36:
1407:
Homogeneous isotropic linear elastic materials have their elastic properties uniquely determined by any two moduli among these; thus, given any two, any other of the elastic moduli can be calculated according to these formulas, provided both for 3D materials (first part of the table) and for 2D
455:(similar in all directions) materials (solids) have their (linear) elastic properties fully described by two elastic moduli, and one may choose any pair. Given a pair of elastic moduli, all other elastic moduli can be calculated according to formulas in the table below at the end of page.
8387:
6392:
8783:
7584:
5944:
7985:
9572:
7458:
6881:
6734:
6038:
8873:
8673:
8468:
6522:
8153:
9144:
7233:
217:
9290:
7142:
7738:
6207:
669:
Calculate pressure: For each altered volume, perform a DFT calculation to determine the pressure required to maintain that volume. DFT allows for the calculation of stress tensors which provide a direct measure of the internal
6120:
9706:
8993:
8929:
8056:
7871:
9361:
7302:
7651:
529:
Initial structure: Start with a relaxed structure of the material. All atoms should be in a state of minimum energy (i.e., minimum energy state with zero forces on atoms) before any deformations are applied.
8585:
4661:
8215:
6269:
8523:
8272:
6277:
9208:
7060:
6576:
9053:
8266:
7800:
6994:
6445:
4368:
3089:
495:. Overall, conduct tests to ensure that results are independent of computational parameters such as the density of the k-point mesh, the plane-wave cutoff energy, and the size of the simulation cell.
9423:
7364:
6638:
5816:
3632:
9627:
4131:
1931:
5408:
9474:
6932:
6785:
4425:
3504:
4303:
4182:
2979:
483:(DFT) provides reliable methods for determining several forms of elastic moduli that characterise distinct features of a material's reaction to mechanical stresses.Utilize DFT software such as
4849:
4474:
3930:
2491:
8679:
7466:
5826:
5518:
4514:
2021:
5335:
4739:
5003:
676:: Plot the applied pressure against the resulting volume change. The bulk modulus can be calculated from the slope of this curve in the linear elastic region.The bulk modulus is defined as
659:
Initial structure: Start with a relaxed structure of the material. It’s crucial that the material is fully optimized, ensuring that any changes in volume are purely due to applied pressure.
2551:
5642:
2930:
2879:
1980:
4938:
3023:
7879:
4591:
4070:
2421:
2251:
1830:
1671:
5451:
5143:
4701:
3435:
3347:
3243:
2652:
5716:
3551:
554:: Plot the calculated stress versus the applied strain to create a stress-strain curve. The slope of the initial, linear portion of this curve gives Young's modulus. Mathematically,
5231:
3180:
2792:
506:) - apply small, incremental changes in the lattice parameter along a specific axis and compute the corresponding stress response using DFT. Young’s modulus is then calculated as
5753:
5679:
5605:
5568:
3859:
3810:
3717:
2740:
2144:
1720:
3763:
1766:
5082:
3286:
2693:
2292:
2185:
4251:
4550:
4029:
2832:
2055:
1868:
624:: Plot the calculated shear stress against the applied shear strain for each increment.The slope of the stress-strain curve in its linear region provides the shear modulus,
4213:
2375:
9480:
4889:
461:
are special in that they cannot support shear stress, meaning that the shear modulus is always zero. This also implies that Young's modulus for this group is always zero.
1489:
7370:
6793:
6646:
5950:
5271:
4779:
3989:
3960:
3385:
2330:
8791:
8591:
1303:
8397:
6451:
5041:
3670:
3125:
2589:
2093:
1603:
1539:
255:
5174:
1335:
377:
8064:
1564:
1514:
1464:
1439:
1361:
9059:
7148:
379:
Lamé second parameter) describes an object's tendency to shear (the deformation of shape at constant volume) when acted upon by opposing forces; it is defined as
170:
273:
and are fundamental in defining the elastic properties of materials. These constants form the elements of the stiffness matrix in tensor notation, which relates
1387:
1277:
1251:
9214:
7066:
7657:
6126:
312:
Specifying how stress and strain are to be measured, including directions, allows for many types of elastic moduli to be defined. The four primary ones are:
876:"A Review on the Modeling of the Elastic Modulus and Yield Stress of Polymers and Polymer Nanocomposites: Effect of Temperature, Loading Rate and Porosity"
6044:
9635:
8936:
404:) describes volumetric elasticity, or the tendency of an object to deform in all directions when uniformly loaded in all directions; it is defined as
935:"DFT insights into the electronic structure, mechanical behaviour, lattice dynamics and defect processes in the first Sc-based MAX phase Sc2SnC"
8881:
7991:
7806:
9300:
7241:
7592:
8533:
329:, or the tendency of an object to deform along an axis when opposing forces are applied along that axis; it is defined as the ratio of
8382:{\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}}
6387:{\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}}
4597:
8163:
6217:
8474:
1205:
9150:
7002:
548:. This involves solving the Kohn-Sham equations to find the ground state electron density and energy under the strained conditions
6528:
9001:
8221:
7748:
6942:
6400:
4309:
3029:
100:
9371:
7312:
6586:
5764:
3559:
1119:
858:
833:
800:
9578:
4076:
1876:
596:
Initial structure: Start with a relaxed structure of the material. All atoms should be in a state of minimum energy with no
72:
5341:
164:
in the elastic deformation region: A stiffer material will have a higher elastic modulus. An elastic modulus has the form:
9429:
8778:{\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}}
7579:{\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}
6887:
6740:
5939:{\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}
4376:
3443:
484:
304:
are the coordinate directions, these constants are essential for understanding how materials deform under various loads.
4257:
4141:
2936:
992:"DFT based comparative analysis of the physical properties of some binary transition metal carbides XC (X = Nb, Ta, Ti)"
4785:
4433:
3867:
2427:
607:
are typically off-diagonal components in the strain tensor, affecting the shape but not the volume of the crystal cell.
79:
5457:
4481:
1986:
541:, meaning it stretches or compresses the lattice in one direction while keeping other dimensions constant or periodic.
5277:
4707:
119:
4948:
9737:
2499:
53:
7980:{\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}
5611:
2889:
2838:
1939:
86:
4895:
2985:
874:
Alasfar, Reema H.; Ahzi, Said; Barth, Nicolas; Kochkodan, Viktor; Khraisheh, Marwan; Koç, Muammer (2022-01-18).
234:
is the ratio of the change in some parameter caused by the deformation to the original value of the parameter.
9742:
4556:
4035:
2381:
2193:
1772:
1613:
57:
17:
5414:
5088:
4669:
3391:
3292:
3188:
2597:
9732:
5685:
3510:
5182:
3131:
68:
2746:
1198:
743:
5722:
5648:
5574:
5537:
3816:
3769:
3676:
2699:
2101:
1677:
436:
405:
3725:
1726:
990:
Ahmed, Razu; Mahamudujjaman, Md; Afzal, Md Asif; Islam, Md
Sajidul; Islam, R.S.; Naqib, S.H. (May 2023).
666:, either compressing or expanding it. This is typically done by uniformly scaling the lattice parameters.
5047:
3251:
2658:
2257:
2150:
334:
4223:
230:
144:
of an object's or substance's resistance to being deformed elastically (i.e., non-permanently) when a
9567:{\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}}
1183:
1137:
480:
4522:
4001:
2804:
2027:
1840:
544:
Calculate stresses: For each strained configuration, run a DFT calculation to compute the resulting
7453:{\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}
6876:{\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}}
6729:{\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}}
6033:{\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}
4188:
2338:
933:
Hadi, M. A.; Christopoulos, S.-R. G.; Chroneos, A.; Naqib, S. H.; Islam, A. K. M. A. (2022-08-18).
8868:{\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}}
8668:{\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}}
4855:
825:
1470:
1191:
1033:"Elastic properties of bulk and low-dimensional materials using van der Waals density functional"
551:
274:
270:
161:
46:
8463:{\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}}
6517:{\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}}
5243:
4751:
3968:
3939:
3357:
2302:
673:
8148:{\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}
1288:
790:
5013:
3642:
3097:
2561:
2065:
1575:
1520:
600:. (i.e., minimum energy state with zero forces on atoms) before any deformations are applied.
240:
93:
9139:{\displaystyle {\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}
7228:{\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}
5149:
1314:
817:
361:
212:{\displaystyle \delta \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\text{stress}}{\text{strain}}}}
1146:
1054:
326:
228:
is the force causing the deformation divided by the area to which the force is applied and
1545:
1495:
1445:
1420:
1346:
8:
9285:{\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}
7137:{\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}
818:
763:
141:
1150:
1058:
7733:{\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}
6202:{\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}
1372:
1340:
1262:
1256:
1236:
1167:
1132:
1083:
1044:
1032:
967:
934:
910:
875:
748:
611:
604:
555:
499:
317:
145:
1282:
1172:
1115:
1088:
1070:
1013:
972:
954:
915:
897:
854:
829:
796:
768:
713:
663:
534:
6115:{\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}}
1162:
1154:
1078:
1062:
1003:
962:
946:
905:
887:
758:
733:
488:
428:
415:
224:
9701:{\displaystyle {\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}}
603:
Shear strain application: Apply small increments of shear strain to the material.
451:, as used in table of modulus comparisons given below references. Homogeneous and
718:
597:
458:
409:
8988:{\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0}
1366:
1066:
1008:
991:
950:
816:
Beer, Ferdinand P.; Johnston, E. Russell; Dewolf, John; Mazurek, David (2009).
738:
444:
330:
1031:
Choudhary, Kamal; Cheon, Gowoon; Reed, Evan; Tavazza, Francesca (2018-07-12).
9726:
1308:
1133:"Charting the complete elastic properties of inorganic crystalline compounds"
1074:
1017:
958:
901:
723:
586:
545:
346:
1230:
1176:
1092:
976:
919:
728:
649:
621:
617:
396:
384:
380:
892:
412:. The bulk modulus is an extension of Young's modulus to three dimensions.
8924:{\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}}
1158:
8051:{\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}}
7866:{\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}
278:
1213:
9356:{\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}
7297:{\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}
1218:
753:
614:, perform a DFT calculation to determine the resulting stress tensor.
533:
Incremental uniaxial strain: Apply small, incremental strains to the
452:
388:
266:
35:
1049:
538:
7646:{\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1}
8580:{\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })}
4656:{\displaystyle {\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}}
492:
464:
In some texts, the modulus of elasticity is referred to as the
427:) describes the object's tendency to flex when acted upon by a
8210:{\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })}
6264:{\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })}
932:
8518:{\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,}
989:
157:
9203:{\displaystyle 2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,}
7055:{\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,}
265:
Elastic constants are specific parameters that quantify the
6571:{\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}
9048:{\displaystyle (G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })}
8261:{\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}
7795:{\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })}
6989:{\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })}
6440:{\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}
4363:{\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}
3084:{\displaystyle R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}}
849:
Schreiber, Edward; Anderson, O. L.; Soga, Naohiro (1974).
1030:
873:
815:
610:
Stress calculation: For each configuration with applied
475:
9418:{\displaystyle (G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })}
7359:{\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })}
6633:{\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })}
5811:{\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })}
3627:{\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}
662:
Volume changes: Incrementally change the volume of the
237:
Since strain is a dimensionless quantity, the units of
9640:
9622:{\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,}
9485:
9305:
9219:
9064:
8886:
8796:
8684:
8596:
8402:
8277:
8069:
7996:
7884:
7811:
7662:
7597:
7471:
7375:
7246:
7153:
7071:
6798:
6651:
6456:
6282:
6131:
6049:
5955:
5831:
5462:
5419:
5346:
5282:
5187:
5093:
5058:
4953:
4900:
4790:
4712:
4674:
4602:
4561:
4438:
4381:
4314:
4262:
4146:
4126:{\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}
4081:
4046:
3821:
3774:
3730:
3681:
3564:
3515:
3448:
3396:
3297:
3256:
3193:
3136:
2990:
2941:
2894:
2843:
2751:
2704:
2663:
2602:
2504:
2432:
2386:
2268:
2198:
2161:
2106:
1991:
1944:
1926:{\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}
1881:
1777:
1731:
1682:
1618:
9638:
9581:
9483:
9432:
9374:
9303:
9217:
9153:
9062:
9004:
8939:
8884:
8794:
8682:
8594:
8536:
8477:
8400:
8275:
8224:
8166:
8067:
7994:
7882:
7809:
7751:
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Physical property that measures stiffness of material
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1109:
156:The elastic modulus of an object is defined as the
60:. Unsourced material may be challenged and removed.
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387:. The shear modulus is part of the derivation of
371:
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4509:{\displaystyle \nu =0\Leftrightarrow \lambda =0}
2016:{\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}
537:along a particular axis. This strain is usually
5330:{\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}}
4734:{\displaystyle {\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}}
795:(5th ed.). Cengage Learning. p. 198.
789:Askeland, Donald R.; Phulé, Pradeep P. (2006).
468:, while the inverse quantity is referred to as
260:
4998:{\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}}
408:over volumetric strain, and is the inverse of
2546:{\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}}
1199:
788:
1398:
996:Journal of Materials Research and Technology
5637:{\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }=\,}
2925:{\displaystyle {\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}}
2874:{\displaystyle {\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}}
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1110:Hartsuijker, C.; Welleman, J. W. (2001).
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368:
257:will be the same as the units of stress.
120:Learn how and when to remove this message
5446:{\displaystyle {\tfrac {M\nu }{1-\nu }}}
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2647:{\displaystyle {\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}}
792:The science and engineering of materials
337:. It is often referred to simply as the
5711:{\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }=\,}
3546:{\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}}
851:Elastic constants and their measurement
14:
9725:
5226:{\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}
3175:{\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}
2787:{\displaystyle {\tfrac {3K-M}{3K+M}}}
1187:
476:Density functional theory calculation
269:of a material in response to applied
5748:{\displaystyle M_{\mathrm {2D} }=\,}
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1715:{\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}
325:) describes tensile and compressive
58:adding citations to reliable sources
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25:
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4246:{\displaystyle (\lambda ,\,\nu )}
561:is calculated using the formula
34:
1131:De Jong, M.; Chen, Wei (2015).
696:is the change in pressure, and
281:materials. Commonly denoted as
45:needs additional citations for
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782:
13:
1:
4208:{\displaystyle \lambda +2G\,}
2370:{\displaystyle 3K(1-2\nu )\,}
775:
435:Two other elastic moduli are
151:
4884:{\displaystyle 2G(1+\nu )\,}
744:Impulse excitation technique
644:is the applied shear strain.
277:through linear equations in
261:Elastic constants and moduli
7:
1484:{\displaystyle \lambda =\,}
706:
10:
9759:
5266:{\displaystyle (\nu ,\,M)}
4774:{\displaystyle (G,\,\nu )}
3984:{\displaystyle \nu \leq 0}
3955:{\displaystyle \nu \geq 0}
3380:{\displaystyle (E,\,\nu )}
2325:{\displaystyle (K,\,\nu )}
1067:10.1103/PhysRevB.98.014107
1009:10.1016/j.jmrt.2023.04.147
951:10.1038/s41598-022-18336-z
1408:materials (second part).
1406:
1401:
1226:
853:. New York: McGraw-Hill.
481:Density functional theory
3965:The minus sign leads to
1298:{\displaystyle \lambda }
700:is the change in volume.
692:is the original volume,
640:is the shear stress and
308:Types of elastic modulus
9738:Deformation (mechanics)
5036:{\displaystyle (G,\,M)}
3936:The plus sign leads to
3665:{\displaystyle (E,\,M)}
3120:{\displaystyle (E,\,G)}
2584:{\displaystyle (K,\,M)}
2088:{\displaystyle (K,\,G)}
1598:{\displaystyle (K,\,E)}
1534:{\displaystyle \nu =\,}
824:. McGraw Hill. p.
250:{\displaystyle \delta }
9702:
9623:
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