9020:
74:
2031:
5658:
1529:
695:
117:, namely that it can easily be zero for dependent variables. Correlation = 0 (uncorrelatedness) does not imply independence while distance correlation = 0 does imply independence. The first results on distance correlation were published in 2007 and 2009. It was proved that distance covariance is the same as the Brownian covariance. These measures are examples of
2798:
6359:
5337:
1373:
2026:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y):={}&\operatorname {E} +\operatorname {E} \,\operatorname {E} \\&\qquad {}-\operatorname {E} -\operatorname {E} \\={}&\operatorname {E} +\operatorname {E} \,\operatorname {E} \\&\qquad {}-2\operatorname {E} ,\end{aligned}}}
3997:
453:
2473:
4618:
468:
4996:
2530:
3820:
8819:
Other correlational metrics, including kernel-based correlational metrics (such as the
Hilbert-Schmidt Independence Criterion or HSIC) can also detect linear and nonlinear interactions. Both distance correlation and kernel-based metrics can be used in methods such as
6868:
1049:
6063:
3404:
8809:
5653:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} &={\frac {n-1}{n^{2}}}\left\{(n-2)\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)+\operatorname {E} \,\operatorname {E} \right\}\\&={\frac {n-1}{n^{2}}}\operatorname {E} \,\operatorname {E} .\end{aligned}}}
8247:
and the prime denotes independent and identically distributed copies. We need the following generalization of this formula. If U(s), V(t) are arbitrary random processes defined for all real s and t then define the U-centered version of X by
6034:
7314:
5919:
8689:
3870:
245:
70:. One first computes the distance correlation (involving the re-centering of Euclidean distance matrices) between two random vectors, and then compares this value to the distance correlations of many shuffles of the data.
4442:
690:{\displaystyle A_{j,k}:=a_{j,k}-{\overline {a}}_{j\cdot }-{\overline {a}}_{\cdot k}+{\overline {a}}_{\cdot \cdot },\qquad B_{j,k}:=b_{j,k}-{\overline {b}}_{j\cdot }-{\overline {b}}_{\cdot k}+{\overline {b}}_{\cdot \cdot },}
8501:
7488:
1518:
1138:
8238:
2793:{\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)={\frac {1}{c_{p}c_{q}}}\int _{\mathbb {R} ^{p+q}}{\frac {\left|\varphi _{X,Y}(s,t)-\varphi _{X}(s)\varphi _{Y}(t)\right|^{2}}{|s|_{p}^{1+p}|t|_{q}^{1+q}}}\,dt\,ds}
4844:
3668:
3105:
3683:
3107:
is chosen to produce a scale equivariant and rotation invariant measure that doesn't go to zero for dependent variables. One interpretation of the characteristic function definition is that the variables
5342:
4090:
827:
7981:
Brownian covariance is motivated by generalization of the notion of covariance to stochastic processes. The square of the covariance of random variables X and Y can be written in the following form:
6491:
2311:
2255:
2167:
8354:
4140:
6599:
4435:
782:
737:
6068:
1534:
250:
5284:
4742:
7655:
4384:
4247:
7883:
7067:
9421:
8609:
7971:
7738:
5838:
5706:
5329:
6745:
3569:
2123:
6354:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y;\alpha ):={}&\operatorname {E} +\operatorname {E} \,\operatorname {E} \\&\qquad {}-2\operatorname {E} .\end{aligned}}}
5218:
4186:
2211:
906:
7130:
7776:
5753:
5172:
6891:
7806:
5791:
4296:
3224:
2849:
8727:
7826:
6717:
3501:
6394:
2077:
2921:
2885:
4837:
4791:
3477:
7808:
and the product of its marginals. Under this definition, however, the distance variance, rather than the distance standard deviation, is measured in the same units as the
5949:
4329:
7596:
6665:
6632:
4698:
4658:
6517:
3598:
7157:
6737:
6685:
5965:
3452:
7549:
6549:
5106:
5079:
5052:
5025:
7354:
6978:
3480:
7681:
7517:
7923:
7903:
7334:
7177:
6998:
6958:
6938:
6918:
6434:
6414:
3427:
2295:
2275:
8548:(for nonnegative s, t only). (This is twice the covariance of the standard Wiener process; here the factor 2 simplifies the computations.) In this case the (
5845:
3992:{\displaystyle \operatorname {dCor} ^{2}(X,Y)={\frac {\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)}{\sqrt {\operatorname {dVar} ^{2}(X)\,\operatorname {dVar} ^{2}(Y)}}},}
448:{\displaystyle {\begin{aligned}a_{j,k}&=\|X_{j}-X_{k}\|,\qquad j,k=1,2,\ldots ,n,\\b_{j,k}&=\|Y_{j}-Y_{k}\|,\qquad j,k=1,2,\ldots ,n,\end{aligned}}}
8620:
4613:{\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(a_{1}+b_{1}\,\mathbf {C} _{1}\,X,a_{2}+b_{2}\,\mathbf {C} _{2}\,Y)=|b_{1}\,b_{2}|\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)}
51:. Thus, distance correlation measures both linear and nonlinear association between two random variables or random vectors. This is in contrast to
8369:
1368:{\displaystyle a_{\mu }(x):=\operatorname {E} ,\quad D(\mu ):=\operatorname {E} ,\quad d_{\mu }(x,x'):=\|x-x'\|-a_{\mu }(x)-a_{\mu }(x')+D(\mu ).}
7362:
1392:
3218:
is a special case of distance covariance when the two variables are identical. The population value of distance variance is the square root of
141:
106:
7182:
9524:
7987:
2924:
2521:
4991:{\displaystyle \operatorname {dCov} (X_{1}+X_{2},Y_{1}+Y_{2})\leq \operatorname {dCov} (X_{1},Y_{1})+\operatorname {dCov} (X_{2},Y_{2}).}
3815:{\displaystyle \operatorname {dVar} _{n}^{2}(X):=\operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,X)={\tfrac {1}{n^{2}}}\sum _{k,\ell }A_{k,\ell }^{2},}
3603:
2991:
2468:{\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)=\operatorname {cov} (\|X-X'\|,\|Y-Y'\|)-2\operatorname {cov} (\|X-X'\|,\|Y-Y''\|).}
1081:) determines a consistent multivariate test of independence of random vectors in arbitrary dimensions. For an implementation see
4038:
9294:
Székely, Gåbor J.; Rizzo, Maria L.; Bakirov, Nail K. (2007). "Measuring and testing independence by correlation of distances".
793:
8506:
whenever the right-hand side is nonnegative and finite. The most important example is when U and V are two-sided independent
6439:
8254:
4095:
6554:
4389:
748:
703:
9529:
9500:
3182:
in the numerator of the characteristic function definition of distance covariance is simply the classical covariance of
5239:
4006:
is defined by substituting the sample distance covariance and distance variances for the population coefficients above.
124:
The distance correlation is derived from a number of other quantities that are used in its specification, specifically:
4703:
7609:
6863:{\displaystyle \operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y;\alpha ):={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k,\ell }A_{k,\ell }\,B_{k,\ell }.}
4345:
4201:
9138:
7840:
7003:
1044:{\displaystyle \operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y):={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}A_{j,k}\,B_{j,k}.}
109:, is mainly sensitive to a linear relationship between two variables. Distance correlation was introduced in 2005 by
48:
36:
8566:
7931:
7698:
5798:
5666:
5289:
4257:
samples respectively are almost surely equal and if we assume that these subspaces are equal, then in this subspace
9386:
9341:
9230:
9150:
9072:
3510:
5179:
4147:
7072:
8363:
the V-centered version of Y. The (U,V) covariance of (X,Y) is defined as the nonnegative number whose square is
7743:
5720:
8825:
8821:
63:
9519:
5111:
9442:
Székely, Gabor J.; Rizzo, Maria L. (2014). "Partial
Distance Correlation with Methods for Dissimilarities".
3399:{\displaystyle \operatorname {dVar} ^{2}(X):=\operatorname {E} +\operatorname {E} ^{2}-2\operatorname {E} ,}
8804:{\displaystyle \operatorname {cov} _{\mathrm {id} }(X,Y)=\left\vert \operatorname {cov} (X,Y)\right\vert .}
6876:
7785:
5758:
4260:
2216:
2128:
2806:
2081:
7811:
6690:
3486:
2172:
6367:
2045:
2514:
9336:
9067:
8614:
There is a surprising coincidence: The
Brownian covariance is the same as the distance covariance:
2890:
2854:
9444:
9296:
4796:
4750:
4018:
3830:
1090:
52:
5932:
4312:
7554:
6637:
6604:
4663:
4623:
2478:
This identity shows that the distance covariance is not the same as the covariance of distances,
6029:{\displaystyle \operatorname {dVar} (X+Y)\leq \operatorname {dVar} (X)+\operatorname {dVar} (Y)}
2297:
and are similarly iid. Distance covariance can be expressed in terms of the classical
Pearson's
47:. The population distance correlation coefficient is zero if and only if the random vectors are
6496:
3574:
8701:
On the other hand, if we replace the
Brownian motion with the deterministic identity function
7135:
6722:
6670:
110:
9279:
9463:
9239:
9110:
7522:
6522:
5084:
5057:
5030:
5003:
137:
7928:
Under these alternate definitions, the distance correlation is also defined as the square
7339:
6963:
8:
7925:
distance, and there exists an unbiased estimator for the population distance covariance.
7660:
7496:
3457:
9467:
9243:
9114:
6057:
Distance covariance can be generalized to include powers of
Euclidean distance. Define
3432:
9479:
9453:
9419:
Székely, Gåbor J.; Rizzo, Maria L. (2012). "On the uniqueness of distance covariance".
9395:
9363:
9323:
9305:
9216:
9198:
9177:
9159:
9081:
7908:
7888:
7319:
7162:
6983:
6943:
6923:
6903:
6419:
6399:
5914:{\displaystyle \operatorname {dVar} (A+b\,\mathbf {C} \,X)=|b|\operatorname {dVar} (X)}
4307:
3412:
2280:
2260:
237:
188:
24:
9228:
Pearson, K. (1895a). "Note on regression and inheritance in the case of two parents".
9368:
9134:
8847:
8829:
9483:
9220:
9181:
8684:{\displaystyle \operatorname {cov} _{\mathrm {W} }(X,Y)=\operatorname {dCov} (X,Y),}
5233:
This last property is the most important effect of working with centered distances.
2524:
of the random variables and the product of their marginal characteristic functions:
9471:
9430:
9405:
9358:
9350:
9327:
9315:
9266:
9208:
9169:
9091:
6898:
67:
44:
9504:
9130:
8507:
7779:
207:
118:
56:
6493:. It is important to note that this characterization does not hold for exponent
73:
9319:
8841:
8511:
8244:
3504:
459:
9497:
9434:
6739:
sample distance covariance can be defined as the nonnegative number for which
9513:
9270:
7603:
2257:
denote independent and identically distributed (iid) copies of the variables
40:
8496:{\displaystyle \operatorname {cov} _{U,V}^{2}(X,Y):=\operatorname {E} \left}
9372:
9148:
Kosorok, Michael R. (2009). "Discussion of: Brownian distance covariance".
6894:
3826:
9410:
9381:
7483:{\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y):=\operatorname {E} {\big }.}
1513:{\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y):=\operatorname {E} {\big }.}
8359:
whenever the subtracted conditional expected value exists and denote by Y
2169:
are independent and identically distributed. The primed random variables
114:
94:
9173:
9096:
7356:(in a possibly different metric space with finite first moment), define
7309:{\displaystyle d_{\mu }(x,x'):=d(x,x')-a_{\mu }(x)-a_{\mu }(x')+D(\mu )}
9475:
9354:
9257:
8718:
2298:
1378:
Finally, define the population value of squared distance covariance of
830:
20:
9212:
4142:; this is in contrast to Pearson's correlation, which can be negative.
2513:
Alternatively, the distance covariance can be defined as the weighted
9280:"energy: E-Statistics: Multivariate Inference via the Energy of Data"
8233:{\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)^{2}=\operatorname {E} \left}
9252:
3833:
introduced in 1912 (but Gini did not work with centered distances).
3209:
7599:
9458:
9400:
9310:
9203:
9164:
9086:
6041:
Equality holds in (iv) if and only if one of the random variables
1523:
One can show that this is equivalent to the following definition:
8883:
8881:
8879:
3190:. The characteristic function definition clearly shows that dCov(
7686:
7519:
iff both metric spaces have negative type. Here, a metric space
9189:
Lyons, Russell (2014). "Distance covariance in metric spaces".
7976:
3663:{\displaystyle \operatorname {E} ^{2}=(\operatorname {E} )^{2}}
3100:{\displaystyle ({c_{p}c_{q}}{|s|_{p}^{1+p}|t|_{q}^{1+q}})^{-1}}
8876:
191:
from a pair of real valued or vector valued random variables (
4009:
For easy computation of sample distance correlation see the
875:(a scalar) is simply the arithmetic average of the products
113:
in several lectures to address this deficiency of
Pearson's
8995:
8993:
8902:
8900:
8898:
8896:
6601:
is a deterministic function of the
Pearson correlation. If
4249:
implies that dimensions of the linear subspaces spanned by
1120:-dimensional Euclidean space with probability distribution
1108:-dimensional Euclidean space with probability distribution
8917:
8915:
4085:{\displaystyle 0\leq \operatorname {dCor} _{n}(X,Y)\leq 1}
8927:
822:{\displaystyle \textstyle {\overline {a}}_{\cdot \cdot }}
8990:
8978:
8893:
8717:) is simply the absolute value of the classical Pearson
7606:. If both metric spaces have strong negative type, then
6486:{\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y;\alpha )=0}
3481:
independent and identically distributed random variables
8954:
8912:
8349:{\displaystyle X_{U}:=U(X)-\operatorname {E} _{X}\left}
136:. These quantities take the same roles as the ordinary
85:) points, with the distance correlation coefficient of
55:, which can only detect linear association between two
4135:{\displaystyle 0\leq \operatorname {dCor} (X,Y)\leq 1}
3856:
of two random variables is obtained by dividing their
3754:
2220:
2176:
2132:
2085:
2049:
797:
752:
707:
8730:
8623:
8569:
8372:
8257:
7990:
7934:
7911:
7891:
7843:
7814:
7788:
7746:
7701:
7663:
7612:
7557:
7525:
7499:
7365:
7342:
7322:
7185:
7165:
7138:
7075:
7006:
6986:
6966:
6946:
6926:
6906:
6879:
6748:
6725:
6693:
6673:
6640:
6607:
6557:
6525:
6499:
6442:
6422:
6402:
6370:
6066:
5968:
5935:
5848:
5840:
if and only if every sample observation is identical.
5801:
5761:
5723:
5669:
5340:
5292:
5242:
5182:
5114:
5087:
5060:
5033:
5006:
4847:
4799:
4753:
4706:
4666:
4626:
4445:
4392:
4348:
4315:
4263:
4204:
4150:
4098:
4041:
3873:
3686:
3606:
3577:
3513:
3489:
3460:
3435:
3415:
3227:
2994:
2893:
2857:
2809:
2533:
2314:
2283:
2263:
2219:
2175:
2131:
2084:
2048:
1532:
1395:
1141:
909:
871:) all rows and all columns sum to zero.) The squared
796:
751:
706:
471:
248:
140:
with corresponding names in the specification of the
9032:
9010:
9008:
6594:{\displaystyle \operatorname {dCor} (X,Y;\alpha =2)}
4430:{\displaystyle \operatorname {dCov} _{n}(X,Y)\geq 0}
777:{\displaystyle \textstyle {\overline {a}}_{\cdot k}}
732:{\displaystyle \textstyle {\overline {a}}_{j\cdot }}
9293:
9044:
8887:
8803:
8683:
8603:
8495:
8348:
8232:
7965:
7917:
7897:
7877:
7820:
7800:
7770:
7732:
7675:
7649:
7590:
7543:
7511:
7482:
7348:
7328:
7308:
7171:
7151:
7124:
7061:
6992:
6972:
6952:
6932:
6912:
6885:
6862:
6731:
6711:
6679:
6659:
6626:
6593:
6543:
6511:
6485:
6428:
6408:
6388:
6353:
6028:
5943:
5913:
5832:
5785:
5747:
5700:
5652:
5323:
5279:{\displaystyle \operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y)}
5278:
5212:
5166:
5100:
5073:
5046:
5019:
4990:
4831:
4785:
4736:
4692:
4652:
4612:
4429:
4378:
4323:
4290:
4241:
4180:
4134:
4084:
3991:
3814:
3662:
3592:
3563:
3495:
3471:
3446:
3421:
3398:
3099:
2915:
2879:
2843:
2792:
2467:
2289:
2269:
2249:
2205:
2161:
2117:
2071:
2025:
1512:
1367:
1043:
821:
776:
731:
689:
447:
9005:
7885:In this case, the distance standard deviation of
4737:{\displaystyle \mathbf {C} _{1},\mathbf {C} _{2}}
3864:. The distance correlation is the square root of
3210:Distance variance and distance standard deviation
9511:
7650:{\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)=0}
4379:{\displaystyle \operatorname {dCov} (X,Y)\geq 0}
4242:{\displaystyle \operatorname {dCor} _{n}(X,Y)=1}
845:values. (In the matrices of centered distances (
8966:
7878:{\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y).}
7062:{\displaystyle a_{\mu }(x):=\operatorname {E} }
8604:{\displaystyle \operatorname {cov} _{W}(X,Y).}
7966:{\displaystyle \operatorname {dCor} ^{2}(X,Y)}
7740:, rather than the squared coefficient itself.
7733:{\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)}
5833:{\displaystyle \operatorname {dVar} _{n}(X)=0}
5701:{\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)}
5324:{\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)}
142:Pearson product-moment correlation coefficient
62:Distance correlation can be used to perform a
9379:
9334:
9068:"Discussion of: Brownian distance covariance"
8984:
8948:
8906:
8220:
8166:
8159:
8131:
8124:
8070:
8063:
8035:
7687:Alternative definition of distance covariance
7472:
7405:
3564:{\displaystyle f^{2}(\cdot )=(f(\cdot ))^{2}}
1502:
1435:
9441:
9418:
9380:Székely, Gåbor J.; Rizzo, Maria L. (2009b).
9335:Székely, Gåbor J.; Rizzo, Maria L. (2009a).
9277:
8999:
8960:
8933:
8921:
7977:Alternative formulation: Brownian covariance
6332:
6314:
6304:
6286:
6249:
6231:
6209:
6191:
6167:
6149:
6139:
6121:
5637:
5620:
5604:
5587:
5532:
5515:
5499:
5482:
5213:{\displaystyle \operatorname {dCov} (X,Y)=0}
4181:{\displaystyle \operatorname {dCor} (X,Y)=0}
3387:
3370:
3366:
3349:
3328:
3311:
3280:
3262:
2456:
2439:
2433:
2416:
2395:
2378:
2372:
2355:
2010:
1993:
1989:
1972:
1941:
1924:
1908:
1891:
1873:
1856:
1852:
1835:
1809:
1792:
1788:
1771:
1753:
1736:
1732:
1715:
1687:
1670:
1654:
1637:
1619:
1602:
1598:
1581:
1295:
1278:
1185:
1173:
1116:be a random variable that takes values in a
1104:be a random variable that takes values in a
398:
372:
302:
276:
9278:Rizzo, Maria; Székely, Gåbor (2021-02-22).
7125:{\displaystyle D(\mu ):=\operatorname {E} }
7771:{\displaystyle \operatorname {dCov} (X,Y)}
5748:{\displaystyle \operatorname {dVar} (X)=0}
462:. Then take all doubly centered distances
9457:
9409:
9399:
9382:"Rejoinder: Brownian distance covariance"
9362:
9309:
9202:
9163:
9095:
9085:
8944:
8942:
8846:For a related third-order statistic, see
7837:to be the square of the energy distance:
6840:
6313:
6221:
6148:
5873:
5867:
5610:
5505:
4566:
4541:
4528:
4498:
4485:
4279:
4029:
3960:
3369:
2783:
2776:
2601:
1992:
1914:
1855:
1791:
1735:
1660:
1601:
1100:can be defined along the same lines. Let
1021:
157:Let us start with the definition of the
105:The classical measure of dependence, the
9250:
9227:
9121:
9109:. Bologna: Tipografia di Paolo Cuppini.
9065:
9038:
9026:
8871:
8867:
7692:
4336:
839:sample. The notation is similar for the
72:
9147:
9050:
7695:has been defined as the square root of
6687:powers of the corresponding distances,
5167:{\displaystyle X_{1},X_{2},Y_{1},Y_{2}}
3847:
9512:
8939:
152:
93:for each set. Compare to the graph on
9253:"Notes on the history of correlation"
9188:
9014:
8698:is the same as distance correlation.
8514:with expectation zero and covariance
6886:{\displaystyle \operatorname {dCov} }
43:of arbitrary, not necessarily equal,
9422:Statistics & Probability Letters
9104:
8972:
7801:{\displaystyle \operatorname {X} ,Y}
5786:{\displaystyle X=\operatorname {E} }
5711:
4291:{\displaystyle Y=A+b\,\mathbf {C} X}
2250:{\displaystyle \textstyle (X'',Y'')}
2162:{\displaystyle \textstyle (X'',Y'')}
9525:Theory of probability distributions
9066:Bickel, Peter J.; Xu, Ying (2009).
2988:are constants. The weight function
2954:denote the Euclidean dimension of
2844:{\displaystyle \varphi _{X,Y}(s,t)}
2118:{\displaystyle \textstyle (X',Y'),}
13:
8814:
8740:
8737:
8630:
8415:
8287:
8190:
8142:
8094:
8046:
8022:
7821:{\displaystyle \operatorname {X} }
7815:
7789:
7782:between the joint distribution of
7493:This is non-negative for all such
7397:
7091:
7029:
6712:{\displaystyle 0<\alpha \leq 2}
6277:
6222:
6182:
6112:
5768:
5611:
5578:
5506:
5473:
5345:
3635:
3608:
3496:{\displaystyle \operatorname {E} }
3490:
3340:
3296:
3253:
2520:of the distance between the joint
2206:{\displaystyle \textstyle (X',Y')}
1963:
1915:
1882:
1826:
1762:
1706:
1661:
1628:
1572:
1427:
1210:
1164:
14:
9541:
9491:
9127:-distances and their applications
8951:, p. 1249, Theorem 7, (3.7).
8888:Székely, Rizzo & Bakirov 2007
7905:is measured in the same units as
6389:{\displaystyle 0<\alpha <2}
6052:
5331:. Under independence of X and Y
2072:{\displaystyle \textstyle (X,Y),}
9498:E-statistics (energy statistics)
9387:The Annals of Applied Statistics
9342:The Annals of Applied Statistics
9231:Proceedings of the Royal Society
9151:The Annals of Applied Statistics
9073:The Annals of Applied Statistics
7778:has the property that it is the
5937:
5869:
4724:
4709:
4531:
4488:
4317:
4281:
3124:with different periods given by
1132:have finite expectations. Write
7973:, rather than the square root.
6436:are independent if and only if
6268:
5708:is given by Székely and Rizzo.
2916:{\displaystyle \varphi _{Y}(t)}
2880:{\displaystyle \varphi _{X}(s)}
1954:
1700:
1244:
1194:
579:
404:
308:
107:Pearson correlation coefficient
9337:"Brownian distance covariance"
8860:
8826:independent component analysis
8822:canonical correlation analysis
8790:
8778:
8761:
8749:
8675:
8663:
8651:
8639:
8595:
8583:
8409:
8397:
8333:
8327:
8313:
8307:
8280:
8274:
8215:
8196:
8154:
8148:
8119:
8100:
8058:
8052:
8010:
7997:
7960:
7948:
7869:
7857:
7831:Alternately, one could define
7765:
7753:
7727:
7715:
7638:
7626:
7585:
7558:
7538:
7526:
7467:
7450:
7437:
7420:
7391:
7379:
7303:
7297:
7288:
7277:
7261:
7255:
7239:
7222:
7213:
7196:
7119:
7116:
7110:
7097:
7085:
7079:
7056:
7053:
7041:
7035:
7023:
7017:
6980:in a metric space with metric
6785:
6767:
6588:
6564:
6538:
6526:
6474:
6456:
6341:
6283:
6258:
6228:
6218:
6188:
6176:
6118:
6102:
6084:
6023:
6017:
6005:
5999:
5987:
5975:
5908:
5902:
5892:
5884:
5877:
5855:
5821:
5815:
5780:
5774:
5736:
5730:
5695:
5683:
5640:
5617:
5607:
5584:
5535:
5512:
5502:
5479:
5467:
5455:
5439:
5427:
5387:
5384:
5372:
5351:
5318:
5306:
5273:
5261:
5201:
5189:
5000:Equality holds if and only if
4982:
4956:
4944:
4918:
4906:
4854:
4826:
4800:
4780:
4754:
4607:
4595:
4578:
4552:
4545:
4459:
4418:
4406:
4367:
4355:
4230:
4218:
4169:
4157:
4123:
4111:
4073:
4061:
3980:
3974:
3957:
3951:
3933:
3921:
3899:
3887:
3747:
3735:
3711:
3705:
3651:
3647:
3641:
3632:
3626:
3620:
3587:
3581:
3552:
3548:
3542:
3536:
3530:
3524:
3390:
3346:
3331:
3308:
3289:
3259:
3247:
3241:
3116:are cyclic representations of
3085:
3062:
3053:
3031:
3022:
2995:
2910:
2904:
2874:
2868:
2838:
2826:
2752:
2743:
2721:
2712:
2696:
2690:
2677:
2671:
2655:
2643:
2559:
2547:
2459:
2413:
2398:
2352:
2340:
2328:
2243:
2221:
2199:
2177:
2155:
2133:
2108:
2086:
2062:
2050:
2013:
1969:
1944:
1921:
1911:
1888:
1876:
1832:
1812:
1768:
1756:
1712:
1690:
1667:
1657:
1634:
1622:
1578:
1562:
1550:
1497:
1480:
1467:
1450:
1421:
1409:
1359:
1353:
1344:
1333:
1317:
1311:
1272:
1255:
1238:
1235:
1229:
1216:
1204:
1198:
1188:
1170:
1158:
1152:
940:
928:
833:of the distance matrix of the
147:
1:
9059:
6519:; in this case for bivariate
4832:{\displaystyle (X_{2},Y_{2})}
4786:{\displaystyle (X_{1},Y_{1})}
4024:
100:
5944:{\displaystyle \mathbf {C} }
4324:{\displaystyle \mathbf {C} }
3862:distance standard deviations
2502:). This can be zero even if
2042:denotes expected value, and
804:
759:
714:
670:
647:
624:
562:
539:
516:
7:
8835:
7591:{\displaystyle (M,d^{1/2})}
6660:{\displaystyle b_{k,\ell }}
6627:{\displaystyle a_{k,\ell }}
5929:, and orthonormal matrices
4700:, and orthonormal matrices
4693:{\displaystyle b_{1},b_{2}}
4653:{\displaystyle a_{1},a_{2}}
4004:sample distance correlation
3838:distance standard deviation
130:distance standard deviation
10:
9546:
9530:Covariance and correlation
9320:10.1214/009053607000000505
7179:has finite first moment),
3840:is the square root of the
873:sample distance covariance
458:where ||⋅ ||denotes
236:) containing all pairwise
159:sample distance covariance
9435:10.1016/j.spl.2012.08.007
9191:The Annals of Probability
8985:Székely & Rizzo 2009b
8949:Székely & Rizzo 2009a
8907:Székely & Rizzo 2009a
6512:{\displaystyle \alpha =2}
5921:for all constant vectors
5663:An unbiased estimator of
5286:is a biased estimator of
5174:are mutually independent.
4620:for all constant vectors
3593:{\displaystyle f(\cdot )}
9445:The Annals of Statistics
9297:The Annals of Statistics
9122:Klebanov, L. B. (2005).
9107:VariabilitĂ e MutabilitĂ
9000:Székely & Rizzo 2014
8961:Székely & Rizzo 2012
8934:Székely & Rizzo 2014
8922:Rizzo & Székely 2021
8854:
7152:{\displaystyle a_{\mu }}
3860:by the product of their
3675:sample distance variance
2925:characteristic functions
1096:The population value of
8556:) covariance is called
6732:{\displaystyle \alpha }
6680:{\displaystyle \alpha }
5108:are both constants, or
5054:are both constants, or
3825:which is a relative of
2522:characteristic function
199:). First, compute the
9271:10.1093/biomet/13.1.25
9133:, Charles University.
8805:
8685:
8605:
8497:
8350:
8234:
7967:
7919:
7899:
7879:
7822:
7802:
7772:
7734:
7677:
7651:
7592:
7545:
7513:
7484:
7350:
7330:
7310:
7173:
7153:
7126:
7063:
6994:
6974:
6954:
6934:
6914:
6887:
6864:
6733:
6713:
6681:
6661:
6628:
6595:
6545:
6513:
6487:
6430:
6410:
6390:
6355:
6030:
5945:
5915:
5834:
5787:
5749:
5702:
5654:
5325:
5280:
5214:
5168:
5102:
5075:
5048:
5021:
4992:
4839:are independent then
4833:
4787:
4747:If the random vectors
4738:
4694:
4654:
4614:
4431:
4380:
4325:
4292:
4243:
4182:
4136:
4086:
3993:
3816:
3677:is the square root of
3664:
3594:
3565:
3497:
3473:
3448:
3423:
3400:
3101:
2917:
2881:
2845:
2794:
2469:
2291:
2271:
2251:
2207:
2163:
2119:
2073:
2027:
1514:
1369:
1045:
1004:
983:
823:
778:
733:
691:
449:
97:
9411:10.1214/09-AOAS312REJ
9251:Pearson, K. (1895b).
8806:
8686:
8606:
8498:
8351:
8235:
7968:
7920:
7900:
7880:
7823:
7803:
7773:
7735:
7678:
7652:
7593:
7551:has negative type if
7546:
7544:{\displaystyle (M,d)}
7514:
7485:
7351:
7331:
7311:
7174:
7154:
7127:
7064:
6995:
6975:
6955:
6935:
6915:
6888:
6865:
6734:
6714:
6682:
6662:
6629:
6596:
6546:
6544:{\displaystyle (X,Y)}
6514:
6488:
6431:
6411:
6391:
6356:
6031:
5962:are independent then
5946:
5916:
5835:
5788:
5750:
5703:
5655:
5326:
5281:
5215:
5169:
5103:
5101:{\displaystyle Y_{2}}
5076:
5074:{\displaystyle X_{2}}
5049:
5047:{\displaystyle Y_{1}}
5022:
5020:{\displaystyle X_{1}}
4993:
4834:
4788:
4739:
4695:
4655:
4615:
4432:
4381:
4326:
4293:
4244:
4183:
4137:
4087:
3994:
3817:
3665:
3595:
3566:
3498:
3474:
3449:
3424:
3401:
3198:) = 0 if and only if
3132:, and the expression
3102:
2918:
2882:
2846:
2795:
2510:are not independent.
2470:
2292:
2272:
2252:
2208:
2164:
2120:
2074:
2028:
1515:
1370:
1046:
984:
963:
824:
790:-th column mean, and
779:
734:
692:
450:
76:
66:of dependence with a
53:Pearson's correlation
9520:Statistical distance
9039:Bickel & Xu 2009
8728:
8696:Brownian correlation
8621:
8567:
8370:
8255:
8243:where E denotes the
7988:
7932:
7909:
7889:
7841:
7812:
7786:
7744:
7699:
7661:
7610:
7555:
7523:
7497:
7363:
7349:{\displaystyle \nu }
7340:
7320:
7183:
7163:
7136:
7073:
7004:
6984:
6973:{\displaystyle \mu }
6964:
6944:
6924:
6904:
6877:
6746:
6723:
6691:
6671:
6638:
6605:
6555:
6523:
6497:
6440:
6420:
6400:
6368:
6064:
5966:
5933:
5846:
5799:
5759:
5721:
5667:
5338:
5290:
5240:
5180:
5112:
5085:
5058:
5031:
5004:
4845:
4797:
4751:
4704:
4664:
4624:
4443:
4390:
4346:
4313:
4261:
4202:
4148:
4096:
4039:
4030:Distance correlation
3871:
3854:distance correlation
3848:Distance correlation
3684:
3604:
3575:
3511:
3487:
3458:
3433:
3413:
3225:
2992:
2891:
2855:
2807:
2531:
2312:
2281:
2261:
2217:
2173:
2129:
2082:
2046:
1530:
1393:
1139:
907:
794:
749:
704:
469:
246:
29:distance correlation
9468:2014arXiv1310.2926S
9244:1895RSPS...58..240P
9174:10.1214/09-AOAS312B
9115:1912vamu.book.....G
9097:10.1214/09-AOAS312A
8558:Brownian covariance
8487:
8456:
8393:
7834:distance covariance
7693:distance covariance
7676:{\displaystyle X,Y}
7512:{\displaystyle X,Y}
6763:
5368:
5257:
4337:Distance covariance
3858:distance covariance
3808:
3731:
3701:
3472:{\displaystyle X''}
3082:
3051:
2772:
2741:
1124:, and suppose that
1098:distance covariance
924:
183: = 1, 2, ...,
153:Distance covariance
134:distance covariance
39:between two paired
33:distance covariance
16:Statistical measure
9503:2019-09-13 at the
9476:10.1214/14-AOS1255
9355:10.1214/09-AOAS312
8828:to yield stronger
8801:
8681:
8601:
8560:and is denoted by
8493:
8467:
8436:
8373:
8346:
8230:
7963:
7915:
7895:
7875:
7818:
7798:
7768:
7730:
7673:
7647:
7588:
7541:
7509:
7480:
7346:
7326:
7306:
7169:
7149:
7122:
7059:
6990:
6970:
6950:
6930:
6910:
6883:
6860:
6823:
6749:
6729:
6709:
6677:
6657:
6624:
6591:
6541:
6509:
6483:
6426:
6406:
6386:
6351:
6349:
6026:
5941:
5911:
5830:
5783:
5745:
5698:
5650:
5648:
5354:
5321:
5276:
5243:
5210:
5164:
5098:
5071:
5044:
5017:
4988:
4829:
4783:
4734:
4690:
4650:
4610:
4427:
4376:
4321:
4308:orthonormal matrix
4288:
4239:
4178:
4132:
4082:
3989:
3812:
3788:
3787:
3770:
3717:
3687:
3660:
3590:
3561:
3493:
3469:
3447:{\displaystyle X'}
3444:
3419:
3396:
3097:
3060:
3029:
2913:
2877:
2841:
2790:
2750:
2719:
2490:‖, ‖
2465:
2287:
2267:
2247:
2246:
2203:
2202:
2159:
2158:
2115:
2114:
2069:
2068:
2023:
2021:
1510:
1365:
1041:
910:
819:
818:
774:
773:
729:
728:
687:
445:
443:
189:statistical sample
98:
25:probability theory
9429:(12): 2278â2282.
9213:10.1214/12-AOP803
9105:Gini, C. (1912).
8848:Distance skewness
8830:statistical power
7918:{\displaystyle X}
7898:{\displaystyle X}
7683:are independent.
7602:to a subset of a
7329:{\displaystyle Y}
7172:{\displaystyle X}
7159:is finite, i.e.,
6993:{\displaystyle d}
6953:{\displaystyle X}
6933:{\displaystyle Y}
6913:{\displaystyle X}
6808:
6806:
6429:{\displaystyle Y}
6409:{\displaystyle X}
5712:Distance variance
5576:
5420:
3984:
3983:
3842:distance variance
3772:
3769:
3422:{\displaystyle X}
3216:distance variance
3206:are independent.
2774:
2592:
2290:{\displaystyle Y}
2270:{\displaystyle X}
961:
807:
762:
717:
673:
650:
627:
565:
542:
519:
208:distance matrices
126:distance variance
77:Several sets of (
9537:
9487:
9461:
9452:(6): 2382â2412.
9438:
9415:
9413:
9403:
9394:(4): 1303â1308.
9376:
9366:
9349:(4): 1236â1265.
9331:
9313:
9304:(6): 2769â2794.
9290:
9288:
9287:
9282:. Version: 1.7-8
9274:
9247:
9224:
9206:
9197:(5): 3284â3305.
9185:
9167:
9158:(4): 1270â1278.
9144:
9118:
9101:
9099:
9089:
9080:(4): 1266â1269.
9054:
9048:
9042:
9036:
9030:
9024:
9018:
9012:
9003:
8997:
8988:
8982:
8976:
8970:
8964:
8958:
8952:
8946:
8937:
8931:
8925:
8919:
8910:
8904:
8891:
8885:
8874:
8864:
8810:
8808:
8807:
8802:
8797:
8793:
8745:
8744:
8743:
8690:
8688:
8687:
8682:
8635:
8634:
8633:
8610:
8608:
8607:
8602:
8579:
8578:
8547:
8537:
8527:
8521:
8512:Wiener processes
8508:Brownian motions
8502:
8500:
8499:
8494:
8492:
8488:
8486:
8485:
8484:
8475:
8466:
8465:
8455:
8454:
8453:
8444:
8435:
8434:
8392:
8387:
8355:
8353:
8352:
8347:
8345:
8341:
8340:
8336:
8295:
8294:
8267:
8266:
8239:
8237:
8236:
8231:
8229:
8225:
8224:
8223:
8214:
8213:
8212:
8211:
8186:
8185:
8184:
8183:
8170:
8169:
8163:
8162:
8135:
8134:
8128:
8127:
8118:
8117:
8116:
8115:
8090:
8089:
8088:
8087:
8074:
8073:
8067:
8066:
8039:
8038:
8018:
8017:
7972:
7970:
7969:
7964:
7944:
7943:
7924:
7922:
7921:
7916:
7904:
7902:
7901:
7896:
7884:
7882:
7881:
7876:
7853:
7852:
7827:
7825:
7824:
7819:
7807:
7805:
7804:
7799:
7777:
7775:
7774:
7769:
7739:
7737:
7736:
7731:
7711:
7710:
7682:
7680:
7679:
7674:
7656:
7654:
7653:
7648:
7622:
7621:
7597:
7595:
7594:
7589:
7584:
7583:
7579:
7550:
7548:
7547:
7542:
7518:
7516:
7515:
7510:
7489:
7487:
7486:
7481:
7476:
7475:
7466:
7449:
7448:
7436:
7419:
7418:
7409:
7408:
7375:
7374:
7355:
7353:
7352:
7347:
7335:
7333:
7332:
7327:
7315:
7313:
7312:
7307:
7287:
7276:
7275:
7254:
7253:
7238:
7212:
7195:
7194:
7178:
7176:
7175:
7170:
7158:
7156:
7155:
7150:
7148:
7147:
7132:, and (provided
7131:
7129:
7128:
7123:
7109:
7108:
7068:
7066:
7065:
7060:
7016:
7015:
6999:
6997:
6996:
6991:
6979:
6977:
6976:
6971:
6959:
6957:
6956:
6951:
6939:
6937:
6936:
6931:
6919:
6917:
6916:
6911:
6899:random variables
6892:
6890:
6889:
6884:
6869:
6867:
6866:
6861:
6856:
6855:
6839:
6838:
6822:
6807:
6805:
6804:
6792:
6762:
6757:
6738:
6736:
6735:
6730:
6718:
6716:
6715:
6710:
6686:
6684:
6683:
6678:
6666:
6664:
6663:
6658:
6656:
6655:
6633:
6631:
6630:
6625:
6623:
6622:
6600:
6598:
6597:
6592:
6550:
6548:
6547:
6542:
6518:
6516:
6515:
6510:
6492:
6490:
6489:
6484:
6452:
6451:
6435:
6433:
6432:
6427:
6415:
6413:
6412:
6407:
6395:
6393:
6392:
6387:
6360:
6358:
6357:
6352:
6350:
6340:
6339:
6330:
6312:
6311:
6302:
6270:
6264:
6257:
6256:
6247:
6217:
6216:
6207:
6175:
6174:
6165:
6147:
6146:
6137:
6109:
6080:
6079:
6048:
6044:
6035:
6033:
6032:
6027:
5961:
5957:
5950:
5948:
5947:
5942:
5940:
5928:
5924:
5920:
5918:
5917:
5912:
5895:
5887:
5872:
5839:
5837:
5836:
5831:
5811:
5810:
5792:
5790:
5789:
5784:
5754:
5752:
5751:
5746:
5707:
5705:
5704:
5699:
5679:
5678:
5659:
5657:
5656:
5651:
5649:
5636:
5603:
5577:
5575:
5574:
5565:
5554:
5546:
5542:
5538:
5531:
5498:
5451:
5450:
5421:
5419:
5418:
5409:
5398:
5367:
5362:
5330:
5328:
5327:
5322:
5302:
5301:
5285:
5283:
5282:
5277:
5256:
5251:
5228:are independent.
5227:
5223:
5219:
5217:
5216:
5211:
5173:
5171:
5170:
5165:
5163:
5162:
5150:
5149:
5137:
5136:
5124:
5123:
5107:
5105:
5104:
5099:
5097:
5096:
5080:
5078:
5077:
5072:
5070:
5069:
5053:
5051:
5050:
5045:
5043:
5042:
5026:
5024:
5023:
5018:
5016:
5015:
4997:
4995:
4994:
4989:
4981:
4980:
4968:
4967:
4943:
4942:
4930:
4929:
4905:
4904:
4892:
4891:
4879:
4878:
4866:
4865:
4838:
4836:
4835:
4830:
4825:
4824:
4812:
4811:
4792:
4790:
4789:
4784:
4779:
4778:
4766:
4765:
4743:
4741:
4740:
4735:
4733:
4732:
4727:
4718:
4717:
4712:
4699:
4697:
4696:
4691:
4689:
4688:
4676:
4675:
4659:
4657:
4656:
4651:
4649:
4648:
4636:
4635:
4619:
4617:
4616:
4611:
4591:
4590:
4581:
4576:
4575:
4565:
4564:
4555:
4540:
4539:
4534:
4527:
4526:
4514:
4513:
4497:
4496:
4491:
4484:
4483:
4471:
4470:
4455:
4454:
4436:
4434:
4433:
4428:
4402:
4401:
4385:
4383:
4382:
4377:
4330:
4328:
4327:
4322:
4320:
4305:
4301:
4298:for some vector
4297:
4295:
4294:
4289:
4284:
4256:
4252:
4248:
4246:
4245:
4240:
4214:
4213:
4196:are independent.
4195:
4191:
4187:
4185:
4184:
4179:
4141:
4139:
4138:
4133:
4091:
4089:
4088:
4083:
4057:
4056:
4013:function in the
3998:
3996:
3995:
3990:
3985:
3970:
3969:
3947:
3946:
3937:
3936:
3917:
3916:
3906:
3883:
3882:
3821:
3819:
3818:
3813:
3807:
3802:
3786:
3771:
3768:
3767:
3755:
3730:
3725:
3700:
3695:
3669:
3667:
3666:
3661:
3659:
3658:
3616:
3615:
3599:
3597:
3596:
3591:
3570:
3568:
3567:
3562:
3560:
3559:
3523:
3522:
3502:
3500:
3499:
3494:
3478:
3476:
3475:
3470:
3468:
3453:
3451:
3450:
3445:
3443:
3428:
3426:
3425:
3420:
3405:
3403:
3402:
3397:
3386:
3365:
3327:
3304:
3303:
3288:
3287:
3278:
3237:
3236:
3181:
3106:
3104:
3103:
3098:
3096:
3095:
3083:
3081:
3070:
3065:
3056:
3050:
3039:
3034:
3025:
3019:
3018:
3017:
3008:
3007:
2946:, respectively,
2938:
2922:
2920:
2919:
2914:
2903:
2902:
2886:
2884:
2883:
2878:
2867:
2866:
2850:
2848:
2847:
2842:
2825:
2824:
2799:
2797:
2796:
2791:
2775:
2773:
2771:
2760:
2755:
2746:
2740:
2729:
2724:
2715:
2709:
2708:
2703:
2699:
2689:
2688:
2670:
2669:
2642:
2641:
2620:
2618:
2617:
2616:
2615:
2604:
2593:
2591:
2590:
2589:
2580:
2579:
2566:
2543:
2542:
2501:
2499:
2489:
2474:
2472:
2471:
2466:
2455:
2432:
2394:
2371:
2324:
2323:
2296:
2294:
2293:
2288:
2276:
2274:
2273:
2268:
2256:
2254:
2253:
2248:
2242:
2231:
2212:
2210:
2209:
2204:
2198:
2187:
2168:
2166:
2165:
2160:
2154:
2143:
2124:
2122:
2121:
2116:
2107:
2096:
2078:
2076:
2075:
2070:
2032:
2030:
2029:
2024:
2022:
2009:
1988:
1956:
1950:
1940:
1907:
1872:
1851:
1823:
1808:
1787:
1752:
1731:
1702:
1696:
1686:
1653:
1618:
1597:
1569:
1546:
1545:
1519:
1517:
1516:
1511:
1506:
1505:
1496:
1479:
1478:
1466:
1449:
1448:
1439:
1438:
1405:
1404:
1374:
1372:
1371:
1366:
1343:
1332:
1331:
1310:
1309:
1294:
1271:
1254:
1253:
1228:
1227:
1151:
1150:
1123:
1111:
1085:function in the
1050:
1048:
1047:
1042:
1037:
1036:
1020:
1019:
1003:
998:
982:
977:
962:
960:
959:
947:
923:
918:
844:
838:
828:
826:
825:
820:
817:
816:
808:
800:
789:
783:
781:
780:
775:
772:
771:
763:
755:
744:
738:
736:
735:
730:
727:
726:
718:
710:
696:
694:
693:
688:
683:
682:
674:
666:
660:
659:
651:
643:
637:
636:
628:
620:
614:
613:
595:
594:
575:
574:
566:
558:
552:
551:
543:
535:
529:
528:
520:
512:
506:
505:
487:
486:
454:
452:
451:
446:
444:
397:
396:
384:
383:
364:
363:
301:
300:
288:
287:
268:
267:
119:energy distances
111:Gåbor J. Székely
68:permutation test
64:statistical test
57:random variables
35:is a measure of
9545:
9544:
9540:
9539:
9538:
9536:
9535:
9534:
9510:
9509:
9505:Wayback Machine
9494:
9285:
9283:
9141:
9131:Karolinum Press
9062:
9057:
9049:
9045:
9037:
9033:
9025:
9021:
9013:
9006:
8998:
8991:
8983:
8979:
8971:
8967:
8959:
8955:
8947:
8940:
8932:
8928:
8920:
8913:
8905:
8894:
8886:
8877:
8865:
8861:
8857:
8838:
8817:
8815:Related metrics
8771:
8767:
8736:
8735:
8731:
8729:
8726:
8725:
8708:
8629:
8628:
8624:
8622:
8619:
8618:
8574:
8570:
8568:
8565:
8564:
8538:| = 2 min(
8529:
8528:| â |
8523:
8522:| + |
8517:
8515:
8478:
8477:
8476:
8471:
8461:
8457:
8447:
8446:
8445:
8440:
8430:
8426:
8425:
8421:
8388:
8377:
8371:
8368:
8367:
8362:
8323:
8319:
8303:
8299:
8290:
8286:
8262:
8258:
8256:
8253:
8252:
8219:
8218:
8205:
8204:
8203:
8199:
8177:
8176:
8175:
8171:
8165:
8164:
8158:
8157:
8130:
8129:
8123:
8122:
8109:
8108:
8107:
8103:
8081:
8080:
8079:
8075:
8069:
8068:
8062:
8061:
8034:
8033:
8032:
8028:
8013:
8009:
7989:
7986:
7985:
7979:
7939:
7935:
7933:
7930:
7929:
7910:
7907:
7906:
7890:
7887:
7886:
7848:
7844:
7842:
7839:
7838:
7813:
7810:
7809:
7787:
7784:
7783:
7780:energy distance
7745:
7742:
7741:
7706:
7702:
7700:
7697:
7696:
7689:
7662:
7659:
7658:
7617:
7613:
7611:
7608:
7607:
7575:
7571:
7567:
7556:
7553:
7552:
7524:
7521:
7520:
7498:
7495:
7494:
7471:
7470:
7459:
7444:
7440:
7429:
7414:
7410:
7404:
7403:
7370:
7366:
7364:
7361:
7360:
7341:
7338:
7337:
7321:
7318:
7317:
7280:
7271:
7267:
7249:
7245:
7231:
7205:
7190:
7186:
7184:
7181:
7180:
7164:
7161:
7160:
7143:
7139:
7137:
7134:
7133:
7104:
7100:
7074:
7071:
7070:
7011:
7007:
7005:
7002:
7001:
6985:
6982:
6981:
6965:
6962:
6961:
6945:
6942:
6941:
6925:
6922:
6921:
6905:
6902:
6901:
6878:
6875:
6874:
6873:One can extend
6845:
6841:
6828:
6824:
6812:
6800:
6796:
6791:
6758:
6753:
6747:
6744:
6743:
6724:
6721:
6720:
6692:
6689:
6688:
6672:
6669:
6668:
6645:
6641:
6639:
6636:
6635:
6612:
6608:
6606:
6603:
6602:
6556:
6553:
6552:
6524:
6521:
6520:
6498:
6495:
6494:
6447:
6443:
6441:
6438:
6437:
6421:
6418:
6417:
6401:
6398:
6397:
6369:
6366:
6365:
6364:Then for every
6348:
6347:
6335:
6331:
6323:
6307:
6303:
6295:
6269:
6262:
6261:
6252:
6248:
6240:
6212:
6208:
6200:
6170:
6166:
6158:
6142:
6138:
6130:
6110:
6108:
6075:
6071:
6067:
6065:
6062:
6061:
6055:
6049:is a constant.
6046:
6042:
6039:
5967:
5964:
5963:
5959:
5955:
5936:
5934:
5931:
5930:
5926:
5922:
5891:
5883:
5868:
5847:
5844:
5843:
5806:
5802:
5800:
5797:
5796:
5760:
5757:
5756:
5755:if and only if
5722:
5719:
5718:
5714:
5674:
5670:
5668:
5665:
5664:
5647:
5646:
5629:
5596:
5570:
5566:
5555:
5553:
5544:
5543:
5524:
5491:
5446:
5442:
5426:
5422:
5414:
5410:
5399:
5397:
5390:
5363:
5358:
5341:
5339:
5336:
5335:
5297:
5293:
5291:
5288:
5287:
5252:
5247:
5241:
5238:
5237:
5231:
5225:
5221:
5220:if and only if
5181:
5178:
5177:
5158:
5154:
5145:
5141:
5132:
5128:
5119:
5115:
5113:
5110:
5109:
5092:
5088:
5086:
5083:
5082:
5065:
5061:
5059:
5056:
5055:
5038:
5034:
5032:
5029:
5028:
5011:
5007:
5005:
5002:
5001:
4976:
4972:
4963:
4959:
4938:
4934:
4925:
4921:
4900:
4896:
4887:
4883:
4874:
4870:
4861:
4857:
4846:
4843:
4842:
4820:
4816:
4807:
4803:
4798:
4795:
4794:
4774:
4770:
4761:
4757:
4752:
4749:
4748:
4728:
4723:
4722:
4713:
4708:
4707:
4705:
4702:
4701:
4684:
4680:
4671:
4667:
4665:
4662:
4661:
4644:
4640:
4631:
4627:
4625:
4622:
4621:
4586:
4582:
4577:
4571:
4567:
4560:
4556:
4551:
4535:
4530:
4529:
4522:
4518:
4509:
4505:
4492:
4487:
4486:
4479:
4475:
4466:
4462:
4450:
4446:
4444:
4441:
4440:
4397:
4393:
4391:
4388:
4387:
4347:
4344:
4343:
4339:
4334:
4316:
4314:
4311:
4310:
4303:
4299:
4280:
4262:
4259:
4258:
4254:
4250:
4209:
4205:
4203:
4200:
4199:
4193:
4189:
4188:if and only if
4149:
4146:
4145:
4097:
4094:
4093:
4052:
4048:
4040:
4037:
4036:
4032:
4027:
3965:
3961:
3942:
3938:
3912:
3908:
3907:
3905:
3878:
3874:
3872:
3869:
3868:
3850:
3831:mean difference
3803:
3792:
3776:
3763:
3759:
3753:
3726:
3721:
3696:
3691:
3685:
3682:
3681:
3654:
3650:
3611:
3607:
3605:
3602:
3601:
3576:
3573:
3572:
3555:
3551:
3518:
3514:
3512:
3509:
3508:
3488:
3485:
3484:
3461:
3459:
3456:
3455:
3436:
3434:
3431:
3430:
3414:
3411:
3410:
3379:
3358:
3320:
3299:
3295:
3283:
3279:
3271:
3232:
3228:
3226:
3223:
3222:
3212:
3175:
3162:
3145:
3133:
3088:
3084:
3071:
3066:
3061:
3052:
3040:
3035:
3030:
3021:
3020:
3013:
3009:
3003:
2999:
2998:
2993:
2990:
2989:
2987:
2978:
2928:
2898:
2894:
2892:
2889:
2888:
2862:
2858:
2856:
2853:
2852:
2814:
2810:
2808:
2805:
2804:
2761:
2756:
2751:
2742:
2730:
2725:
2720:
2711:
2710:
2704:
2684:
2680:
2665:
2661:
2631:
2627:
2626:
2622:
2621:
2619:
2605:
2600:
2599:
2598:
2594:
2585:
2581:
2575:
2571:
2570:
2565:
2538:
2534:
2532:
2529:
2528:
2491:
2481:
2479:
2448:
2425:
2387:
2364:
2319:
2315:
2313:
2310:
2309:
2282:
2279:
2278:
2262:
2259:
2258:
2235:
2224:
2218:
2215:
2214:
2191:
2180:
2174:
2171:
2170:
2147:
2136:
2130:
2127:
2126:
2100:
2089:
2083:
2080:
2079:
2047:
2044:
2043:
2020:
2019:
2002:
1981:
1955:
1948:
1947:
1933:
1900:
1865:
1844:
1824:
1822:
1816:
1815:
1801:
1780:
1745:
1724:
1701:
1694:
1693:
1679:
1646:
1611:
1590:
1570:
1568:
1541:
1537:
1533:
1531:
1528:
1527:
1501:
1500:
1489:
1474:
1470:
1459:
1444:
1440:
1434:
1433:
1400:
1396:
1394:
1391:
1390:
1336:
1327:
1323:
1305:
1301:
1287:
1264:
1249:
1245:
1223:
1219:
1146:
1142:
1140:
1137:
1136:
1121:
1109:
1072:
1062:
1026:
1022:
1009:
1005:
999:
988:
978:
967:
955:
951:
946:
919:
914:
908:
905:
904:
899:
887:
870:
857:
840:
834:
809:
799:
798:
795:
792:
791:
785:
764:
754:
753:
750:
747:
746:
740:
719:
709:
708:
705:
702:
701:
675:
665:
664:
652:
642:
641:
629:
619:
618:
603:
599:
584:
580:
567:
557:
556:
544:
534:
533:
521:
511:
510:
495:
491:
476:
472:
470:
467:
466:
442:
441:
392:
388:
379:
375:
365:
353:
349:
346:
345:
296:
292:
283:
279:
269:
257:
253:
249:
247:
244:
243:
235:
222:
178:
169:
155:
150:
103:
17:
12:
11:
5:
9543:
9533:
9532:
9527:
9522:
9508:
9507:
9493:
9492:External links
9490:
9489:
9488:
9439:
9416:
9377:
9332:
9291:
9275:
9248:
9225:
9186:
9145:
9139:
9119:
9102:
9061:
9058:
9056:
9055:
9043:
9031:
9019:
9004:
8989:
8977:
8965:
8953:
8938:
8926:
8911:
8892:
8875:
8858:
8856:
8853:
8852:
8851:
8844:
8842:RV coefficient
8837:
8834:
8816:
8813:
8812:
8811:
8800:
8796:
8792:
8789:
8786:
8783:
8780:
8777:
8774:
8770:
8766:
8763:
8760:
8757:
8754:
8751:
8748:
8742:
8739:
8734:
8706:
8692:
8691:
8680:
8677:
8674:
8671:
8668:
8665:
8662:
8659:
8656:
8653:
8650:
8647:
8644:
8641:
8638:
8632:
8627:
8612:
8611:
8600:
8597:
8594:
8591:
8588:
8585:
8582:
8577:
8573:
8504:
8503:
8491:
8483:
8480:
8474:
8470:
8464:
8460:
8452:
8449:
8443:
8439:
8433:
8429:
8424:
8420:
8417:
8414:
8411:
8408:
8405:
8402:
8399:
8396:
8391:
8386:
8383:
8380:
8376:
8360:
8357:
8356:
8344:
8339:
8335:
8332:
8329:
8326:
8322:
8318:
8315:
8312:
8309:
8306:
8302:
8298:
8293:
8289:
8285:
8282:
8279:
8276:
8273:
8270:
8265:
8261:
8245:expected value
8241:
8240:
8228:
8222:
8217:
8210:
8207:
8202:
8198:
8195:
8192:
8189:
8182:
8179:
8174:
8168:
8161:
8156:
8153:
8150:
8147:
8144:
8141:
8138:
8133:
8126:
8121:
8114:
8111:
8106:
8102:
8099:
8096:
8093:
8086:
8083:
8078:
8072:
8065:
8060:
8057:
8054:
8051:
8048:
8045:
8042:
8037:
8031:
8027:
8024:
8021:
8016:
8012:
8008:
8005:
8002:
7999:
7996:
7993:
7978:
7975:
7962:
7959:
7956:
7953:
7950:
7947:
7942:
7938:
7914:
7894:
7874:
7871:
7868:
7865:
7862:
7859:
7856:
7851:
7847:
7817:
7797:
7794:
7791:
7767:
7764:
7761:
7758:
7755:
7752:
7749:
7729:
7726:
7723:
7720:
7717:
7714:
7709:
7705:
7688:
7685:
7672:
7669:
7666:
7646:
7643:
7640:
7637:
7634:
7631:
7628:
7625:
7620:
7616:
7587:
7582:
7578:
7574:
7570:
7566:
7563:
7560:
7540:
7537:
7534:
7531:
7528:
7508:
7505:
7502:
7491:
7490:
7479:
7474:
7469:
7465:
7462:
7458:
7455:
7452:
7447:
7443:
7439:
7435:
7432:
7428:
7425:
7422:
7417:
7413:
7407:
7402:
7399:
7396:
7393:
7390:
7387:
7384:
7381:
7378:
7373:
7369:
7345:
7325:
7305:
7302:
7299:
7296:
7293:
7290:
7286:
7283:
7279:
7274:
7270:
7266:
7263:
7260:
7257:
7252:
7248:
7244:
7241:
7237:
7234:
7230:
7227:
7224:
7221:
7218:
7215:
7211:
7208:
7204:
7201:
7198:
7193:
7189:
7168:
7146:
7142:
7121:
7118:
7115:
7112:
7107:
7103:
7099:
7096:
7093:
7090:
7087:
7084:
7081:
7078:
7058:
7055:
7052:
7049:
7046:
7043:
7040:
7037:
7034:
7031:
7028:
7025:
7022:
7019:
7014:
7010:
7000:, then define
6989:
6969:
6949:
6929:
6909:
6882:
6871:
6870:
6859:
6854:
6851:
6848:
6844:
6837:
6834:
6831:
6827:
6821:
6818:
6815:
6811:
6803:
6799:
6795:
6790:
6787:
6784:
6781:
6778:
6775:
6772:
6769:
6766:
6761:
6756:
6752:
6728:
6708:
6705:
6702:
6699:
6696:
6676:
6654:
6651:
6648:
6644:
6621:
6618:
6615:
6611:
6590:
6587:
6584:
6581:
6578:
6575:
6572:
6569:
6566:
6563:
6560:
6540:
6537:
6534:
6531:
6528:
6508:
6505:
6502:
6482:
6479:
6476:
6473:
6470:
6467:
6464:
6461:
6458:
6455:
6450:
6446:
6425:
6405:
6385:
6382:
6379:
6376:
6373:
6362:
6361:
6346:
6343:
6338:
6334:
6329:
6326:
6322:
6319:
6316:
6310:
6306:
6301:
6298:
6294:
6291:
6288:
6285:
6282:
6279:
6276:
6273:
6267:
6265:
6263:
6260:
6255:
6251:
6246:
6243:
6239:
6236:
6233:
6230:
6227:
6224:
6220:
6215:
6211:
6206:
6203:
6199:
6196:
6193:
6190:
6187:
6184:
6181:
6178:
6173:
6169:
6164:
6161:
6157:
6154:
6151:
6145:
6141:
6136:
6133:
6129:
6126:
6123:
6120:
6117:
6114:
6111:
6107:
6104:
6101:
6098:
6095:
6092:
6089:
6086:
6083:
6078:
6074:
6070:
6069:
6054:
6053:Generalization
6051:
6038:
6037:
6025:
6022:
6019:
6016:
6013:
6010:
6007:
6004:
6001:
5998:
5995:
5992:
5989:
5986:
5983:
5980:
5977:
5974:
5971:
5952:
5939:
5910:
5907:
5904:
5901:
5898:
5894:
5890:
5886:
5882:
5879:
5876:
5871:
5866:
5863:
5860:
5857:
5854:
5851:
5841:
5829:
5826:
5823:
5820:
5817:
5814:
5809:
5805:
5794:
5793:almost surely.
5782:
5779:
5776:
5773:
5770:
5767:
5764:
5744:
5741:
5738:
5735:
5732:
5729:
5726:
5715:
5713:
5710:
5697:
5694:
5691:
5688:
5685:
5682:
5677:
5673:
5661:
5660:
5645:
5642:
5639:
5635:
5632:
5628:
5625:
5622:
5619:
5616:
5613:
5609:
5606:
5602:
5599:
5595:
5592:
5589:
5586:
5583:
5580:
5573:
5569:
5564:
5561:
5558:
5552:
5549:
5547:
5545:
5541:
5537:
5534:
5530:
5527:
5523:
5520:
5517:
5514:
5511:
5508:
5504:
5501:
5497:
5494:
5490:
5487:
5484:
5481:
5478:
5475:
5472:
5469:
5466:
5463:
5460:
5457:
5454:
5449:
5445:
5441:
5438:
5435:
5432:
5429:
5425:
5417:
5413:
5408:
5405:
5402:
5396:
5393:
5391:
5389:
5386:
5383:
5380:
5377:
5374:
5371:
5366:
5361:
5357:
5353:
5350:
5347:
5344:
5343:
5320:
5317:
5314:
5311:
5308:
5305:
5300:
5296:
5275:
5272:
5269:
5266:
5263:
5260:
5255:
5250:
5246:
5236:The statistic
5230:
5229:
5209:
5206:
5203:
5200:
5197:
5194:
5191:
5188:
5185:
5175:
5161:
5157:
5153:
5148:
5144:
5140:
5135:
5131:
5127:
5122:
5118:
5095:
5091:
5068:
5064:
5041:
5037:
5014:
5010:
4999:
4998:
4987:
4984:
4979:
4975:
4971:
4966:
4962:
4958:
4955:
4952:
4949:
4946:
4941:
4937:
4933:
4928:
4924:
4920:
4917:
4914:
4911:
4908:
4903:
4899:
4895:
4890:
4886:
4882:
4877:
4873:
4869:
4864:
4860:
4856:
4853:
4850:
4828:
4823:
4819:
4815:
4810:
4806:
4802:
4782:
4777:
4773:
4769:
4764:
4760:
4756:
4745:
4731:
4726:
4721:
4716:
4711:
4687:
4683:
4679:
4674:
4670:
4647:
4643:
4639:
4634:
4630:
4609:
4606:
4603:
4600:
4597:
4594:
4589:
4585:
4580:
4574:
4570:
4563:
4559:
4554:
4550:
4547:
4544:
4538:
4533:
4525:
4521:
4517:
4512:
4508:
4504:
4501:
4495:
4490:
4482:
4478:
4474:
4469:
4465:
4461:
4458:
4453:
4449:
4438:
4426:
4423:
4420:
4417:
4414:
4411:
4408:
4405:
4400:
4396:
4375:
4372:
4369:
4366:
4363:
4360:
4357:
4354:
4351:
4340:
4338:
4335:
4333:
4332:
4319:
4287:
4283:
4278:
4275:
4272:
4269:
4266:
4238:
4235:
4232:
4229:
4226:
4223:
4220:
4217:
4212:
4208:
4197:
4177:
4174:
4171:
4168:
4165:
4162:
4159:
4156:
4153:
4143:
4131:
4128:
4125:
4122:
4119:
4116:
4113:
4110:
4107:
4104:
4101:
4081:
4078:
4075:
4072:
4069:
4066:
4063:
4060:
4055:
4051:
4047:
4044:
4033:
4031:
4028:
4026:
4023:
4000:
3999:
3988:
3982:
3979:
3976:
3973:
3968:
3964:
3959:
3956:
3953:
3950:
3945:
3941:
3935:
3932:
3929:
3926:
3923:
3920:
3915:
3911:
3904:
3901:
3898:
3895:
3892:
3889:
3886:
3881:
3877:
3849:
3846:
3823:
3822:
3811:
3806:
3801:
3798:
3795:
3791:
3785:
3782:
3779:
3775:
3766:
3762:
3758:
3752:
3749:
3746:
3743:
3740:
3737:
3734:
3729:
3724:
3720:
3716:
3713:
3710:
3707:
3704:
3699:
3694:
3690:
3657:
3653:
3649:
3646:
3643:
3640:
3637:
3634:
3631:
3628:
3625:
3622:
3619:
3614:
3610:
3589:
3586:
3583:
3580:
3558:
3554:
3550:
3547:
3544:
3541:
3538:
3535:
3532:
3529:
3526:
3521:
3517:
3505:expected value
3492:
3467:
3464:
3442:
3439:
3418:
3407:
3406:
3395:
3392:
3389:
3385:
3382:
3378:
3375:
3372:
3368:
3364:
3361:
3357:
3354:
3351:
3348:
3345:
3342:
3339:
3336:
3333:
3330:
3326:
3323:
3319:
3316:
3313:
3310:
3307:
3302:
3298:
3294:
3291:
3286:
3282:
3277:
3274:
3270:
3267:
3264:
3261:
3258:
3255:
3252:
3249:
3246:
3243:
3240:
3235:
3231:
3211:
3208:
3171:
3158:
3137:
3094:
3091:
3087:
3080:
3077:
3074:
3069:
3064:
3059:
3055:
3049:
3046:
3043:
3038:
3033:
3028:
3024:
3016:
3012:
3006:
3002:
2997:
2983:
2974:
2962:, and thus of
2912:
2909:
2906:
2901:
2897:
2876:
2873:
2870:
2865:
2861:
2840:
2837:
2834:
2831:
2828:
2823:
2820:
2817:
2813:
2801:
2800:
2789:
2786:
2782:
2779:
2770:
2767:
2764:
2759:
2754:
2749:
2745:
2739:
2736:
2733:
2728:
2723:
2718:
2714:
2707:
2702:
2698:
2695:
2692:
2687:
2683:
2679:
2676:
2673:
2668:
2664:
2660:
2657:
2654:
2651:
2648:
2645:
2640:
2637:
2634:
2630:
2625:
2614:
2611:
2608:
2603:
2597:
2588:
2584:
2578:
2574:
2569:
2564:
2561:
2558:
2555:
2552:
2549:
2546:
2541:
2537:
2476:
2475:
2464:
2461:
2458:
2454:
2451:
2447:
2444:
2441:
2438:
2435:
2431:
2428:
2424:
2421:
2418:
2415:
2412:
2409:
2406:
2403:
2400:
2397:
2393:
2390:
2386:
2383:
2380:
2377:
2374:
2370:
2367:
2363:
2360:
2357:
2354:
2351:
2348:
2345:
2342:
2339:
2336:
2333:
2330:
2327:
2322:
2318:
2305:, as follows:
2286:
2266:
2245:
2241:
2238:
2234:
2230:
2227:
2223:
2201:
2197:
2194:
2190:
2186:
2183:
2179:
2157:
2153:
2150:
2146:
2142:
2139:
2135:
2113:
2110:
2106:
2103:
2099:
2095:
2092:
2088:
2067:
2064:
2061:
2058:
2055:
2052:
2034:
2033:
2018:
2015:
2012:
2008:
2005:
2001:
1998:
1995:
1991:
1987:
1984:
1980:
1977:
1974:
1971:
1968:
1965:
1962:
1959:
1953:
1951:
1949:
1946:
1943:
1939:
1936:
1932:
1929:
1926:
1923:
1920:
1917:
1913:
1910:
1906:
1903:
1899:
1896:
1893:
1890:
1887:
1884:
1881:
1878:
1875:
1871:
1868:
1864:
1861:
1858:
1854:
1850:
1847:
1843:
1840:
1837:
1834:
1831:
1828:
1825:
1821:
1818:
1817:
1814:
1811:
1807:
1804:
1800:
1797:
1794:
1790:
1786:
1783:
1779:
1776:
1773:
1770:
1767:
1764:
1761:
1758:
1755:
1751:
1748:
1744:
1741:
1738:
1734:
1730:
1727:
1723:
1720:
1717:
1714:
1711:
1708:
1705:
1699:
1697:
1695:
1692:
1689:
1685:
1682:
1678:
1675:
1672:
1669:
1666:
1663:
1659:
1656:
1652:
1649:
1645:
1642:
1639:
1636:
1633:
1630:
1627:
1624:
1621:
1617:
1614:
1610:
1607:
1604:
1600:
1596:
1593:
1589:
1586:
1583:
1580:
1577:
1574:
1571:
1567:
1564:
1561:
1558:
1555:
1552:
1549:
1544:
1540:
1536:
1535:
1521:
1520:
1509:
1504:
1499:
1495:
1492:
1488:
1485:
1482:
1477:
1473:
1469:
1465:
1462:
1458:
1455:
1452:
1447:
1443:
1437:
1432:
1429:
1426:
1423:
1420:
1417:
1414:
1411:
1408:
1403:
1399:
1376:
1375:
1364:
1361:
1358:
1355:
1352:
1349:
1346:
1342:
1339:
1335:
1330:
1326:
1322:
1319:
1316:
1313:
1308:
1304:
1300:
1297:
1293:
1290:
1286:
1283:
1280:
1277:
1274:
1270:
1267:
1263:
1260:
1257:
1252:
1248:
1243:
1240:
1237:
1234:
1231:
1226:
1222:
1218:
1215:
1212:
1209:
1206:
1203:
1200:
1197:
1193:
1190:
1187:
1184:
1181:
1178:
1175:
1172:
1169:
1166:
1163:
1160:
1157:
1154:
1149:
1145:
1068:
1058:
1054:The statistic
1052:
1051:
1040:
1035:
1032:
1029:
1025:
1018:
1015:
1012:
1008:
1002:
997:
994:
991:
987:
981:
976:
973:
970:
966:
958:
954:
950:
945:
942:
939:
936:
933:
930:
927:
922:
917:
913:
891:
879:
862:
849:
815:
812:
806:
803:
770:
767:
761:
758:
745:-th row mean,
725:
722:
716:
713:
698:
697:
686:
681:
678:
672:
669:
663:
658:
655:
649:
646:
640:
635:
632:
626:
623:
617:
612:
609:
606:
602:
598:
593:
590:
587:
583:
578:
573:
570:
564:
561:
555:
550:
547:
541:
538:
532:
527:
524:
518:
515:
509:
504:
501:
498:
494:
490:
485:
482:
479:
475:
460:Euclidean norm
456:
455:
440:
437:
434:
431:
428:
425:
422:
419:
416:
413:
410:
407:
403:
400:
395:
391:
387:
382:
378:
374:
371:
368:
366:
362:
359:
356:
352:
348:
347:
344:
341:
338:
335:
332:
329:
326:
323:
320:
317:
314:
311:
307:
304:
299:
295:
291:
286:
282:
278:
275:
272:
270:
266:
263:
260:
256:
252:
251:
227:
214:
174:
165:
154:
151:
149:
146:
102:
99:
41:random vectors
15:
9:
6:
4:
3:
2:
9542:
9531:
9528:
9526:
9523:
9521:
9518:
9517:
9515:
9506:
9502:
9499:
9496:
9495:
9485:
9481:
9477:
9473:
9469:
9465:
9460:
9455:
9451:
9447:
9446:
9440:
9436:
9432:
9428:
9424:
9423:
9417:
9412:
9407:
9402:
9397:
9393:
9389:
9388:
9383:
9378:
9374:
9370:
9365:
9360:
9356:
9352:
9348:
9344:
9343:
9338:
9333:
9329:
9325:
9321:
9317:
9312:
9307:
9303:
9299:
9298:
9292:
9281:
9276:
9272:
9268:
9264:
9260:
9259:
9254:
9249:
9245:
9241:
9237:
9233:
9232:
9226:
9222:
9218:
9214:
9210:
9205:
9200:
9196:
9192:
9187:
9183:
9179:
9175:
9171:
9166:
9161:
9157:
9153:
9152:
9146:
9142:
9140:9788024611525
9136:
9132:
9128:
9124:
9120:
9116:
9112:
9108:
9103:
9098:
9093:
9088:
9083:
9079:
9075:
9074:
9069:
9064:
9063:
9052:
9047:
9040:
9035:
9028:
9027:Klebanov 2005
9023:
9016:
9011:
9009:
9001:
8996:
8994:
8986:
8981:
8974:
8969:
8962:
8957:
8950:
8945:
8943:
8936:, p. 11.
8935:
8930:
8923:
8918:
8916:
8908:
8903:
8901:
8899:
8897:
8889:
8884:
8882:
8880:
8873:
8869:
8866:Pearson
8863:
8859:
8849:
8845:
8843:
8840:
8839:
8833:
8831:
8827:
8823:
8798:
8794:
8787:
8784:
8781:
8775:
8772:
8768:
8764:
8758:
8755:
8752:
8746:
8732:
8724:
8723:
8722:
8720:
8716:
8712:
8704:
8699:
8697:
8678:
8672:
8669:
8666:
8660:
8657:
8654:
8648:
8645:
8642:
8636:
8625:
8617:
8616:
8615:
8598:
8592:
8589:
8586:
8580:
8575:
8571:
8563:
8562:
8561:
8559:
8555:
8551:
8545:
8541:
8536:
8532:
8526:
8520:
8513:
8509:
8489:
8481:
8479:
8472:
8468:
8462:
8458:
8450:
8448:
8441:
8437:
8431:
8427:
8422:
8418:
8412:
8406:
8403:
8400:
8394:
8389:
8384:
8381:
8378:
8374:
8366:
8365:
8364:
8342:
8337:
8330:
8324:
8320:
8316:
8310:
8304:
8300:
8296:
8291:
8283:
8277:
8271:
8268:
8263:
8259:
8251:
8250:
8249:
8246:
8226:
8208:
8206:
8200:
8193:
8187:
8180:
8178:
8172:
8151:
8145:
8139:
8136:
8112:
8110:
8104:
8097:
8091:
8084:
8082:
8076:
8055:
8049:
8043:
8040:
8029:
8025:
8019:
8014:
8006:
8003:
8000:
7994:
7991:
7984:
7983:
7982:
7974:
7957:
7954:
7951:
7945:
7940:
7936:
7926:
7912:
7892:
7872:
7866:
7863:
7860:
7854:
7849:
7845:
7836:
7835:
7829:
7795:
7792:
7781:
7762:
7759:
7756:
7750:
7747:
7724:
7721:
7718:
7712:
7707:
7703:
7694:
7691:The original
7684:
7670:
7667:
7664:
7644:
7641:
7635:
7632:
7629:
7623:
7618:
7614:
7605:
7604:Hilbert space
7601:
7580:
7576:
7572:
7568:
7564:
7561:
7535:
7532:
7529:
7506:
7503:
7500:
7477:
7463:
7460:
7456:
7453:
7445:
7441:
7433:
7430:
7426:
7423:
7415:
7411:
7400:
7394:
7388:
7385:
7382:
7376:
7371:
7367:
7359:
7358:
7357:
7343:
7323:
7300:
7294:
7291:
7284:
7281:
7272:
7268:
7264:
7258:
7250:
7246:
7242:
7235:
7232:
7228:
7225:
7219:
7216:
7209:
7206:
7202:
7199:
7191:
7187:
7166:
7144:
7140:
7113:
7105:
7101:
7094:
7088:
7082:
7076:
7050:
7047:
7044:
7038:
7032:
7026:
7020:
7012:
7008:
6987:
6967:
6947:
6927:
6907:
6900:
6896:
6880:
6857:
6852:
6849:
6846:
6842:
6835:
6832:
6829:
6825:
6819:
6816:
6813:
6809:
6801:
6797:
6793:
6788:
6782:
6779:
6776:
6773:
6770:
6764:
6759:
6754:
6750:
6742:
6741:
6740:
6726:
6706:
6703:
6700:
6697:
6694:
6674:
6652:
6649:
6646:
6642:
6619:
6616:
6613:
6609:
6585:
6582:
6579:
6576:
6573:
6570:
6567:
6561:
6558:
6535:
6532:
6529:
6506:
6503:
6500:
6480:
6477:
6471:
6468:
6465:
6462:
6459:
6453:
6448:
6444:
6423:
6403:
6383:
6380:
6377:
6374:
6371:
6344:
6336:
6327:
6324:
6320:
6317:
6308:
6299:
6296:
6292:
6289:
6280:
6274:
6271:
6266:
6253:
6244:
6241:
6237:
6234:
6225:
6213:
6204:
6201:
6197:
6194:
6185:
6179:
6171:
6162:
6159:
6155:
6152:
6143:
6134:
6131:
6127:
6124:
6115:
6105:
6099:
6096:
6093:
6090:
6087:
6081:
6076:
6072:
6060:
6059:
6058:
6050:
6020:
6014:
6011:
6008:
6002:
5996:
5993:
5990:
5984:
5981:
5978:
5972:
5969:
5953:
5905:
5899:
5896:
5888:
5880:
5874:
5864:
5861:
5858:
5852:
5849:
5842:
5827:
5824:
5818:
5812:
5807:
5803:
5795:
5777:
5771:
5765:
5762:
5742:
5739:
5733:
5727:
5724:
5717:
5716:
5709:
5692:
5689:
5686:
5680:
5675:
5671:
5643:
5633:
5630:
5626:
5623:
5614:
5600:
5597:
5593:
5590:
5581:
5571:
5567:
5562:
5559:
5556:
5550:
5548:
5539:
5528:
5525:
5521:
5518:
5509:
5495:
5492:
5488:
5485:
5476:
5470:
5464:
5461:
5458:
5452:
5447:
5443:
5436:
5433:
5430:
5423:
5415:
5411:
5406:
5403:
5400:
5394:
5392:
5381:
5378:
5375:
5369:
5364:
5359:
5355:
5348:
5334:
5333:
5332:
5315:
5312:
5309:
5303:
5298:
5294:
5270:
5267:
5264:
5258:
5253:
5248:
5244:
5234:
5207:
5204:
5198:
5195:
5192:
5186:
5183:
5176:
5159:
5155:
5151:
5146:
5142:
5138:
5133:
5129:
5125:
5120:
5116:
5093:
5089:
5066:
5062:
5039:
5035:
5012:
5008:
4985:
4977:
4973:
4969:
4964:
4960:
4953:
4950:
4947:
4939:
4935:
4931:
4926:
4922:
4915:
4912:
4909:
4901:
4897:
4893:
4888:
4884:
4880:
4875:
4871:
4867:
4862:
4858:
4851:
4848:
4841:
4840:
4821:
4817:
4813:
4808:
4804:
4775:
4771:
4767:
4762:
4758:
4746:
4729:
4719:
4714:
4685:
4681:
4677:
4672:
4668:
4645:
4641:
4637:
4632:
4628:
4604:
4601:
4598:
4592:
4587:
4583:
4572:
4568:
4561:
4557:
4548:
4542:
4536:
4523:
4519:
4515:
4510:
4506:
4502:
4499:
4493:
4480:
4476:
4472:
4467:
4463:
4456:
4451:
4447:
4439:
4424:
4421:
4415:
4412:
4409:
4403:
4398:
4394:
4373:
4370:
4364:
4361:
4358:
4352:
4349:
4342:
4341:
4309:
4285:
4276:
4273:
4270:
4267:
4264:
4236:
4233:
4227:
4224:
4221:
4215:
4210:
4206:
4198:
4175:
4172:
4166:
4163:
4160:
4154:
4151:
4144:
4129:
4126:
4120:
4117:
4114:
4108:
4105:
4102:
4099:
4079:
4076:
4070:
4067:
4064:
4058:
4053:
4049:
4045:
4042:
4035:
4034:
4022:
4020:
4016:
4012:
4007:
4005:
3986:
3977:
3971:
3966:
3962:
3954:
3948:
3943:
3939:
3930:
3927:
3924:
3918:
3913:
3909:
3902:
3896:
3893:
3890:
3884:
3879:
3875:
3867:
3866:
3865:
3863:
3859:
3855:
3845:
3843:
3839:
3834:
3832:
3828:
3809:
3804:
3799:
3796:
3793:
3789:
3783:
3780:
3777:
3773:
3764:
3760:
3756:
3750:
3744:
3741:
3738:
3732:
3727:
3722:
3718:
3714:
3708:
3702:
3697:
3692:
3688:
3680:
3679:
3678:
3676:
3671:
3655:
3644:
3638:
3629:
3623:
3617:
3612:
3584:
3578:
3571:for function
3556:
3545:
3539:
3533:
3527:
3519:
3515:
3506:
3482:
3465:
3462:
3440:
3437:
3416:
3393:
3383:
3380:
3376:
3373:
3362:
3359:
3355:
3352:
3343:
3337:
3334:
3324:
3321:
3317:
3314:
3305:
3300:
3292:
3284:
3275:
3272:
3268:
3265:
3256:
3250:
3244:
3238:
3233:
3229:
3221:
3220:
3219:
3217:
3207:
3205:
3201:
3197:
3193:
3189:
3185:
3179:
3174:
3170:
3166:
3161:
3157:
3153:
3149:
3144:
3140:
3136:
3131:
3127:
3123:
3119:
3115:
3111:
3092:
3089:
3078:
3075:
3072:
3067:
3057:
3047:
3044:
3041:
3036:
3026:
3014:
3010:
3004:
3000:
2986:
2982:
2977:
2973:
2969:
2965:
2961:
2957:
2953:
2949:
2945:
2941:
2936:
2932:
2926:
2907:
2899:
2895:
2871:
2863:
2859:
2835:
2832:
2829:
2821:
2818:
2815:
2811:
2787:
2784:
2780:
2777:
2768:
2765:
2762:
2757:
2747:
2737:
2734:
2731:
2726:
2716:
2705:
2700:
2693:
2685:
2681:
2674:
2666:
2662:
2658:
2652:
2649:
2646:
2638:
2635:
2632:
2628:
2623:
2612:
2609:
2606:
2595:
2586:
2582:
2576:
2572:
2567:
2562:
2556:
2553:
2550:
2544:
2539:
2535:
2527:
2526:
2525:
2523:
2519:
2517:
2511:
2509:
2505:
2498:
2494:
2488:
2484:
2462:
2452:
2449:
2445:
2442:
2436:
2429:
2426:
2422:
2419:
2410:
2407:
2404:
2401:
2391:
2388:
2384:
2381:
2375:
2368:
2365:
2361:
2358:
2349:
2346:
2343:
2337:
2334:
2331:
2325:
2320:
2316:
2308:
2307:
2306:
2304:
2300:
2284:
2264:
2239:
2236:
2232:
2228:
2225:
2195:
2192:
2188:
2184:
2181:
2151:
2148:
2144:
2140:
2137:
2111:
2104:
2101:
2097:
2093:
2090:
2065:
2059:
2056:
2053:
2041:
2040:
2016:
2006:
2003:
1999:
1996:
1985:
1982:
1978:
1975:
1966:
1960:
1957:
1952:
1937:
1934:
1930:
1927:
1918:
1904:
1901:
1897:
1894:
1885:
1879:
1869:
1866:
1862:
1859:
1848:
1845:
1841:
1838:
1829:
1819:
1805:
1802:
1798:
1795:
1784:
1781:
1777:
1774:
1765:
1759:
1749:
1746:
1742:
1739:
1728:
1725:
1721:
1718:
1709:
1703:
1698:
1683:
1680:
1676:
1673:
1664:
1650:
1647:
1643:
1640:
1631:
1625:
1615:
1612:
1608:
1605:
1594:
1591:
1587:
1584:
1575:
1565:
1559:
1556:
1553:
1547:
1542:
1538:
1526:
1525:
1524:
1507:
1493:
1490:
1486:
1483:
1475:
1471:
1463:
1460:
1456:
1453:
1445:
1441:
1430:
1424:
1418:
1415:
1412:
1406:
1401:
1397:
1389:
1388:
1387:
1385:
1381:
1362:
1356:
1350:
1347:
1340:
1337:
1328:
1324:
1320:
1314:
1306:
1302:
1298:
1291:
1288:
1284:
1281:
1275:
1268:
1265:
1261:
1258:
1250:
1246:
1241:
1232:
1224:
1220:
1213:
1207:
1201:
1195:
1191:
1182:
1179:
1176:
1167:
1161:
1155:
1147:
1143:
1135:
1134:
1133:
1131:
1127:
1119:
1115:
1107:
1103:
1099:
1094:
1092:
1088:
1084:
1080:
1076:
1071:
1066:
1061:
1057:
1038:
1033:
1030:
1027:
1023:
1016:
1013:
1010:
1006:
1000:
995:
992:
989:
985:
979:
974:
971:
968:
964:
956:
952:
948:
943:
937:
934:
931:
925:
920:
915:
911:
903:
902:
901:
898:
894:
890:
886:
882:
878:
874:
869:
865:
861:
856:
852:
848:
843:
837:
832:
813:
810:
801:
788:
768:
765:
756:
743:
723:
720:
711:
684:
679:
676:
667:
661:
656:
653:
644:
638:
633:
630:
621:
615:
610:
607:
604:
600:
596:
591:
588:
585:
581:
576:
571:
568:
559:
553:
548:
545:
536:
530:
525:
522:
513:
507:
502:
499:
496:
492:
488:
483:
480:
477:
473:
465:
464:
463:
461:
438:
435:
432:
429:
426:
423:
420:
417:
414:
411:
408:
405:
401:
393:
389:
385:
380:
376:
369:
367:
360:
357:
354:
350:
342:
339:
336:
333:
330:
327:
324:
321:
318:
315:
312:
309:
305:
297:
293:
289:
284:
280:
273:
271:
264:
261:
258:
254:
242:
241:
240:
239:
234:
230:
226:
221:
217:
213:
209:
206:
202:
198:
194:
190:
186:
182:
177:
173:
168:
164:
160:
145:
143:
139:
135:
131:
127:
122:
120:
116:
112:
108:
96:
92:
88:
84:
80:
75:
71:
69:
65:
60:
58:
54:
50:
46:
42:
38:
34:
30:
26:
22:
9449:
9443:
9426:
9420:
9391:
9385:
9346:
9340:
9301:
9295:
9284:. Retrieved
9262:
9256:
9235:
9229:
9194:
9190:
9155:
9149:
9126:
9123:
9106:
9077:
9071:
9051:Kosorok 2009
9046:
9034:
9022:
8980:
8968:
8956:
8929:
8862:
8818:
8714:
8710:
8702:
8700:
8695:
8693:
8613:
8557:
8553:
8549:
8543:
8539:
8534:
8530:
8524:
8518:
8505:
8358:
8242:
7980:
7927:
7833:
7832:
7830:
7690:
7492:
6895:metric-space
6872:
6363:
6056:
6040:
5662:
5235:
5232:
4017:package for
4014:
4010:
4008:
4003:
4001:
3861:
3857:
3853:
3851:
3841:
3837:
3835:
3827:Corrado Gini
3824:
3674:
3672:
3503:denotes the
3408:
3215:
3213:
3203:
3199:
3195:
3191:
3187:
3183:
3177:
3172:
3168:
3164:
3159:
3155:
3151:
3147:
3142:
3138:
3134:
3129:
3125:
3121:
3117:
3113:
3109:
2984:
2980:
2975:
2971:
2967:
2963:
2959:
2955:
2951:
2947:
2943:
2939:
2934:
2930:
2802:
2515:
2512:
2507:
2503:
2496:
2492:
2486:
2482:
2480:cov(‖
2477:
2302:
2038:
2037:
2035:
1522:
1383:
1379:
1377:
1129:
1125:
1117:
1113:
1105:
1101:
1097:
1095:
1089:package for
1086:
1082:
1078:
1074:
1069:
1064:
1059:
1055:
1053:
896:
892:
888:
884:
880:
876:
872:
867:
863:
859:
854:
850:
846:
841:
835:
786:
741:
699:
457:
232:
228:
224:
219:
215:
211:
204:
200:
196:
192:
184:
180:
175:
171:
166:
162:
158:
156:
133:
129:
125:
123:
104:
90:
86:
82:
78:
61:
32:
28:
18:
9238:: 240â242.
9029:, p. .
7828:distances.
148:Definitions
115:correlation
95:correlation
49:independent
9514:Categories
9286:2021-10-31
9258:Biometrika
9129:. Prague:
9060:References
9015:Lyons 2014
8719:covariance
7316:. Then if
5925:, scalars
4660:, scalars
4025:Properties
2299:covariance
831:grand mean
101:Background
37:dependence
21:statistics
9459:1310.2926
9401:1010.0844
9311:0803.4101
9265:: 25â45.
9204:1106.5758
9165:1010.0822
9087:0912.3295
8973:Gini 1912
8776:
8747:
8705:then Cov
8694:and thus
8661:
8637:
8581:
8419:
8395:
8317:∣
8297:
8284:−
8194:
8188:−
8146:
8140:−
8098:
8092:−
8050:
8044:−
8026:
7995:
7946:
7855:
7751:
7713:
7624:
7600:isometric
7446:ν
7416:μ
7401:
7377:
7344:ν
7301:μ
7273:μ
7265:−
7251:μ
7243:−
7192:μ
7145:μ
7106:μ
7095:
7083:μ
7033:
7013:μ
6968:μ
6853:ℓ
6836:ℓ
6820:ℓ
6810:∑
6783:α
6765:
6727:α
6704:≤
6701:α
6675:α
6653:ℓ
6620:ℓ
6580:α
6562:
6501:α
6472:α
6454:
6378:α
6337:α
6333:‖
6321:−
6315:‖
6309:α
6305:‖
6293:−
6287:‖
6281:
6272:−
6254:α
6250:‖
6238:−
6232:‖
6226:
6214:α
6210:‖
6198:−
6192:‖
6186:
6172:α
6168:‖
6156:−
6150:‖
6144:α
6140:‖
6128:−
6122:‖
6116:
6100:α
6082:
6015:
5997:
5991:≤
5973:
5900:
5853:
5813:
5772:
5728:
5681:
5638:‖
5627:−
5621:‖
5615:
5605:‖
5594:−
5588:‖
5582:
5560:−
5533:‖
5522:−
5516:‖
5510:
5500:‖
5489:−
5483:‖
5477:
5453:
5434:−
5404:−
5370:
5349:
5304:
5259:
5187:
4954:
4916:
4910:≤
4852:
4593:
4457:
4422:≥
4404:
4371:≥
4353:
4302:, scalar
4216:
4155:
4127:≤
4109:
4103:≤
4077:≤
4059:
4046:≤
3972:
3949:
3919:
3885:
3800:ℓ
3784:ℓ
3774:∑
3733:
3703:
3645:⋅
3639:
3624:⋅
3618:
3585:⋅
3546:⋅
3528:⋅
3388:‖
3377:−
3371:‖
3367:‖
3356:−
3350:‖
3344:
3335:−
3329:‖
3318:−
3312:‖
3306:
3281:‖
3269:−
3263:‖
3257:
3239:
3090:−
2896:φ
2860:φ
2812:φ
2682:φ
2663:φ
2659:−
2629:φ
2596:∫
2545:
2457:‖
2446:−
2440:‖
2434:‖
2423:−
2417:‖
2411:
2402:−
2396:‖
2385:−
2379:‖
2373:‖
2362:−
2356:‖
2350:
2326:
2011:‖
2000:−
1994:‖
1990:‖
1979:−
1973:‖
1967:
1958:−
1942:‖
1931:−
1925:‖
1919:
1909:‖
1898:−
1892:‖
1886:
1874:‖
1863:−
1857:‖
1853:‖
1842:−
1836:‖
1830:
1810:‖
1799:−
1793:‖
1789:‖
1778:−
1772:‖
1766:
1760:−
1754:‖
1743:−
1737:‖
1733:‖
1722:−
1716:‖
1710:
1704:−
1688:‖
1677:−
1671:‖
1665:
1655:‖
1644:−
1638:‖
1632:
1620:‖
1609:−
1603:‖
1599:‖
1588:−
1582:‖
1576:
1548:
1476:ν
1446:μ
1431:
1407:
1357:μ
1329:μ
1321:−
1307:μ
1299:−
1296:‖
1285:−
1279:‖
1251:μ
1225:μ
1214:
1202:μ
1186:‖
1180:−
1174:‖
1168:
1148:μ
1083:dcov.test
986:∑
965:∑
926:
814:⋅
811:⋅
805:¯
766:⋅
760:¯
724:⋅
715:¯
680:⋅
677:⋅
671:¯
654:⋅
648:¯
639:−
634:⋅
625:¯
616:−
572:⋅
569:⋅
563:¯
546:⋅
540:¯
531:−
526:⋅
517:¯
508:−
430:…
399:‖
386:−
373:‖
334:…
303:‖
290:−
277:‖
238:distances
45:dimension
9501:Archived
9484:55801702
9373:20574547
9221:73677891
9182:88518490
8836:See also
8482:′
8451:′
8209:′
8181:′
8113:′
8085:′
7464:′
7434:′
7336:has law
7285:′
7236:′
7210:′
6960:has law
6897:-valued
6719:, then
6328:″
6300:′
6245:′
6205:′
6163:′
6135:′
5634:′
5601:′
5529:′
5496:′
4002:and the
3600:, e.g.,
3466:″
3441:′
3384:″
3363:′
3325:′
3276:′
2923:are the
2500:‖
2453:″
2430:′
2392:′
2369:′
2240:″
2229:″
2196:′
2185:′
2152:″
2141:″
2105:′
2094:′
2007:″
1986:′
1938:′
1905:′
1870:′
1849:′
1806:′
1785:″
1750:″
1729:′
1684:′
1651:′
1616:′
1595:′
1494:′
1464:′
1341:′
1292:′
1269:′
1112:and let
9464:Bibcode
9364:2889501
9328:5661488
9240:Bibcode
9111:Bibcode
858:) and (
829:is the
784:is the
739:is the
223:) and (
195:,
170:,
161:. Let (
138:moments
81:,
23:and in
9482:
9371:
9361:
9326:
9219:
9180:
9137:
8516:|
4306:, and
4015:energy
3507:, and
3454:, and
3409:where
2970:, and
2942:, and
2887:, and
2803:where
2036:where
1122:ν
1110:μ
1087:energy
700:where
132:, and
9480:S2CID
9454:arXiv
9396:arXiv
9324:S2CID
9306:arXiv
9217:S2CID
9199:arXiv
9178:S2CID
9160:arXiv
9082:arXiv
8872:1895b
8868:1895a
8855:Notes
6940:: If
187:be a
9369:PMID
9135:ISBN
8824:and
8658:dCov
7937:dCor
7846:dCov
7748:dCov
7704:dCov
7657:iff
7615:dCov
7368:dCov
6920:and
6881:dCov
6751:dCov
6698:<
6667:are
6634:and
6559:dCor
6445:dCov
6416:and
6381:<
6375:<
6073:dCov
6012:dVar
5994:dVar
5970:dVar
5958:and
5897:dVar
5850:dVar
5804:dVar
5725:dVar
5672:dCov
5444:dCov
5356:dCov
5295:dCov
5245:dCov
5224:and
5184:dCov
5081:and
5027:and
4951:dCov
4913:dCov
4849:dCov
4793:and
4584:dCov
4448:dCov
4395:dCov
4386:and
4350:dCov
4253:and
4207:dCor
4192:and
4152:dCor
4106:dCor
4092:and
4050:dCor
4011:dcor
3963:dVar
3940:dVar
3910:dCov
3876:dCor
3852:The
3836:The
3719:dCov
3689:dVar
3673:The
3479:are
3230:dVar
3214:The
3202:and
3186:and
3154:) â
3128:and
3120:and
3112:and
2966:and
2958:and
2536:dCov
2518:norm
2506:and
2317:dCov
2277:and
2213:and
2125:and
1539:dCov
1398:dCov
1382:and
1128:and
1067:dCov
912:dCov
89:and
9472:doi
9431:doi
9406:doi
9359:PMC
9351:doi
9316:doi
9267:doi
9209:doi
9170:doi
9092:doi
8773:cov
8733:cov
8626:cov
8572:cov
8375:cov
7992:cov
7598:is
6893:to
6045:or
5954:If
3829:'s
2927:of
2497:Y'
2487:X'
2408:cov
2347:cov
2303:cov
1386:as
203:by
179:),
31:or
19:In
9516::
9478:.
9470:.
9462:.
9450:42
9448:.
9427:82
9425:.
9404:.
9390:.
9384:.
9367:.
9357:.
9345:.
9339:.
9322:.
9314:.
9302:35
9300:.
9263:13
9261:.
9255:.
9236:58
9234:.
9215:.
9207:.
9195:41
9193:.
9176:.
9168:.
9154:.
9090:.
9076:.
9070:.
9007:^
8992:^
8941:^
8914:^
8895:^
8878:^
8870:,
8832:.
8721:,
8707:id
8703:id
8533:â
8413::=
8269::=
7395::=
7217::=
7089::=
7069:,
7027::=
6789::=
6551:,
6396:,
6106::=
4021:.
3844:.
3715::=
3670:.
3483:,
3429:,
3251::=
3194:,
3167:)
3150:,
3141:,
2979:,
2950:,
2937:),
2933:,
2851:,
2495:â
2485:â
2301:,
1566::=
1425::=
1276::=
1208::=
1162::=
1093:.
1077:,
1063:=
944::=
900::
895:,
885:k
883:,
853:,
597::=
489::=
231:,
218:,
144:.
128:,
121:.
59:.
27:,
9486:.
9474::
9466::
9456::
9437:.
9433::
9414:.
9408::
9398::
9392:3
9375:.
9353::
9347:3
9330:.
9318::
9308::
9289:.
9273:.
9269::
9246:.
9242::
9223:.
9211::
9201::
9184:.
9172::
9162::
9156:3
9143:.
9125:N
9117:.
9113::
9100:.
9094::
9084::
9078:3
9053:.
9041:.
9017:.
9002:.
8987:.
8975:.
8963:.
8924:.
8909:.
8890:.
8850:.
8799:.
8795:|
8791:)
8788:Y
8785:,
8782:X
8779:(
8769:|
8765:=
8762:)
8759:Y
8756:,
8753:X
8750:(
8741:d
8738:i
8715:Y
8713:,
8711:X
8709:(
8679:,
8676:)
8673:Y
8670:,
8667:X
8664:(
8655:=
8652:)
8649:Y
8646:,
8643:X
8640:(
8631:W
8599:.
8596:)
8593:Y
8590:,
8587:X
8584:(
8576:W
8554:V
8552:,
8550:U
8546:)
8544:t
8542:,
8540:s
8535:t
8531:s
8525:t
8519:s
8510:/
8490:]
8473:V
8469:Y
8463:V
8459:Y
8442:U
8438:X
8432:U
8428:X
8423:[
8416:E
8410:)
8407:Y
8404:,
8401:X
8398:(
8390:2
8385:V
8382:,
8379:U
8361:V
8343:]
8338:}
8334:)
8331:t
8328:(
8325:U
8321:{
8314:)
8311:X
8308:(
8305:U
8301:[
8292:X
8288:E
8281:)
8278:X
8275:(
8272:U
8264:U
8260:X
8227:]
8221:)
8216:)
8201:Y
8197:(
8191:E
8173:Y
8167:(
8160:)
8155:)
8152:Y
8149:(
8143:E
8137:Y
8132:(
8125:)
8120:)
8105:X
8101:(
8095:E
8077:X
8071:(
8064:)
8059:)
8056:X
8053:(
8047:E
8041:X
8036:(
8030:[
8023:E
8020:=
8015:2
8011:)
8007:Y
8004:,
8001:X
7998:(
7961:)
7958:Y
7955:,
7952:X
7949:(
7941:2
7913:X
7893:X
7873:.
7870:)
7867:Y
7864:,
7861:X
7858:(
7850:2
7816:X
7796:Y
7793:,
7790:X
7766:)
7763:Y
7760:,
7757:X
7754:(
7728:)
7725:Y
7722:,
7719:X
7716:(
7708:2
7671:Y
7668:,
7665:X
7645:0
7642:=
7639:)
7636:Y
7633:,
7630:X
7627:(
7619:2
7586:)
7581:2
7577:/
7573:1
7569:d
7565:,
7562:M
7559:(
7539:)
7536:d
7533:,
7530:M
7527:(
7507:Y
7504:,
7501:X
7478:.
7473:]
7468:)
7461:Y
7457:,
7454:Y
7451:(
7442:d
7438:)
7431:X
7427:,
7424:X
7421:(
7412:d
7406:[
7398:E
7392:)
7389:Y
7386:,
7383:X
7380:(
7372:2
7324:Y
7304:)
7298:(
7295:D
7292:+
7289:)
7282:x
7278:(
7269:a
7262:)
7259:x
7256:(
7247:a
7240:)
7233:x
7229:,
7226:x
7223:(
7220:d
7214:)
7207:x
7203:,
7200:x
7197:(
7188:d
7167:X
7141:a
7120:]
7117:)
7114:X
7111:(
7102:a
7098:[
7092:E
7086:)
7080:(
7077:D
7057:]
7054:)
7051:x
7048:,
7045:X
7042:(
7039:d
7036:[
7030:E
7024:)
7021:x
7018:(
7009:a
6988:d
6948:X
6928:Y
6908:X
6858:.
6850:,
6847:k
6843:B
6833:,
6830:k
6826:A
6817:,
6814:k
6802:2
6798:n
6794:1
6786:)
6780:;
6777:Y
6774:,
6771:X
6768:(
6760:2
6755:n
6707:2
6695:0
6650:,
6647:k
6643:b
6617:,
6614:k
6610:a
6589:)
6586:2
6583:=
6577:;
6574:Y
6571:,
6568:X
6565:(
6539:)
6536:Y
6533:,
6530:X
6527:(
6507:2
6504:=
6481:0
6478:=
6475:)
6469:;
6466:Y
6463:,
6460:X
6457:(
6449:2
6424:Y
6404:X
6384:2
6372:0
6345:.
6342:]
6325:Y
6318:Y
6297:X
6290:X
6284:[
6278:E
6275:2
6259:]
6242:Y
6235:Y
6229:[
6223:E
6219:]
6202:X
6195:X
6189:[
6183:E
6180:+
6177:]
6160:Y
6153:Y
6132:X
6125:X
6119:[
6113:E
6103:)
6097:;
6094:Y
6091:,
6088:X
6085:(
6077:2
6047:Y
6043:X
6036:.
6024:)
6021:Y
6018:(
6009:+
6006:)
6003:X
6000:(
5988:)
5985:Y
5982:+
5979:X
5976:(
5960:Y
5956:X
5951:.
5938:C
5927:b
5923:A
5909:)
5906:X
5903:(
5893:|
5889:b
5885:|
5881:=
5878:)
5875:X
5870:C
5865:b
5862:+
5859:A
5856:(
5828:0
5825:=
5822:)
5819:X
5816:(
5808:n
5781:]
5778:X
5775:[
5769:E
5766:=
5763:X
5743:0
5740:=
5737:)
5734:X
5731:(
5696:)
5693:Y
5690:,
5687:X
5684:(
5676:2
5644:.
5641:]
5631:Y
5624:Y
5618:[
5612:E
5608:]
5598:X
5591:X
5585:[
5579:E
5572:2
5568:n
5563:1
5557:n
5551:=
5540:}
5536:]
5526:Y
5519:Y
5513:[
5507:E
5503:]
5493:X
5486:X
5480:[
5474:E
5471:+
5468:)
5465:Y
5462:,
5459:X
5456:(
5448:2
5440:)
5437:2
5431:n
5428:(
5424:{
5416:2
5412:n
5407:1
5401:n
5395:=
5388:]
5385:)
5382:Y
5379:,
5376:X
5373:(
5365:2
5360:n
5352:[
5346:E
5319:)
5316:Y
5313:,
5310:X
5307:(
5299:2
5274:)
5271:Y
5268:,
5265:X
5262:(
5254:2
5249:n
5226:Y
5222:X
5208:0
5205:=
5202:)
5199:Y
5196:,
5193:X
5190:(
5160:2
5156:Y
5152:,
5147:1
5143:Y
5139:,
5134:2
5130:X
5126:,
5121:1
5117:X
5094:2
5090:Y
5067:2
5063:X
5040:1
5036:Y
5013:1
5009:X
4986:.
4983:)
4978:2
4974:Y
4970:,
4965:2
4961:X
4957:(
4948:+
4945:)
4940:1
4936:Y
4932:,
4927:1
4923:X
4919:(
4907:)
4902:2
4898:Y
4894:+
4889:1
4885:Y
4881:,
4876:2
4872:X
4868:+
4863:1
4859:X
4855:(
4827:)
4822:2
4818:Y
4814:,
4809:2
4805:X
4801:(
4781:)
4776:1
4772:Y
4768:,
4763:1
4759:X
4755:(
4744:.
4730:2
4725:C
4720:,
4715:1
4710:C
4686:2
4682:b
4678:,
4673:1
4669:b
4646:2
4642:a
4638:,
4633:1
4629:a
4608:)
4605:Y
4602:,
4599:X
4596:(
4588:2
4579:|
4573:2
4569:b
4562:1
4558:b
4553:|
4549:=
4546:)
4543:Y
4537:2
4532:C
4524:2
4520:b
4516:+
4511:2
4507:a
4503:,
4500:X
4494:1
4489:C
4481:1
4477:b
4473:+
4468:1
4464:a
4460:(
4452:2
4437:;
4425:0
4419:)
4416:Y
4413:,
4410:X
4407:(
4399:n
4374:0
4368:)
4365:Y
4362:,
4359:X
4356:(
4331:.
4318:C
4304:b
4300:A
4286:X
4282:C
4277:b
4274:+
4271:A
4268:=
4265:Y
4255:Y
4251:X
4237:1
4234:=
4231:)
4228:Y
4225:,
4222:X
4219:(
4211:n
4194:Y
4190:X
4176:0
4173:=
4170:)
4167:Y
4164:,
4161:X
4158:(
4130:1
4124:)
4121:Y
4118:,
4115:X
4112:(
4100:0
4080:1
4074:)
4071:Y
4068:,
4065:X
4062:(
4054:n
4043:0
4019:R
3987:,
3981:)
3978:Y
3975:(
3967:2
3958:)
3955:X
3952:(
3944:2
3934:)
3931:Y
3928:,
3925:X
3922:(
3914:2
3903:=
3900:)
3897:Y
3894:,
3891:X
3888:(
3880:2
3810:,
3805:2
3797:,
3794:k
3790:A
3781:,
3778:k
3765:2
3761:n
3757:1
3751:=
3748:)
3745:X
3742:,
3739:X
3736:(
3728:2
3723:n
3712:)
3709:X
3706:(
3698:2
3693:n
3656:2
3652:)
3648:]
3642:[
3636:E
3633:(
3630:=
3627:]
3621:[
3613:2
3609:E
3588:)
3582:(
3579:f
3557:2
3553:)
3549:)
3543:(
3540:f
3537:(
3534:=
3531:)
3525:(
3520:2
3516:f
3491:E
3463:X
3438:X
3417:X
3394:,
3391:]
3381:X
3374:X
3360:X
3353:X
3347:[
3341:E
3338:2
3332:]
3322:X
3315:X
3309:[
3301:2
3297:E
3293:+
3290:]
3285:2
3273:X
3266:X
3260:[
3254:E
3248:)
3245:X
3242:(
3234:2
3204:Y
3200:X
3196:Y
3192:X
3188:e
3184:e
3180:)
3178:t
3176:(
3173:Y
3169:Ï
3165:s
3163:(
3160:X
3156:Ï
3152:t
3148:s
3146:(
3143:Y
3139:X
3135:Ï
3130:t
3126:s
3122:Y
3118:X
3114:e
3110:e
3093:1
3086:)
3079:q
3076:+
3073:1
3068:q
3063:|
3058:t
3054:|
3048:p
3045:+
3042:1
3037:p
3032:|
3027:s
3023:|
3015:q
3011:c
3005:p
3001:c
2996:(
2985:q
2981:c
2976:p
2972:c
2968:t
2964:s
2960:Y
2956:X
2952:q
2948:p
2944:Y
2940:X
2935:Y
2931:X
2929:(
2911:)
2908:t
2905:(
2900:Y
2875:)
2872:s
2869:(
2864:X
2839:)
2836:t
2833:,
2830:s
2827:(
2822:Y
2819:,
2816:X
2788:s
2785:d
2781:t
2778:d
2769:q
2766:+
2763:1
2758:q
2753:|
2748:t
2744:|
2738:p
2735:+
2732:1
2727:p
2722:|
2717:s
2713:|
2706:2
2701:|
2697:)
2694:t
2691:(
2686:Y
2678:)
2675:s
2672:(
2667:X
2656:)
2653:t
2650:,
2647:s
2644:(
2639:Y
2636:,
2633:X
2624:|
2613:q
2610:+
2607:p
2602:R
2587:q
2583:c
2577:p
2573:c
2568:1
2563:=
2560:)
2557:Y
2554:,
2551:X
2548:(
2540:2
2516:L
2508:Y
2504:X
2493:Y
2483:X
2463:.
2460:)
2450:Y
2443:Y
2437:,
2427:X
2420:X
2414:(
2405:2
2399:)
2389:Y
2382:Y
2376:,
2366:X
2359:X
2353:(
2344:=
2341:)
2338:Y
2335:,
2332:X
2329:(
2321:2
2285:Y
2265:X
2244:)
2237:Y
2233:,
2226:X
2222:(
2200:)
2193:Y
2189:,
2182:X
2178:(
2156:)
2149:Y
2145:,
2138:X
2134:(
2112:,
2109:)
2102:Y
2098:,
2091:X
2087:(
2066:,
2063:)
2060:Y
2057:,
2054:X
2051:(
2039:E
2017:,
2014:]
2004:Y
1997:Y
1983:X
1976:X
1970:[
1964:E
1961:2
1945:]
1935:Y
1928:Y
1922:[
1916:E
1912:]
1902:X
1895:X
1889:[
1883:E
1880:+
1877:]
1867:Y
1860:Y
1846:X
1839:X
1833:[
1827:E
1820:=
1813:]
1803:Y
1796:Y
1782:X
1775:X
1769:[
1763:E
1757:]
1747:Y
1740:Y
1726:X
1719:X
1713:[
1707:E
1691:]
1681:Y
1674:Y
1668:[
1662:E
1658:]
1648:X
1641:X
1635:[
1629:E
1626:+
1623:]
1613:Y
1606:Y
1592:X
1585:X
1579:[
1573:E
1563:)
1560:Y
1557:,
1554:X
1551:(
1543:2
1508:.
1503:]
1498:)
1491:Y
1487:,
1484:Y
1481:(
1472:d
1468:)
1461:X
1457:,
1454:X
1451:(
1442:d
1436:[
1428:E
1422:)
1419:Y
1416:,
1413:X
1410:(
1402:2
1384:Y
1380:X
1363:.
1360:)
1354:(
1351:D
1348:+
1345:)
1338:x
1334:(
1325:a
1318:)
1315:x
1312:(
1303:a
1289:x
1282:x
1273:)
1266:x
1262:,
1259:x
1256:(
1247:d
1242:,
1239:]
1236:)
1233:X
1230:(
1221:a
1217:[
1211:E
1205:)
1199:(
1196:D
1192:,
1189:]
1183:x
1177:X
1171:[
1165:E
1159:)
1156:x
1153:(
1144:a
1130:Y
1126:X
1118:q
1114:Y
1106:p
1102:X
1091:R
1079:Y
1075:X
1073:(
1070:n
1065:n
1060:n
1056:T
1039:.
1034:k
1031:,
1028:j
1024:B
1017:k
1014:,
1011:j
1007:A
1001:n
996:1
993:=
990:k
980:n
975:1
972:=
969:j
957:2
953:n
949:1
941:)
938:Y
935:,
932:X
929:(
921:2
916:n
897:k
893:j
889:B
881:j
877:A
868:k
866:,
864:j
860:B
855:k
851:j
847:A
842:b
836:X
802:a
787:k
769:k
757:a
742:j
721:j
712:a
685:,
668:b
662:+
657:k
645:b
631:j
622:b
611:k
608:,
605:j
601:b
592:k
589:,
586:j
582:B
577:,
560:a
554:+
549:k
537:a
523:j
514:a
503:k
500:,
497:j
493:a
484:k
481:,
478:j
474:A
439:,
436:n
433:,
427:,
424:2
421:,
418:1
415:=
412:k
409:,
406:j
402:,
394:k
390:Y
381:j
377:Y
370:=
361:k
358:,
355:j
351:b
343:,
340:n
337:,
331:,
328:2
325:,
322:1
319:=
316:k
313:,
310:j
306:,
298:k
294:X
285:j
281:X
274:=
265:k
262:,
259:j
255:a
233:k
229:j
225:b
220:k
216:j
212:a
210:(
205:n
201:n
197:Y
193:X
185:n
181:k
176:k
172:Y
167:k
163:X
91:y
87:x
83:y
79:x
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
