39:
1923:
1152:
642:
3329:
2166:
1407:
1636:
3952:
2361:
962:
1608:
4126:
3733:
2449:
2711:
3428:
3524:
342:
2575:
2918:
3224:
2007:
823:
2228:
3165:
931:
3208:
331:
3123:
3042:
2997:
2492:
1918:{\displaystyle \rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}={\frac {\operatorname {E} }{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}}
756:
275:
1215:
236:
1201:
2247:
3082:
2769:
1147:{\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1},0)\triangleq \operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1})=\operatorname {K} _{XX}(\tau ),}
863:
1957:
140:
3604:
2725:. Turbulence in a flow can cause the fluctuation of velocity in space and time. Thus, we are able to identify turbulence through the statistics of those fluctuations.
1627:. However in other disciplines (e.g. engineering) the normalization is usually dropped and the terms "autocorrelation" and "autocovariance" are used interchangeably.
2956:
2804:
3747:
3547:
713:
686:
1432:
2372:
4147:
3567:
2824:
2586:
951:
1992:
168:
3961:
3622:
637:{\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} \left=\operatorname {E} =\operatorname {E} -\mu _{t_{1}}\mu _{t_{2}}}
3340:
4271:
Kun Il Park, Fundamentals of
Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
3433:
2499:
4341:
161:
3324:{\displaystyle J_{{\text{turbulence}}_{x}}=\langle u'c'\rangle \approx D_{T_{x}}{\frac {\partial \langle c\rangle }{\partial x}}.}
2161:{\displaystyle \rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} }{\sigma ^{2}}}}
130:
3125:, a set of velocity measurements that are assembled from points in space, moments in time or repeated experiments is required.
95:
768:
4332:
4253:
4228:
2832:
2178:
105:
4191:
125:
90:
154:
874:
1624:
284:
3170:
3087:
3006:
2961:
1402:{\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} =\operatorname {E} -\mu _{t}\mu _{t-\tau }}
3131:
2462:
726:
245:
3215:
221:
2356:{\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {K} _{XX}(t_{2},t_{1})}}}
1160:
30:
4356:
4361:
60:
828:
759:
135:
70:
1932:
4171:
4160:
3575:
3000:
2728:
55:
3947:{\displaystyle D_{T_{x}}\approx \left\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .}
3047:
2734:
2722:
1603:{\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} =\operatorname {E} -\mu ^{2}}
201:
of the process with itself at pairs of time points. Autocovariance is closely related to the
2926:
2774:
2444:{\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {K} _{XX}(-\tau )}}}
3532:
1620:
691:
664:
2706:{\displaystyle K_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}K_{XX}(\tau +k-l).\,}
8:
3740:
3613:
4132:
3552:
2809:
936:
190:
182:
4282:
1962:
4328:
4301:
4249:
4224:
4217:
4186:
65:
4293:
4181:
1995:
4121:{\displaystyle D_{T_{x}}\approx \left\int _{r}^{\infty }u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\,dr,}
3728:{\displaystyle D_{T_{x}}=\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .}
3044:, all of the stochastic components of the turbulent velocity will be included in
202:
4297:
239:
4350:
4305:
1630:
The definition of the normalized auto-correlation of a stochastic process is
1203:
is the lag time, or the amount of time by which the signal has been shifted.
4176:
198:
186:
23:
3214:
is the concentration term) can be caused by a random walk, we can use
3423:{\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\rangle }
1206:
The autocovariance function of a WSS process is therefore given by:
3957:
If we have velocity information at two fixed (Eulerian) locations:
1623:) to normalize the autocovariance function to get a time-dependent
3519:{\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\rangle ,}
1994:, with 1 indicating perfect correlation and −1 indicating perfect
38:
2570:{\displaystyle Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}\,}
1619:
It is common practice in some disciplines (e.g. statistics and
100:
718:
278:
208:
818:{\displaystyle \mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu }
4149:
is the distance separated by these two fixed locations.
2913:{\displaystyle U(x,t)=\langle U(x,t)\rangle +u'(x,t),}
2223:{\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}}
4135:
3964:
3750:
3625:
3578:
3555:
3535:
3436:
3343:
3227:
3173:
3134:
3090:
3050:
3009:
2964:
2929:
2835:
2812:
2777:
2737:
2589:
2502:
2465:
2375:
2250:
2181:
2010:
1965:
1935:
1639:
1435:
1218:
1163:
965:
939:
877:
831:
771:
729:
694:
667:
345:
287:
248:
224:
4154:
2716:
4219:
Probability, random variables, and random processes
4216:
4141:
4120:
3946:
3727:
3598:
3561:
3541:
3518:
3422:
3323:
3202:
3159:
3117:
3076:
3036:
2991:
2950:
2912:
2818:
2798:
2763:
2705:
2569:
2486:
2459:The autocovariance of a linearly filtered process
2443:
2355:
2222:
2160:
1986:
1951:
1917:
1602:
1401:
1195:
1146:
945:
925:
857:
817:
750:
707:
680:
636:
325:
269:
230:
3606:can be calculated using the following 3 methods:
1959:is well-defined, its value must lie in the range
4348:
2771:(assume we are now working with 1D problem and
4290:Proceedings of the London Mathematical Society
926:{\displaystyle \operatorname {E} <\infty }
162:
4029:
4010:
3855:
3836:
3825:
3818:
3812:
3793:
3510:
3453:
3417:
3360:
3304:
3298:
3269:
3250:
3197:
3191:
3154:
3135:
3112:
3091:
3031:
3010:
2986:
2965:
2878:
2857:
2731:is used to define the velocity fluctuations
4267:
4265:
326:{\displaystyle \mu _{t}=\operatorname {E} }
3334:The velocity autocovariance is defined as
169:
155:
4342:Lecture notes on autocovariance from WHOI
4210:
4208:
4108:
3934:
3715:
2702:
2566:
4262:
4243:
2721:Autocovariance can be used to calculate
719:Definition for weakly stationary process
4237:
3739:If we have velocity data at one fixed (
209:Auto-covariance of stochastic processes
4349:
4280:
4205:
3203:{\displaystyle c'=c-\langle c\rangle }
3118:{\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }
3037:{\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }
2992:{\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }
333:, then the autocovariance is given by
4246:A Foundation in Digital Communication
2001:For a WSS process, the definition is
16:Concept in probability and statistics
4322:
3218:to express the turbulent flux term:
3160:{\displaystyle \langle u'c'\rangle }
2487:{\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}
2239:
1209:
751:{\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}
336:
270:{\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}
242:operator, if the stochastic process
4327:(Fifth ed.). New York: Wiley.
4283:"Diffusion by Continuous Movements"
4214:
2454:
13:
4316:
4049:
3875:
3656:
3309:
3295:
2640:
2635:
2535:
2530:
2408:
2377:
2303:
2252:
2183:
2083:
2040:
1778:
1689:
1549:
1464:
1437:
1332:
1247:
1220:
1117:
1069:
1015:
967:
920:
878:
551:
450:
347:
301:
231:{\displaystyle \operatorname {E} }
225:
14:
4373:
4155:Auto-covariance of random vectors
3611:If we have velocity data along a
2717:Calculating turbulent diffusivity
1196:{\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}
3128:If we assume the turbulent flux
2366:respectively for a WSS process:
1614:
37:
1625:Pearson correlation coefficient
762:, then the following are true:
760:weakly stationary (WSS) process
4274:
4248:. Cambridge University Press.
4105:
4086:
4075:
4062:
3997:
3985:
3931:
3912:
3901:
3888:
3783:
3771:
3712:
3693:
3682:
3669:
3507:
3488:
3477:
3464:
3414:
3395:
3384:
3371:
3109:
3097:
3071:
3059:
3028:
3016:
2983:
2971:
2945:
2933:
2904:
2892:
2875:
2863:
2851:
2839:
2793:
2781:
2758:
2746:
2696:
2678:
2609:
2603:
2432:
2423:
2398:
2392:
2344:
2318:
2293:
2267:
2204:
2198:
2142:
2139:
2114:
2111:
2092:
2089:
2061:
2055:
2030:
2024:
1981:
1966:
1873:
1870:
1830:
1827:
1787:
1784:
1730:
1704:
1679:
1653:
1584:
1555:
1543:
1540:
1514:
1511:
1473:
1470:
1458:
1452:
1415:
1367:
1338:
1326:
1323:
1285:
1282:
1256:
1253:
1241:
1235:
1138:
1132:
1110:
1084:
1062:
1030:
1008:
982:
914:
904:
888:
884:
650:
594:
557:
545:
542:
502:
499:
459:
456:
388:
362:
320:
307:
1:
4198:
2234:
213:
197:is a function that gives the
4281:Taylor, G. I. (1922-01-01).
2436:
2348:
205:of the process in question.
7:
4194:(as an application example)
4192:Noise covariance estimation
4165:
858:{\displaystyle t_{1},t_{2}}
715:are two instances in time.
10:
4378:
4158:
3572:The turbulent diffusivity
3001:expected value of velocity
2958:is the true velocity, and
1952:{\displaystyle \rho _{XX}}
131:Cross-correlation function
96:Cross-correlation function
31:Correlation and covariance
3599:{\displaystyle D_{T_{x}}}
3003:. If we choose a correct
141:Cross-covariance function
119:For deterministic signals
106:Cross-covariance function
4298:10.1112/plms/s2-20.1.196
3216:Fick's laws of diffusion
218:With the usual notation
126:Autocorrelation function
91:Autocorrelation function
84:For stochastic processes
61:Cross-correlation matrix
4325:Mathematical Statistics
4244:Lapidoth, Amos (2009).
3077:{\displaystyle u'(x,t)}
2764:{\displaystyle u'(x,t)}
1426:which is equivalent to
136:Autocovariance function
101:Autocovariance function
71:Cross-covariance matrix
4292:. s2-20 (1): 196–212.
4172:Autoregressive process
4161:Auto-covariance matrix
4143:
4122:
3948:
3729:
3600:
3563:
3543:
3520:
3424:
3325:
3204:
3161:
3119:
3078:
3038:
2993:
2952:
2951:{\displaystyle U(x,t)}
2914:
2820:
2806:is the velocity along
2800:
2799:{\displaystyle U(x,t)}
2765:
2729:Reynolds decomposition
2707:
2644:
2571:
2539:
2488:
2445:
2357:
2224:
2162:
1988:
1953:
1919:
1604:
1403:
1197:
1148:
947:
927:
859:
819:
752:
709:
682:
638:
327:
271:
232:
66:Auto-covariance matrix
56:Autocorrelation matrix
4144:
4123:
3949:
3730:
3614:Lagrangian trajectory
3601:
3569:is the lag distance.
3564:
3549:is the lag time, and
3544:
3542:{\displaystyle \tau }
3521:
3425:
3326:
3205:
3162:
3120:
3079:
3039:
2994:
2953:
2915:
2821:
2801:
2766:
2723:turbulent diffusivity
2708:
2615:
2572:
2516:
2489:
2446:
2358:
2225:
2163:
1989:
1954:
1920:
1605:
1404:
1198:
1149:
948:
928:
860:
820:
753:
710:
708:{\displaystyle t_{2}}
683:
681:{\displaystyle t_{1}}
639:
328:
272:
233:
4323:Hoel, P. G. (1984).
4133:
3962:
3748:
3623:
3576:
3553:
3533:
3434:
3341:
3225:
3171:
3132:
3088:
3048:
3007:
2962:
2927:
2833:
2810:
2775:
2735:
2587:
2500:
2463:
2373:
2248:
2179:
2008:
1963:
1933:
1637:
1621:time series analysis
1433:
1216:
1161:
963:
937:
875:
829:
769:
727:
692:
665:
343:
285:
246:
222:
22:Part of a series on
4053:
3879:
3660:
4215:Hsu, Hwei (1997).
4139:
4118:
4039:
3944:
3865:
3725:
3646:
3596:
3559:
3539:
3516:
3420:
3321:
3200:
3157:
3115:
3074:
3034:
2989:
2948:
2910:
2816:
2796:
2761:
2703:
2567:
2484:
2441:
2353:
2220:
2158:
1984:
1949:
1915:
1600:
1399:
1193:
1144:
943:
923:
855:
815:
748:
705:
678:
634:
323:
267:
228:
191:stochastic process
183:probability theory
49:For random vectors
4334:978-0-471-89045-4
4255:978-0-521-19395-5
4230:978-0-07-030644-8
4187:Cross-correlation
4142:{\displaystyle r}
4033:
3859:
3562:{\displaystyle r}
3316:
3237:
2819:{\displaystyle x}
2439:
2351:
2240:Symmetry property
2156:
2075:
1913:
1770:
1423:
1422:
946:{\displaystyle t}
658:
657:
179:
178:
4369:
4357:Fourier analysis
4338:
4310:
4309:
4287:
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