69:almost everywhere
50:, but adapted to
36:essential infimum
18:Essential infimum
16:(Redirected from
5515:
5420:Milman's reverse
5403:
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5354:
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4745:infimum/supremum
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4582:
4529:Fourier analysis
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4461:
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