5786:
2381:
4185:
254:
an arbitrary real constant, is likewise a family of solutions; however there can exist other solutions not of this form that are extremely complicated. However, any of a number of regularity conditions, some of them quite weak, will preclude the existence of these
4314:
3262:
5607:
3069:
4048:
707:
2208:
6194:
4041:
6146:
639:
572:
1806:
4498:
5385:
6235:
5869:
3151:
4194:
5962:
Thus, in a sense, despite the inability to exhibit a nonlinear solution, "most" (in the sense of cardinality) solutions to the Cauchy functional equation are actually nonlinear and pathological.
5545:
4692:
293:
2458:
4845:
4937:
3158:
4407:
3660:
2010:
3509:
1592:
1449:
5960:
5205:
4447:
2797:
5260:
4625:
4597:
3859:
3570:
3308:
2080:
1316:
5920:
5339:
4523:
3361:
2837:
2622:
164:
95:
5291:
4983:
4656:
1654:
5602:
5482:
5454:
5165:
4873:
3908:
3804:
3709:
2496:
that is, that any disk in the plane (however small) contains a point from the graph. From this it is easy to prove the various conditions given in the introductory paragraph.
2494:
2200:
2172:
2111:
1919:
1887:
1623:
1181:
3755:
3419:
3390:
3098:
2144:
1103:
704:
637:
6259:
5014:
769:
558:
1038:
957:
808:
232:
5066:
4813:
5110:
5088:
5041:
4788:
999:
878:
856:
1859:
1552:
1499:
1153:
4766:
3941:
2933:
2895:
4333:
3459:
2737:
2530:
1351:
1233:
1207:
5509:
5574:
834:
461:
187:
5828:
5808:
5133:
4547:
4355:
3961:
3439:
2860:
2757:
2670:
2650:
2550:
977:
918:
898:
508:
430:
404:
374:
348:
320:
252:
117:
2702:
2582:
2941:
5781:{\displaystyle f(x)=f{\Big (}\sum _{i\in I}\lambda _{i}x_{i}{\Big )}=\sum _{i\in I}f(x_{i}\lambda _{i})=\sum _{i\in I}f(x_{i})\lambda _{i}.}
2376:{\displaystyle f(qv)=f\left({\frac {m}{n}}\,v\right)=f\left({\frac {1}{n}}\,(mv)\right)={\frac {1}{n}}\,f(mv)={\frac {1}{n}}\,m\,f(v)=qf(v)}
4180:{\displaystyle f\left({\frac {r_{1}}{k}}+{\frac {r_{2}a}{k}}\right)+f\left({\frac {-r_{2}a}{k}}\right)=f\left({\frac {r_{1}}{k}}\right)}
6151:
3966:
6097:
1659:
4461:
5871:
Moreover, it is clear that every solution is of this form. In particular, the solutions of the functional equation are linear
5344:
6199:
5833:
3106:
6292:
Hamel, Georg (1905). "Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der
Funktionalgleichung: f(x+y) = f(x) + f(y)".
5514:
4661:
262:
2402:
29:
4818:
4878:
4360:
6282:
3575:
6072:"Are there any non-linear solutions of Cauchy's equation $ f(x+y)=f(x)+f(y)$ without assuming the Axiom of Choice?"
6237:
each of which could be extended to a unique solution of the functional equation. On the other hand, there are only
4702:
of rational numbers. Note, however, that this method is nonconstructive, relying as it does on the existence of a
1924:
6275:
An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Cauchy's equation and Jensen's inequality
3466:
1557:
1356:
560:
are known as Cauchy-Hamel functions and are used in Dehn-Hadwiger invariants which are used in the extension of
5992: – homomorphism between modules, paired with the associated homomorphism between the respective base rings
5925:
5170:
4412:
4309:{\displaystyle {\frac {1}{k}}f\left(r_{1}+r_{2}a\right)+{\frac {-r_{2}}{k}}f\left(a\right)={\frac {r_{1}}{k}}}
2762:
6348:
5210:
4602:
4552:
3812:
3514:
3269:
2015:
1241:
5877:
5296:
3257:{\displaystyle A(x,y)={\begin{bmatrix}1&a\\1&f(a)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}
4503:
3316:
2802:
2587:
134:
5265:
4942:
4630:
1628:
5579:
5459:
5390:
5138:
5112:
can be written down, the pathological solutions defined below likewise cannot be expressed explicitly.
4850:
3864:
3760:
3668:
2467:
2393:
2177:
2149:
2088:
1896:
1864:
1600:
1158:
561:
483:
256:
3714:
3395:
3366:
3074:
2116:
1043:
644:
577:
6240:
4992:
4715:
712:
513:
1011:
930:
781:
199:
5046:
4793:
467:) there are infinitely many other functions that satisfy the equation. This was proved in 1905 by
5093:
5071:
5019:
4771:
982:
861:
839:
6313:
4525:
is a scaled copy of the rationals. This shows that only linear solutions are permitted when the
1814:
1507:
1454:
1108:
778:
A simple argument, involving only elementary algebra, demonstrates that the set of additive maps
4724:
4658:
However, as we will demonstrate below, highly pathological solutions can be found for functions
3913:
2900:
2865:
4703:
2396:
functions. In particular, it is shown that any other solution must have the property that its
381:
4714:.) There exists models where all sets of reals are measurable which are consistent with ZF +
4318:
3444:
487:
4710:. (In fact, the existence of a basis for every vector space is logically equivalent to the
2707:
2509:
1321:
1212:
1186:
5983:
5977:
5487:
4526:
5550:
8:
4699:
2397:
813:
433:
351:
323:
23:
443:
169:
5813:
5793:
5118:
4768:
exist, we first note that because every vector space has a basis, there is a basis for
4532:
4340:
3946:
3424:
2845:
2742:
2655:
2635:
2535:
962:
903:
883:
493:
415:
389:
377:
359:
333:
305:
237:
128:
102:
2675:
2555:
6278:
6052:
6308:
6044:
407:
4711:
4707:
3064:{\displaystyle L:=\{(r_{1}+r_{2}a,r_{1}+r_{2}f(a)):r_{1},r_{2}\in \mathbb {Q} \}}
490:
is a generalisation of this equation. Functions where there exists a real number
464:
124:
5989:
5971:
5872:
6342:
6056:
6021:
V.G. Boltianskii (1978) "Hilbert's third problem", Halsted Press, Washington
6270:
4695:
120:
6320:
6033:"A Model of Set-Theory in Which Every Set of Reals is Lebesgue Measurable"
2387:
4453:
472:
468:
190:
6032:
296:
194:
2461:
6048:
5810:
is a solution to Cauchy's functional equation given a definition of
6071:
3363:, the transformation is invertible, thus it is bicontinuous. Since
6189:{\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=2^{\mathfrak {c}}}
5484:
can be expressed as a unique (finite) linear combination of the
4036:{\displaystyle {\frac {r_{1}}{k}},{\frac {-r_{2}a}{k}}\in (0,1)}
6141:{\displaystyle \mathrm {card} ({\mathcal {B}})={\mathfrak {c}}}
4986:
327:
1801:{\displaystyle f(mv)=f((-m)(-v))=(-m)f(-v)=(-m)(-f(v))=mf(v)}
4493:{\displaystyle f\colon \alpha \mathbb {Q} \to \mathbb {R} ,}
4694:
based on these linear solutions, by viewing the reals as a
440:
On the other hand, if no further conditions are imposed on
6321:"Overview of basic facts about Cauchy functional equation"
2584:, but is not linear, then its graph is dense on the strip
5380:{\displaystyle f\colon x_{i}\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }
2552:
satisfies the Cauchy functional equation on the interval
5980: – Function with a multiplicative scaling behaviour
6230:{\displaystyle f\colon {\mathcal {B}}\to \mathbb {R} ,}
5864:{\displaystyle f\colon {\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}
4549:
is restricted to such sets. Thus, in general, we have
2392:
We prove below that any other solutions must be highly
2388:
Properties of nonlinear solutions over the real numbers
4881:
4721:
To show that solutions other than the ones defined by
4454:
Existence of nonlinear solutions over the real numbers
3233:
3188:
3146:{\displaystyle A:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}
773:
6243:
6202:
6154:
6100:
5928:
5881:
5836:
5816:
5796:
5610:
5582:
5553:
5517:
5490:
5462:
5393:
5347:
5300:
5268:
5213:
5173:
5141:
5121:
5096:
5074:
5049:
5022:
4995:
4945:
4853:
4821:
4796:
4774:
4727:
4664:
4633:
4605:
4555:
4535:
4506:
4464:
4415:
4363:
4343:
4321:
4197:
4051:
3969:
3949:
3916:
3867:
3815:
3763:
3717:
3671:
3578:
3517:
3469:
3447:
3427:
3398:
3369:
3319:
3272:
3161:
3109:
3077:
2944:
2903:
2868:
2848:
2805:
2765:
2745:
2710:
2678:
2658:
2638:
2590:
2558:
2538:
2512:
2470:
2405:
2211:
2180:
2152:
2119:
2091:
2018:
1927:
1899:
1867:
1817:
1662:
1631:
1603:
1560:
1510:
1457:
1359:
1324:
1244:
1215:
1189:
1161:
1111:
1046:
1014:
985:
965:
933:
906:
886:
864:
842:
816:
784:
715:
647:
580:
516:
496:
446:
418:
392:
362:
336:
308:
265:
240:
202:
172:
137:
105:
32:
5994:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
5540:{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
5341:
is the constant of proportionality. In other words,
4687:{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
288:{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
2453:{\displaystyle \{(x,f(x))\vert x\in \mathbb {R} \}}
131:that there is a single family of solutions, namely
6253:
6229:
6188:
6140:
5954:
5914:
5863:
5822:
5802:
5780:
5596:
5568:
5539:
5503:
5476:
5448:
5379:
5333:
5285:
5254:
5199:
5159:
5127:
5104:
5082:
5060:
5035:
5008:
4977:
4931:
4867:
4840:{\displaystyle {\mathcal {B}}\subset \mathbb {R} }
4839:
4807:
4782:
4760:
4686:
4650:
4619:
4591:
4541:
4517:
4492:
4441:
4401:
4349:
4327:
4308:
4179:
4035:
3955:
3935:
3902:
3853:
3798:
3749:
3703:
3654:
3564:
3503:
3453:
3433:
3413:
3384:
3355:
3302:
3256:
3145:
3092:
3063:
2927:
2889:
2854:
2831:
2791:
2751:
2731:
2696:
2664:
2644:
2616:
2576:
2544:
2524:
2488:
2452:
2375:
2194:
2166:
2138:
2105:
2074:
2004:
1913:
1881:
1853:
1800:
1648:
1617:
1586:
1546:
1493:
1443:
1345:
1310:
1227:
1201:
1175:
1147:
1097:
1032:
993:
971:
951:
912:
892:
872:
850:
828:
802:
763:
698:
631:
552:
502:
455:
424:
398:
368:
342:
314:
287:
246:
226:
181:
158:
111:
89:
5674:
5631:
4932:{\textstyle x=\sum _{i\in I}{\lambda _{i}x_{i}},}
6340:
4458:The linearity proof given above also applies to
4402:{\displaystyle L\cap ((0,1)\times \mathbb {R} )}
3320:
4706:for any vector space, a statement proved using
3655:{\displaystyle f(r_{1}+r_{2}a)=r_{1}+r_{2}f(a)}
6318:
259:solutions. For example, an additive function
3963:be a positive integer large enough such that
836:are vector spaces over an extension field of
4960:
4946:
4718:, and therein all solutions are linear.
3058:
2951:
2672:satisfies the Cauchy functional equation on
2447:
2433:
2406:
2005:{\displaystyle f(v)=f(nn^{-1}v)=nf(n^{-1}v)}
1581:
1575:
5068:We note that because no explicit basis for
3504:{\displaystyle r_{1},r_{2}\in \mathbb {Q} }
1587:{\displaystyle m\in \mathbb {N} \cup \{0\}}
1444:{\displaystyle 0=f(0)=f(v+(-v))=f(v)+f(-v)}
708:Cauchy's multiplicative functional equation
6069:
5974: – Conjugate homogeneous additive map
567:This equation is sometimes referred to as
6220:
5854:
5590:
5533:
5525:
5470:
5373:
5365:
5276:
5153:
5098:
5076:
5051:
4861:
4833:
4798:
4776:
4680:
4672:
4641:
4613:
4511:
4483:
4475:
4435:
4392:
3497:
3401:
3372:
3287:
3133:
3118:
3080:
3054:
2825:
2785:
2610:
2473:
2443:
2342:
2338:
2309:
2278:
2248:
2188:
2160:
2099:
1907:
1875:
1642:
1611:
1568:
1169:
987:
866:
844:
281:
273:
5955:{\displaystyle x_{i}\in {\mathcal {B}}.}
5200:{\displaystyle x_{i}\in {\mathcal {B}}.}
4442:{\displaystyle (0,1)\times \mathbb {R} }
2792:{\displaystyle (0,1)\times \mathbb {R} }
2739:. It suffices to show that the graph of
640:Cauchy's logarithmic functional equation
573:Cauchy's exponential functional equation
6030:
5255:{\displaystyle x_{i}q\mapsto f(x_{i})q}
4620:{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
4592:{\displaystyle f(\alpha q)=f(\alpha )q}
119:that solves this equation is called an
6341:
6269:
3854:{\displaystyle r_{1}\geq 0,r_{2}<0}
475:. Such functions are sometimes called
6291:
3565:{\displaystyle r_{1}+r_{2}a\in (0,1)}
3303:{\displaystyle L=A(\mathbb {Q} ^{2})}
2075:{\displaystyle f(n^{-1}v)=n^{-1}f(v)}
1311:{\displaystyle f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)}
569:Cauchy's additive functional equation
6319:Martin Sleziak; et al. (2013).
5915:{\displaystyle f(x_{i}) \over x_{i}}
5334:{\displaystyle f(x_{i}) \over x_{i}}
5115:As argued above, the restriction of
3711:, then it is true by additivity. If
6246:
6180:
6165:
6158:
6133:
4518:{\displaystyle \alpha \mathbb {Q} }
3356:{\displaystyle \det A=f(a)-a\neq 0}
3103:Consider the linear transformation
2832:{\displaystyle \times \mathbb {R} }
2617:{\displaystyle \times \mathbb {R} }
1008:We want to prove that any solution
774:Solutions over the rational numbers
159:{\displaystyle f\colon x\mapsto cx}
90:{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y).\ }
13:
6211:
6120:
6111:
6108:
6105:
6102:
5944:
5845:
5286:{\displaystyle q\in \mathbb {Q} ,}
5189:
4998:
4978:{\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in I}}
4824:
4651:{\displaystyle q\in \mathbb {Q} .}
3266:With this transformation, we have
2652:on the x-axis and y-axis, so that
1649:{\displaystyle -m\in \mathbb {N} }
330:, 1821). In fact, it suffices for
14:
6360:
6301:
6070:E. Caicedo, Andrés (2011-03-06).
5597:{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
5477:{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
5449:{\displaystyle \xi \mapsto \xi .}
5160:{\displaystyle x_{i}\mathbb {Q} }
4868:{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
3903:{\displaystyle r_{1}+r_{2}a>0}
3799:{\displaystyle r_{1}+r_{2}a<0}
3704:{\displaystyle r_{1},r_{2}\geq 0}
2489:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}
2195:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
2167:{\displaystyle m\in \mathbb {Z} }
2106:{\displaystyle q\in \mathbb {Q} }
1914:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
1882:{\displaystyle m\in \mathbb {Z} }
1618:{\displaystyle m\in \mathbb {Z} }
1176:{\displaystyle q\in \mathbb {Q} }
1040:to Cauchy’s functional equation,
6314:The Hunt for Addi(c)tive Monster
6307:Solution to the Cauchy Equation
5986: – Function made from a set
4043:. Then we have by additivity:
3750:{\displaystyle r_{1},r_{2}<0}
3414:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
3385:{\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}
3093:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
2139:{\displaystyle q={\frac {m}{n}}}
1098:{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}
699:{\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y),}
632:{\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y),}
6254:{\displaystyle {\mathfrak {c}}}
5009:{\displaystyle {\mathcal {B}},}
2202:, so, putting things together,
764:{\displaystyle f(xy)=f(x)f(y).}
553:{\displaystyle f(cx)\neq cf(x)}
350:to be continuous at one point (
6216:
6125:
6115:
6088:
6063:
6024:
6015:
6006:
5898:
5885:
5850:
5762:
5749:
5724:
5701:
5620:
5614:
5563:
5557:
5529:
5437:
5419:
5406:
5400:
5397:
5369:
5317:
5304:
5246:
5233:
5227:
5167:must be a linear map for each
4752:
4746:
4737:
4731:
4676:
4583:
4577:
4568:
4559:
4479:
4428:
4416:
4396:
4385:
4373:
4370:
4030:
4018:
3649:
3643:
3611:
3582:
3559:
3547:
3338:
3332:
3297:
3282:
3217:
3211:
3177:
3165:
3128:
3021:
3018:
3012:
2954:
2938:Claim: The lattice defined by
2922:
2910:
2878:
2872:
2818:
2806:
2778:
2766:
2720:
2714:
2691:
2679:
2603:
2591:
2571:
2559:
2430:
2427:
2421:
2409:
2370:
2364:
2352:
2346:
2322:
2313:
2288:
2279:
2224:
2215:
2069:
2063:
2041:
2022:
1999:
1980:
1968:
1946:
1937:
1931:
1848:
1842:
1830:
1821:
1795:
1789:
1777:
1774:
1768:
1759:
1756:
1747:
1741:
1732:
1726:
1717:
1711:
1708:
1699:
1696:
1687:
1684:
1675:
1666:
1541:
1535:
1523:
1514:
1488:
1482:
1470:
1461:
1438:
1429:
1420:
1414:
1405:
1402:
1393:
1384:
1375:
1369:
1334:
1328:
1305:
1299:
1290:
1284:
1275:
1263:
1254:
1248:
1142:
1136:
1124:
1115:
1092:
1086:
1077:
1071:
1062:
1050:
1033:{\displaystyle f\colon V\to W}
1024:
959:be an additive function. Then
952:{\displaystyle f\colon V\to W}
943:
803:{\displaystyle f\colon V\to W}
794:
755:
749:
743:
737:
728:
719:
690:
684:
675:
669:
660:
651:
623:
617:
611:
605:
596:
584:
564:from 3D to higher dimensions.
547:
541:
529:
520:
277:
227:{\displaystyle f:x\mapsto cx,}
212:
147:
78:
72:
63:
57:
48:
36:
1:
5999:
5061:{\displaystyle \mathbb {Q} .}
4875:can be expressed uniquely as
4808:{\displaystyle \mathbb {Q} ,}
858:, is identical to the set of
6094:It can easily be shown that
5105:{\displaystyle \mathbb {Q} }
5083:{\displaystyle \mathbb {R} }
5036:{\displaystyle \lambda _{i}}
4783:{\displaystyle \mathbb {R} }
994:{\displaystyle \mathbb {Q} }
873:{\displaystyle \mathbb {Q} }
851:{\displaystyle \mathbb {Q} }
20:Cauchy's functional equation
7:
6031:Solovay, Robert M. (1970).
5965:
4847:with the property that any
1854:{\displaystyle f(mv)=mf(v)}
1547:{\displaystyle f(mv)=mf(v)}
1494:{\displaystyle f(-v)=-f(v)}
1148:{\displaystyle f(qv)=qf(v)}
10:
6365:
6261:solutions that are linear.
4761:{\displaystyle f(x)=f(1)x}
3936:{\displaystyle r_{1}>0}
2928:{\displaystyle a\in (0,1)}
2890:{\displaystyle f(a)\neq a}
1808:. Thus far we have proved
166:for any rational constant
5790:It is easy to check that
1597:For any negative integer
5576:is well-defined for all
4328:{\displaystyle \square }
3454:{\displaystyle \square }
127:, it can be shown using
5830:on the basis elements,
2862:is not linear, we have
571:to distinguish it from
562:Hilbert's third problem
6255:
6231:
6190:
6142:
5956:
5916:
5865:
5824:
5804:
5782:
5598:
5570:
5541:
5505:
5478:
5450:
5381:
5335:
5287:
5256:
5201:
5161:
5129:
5106:
5084:
5062:
5037:
5010:
4979:
4933:
4869:
4841:
4809:
4784:
4762:
4688:
4652:
4621:
4593:
4543:
4519:
4494:
4443:
4403:
4351:
4329:
4310:
4181:
4037:
3957:
3937:
3904:
3855:
3800:
3751:
3705:
3656:
3566:
3505:
3455:
3435:
3415:
3386:
3357:
3304:
3258:
3147:
3094:
3065:
2929:
2891:
2856:
2833:
2793:
2753:
2733:
2732:{\displaystyle f(1)=1}
2698:
2666:
2646:
2618:
2578:
2546:
2526:
2525:{\displaystyle t>0}
2490:
2454:
2377:
2196:
2168:
2140:
2107:
2076:
2006:
1915:
1883:
1855:
1802:
1650:
1619:
1588:
1548:
1495:
1445:
1347:
1346:{\displaystyle f(0)=0}
1312:
1229:
1228:{\displaystyle v\in V}
1203:
1202:{\displaystyle v\in V}
1177:
1149:
1099:
1034:
995:
973:
953:
914:
894:
874:
852:
830:
804:
765:
700:
633:
554:
504:
457:
426:
400:
370:
344:
316:
289:
248:
228:
183:
160:
113:
91:
6294:Mathematische Annalen
6277:. Basel: Birkhäuser.
6256:
6232:
6191:
6143:
6037:Annals of Mathematics
5957:
5922:is constant over all
5917:
5866:
5825:
5805:
5783:
5599:
5571:
5542:
5506:
5504:{\displaystyle x_{i}}
5479:
5451:
5382:
5336:
5288:
5257:
5202:
5162:
5130:
5107:
5085:
5063:
5038:
5011:
4980:
4934:
4870:
4842:
4810:
4785:
4763:
4689:
4653:
4622:
4594:
4544:
4520:
4495:
4444:
4404:
4352:
4330:
4311:
4182:
4038:
3958:
3938:
3905:
3856:
3801:
3752:
3706:
3657:
3567:
3506:
3456:
3436:
3416:
3387:
3358:
3305:
3259:
3148:
3095:
3066:
2930:
2892:
2857:
2834:
2794:
2754:
2734:
2699:
2667:
2647:
2619:
2579:
2547:
2527:
2491:
2455:
2378:
2197:
2169:
2141:
2113:has a representation
2108:
2077:
2007:
1916:
1884:
1856:
1803:
1651:
1620:
1589:
1549:
1496:
1446:
1348:
1313:
1230:
1204:
1178:
1150:
1100:
1035:
996:
974:
954:
915:
895:
875:
853:
831:
805:
766:
701:
634:
555:
505:
458:
427:
401:
371:
345:
317:
290:
249:
229:
184:
161:
114:
92:
6349:Functional equations
6241:
6200:
6152:
6098:
6012:Kuczma (2009), p.130
5984:Minkowski functional
5978:Homogeneous function
5926:
5878:
5834:
5814:
5794:
5608:
5580:
5569:{\displaystyle f(x)}
5551:
5515:
5488:
5460:
5391:
5345:
5297:
5266:
5211:
5171:
5139:
5119:
5094:
5072:
5047:
5020:
4993:
4943:
4879:
4851:
4819:
4794:
4772:
4725:
4662:
4631:
4603:
4553:
4533:
4504:
4462:
4413:
4409:, which is dense in
4361:
4341:
4319:
4195:
4049:
3967:
3947:
3914:
3865:
3813:
3761:
3715:
3669:
3576:
3515:
3467:
3445:
3425:
3396:
3367:
3317:
3270:
3159:
3107:
3075:
2942:
2901:
2866:
2846:
2803:
2799:, which is dense in
2763:
2743:
2708:
2676:
2656:
2636:
2588:
2556:
2536:
2510:
2468:
2403:
2209:
2178:
2150:
2117:
2089:
2016:
1925:
1897:
1865:
1815:
1660:
1629:
1601:
1558:
1508:
1455:
1357:
1322:
1242:
1213:
1187:
1159:
1109:
1044:
1012:
983:
963:
931:
904:
884:
862:
840:
814:
782:
713:
645:
578:
514:
494:
444:
416:
390:
360:
334:
306:
263:
238:
200:
170:
135:
103:
30:
4337:Thus, the graph of
3806:, contradiction.
2504: —
1451:from which follows
829:{\displaystyle V,W}
463:then (assuming the
434:Lebesgue measurable
24:functional equation
16:Functional equation
6309:Rutgers University
6251:
6227:
6186:
6138:
5952:
5901:
5861:
5820:
5800:
5778:
5745:
5697:
5651:
5594:
5566:
5537:
5501:
5474:
5446:
5377:
5320:
5283:
5252:
5207:Moreover, because
5197:
5157:
5125:
5102:
5080:
5058:
5033:
5006:
4975:
4929:
4903:
4865:
4837:
4805:
4780:
4758:
4684:
4648:
4617:
4589:
4539:
4515:
4490:
4439:
4399:
4347:
4325:
4306:
4177:
4033:
3953:
3933:
3900:
3851:
3796:
3747:
3701:
3652:
3562:
3501:
3451:
3431:
3411:
3382:
3353:
3300:
3254:
3248:
3222:
3143:
3090:
3061:
2925:
2887:
2852:
2829:
2789:
2749:
2729:
2694:
2662:
2642:
2630:
2614:
2574:
2542:
2522:
2502:
2486:
2450:
2373:
2192:
2164:
2136:
2103:
2072:
2002:
1911:
1879:
1851:
1798:
1646:
1615:
1584:
1554:is proved for any
1544:
1491:
1441:
1343:
1308:
1225:
1199:
1173:
1145:
1095:
1030:
991:
969:
949:
910:
890:
880:-linear maps from
870:
848:
826:
800:
761:
696:
629:
550:
500:
456:{\displaystyle f,}
453:
422:
396:
366:
340:
312:
285:
244:
224:
182:{\displaystyle c.}
179:
156:
129:elementary algebra
109:
87:
6148:; thus there are
5912:
5823:{\displaystyle f}
5803:{\displaystyle f}
5730:
5682:
5636:
5604:and is given by:
5331:
5293:it is clear that
5128:{\displaystyle f}
4888:
4542:{\displaystyle f}
4350:{\displaystyle f}
4304:
4270:
4206:
4171:
4140:
4100:
4075:
4013:
3985:
3956:{\displaystyle k}
3434:{\displaystyle L}
2855:{\displaystyle f}
2752:{\displaystyle f}
2665:{\displaystyle f}
2645:{\displaystyle f}
2628:
2545:{\displaystyle f}
2500:
2336:
2307:
2276:
2246:
2134:
972:{\displaystyle f}
913:{\displaystyle W}
893:{\displaystyle V}
503:{\displaystyle c}
425:{\displaystyle f}
399:{\displaystyle f}
369:{\displaystyle f}
343:{\displaystyle f}
315:{\displaystyle f}
247:{\displaystyle c}
121:additive function
112:{\displaystyle f}
86:
6356:
6335:
6333:
6331:
6297:
6288:
6262:
6260:
6258:
6257:
6252:
6250:
6249:
6236:
6234:
6233:
6228:
6223:
6215:
6214:
6195:
6193:
6192:
6187:
6185:
6184:
6183:
6170:
6169:
6168:
6162:
6161:
6147:
6145:
6144:
6139:
6137:
6136:
6124:
6123:
6114:
6092:
6086:
6085:
6083:
6082:
6067:
6061:
6060:
6028:
6022:
6019:
6013:
6010:
5995:
5961:
5959:
5958:
5953:
5948:
5947:
5938:
5937:
5921:
5919:
5918:
5913:
5911:
5910:
5897:
5896:
5880:
5870:
5868:
5867:
5862:
5857:
5849:
5848:
5829:
5827:
5826:
5821:
5809:
5807:
5806:
5801:
5787:
5785:
5784:
5779:
5774:
5773:
5761:
5760:
5744:
5723:
5722:
5713:
5712:
5696:
5678:
5677:
5671:
5670:
5661:
5660:
5650:
5635:
5634:
5603:
5601:
5600:
5595:
5593:
5575:
5573:
5572:
5567:
5546:
5544:
5543:
5538:
5536:
5528:
5510:
5508:
5507:
5502:
5500:
5499:
5483:
5481:
5480:
5475:
5473:
5455:
5453:
5452:
5447:
5436:
5435:
5426:
5418:
5417:
5386:
5384:
5383:
5378:
5376:
5368:
5363:
5362:
5340:
5338:
5337:
5332:
5330:
5329:
5316:
5315:
5299:
5292:
5290:
5289:
5284:
5279:
5261:
5259:
5258:
5253:
5245:
5244:
5223:
5222:
5206:
5204:
5203:
5198:
5193:
5192:
5183:
5182:
5166:
5164:
5163:
5158:
5156:
5151:
5150:
5134:
5132:
5131:
5126:
5111:
5109:
5108:
5103:
5101:
5089:
5087:
5086:
5081:
5079:
5067:
5065:
5064:
5059:
5054:
5042:
5040:
5039:
5034:
5032:
5031:
5015:
5013:
5012:
5007:
5002:
5001:
4984:
4982:
4981:
4976:
4974:
4973:
4958:
4957:
4938:
4936:
4935:
4930:
4925:
4924:
4923:
4914:
4913:
4902:
4874:
4872:
4871:
4866:
4864:
4846:
4844:
4843:
4838:
4836:
4828:
4827:
4814:
4812:
4811:
4806:
4801:
4789:
4787:
4786:
4781:
4779:
4767:
4765:
4764:
4759:
4693:
4691:
4690:
4685:
4683:
4675:
4657:
4655:
4654:
4649:
4644:
4626:
4624:
4623:
4618:
4616:
4598:
4596:
4595:
4590:
4548:
4546:
4545:
4540:
4524:
4522:
4521:
4516:
4514:
4499:
4497:
4496:
4491:
4486:
4478:
4448:
4446:
4445:
4440:
4438:
4408:
4406:
4405:
4400:
4395:
4356:
4354:
4353:
4348:
4334:
4332:
4331:
4326:
4315:
4313:
4312:
4307:
4305:
4300:
4299:
4290:
4285:
4271:
4266:
4265:
4264:
4251:
4246:
4242:
4238:
4237:
4225:
4224:
4207:
4199:
4186:
4184:
4183:
4178:
4176:
4172:
4167:
4166:
4157:
4145:
4141:
4136:
4132:
4131:
4118:
4106:
4102:
4101:
4096:
4092:
4091:
4081:
4076:
4071:
4070:
4061:
4042:
4040:
4039:
4034:
4014:
4009:
4005:
4004:
3991:
3986:
3981:
3980:
3971:
3962:
3960:
3959:
3954:
3942:
3940:
3939:
3934:
3926:
3925:
3909:
3907:
3906:
3901:
3890:
3889:
3877:
3876:
3860:
3858:
3857:
3852:
3844:
3843:
3825:
3824:
3805:
3803:
3802:
3797:
3786:
3785:
3773:
3772:
3756:
3754:
3753:
3748:
3740:
3739:
3727:
3726:
3710:
3708:
3707:
3702:
3694:
3693:
3681:
3680:
3661:
3659:
3658:
3653:
3639:
3638:
3626:
3625:
3607:
3606:
3594:
3593:
3571:
3569:
3568:
3563:
3540:
3539:
3527:
3526:
3510:
3508:
3507:
3502:
3500:
3492:
3491:
3479:
3478:
3460:
3458:
3457:
3452:
3440:
3438:
3437:
3432:
3420:
3418:
3417:
3412:
3410:
3409:
3404:
3391:
3389:
3388:
3383:
3381:
3380:
3375:
3362:
3360:
3359:
3354:
3309:
3307:
3306:
3301:
3296:
3295:
3290:
3263:
3261:
3260:
3255:
3253:
3252:
3227:
3226:
3152:
3150:
3149:
3144:
3142:
3141:
3136:
3127:
3126:
3121:
3099:
3097:
3096:
3091:
3089:
3088:
3083:
3070:
3068:
3067:
3062:
3057:
3049:
3048:
3036:
3035:
3008:
3007:
2995:
2994:
2979:
2978:
2966:
2965:
2934:
2932:
2931:
2926:
2896:
2894:
2893:
2888:
2861:
2859:
2858:
2853:
2838:
2836:
2835:
2830:
2828:
2798:
2796:
2795:
2790:
2788:
2758:
2756:
2755:
2750:
2738:
2736:
2735:
2730:
2703:
2701:
2700:
2697:{\displaystyle }
2695:
2671:
2669:
2668:
2663:
2651:
2649:
2648:
2643:
2623:
2621:
2620:
2615:
2613:
2583:
2581:
2580:
2577:{\displaystyle }
2575:
2551:
2549:
2548:
2543:
2531:
2529:
2528:
2523:
2505:
2495:
2493:
2492:
2487:
2482:
2481:
2476:
2459:
2457:
2456:
2451:
2446:
2382:
2380:
2379:
2374:
2337:
2329:
2308:
2300:
2295:
2291:
2277:
2269:
2256:
2252:
2247:
2239:
2201:
2199:
2198:
2193:
2191:
2173:
2171:
2170:
2165:
2163:
2145:
2143:
2142:
2137:
2135:
2127:
2112:
2110:
2109:
2104:
2102:
2081:
2079:
2078:
2073:
2059:
2058:
2037:
2036:
2011:
2009:
2008:
2003:
1995:
1994:
1964:
1963:
1920:
1918:
1917:
1912:
1910:
1888:
1886:
1885:
1880:
1878:
1860:
1858:
1857:
1852:
1807:
1805:
1804:
1799:
1655:
1653:
1652:
1647:
1645:
1624:
1622:
1621:
1616:
1614:
1593:
1591:
1590:
1585:
1571:
1553:
1551:
1550:
1545:
1500:
1498:
1497:
1492:
1450:
1448:
1447:
1442:
1353:, and therewith
1352:
1350:
1349:
1344:
1317:
1315:
1314:
1309:
1234:
1232:
1231:
1226:
1208:
1206:
1205:
1200:
1182:
1180:
1179:
1174:
1172:
1154:
1152:
1151:
1146:
1104:
1102:
1101:
1096:
1039:
1037:
1036:
1031:
1000:
998:
997:
992:
990:
978:
976:
975:
970:
958:
956:
955:
950:
919:
917:
916:
911:
899:
897:
896:
891:
879:
877:
876:
871:
869:
857:
855:
854:
849:
847:
835:
833:
832:
827:
809:
807:
806:
801:
770:
768:
767:
762:
705:
703:
702:
697:
638:
636:
635:
630:
559:
557:
556:
551:
509:
507:
506:
501:
462:
460:
459:
454:
431:
429:
428:
423:
410:on any interval.
405:
403:
402:
397:
375:
373:
372:
367:
349:
347:
346:
341:
321:
319:
318:
313:
294:
292:
291:
286:
284:
276:
253:
251:
250:
245:
233:
231:
230:
225:
193:, the family of
188:
186:
185:
180:
165:
163:
162:
157:
125:rational numbers
118:
116:
115:
110:
96:
94:
93:
88:
84:
6364:
6363:
6359:
6358:
6357:
6355:
6354:
6353:
6339:
6338:
6329:
6327:
6304:
6285:
6266:
6265:
6245:
6244:
6242:
6239:
6238:
6219:
6210:
6209:
6201:
6198:
6197:
6179:
6178:
6174:
6164:
6163:
6157:
6156:
6155:
6153:
6150:
6149:
6132:
6131:
6119:
6118:
6101:
6099:
6096:
6095:
6093:
6089:
6080:
6078:
6068:
6064:
6049:10.2307/1970696
6029:
6025:
6020:
6016:
6011:
6007:
6002:
5993:
5968:
5943:
5942:
5933:
5929:
5927:
5924:
5923:
5906:
5902:
5892:
5888:
5879:
5876:
5875:
5853:
5844:
5843:
5835:
5832:
5831:
5815:
5812:
5811:
5795:
5792:
5791:
5769:
5765:
5756:
5752:
5734:
5718:
5714:
5708:
5704:
5686:
5673:
5672:
5666:
5662:
5656:
5652:
5640:
5630:
5629:
5609:
5606:
5605:
5589:
5581:
5578:
5577:
5552:
5549:
5548:
5532:
5524:
5516:
5513:
5512:
5495:
5491:
5489:
5486:
5485:
5469:
5461:
5458:
5457:
5431:
5427:
5422:
5413:
5409:
5392:
5389:
5388:
5372:
5364:
5358:
5354:
5346:
5343:
5342:
5325:
5321:
5311:
5307:
5298:
5295:
5294:
5275:
5267:
5264:
5263:
5240:
5236:
5218:
5214:
5212:
5209:
5208:
5188:
5187:
5178:
5174:
5172:
5169:
5168:
5152:
5146:
5142:
5140:
5137:
5136:
5120:
5117:
5116:
5097:
5095:
5092:
5091:
5075:
5073:
5070:
5069:
5050:
5048:
5045:
5044:
5027:
5023:
5021:
5018:
5017:
4997:
4996:
4994:
4991:
4990:
4963:
4959:
4953:
4949:
4944:
4941:
4940:
4919:
4915:
4909:
4905:
4904:
4892:
4880:
4877:
4876:
4860:
4852:
4849:
4848:
4832:
4823:
4822:
4820:
4817:
4816:
4797:
4795:
4792:
4791:
4790:over the field
4775:
4773:
4770:
4769:
4726:
4723:
4722:
4712:axiom of choice
4679:
4671:
4663:
4660:
4659:
4640:
4632:
4629:
4628:
4612:
4604:
4601:
4600:
4554:
4551:
4550:
4534:
4531:
4530:
4510:
4505:
4502:
4501:
4482:
4474:
4463:
4460:
4459:
4456:
4451:
4434:
4414:
4411:
4410:
4391:
4362:
4359:
4358:
4342:
4339:
4338:
4320:
4317:
4316:
4295:
4291:
4289:
4275:
4260:
4256:
4252:
4250:
4233:
4229:
4220:
4216:
4215:
4211:
4198:
4196:
4193:
4192:
4162:
4158:
4156:
4152:
4127:
4123:
4119:
4117:
4113:
4087:
4083:
4082:
4080:
4066:
4062:
4060:
4059:
4055:
4050:
4047:
4046:
4000:
3996:
3992:
3990:
3976:
3972:
3970:
3968:
3965:
3964:
3948:
3945:
3944:
3921:
3917:
3915:
3912:
3911:
3885:
3881:
3872:
3868:
3866:
3863:
3862:
3839:
3835:
3820:
3816:
3814:
3811:
3810:
3781:
3777:
3768:
3764:
3762:
3759:
3758:
3735:
3731:
3722:
3718:
3716:
3713:
3712:
3689:
3685:
3676:
3672:
3670:
3667:
3666:
3634:
3630:
3621:
3617:
3602:
3598:
3589:
3585:
3577:
3574:
3573:
3535:
3531:
3522:
3518:
3516:
3513:
3512:
3496:
3487:
3483:
3474:
3470:
3468:
3465:
3464:
3446:
3443:
3442:
3426:
3423:
3422:
3405:
3400:
3399:
3397:
3394:
3393:
3376:
3371:
3370:
3368:
3365:
3364:
3318:
3315:
3314:
3291:
3286:
3285:
3271:
3268:
3267:
3247:
3246:
3240:
3239:
3229:
3228:
3221:
3220:
3206:
3200:
3199:
3194:
3184:
3183:
3160:
3157:
3156:
3137:
3132:
3131:
3122:
3117:
3116:
3108:
3105:
3104:
3084:
3079:
3078:
3076:
3073:
3072:
3053:
3044:
3040:
3031:
3027:
3003:
2999:
2990:
2986:
2974:
2970:
2961:
2957:
2943:
2940:
2939:
2902:
2899:
2898:
2867:
2864:
2863:
2847:
2844:
2843:
2824:
2804:
2801:
2800:
2784:
2764:
2761:
2760:
2744:
2741:
2740:
2709:
2706:
2705:
2677:
2674:
2673:
2657:
2654:
2653:
2637:
2634:
2633:
2626:
2609:
2589:
2586:
2585:
2557:
2554:
2553:
2537:
2534:
2533:
2511:
2508:
2507:
2503:
2477:
2472:
2471:
2469:
2466:
2465:
2442:
2404:
2401:
2400:
2390:
2328:
2299:
2268:
2267:
2263:
2238:
2237:
2233:
2210:
2207:
2206:
2187:
2179:
2176:
2175:
2159:
2151:
2148:
2147:
2126:
2118:
2115:
2114:
2098:
2090:
2087:
2086:
2051:
2047:
2029:
2025:
2017:
2014:
2013:
1987:
1983:
1956:
1952:
1926:
1923:
1922:
1906:
1898:
1895:
1894:
1874:
1866:
1863:
1862:
1816:
1813:
1812:
1661:
1658:
1657:
1641:
1630:
1627:
1626:
1610:
1602:
1599:
1598:
1567:
1559:
1556:
1555:
1509:
1506:
1505:
1504:Via induction,
1456:
1453:
1452:
1358:
1355:
1354:
1323:
1320:
1319:
1243:
1240:
1239:
1214:
1211:
1210:
1188:
1185:
1184:
1168:
1160:
1157:
1156:
1110:
1107:
1106:
1045:
1042:
1041:
1013:
1010:
1009:
986:
984:
981:
980:
964:
961:
960:
932:
929:
928:
905:
902:
901:
885:
882:
881:
865:
863:
860:
859:
843:
841:
838:
837:
815:
812:
811:
783:
780:
779:
776:
714:
711:
710:
646:
643:
642:
579:
576:
575:
515:
512:
511:
495:
492:
491:
477:Hamel functions
465:axiom of choice
445:
442:
441:
417:
414:
413:
391:
388:
387:
361:
358:
357:
335:
332:
331:
307:
304:
303:
280:
272:
264:
261:
260:
239:
236:
235:
201:
198:
197:
171:
168:
167:
136:
133:
132:
104:
101:
100:
31:
28:
27:
17:
12:
11:
5:
6362:
6352:
6351:
6337:
6336:
6316:
6311:
6303:
6302:External links
6300:
6299:
6298:
6289:
6283:
6264:
6263:
6248:
6226:
6222:
6218:
6213:
6208:
6205:
6182:
6177:
6173:
6167:
6160:
6135:
6130:
6127:
6122:
6117:
6113:
6110:
6107:
6104:
6087:
6062:
6023:
6014:
6004:
6003:
6001:
5998:
5997:
5996:
5990:Semilinear map
5987:
5981:
5975:
5972:Antilinear map
5967:
5964:
5951:
5946:
5941:
5936:
5932:
5909:
5905:
5900:
5895:
5891:
5887:
5884:
5873:if and only if
5860:
5856:
5852:
5847:
5842:
5839:
5819:
5799:
5777:
5772:
5768:
5764:
5759:
5755:
5751:
5748:
5743:
5740:
5737:
5733:
5729:
5726:
5721:
5717:
5711:
5707:
5703:
5700:
5695:
5692:
5689:
5685:
5681:
5676:
5669:
5665:
5659:
5655:
5649:
5646:
5643:
5639:
5633:
5628:
5625:
5622:
5619:
5616:
5613:
5592:
5588:
5585:
5565:
5562:
5559:
5556:
5535:
5531:
5527:
5523:
5520:
5498:
5494:
5472:
5468:
5465:
5445:
5442:
5439:
5434:
5430:
5425:
5421:
5416:
5412:
5408:
5405:
5402:
5399:
5396:
5375:
5371:
5367:
5361:
5357:
5353:
5350:
5328:
5324:
5319:
5314:
5310:
5306:
5303:
5282:
5278:
5274:
5271:
5251:
5248:
5243:
5239:
5235:
5232:
5229:
5226:
5221:
5217:
5196:
5191:
5186:
5181:
5177:
5155:
5149:
5145:
5124:
5100:
5078:
5057:
5053:
5030:
5026:
5005:
5000:
4972:
4969:
4966:
4962:
4956:
4952:
4948:
4928:
4922:
4918:
4912:
4908:
4901:
4898:
4895:
4891:
4887:
4884:
4863:
4859:
4856:
4835:
4831:
4826:
4804:
4800:
4778:
4757:
4754:
4751:
4748:
4745:
4742:
4739:
4736:
4733:
4730:
4682:
4678:
4674:
4670:
4667:
4647:
4643:
4639:
4636:
4615:
4611:
4608:
4588:
4585:
4582:
4579:
4576:
4573:
4570:
4567:
4564:
4561:
4558:
4538:
4513:
4509:
4489:
4485:
4481:
4477:
4473:
4470:
4467:
4455:
4452:
4437:
4433:
4430:
4427:
4424:
4421:
4418:
4398:
4394:
4390:
4387:
4384:
4381:
4378:
4375:
4372:
4369:
4366:
4346:
4324:
4303:
4298:
4294:
4288:
4284:
4281:
4278:
4274:
4269:
4263:
4259:
4255:
4249:
4245:
4241:
4236:
4232:
4228:
4223:
4219:
4214:
4210:
4205:
4202:
4175:
4170:
4165:
4161:
4155:
4151:
4148:
4144:
4139:
4135:
4130:
4126:
4122:
4116:
4112:
4109:
4105:
4099:
4095:
4090:
4086:
4079:
4074:
4069:
4065:
4058:
4054:
4032:
4029:
4026:
4023:
4020:
4017:
4012:
4008:
4003:
3999:
3995:
3989:
3984:
3979:
3975:
3952:
3932:
3929:
3924:
3920:
3899:
3896:
3893:
3888:
3884:
3880:
3875:
3871:
3850:
3847:
3842:
3838:
3834:
3831:
3828:
3823:
3819:
3795:
3792:
3789:
3784:
3780:
3776:
3771:
3767:
3746:
3743:
3738:
3734:
3730:
3725:
3721:
3700:
3697:
3692:
3688:
3684:
3679:
3675:
3651:
3648:
3645:
3642:
3637:
3633:
3629:
3624:
3620:
3616:
3613:
3610:
3605:
3601:
3597:
3592:
3588:
3584:
3581:
3561:
3558:
3555:
3552:
3549:
3546:
3543:
3538:
3534:
3530:
3525:
3521:
3499:
3495:
3490:
3486:
3482:
3477:
3473:
3450:
3430:
3408:
3403:
3379:
3374:
3352:
3349:
3346:
3343:
3340:
3337:
3334:
3331:
3328:
3325:
3322:
3299:
3294:
3289:
3284:
3281:
3278:
3275:
3251:
3245:
3242:
3241:
3238:
3235:
3234:
3232:
3225:
3219:
3216:
3213:
3210:
3207:
3205:
3202:
3201:
3198:
3195:
3193:
3190:
3189:
3187:
3182:
3179:
3176:
3173:
3170:
3167:
3164:
3153:defined by
3140:
3135:
3130:
3125:
3120:
3115:
3112:
3087:
3082:
3060:
3056:
3052:
3047:
3043:
3039:
3034:
3030:
3026:
3023:
3020:
3017:
3014:
3011:
3006:
3002:
2998:
2993:
2989:
2985:
2982:
2977:
2973:
2969:
2964:
2960:
2956:
2953:
2950:
2947:
2924:
2921:
2918:
2915:
2912:
2909:
2906:
2886:
2883:
2880:
2877:
2874:
2871:
2851:
2827:
2823:
2820:
2817:
2814:
2811:
2808:
2787:
2783:
2780:
2777:
2774:
2771:
2768:
2748:
2728:
2725:
2722:
2719:
2716:
2713:
2693:
2690:
2687:
2684:
2681:
2661:
2641:
2627:
2612:
2608:
2605:
2602:
2599:
2596:
2593:
2573:
2570:
2567:
2564:
2561:
2541:
2521:
2518:
2515:
2498:
2485:
2480:
2475:
2449:
2445:
2441:
2438:
2435:
2432:
2429:
2426:
2423:
2420:
2417:
2414:
2411:
2408:
2389:
2386:
2385:
2384:
2372:
2369:
2366:
2363:
2360:
2357:
2354:
2351:
2348:
2345:
2341:
2335:
2332:
2327:
2324:
2321:
2318:
2315:
2312:
2306:
2303:
2298:
2294:
2290:
2287:
2284:
2281:
2275:
2272:
2266:
2262:
2259:
2255:
2251:
2245:
2242:
2236:
2232:
2229:
2226:
2223:
2220:
2217:
2214:
2190:
2186:
2183:
2162:
2158:
2155:
2133:
2130:
2125:
2122:
2101:
2097:
2094:
2071:
2068:
2065:
2062:
2057:
2054:
2050:
2046:
2043:
2040:
2035:
2032:
2028:
2024:
2021:
2001:
1998:
1993:
1990:
1986:
1982:
1979:
1976:
1973:
1970:
1967:
1962:
1959:
1955:
1951:
1948:
1945:
1942:
1939:
1936:
1933:
1930:
1909:
1905:
1902:
1891:
1890:
1877:
1873:
1870:
1850:
1847:
1844:
1841:
1838:
1835:
1832:
1829:
1826:
1823:
1820:
1797:
1794:
1791:
1788:
1785:
1782:
1779:
1776:
1773:
1770:
1767:
1764:
1761:
1758:
1755:
1752:
1749:
1746:
1743:
1740:
1737:
1734:
1731:
1728:
1725:
1722:
1719:
1716:
1713:
1710:
1707:
1704:
1701:
1698:
1695:
1692:
1689:
1686:
1683:
1680:
1677:
1674:
1671:
1668:
1665:
1644:
1640:
1637:
1634:
1613:
1609:
1606:
1583:
1580:
1577:
1574:
1570:
1566:
1563:
1543:
1540:
1537:
1534:
1531:
1528:
1525:
1522:
1519:
1516:
1513:
1490:
1487:
1484:
1481:
1478:
1475:
1472:
1469:
1466:
1463:
1460:
1440:
1437:
1434:
1431:
1428:
1425:
1422:
1419:
1416:
1413:
1410:
1407:
1404:
1401:
1398:
1395:
1392:
1389:
1386:
1383:
1380:
1377:
1374:
1371:
1368:
1365:
1362:
1342:
1339:
1336:
1333:
1330:
1327:
1307:
1304:
1301:
1298:
1295:
1292:
1289:
1286:
1283:
1280:
1277:
1274:
1271:
1268:
1265:
1262:
1259:
1256:
1253:
1250:
1247:
1224:
1221:
1218:
1198:
1195:
1192:
1171:
1167:
1164:
1144:
1141:
1138:
1135:
1132:
1129:
1126:
1123:
1120:
1117:
1114:
1094:
1091:
1088:
1085:
1082:
1079:
1076:
1073:
1070:
1067:
1064:
1061:
1058:
1055:
1052:
1049:
1029:
1026:
1023:
1020:
1017:
989:
968:
948:
945:
942:
939:
936:
909:
889:
868:
846:
825:
822:
819:
799:
796:
793:
790:
787:
775:
772:
760:
757:
754:
751:
748:
745:
742:
739:
736:
733:
730:
727:
724:
721:
718:
695:
692:
689:
686:
683:
680:
677:
674:
671:
668:
665:
662:
659:
656:
653:
650:
628:
625:
622:
619:
616:
613:
610:
607:
604:
601:
598:
595:
592:
589:
586:
583:
549:
546:
543:
540:
537:
534:
531:
528:
525:
522:
519:
499:
488:Hilbert's list
452:
449:
438:
437:
421:
411:
395:
385:
365:
355:
339:
311:
283:
279:
275:
271:
268:
243:
223:
220:
217:
214:
211:
208:
205:
178:
175:
155:
152:
149:
146:
143:
140:
108:
83:
80:
77:
74:
71:
68:
65:
62:
59:
56:
53:
50:
47:
44:
41:
38:
35:
15:
9:
6:
4:
3:
2:
6361:
6350:
6347:
6346:
6344:
6326:
6325:StackExchange
6322:
6317:
6315:
6312:
6310:
6306:
6305:
6295:
6290:
6286:
6284:9783764387495
6280:
6276:
6272:
6271:Kuczma, Marek
6268:
6267:
6224:
6206:
6203:
6175:
6171:
6128:
6091:
6077:
6073:
6066:
6058:
6054:
6050:
6046:
6042:
6038:
6034:
6027:
6018:
6009:
6005:
5991:
5988:
5985:
5982:
5979:
5976:
5973:
5970:
5969:
5963:
5949:
5939:
5934:
5930:
5907:
5903:
5893:
5889:
5882:
5874:
5858:
5840:
5837:
5817:
5797:
5788:
5775:
5770:
5766:
5757:
5753:
5746:
5741:
5738:
5735:
5731:
5727:
5719:
5715:
5709:
5705:
5698:
5693:
5690:
5687:
5683:
5679:
5667:
5663:
5657:
5653:
5647:
5644:
5641:
5637:
5626:
5623:
5617:
5611:
5586:
5583:
5560:
5554:
5547:is additive,
5521:
5518:
5496:
5492:
5466:
5463:
5443:
5440:
5432:
5428:
5423:
5414:
5410:
5403:
5394:
5359:
5355:
5351:
5348:
5326:
5322:
5312:
5308:
5301:
5280:
5272:
5269:
5249:
5241:
5237:
5230:
5224:
5219:
5215:
5194:
5184:
5179:
5175:
5147:
5143:
5122:
5113:
5055:
5028:
5024:
5003:
4988:
4970:
4967:
4964:
4954:
4950:
4926:
4920:
4916:
4910:
4906:
4899:
4896:
4893:
4889:
4885:
4882:
4857:
4854:
4829:
4802:
4755:
4749:
4743:
4740:
4734:
4728:
4719:
4717:
4713:
4709:
4705:
4704:(Hamel) basis
4701:
4697:
4668:
4665:
4645:
4637:
4634:
4609:
4606:
4586:
4580:
4574:
4571:
4565:
4562:
4556:
4536:
4528:
4507:
4487:
4471:
4468:
4465:
4450:
4431:
4425:
4422:
4419:
4388:
4382:
4379:
4376:
4367:
4364:
4344:
4335:
4322:
4301:
4296:
4292:
4286:
4282:
4279:
4276:
4272:
4267:
4261:
4257:
4253:
4247:
4243:
4239:
4234:
4230:
4226:
4221:
4217:
4212:
4208:
4203:
4200:
4190:
4187:
4173:
4168:
4163:
4159:
4153:
4149:
4146:
4142:
4137:
4133:
4128:
4124:
4120:
4114:
4110:
4107:
4103:
4097:
4093:
4088:
4084:
4077:
4072:
4067:
4063:
4056:
4052:
4044:
4027:
4024:
4021:
4015:
4010:
4006:
4001:
3997:
3993:
3987:
3982:
3977:
3973:
3950:
3930:
3927:
3922:
3918:
3897:
3894:
3891:
3886:
3882:
3878:
3873:
3869:
3861:, then since
3848:
3845:
3840:
3836:
3832:
3829:
3826:
3821:
3817:
3807:
3793:
3790:
3787:
3782:
3778:
3774:
3769:
3765:
3744:
3741:
3736:
3732:
3728:
3723:
3719:
3698:
3695:
3690:
3686:
3682:
3677:
3673:
3663:
3646:
3640:
3635:
3631:
3627:
3622:
3618:
3614:
3608:
3603:
3599:
3595:
3590:
3586:
3579:
3556:
3553:
3550:
3544:
3541:
3536:
3532:
3528:
3523:
3519:
3493:
3488:
3484:
3480:
3475:
3471:
3461:
3448:
3428:
3406:
3377:
3350:
3347:
3344:
3341:
3335:
3329:
3326:
3323:
3311:
3292:
3279:
3276:
3273:
3264:
3249:
3243:
3236:
3230:
3223:
3214:
3208:
3203:
3196:
3191:
3185:
3180:
3174:
3171:
3168:
3162:
3154:
3138:
3123:
3113:
3110:
3101:
3085:
3050:
3045:
3041:
3037:
3032:
3028:
3024:
3015:
3009:
3004:
3000:
2996:
2991:
2987:
2983:
2980:
2975:
2971:
2967:
2962:
2958:
2948:
2945:
2936:
2919:
2916:
2913:
2907:
2904:
2884:
2881:
2875:
2869:
2849:
2840:
2821:
2815:
2812:
2809:
2781:
2775:
2772:
2769:
2746:
2726:
2723:
2717:
2711:
2688:
2685:
2682:
2659:
2639:
2625:
2606:
2600:
2597:
2594:
2568:
2565:
2562:
2539:
2519:
2516:
2513:
2497:
2483:
2478:
2463:
2439:
2436:
2424:
2418:
2415:
2412:
2399:
2395:
2367:
2361:
2358:
2355:
2349:
2343:
2339:
2333:
2330:
2325:
2319:
2316:
2310:
2304:
2301:
2296:
2292:
2285:
2282:
2273:
2270:
2264:
2260:
2257:
2253:
2249:
2243:
2240:
2234:
2230:
2227:
2221:
2218:
2212:
2205:
2204:
2203:
2184:
2181:
2156:
2153:
2131:
2128:
2123:
2120:
2095:
2092:
2085:Finally, any
2083:
2066:
2060:
2055:
2052:
2048:
2044:
2038:
2033:
2030:
2026:
2019:
1996:
1991:
1988:
1984:
1977:
1974:
1971:
1965:
1960:
1957:
1953:
1949:
1943:
1940:
1934:
1928:
1903:
1900:
1871:
1868:
1845:
1839:
1836:
1833:
1827:
1824:
1818:
1811:
1810:
1809:
1792:
1786:
1783:
1780:
1771:
1765:
1762:
1753:
1750:
1744:
1738:
1735:
1729:
1723:
1720:
1714:
1705:
1702:
1693:
1690:
1681:
1678:
1672:
1669:
1663:
1638:
1635:
1632:
1607:
1604:
1595:
1578:
1572:
1564:
1561:
1538:
1532:
1529:
1526:
1520:
1517:
1511:
1502:
1485:
1479:
1476:
1473:
1467:
1464:
1458:
1435:
1432:
1426:
1423:
1417:
1411:
1408:
1399:
1396:
1390:
1387:
1381:
1378:
1372:
1366:
1363:
1360:
1340:
1337:
1331:
1325:
1302:
1296:
1293:
1287:
1281:
1278:
1272:
1269:
1266:
1260:
1257:
1251:
1245:
1236:
1222:
1219:
1216:
1196:
1193:
1190:
1165:
1162:
1139:
1133:
1130:
1127:
1121:
1118:
1112:
1089:
1083:
1080:
1074:
1068:
1065:
1059:
1056:
1053:
1047:
1027:
1021:
1018:
1015:
1007:
1003:
1002:
966:
946:
940:
937:
934:
925:
921:
907:
887:
823:
820:
817:
797:
791:
788:
785:
771:
758:
752:
746:
740:
734:
731:
725:
722:
716:
709:
693:
687:
681:
678:
672:
666:
663:
657:
654:
648:
641:
626:
620:
614:
608:
602:
599:
593:
590:
587:
581:
574:
570:
565:
563:
544:
538:
535:
532:
526:
523:
517:
497:
489:
485:
484:fifth problem
480:
478:
474:
470:
466:
450:
447:
435:
419:
412:
409:
393:
386:
383:
379:
363:
356:
353:
337:
329:
325:
309:
302:
301:
300:
298:
269:
266:
258:
241:
221:
218:
215:
209:
206:
203:
196:
192:
176:
173:
153:
150:
144:
141:
138:
130:
126:
122:
106:
97:
81:
75:
69:
66:
60:
54:
51:
45:
42:
39:
33:
25:
21:
6328:. Retrieved
6324:
6293:
6274:
6090:
6079:. Retrieved
6076:MathOverflow
6075:
6065:
6040:
6036:
6026:
6017:
6008:
5789:
5114:
4985:is a finite
4720:
4708:Zorn's lemma
4696:vector space
4457:
4336:
4191:
4188:
4045:
3808:
3664:
3462:
3392:is dense in
3312:
3265:
3155:
3102:
3071:is dense in
2937:
2841:
2759:is dense in
2632:WLOG, scale
2631:
2499:
2394:pathological
2391:
2084:
1892:
1656:, therefore
1596:
1503:
1237:
1105:, satisfies
1005:
1004:
926:
923:
922:
777:
568:
566:
481:
476:
439:
257:pathological
191:real numbers
123:. Over the
98:
19:
18:
6330:20 December
6043:(1): 1–56.
5387:is the map
4815:i.e. a set
4189:That is,
1238:First note
473:Hamel bases
469:Georg Hamel
195:linear maps
99:A function
6196:functions
6081:2024-02-21
6000:References
5456:Since any
3910:, we have
3463:Claim: if
2012:and hence
510:such that
324:continuous
6217:→
6207::
6057:0003-486X
5940:∈
5851:→
5841::
5767:λ
5739:∈
5732:∑
5716:λ
5691:∈
5684:∑
5654:λ
5645:∈
5638:∑
5587:∈
5530:→
5522::
5467:∈
5441:ξ
5398:↦
5395:ξ
5370:→
5352::
5273:∈
5228:↦
5185:∈
5025:λ
5016:and each
4968:∈
4907:λ
4897:∈
4890:∑
4858:∈
4830:⊂
4698:over the
4677:→
4669::
4638:∈
4610:∈
4607:α
4581:α
4563:α
4508:α
4480:→
4472:α
4469::
4432:×
4389:×
4368:∩
4357:contains
4323:◻
4254:−
4121:−
4016:∈
3994:−
3827:≥
3696:≥
3545:∈
3494:∈
3449:◻
3348:≠
3342:−
3129:→
3051:∈
2908:∈
2897:for some
2882:≠
2822:×
2782:×
2607:×
2440:∈
2185:∈
2157:∈
2096:∈
2053:−
2031:−
1989:−
1958:−
1904:∈
1872:∈
1763:−
1751:−
1736:−
1721:−
1703:−
1691:−
1639:∈
1633:−
1608:∈
1573:∪
1565:∈
1477:−
1465:−
1433:−
1397:−
1220:∈
1194:∈
1166:∈
1025:→
1019::
944:→
938::
795:→
789::
533:≠
378:monotonic
278:→
270::
234:now with
213:↦
189:Over the
148:↦
142::
6343:Category
6273:(2009).
5966:See also
4599:for all
3421:, so is
2383:, q.e.d.
1861:for any
1625:we know
1318:, hence
1155:for any
1001:-linear.
924:Theorem:
810:, where
382:interval
354:, 1875).
5511:s, and
3757:, then
3572:, then
1921:, then
408:bounded
380:on any
352:Darboux
22:is the
6281:
6055:
5043:is in
4987:subset
4939:where
4527:domain
4500:where
3943:. Let
3511:, and
3313:Since
2842:Since
2704:, and
1209:. Let
1006:Proof:
471:using
328:Cauchy
297:linear
85:
5090:over
4700:field
2629:Proof
2532:. If
2501:Lemma
2462:dense
2398:graph
2146:with
6332:2015
6279:ISBN
6053:ISSN
5262:for
4627:and
3928:>
3895:>
3846:<
3791:<
3742:<
3662:.
3310:.
3100:.
2935:.
2839:.
2517:>
2506:Let
2174:and
1893:Let
1183:and
927:Let
706:and
482:The
299:if:
6045:doi
5135:to
4989:of
4529:of
3809:If
3665:If
3441:.
3321:det
2464:in
2460:is
979:is
900:to
486:on
432:is
406:is
376:is
322:is
295:is
6345::
6323:.
6074:.
6051:.
6041:92
6039:.
6035:.
4716:DC
4449:.
2949::=
2624:.
2082:.
1594:.
1501:.
1235:.
920:.
479:.
26::
6334:.
6296:.
6287:.
6247:c
6225:,
6221:R
6212:B
6204:f
6181:c
6176:2
6172:=
6166:c
6159:c
6134:c
6129:=
6126:)
6121:B
6116:(
6112:d
6109:r
6106:a
6103:c
6084:.
6059:.
6047::
5950:.
5945:B
5935:i
5931:x
5908:i
5904:x
5899:)
5894:i
5890:x
5886:(
5883:f
5859:.
5855:R
5846:B
5838:f
5818:f
5798:f
5776:.
5771:i
5763:)
5758:i
5754:x
5750:(
5747:f
5742:I
5736:i
5728:=
5725:)
5720:i
5710:i
5706:x
5702:(
5699:f
5694:I
5688:i
5680:=
5675:)
5668:i
5664:x
5658:i
5648:I
5642:i
5632:(
5627:f
5624:=
5621:)
5618:x
5615:(
5612:f
5591:R
5584:x
5564:)
5561:x
5558:(
5555:f
5534:R
5526:R
5519:f
5497:i
5493:x
5471:R
5464:x
5444:.
5438:]
5433:i
5429:x
5424:/
5420:)
5415:i
5411:x
5407:(
5404:f
5401:[
5374:R
5366:Q
5360:i
5356:x
5349:f
5327:i
5323:x
5318:)
5313:i
5309:x
5305:(
5302:f
5281:,
5277:Q
5270:q
5250:q
5247:)
5242:i
5238:x
5234:(
5231:f
5225:q
5220:i
5216:x
5195:.
5190:B
5180:i
5176:x
5154:Q
5148:i
5144:x
5123:f
5099:Q
5077:R
5056:.
5052:Q
5029:i
5004:,
4999:B
4971:I
4965:i
4961:}
4955:i
4951:x
4947:{
4927:,
4921:i
4917:x
4911:i
4900:I
4894:i
4886:=
4883:x
4862:R
4855:x
4834:R
4825:B
4803:,
4799:Q
4777:R
4756:x
4753:)
4750:1
4747:(
4744:f
4741:=
4738:)
4735:x
4732:(
4729:f
4681:R
4673:R
4666:f
4646:.
4642:Q
4635:q
4614:R
4587:q
4584:)
4578:(
4575:f
4572:=
4569:)
4566:q
4560:(
4557:f
4537:f
4512:Q
4488:,
4484:R
4476:Q
4466:f
4436:R
4429:)
4426:1
4423:,
4420:0
4417:(
4397:)
4393:R
4386:)
4383:1
4380:,
4377:0
4374:(
4371:(
4365:L
4345:f
4302:k
4297:1
4293:r
4287:=
4283:)
4280:a
4277:(
4273:f
4268:k
4262:2
4258:r
4248:+
4244:)
4240:a
4235:2
4231:r
4227:+
4222:1
4218:r
4213:(
4209:f
4204:k
4201:1
4174:)
4169:k
4164:1
4160:r
4154:(
4150:f
4147:=
4143:)
4138:k
4134:a
4129:2
4125:r
4115:(
4111:f
4108:+
4104:)
4098:k
4094:a
4089:2
4085:r
4078:+
4073:k
4068:1
4064:r
4057:(
4053:f
4031:)
4028:1
4025:,
4022:0
4019:(
4011:k
4007:a
4002:2
3998:r
3988:,
3983:k
3978:1
3974:r
3951:k
3931:0
3923:1
3919:r
3898:0
3892:a
3887:2
3883:r
3879:+
3874:1
3870:r
3849:0
3841:2
3837:r
3833:,
3830:0
3822:1
3818:r
3794:0
3788:a
3783:2
3779:r
3775:+
3770:1
3766:r
3745:0
3737:2
3733:r
3729:,
3724:1
3720:r
3699:0
3691:2
3687:r
3683:,
3678:1
3674:r
3650:)
3647:a
3644:(
3641:f
3636:2
3632:r
3628:+
3623:1
3619:r
3615:=
3612:)
3609:a
3604:2
3600:r
3596:+
3591:1
3587:r
3583:(
3580:f
3560:)
3557:1
3554:,
3551:0
3548:(
3542:a
3537:2
3533:r
3529:+
3524:1
3520:r
3498:Q
3489:2
3485:r
3481:,
3476:1
3472:r
3429:L
3407:2
3402:R
3378:2
3373:Q
3351:0
3345:a
3339:)
3336:a
3333:(
3330:f
3327:=
3324:A
3298:)
3293:2
3288:Q
3283:(
3280:A
3277:=
3274:L
3250:]
3244:y
3237:x
3231:[
3224:]
3218:)
3215:a
3212:(
3209:f
3204:1
3197:a
3192:1
3186:[
3181:=
3178:)
3175:y
3172:,
3169:x
3166:(
3163:A
3139:2
3134:R
3124:2
3119:R
3114::
3111:A
3086:2
3081:R
3059:}
3055:Q
3046:2
3042:r
3038:,
3033:1
3029:r
3025::
3022:)
3019:)
3016:a
3013:(
3010:f
3005:2
3001:r
2997:+
2992:1
2988:r
2984:,
2981:a
2976:2
2972:r
2968:+
2963:1
2959:r
2955:(
2952:{
2946:L
2923:)
2920:1
2917:,
2914:0
2911:(
2905:a
2885:a
2879:)
2876:a
2873:(
2870:f
2850:f
2826:R
2819:]
2816:1
2813:,
2810:0
2807:[
2786:R
2779:)
2776:1
2773:,
2770:0
2767:(
2747:f
2727:1
2724:=
2721:)
2718:1
2715:(
2712:f
2692:]
2689:1
2686:,
2683:0
2680:[
2660:f
2640:f
2611:R
2604:]
2601:t
2598:,
2595:0
2592:[
2572:]
2569:t
2566:,
2563:0
2560:[
2540:f
2520:0
2514:t
2484:,
2479:2
2474:R
2448:}
2444:R
2437:x
2434:|
2431:)
2428:)
2425:x
2422:(
2419:f
2416:,
2413:x
2410:(
2407:{
2371:)
2368:v
2365:(
2362:f
2359:q
2356:=
2353:)
2350:v
2347:(
2344:f
2340:m
2334:n
2331:1
2326:=
2323:)
2320:v
2317:m
2314:(
2311:f
2305:n
2302:1
2297:=
2293:)
2289:)
2286:v
2283:m
2280:(
2274:n
2271:1
2265:(
2261:f
2258:=
2254:)
2250:v
2244:n
2241:m
2235:(
2231:f
2228:=
2225:)
2222:v
2219:q
2216:(
2213:f
2189:N
2182:n
2161:Z
2154:m
2132:n
2129:m
2124:=
2121:q
2100:Q
2093:q
2070:)
2067:v
2064:(
2061:f
2056:1
2049:n
2045:=
2042:)
2039:v
2034:1
2027:n
2023:(
2020:f
2000:)
1997:v
1992:1
1985:n
1981:(
1978:f
1975:n
1972:=
1969:)
1966:v
1961:1
1954:n
1950:n
1947:(
1944:f
1941:=
1938:)
1935:v
1932:(
1929:f
1908:N
1901:n
1889:.
1876:Z
1869:m
1849:)
1846:v
1843:(
1840:f
1837:m
1834:=
1831:)
1828:v
1825:m
1822:(
1819:f
1796:)
1793:v
1790:(
1787:f
1784:m
1781:=
1778:)
1775:)
1772:v
1769:(
1766:f
1760:(
1757:)
1754:m
1748:(
1745:=
1742:)
1739:v
1733:(
1730:f
1727:)
1724:m
1718:(
1715:=
1712:)
1709:)
1706:v
1700:(
1697:)
1694:m
1688:(
1685:(
1682:f
1679:=
1676:)
1673:v
1670:m
1667:(
1664:f
1643:N
1636:m
1612:Z
1605:m
1582:}
1579:0
1576:{
1569:N
1562:m
1542:)
1539:v
1536:(
1533:f
1530:m
1527:=
1524:)
1521:v
1518:m
1515:(
1512:f
1489:)
1486:v
1483:(
1480:f
1474:=
1471:)
1468:v
1462:(
1459:f
1439:)
1436:v
1430:(
1427:f
1424:+
1421:)
1418:v
1415:(
1412:f
1409:=
1406:)
1403:)
1400:v
1394:(
1391:+
1388:v
1385:(
1382:f
1379:=
1376:)
1373:0
1370:(
1367:f
1364:=
1361:0
1341:0
1338:=
1335:)
1332:0
1329:(
1326:f
1306:)
1303:0
1300:(
1297:f
1294:+
1291:)
1288:0
1285:(
1282:f
1279:=
1276:)
1273:0
1270:+
1267:0
1264:(
1261:f
1258:=
1255:)
1252:0
1249:(
1246:f
1223:V
1217:v
1197:V
1191:v
1170:Q
1163:q
1143:)
1140:v
1137:(
1134:f
1131:q
1128:=
1125:)
1122:v
1119:q
1116:(
1113:f
1093:)
1090:y
1087:(
1084:f
1081:+
1078:)
1075:x
1072:(
1069:f
1066:=
1063:)
1060:y
1057:+
1054:x
1051:(
1048:f
1028:W
1022:V
1016:f
988:Q
967:f
947:W
941:V
935:f
908:W
888:V
867:Q
845:Q
824:W
821:,
818:V
798:W
792:V
786:f
759:.
756:)
753:y
750:(
747:f
744:)
741:x
738:(
735:f
732:=
729:)
726:y
723:x
720:(
717:f
694:,
691:)
688:y
685:(
682:f
679:+
676:)
673:x
670:(
667:f
664:=
661:)
658:y
655:x
652:(
649:f
627:,
624:)
621:y
618:(
615:f
612:)
609:x
606:(
603:f
600:=
597:)
594:y
591:+
588:x
585:(
582:f
548:)
545:x
542:(
539:f
536:c
530:)
527:x
524:c
521:(
518:f
498:c
451:,
448:f
436:.
420:f
394:f
384:.
364:f
338:f
326:(
310:f
282:R
274:R
267:f
242:c
222:,
219:x
216:c
210:x
207::
204:f
177:.
174:c
154:x
151:c
145:x
139:f
107:f
82:.
79:)
76:y
73:(
70:f
67:+
64:)
61:x
58:(
55:f
52:=
49:)
46:y
43:+
40:x
37:(
34:f
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.