6386:
1911:
5715:
1470:
6381:{\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}(\theta )&=e^{(-i\theta X/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)X={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-i\sin \theta /2\\-i\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )&=e^{(-i\theta Y/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Y={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-\sin \theta /2\\\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{z}(\theta )&=e^{(-i\theta Z/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Z={\begin{bmatrix}e^{-i\theta /2}&0\\0&e^{i\theta /2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
1906:{\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+{\frac {a_{x}}{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{y}}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{z}}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+a_{z}&a_{x}-ia_{y}\\a_{x}+ia_{y}&1-a_{z}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
3516:
27:
8348:
970:
6786:
2709:
2228:
8098:
6796:
Ballentine presents an intuitive derivation for the infinitesimal unitary transformation. This is important for understanding why the rotations of Bloch spheres are exponentials of linear combinations of Pauli matrices. Hence a brief treatment on this is given here. A more complete description in
5379:
For states of higher dimensions there is difficulty in extending this to mixed states. The topological description is complicated by the fact that the unitary group does not act transitively on density operators. The orbits moreover are extremely diverse as follows from the following observation:
735:
6594:
7359:
4469:
5619:
4020:
6579:
2545:
1372:
2093:
3270:. Since the corresponding eigenvalue must be a complex number of modulus 1, this gives the U(1) factor of the isotropy group. The other part of the isotropy group is parametrized by the unitary matrices on the orthogonal complement of
4267:
7516:
2963:
8343:{\displaystyle {\frac {1}{2}}(1\!\!1+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta /2&\sin \theta /2~\cos \theta /2~e^{-i\phi }\\\sin \theta /2~\cos \theta /2~e^{i\phi }&\sin ^{2}\theta /2\end{pmatrix}}}
5506:
7924:
965:{\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,(\cos \phi +i\sin \phi )\,\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle }
4164:
5284:
564:. This means that the state is described by four real numbers. However, only the relative phase between the coefficients of the two basis vectors has any physical meaning (the phase of the quantum system is not directly
7139:
2487:
5160:
6781:{\displaystyle \mathbf {q} =e^{{\frac {1}{2}}\theta (u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )}=\cos {\frac {\theta }{2}}+(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )\sin {\frac {\theta }{2}}}
2403:
7192:
5632:
A useful advantage of the Bloch sphere representation is that the evolution of the qubit state is describable by rotations of the Bloch sphere. The most concise explanation for why this is the case is that the
3181:
280:
4331:
2039:
5040:
4946:
3481:
8423:
5174:. The Bloch sphere parametrizes not only pure states but mixed states for 2-level systems. The density operator describing the mixed-state of a 2-level quantum system (qubit) corresponds to a point
4207:
695:
7985:
7725:
5720:
1475:
7790:
7589:
5521:
6971:
4716:
4688:
4632:
4323:
3963:
3602:
6468:
3119:
1959:
4846:
4660:
4295:
3838:
3662:
3574:
2082:
640:
320:
3879:
3703:
203:
2534:
6476:
1002:
1037:
7400:
7029:
3920:
2306:
2236:
As a consequence, the surface of the Bloch sphere represents all the pure states of a two-dimensional quantum system, whereas the interior corresponds to all the mixed states.
5367:
2704:{\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+w&u-iv\\u+iv&1-w\end{pmatrix}}.}
4545:
4504:
3631:
3546:
1462:
1404:
451:
7181:
5624:
It is possible to generalize the construction of the Bloch ball to dimensions larger than 2, but the geometry of such a "Bloch body" is more complicated than that of a ball.
4597:
3806:
3361:
337:
corresponding to a pair of mutually orthogonal state vectors. The north and south poles of the Bloch sphere are typically chosen to correspond to the standard basis vectors
3296:
3264:
3236:
3050:
3018:
1089:
727:
502:
175:
7663:
4794:
3746:
2223:{\displaystyle \operatorname {tr} \left(\rho ^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\left|{\vec {a}}\right|^{2}\right)=1\quad \Leftrightarrow \quad \left|{\vec {a}}\right|=1~,}
7819:
1262:
1149:
1121:
594:
558:
530:
391:
363:
4768:
4742:
1213:
4043:
1234:
1169:
6880:
4063:
5699:
5667:
5314:
5170:
Formulations of quantum mechanics in terms of pure states are adequate for isolated systems; in general quantum mechanical systems need to be described in terms of
3947:
2807:
2772:
2326:
1189:
1061:
152:
112:
4212:
7408:
2883:
7612:
6842:
6822:
3204:
3070:
2736:
132:
92:
5438:
7827:
3664:
on the Bloch sphere is representable as a unique linear combination of the two basis spinors, with coefficients being a pair of complex numbers; call them
8632:
Feynman, Richard P.; Vernon, Frank L.; Hellwarth, Robert W. (1957). "Geometrical
Representation of the Schrödinger Equation for Solving Maser Problems".
596:
to be real and non-negative. This allows the state to be described by only three real numbers, giving rise to the three dimensions of the Bloch sphere.
3812:
stereographically onto the Bloch sphere away from the South Pole — as it were — (0,0,−1). The projection is onto a point marked on the sphere as
4071:
205:) represent the same state, the level of the quantum system corresponds to the dimension of the Hilbert space and pure states can be represented as
5184:
7039:
2409:
5046:
1968:
It is this vector that indicates the point within the sphere that corresponds to a given mixed state. Specifically, as a basic feature of the
7354:{\displaystyle U^{\dagger }U=I+s\left({\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}+{\frac {dU^{\dagger }}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}\right)+O\left(s^{2}\right)=I}
2334:
4464:{\displaystyle u={\beta \over \alpha }={\alpha ^{*}\beta \over \alpha ^{*}\alpha }={\alpha ^{*}\beta \over |\alpha |^{2}}=u_{x}+iu_{y}}
3127:
221:
1979:
4952:
4858:
6824:
representing a rotation about some axis. Since the rotation has one degree of freedom, the operator acts on a field of scalars
3402:
8355:
4510: = 0 (which intersects the Bloch sphere at a great circle; the sphere's equator, as it were) can be thought of as an
8724:
8705:
8686:
6798:
4172:
3604:
have been chosen as a basis. Mathematically they are orthogonal even though graphically the angle between them is π. In
645:
401:-down states of an electron. This choice is arbitrary, however. The points on the surface of the sphere correspond to the
7932:
7671:
5614:{\displaystyle \operatorname {U} (n)/\left(\operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k})\right).}
3302:− 1). From this the assertion of the theorem follows from basic facts about transitive group actions of compact groups.
7730:
7528:
4015:{\displaystyle \alpha \left|\uparrow \right\rangle +\beta \left|\downarrow \right\rangle =\left|\nearrow \right\rangle }
6584:
An interesting thing to note is that this expression is identical under relabelling to the extended Euler formula for
8579:
6886:
4693:
4665:
4609:
4300:
3579:
6399:
3079:
1920:
6585:
4823:
4637:
4272:
3815:
3639:
3551:
2044:
605:
565:
288:
3850:
6574:{\displaystyle R_{\hat {n}}(\theta )=\exp \left(-i\theta {\hat {n}}\cdot {\frac {1}{2}}{\vec {\sigma }}\right)}
3675:
180:
2493:
975:
8748:
1007:
402:
8426:
7367:
6979:
6470:
is a real unit vector in three dimensions, the rotation of the Bloch sphere about this axis is given by:
3887:
3752: = 0, the equatorial plane of the sphere, as it were, to be a complex plane and that the point
1237:
2258:
20:
8743:
8007:
5319:
2972:
4521:
4480:
3607:
3522:
1438:
1380:
427:
7150:
4550:
3759:
3330:
3273:
3241:
3213:
3027:
2995:
1066:
704:
479:
4809:
3882:
1367:{\displaystyle {\vec {a}}=(\sin \theta \cos \phi ,\;\sin \theta \sin \phi ,\;\cos \theta )=(u,v,w)}
458:
216:
157:
7620:
4773:
3708:
8523:
2989:
421:
283:
7795:
1126:
1098:
571:
535:
507:
368:
340:
4747:
4721:
2969:
1430:
1197:
8572:
Lie
Algebras, Part 1: Finite and Infinite Dimensional Lie Algebras and Applications in Physics
4262:{\displaystyle \langle \downarrow |\downarrow \rangle =\langle \uparrow |\uparrow \rangle =1}
4028:
3950:
1969:
1410:
1218:
1154:
7511:{\displaystyle {\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}+{\frac {dU^{\dagger }}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}=0}
6850:
4048:
2958:{\displaystyle \operatorname {U} (n)/(\operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1)).}
599:
We also know from quantum mechanics that the total probability of the system has to be one:
8641:
8602:
8542:
8521:
Appleby, D.M. (2007). "Symmetric informationally complete measurements of arbitrary rank".
5709:
The rotations of the Bloch sphere about the
Cartesian axes in the Bloch basis are given by
5672:
5640:
5292:
4325:
form a basis and have diametrically opposite representations on the Bloch sphere, then let
3925:
2780:
2745:
2739:
2311:
1174:
1046:
417:
211:
137:
97:
16:
Geometrical representation of the pure state space of a two-level quantum mechanical system
7614:
is any
Hermitian transformation, and is called the generator of the unitary family. Hence
406:
8:
8645:
8606:
8546:
5501:{\displaystyle \operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k}).}
5373:
of Bloch sphere). The set of all points on and inside the Bloch sphere is known as the
8665:
8558:
8532:
7919:{\displaystyle R_{\hat {n}}(\theta )=\exp(-i\theta {\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}/2)}
7727:
are unitary
Hermitian matrices and have eigenvectors corresponding to the Bloch basis,
7597:
7033:
We define the infinitesimal unitary as the Taylor expansion truncated at second order.
6827:
6807:
3189:
3055:
2721:
117:
77:
8023:
8720:
8701:
8682:
8657:
8620:
8575:
560:, where the coefficient of (or contribution from) each of the two basis vectors is a
504:
of a two-level quantum system can be written as a superposition of the basis vectors
206:
39:
35:
8669:
8562:
8649:
8610:
8550:
8012:
3510:
3504:
1426:
1414:
1092:
568:), so that there is redundancy in this description. We can take the coefficient of
334:
51:
8487:
7792:, we can naturally see how a rotation of the Bloch sphere about an arbitrary axis
2308:
can be represented in the following basis, with reference to the density operator
66:
4159:{\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =1}
5171:
4511:
3845:
3021:
2775:
1433:
561:
454:
398:
394:
323:
69:
8554:
3366:
is a local homeomorphism from the space of self-adjoint complex matrices to U(
8737:
8661:
8624:
5669:
is isomorphic to the Lie algebra of the group of three dimensional rotations
5279:{\displaystyle \left(\sum p_{i}x_{i},\sum p_{i}y_{i},\sum p_{i}z_{i}\right),}
2826:
72:
8615:
8590:
7134:{\displaystyle U(s)=I+{\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}s+O\left(s^{2}\right)}
2482:{\displaystyle v=i(\rho _{01}-\rho _{10})=2\operatorname {Im} (\rho _{10})}
282:. For a two-dimensional Hilbert space, the space of all such states is the
5155:{\displaystyle P_{z}={1-u_{x}^{2}-u_{y}^{2} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}.}
3844:
Mathematically the Bloch sphere for a two-spinor state can be mapped to a
3490:
qubit quantum register. The corresponding
Hilbert space has dimension 2.
8537:
5634:
3267:
424:. The mapping from the unit 3-sphere in the two-dimensional state space
59:
2398:{\displaystyle u=\rho _{10}+\rho _{01}=2\operatorname {Re} (\rho _{01})}
8080:
3633:
those points have coordinates (0,0,1) and (0,0,−1). An arbitrary
2041:. Density operators must be positive-semidefinite, so it follows that
1241:
1043:
The representation is always unique, because, even though the value of
474:
94:. A pure state of a quantum system is represented by a non-zero vector
47:
8653:
8507:
Ballentine 2014, "Quantum
Mechanics - A Modern Development", Chapter 3
8498:
Nielsen and Chuang 2010, "Quantum
Computation and Information," pg 174
8022:
Specific implementations of the Bloch sphere are enumerated under the
3515:
2809:, allowing one to identify the three coordinates with x y and z axes.
3313:
2861:
1249:
5316:
is the probability of the individual states within the ensemble and
3176:{\displaystyle \operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1).}
4816:
on the Bloch sphere. The vector with tail at the origin and tip at
330:
65:
Mathematically each quantum mechanical system is associated with a
4506:
with its center at the origin and with radius one, then the plane
3370:). The space of self-adjoint complex matrices has real dimension
2821:-level quantum mechanical system. This system is described by an
413:-level quantum system, but then the visualization is less useful.
275:{\displaystyle \mathbf {P} (H_{n})=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}}
8432:
8049:
5394:
level quantum mechanical system whose distinct eigenvalues are μ
3511:
Plotting pure two-spinor states through stereographic projection
3186:
In linear algebra terms, this can be justified as follows. Any
8017:
3634:
462:
26:
670:
651:
8574:. Studies in Mathematical Physics. Amsterdam: North Holland.
6791:
3954:
3501:
2715:
405:
of the system, whereas the interior points correspond to the
55:
4690:.) This line intersects the sphere at another point besides
2837:. The pure state space is by definition the set of rays of
2034:{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1\pm |{\vec {a}}|\right)}
8444:
5704:
5035:{\displaystyle P_{y}={2u_{y} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}},}
4941:{\displaystyle P_{x}={2u_{x} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}},}
2853:
393:, respectively, which in turn might correspond e.g. to the
4820:
is the direction in 3-D space corresponding to the spinor
3476:{\displaystyle n^{2}-\left((n-1)^{2}+1\right)=2n-2.\quad }
8418:{\displaystyle (\cos \theta /2,e^{i\phi }\sin \theta /2)}
7995:
8061:
4477:
If the Bloch sphere is thought of as being embedded in
4202:{\displaystyle \langle \downarrow |\uparrow \rangle =0}
3486:
Let us apply this to consider the real dimension of an
8631:
8438:
8164:
6304:
6082:
5851:
2637:
2560:
1796:
1737:
1678:
1622:
1566:
690:{\displaystyle {\big \|}|\psi \rangle {\big \|}^{2}=1}
8456:
8358:
8101:
7980:{\displaystyle K={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}/2.}
7935:
7830:
7798:
7733:
7720:{\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}
7674:
7623:
7600:
7531:
7411:
7370:
7195:
7153:
7042:
6982:
6889:
6853:
6830:
6810:
6597:
6479:
6402:
5718:
5675:
5643:
5524:
5441:
5369:
are the coordinates of the individual states (on the
5322:
5295:
5187:
5049:
4955:
4861:
4826:
4776:
4750:
4724:
4696:
4668:
4640:
4612:
4553:
4524:
4483:
4334:
4303:
4275:
4215:
4175:
4074:
4051:
4031:
3966:
3928:
3890:
3853:
3818:
3762:
3711:
3678:
3642:
3610:
3582:
3554:
3525:
3405:
3333:
3276:
3244:
3216:
3192:
3130:
3082:
3058:
3030:
2998:
2886:
2783:
2748:
2724:
2548:
2496:
2412:
2337:
2314:
2261:
2096:
2047:
1982:
1923:
1473:
1441:
1383:
1265:
1221:
1200:
1177:
1157:
1129:
1101:
1069:
1049:
1010:
978:
738:
707:
648:
608:
574:
538:
510:
482:
430:
371:
343:
322:
This is the Bloch sphere, which can be mapped to the
291:
224:
183:
160:
140:
120:
100:
80:
7996:
Online Bloch sphere visualization by
Konstantin Herb
4606:
and through the point on the sphere that represents
3496:. The real dimension of the pure state space of an
8468:
8417:
8342:
7979:
7918:
7813:
7785:{\displaystyle ({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})}
7784:
7719:
7657:
7606:
7584:{\displaystyle {\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}=iK}
7583:
7510:
7394:
7353:
7175:
7133:
7023:
6965:
6874:
6836:
6816:
6780:
6573:
6462:
6380:
5693:
5661:
5613:
5500:
5361:
5308:
5278:
5154:
5034:
4940:
4840:
4788:
4762:
4736:
4710:
4682:
4654:
4626:
4591:
4539:
4498:
4463:
4317:
4289:
4261:
4201:
4158:
4065:are complex numbers which are normalized so that
4057:
4037:
4014:
3941:
3914:
3873:
3832:
3800:
3740:
3697:
3656:
3625:
3596:
3568:
3540:
3475:
3355:
3290:
3258:
3230:
3198:
3175:
3113:
3064:
3044:
3012:
2957:
2801:
2766:
2730:
2703:
2528:
2481:
2397:
2320:
2300:
2222:
2076:
2033:
1953:
1905:
1456:
1398:
1366:
1228:
1207:
1183:
1163:
1143:
1115:
1083:
1055:
1031:
996:
964:
721:
689:
634:
588:
552:
524:
496:
445:
385:
357:
314:
274:
197:
169:
146:
126:
106:
86:
8119:
8118:
7555:
7485:
7435:
7299:
7249:
7087:
6391:
5178:the Bloch sphere with the following coordinates:
3380:. The real dimension of the pure state space of
3324:. This is easy to see since the exponential map
8735:
8570:Bäuerle, Gerard G. A.; de Kerf, Eddy A. (1990).
8037:
5637:for the group of unitary and hermitian matrices
8488:https://www.mat.univie.ac.at/~westra/so3su2.pdf
6966:{\displaystyle U(s_{1}+s_{2})=U(s_{1})U(s_{2})}
4711:{\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }
4683:{\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }
4627:{\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }
4318:{\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }
3597:{\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }
2877:can be identified with the compact coset space
8677:Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2000).
8569:
8055:
6463:{\displaystyle {\hat {n}}=(n_{x},n_{y},n_{z})}
3114:{\displaystyle g|\psi \rangle =|\psi \rangle }
1954:{\displaystyle {\vec {a}}\in \mathbb {R} ^{3}}
8696:Milonni, Peter W.; Eberly, Joseph H. (1988).
8695:
8676:
8450:
8067:
4841:{\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }
4655:{\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }
4290:{\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }
3922:with the 2-dimensional complex Hilbert space
3833:{\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }
3657:{\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }
3569:{\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }
3305:The important fact to note above is that the
2077:{\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|\leq 1}
635:{\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}
409:. The Bloch sphere may be generalized to an
315:{\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}.}
4250:
4236:
4230:
4216:
4190:
4176:
3874:{\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}
3285:
3253:
3225:
3108:
3094:
3039:
3007:
1138:
1110:
1078:
959:
885:
844:
788:
747:
716:
664:
623:
609:
583:
547:
519:
491:
380:
352:
8679:Quantum Computation and Quantum Information
6797:a quantum mechanical context can be found
6792:Derivation of the Bloch rotation generator
1327:
1305:
465:mapping to one point on the Bloch sphere.
8681:. Cambridge: Cambridge University Press.
8614:
8536:
7364:For this equality to hold true (assuming
4527:
4486:
3855:
3613:
3528:
2968:To prove this fact, note that there is a
2239:
1941:
1386:
1225:
1204:
923:
892:
888:
795:
791:
433:
293:
250:
191:
7522:This results in a solution of the form:
5705:Rotation operators about the Bloch basis
3698:{\displaystyle u={\beta \over \alpha }}
3514:
1417:. Any two-dimensional density operator
198:{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }
25:
8719:. New York: National Geographic Books.
8714:
8520:
8474:
8462:
6804:Consider a family of unitary operators
5420:. Then the group of unitary operators
3519:Bloch sphere centered at the origin of
2529:{\displaystyle w=\rho _{00}-\rho _{11}}
46:is a geometrical representation of the
8736:
997:{\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }
8588:
8486:D.B. Westra 2008, "SU(2) and SO(3)",
8043:
7929:with the rotation generator given by
3121:) is isomorphic to the product group
8439:Feynman, Vernon & Hellwarth 1957
5165:
1032:{\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }
729:using the following representation:
701:Given this constraint, we can write
7395:{\displaystyle O\left(s^{2}\right)}
7024:{\displaystyle 0,s_{1},s_{2},\in S}
3915:{\displaystyle \mathbf {P} (H_{2})}
2992:on the pure states. For any state
1421:can be expanded using the identity
52:two-level quantum mechanical system
13:
5581:
5550:
5525:
5473:
5442:
5432:is isomorphic (as a Lie group) to
4731:
3155:
3131:
3052:, (defined as the set of elements
2934:
2910:
2887:
2774:are the expectations of the three
2301:{\displaystyle {\vec {a}}=(u,v,w)}
14:
8760:
7989:
5362:{\displaystyle x_{i},y_{i},z_{i}}
3705:, which is also a complex number
2988:. This action is continuous and
8700:. New York: Wiley-Interscience.
6755:
6737:
6719:
6674:
6656:
6638:
6599:
4540:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
4499:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
3892:
3861:
3626:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
3541:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
2868:. Then the pure state space of
1457:{\displaystyle {\vec {\sigma }}}
1399:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
473:Given an orthonormal basis, any
446:{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}
299:
256:
226:
8501:
8492:
8480:
7176:{\displaystyle U^{\dagger }U=I}
4592:{\displaystyle (u_{x},u_{y},0)}
3801:{\displaystyle (u_{x},u_{y},0)}
3472:
3356:{\displaystyle A\mapsto e^{iA}}
3307:unitary group acts transitively
2233:in comportance with the above.
2187:
2183:
8412:
8359:
8352:acts on the state eigenvector
8153:
8147:
8132:
8112:
8093:The idempotent density matrix
8087:
8081:"Bloch sphere | Quantiki"
8073:
7963:
7948:
7913:
7899:
7884:
7866:
7854:
7848:
7841:
7805:
7779:
7773:
7758:
7743:
7734:
7714:
7675:
7633:
7627:
7052:
7046:
6960:
6947:
6941:
6928:
6919:
6893:
6863:
6857:
6759:
6705:
6678:
6624:
6560:
6535:
6503:
6497:
6490:
6457:
6418:
6409:
6392:Rotations about a general axis
6290:
6276:
6258:
6244:
6230:
6207:
6192:
6186:
6068:
6054:
6036:
6022:
6008:
5985:
5970:
5964:
5837:
5823:
5805:
5791:
5777:
5754:
5739:
5733:
5688:
5682:
5656:
5650:
5600:
5587:
5569:
5556:
5537:
5531:
5492:
5479:
5461:
5448:
4831:
4718:. (The only exception is when
4701:
4673:
4645:
4617:
4586:
4554:
4419:
4410:
4308:
4280:
4247:
4243:
4239:
4227:
4223:
4219:
4187:
4183:
4179:
4108:
4099:
4085:
4076:
4005:
3991:
3974:
3909:
3896:
3823:
3795:
3763:
3647:
3587:
3559:
3437:
3424:
3337:
3291:{\displaystyle |\psi \rangle }
3278:
3259:{\displaystyle |\psi \rangle }
3246:
3231:{\displaystyle |\psi \rangle }
3218:
3167:
3161:
3149:
3137:
3101:
3087:
3045:{\displaystyle |\psi \rangle }
3032:
3013:{\displaystyle |\psi \rangle }
3000:
2949:
2946:
2940:
2928:
2916:
2907:
2899:
2893:
2812:
2476:
2463:
2448:
2422:
2392:
2379:
2295:
2277:
2268:
2198:
2184:
2156:
2087:For pure states, one then has
2058:
2022:
2015:
2005:
1930:
1530:
1515:
1448:
1361:
1343:
1337:
1281:
1272:
1131:
1103:
1084:{\displaystyle |\psi \rangle }
1071:
952:
920:
893:
878:
837:
781:
740:
722:{\displaystyle |\psi \rangle }
709:
657:
616:
576:
540:
512:
497:{\displaystyle |\psi \rangle }
484:
373:
345:
243:
230:
1:
8514:
8425:with eigenvalue 1, so like a
4662:and (0,0,−1) represent
4602:Draw a straight line through
2742:. In this basis, the numbers
468:
170:{\displaystyle \lambda \psi }
58:), named after the physicist
7658:{\displaystyle U(s)=e^{iKs}}
5627:
5390:is a density operator on an
4789:{\displaystyle \beta \neq 0}
3741:{\displaystyle u_{x}+iu_{y}}
2864:of unitary matrices of size
2714:This basis is often used in
7:
8001:
5511:In particular the orbit of
4518:in this plane — so that in
3298:, which is isomorphic to U(
1151:, the point represented by
453:to the Bloch sphere is the
420:on the Bloch sphere is the
329:The Bloch sphere is a unit
10:
8765:
8634:Journal of Applied Physics
8056:Bäuerle & de Kerf 1990
8008:Atomic electron transition
7814:{\displaystyle {\hat {n}}}
7402:is negligible) we require
7144:By the unitary condition:
3548:. A pair of points on it,
2979:) on the set of states of
1144:{\displaystyle |1\rangle }
1116:{\displaystyle |0\rangle }
1091:is one of the states (see
589:{\displaystyle |0\rangle }
553:{\displaystyle |1\rangle }
525:{\displaystyle |0\rangle }
386:{\displaystyle |1\rangle }
358:{\displaystyle |0\rangle }
18:
8555:10.1134/S0030400X07090111
8451:Milonni & Eberly 1988
8068:Nielsen & Chuang 2000
7668:Since the Pauli matrices
4763:{\displaystyle \alpha =0}
4737:{\displaystyle u=\infty }
4634:. (Let (0,0,1) represent
1208:{\displaystyle \theta \,}
8030:
4810:stereographic projection
3883:projective Hilbert space
217:projective Hilbert space
21:Poincaré sphere (optics)
19:Not to be confused with
8715:Penrose, Roger (2007).
8524:Optics and Spectroscopy
4038:{\displaystyle \alpha }
1256:-axis, specify a point
1229:{\displaystyle \phi \,}
1164:{\displaystyle \theta }
284:complex projective line
8616:10.1103/PhysRev.70.460
8419:
8344:
7981:
7920:
7815:
7786:
7721:
7659:
7608:
7585:
7512:
7396:
7355:
7177:
7135:
7025:
6967:
6876:
6875:{\displaystyle U(0)=I}
6838:
6818:
6782:
6575:
6464:
6382:
5695:
5663:
5615:
5502:
5363:
5310:
5280:
5156:
5036:
4942:
4842:
4790:
4764:
4738:
4712:
4684:
4656:
4628:
4593:
4541:
4500:
4465:
4319:
4291:
4263:
4203:
4160:
4059:
4058:{\displaystyle \beta }
4039:
4016:
3957:. Given a pure state
3943:
3916:
3875:
3841:
3834:
3802:
3742:
3699:
3658:
3627:
3598:
3570:
3542:
3477:
3357:
3292:
3260:
3232:
3200:
3177:
3115:
3066:
3046:
3014:
2959:
2803:
2768:
2732:
2705:
2530:
2483:
2399:
2322:
2302:
2224:
2078:
2035:
1955:
1907:
1458:
1400:
1377:on the unit sphere in
1368:
1230:
1209:
1185:
1165:
1145:
1117:
1085:
1057:
1033:
998:
966:
723:
691:
636:
590:
554:
526:
498:
447:
387:
359:
316:
276:
199:
171:
148:
128:
108:
88:
31:
8420:
8345:
7982:
7921:
7816:
7787:
7722:
7660:
7609:
7586:
7513:
7397:
7356:
7178:
7136:
7026:
6968:
6877:
6839:
6819:
6783:
6576:
6465:
6383:
5696:
5694:{\displaystyle SO(3)}
5664:
5662:{\displaystyle SU(2)}
5616:
5503:
5364:
5311:
5309:{\displaystyle p_{i}}
5281:
5157:
5037:
4943:
4848:. The coordinates of
4843:
4791:
4765:
4739:
4713:
4685:
4657:
4629:
4594:
4542:
4501:
4466:
4320:
4292:
4264:
4204:
4161:
4060:
4040:
4017:
3944:
3942:{\displaystyle H_{2}}
3917:
3876:
3835:
3803:
3748:. Consider the plane
3743:
3700:
3672:. Let their ratio be
3659:
3628:
3599:
3571:
3543:
3518:
3478:
3358:
3293:
3261:
3233:
3201:
3178:
3116:
3067:
3047:
3015:
2960:
2804:
2802:{\displaystyle X,Y,Z}
2769:
2767:{\displaystyle u,v,w}
2733:
2706:
2531:
2484:
2400:
2323:
2321:{\displaystyle \rho }
2303:
2225:
2079:
2036:
1972:, the eigenvalues of
1956:
1908:
1459:
1401:
1369:
1238:spherical coordinates
1231:
1210:
1186:
1184:{\displaystyle \phi }
1166:
1146:
1118:
1086:
1058:
1056:{\displaystyle \phi }
1034:
999:
967:
724:
692:
637:
591:
555:
527:
499:
448:
388:
360:
317:
277:
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652:‖
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