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Biconditional elimination

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697: 645: 227: 180: 903: 847: 1131: 1080: 1012: 726: 540: 72: 926: 982: 956: 778: 752: 592: 566: 124: 98: 1174: 1154: 598:
I'm alive, then it's true that if I'm breathing, I'm alive; likewise, it's true that if I'm alive, I'm breathing. The rules can be stated formally as:
656: 604: 186: 139: 1253: 1217: 425: 858: 802: 1086: 1035: 401: 394: 387: 439: 1248: 991: 705: 519: 51: 476: 280: 480: 467: 306: 293: 471: 312: 299: 501: 325: 247: 38: 1189: 911: 513: 420: 368: 359: 319: 961: 935: 757: 731: 571: 545: 103: 77: 509: 332: 8: 1210: 985: 432: 415: 377: 338: 1159: 1139: 345: 1022: 497: 458: 451: 263: 254: 240: 28: 494: 408: 595: 1242: 1177: 1015: 351: 339: 269: 333: 929: 505: 313: 1026: 793: 692:{\displaystyle {\frac {P\leftrightarrow Q}{\therefore Q\to P}}} 640:{\displaystyle {\frac {P\leftrightarrow Q}{\therefore P\to Q}}} 222:{\displaystyle {\frac {P\leftrightarrow Q}{\therefore Q\to P}}} 175:{\displaystyle {\frac {P\leftrightarrow Q}{\therefore P\to Q}}} 402: 360: 326: 281: 352: 320: 433: 388: 294: 270: 594:
is true. For example, if it's true that I'm breathing
1162: 1142: 1089: 1038: 994: 964: 938: 914: 861: 805: 760: 734: 708: 659: 607: 574: 548: 522: 189: 142: 106: 80: 54: 898:{\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\vdash (Q\to P)} 842:{\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\vdash (P\to Q)} 1168: 1148: 1125: 1074: 1006: 976: 950: 920: 897: 841: 772: 746: 720: 691: 639: 586: 560: 534: 221: 174: 118: 92: 66: 346: 1240: 1126:{\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\to (Q\to P)} 1075:{\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\to (P\to Q)} 702:where the rule is that wherever an instance of " 426: 395: 287: 440: 409: 307: 300: 1021:or as the statement of a truth-functional 1202: 728:" appears on a line of a proof, either " 1241: 1211:"Chapter 8: The Logic of Conditionals" 780:" can be placed on a subsequent line. 1176:are propositions expressed in some 13: 1007:{\displaystyle P\leftrightarrow Q} 783: 721:{\displaystyle P\leftrightarrow Q} 535:{\displaystyle P\leftrightarrow Q} 67:{\displaystyle P\leftrightarrow Q} 14: 1265: 1208: 542:is true, then one may infer that 74:is true, then one may infer that 16:Inference in propositional logic 1254:Theorems in propositional logic 1223:from the original on 2022-10-09 1120: 1114: 1108: 1105: 1102: 1096: 1090: 1069: 1063: 1057: 1054: 1051: 1045: 1039: 998: 968: 942: 892: 886: 880: 874: 868: 862: 836: 830: 824: 818: 812: 806: 764: 738: 712: 680: 666: 628: 614: 578: 552: 526: 210: 196: 163: 149: 110: 84: 58: 1: 1195: 1216:. University of Washington. 7: 1183: 10: 1270: 477:Existential generalization 282:Biconditional introduction 958:, in the first case, and 790:biconditional elimination 491:Biconditional elimination 130: 44: 34: 24: 20:Biconditional elimination 1029:of propositional logic: 468:Universal generalization 308:Disjunction introduction 295:Conjunction introduction 265:Implication introduction 921:{\displaystyle \vdash } 792:rule may be written in 568:is true, and also that 504:. It allows for one to 100:is true, and also that 1170: 1150: 1127: 1076: 1008: 986:syntactic consequences 978: 977:{\displaystyle Q\to P} 952: 951:{\displaystyle P\to Q} 922: 899: 843: 774: 773:{\displaystyle Q\to P} 748: 747:{\displaystyle P\to Q} 722: 693: 641: 588: 587:{\displaystyle Q\to P} 562: 561:{\displaystyle P\to Q} 536: 327:hypothetical syllogism 248:Propositional calculus 223: 176: 120: 119:{\displaystyle Q\to P} 94: 93:{\displaystyle P\to Q} 68: 39:Propositional calculus 1190:Logical biconditional 1171: 1151: 1128: 1077: 1009: 979: 953: 923: 900: 844: 775: 749: 723: 694: 642: 589: 563: 537: 369:Negation introduction 362:modus ponendo tollens 224: 177: 121: 95: 69: 1160: 1140: 1087: 1036: 992: 962: 936: 932:symbol meaning that 912: 859: 803: 758: 732: 706: 657: 605: 572: 546: 520: 427:Material implication 378:Rules of replacement 241:Transformation rules 187: 140: 104: 78: 52: 502:propositional logic 493:is the name of two 340:destructive dilemma 21: 1249:Rules of inference 1166: 1146: 1123: 1072: 1004: 974: 948: 918: 895: 839: 770: 744: 718: 689: 637: 584: 558: 532: 498:rules of inference 459:Rules of inference 255:Rules of inference 219: 172: 131:Symbolic statement 116: 90: 64: 19: 1169:{\displaystyle Q} 1149:{\displaystyle P} 984:in the other are 687: 635: 488: 487: 235: 234: 217: 170: 29:Rule of inference 1261: 1233: 1232: 1230: 1228: 1222: 1215: 1209:Cohen, S. Marc. 1206: 1175: 1173: 1172: 1167: 1155: 1153: 1152: 1147: 1132: 1130: 1129: 1124: 1081: 1079: 1078: 1073: 1013: 1011: 1010: 1005: 983: 981: 980: 975: 957: 955: 954: 949: 927: 925: 924: 919: 904: 902: 901: 896: 848: 846: 845: 840: 779: 777: 776: 771: 753: 751: 750: 745: 727: 725: 724: 719: 698: 696: 695: 690: 688: 686: 672: 661: 646: 644: 643: 638: 636: 634: 620: 609: 593: 591: 590: 585: 567: 565: 564: 559: 541: 539: 538: 533: 442: 435: 428: 416:De Morgan's laws 411: 404: 397: 390: 364: 356: 348: 341: 335: 328: 322: 315: 309: 302: 296: 289: 283: 276: 266: 237: 236: 228: 226: 225: 220: 218: 216: 202: 191: 181: 179: 178: 173: 171: 169: 155: 144: 125: 123: 122: 117: 99: 97: 96: 91: 73: 71: 70: 65: 22: 18: 1269: 1268: 1264: 1263: 1262: 1260: 1259: 1258: 1239: 1238: 1237: 1236: 1226: 1224: 1220: 1213: 1207: 1203: 1198: 1186: 1161: 1158: 1157: 1141: 1138: 1137: 1088: 1085: 1084: 1037: 1034: 1033: 993: 990: 989: 963: 960: 959: 937: 934: 933: 913: 910: 909: 860: 857: 856: 804: 801: 800: 786: 784:Formal notation 759: 756: 755: 733: 730: 729: 707: 704: 703: 673: 662: 660: 658: 655: 654: 621: 610: 608: 606: 603: 602: 573: 570: 569: 547: 544: 543: 521: 518: 517: 452:Predicate logic 446: 410:Double negation 264: 231: 203: 192: 190: 188: 185: 184: 156: 145: 143: 141: 138: 137: 105: 102: 101: 79: 76: 75: 53: 50: 49: 17: 12: 11: 5: 1267: 1257: 1256: 1251: 1235: 1234: 1200: 1199: 1197: 1194: 1193: 1192: 1185: 1182: 1165: 1145: 1134: 1133: 1122: 1119: 1116: 1113: 1110: 1107: 1104: 1101: 1098: 1095: 1092: 1082: 1071: 1068: 1065: 1062: 1059: 1056: 1053: 1050: 1047: 1044: 1041: 1016:logical system 1003: 1000: 997: 973: 970: 967: 947: 944: 941: 917: 906: 905: 894: 891: 888: 885: 882: 879: 876: 873: 870: 867: 864: 850: 849: 838: 835: 832: 829: 826: 823: 820: 817: 814: 811: 808: 785: 782: 769: 766: 763: 743: 740: 737: 717: 714: 711: 700: 699: 685: 682: 679: 676: 671: 668: 665: 648: 647: 633: 630: 627: 624: 619: 616: 613: 596:if and only if 583: 580: 577: 557: 554: 551: 531: 528: 525: 486: 485: 484: 483: 474: 462: 461: 455: 454: 448: 447: 445: 444: 437: 430: 423: 418: 413: 406: 403:Distributivity 399: 392: 384: 381: 380: 374: 373: 372: 371: 366: 343: 330: 317: 304: 291: 278: 258: 257: 251: 250: 244: 243: 233: 232: 230: 229: 215: 212: 209: 206: 201: 198: 195: 182: 168: 165: 162: 159: 154: 151: 148: 134: 132: 128: 127: 115: 112: 109: 89: 86: 83: 63: 60: 57: 46: 42: 41: 36: 32: 31: 26: 15: 9: 6: 4: 3: 2: 1266: 1255: 1252: 1250: 1247: 1246: 1244: 1219: 1212: 1205: 1201: 1191: 1188: 1187: 1181: 1179: 1178:formal system 1163: 1143: 1117: 1111: 1099: 1093: 1083: 1066: 1060: 1048: 1042: 1032: 1031: 1030: 1028: 1024: 1019: 1017: 1001: 995: 987: 971: 965: 945: 939: 931: 915: 889: 883: 877: 871: 865: 855: 854: 853: 833: 827: 821: 815: 809: 799: 798: 797: 795: 791: 781: 767: 761: 741: 735: 715: 709: 683: 677: 674: 669: 663: 653: 652: 651: 631: 625: 622: 617: 611: 601: 600: 599: 597: 581: 575: 555: 549: 529: 523: 515: 514:biconditional 511: 507: 503: 499: 496: 492: 482: 481:instantiation 478: 475: 473: 472:instantiation 469: 466: 465: 464: 463: 460: 457: 456: 453: 450: 449: 443: 438: 436: 431: 429: 424: 422: 421:Transposition 419: 417: 414: 412: 407: 405: 400: 398: 396:Commutativity 393: 391: 389:Associativity 386: 385: 383: 382: 379: 376: 375: 370: 367: 365: 363: 357: 355: 354:modus tollens 349: 344: 342: 336: 331: 329: 323: 318: 316: 310: 305: 303: 297: 292: 290: 284: 279: 277: 274: 271:elimination ( 267: 262: 261: 260: 259: 256: 253: 252: 249: 246: 245: 242: 239: 238: 213: 207: 204: 199: 193: 183: 166: 160: 157: 152: 146: 136: 135: 133: 129: 113: 107: 87: 81: 61: 55: 47: 43: 40: 37: 33: 30: 27: 23: 1225:. Retrieved 1204: 1135: 1020: 907: 851: 789: 787: 701: 649: 490: 489: 479: / 470: / 361: 358: / 353: 350: / 337: / 334:Constructive 324: / 311: / 298: / 286: 285: / 273:modus ponens 272: 268: / 930:metalogical 510:conditional 434:Exportation 321:Disjunctive 314:elimination 301:elimination 288:elimination 1243:Categories 1196:References 796:notation: 347:Absorption 1227:8 October 1115:→ 1106:→ 1097:↔ 1064:→ 1055:→ 1046:↔ 1023:tautology 999:↔ 969:→ 943:→ 916:⊢ 887:→ 878:⊢ 869:↔ 831:→ 822:⊢ 813:↔ 765:→ 739:→ 713:↔ 681:→ 675:∴ 667:↔ 629:→ 623:∴ 615:↔ 579:→ 553:→ 527:↔ 441:Tautology 211:→ 205:∴ 197:↔ 164:→ 158:∴ 150:↔ 111:→ 85:→ 59:↔ 45:Statement 1218:Archived 1184:See also 1014:in some 126:is true. 1027:theorem 794:sequent 512:from a 1156:, and 1136:where 908:where 754:" or " 1221:(PDF) 1214:(PDF) 928:is a 516:. If 506:infer 495:valid 35:Field 1229:2013 852:and 788:The 650:and 25:Type 1025:or 988:of 500:of 48:If 1245:: 1180:. 1018:; 508:a 1231:. 1164:Q 1144:P 1121:) 1118:P 1112:Q 1109:( 1103:) 1100:Q 1094:P 1091:( 1070:) 1067:Q 1061:P 1058:( 1052:) 1049:Q 1043:P 1040:( 1002:Q 996:P 972:P 966:Q 946:Q 940:P 893:) 890:P 884:Q 881:( 875:) 872:Q 866:P 863:( 837:) 834:Q 828:P 825:( 819:) 816:Q 810:P 807:( 768:P 762:Q 742:Q 736:P 716:Q 710:P 684:P 678:Q 670:Q 664:P 632:Q 626:P 618:Q 612:P 582:P 576:Q 556:Q 550:P 530:Q 524:P 275:) 214:P 208:Q 200:Q 194:P 167:Q 161:P 153:Q 147:P 114:P 108:Q 88:Q 82:P 62:Q 56:P

Index

Rule of inference
Propositional calculus
Transformation rules
Propositional calculus
Rules of inference
Implication introduction
elimination (modus ponens)
Biconditional introduction
elimination
Conjunction introduction
elimination
Disjunction introduction
elimination
Disjunctive
hypothetical syllogism
Constructive
destructive dilemma
Absorption
modus tollens
modus ponendo tollens
Negation introduction
Rules of replacement
Associativity
Commutativity
Distributivity
Double negation
De Morgan's laws
Transposition
Material implication
Exportation

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