7193:
6660:
2637:
4945:
2237:
7188:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n-1}'(t)\\\mathbf {e} _{n}'(t)\\\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&\cdots &0&0\\-\chi _{1}(t)&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &0&\chi _{n-1}(t)\\0&0&\cdots &-\chi _{n-1}(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n-1}(t)\\\mathbf {e} _{n}(t)\\\end{bmatrix}}}
6644:
2632:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}(t)&={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}\\\mathbf {e} _{j}(t)&={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)\right\|}},&{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)&={\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}\left\langle {\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t),\,\mathbf {e} _{i}(t)\right\rangle \,\mathbf {e} _{i}(t){\vphantom {\Bigg \langle }}\end{aligned}}}
4619:
6314:
6303:
2028:
4940:{\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)\right\|}},\quad {\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}'''(t)-{\bigr \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{2}(t)}
5741:
6074:
3894:
6639:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\mathbf {e} _{3}'(t)\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\-\kappa (t)&0&\tau (t)\\0&-\tau (t)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\mathbf {e} _{3}(t)\end{bmatrix}}}
4367:
5324:
2803:
6027:
5542:
1995:
1664:
4026:
3647:
4485:
3747:
3442:
2093:. It is the main tool in the differential geometric treatment of curves because it is far easier and more natural to describe local properties (e.g. curvature, torsion) in terms of a local reference system than using a global one such as Euclidean coordinates.
6298:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '(t)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)\\-\kappa (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\end{bmatrix}}}
125:
on the curve that does not know anything about the ambient space, all curves would appear the same. Different space curves are only distinguished by how they bend and twist. Quantitatively, this is measured by the differential-geometric invariants called the
4183:
5891:
4221:
1460:
5178:
858:
Given the image of a parametric curve, there are several different parametrizations of the parametric curve. Differential geometry aims to describe the properties of parametric curves that are invariant under certain reparametrizations. A suitable
1862:
2660:
5517:
1191:
764:
3147:
According to problem 25 in Kühnel's "Differential
Geometry Curves – Surfaces – Manifolds", it is also true that two Bertrand curves that do not lie in the same two-dimensional plane are characterized by the existence of a linear relation
5125:
5033:
3915:
1877:
3720:
1534:
3517:
1090:
5809:
2211:
3554:
3341:
4388:
2242:
608:
3722:
The unit tangent vector determines the orientation of the curve, or the forward direction, corresponding to the increasing values of the parameter. The unit tangent vector taken as a curve traces the
5736:{\displaystyle {\begin{aligned}\|\gamma '(t)\|&=1&t\in \\\chi _{i}(t)&={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\|}}\end{aligned}}}
994:
939:
5896:
5547:
357:
301:
4080:
1367:
221:
5386:
1522:
1362:
1777:
4584:
1095:
4529:
7466:
3889:{\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}''(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t).}
3260:
The first three Frenet vectors and generalized curvatures can be visualized in three-dimensional space. They have additional names and more semantic information attached to them.
261:
117:
and its higher-dimensional generalizations because a regular curve in a
Euclidean space has no intrinsic geometry. Any regular curve may be parametrized by the arc length (the
5865:
3036:
2975:
2946:
2834:
2137:
797:
396:
2905:
2869:
5038:
669:
6022:{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\gamma }}(t_{0})&=\mathbf {p} _{0}\\\mathbf {e} _{i}(t_{0})&=\mathbf {e} _{i},\quad 1\leq i\leq n-1\end{aligned}}}
4952:
4362:{\displaystyle \kappa (t)=\chi _{1}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}}
2807:
The Frenet frame and the generalized curvatures are invariant under reparametrization and are therefore differential geometric properties of the curve. For curves in
5319:{\displaystyle \tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}}
2798:{\displaystyle \chi _{i}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}^{'}(t)\right\|}}}
7459:
3662:
5746:
5169:. In other words, if the torsion is zero, the curve lies completely in the same osculating plane (there is only one osculating plane for every point
2148:
3469:
1864:
In practice, it is often very difficult to calculate the natural parametrization of a parametric curve, but it is useful for theoretical arguments.
7452:
1462:
The length of a parametric curve is invariant under reparametrization and is therefore a differential-geometric property of the parametric curve.
1032:
17:
536:
863:
on the set of all parametric curves must be defined. The differential-geometric properties of a parametric curve (such as its length, its
8224:
185:
110:, a moving frame that provides a coordinate system at each point of the curve that is "best adapted" to the curve near that point.
4021:{\displaystyle \mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)\right\|}}.}
6053:
of first order. The solution is the set of Frenet vectors describing the curve specified by the generalized curvature functions
1990:{\displaystyle E(\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}~\mathrm {d} {t}}
4547:
8373:
1659:{\displaystyle \forall t\in :\quad s(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{t}\left\|\gamma '(x)\right\|\,\mathrm {d} {x}.}
7476:
7238:
4496:
944:
889:
7646:
8408:
8087:
7693:
318:
266:
3642:{\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.}
3437:{\displaystyle \gamma '(t_{0})=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {\gamma }}(t)\right|_{t=t_{0}}}
7867:
7781:
7718:
7430:
7263:
4532:
4480:{\displaystyle \kappa (t)={\frac {\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.}
114:
8289:
1474:
1314:
7668:
6050:
5327:
7624:
8511:
8140:
8072:
5371:
139:
8165:
5127:
That either sign may occur is illustrated by the examples of a right-handed helix and a left-handed helix.
8403:
7748:
2010:
228:
4178:{\displaystyle \mathbf {e} _{2}(t)={\frac {\mathbf {e} _{1}'(t)}{\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}}.}
8214:
8034:
7688:
6044:
3255:
2214:
2022:
1455:{\displaystyle l~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|\,\mathrm {d} {t}.}
867:, and its generalized curvature) are invariant under reparametrization and therefore properties of the
238:
5841:
3012:
2951:
2922:
2810:
2113:
773:
372:
7886:
5512:{\displaystyle \chi _{i}\in C^{n-i}(,\mathbb {R} ^{n}),\quad \chi _{i}(t)>0,\quad 1\leq i\leq n-1}
4193:
8368:
8470:
8388:
8342:
8049:
7811:
7786:
7708:
2231:
1857:{\displaystyle \forall t\in I:\quad \left\|{\overline {\gamma }}'{\bigl (}s(t){\bigr )}\right\|=1.}
45:
30:
This article is about curves in
Euclidean space. For curves in an arbitrary topological space, see
2874:
2838:
8440:
8127:
8044:
8014:
7758:
7639:
7604:
1186:{\displaystyle \forall t\in I_{1}:\quad \gamma _{2}{\bigl (}\varphi (t){\bigr )}=\gamma _{1}(t).}
8398:
8254:
8209:
7763:
7753:
7613:
4490:
853:
308:
180:
8480:
8435:
7915:
7860:
7660:
7551:
7203:
79:
60:
7233:(revised & updated 2nd ed.). Mineola, NY: Dover Publications, Inc. pp. 27–28.
8455:
8383:
8269:
8135:
8097:
8029:
7541:
3659:
is the natural parameter, then the tangent vector has unit length. The formula simplifies:
860:
767:
7444:
86:, and their geometric properties and various quantities associated with them, such as the
8:
8332:
8155:
8145:
7994:
7979:
7935:
7801:
7773:
7728:
83:
8465:
8322:
8175:
7989:
7925:
7733:
7683:
7632:
7399:
7315:
5136:
3285:
75:
8460:
8229:
8204:
8019:
7930:
7910:
7426:
7403:
7391:
7356:
7259:
7234:
7226:
7065:
6836:
6669:
868:
623:
134:
64:
7351:
7334:
7280:
8475:
8150:
8117:
8102:
7984:
7853:
7796:
7698:
7589:
7580:
7383:
7346:
7307:
5351:
5120:{\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)=-\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t),}
4037:
3744:, indicates the deviance of the curve from being a straight line. It is defined as
3545:
is the unit tangent vector in the same direction, defined at each regular point of
3237:
has more than one
Bertrand mate then it has infinitely many. This only occurs when
2002:
2981:
to these two curves are identical at each corresponding point. In other words, if
759:{\displaystyle \left\{\gamma '(t),\gamma ''(t),\ldots ,{\gamma ^{(m)}}(t)\right\}}
8516:
8445:
8393:
8337:
8317:
8219:
8107:
7974:
7945:
7791:
7703:
7654:
7561:
7527:
7484:
5520:
5028:{\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t)}
3723:
849:
103:
56:
52:
1217:
Re-parametrization defines an equivalence relation on the set of all parametric
877:-curves and are central objects studied in the differential geometry of curves.
142:
asserts that the knowledge of these invariants completely determines the curve.
8485:
8450:
8347:
8180:
8170:
8160:
8082:
8054:
8039:
8024:
7940:
7824:
7819:
7738:
7512:
7298:
Schot, Stephen (November 1978). "Aberrancy: Geometry of the Third
Derivative".
3290:
1296:
71:
8430:
7387:
4218:
from being a straight line relative to the osculating plane. It is defined as
8505:
8422:
8327:
8239:
8112:
7743:
7546:
7507:
7395:
7360:
3736:
122:
8490:
8294:
8279:
8244:
8092:
8077:
2054:
107:
8378:
8352:
8274:
7963:
7902:
7829:
7536:
5166:
3898:
Its normalized form, the unit normal vector, is the second Frenet vector
3463:
2063:
6323:
8259:
7502:
7319:
1290:
418:
95:
91:
6554:
6449:
6029:
the
Euclidean transformations are eliminated to obtain a unique curve
8234:
8185:
7678:
7656:
7570:
4370:
1001:
611:
128:
87:
7311:
4608:. It is always orthogonal to the unit tangent and normal vectors at
3249:
1871:, the natural parametrization is unique up to a shift of parameter.
113:
The theory of curves is much simpler and narrower in scope than the
8264:
8249:
7834:
7497:
3275:
2006:
398:
can be the image of many distinct parametric curves. The parameter
99:
41:
2031:
An illustration of the Frenet frame for a point on a space curve.
7958:
7920:
7594:
7517:
7492:
2145:
the Frenet frame for the curve is the set of orthonormal vectors
106:. One of the most important tools used to analyze a curve is the
7332:
3715:{\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)={\boldsymbol {\gamma }}'(s).}
1759:
This parametrization is preferred because the natural parameter
1275:-curves have the same image, and equivalent oriented parametric
8284:
7876:
5804:{\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)}
5359:
2206:{\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)}
2027:
3512:{\displaystyle \left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t_{0})\right\|}
843:
2948:
with the additional property that there is a second curve in
151:
48:
31:
7374:
Gordon, Russell A. (2004). "The aberrancy of plane curves".
5519:
then there exists a unique (up to transformations using the
7474:
3374:
1085:{\displaystyle \forall t\in I_{1}:\quad \varphi '(t)\neq 0}
7845:
3274:
represents the path of a particle, then the instantaneous
603:{\displaystyle \gamma |_{(a,b)}:(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}}
2082:
which are used to describe a curve locally at each point
451:. If the starting and the end points coincide (that is,
1281:-curves even traverse the image in the same direction.
6238:
6181:
6083:
2978:
6663:
6317:
6077:
5894:
5844:
5749:
5545:
5389:
5181:
5041:
4955:
4622:
4550:
4499:
4391:
4224:
4083:
3918:
3750:
3665:
3557:
3472:
3344:
3015:
2954:
2925:
2877:
2841:
2813:
2663:
2657:
are called generalized curvatures and are defined as
2240:
2151:
2116:
1880:
1780:
1537:
1477:
1370:
1317:
1284:
1098:
1035:
989:{\displaystyle \gamma _{2}:I_{2}\to \mathbb {R} ^{n}}
947:
934:{\displaystyle \gamma _{1}:I_{1}\to \mathbb {R} ^{n}}
892:
776:
672:
539:
375:
321:
269:
241:
188:
4594:
The unit binormal vector is the third Frenet vector
3729:
4949:In 3-dimensional space, the equation simplifies to
7382:(516). Cambridge University Press (CUP): 424–436.
7256:Differential Geometry: Curves, Surfaces, Manifolds
7187:
6638:
6297:
6021:
5859:
5803:
5735:
5511:
5318:
5119:
5027:
4939:
4578:
4523:
4479:
4361:
4177:
4020:
3888:
3714:
3641:
3511:
3436:
3030:
2969:
2940:
2899:
2863:
2828:
2797:
2631:
2205:
2131:
1989:
1856:
1658:
1516:
1454:
1356:
1229:. The equivalence class of this relation simply a
1185:
1084:
988:
933:
791:
758:
602:
390:
351:
295:
255:
215:
6648:
5867:and an initial positive orthonormal Frenet frame
4212:is called curvature and measures the deviance of
3250:Special Frenet vectors and generalized curvatures
2617:
2005:of the curve; this name is justified because the
352:{\displaystyle \gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}}
296:{\displaystyle r\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}}
27:Study of curves from a differential point of view
8503:
3462:. Generally speaking, the tangent vector may be
369:must be distinguished because a given subset of
82:takes another path: curves are represented in a
5365:
2217:. They are constructed from the derivatives of
496:-times continuously differentiable and satisfy
7861:
7640:
7460:
5279:
5224:
4910:
4860:
4828:
4778:
4322:
4267:
3856:
3806:
3228:of a Bertrand pair of curves is constant. If
2752:
2691:
1838:
1819:
1153:
1134:
216:{\displaystyle \gamma :I\to \mathbb {R} ^{n}}
7231:Differential Geometry of Curves and Surfaces
5723:
5701:
5696:
5639:
5570:
5550:
1517:{\displaystyle \gamma :\to \mathbb {R} ^{n}}
1357:{\displaystyle \gamma :\to \mathbb {R} ^{n}}
1242:equivalence relation of oriented parametric
413:can be thought of as representing time, and
290:
284:
74:have been thoroughly investigated using the
7345:(1). Michigan State University Press: 233.
7333:Cameron Byerley; Russell a. Gordon (2007).
4030:The tangent and the normal vector at point
871:itself. The equivalence classes are called
844:Re-parametrization and equivalence relation
7868:
7854:
7647:
7633:
7467:
7453:
7221:
7219:
7350:
6038:
5847:
5442:
4915:
4833:
4579:{\displaystyle \kappa (t)={\frac {1}{r}}}
3861:
3018:
2957:
2928:
2816:
2590:
2563:
2119:
1642:
1504:
1438:
1344:
976:
921:
779:
590:
378:
339:
277:
249:
203:
8225:Covariance and contravariance of vectors
7420:
7225:
6049:The Frenet–Serret formulas are a set of
2232:Gram–Schmidt orthogonalization algorithm
2026:
235:are continuously differentiable), where
7437:Chapter II is a classical treatment of
7216:
5900:
5706:
5292:
4867:
4785:
4756:
4524:{\displaystyle {\frac {1}{\kappa (t)}}}
4450:
4335:
3813:
3784:
3692:
3612:
3587:
3480:
3397:
3300:. Mathematically, given a parametrized
2765:
2535:
2473:
2303:
2278:
14:
8504:
7373:
7253:
7849:
7628:
7448:
7297:
7278:
4586:whereas a line has a curvature of 0.
231:(that is, the component functions of
1248:-curves can be defined by requiring
5811:is the Frenet frame for the curve.
3444:is the tangent vector at the point
24:
8088:Tensors in curvilinear coordinates
7694:Radius of curvature (applications)
7414:
5814:By additionally providing a start
5539:and has the following properties:
4589:
3386:
3380:
1978:
1781:
1644:
1538:
1440:
1285:Length and natural parametrization
1099:
1036:
287:
25:
8528:
7782:Curvature of Riemannian manifolds
5141:The second generalized curvature
3730:Normal vector or curvature vector
3466:. The tangent vector's magnitude
3278:of the particle at a given point
3263:
3195:are the curvature and torsion of
2910:
864:
436:is called the starting point and
421:of a moving point in space. When
256:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
7425:. New York: Dover Publications.
7158:
7127:
7095:
7070:
6771:
6737:
6702:
6674:
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6584:
6559:
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6356:
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6088:
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5945:
5929:
5860:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
5782:
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5671:
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5071:
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4958:
4918:
4889:
4836:
4807:
4727:
4688:
4654:
4625:
4416:
4301:
4274:
4198:The first generalized curvature
4143:
4113:
4086:
3984:
3950:
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3864:
3835:
3755:
3668:
3560:
3031:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
2970:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
2941:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
2829:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
2725:
2698:
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2566:
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2400:
2366:
2333:
2247:
2184:
2154:
2132:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
792:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
391:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
7352:10.14321/realanalexch.32.1.0233
7258:. Providence: AMS. p. 53.
6307:
6067:
6051:ordinary differential equations
5993:
5487:
5458:
4722:
3090:is called the Bertrand mate of
2016:
1796:
1709:. This is a re-parametrization
1565:
1121:
1058:
121:). From the point of view of a
38:Differential geometry of curves
18:Differential geometry of curves
7537:Pedal & Contrapedal curves
7367:
7326:
7291:
7272:
7247:
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6991:
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6600:
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6430:
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6403:
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6192:
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5955:
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5762:
5720:
5714:
5693:
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5663:
5657:
5626:
5620:
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5591:
5567:
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5475:
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5434:
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5419:
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5306:
5300:
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5274:
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4250:
4234:
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4162:
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4126:
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4009:
4005:
3999:
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3700:
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3570:
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3501:
3488:
3474:
3407:
3401:
3366:
3353:
3224:. Furthermore, the product of
2894:
2888:
2858:
2852:
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1960:
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1547:
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1412:
1339:
1336:
1324:
1297:Curve § Length of a curve
1177:
1171:
1148:
1142:
1073:
1067:
1000:if and only if there exists a
971:
916:
799:. In particular, a parametric
748:
742:
736:
730:
712:
706:
692:
686:
618:if each component function of
585:
582:
570:
562:
550:
545:
331:
325:
198:
145:
13:
1:
8141:Exterior covariant derivative
8073:Tensor (intrinsic definition)
7209:
5372:Fundamental theorem of curves
5159:and measures the deviance of
4544:has a constant curvature of
3338:of the parameter, the vector
1867:For a given parametric curve
140:fundamental theorem of curves
8166:Raising and lowering indices
6654:dimensions (general formula)
5366:Main theorem of curve theory
5345:
4737:
4698:
4664:
4187:
3994:
3960:
3765:
3225:
3042:, the two principal normals
2900:{\displaystyle \chi _{2}(t)}
2864:{\displaystyle \chi _{1}(t)}
2614:
2450:
2410:
2376:
1808:
1465:For each regular parametric
7:
8404:Gluon field strength tensor
7875:
7475:Differential transforms of
7197:
2013:of motion for this action.
1698:is the inverse function of
315:of the parametric curve is
229:continuously differentiable
10:
8533:
8215:Cartan formalism (physics)
8035:Penrose graphical notation
6042:
5535:which is regular of order
5369:
5134:
5130:
4191:
3253:
2641:The real-valued functions
2139:which is regular of order
2020:
1735:unit-speed parametrization
1725:arc-length parametrization
1531:, the function is defined
1294:
1288:
847:
626:, that is, it is of class
149:
123:theoretical point particle
29:
8421:
8361:
8310:
8303:
8195:
8126:
8063:
8007:
7954:
7901:
7894:
7887:Glossary of tensor theory
7883:
7810:
7772:
7717:
7667:
7603:
7579:
7560:
7526:
7483:
7388:10.1017/s0025557200178271
7254:Kühnel, Wolfgang (2005).
4194:Curvature of space curves
3519:is the speed at the time
3081:are Bertrand curves, and
8471:Gregorio Ricci-Curbastro
8343:Riemann curvature tensor
8050:Van der Waerden notation
7812:Curvature of connections
7787:Riemann curvature tensor
7709:Total absolute curvature
7421:Kreyszig, Erwin (1991).
7376:The Mathematical Gazette
3531:The first Frenet vector
3217:are real constants with
2979:principal normal vectors
2011:Euler–Lagrange equations
1997:is sometimes called the
529:The parametric curve is
8441:Elwin Bruno Christoffel
8374:Angular momentum tensor
8045:Tetrad (index notation)
8015:Abstract index notation
7759:Second fundamental form
7749:Gauss–Codazzi equations
7335:"Measures of Aberrancy"
4385:. It can be shown that
3740:, sometimes called the
3726:of the original curve.
1774:at unit speed, so that
1770:traverses the image of
1731:natural parametrization
425:is a closed interval ,
359:. The parametric curve
119:natural parametrization
8255:Levi-Civita connection
7764:Third fundamental form
7754:First fundamental form
7719:Differential geometry
7689:Frenet–Serret formulas
7669:Differential geometry
7339:Real Analysis Exchange
7189:
6640:
6299:
6045:Frenet–Serret formulas
6039:Frenet–Serret formulas
6023:
5861:
5805:
5737:
5513:
5354:may be used to define
5320:
5121:
5029:
4941:
4580:
4525:
4481:
4363:
4179:
4022:
3890:
3716:
3643:
3513:
3438:
3256:Frenet–Serret formulas
3032:
2971:
2942:
2919:is a regular curve in
2901:
2865:
2830:
2799:
2633:
2527:
2207:
2133:
2055:moving reference frame
2050:
2023:Frenet–Serret formulas
1991:
1858:
1660:
1518:
1456:
1358:
1269:Equivalent parametric
1187:
1086:
990:
935:
854:Vector-valued function
793:
760:
604:
392:
353:
297:
257:
217:
181:vector-valued function
8512:Differential geometry
8481:Jan Arnoldus Schouten
8436:Augustin-Louis Cauchy
7916:Differential geometry
7661:differential geometry
7607:on a family of curves
7564:defined by two points
7423:Differential Geometry
7285:mathworld.wolfram.com
7227:do Carmo, Manfredo P.
7204:List of curves topics
7190:
6641:
6300:
6024:
5862:
5806:
5738:
5514:
5321:
5122:
5030:
4942:
4581:
4538:A circle with radius
4526:
4482:
4364:
4180:
4049:It can be shown that
4023:
3891:
3717:
3644:
3514:
3439:
3246:is a circular helix.
3033:
2972:
2943:
2902:
2871:is the curvature and
2866:
2831:
2800:
2634:
2501:
2208:
2134:
2043:the unit normal, and
2037:is the unit tangent,
2030:
1992:
1859:
1661:
1519:
1457:
1359:
1201:is then said to be a
1188:
1087:
991:
936:
794:
761:
605:
393:
354:
311:of real numbers. The
298:
258:
218:
80:Differential geometry
8456:Carl Friedrich Gauss
8389:stress–energy tensor
8384:Cauchy stress tensor
8136:Covariant derivative
8098:Antisymmetric tensor
8030:Multi-index notation
7729:Principal curvatures
7542:Negative pedal curve
7300:Mathematics Magazine
6661:
6315:
6075:
5892:
5842:
5747:
5543:
5387:
5179:
5175:). It is defined as
5039:
4953:
4620:
4548:
4497:
4389:
4222:
4081:
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2839:
2811:
2661:
2621:
2238:
2149:
2114:
2053:A Frenet frame is a
1878:
1778:
1535:
1475:
1368:
1315:
1096:
1033:
945:
890:
861:equivalence relation
774:
768:linearly independent
670:
537:
488:-loop, the function
373:
319:
267:
239:
186:
94:, are expressed via
8333:Nonmetricity tensor
8188:(2nd-order tensors)
8156:Hodge star operator
8146:Exterior derivative
7995:Transport phenomena
7980:Continuum mechanics
7936:Multilinear algebra
7802:Sectional curvature
7774:Riemannian geometry
7655:Various notions of
7279:Weisstein, Eric W.
6783:
6755:
6714:
6686:
6396:
6368:
6340:
6128:
6100:
5829:, a starting point
5656:
5243:
4614:. It is defined as
4533:radius of curvature
4428:
4286:
4155:
4125:
2710:
2622:
2615:
1939:
1614:
1410:
447:is the endpoint of
8466:Tullio Levi-Civita
8409:Metric tensor (GR)
8323:Levi-Civita symbol
8176:Tensor contraction
7990:General relativity
7926:Euclidean geometry
7734:Gaussian curvature
7684:Torsion of a curve
7583:defined by a point
7530:defined by a point
7185:
7179:
7054:
6795:
6769:
6735:
6700:
6672:
6636:
6630:
6543:
6408:
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