165:
3992:
7042:
8793:
8036:
5550:
6061:
15113:
8369:
7319:
5191:
14933:
5799:
1653:
14685:
6939:
8788:{\displaystyle ~{\mathsf {Wilson_{lower}}}\left(\ {\hat {p}},\ n,\ {\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ \right)\ \equiv \ w^{-}\ =\ {\frac {1}{~1+z_{\alpha }^{2}\ /n~}}{\Bigg (}\ {\hat {p}}+{\frac {\;z_{\alpha }^{2}\ }{\!\ 2\ n\!\ }}~~-~~{\frac {\!\ z_{\alpha }\!\ }{\!\ 2\ n\!\ }}\ {\sqrt {\ 2\ n\ {\hat {p}}\ (1-{\hat {p}})+\ z_{\alpha }^{2}~}}~{\Biggr )}\ ,}
702:
2093:
8031:{\displaystyle {\begin{aligned}w_{\mathsf {cc}}^{-}&=\max \left\{~~0\ ,~~{\frac {\ 2\ n\ {\hat {p}}+z_{\alpha }^{2}-\left\ }{\ 2\left(n+z_{\alpha }^{2}\right)~~}}\right\}\ ,\\w_{\mathsf {cc}}^{+}&=\min \left\{~~1\ ,~~{\frac {\ 2\ n\ {\hat {p}}+z_{\alpha }^{2}+\left\ }{\ 2\left(n+z_{\alpha }^{2}\right)~~}}\right\},\end{aligned}}}
10422:
10251:
5545:{\displaystyle p\quad {\underset {\approx }{\in }}_{\alpha }\quad {\bigl (}\ w^{-},\ w^{+}\ {\bigr )}~~=~~{\frac {1}{~1+z_{\alpha }^{2}\ /n~}}{\Bigg (}\ {\hat {p}}+{\frac {\;z_{\alpha }^{2}\ }{2\ n}}~~\pm ~~{\frac {\!\ z_{\alpha }\!\ }{\!\ 2\ n\!\ }}\ {\sqrt {\ 4\ n\ {\hat {p}}\ (1-{\hat {p}})+\ z_{\alpha }^{2}~}}~{\Biggr )}\ }
9075:
5035:
11764:
11979:
11276:
14696:
6056:{\displaystyle p\quad {\underset {\approx }{\in }}_{\alpha }\quad {\frac {\ n_{\mathsf {s}}+{\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}}\ z_{\alpha }^{2}\ }{n+z_{\alpha }^{2}}}~\pm ~{\frac {z_{\alpha }}{\ n+z_{\alpha }^{2}\ }}{\sqrt {{\frac {\ n_{\mathsf {s}}\ n_{\mathsf {f}}\ }{n}}+{\frac {\;z_{\alpha }^{2}\ }{4}}~}}\ ,}
155:
ten times. The observed binomial proportion is the fraction of the flips that turn out to be heads. Given this observed proportion, the confidence interval for the true probability of the coin landing on heads is a range of possible proportions, which may or may not contain the true proportion. A 95%
15735:
Both Ross (2003) and
Agresti & Coull (1998) point out that exact methods such as the Clopper–Pearson interval may not work as well as some approximations. The normal approximation interval and its presentation in textbooks has been heavily criticised, with many statisticians advocating that it
12830:
13162:
The definition of the
Clopper–Pearson interval can also be modified to obtain exact confidence intervals for different distributions. For instance, it can also be applied to the case where the samples are drawn without replacement from a population of a known size, instead of repeated draws of a
14109:
15846:
Of the approximations listed above, Wilson score interval methods (with or without continuity correction) have been shown to be the most accurate and the most robust, though some prefer
Agresti & Coulls' approach for larger sample sizes. Wilson and Clopper–Pearson methods obtain consistent
13700:
3430:
13067:
The
Clopper–Pearson interval is an 'exact' interval, since it is based directly on the binomial distribution rather than any approximation to the binomial distribution. This interval never has less than the nominal coverage for any population proportion, but that means that it is usually
1427:
14425:
6450:
the number of standard deviations of the confidence interval: Add this number to both the count of successes and of failures to yield the estimate of the ratio. For the common two standard deviations in each direction interval (approximately 95% coverage, which itself is approximately
415:
6739:
4643:
2642:
2247:
13514:
9924:
The
Clopper–Pearson interval is an early and very common method for calculating binomial confidence intervals. This is often called an 'exact' method, as it attains the nominal coverage level in an exact sense, meaning that the coverage level is never less than the nominal
527:
3707:
1868:
4832:
15434:
6667:
9092:
has a
Bayesian derivation, but good frequentist properties (outperforming most frequentist constructions). In particular, it has coverage properties that are similar to those of the Wilson interval, but it is one of the few intervals with the advantage of being
5718:
10262:
4479:
10686:
10094:
8866:
13800:
140:. In general, a binomial distribution applies when an experiment is repeated a fixed number of times, each trial of the experiment has two possible outcomes (success and failure), the probability of success is the same for each trial, and the trials are
11538:
4164:
11770:
9793:
12401:
12259:
14928:{\displaystyle \ \sin ^{2}\left(\ -\ {\frac {z_{\alpha }}{\ 2\ {\sqrt {n\ }}\ }}+\arcsin {\sqrt {p\ }}~\right)~<~\theta ~<~\sin ^{2}\left(\ +\ {\frac {\ z_{\alpha }\ }{\ 2\ {\sqrt {n\ }}\ }}\ +\arcsin {\sqrt {p\ }}~\right)\ ,}
11081:
1361:
An important theoretical derivation of this confidence interval involves the inversion of a hypothesis test. Under this formulation, the confidence interval represents those values of the population parameter that would have large
13123:
Thus the interval may be wider than it needs to be to achieve 95% confidence, and wider than other intervals. In contrast, it is worth noting that other confidence interval may have coverage levels that are lower than the nominal
9450:
12420:
9097:(e.g., for a 95% confidence interval, the probabilities of the interval lying above or below the true value are both close to 2.5%). In contrast, the Wilson interval has a systematic bias such that it is centred too close to
148:(i.e., not continuous) and difficult to calculate for large numbers of trials, a variety of approximations are used to calculate this confidence interval, all with their own tradeoffs in accuracy and computational intensity.
14374:
14131:
The arcsine transformation has the effect of pulling out the ends of the distribution. While it can stabilize the variance (and thus confidence intervals) of proportion data, its use has been criticized in several contexts.
9263:
13971:
13551:
4321:
3981:
3251:
1648:{\displaystyle \left\{~~\theta \quad {\Bigg |}\quad y_{\alpha /2}~~\leq ~~{\frac {\ {\hat {p}}-\theta \ }{{\sqrt {{\frac {\!\ 1\!\ }{n}}\ {\hat {p}}\ \left(1-{\hat {p}}\right)\ }}\ }}~~\leq ~~z_{\alpha /2}~~\right\}\ ,}
14680:{\displaystyle \ \operatorname {var} \left\{~~\arcsin {\sqrt {p~}}~~\right\}~\approx ~{\frac {\ \operatorname {var} \{~~p~~\}\ }{\ 4\ p\ (1-p)\ }}={\frac {\ p\ (1-p)\ }{\ 4\ n\ p\ (1-p)\ }}={\frac {\ 1\ }{\ 4\ n\ }}~.}
7311:
485:
6261:
6934:{\displaystyle \left\{~~\theta \quad {\Bigg |}\quad \ y_{\alpha }~~\leq ~~{\frac {\ {\hat {p}}-\theta \ }{\ {\sqrt {{\tfrac {\!\ 1\!\ }{n}}\ \theta \ \left(1-\theta \right)~}}\ }}~~\leq ~~z_{\alpha }~~\right\}\ ,}
1258:
272:
2341:
8362:
Wallis (2021) identifies a simpler method for computing continuity-corrected Wilson intervals that employs a special function based on Wilson's lower-bound formula: In Wallis' notation, for the lower bound, let
15723:
10083:
3177:
4484:
3858:
2501:
11066:
15601:
10929:
9575:
2104:
13390:
10997:
10866:
697:{\displaystyle \ p~~\approx ~~{\frac {\!\ n_{\mathsf {s}}\!\ }{n}}\pm {\frac {\;z_{\alpha }\ }{\ {\sqrt {n\;}}\ }}{\sqrt {{\frac {\!\ n_{\mathsf {s}}\!\ }{n}}\ {\frac {\!\ n_{\mathsf {f}}\!\ }{n}}\ }}\ ,}
12966:
12050:
6448:
5593:
2088:{\displaystyle \ {\frac {\ k+C_{\mathsf {L1}}-z_{\alpha }\ {\widehat {W}}\ }{\ n+z_{\alpha }^{2}\ }}~~\leq ~~p~~\leq ~~{\frac {\ k+C_{\mathsf {U1}}+z_{\alpha }\ {\widehat {W}}\ }{n+z_{\alpha }^{2}}}\ }
6516:
3565:
3060:
1050:
13379:
15026:
7135:
1834:
has shown that inequalities on the approximation error between the binomial distribution and the normal distribution can be used to accurately bracket the estimate of the confidence interval around
13159:
i.e., the normal approximation (or "standard") interval, Wilson interval, Agresti–Coull interval, etc., with a nominal coverage of 95% may in fact cover less than 95%, even for large sample sizes.
9683:
11401:
6190:
822:
9626:
11530:
10518:
7324:
906:
15245:
14246:
6527:
1742:
3771:
15998:
10797:
10417:{\displaystyle ~S_{\geq }~\equiv ~\left\{~p~~{\Big |}~~\operatorname {\mathbb {P} } \left\{~\operatorname {Bin} \left(n;p\right)\geq x\right\}>{\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}~~\right\}\ ,}
5601:
10246:{\displaystyle S_{\leq }~\equiv ~\left\{~p~~{\Big |}~~\operatorname {\mathbb {P} } \left\{~\operatorname {Bin} \left(n;p\right)\leq x~\right\}>{\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}~~\right\}~}
6346:
10009:
4357:
2869:
2467:
9070:{\displaystyle \ w_{\mathsf {cc}}^{-}={\mathsf {Wilson_{lower}}}\left(\ \max \left\{\ {\hat {p}}-{\tfrac {1}{\!\ 2\ n\!\ }},\ 0\ \right\},\ n,\ {\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ \right)~.}
3239:
10580:
5030:{\displaystyle \left(\ 1+{\frac {\;z_{\alpha }^{2}\ }{n}}\ \right)\ p^{2}-\left(\ 2\ {\hat {p}}+{\frac {\;z_{\alpha }^{2}\ }{n}}\ \right)\ p+{\biggl (}\ {\hat {p}}^{2}\ {\biggr )}=0~,}
8329:
8213:
6131:
993:
3887:
13708:
6096:
11759:{\displaystyle {\tfrac {\ \Gamma (n+1)\ }{\ \Gamma \!(x)\ \Gamma \!(n-x+1)\ }}\ \int _{0}^{p_{\min }}\ t^{x-1}\ (1-t)^{n-x}\ \mathrm {d} \!\ t~~=~~{\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ ,}
6194:
In practical tests of the formula's results, users find that this interval has good properties even for a small number of trials and / or the extremes of the probability estimate,
10751:
8124:
8080:
6721:
4015:(1927). It is an improvement over the normal approximation interval in multiple respects: Unlike the symmetric normal approximation interval (above), the Wilson score interval is
2680:
13291:
5791:
5756:
766:
131:
15837:
15238:
14417:
1793:
156:
confidence interval for the proportion, for instance, will contain the true proportion 95% of the times that the procedure for constructing the confidence interval is employed.
13963:
13835:
10463:
8286:
8170:
1697:
15644:
15531:
13874:
1352:
1092:
14969:
8858:
6975:
4769:
4200:
3557:
2777:), the above inequalities give easily computed one- or two-sided intervals which bracket the exact binomial upper and lower confidence limits corresponding to the error rate
2775:
2716:
2426:
855:
13157:
6381:
6298:
5151:
4710:
3472:
1159:
10718:
9958:
7222:
5183:
4801:
4235:
4064:
3519:
9519:
2496:
1419:
9484:
8822:
7027:
7001:
2804:
2742:
946:
9827:
211:
15789:
13062:
13029:
9130:
3093:
2902:
13914:
12294:
12152:
9899:
9863:
15490:
12120:
11974:{\displaystyle {\tfrac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (x+1)\Gamma (n-x)}}\ \int _{0}^{p_{\max }}\ t^{x}\ (1-t)^{n-x-1}\ \mathrm {d} \!\ t~=~1-{\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}~.}
11408:
8242:
4675:
4350:
4240:
1861:
15197:
15081:
15055:
14272:
14185:
14159:
13543:
13317:
13121:
13092:
12992:
12885:
12859:
12087:
11464:
11435:
11331:
11305:
10573:
10544:
9349:
9319:
9293:
9172:
8358:
5116:
5090:
5061:
4827:
4736:
2964:
2937:
2393:
2367:
2276:
1386:
1120:
731:
515:
264:
96:
70:
15134:
7162:
across each bound. The tail areas of the resulting Wilson and normal distributions represent the chance of a significant result, in that direction, must be equal.
4077:
2905:
1303:
9688:
11271:{\displaystyle \ B\!\left({\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ ;\ x\ ,\ n-x+1\right)~<~p~<~B\!\left(\ 1-{\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ ;\ x+1\ ,\ n-x\ \right)\ }
12302:
12160:
9354:
12825:{\displaystyle \left(\ 1+{\frac {\ n-x+1\ }{\ x\ F\!\left\ }}\ \right)^{-1}~~<~~p~~<~~\left(\ 1+{\frac {\ n-x\ }{(x+1)\ \ F\!\left\ }}\ \right)^{-1}}
14104:{\displaystyle \ {\tilde {p}}={\frac {\quad {\hat {p}}+{\frac {\ z_{\alpha }^{2}\!\ }{\ 2\ n\ }}\quad }{\quad 1+{\frac {\ z_{\alpha }^{2}}{n}}\quad }}\ }
184:
A commonly used formula for a binomial confidence interval relies on approximating the distribution of error about a binomially-distributed observation,
15882:
13695:{\displaystyle \ p~~\approx ~~{\tilde {p}}~\pm ~z_{\alpha }\ {\sqrt {{\frac {\!\ {\tilde {p}}\!\ }{\tilde {n}}}\ \left(\!\ 1-{\tilde {p}}\!\ \right)~}}}
14280:
9185:
151:
A simple example of a binomial distribution is the set of various possible outcomes, and their probabilities, for the number of heads observed when a
3425:{\displaystyle \ \operatorname {var} \{\ {\hat {p}}\ \}=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {var} \{\ w_{i}\ X_{i}\ \}=p\ (1-p)\ \sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}~.}
229:) and becomes unreliable when it violates the theorems' premises, as the sample size becomes small or the success probability grows close to either
3892:
16257:
6521:
Although the quadratic can be solved explicitly, in most cases Wilson's equations can also be solved numerically using the fixed-point iteration
7240:
423:
410:{\displaystyle \ p~~\approx ~~{\hat {p}}\pm {\frac {\;z_{\alpha }\ }{\ {\sqrt {n\;}}\ }}\ {\sqrt {{\hat {p}}\ \left(1-{\hat {p}}\right)\ }}\ ,}
16288:
6197:
1175:
2281:
16645:
4638:{\displaystyle \qquad p^{2}-2\ p\ {\hat {p}}+{\hat {p}}^{2}=p\ {\frac {\;z_{\alpha }^{2}\ }{n}}-p^{2}\ {\frac {\;z_{\alpha }^{2}\ }{n}}~.}
2637:{\displaystyle \ C_{\mathsf {L1}},C_{\mathsf {L2}},C_{\mathsf {L3}},C_{\mathsf {L4}},C_{\mathsf {U1}},C_{\mathsf {U2}},C_{\mathsf {U3}}\ }
15954:
15649:
10020:
3098:
2242:{\displaystyle \ {\widehat {W}}\equiv {\sqrt {{\frac {\ n\ k-k^{2}+C_{\mathsf {L2}}n\ -C_{\mathsf {L3}}k+C_{\mathsf {L4}}\ }{n}}~}}\ ,}
17:
13509:{\displaystyle \ {\tilde {p}}={\frac {1}{\!\ {\tilde {n}}\!\ }}\left(\!\ n_{\mathsf {s}}+{\tfrac {\ z_{\alpha }^{2}}{2}}\!\ \right)\ }
11006:
3776:
15536:
10875:
9524:
10940:
10809:
3702:{\displaystyle \ \operatorname {SE} \{\ {\hat {p}}\ \}\approx {\sqrt {~{\hat {p}}\ (1-{\hat {p}})\ \sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}~~}}\ }
12890:
11987:
6390:
5558:
6454:
998:
13325:
12053:
2977:
14974:
11075:, the Clopper–Pearson interval is sometimes presented in an alternate format that uses quantiles from the beta distribution.
7068:
9631:
15429:{\displaystyle \ t_{a}\ =\ \log \left(\ {\frac {\ p^{a}\ }{\ (1-p)^{2-a}\ }}\ \right)\ =\ a\ \log p-(2-a)\ \log(\ 1-p\ )\ }
11336:
9913:
7231:
6136:
771:
15991:"Binomial confidence intervals and contingency tests: Mathematical fundamentals and the evaluation of alternative methods"
9580:
6662:{\displaystyle p_{\!\ k+1}={\hat {p}}\pm z_{\alpha }\ {\sqrt {{\tfrac {\!\ 1\!\ }{n}}\ p_{k}\ \left(\ 1-p_{k}\ \right)~}}}
16792:
11471:
10468:
860:
16653:. Human Factors and Ergonomics Society, 49th Annual Meeting (HFES 2005). Orlando, FL. pp. 2100–2104. Archived from
14190:
13068:
conservative. For example, the true coverage rate of a 95% Clopper–Pearson interval may be well above 95%, depending on
1702:
5713:{\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } {\Bigr \{}~~p\in \left(\ w^{-},\ w^{+}\ \right)~~{\Bigl \}}=1-\alpha ~.}
16729:
16267:
15160:
4027:
that afflict the normal interval. It can be safely employed with small samples and skewed observations. The observed
3983:
leading to the familiar formulas, showing that the calculation for weighted data is a direct generalization of them.
145:
15142:
4474:{\displaystyle \left(\ p-{\hat {p}}\ \right)^{2}={\frac {\;z_{\alpha }^{2}\ }{n}}\ p\ \left(\ 1-p\ \right)\ \qquad }
3715:
16355:
15941:
10756:
10681:{\textstyle \ \left(\ {\frac {\!\ x\!\ }{n}}-\varepsilon _{1},\ {\frac {\!\ x\!\ }{n}}+\varepsilon _{2}\ \right)\ }
16623:
15867:
7065:
Since the interval is derived by solving from the normal approximation to the binomial, the Wilson score interval
6303:
15732:
There are several research papers that compare these and other confidence intervals for the binomial proportion.
9968:
2816:
2431:
16420:; Coull, Brent A. (1998). "Approximate is better than 'exact' for interval estimation of binomial proportions".
15939:
Newcombe, R.G. (1998). "Two-sided confidence intervals for the single proportion: Comparison of seven methods".
3182:
16797:
15138:
13795:{\displaystyle \ z_{\alpha }=\operatorname {\Phi ^{-1}} \!\!\left(\ 1-{\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ \right)\ }
7170:
15990:
13802:
is the quantile of a standard normal distribution, as before (for example, a 95% confidence interval requires
8291:
8175:
7237:
The following formulae for the lower and upper bounds of the Wilson score interval with continuity correction
6101:
951:
46:). In other words, a binomial proportion confidence interval is an interval estimate of a success probability
16490:
7227:
7142:
6730:
3863:
218:
15902:
9908:
Jeffreys' interval can also be thought of as a frequentist interval based on inverting the p-value from the
6069:
7149:
7046:
1748:
1122:, or just considering the possible outcomes of this calculation, two problems immediately become apparent:
912:
136:
There are several formulas for a binomial confidence interval, but all of them rely on the assumption of a
10723:
8085:
8044:
6675:
2647:
13261:
13164:
6383:
receiving greater weight as the sample size increases. Formally, the center value corresponds to using a
5761:
5726:
736:
101:
15798:
15202:
14386:
1754:
15460:
13930:
13805:
10430:
8247:
8131:
7169:
are also compliant with this property. The practical import is that these intervals may be employed as
3995:
Wilson score intervals plotted on a logistic curve, revealing asymmetry and good performance for small
1661:
42:
for the probability of success calculated from the outcome of a series of success–failure experiments (
15608:
15495:
13840:
12057:
1316:
1055:
16465:
16422:
16353:
Thulin, MĂĄns (2014-01-01). "The cost of using exact confidence intervals for a binomial proportion".
14941:
8827:
6947:
4741:
4172:
3524:
2747:
2685:
2469:
quantile of a standard normal distribution (i.e., the probit) corresponding to the target error rate
2398:
827:
141:
13127:
6351:
6268:
5121:
4680:
3442:
1129:
16073:
15851:
15123:
10691:
9928:
7192:
7166:
5156:
4774:
4205:
4034:
3477:
2971:
1831:
9489:
3521:
we have to estimate it. Although there are many possible estimators, a conventional one is to use
2472:
1395:
15127:
9457:
8801:
7006:
6980:
2780:
2721:
922:
9800:
187:
16680:
16654:
16068:
15743:
14120:
13916:
instead of 1.96 produces the "add 2 successes and 2 failures" interval previously described by
13034:
13001:
9322:
9175:
9100:
3065:
2909:
2874:
518:
16141:"On binomial quantile and proportion bounds: With applications in engineering and informatics"
10753:
is the infimum of those such that the following tests of hypothesis succeed with significance
164:
13887:
12267:
12125:
9872:
9836:
9139:
7182:
4159:{\displaystyle \ z_{\alpha }\approx {\frac {~\left(\ p-{\hat {p}}\ \right)~}{\sigma _{n}}}\ }
3991:
1389:
226:
222:
137:
16319:(1934). "The use of confidence or fiducial limits illustrated in the case of the binomial".
15847:
results with source significance tests, and this property is decisive for many researchers.
15466:
12096:
9788:{\displaystyle \ \left(\ x+{\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}},\ n-x+{\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}}\ \right)~.}
8218:
4651:
4326:
1837:
16765:
16555:
16451:
16209:
16112:
16090:
15176:
15060:
15034:
14251:
14164:
14138:
13522:
13296:
13097:
13071:
12971:
12864:
12838:
12066:
11440:
11414:
11310:
11284:
10549:
10523:
9328:
9298:
9272:
9148:
8334:
7186:
5095:
5066:
5040:
4806:
4715:
4028:
4012:
2942:
2915:
2372:
2346:
2278:
is again the (unknown) proportion of successes in a
Bernoulli trial process (as opposed to
2255:
1819:
1365:
1099:
710:
494:
243:
75:
49:
16098:
12396:{\textstyle \ \left(\ \left({\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ \right)^{1/n}\ ,\ 1\ \right)~.}
12254:{\textstyle \ \left(0\ ,\ 1-\left(\ {\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ \right)^{1/n}\right)\ }
1267:
159:
8:
16059:
15444:
7041:
214:
39:
16559:
16116:
13965:
of the Wilson score interval, and then applying the Normal approximation to this point.
5037:
where all of the values bracketed by parentheses are known quantities. The solution for
4323:
Combining the two, and squaring out the radical, gives an equation that is quadratic in
16705:
16439:
16390:
16364:
16229:
16170:
16015:
15463:
is used to provide a simple way of stating an approximate 95% confidence interval for
7173:, with identical results to the source test, and new tests may be derived by geometry.
16742:
15443:= 1 and can be used to transform a proportional data distribution to an approximately
9445:{\displaystyle \ \left(x+{\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}},n-x+{\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}}\right)~.}
16746:
16697:
16589:
16581:
16546:
16382:
16263:
16174:
16162:
16050:
15958:
15910:
15872:
13877:
13255:
The
Agresti–Coull interval is also another approximate binomial confidence interval.
11072:
9179:
9135:
2808:
16626:. Ask Professor Mean. Kansas City, MO: The Children's Mercy Hospital. Archived from
16516:
16394:
16019:
15439:
This family is a generalisation of the logit transform which is a special case with
7029:
to produce the Wilson score interval. The test in the middle of the inequality is a
6133:
the count of observed "failures", and their sum is the total number of observations
16738:
16725:"Accurate confidence intervals for binomial proportion and Poisson rate estimation"
16709:
16689:
16672:
16571:
16563:
16431:
16374:
16330:
16297:
16225:
16221:
16152:
16094:
16078:
16007:
15950:
15843:(falsely implying certainty), and overall inconsistency with significance testing.
4202:
is the standard normal interval half-width corresponding to the desired confidence
16157:
16140:
16447:
16086:
16011:
14369:{\displaystyle \operatorname {var} \{~~p~~\}={\tfrac {1}{\!\ n\!\ }}\ p\ (1-p)~.}
9266:
9258:{\displaystyle \ \left({\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}},{\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}}\right)\ ,}
7137:
has the property of being guaranteed to obtain the same result as the equivalent
488:
43:
16212:(1927). "Probable inference, the law of succession, and statistical inference".
4068:
Like the normal interval, the interval can be computed directly from a formula.
16301:
16188:
12995:
12411:
12407:
9142:
4316:{\displaystyle \ \sigma _{n}={\sqrt {{\frac {\ p\ \left(1-p\right)\ }{n}}~}}~.}
169:
16334:
13163:
binomial distribution. In this case, the underlying distribution would be the
3976:{\textstyle {\sqrt {{\tfrac {\!\ 1\!\ }{n}}\ {\hat {p}}\ (1-{\hat {p}})~}}\ ,}
16786:
16585:
16386:
16166:
16057:; DasGupta, Anirban (2001). "Interval estimation for a binomial proportion".
152:
16082:
15955:
10.1002/(SICI)1097-0258(19980430)17:8<857::AID-SIM777>3.0.CO;2-E
12410:
so a third formulation of the
Clopper–Pearson interval can be written using
4738:
as known values from the sample (see prior section), and using the value of
16750:
16701:
16593:
16417:
16316:
14126:
13917:
1815:
16673:"Confidence intervals for the binomial parameter: Some new considerations"
16627:
16189:"How to calculate the standard error of a proportion using weighted data?"
15962:
13927:
This interval can be summarised as employing the centre-point adjustment,
7306:{\displaystyle \ \left(w_{\mathsf {cc}}^{-},w_{\mathsf {cc}}^{+}\right)\ }
6265:
Intuitively, the center value of this interval is the weighted average of
16541:
16283:
16054:
15877:
13921:
13881:
6384:
480:{\displaystyle \ {\hat {p}}\equiv {\frac {\!\ n_{\mathsf {s}}\!\ }{n}}\ }
7230:, the Wilson interval with continuity correction mirrors the equivalent
7189:, rather than the average coverage probability, with the nominal value,
16632:
16576:
16443:
16321:
16233:
7030:
6256:{\displaystyle \ {\hat {p}}\equiv {\frac {\!\ n_{\mathsf {s}}\ }{n}}~.}
1830:
Extending the normal approximation and Wald-Laplace interval concepts,
1313:(Another version of the second, overshoot problem, arises when instead
31:
16567:
16378:
9901:
the lower limit is calculated as before but the upper limit is set to
9865:
the upper limit is calculated as before but the lower limit is set to
4648:
Transforming the relation into a standard-form quadratic equation for
1354:
falls below the same upper bound: probability too high / too close to
1253:{\displaystyle ~{\hat {p}}~<~{\frac {1}{\ 1+n/z_{\alpha }^{2}\ }}~}
16693:
15454:
2336:{\displaystyle \ {\hat {p}}\equiv {\frac {\ n_{\mathsf {s}}\ }{n}}\ }
1803:
16724:
16647:
Comparison of Wald, Adj-Wald, exact, and Wilson intervals calculator
16435:
16286:(2005). "One-sided confidence intervals in discrete distributions".
15112:
12122:
closed-form expressions for the interval bounds are available: when
11071:
Because of a relationship between the binomial distribution and the
5063:
estimates the upper and lower limits of the confidence interval for
7176:
1744:
908:
16766:
binom: Binomial confidence intervals for several parameterizations
16369:
15718:{\displaystyle \ \left(\ 1-{\tfrac {\!\ 3\!\ }{n}},\ 1\ \right)~.}
10078:{\displaystyle \ \left(\inf S_{\geq }\ ,\ \sup S_{\leq }\right)\ }
3172:{\displaystyle \ \operatorname {var} \{\ X_{i}\ \}\ =\ p\ (1-p)~~}
2809:
Standard error of a proportion estimation when using weighted data
1421:
for which the normal approximation is valid can be represented as
1169:, the interval narrows to zero width (falsely implying certainty).
14380:
13170:
The interval boundaries can be computed with numerical functions
4237:
The analytic formula for a binomial sample standard deviation is
3853:{\textstyle \ \sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}={\tfrac {\!\ 1\!\ }{n}}~.}
3712:
For otherwise unweighted data, the effective weights are uniform
16542:"The arcsine is asinine: The analysis of proportions in ecology"
11061:{\displaystyle \ p<{\frac {\!\ x\!\ }{n}}+\varepsilon _{2}~.}
9797:
In order to avoid the coverage probability tending to zero when
9909:
7138:
6726:
2939:
is the weight for each observation, with the(positive) weights
916:
15596:{\displaystyle \ \left(\ 0,\ {\tfrac {\!\ 3\!\ }{n}}\right)~.}
10924:{\displaystyle \ p>{\frac {\!\ x\!\ }{n}}-\varepsilon _{1}}
9916:
to avoid a potentially-infinite value for the test statistic.
9570:{\displaystyle \ 100\ \left(1-\alpha \right)\ \mathrm {\%} \ }
4071:
Wilson started with the normal approximation to the binomial:
3095:
is independent from all the others, and each one has variance
160:
Problems with using a normal approximation or "Wald interval"
10992:{\displaystyle \ p={\frac {\!\ x\!\ }{n}}+\varepsilon _{2}\ }
10861:{\displaystyle \ p={\frac {\!\ x\!\ }{n}}-\varepsilon _{1}\ }
10577:
Equivalently we can say that the
Clopper–Pearson interval is
9080:
This method has the advantage of being further decomposable.
3559:
the sample mean, and plug this into the formula. That gives:
3474:
is the square root of this quantity. Because we do not know
1806:, the normal approximation interval is sometimes called the
12961:{\displaystyle \ F\!\left(\ c\ ;\ d_{1}\ ,d_{2}\ \right)\ }
12045:{\displaystyle \ \left(\ p_{\min }\ ,\ p_{\max }\right)\ ,}
6443:{\displaystyle \ {\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}}z_{\alpha }^{2}\ ,}
521:. The equivalent formula in terms of observation counts is
168:
Plotting the normal approximation interval on an arbitrary
15883:
CDF-based_nonparametric_confidence_interval#Pointwise_band
5588:{\displaystyle \ {\underset {\approx }{\in }}_{\alpha }\ }
6511:{\displaystyle \ {\frac {\ n_{\mathsf {s}}+2\ }{n+4}}\ ,}
6451:
1.96 standard deviations), this yields the estimate
3055:{\textstyle \ {\hat {p}}=\sum _{i=1}^{n}\ w_{i}\ X_{i}~.}
1045:{\displaystyle \ 1-{\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}=0.975\ }
13374:{\displaystyle \ {\tilde {n}}\equiv n+z_{\alpha }^{2}\ }
240:
Using the normal approximation, the success probability
15021:{\displaystyle \ 1\ -\ {\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ }
9577:
equal-tailed posterior probability interval, i.e., the
7165:
The continuity-corrected Wilson score interval and the
7130:{\displaystyle ~{\bigl (}\ w^{-}\ ,\ w^{+}\ {\bigr )}~}
15671:
15561:
14994:
14315:
14204:
13760:
13466:
12707:
12487:
12324:
12305:
12200:
12163:
12054:
Binomial distribution cumulative distribution function
11944:
11775:
11729:
11543:
11200:
11098:
10759:
10583:
10465:
is the number of successes observed in the sample and
10376:
10208:
9750:
9710:
9678:{\displaystyle \ 1-{\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}}\ \alpha \ }
9645:
9588:
9410:
9373:
9223:
9198:
9032:
8972:
8453:
6829:
6585:
6398:
6311:
5847:
5723:
An equivalent expression using the observation counts
3899:
3895:
3823:
3779:
3736:
3718:
2980:
2445:
1710:
1012:
874:
15801:
15746:
15652:
15611:
15539:
15498:
15469:
15248:
15205:
15179:
15063:
15037:
14977:
14944:
14699:
14428:
14389:
14283:
14254:
14193:
14167:
14141:
13974:
13933:
13890:
13843:
13808:
13711:
13554:
13525:
13393:
13328:
13299:
13264:
13130:
13100:
13074:
13037:
13004:
12974:
12893:
12867:
12841:
12423:
12270:
12128:
12099:
12069:
11990:
11773:
11541:
11474:
11443:
11417:
11396:{\displaystyle \ B\!\left(\ p\ ;\ v\ ,\ w\ \right)\ }
11339:
11313:
11287:
11084:
11009:
10943:
10878:
10812:
10726:
10694:
10552:
10526:
10471:
10433:
10265:
10097:
10023:
9971:
9931:
9875:
9839:
9803:
9691:
9634:
9583:
9527:
9492:
9460:
9357:
9331:
9301:
9275:
9188:
9151:
9103:
8869:
8830:
8804:
8372:
8337:
8294:
8250:
8221:
8178:
8134:
8088:
8047:
7322:
7243:
7195:
7071:
7009:
6983:
6950:
6742:
6678:
6530:
6457:
6393:
6354:
6306:
6271:
6200:
6185:{\displaystyle \ n=n_{\mathsf {s}}+n_{\mathsf {f}}~.}
6139:
6104:
6072:
5802:
5764:
5729:
5604:
5561:
5194:
5159:
5124:
5098:
5069:
5043:
4835:
4809:
4777:
4744:
4718:
4683:
4654:
4487:
4360:
4329:
4243:
4208:
4175:
4080:
4037:
3866:
3568:
3527:
3480:
3445:
3254:
3185:
3101:
3068:
2945:
2918:
2877:
2819:
2783:
2750:
2724:
2688:
2650:
2504:
2475:
2434:
2401:
2375:
2349:
2284:
2258:
2107:
1871:
1840:
1825:
1757:
1705:
1664:
1430:
1398:
1368:
1319:
1270:
1178:
1132:
1102:
1058:
1001:
954:
925:
863:
830:
817:{\displaystyle \ n_{\mathsf {f}}=n-n_{\mathsf {s}}\ }
774:
739:
713:
530:
497:
426:
275:
246:
190:
104:
78:
52:
16540:
Warton, David I.; Hui, Francis K.C. (January 2011).
15031:
This method may be used to estimate the variance of
11984:
The binomial proportion confidence interval is then
9621:{\displaystyle \ {\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}}\ \alpha \ }
1802:
Since the test in the middle of the inequality is a
16412:
16410:
16408:
16406:
16404:
11525:{\displaystyle \ p_{\min }~<~p<~p_{\max }\ ,}
10513:{\displaystyle \ {\mathsf {Bin}}\left(n;p\right)\ }
7181:The Wilson interval may be modified by employing a
901:{\displaystyle \ 1-{\tfrac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ }
15831:
15783:
15717:
15638:
15595:
15525:
15484:
15455:Rule of three — for when no successes are observed
15428:
15232:
15191:
15075:
15049:
15020:
14963:
14927:
14679:
14411:
14368:
14266:
14241:{\displaystyle \ p={\tfrac {1}{\!\ n\!\ }}\!\ X~.}
14240:
14179:
14153:
14103:
13957:
13908:
13868:
13829:
13794:
13694:
13537:
13508:
13373:
13311:
13285:
13151:
13115:
13086:
13056:
13023:
12986:
12960:
12879:
12853:
12824:
12406:The beta distribution is, in turn, related to the
12395:
12288:
12253:
12146:
12114:
12081:
12044:
11973:
11758:
11524:
11458:
11429:
11395:
11325:
11299:
11270:
11060:
10991:
10923:
10860:
10791:
10745:
10712:
10680:
10567:
10538:
10512:
10457:
10416:
10245:
10077:
10003:
9952:
9893:
9857:
9821:
9787:
9677:
9620:
9569:
9513:
9478:
9444:
9343:
9313:
9287:
9257:
9166:
9124:
9069:
8852:
8816:
8787:
8352:
8323:
8280:
8236:
8207:
8164:
8118:
8074:
8030:
7305:
7216:
7129:
7036:
7021:
6995:
6969:
6933:
6715:
6661:
6510:
6442:
6375:
6340:
6292:
6255:
6184:
6125:
6090:
6055:
5785:
5750:
5712:
5587:
5544:
5177:
5145:
5110:
5084:
5055:
5029:
4821:
4795:
4763:
4730:
4704:
4669:
4637:
4473:
4344:
4315:
4229:
4194:
4158:
4058:
3975:
3881:
3852:
3765:
3701:
3551:
3513:
3466:
3424:
3233:
3171:
3087:
3054:
2958:
2931:
2896:
2863:
2798:
2769:
2736:
2710:
2674:
2636:
2490:
2461:
2420:
2387:
2361:
2335:
2270:
2241:
2087:
1855:
1787:
1736:
1691:
1647:
1413:
1380:
1346:
1297:
1252:
1153:
1114:
1086:
1044:
987:
940:
900:
849:
816:
760:
725:
696:
509:
479:
409:
258:
205:
125:
90:
64:
27:Statistical confidence interval for success counts
16145:Communications in Statistics - Theory and Methods
15681:
15674:
15571:
15564:
15004:
14997:
14328:
14321:
14225:
14217:
14210:
14033:
13770:
13763:
13744:
13743:
13678:
13656:
13631:
13615:
13494:
13446:
13434:
13418:
12900:
12717:
12710:
12691:
12497:
12490:
12477:
12334:
12327:
12210:
12203:
11954:
11947:
11921:
11739:
11732:
11706:
11594:
11578:
11346:
11210:
11203:
11184:
11108:
11101:
11091:
11029:
11022:
10963:
10956:
10898:
10891:
10832:
10825:
10773:
10766:
10644:
10637:
10605:
10598:
10386:
10379:
10307:
10218:
10211:
10136:
9760:
9753:
9720:
9713:
9685:quantiles of a Beta distribution with parameters
9655:
9648:
9598:
9591:
9420:
9413:
9383:
9376:
9233:
9226:
9208:
9201:
9042:
9035:
8991:
8978:
8774:
8677:
8664:
8658:
8644:
8619:
8606:
8559:
8463:
8456:
7156:Wallis). After that, then also plotting a normal
6839:
6832:
6760:
6725:The Wilson interval can also be derived from the
6595:
6588:
6536:
6408:
6401:
6321:
6314:
6222:
5857:
5850:
5687:
5620:
5534:
5437:
5424:
5418:
5404:
5327:
5010:
4978:
3909:
3902:
3833:
3826:
3746:
3739:
1737:{\displaystyle \ {\tfrac {\alpha }{\!\ 2\!\ }}\ }
1723:
1716:
1528:
1521:
1448:
1022:
1015:
884:
877:
673:
657:
641:
625:
571:
555:
464:
448:
16784:
16517:"Transformations of proportions and percentages"
16401:
16259:Statistics in Corpus Linguistics: A new approach
16049:
14690:So, the confidence interval itself has the form
12026:
12007:
11856:
11641:
11511:
11483:
10054:
10032:
8945:
7706:
7354:
7177:Wilson score interval with continuity correction
7148:This property can be visualised by plotting the
16214:Journal of the American Statistical Association
15934:
15932:
15930:
15928:
15926:
15924:
15922:
15920:
11411:from a beta distribution with shape parameters
9962:The Clopper–Pearson interval can be written as
3766:{\textstyle \ w_{i}={\tfrac {\!\ 1\!\ }{n}}\ ,}
16314:
10792:{\textstyle \ {\frac {\!\ \alpha \!\ }{2}}\ :}
16348:
16346:
16344:
16289:Journal of Statistical Planning and Inference
16125:] (in French). Ve. Courcier. p. 283.
15850:Many of these intervals can be calculated in
7119:
7077:
6733:with two categories. The resulting interval,
5258:
5219:
4031:is consistently closer to the nominal value,
1388:values if they were tested as a hypothesized
824:failures. The distribution function argument
16416:
16251:
16249:
16247:
16245:
16243:
16204:
16202:
16134:
16132:
15984:
15982:
15980:
15978:
15976:
15974:
15972:
15917:
15727:
15605:By symmetry, in the case of only successes (
15028:quantile of a standard normal distribution.
14515:
14497:
14308:
14290:
6341:{\displaystyle \ {\tfrac {\!\ 1\!\ }{2}}\ ,}
3599:
3578:
3350:
3318:
3285:
3264:
3130:
3111:
16045:
16043:
16041:
16039:
16037:
16035:
16033:
16031:
16029:
15141:. Unsourced material may be challenged and
10004:{\displaystyle \ S_{\leq }\cap S_{\geq }\ }
9919:
7061:s at interval bounds. Tail areas are equal.
4771:that corresponds to the desired confidence
2864:{\displaystyle \ X_{1},\ \ldots ,\ X_{n}\ }
2462:{\displaystyle \ 1-{\tfrac {\alpha }{2}}\ }
16643:
16341:
15868:binomial distribution#Confidence intervals
14383:transform, the variance of the arcsine of
8824:is the selected tolerable error level for
8585:
6017:
5353:
4934:
4853:
4604:
4560:
4408:
3234:{\displaystyle ~~i\ =\ 1,\ \ldots \ ,n\ ,}
611:
587:
339:
315:
217:. The normal approximation depends on the
16763:
16670:
16575:
16539:
16368:
16240:
16199:
16156:
16129:
16072:
15969:
15161:Learn how and when to remove this message
14114:
13250:
13174:in R and scipy.stats.beta.ppf in Python.
12052:as follows from the relation between the
10320:
10149:
9521:the Jeffreys interval is taken to be the
5610:
4019:, and it doesn't suffer from problems of
919:) corresponding to the target error rate
144:. Because the binomial distribution is a
16600:
16026:
15938:
15900:
15736:not be used. The principal problems are
8324:{\displaystyle \ w_{\mathsf {cc}}^{+}\ }
8208:{\displaystyle \ w_{\mathsf {cc}}^{-}\ }
7040:
6518:which is known as the "plus four rule".
6126:{\displaystyle \ n_{\mathsf {f}}\equiv }
3990:
3986:
1096:When using the Wald formula to estimate
988:{\displaystyle \ \alpha =1-0.95=0.05\ ,}
163:
16111:
15894:
15492:in the special case that no successes (
9351:is a Beta distribution with parameters
3882:{\displaystyle \ \operatorname {SE} \ }
36:binomial proportion confidence interval
14:
16785:
16624:"Confidence interval with zero events"
16352:
16255:
16208:
15988:
15533:) have been observed. The interval is
15451:has to be estimated for the data set.
13456:
13274:
10483:
10480:
10477:
9134:The Jeffreys interval is the Bayesian
8930:
8927:
8924:
8921:
8918:
8914:
8910:
8907:
8904:
8901:
8898:
8882:
8879:
8410:
8407:
8404:
8401:
8398:
8394:
8390:
8387:
8384:
8381:
8378:
8307:
8304:
8191:
8188:
7688:
7685:
7336:
7333:
7284:
7281:
7261:
7258:
7055:) for the Wilson score interval, plus
6473:
6232:
6170:
6155:
6114:
6091:{\displaystyle n_{\mathsf {s}}\equiv }
6079:
5996:
5981:
5837:
5774:
5739:
2663:
2660:
2625:
2622:
2607:
2604:
2589:
2586:
2571:
2568:
2553:
2550:
2535:
2532:
2517:
2514:
2315:
2213:
2210:
2192:
2189:
2168:
2165:
2019:
2016:
1896:
1893:
948:For a 95% confidence level, the error
805:
784:
749:
667:
635:
565:
458:
114:
16621:
16138:
5185:confidence bracketed in the interval
1260:(probability too low / too close to
16722:
16606:
15199:be the proportion of successes. For
15139:adding citations to reliable sources
15106:
12058:regularized incomplete beta function
10746:{\displaystyle \ \varepsilon _{i}\ }
9083:
8119:{\displaystyle \ {\hat {p}}\neq 1~.}
8075:{\displaystyle \ {\hat {p}}\neq 0\ }
7226:Just as the Wilson interval mirrors
6716:{\displaystyle \ p_{0}={\hat {p}}~.}
2813:Let there be a simple random sample
2675:{\displaystyle \ C_{\mathsf {U4}}\ }
487:is the proportion of successes in a
72:when only the number of experiments
16514:
16282:
16118:Théorie analytique des probabilités
15999:Journal of Quantitative Linguistics
13286:{\displaystyle \ n_{\mathsf {s}}\ }
10520:is a binomial random variable with
6098:the count of observed "successes",
5786:{\displaystyle \ n_{\mathsf {f}}\ }
5751:{\displaystyle \ n_{\mathsf {s}}\ }
3243:sampling variance of the proportion
761:{\displaystyle \ n_{\mathsf {s}}\ }
126:{\displaystyle \ n_{\mathsf {s}}\ }
24:
15832:{\displaystyle \ {\hat {p}}\ =0\ }
15233:{\displaystyle \ 0\leq a\leq 2\ ,}
14412:{\displaystyle \ {\sqrt {\ p~}}\ }
13730:
11917:
11816:
11798:
11778:
11702:
11591:
11575:
11549:
10546:trials and probability of success
9560:
2682:are simple algebraic functions of
1826:Bracketing the confidence interval
1788:{\displaystyle \ z_{\alpha /2}\ ,}
1264:), the interval boundaries exceed
707:where the data are the results of
25:
16809:
16730:Computers in Biology and Medicine
13958:{\displaystyle \ {\tilde {p}}\ ,}
13830:{\displaystyle \ \alpha =0.05\ ,}
10458:{\displaystyle \ 0\leq x\leq n\ }
8281:{\displaystyle \ {\hat {p}}=1\ ,}
8165:{\displaystyle \ {\hat {p}}=0\ ,}
7003:quantile) can then be solved for
5092:Hence the probability of success
2343:that estimates it) measured with
1692:{\displaystyle \ y_{\alpha /2}\ }
146:discrete probability distribution
16764:Dorai-Raj, Sundar (2 May 2022).
16633:Stats topics on Medical Research
16497:(software doc) (1.11.4 ed.)
16356:Electronic Journal of Statistics
15639:{\displaystyle \ {\hat {p}}=1\ }
15526:{\displaystyle \ {\hat {p}}=0\ }
15111:
15057:but its use is problematic when
13884:, & DasGupta (2001), taking
13869:{\displaystyle \ z_{.05}=1.96\ }
13519:Then, a confidence interval for
7185:, in order to align the minimum
1818:, but it was first described by
1347:{\displaystyle \ 1-{\hat {p}}\ }
1087:{\displaystyle \ z_{.05}=1.96~.}
16757:
16716:
16664:
16644:Sauro, J.; Lewis, J.R. (2005).
16637:
16615:
16533:
16508:
16483:
16458:
16308:
16276:
15913:School of Public Health. BS704.
15094:
14964:{\displaystyle \ z_{\alpha }\ }
14094:
14060:
14057:
13996:
9176:Jeffreys prior for this problem
8853:{\displaystyle \ z_{\alpha }~.}
7152:for the Wilson score interval (
7037:The interval equality principle
6970:{\displaystyle \ y_{\alpha }\ }
6765:
6757:
5824:
5806:
5216:
5198:
4764:{\displaystyle \ z_{\alpha }\ }
4488:
4470:
4195:{\displaystyle \ z_{\alpha }\ }
3552:{\displaystyle \ {\hat {p}}\ ,}
2770:{\displaystyle \ z_{\alpha }\ }
2711:{\displaystyle \ z_{\alpha }~.}
2421:{\displaystyle \ z_{\alpha }\ }
1453:
1445:
850:{\displaystyle \ z_{\alpha }\ }
16226:10.1080/01621459.1927.10502953
16181:
16105:
15811:
15621:
15508:
15420:
15402:
15390:
15378:
15322:
15309:
14627:
14615:
14586:
14574:
14550:
14538:
14357:
14345:
14161:be the number of successes in
14003:
13984:
13943:
13672:
13641:
13625:
13582:
13428:
13403:
13338:
13152:{\displaystyle \ 1-\alpha \ ,}
12788:
12773:
12755:
12743:
12679:
12667:
12565:
12541:
11892:
11879:
11831:
11819:
11813:
11801:
11793:
11781:
11683:
11670:
11613:
11595:
11585:
11579:
11564:
11552:
9810:
8962:
8740:
8734:
8719:
8710:
8573:
8431:
8260:
8144:
8098:
8057:
7923:
7892:
7866:
7759:
7571:
7540:
7514:
7407:
6806:
6701:
6560:
6376:{\displaystyle \ {\hat {p}}\ }
6364:
6293:{\displaystyle \ {\hat {p}}\ }
6281:
6210:
5500:
5494:
5479:
5470:
5341:
5146:{\displaystyle \ {\hat {p}}\ }
5134:
4993:
4922:
4705:{\displaystyle \ {\hat {p}}\ }
4693:
4536:
4520:
4382:
4123:
3959:
3953:
3938:
3929:
3646:
3640:
3625:
3616:
3590:
3537:
3502:
3490:
3467:{\displaystyle \ {\hat {p}}\ }
3455:
3374:
3362:
3276:
3160:
3148:
2990:
2294:
1573:
1547:
1499:
1335:
1289:
1274:
1188:
1154:{\displaystyle \ {\hat {p}}\ }
1142:
436:
385:
359:
303:
197:
13:
1:
16743:10.1016/S0010-4825(03)00019-2
16158:10.1080/03610926.2021.1986540
16139:Short, Michael (2021-11-08).
15901:Sullivan, Lisa (2017-10-27).
15888:
12887:is the number of trials, and
11333:is the number of trials, and
10713:{\displaystyle \ 1-\alpha \ }
9953:{\displaystyle \ 1-\alpha ~.}
7217:{\displaystyle \ 1-\alpha ~.}
5178:{\displaystyle \ 1-\alpha \ }
4796:{\displaystyle \ 1-\alpha \ }
4230:{\displaystyle \ 1-\alpha ~.}
4059:{\displaystyle \ 1-\alpha ~.}
3514:{\displaystyle \ p\ (1-p)\ ,}
491:process and an estimator for
16123:Analyitic Probability Theory
16012:10.1080/09296174.2013.799918
15909:(course notes). Boston, MA:
12861:is the number of successes,
11307:is the number of successes,
9514:{\displaystyle \ x\neq n\ ,}
9145:for the binomial proportion
7150:probability density function
7047:probability density function
2912:(p) distribution and weight
2491:{\displaystyle \ \alpha \ ,}
1749:standard normal distribution
1414:{\displaystyle \ \theta \ ,}
1392:. The collection of values,
913:standard normal distribution
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16472:(software doc). R Manual
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