102:
25:
105:
If 00010111 is a valid codeword, applying a right circular shift gives the string 10001011. If the code is cyclic, then 10001011 is again a valid codeword. In general, applying a right circular shift moves the least significant bit (LSB) to the leftmost position, so that it becomes the most
5941:. So, for correcting such errors we will get a more efficient code of higher rate because of the less constraints. Cyclic codes are used for correcting burst error. In fact, cyclic codes can also correct cyclic burst errors along with burst errors. Cyclic burst errors are defined as
2598:
In shortened codes information symbols are deleted to obtain a desired blocklength smaller than the design blocklength. The missing information symbols are usually imagined to be at the beginning of the codeword and are considered to be 0. Therefore,
4314:. In fact, any binary Hamming code of the form Ham(r, 2) is equivalent to a cyclic code, and any Hamming code of the form Ham(r,q) with r and q-1 relatively prime is also equivalent to a cyclic code. Given a Hamming code of the form Ham(r,2) with
490:
and because of their structural properties they are very useful for error controls. Their structure is strongly related to Galois fields because of which the encoding and decoding algorithms for cyclic codes are computationally efficient.
4726:-tuples with one as a top most non zero element will be chosen as columns. Then two columns will never be linearly dependent because three columns could be linearly dependent with the minimum distance of the code as 3.
3530:
2854:
as cyclic codes can be used for correcting single error. Likewise, they are also used to correct double errors and burst errors. All types of error corrections are covered briefly in the further subsections.
8722:
7812:
7350:
4082:
2009:
Before delving into the details of cyclic codes first we will discuss quasi-cyclic and shortened codes which are closely related to the cyclic codes and they all can be converted into each other.
9299:
4018:
783:
1538:
11044:
9202:
4258:
388:
8989:
6087:
2442:
8601:
3601:
8518:
7481:
5075:
2161:
1607:
3007:
699:
293:
11454:
11110:
10236:
5616:
3788:
6788:
5167:
11170:
5003:
3958:
7683:
4639:
6324:
5386:
3737:
3278:
2355:
1355:
11517:
10353:
5232:
4179:
9953:
3909:
7161:
7088:
4786:
5287:
2913:
481:
317:
228:
137:
9903:
9357:
8780:
8184:
8031:
2265:
559:
5771:
5574:
11753:
5736:
5500:
3867:
3139:
11617:
11298:
10415:
7252:
6930:
1217:
11337:
10927:
10808:
10689:
10630:
10528:
10489:
10022:
9764:
9578:
8819:
5842:
5539:
4964:
4312:
4124:
3178:
2756:
2593:
427:
11729:
11231:
9631:
9493:
9453:
9041:
8879:
8237:
8084:
7614:
7541:
7012:
6655:
5689:
5636:
4925:
4575:
4522:
4489:
4338:
3840:
3112:
3092:
2968:
1999:
1869:
1836:
1748:
1710:
1419:
1121:
951:
601:
6578:
6548:
6260:
5423:
5095:
11785:
11544:
11390:
10980:
10560:
10450:
10293:
10155:
10108:
10081:
10054:
9983:
9703:
9232:
9073:
9021:
8630:
8425:
6711:
6225:
6169:
5874:
5803:
5450:
3690:
3663:
3636:
3039:
2948:
2712:
2525:
2050:
1966:
1904:
1783:
1674:
1639:
181:
9821:
8349:
8133:
7980:
7931:
7902:
7873:
7844:
7402:
7210:
7117:
7044:
6979:
6888:
6819:
6198:
6116:
5915:
3820:
3403:
3374:
3345:
3309:
2294:
2194:
11570:
11363:
10953:
10741:
10715:
9847:
9539:
8378:
6142:
5313:
5261:
3207:
1934:
1381:
1041:
457:
6601:
6518:
6495:
6412:
6369:
11689:
11665:
11645:
11251:
11198:
10888:
10868:
10848:
10828:
10769:
10650:
10591:
10376:
10259:
10128:
9792:
9724:
9671:
9651:
9598:
9513:
9473:
9428:
9403:
9379:
9113:
9093:
8899:
8859:
8839:
8320:
8300:
8277:
8257:
8204:
8104:
8051:
7951:
7581:
7561:
7503:
7373:
7181:
6950:
6859:
6839:
6675:
6472:
6452:
6432:
6389:
6346:
6005:
5982:
5962:
5935:
5709:
5656:
5470:
4724:
4704:
4683:
4662:
4542:
4456:
4436:
3059:
2836:
2816:
2796:
2776:
2677:
2657:
2637:
2617:
2549:
2482:
2462:
2375:
2093:
2073:
1803:
1308:
1277:
1257:
1237:
1185:
1165:
1141:
1088:
1068:
1015:
995:
975:
918:
895:
871:
847:
823:
803:
641:
621:
204:
12291:
4902:
4408:
8395:
are widespread in signal processing. But their applications are not limited to the complex fields only; Fourier transforms also exist in the Galois field
6624:
In 1959, Philip Fire presented a construction of cyclic codes generated by a product of a binomial and a primitive polynomial. The binomial has the form
4418:
A code whose minimum distance is at least 3, have a check matrix all of whose columns are distinct and non zero. If a check matrix for a binary code has
2679:. It is not necessary to delete the starting symbols. Depending on the application sometimes consecutive positions are considered as 0 and are deleted.
5937:
errors. But in many channels error pattern is not very arbitrary, it occurs within very short segment of the message. Such kind of errors are called
43:
8282:
Fire codes are the best single burst correcting codes with high rate and they are constructed analytically. They are of very high rate and when
3410:
12253:
8435:
12319:
12045:
Aydin, Nuh; Siap, Irfan; K. Ray-Chaudhuri, Dijen (2001). "The
Structure of 1-Generator Quasi-Twisted Codes and New Linear Codes".
8635:
7690:
2778:
symbols to zero and drop them from each codeword. Any cyclic code can be converted to quasi-cyclic codes by dropping every
9237:
704:
7183:
or less and are in the same co-set of the code. So, their difference is a codeword. As the difference is a multiple of
1427:
7259:
4023:
12303:
12281:
12264:
12238:
12202:
12177:
12151:
6497:
components must be from different co-sets of an array to avoid their difference being a codeword of bursts of length
61:
10985:
6619:
3965:
9118:
4184:
322:
8908:
6010:
2380:
8523:
3535:
2682:
All the symbols which are dropped need not be transmitted and at the receiving end can be reinserted. To convert
8443:
5008:
2098:
1547:
2973:
2847:
95:
7090:
appear in the same co-set. This can be proved by contradiction. Suppose there are two distinct nonzero bursts
12223:
9435:. One important difference between Fourier transform in complex field and Galois field is that complex field
646:
240:
11395:
11049:
10168:
5579:
3742:
7409:
6718:
5100:
11115:
4969:
3914:
7619:
4580:
459:
cyclic left shifts, a cyclic code may also be defined via cyclic left shifts. Therefore, the linear code
6267:
5320:
4263:
Hence if the two pair of nonlinear equations can be solved cyclic codes can used to correct two errors.
3698:
3212:
2299:
1325:
12143:
11459:
10300:
5172:
4131:
9908:
8427:. Cyclic codes using Fourier transform can be described in a setting closer to the signal processing.
3872:
4732:
2204:
235:
5266:
2864:
462:
298:
209:
118:
9852:
9306:
8729:
8138:
7985:
4706:
there will be columns who are multiples of each other. So, to get linear independence all non zero
2214:
502:
5741:
5544:
12169:
11897:
11734:
8380:
5714:
5478:
3845:
3117:
11575:
11256:
10383:
7215:
7122:
7049:
6893:
1190:
12381:
12376:
11668:
11303:
10893:
10774:
10655:
10596:
10494:
10455:
9988:
9730:
9544:
8787:
5808:
5505:
4930:
4278:
4090:
3144:
2838:. If the dropped symbols are not check symbols then this cyclic code is also a shortened code.
2717:
2554:
1311:
393:
91:
12330:
11694:
11203:
9603:
9478:
9438:
9026:
8864:
8209:
8056:
7586:
7508:
6984:
6627:
5661:
5621:
4910:
4547:
4494:
4461:
4317:
3825:
3097:
3064:
2953:
1971:
1841:
1808:
1715:
1682:
1386:
1093:
923:
568:
12216:
10530:
and zero at certain components may not have inverse transforms with components in the field
6553:
6523:
6230:
5393:
5080:
11907:
11758:
11522:
11368:
10958:
10533:
10423:
10266:
10133:
10086:
10059:
10027:
9961:
9676:
9210:
9046:
8994:
8608:
8398:
6684:
6203:
6147:
5847:
5776:
5428:
3668:
3641:
3614:
3012:
2921:
2859:
2685:
2498:
2023:
1939:
1877:
1761:
1647:
1612:
874:
154:
12316:
9797:
8325:
8109:
7956:
7907:
7878:
7849:
7820:
7378:
7186:
7093:
7020:
6955:
6864:
6795:
6174:
6092:
5891:
3796:
3379:
3350:
3321:
3285:
3180:
because we are considering the case of two errors here, so each will represent one error.
2270:
2170:
8:
11549:
11342:
10932:
10720:
10694:
9826:
9518:
8357:
6121:
5292:
5240:
3186:
1913:
1360:
1020:
826:
436:
9541:. In case of extension fields, there will be a Fourier transform in the extension field
6583:
6500:
6477:
6394:
6351:
486:
Cyclic codes have some additional structural constraint on the codes. They are based on
12360:
12162:
12113:
12093:
12062:
11912:
11674:
11650:
11630:
11236:
11183:
10873:
10853:
10833:
10813:
10754:
10635:
10576:
10361:
10244:
10113:
9777:
9709:
9656:
9636:
9583:
9498:
9458:
9413:
9388:
9364:
9098:
9078:
8884:
8844:
8824:
8305:
8285:
8279:
equals to zero. That means both that both the bursts are same, contrary to assumption.
8262:
8242:
8189:
8089:
8036:
7936:
7566:
7546:
7488:
7358:
7166:
6935:
6844:
6824:
6660:
6457:
6437:
6417:
6374:
6371:
check symbols. Proof: Because any linear code that can correct burst pattern of length
6331:
5990:
5967:
5947:
5920:
5694:
5641:
5455:
4709:
4689:
4668:
4647:
4527:
4441:
4421:
3044:
2821:
2801:
2781:
2761:
2662:
2642:
2622:
2602:
2534:
2467:
2447:
2360:
2078:
2058:
1788:
1785:
itself and the code containing only the zero codeword. These correspond to generators
1293:
1262:
1242:
1222:
1170:
1150:
1144:
1126:
1073:
1053:
1000:
980:
960:
903:
880:
856:
832:
808:
788:
626:
606:
189:
10491:
and are constrained to be zero at certain components. But every spectrum in the field
4791:
4788:
nonzero columns with one as top most non zero element. Therefore, a
Hamming code is a
4343:
12299:
12287:
12277:
12260:
12234:
12198:
12186:
12173:
12147:
11892:
8392:
5773:
which represents no error. So, a
Hamming code is a single error correcting code over
39:
12066:
12117:
12103:
12054:
11995:
Sylvania
Reconnaissance Systems Laboratory, Mountain View, CA, Rept. RSL-E-2, 1959.
5885:
2916:
1290:
is a cyclic code in which the code, as an ideal is irreducible, i.e. is minimal in
6520:. Therefore, number of such co-sets are equal to number of such vectors which are
5984:(cyclically) consecutive components, the first and the last of which are nonzero.
1676:
is irreducible in the polynomial ring, and hence the code is an irreducible code.
12323:
12230:
12190:
6607:
954:
850:
562:
12339:
2207:
are polynomials that are divisible by a polynomial of shorter length called the
12269:
12135:
430:
87:
12108:
12081:
12058:
7017:
A fire code can correct all burst errors of length t or less if no two bursts
433:
of components is again a codeword. Because one cyclic right shift is equal to
12370:
12211:
11993:
A class of multiple-error-correcting binary codes for non-independent errors.
11902:
487:
75:
4272:
2851:
184:
144:
10452:
and the spectrum given by its inverse fourier transform is over the field
8351:. By using multiple fire codes longer burst errors can also be corrected.
6474:
in all zero codeword. Now, any two vectors that are non zero in the first
6227:
defines the starting point of error. Length of the pattern is given by deg
10743:
consecutive components of its spectrum equal to zero is all-zero vector.
5938:
3525:{\displaystyle S(x)\equiv v(x)\equiv (a(x)g(x)+e(x))\equiv e(x)\mod g(x)}
140:
106:
significant bit (MSB); the other positions are shifted by 1 to the right.
3009:. Cyclic codes can also be used to correct double errors over the field
1283:
such a word always exists and is unique; it is a generator of the code.
12356:
1910:
code, consisting of all words of even weight, corresponds to generator
1907:
90:
of each codeword gives another word that belongs to the code. They are
83:
6262:. The syndrome polynomial is unique for each pattern and is given by
12344:
6606:
This property is also known as Rieger bound and it is similar to the
4491:
possible columns. Therefore, if a check matrix of a binary code with
3311:
can have at most two nonzero coefficients corresponding to 2 errors.
12098:
11887:
5169:
and is a generator polynomial for the cyclic code of block length
483:
is cyclic precisely when it is invariant under all cyclic shifts.
6454:, which also could be obtained by making a burst error of length
3665:
be the two error location numbers. If only one error occurs then
1280:
94:
that have algebraic properties that are convenient for efficient
11799:
is a linear code with the property that for some constant λ if (
8354:
For error detection cyclic codes are widely used and are called
5691:
are distinct. Therefore, we can easily determine error location
12028:
12026:
6414:
or less as a codeword because if it did then a burst of length
4686:
matrix with linearly independent columns. For any word of size
4644:
It is easy to define
Hamming codes for large alphabets of size
4275:
code may be written as a cyclic code over GF(2) with generator
101:
12082:"A generalization of quasi-twisted codes: multi-twisted codes"
10565:
Following are the few bounds on the spectrum of cyclic codes.
1838:
respectively: these two polynomials must always be factors of
12006:
Burst or random error correction based on Fire and BCH codes.
10240:
whose elements are called check frequencies, the cyclic code
6328:
A linear block code that corrects all burst errors of length
1383:, the set of codewords contained in cyclic code generated by
12023:
4413:
4087:
And these two can be considered as two pair of equations in
499:
Cyclic codes can be linked to ideals in certain rings. Let
12296:
An introduction to error correcting codes with applications
9905:. Therefore, in frequency domain encoder can be written as
8717:{\displaystyle \Sigma _{i=0}^{n-1}e^{-j2\pi n^{-1}ik}v_{i}}
12044:
3793:
These field elements are called "syndromes". Now because
2211:. Every codeword polynomial can be expressed in the form
2004:
877:. The ideal is generated by the unique monic element in
7807:{\displaystyle (x^{l(2t-1)}-1)b(x)=a(x)(x^{2t-1}-1)p(x)}
6932:. Block length of the fire code is the smallest integer
12355:
This article incorporates material from cyclic code on
8430:
2377:
can be associated with a codeword polynomial, namely,
11761:
11737:
11697:
11677:
11653:
11633:
11578:
11552:
11525:
11462:
11398:
11371:
11345:
11306:
11259:
11239:
11206:
11186:
11118:
11052:
10988:
10961:
10935:
10896:
10876:
10856:
10836:
10816:
10777:
10757:
10723:
10697:
10658:
10638:
10599:
10579:
10536:
10497:
10458:
10426:
10386:
10364:
10303:
10269:
10247:
10171:
10136:
10116:
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10062:
10030:
9991:
9964:
9911:
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9679:
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9441:
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8867:
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8308:
8288:
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8245:
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8141:
8112:
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8059:
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7189:
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7052:
7023:
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6958:
6938:
6896:
6867:
6847:
6827:
6798:
6721:
6687:
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6586:
6556:
6526:
6503:
6480:
6460:
6440:
6434:
could change the codeword to burst pattern of length
6420:
6397:
6377:
6354:
6334:
6270:
6233:
6206:
6177:
6150:
6124:
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6013:
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5970:
5950:
5923:
5894:
5850:
5811:
5779:
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5717:
5697:
5664:
5644:
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5582:
5547:
5508:
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5458:
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5243:
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4972:
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4692:
4671:
4650:
4583:
4550:
4530:
4497:
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4444:
4424:
4346:
4320:
4281:
4187:
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3917:
3875:
3848:
3828:
3799:
3745:
3701:
3671:
3644:
3617:
3538:
3413:
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3324:
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3215:
3189:
3147:
3120:
3100:
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3047:
3015:
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2956:
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2867:
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2804:
2784:
2764:
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2605:
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2173:
2101:
2081:
2061:
2026:
1974:
1942:
1916:
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1718:
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1363:
1328:
1296:
1265:
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1193:
1173:
1153:
1129:
1096:
1076:
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1023:
1003:
983:
963:
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629:
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505:
465:
439:
396:
325:
301:
243:
212:
192:
157:
121:
12336:
9294:{\displaystyle \Sigma _{i=0}^{n-1}\omega ^{ij}v_{i}}
10296:
whose spectrum is zero in the components indexed by
10024:but all the components in the time domain are from
3692:is equal to zero and if none occurs both are zero.
778:{\displaystyle c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}}
34:
may be too technical for most readers to understand
12215:
12161:
11779:
11747:
11723:
11683:
11659:
11639:
11611:
11564:
11538:
11511:
11448:
11384:
11357:
11331:
11292:
11245:
11225:
11192:
11164:
11104:
11038:
10974:
10947:
10921:
10882:
10862:
10842:
10822:
10802:
10763:
10735:
10709:
10683:
10644:
10624:
10585:
10554:
10522:
10483:
10444:
10409:
10370:
10347:
10287:
10253:
10230:
10149:
10122:
10102:
10075:
10048:
10016:
9977:
9947:
9897:
9841:
9815:
9786:
9758:
9718:
9697:
9665:
9645:
9625:
9592:
9572:
9533:
9507:
9487:
9467:
9447:
9422:
9397:
9373:
9351:
9293:
9226:
9196:
9107:
9087:
9067:
9035:
9015:
8983:
8893:
8873:
8853:
8833:
8813:
8774:
8716:
8624:
8595:
8512:
8419:
8372:
8343:
8314:
8294:
8271:
8251:
8231:
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8178:
8127:
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8078:
8045:
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7838:
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7575:
7555:
7535:
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7475:
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7344:
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7155:
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6853:
6833:
6813:
6782:
6705:
6669:
6649:
6595:
6572:
6542:
6512:
6489:
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6446:
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6406:
6383:
6363:
6340:
6318:
6254:
6219:
6192:
6163:
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6110:
6081:
5999:
5976:
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5836:
5797:
5765:
5730:
5703:
5683:
5650:
5630:
5610:
5568:
5533:
5494:
5464:
5444:
5417:
5380:
5307:
5289:. And the received word is a polynomial of degree
5281:
5255:
5226:
5161:
5089:
5069:
4997:
4958:
4919:
4896:
4780:
4718:
4698:
4677:
4656:
4633:
4569:
4536:
4516:
4483:
4450:
4430:
4402:
4332:
4306:
4252:
4173:
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4076:
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3339:
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3086:
3053:
3033:
3001:
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2942:
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2810:
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2770:
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2706:
2671:
2651:
2631:
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2587:
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2519:
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2436:
2369:
2349:
2288:
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2087:
2067:
2044:
1993:
1960:
1928:
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1863:
1830:
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1777:
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1704:
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1633:
1601:
1532:
1413:
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1349:
1302:
1271:
1251:
1231:
1211:
1179:
1159:
1135:
1115:
1082:
1062:
1035:
1009:
989:
969:
945:
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889:
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817:
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777:
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595:
553:
475:
451:
421:
382:
311:
287:
222:
198:
175:
131:
12185:
12032:
10562:. Such spectrum can not be used as cyclic codes.
1533:{\displaystyle ((0,0,0),(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1))}
12368:
12361:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
8841:th root of unity. Similarly in the finite field
7345:{\displaystyle b(x)=x^{j}b'(x)\mod (x^{2t-1}-1)}
4077:{\displaystyle S_{3}=\alpha ^{3i}+\alpha ^{3i'}}
8322:are equal, redundancy is least and is equal to
5964:is a vector whose nonzero components are among
12079:
11039:{\displaystyle j=\ell _{1}+\ell _{2}b(\mod n)}
6613:
5879:
4013:{\displaystyle S_{1}=\alpha ^{i}+\alpha ^{i'}}
1679:The idempotent of this code is the polynomial
12257:, Information theory, coding and cryptography
9197:{\displaystyle V=(V_{0},V_{1},.....,V_{n-1})}
6681:is a cyclic burst error correcting code over
6620:Burst error-correcting code § Fire codes
4253:{\displaystyle S_{3}=(X_{1})^{3}+(X_{2})^{3}}
603:. Identify the elements of the cyclic code
383:{\displaystyle (c_{n},c_{1},\ldots ,c_{n-1})}
12276:, Boston: Kluwer Academic Publishers, 1999,
8984:{\displaystyle v=(v_{0},v_{1},....,v_{n-1})}
6082:{\displaystyle e(x)=x^{i}b(x)\mod (x^{n}-1)}
4577:columns, not more than that. This defines a
3606:
3183:The received word is a polynomial of degree
2437:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}c_{i}*x^{i}}
12315:John Gill's (Stanford) class notes –
11862:is a quasi-cyclic code of even length with
9774:Any codeword of cyclic code of blocklength
8596:{\displaystyle V=V_{0},V_{1},.....,V_{n-1}}
4340:, the set of even codewords forms a cyclic
3596:{\displaystyle (a(x)g(x))\equiv 0\mod g(x)}
2055:is a linear block code such that, for some
12329:Jonathan Hall's (MSU) class notes –
11622:
10420:So, cyclic codes are vectors in the field
10160:Thus, cyclic codes can also be defined as
8513:{\displaystyle v=v_{0},v_{1},....,v_{n-1}}
8440:The discrete Fourier transform of vector
5987:In polynomial form cyclic burst of length
5070:{\displaystyle \beta ^{(q^{m}-1)/(q-1)}=1}
2296:is the generator polynomial. Any codeword
2156:{\displaystyle x^{b}c(x){\pmod {x^{n}-1}}}
1602:{\displaystyle \mathbb {F} _{2}/(x^{3}-1)}
12107:
12097:
12004:Wei Zhou, Shu Lin, Khaled Abdel-Ghaffar.
11439:
11438:
11029:
11028:
7310:
7309:
6303:
6302:
6056:
6055:
4414:Hamming code for correcting single errors
4126:with two unknowns and hence we can write
3580:
3579:
3509:
3508:
3376:when divided by the generator polynomial
3002:{\displaystyle {\mathcal {C}}(\alpha )=0}
1553:
1337:
953:. It follows that every cyclic code is a
62:Learn how and when to remove this message
46:, without removing the technical details.
12210:
12017:
11943:
11931:
11647:is a quadratic residue modulo the prime
2841:
2659:is decreased which eventually decreases
100:
10746:
9769:
9653:. In Galois field time domain vector
9095:, then Fourier transform of the vector
8386:
694:{\displaystyle (c_{0},\ldots ,c_{n-1})}
288:{\displaystyle c=(c_{1},\ldots ,c_{n})}
12369:
12274:Error-Control Coding for Data Networks
12197:, New York: North-Holland Publishing,
12134:
11967:
11449:{\displaystyle j=l_{1}+l_{2}b(\mod n)}
11105:{\displaystyle \ell _{1}=0,....,d-s-1}
10231:{\displaystyle A=(j_{1},....,j_{n-k})}
6391:or less cannot have a burst of length
5888:concept, a code with minimum distance
5611:{\displaystyle v(\alpha )=\alpha ^{i}}
3783:{\displaystyle S_{3}={v}(\alpha ^{3})}
2005:Quasi-cyclic codes and shortened codes
494:
12337:
12140:Algebraic Codes for Data Transmission
12080:Aydin, Nuh; Halilović, Ajdin (2017).
11846:is a constacyclic code with λ=-1. A
7476:{\displaystyle b(x)=x^{l(2t-1)}b'(x)}
6783:{\displaystyle g(x)=(x^{2t-1}-1)p(x)}
5162:{\displaystyle x^{(q^{m}-1)/(q-1)}-1}
2203:is an element of a linear code whose
1758:Trivial examples of cyclic codes are
1310:, so that its check polynomial is an
1187:is an identity for the code, that is
44:make it understandable to non-experts
12195:The Theory of Error-Correcting Codes
12159:
12086:Finite Fields and Their Applications
11979:
11955:
11854:, any cyclic shift of a codeword by
11165:{\displaystyle \ell _{2}=0,....,s-1}
8436:Fourier transform over finite fields
8431:Fourier transform over finite fields
4998:{\displaystyle \beta =\alpha ^{q-1}}
3953:{\displaystyle S_{3}=e(\alpha ^{3})}
805:corresponds to a cyclic shift. Then
18:
10955:or less whose spectral components
9794:can be represented by a polynomial
7678:{\displaystyle (x^{l(2t-1)}-1)b(x)}
4634:{\displaystyle (2^{m}-1,2^{m}-1-m)}
2132:
1753:
13:
12247:
11790:
11365:or less whose spectral components
9242:
8640:
6821:is a prime polynomial with degree
6319:{\displaystyle s(x)=e(x)\mod g(x)}
5381:{\displaystyle v(x)=a(x)g(x)+e(x)}
3732:{\displaystyle S_{1}={v}(\alpha )}
3273:{\displaystyle v(x)=a(x)g(x)+e(x)}
2979:
2531:if it can be obtained by deleting
2350:{\displaystyle (c_{0},..,c_{n-1})}
1350:{\displaystyle A=\mathbb {F} _{2}}
468:
304:
215:
124:
14:
12393:
12309:
11671:which is a cyclic code of length
11512:{\displaystyle l_{1}=0,...,d-s-2}
10348:{\displaystyle j_{1},...,j_{n-k}}
5541:to index error location. Because
5227:{\displaystyle n=(q^{m}-1)/(q-1)}
4174:{\displaystyle S_{1}=X_{1}+X_{2}}
10850:an integer that is coprime with
10379:will have components of the form
10164:Given a set of spectral indices,
9948:{\displaystyle C_{j}=A_{j}G_{j}}
9849:. Its encoder can be written as
9727:may be over the extension field
5472:represents the error locations.
3960:. If say two errors occur, then
3904:{\displaystyle S_{1}=e(\alpha )}
2915:. This polynomial has a zero in
1968:this must always be a factor of
1712:, corresponding to the codeword
23:
12317:Notes #3, October 8, Handout #9
12164:A First Course In Coding Theory
12073:
12047:Designs, Codes and Cryptography
12038:
11874:are further generalizations of
11858:places is again a codeword. A
11850:has the property that for some
11434:
11024:
7305:
6298:
6051:
4781:{\displaystyle (q^{m}-1)/(q-1)}
4266:
3575:
3504:
3347:as the remainder of polynomial
2487:
2125:
2012:
1544:It corresponds to the ideal in
12359:, which is licensed under the
12011:
11998:
11985:
11973:
11961:
11949:
11937:
11925:
11774:
11768:
11710:
11698:
11443:
11431:
11320:
11313:
11281:
11269:
11033:
11021:
10910:
10903:
10797:
10778:
10672:
10665:
10619:
10600:
10549:
10543:
10517:
10504:
10478:
10465:
10439:
10433:
10282:
10276:
10225:
10178:
10043:
10037:
10011:
9998:
9892:
9886:
9880:
9874:
9865:
9859:
9810:
9804:
9753:
9740:
9692:
9686:
9567:
9554:
9191:
9128:
9062:
9056:
9010:
9004:
8978:
8918:
8414:
8408:
8165:
8150:
8122:
8116:
8012:
7997:
7969:
7963:
7920:
7914:
7891:
7885:
7862:
7856:
7846:degree is less than degree of
7833:
7827:
7801:
7795:
7789:
7761:
7758:
7752:
7743:
7737:
7731:
7720:
7705:
7694:
7672:
7666:
7660:
7649:
7634:
7623:
7530:
7515:
7470:
7464:
7451:
7436:
7422:
7416:
7339:
7311:
7302:
7296:
7272:
7266:
7199:
7193:
7150:
7144:
7106:
7100:
7077:
7071:
7033:
7027:
6968:
6962:
6877:
6871:
6808:
6802:
6777:
6771:
6765:
6737:
6731:
6725:
6713:with the generator polynomial
6700:
6694:
6657:for some positive odd integer
6313:
6307:
6295:
6289:
6280:
6274:
6243:
6237:
6187:
6181:
6105:
6099:
6076:
6057:
6048:
6042:
6023:
6017:
5792:
5786:
5754:
5748:
5592:
5586:
5557:
5551:
5528:
5515:
5406:
5400:
5375:
5369:
5360:
5354:
5348:
5342:
5333:
5327:
5282:{\displaystyle \alpha =\beta }
5221:
5209:
5201:
5182:
5148:
5136:
5128:
5109:
5056:
5044:
5036:
5017:
4953:
4940:
4891:
4882:
4870:
4862:
4843:
4837:
4825:
4817:
4798:
4795:
4775:
4763:
4755:
4736:
4628:
4584:
4458:-bit binary number. There are
4397:
4347:
4241:
4227:
4215:
4201:
4113:
4100:
3947:
3934:
3898:
3892:
3822:is zero at primitive elements
3809:
3803:
3777:
3764:
3726:
3720:
3590:
3584:
3566:
3563:
3557:
3551:
3545:
3539:
3519:
3513:
3501:
3495:
3486:
3483:
3477:
3468:
3462:
3456:
3450:
3444:
3438:
3432:
3423:
3417:
3392:
3386:
3363:
3357:
3334:
3328:
3298:
3292:
3267:
3261:
3252:
3246:
3240:
3234:
3225:
3219:
3167:
3154:
3028:
3022:
2990:
2984:
2937:
2931:
2908:{\displaystyle g(x)=x^{3}+x+1}
2877:
2871:
2745:
2721:
2701:
2689:
2582:
2558:
2514:
2502:
2344:
2303:
2283:
2277:
2254:
2248:
2242:
2236:
2227:
2221:
2183:
2177:
2149:
2126:
2121:
2115:
2039:
2027:
1955:
1949:
1893:
1887:
1737:
1719:
1663:
1651:
1628:
1616:
1596:
1577:
1569:
1563:
1527:
1524:
1506:
1500:
1482:
1476:
1458:
1452:
1434:
1431:
1408:
1390:
957:. If the generator polynomial
688:
650:
590:
584:
548:
529:
521:
515:
476:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
410:
403:
377:
326:
312:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
282:
250:
223:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
170:
164:
132:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
96:error detection and correction
1:
12224:Graduate Texts in Mathematics
12218:Introduction to Coding Theory
12128:
12033:MacWilliams & Sloane 1977
11819:) is a codeword then so is (λ
11175:
9898:{\displaystyle c(x)=a(x)g(x)}
9352:{\displaystyle k=0,.....,n-1}
8775:{\displaystyle k=0,.....,n-1}
8179:{\displaystyle x^{l(2t-1)}-1}
8026:{\displaystyle x^{l(2t-1)}-1}
6610:for random error correcting.
4438:rows, then each column is an
2858:The (7,4) Hamming code has a
2260:{\displaystyle c(x)=a(x)g(x)}
554:{\displaystyle R=A/(x^{n}-1)}
110:
11731:and minimum weight at least
10568:
8861:th root of unity is element
5766:{\displaystyle v(\alpha )=0}
5569:{\displaystyle g(\alpha )=0}
5097:is a zero of the polynomial
4544:rows, then it can only have
2970:, and all codewords satisfy
2846:Cyclic codes can be used to
2529:proper shortened cyclic code
920:. This must be a divisor of
7:
11881:
11748:{\displaystyle {\sqrt {p}}}
9204:and components are given by
6614:Fire codes as cyclic bounds
6580:co-sets and hence at least
6348:or less must have at least
5880:For correcting burst errors
5731:{\displaystyle \alpha ^{i}}
5495:{\displaystyle \alpha ^{i}}
4907:Now, for cyclic codes, Let
4641:code, called Hamming code.
3862:{\displaystyle \alpha ^{3}}
3134:{\displaystyle \alpha ^{3}}
2444:. A quasi-cyclic code with
1317:
10:
12398:
12144:Cambridge University Press
11619:, is the all-zero vector.
11612:{\displaystyle 0,....,d-2}
11293:{\displaystyle GCD(n,b)=1}
11172:, is the all zero vector.
10410:{\displaystyle A_{j}G_{j}}
10083:is arbitrary, the role of
9455:exists for every value of
7685:is a codeword. Therefore,
7247:{\displaystyle x^{2t-1}-1}
7156:{\displaystyle x^{j}b'(x)}
7083:{\displaystyle x^{j}b'(x)}
6925:{\displaystyle x^{2t-1}-1}
6617:
6118:as a polynomial of degree
2196:is a codeword polynomial.
1212:{\displaystyle e\cdot c=c}
997:then the rank of the code
12109:10.1016/j.ffa.2016.12.002
11332:{\displaystyle GF(q)^{n}}
10922:{\displaystyle GF(q)^{n}}
10803:{\displaystyle (q^{m}-1)}
10684:{\displaystyle GF(q)^{n}}
10625:{\displaystyle (q^{m}-1)}
10523:{\displaystyle GF(q^{m})}
10484:{\displaystyle GF(q^{m})}
10017:{\displaystyle GF(q^{m})}
9759:{\displaystyle GF(q^{m})}
9573:{\displaystyle GF(q^{m})}
8814:{\displaystyle -j2\pi /n}
7212:it is also a multiple of
6144:with nonzero coefficient
5944:A cyclic burst of length
5837:{\displaystyle n=2^{m}-1}
5534:{\displaystyle GF(2^{m})}
4959:{\displaystyle GF(q^{m})}
4307:{\displaystyle 1+x+x^{3}}
4119:{\displaystyle GF(2^{m})}
3607:For correcting two errors
3173:{\displaystyle GF(2^{m})}
2950:at the primitive element
2751:{\displaystyle (n-b,k-b)}
2588:{\displaystyle (n+b,k+b)}
785:: thus multiplication by
422:{\displaystyle GF(q)^{n}}
11918:
10262:is the set of words over
6200:defines the pattern and
4927:be primitive element in
4664:. We need to define one
2527:linear code is called a
701:maps to the polynomial
12331:Chapter 8. Cyclic codes
12170:Oxford University Press
12059:10.1023/A:1011283523000
11991:P. Fire, E, P. (1959).
11898:Cyclic redundancy check
11724:{\displaystyle (p+1)/2}
11623:Quadratic residue codes
11226:{\displaystyle q^{m}-1}
10056:. As the data spectrum
9626:{\displaystyle q^{m}-1}
9488:{\displaystyle \omega }
9448:{\displaystyle \omega }
9036:{\displaystyle \omega }
8874:{\displaystyle \omega }
8381:cyclic redundancy codes
8232:{\displaystyle q^{m}-1}
8079:{\displaystyle q^{m}-1}
7609:{\displaystyle q^{m}-1}
7536:{\displaystyle l(2t-1)}
7007:{\displaystyle x^{n}-1}
6650:{\displaystyle x^{c}+1}
5684:{\displaystyle 2^{m}-2}
5631:{\displaystyle \alpha }
4920:{\displaystyle \alpha }
4570:{\displaystyle 2^{m}-1}
4517:{\displaystyle d_{min}}
4484:{\displaystyle 2^{m}-1}
4333:{\displaystyle r\geq 3}
3835:{\displaystyle \alpha }
3611:Let the field elements
3107:{\displaystyle \alpha }
3094:and primitive elements
3087:{\displaystyle 2^{m}-1}
2963:{\displaystyle \alpha }
1994:{\displaystyle x^{n}-1}
1864:{\displaystyle x^{n}-1}
1831:{\displaystyle x^{n}-1}
1743:{\displaystyle (0,1,1)}
1705:{\displaystyle x+x^{2}}
1414:{\displaystyle (1,1,0)}
1116:{\displaystyle e^{2}=e}
946:{\displaystyle x^{n}-1}
897:of minimum degree, the
596:{\displaystyle A=GF(q)}
12160:Hill, Raymond (1988),
11781:
11749:
11725:
11685:
11669:quadratic residue code
11661:
11641:
11613:
11566:
11540:
11513:
11450:
11386:
11359:
11333:
11300:. The only vector in
11294:
11247:
11227:
11194:
11166:
11106:
11040:
10976:
10949:
10923:
10884:
10864:
10844:
10824:
10804:
10765:
10737:
10711:
10685:
10646:
10626:
10587:
10556:
10524:
10485:
10446:
10411:
10372:
10349:
10289:
10255:
10232:
10151:
10124:
10104:
10077:
10050:
10018:
9979:
9949:
9899:
9843:
9817:
9788:
9760:
9720:
9699:
9667:
9647:
9627:
9594:
9574:
9535:
9509:
9489:
9475:while in Galois field
9469:
9449:
9424:
9399:
9375:
9353:
9295:
9228:
9198:
9109:
9089:
9069:
9037:
9017:
8985:
8895:
8875:
8855:
8835:
8815:
8776:
8718:
8626:
8597:
8514:
8421:
8374:
8345:
8316:
8296:
8273:
8253:
8233:
8200:
8180:
8129:
8100:
8080:
8047:
8027:
7976:
7947:
7927:
7898:
7869:
7840:
7808:
7679:
7610:
7577:
7557:
7537:
7499:
7477:
7398:
7369:
7346:
7248:
7206:
7177:
7157:
7113:
7084:
7040:
7008:
6975:
6946:
6926:
6884:
6855:
6835:
6815:
6784:
6707:
6671:
6651:
6597:
6574:
6573:{\displaystyle q^{2t}}
6544:
6543:{\displaystyle q^{2t}}
6514:
6491:
6468:
6448:
6428:
6408:
6385:
6365:
6342:
6320:
6256:
6255:{\displaystyle b(x)+1}
6221:
6194:
6165:
6138:
6112:
6083:
6001:
5978:
5958:
5931:
5911:
5870:
5838:
5799:
5767:
5732:
5705:
5685:
5652:
5632:
5612:
5570:
5535:
5496:
5466:
5446:
5419:
5418:{\displaystyle e(x)=0}
5382:
5309:
5283:
5257:
5228:
5163:
5091:
5090:{\displaystyle \beta }
5071:
4999:
4960:
4921:
4898:
4782:
4720:
4700:
4679:
4658:
4635:
4571:
4538:
4518:
4485:
4452:
4432:
4404:
4334:
4308:
4254:
4175:
4120:
4078:
4014:
3954:
3905:
3863:
3836:
3816:
3784:
3733:
3686:
3659:
3632:
3597:
3526:
3399:
3370:
3341:
3305:
3274:
3203:
3174:
3135:
3108:
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11958:, pp. 159–160
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