2125:
1608:
2120:{\displaystyle {\begin{aligned}E\{MI(U,V)\}=&\sum _{i=1}^{R}\sum _{j=1}^{C}\sum _{n_{ij}=(a_{i}+b_{j}-N)^{+}}^{\min(a_{i},b_{j})}{\frac {n_{ij}}{N}}\log \left({\frac {N\cdot n_{ij}}{a_{i}b_{j}}}\right)\times \\&{\frac {a_{i}!b_{j}!(N-a_{i})!(N-b_{j})!}{N!n_{ij}!(a_{i}-n_{ij})!(b_{j}-n_{ij})!(N-a_{i}-b_{j}+n_{ij})!}}\\\end{aligned}}}
1354:
2626:
1594:, the baseline value of mutual information between two random clusterings does not take on a constant value, and tends to be larger when the two partitions have a larger number of clusters (with a fixed number of set elements
370:
490:
1557:
1082:
965:
1613:
746:
287:
212:
593:
133:
851:
2443:
2373:
1156:
2248:
1168:
2187:
1402:
399:
623:
2302:
2275:
1460:
1429:
780:
677:
650:
2454:
2632:
The AMI takes a value of 1 when the two partitions are identical and 0 when the MI between two partitions equals the value expected due to chance alone.
51:: when a similar adjustment is made to the VI index, it becomes equivalent to the AMI. The adjusted measure however is no longer metrical.
2757:
303:
407:
1472:
987:
870:
2721:"Information Theoretic Measures for Clusterings Comparison: Variants, Properties, Normalization and Correction for Chance"
685:
2670:
221:
146:
973:
is non-negative and takes the value 0 only when there is no uncertainty determining an object's cluster membership,
520:
70:
788:
2384:
2314:
1602:
model of randomness, it can be shown that the expected mutual information between two random clusterings is:
1349:{\displaystyle MI(U,V)=\sum _{i=1}^{R}\sum _{j=1}^{C}P_{UV}(i,j)\log {\frac {P_{UV}(i,j)}{P_{U}(i)P_{V}(j)}}}
1090:
2777:
2192:
857:
2772:
2133:
1599:
1578:). It quantifies the information shared by the two clusterings and thus can be employed as a clustering
2653:
Vinh, N. X.; Epps, J.; Bailey, J. (2009). "Information theoretic measures for clusterings comparison".
39:. It corrects the effect of agreement solely due to chance between clusterings, similar to the way the
48:
1362:
2720:
378:
598:
2280:
2253:
1438:
1407:
758:
655:
628:
2752:
2621:{\displaystyle AMI(U,V)={\frac {MI(U,V)-E\{MI(U,V)\}}{\max {\{H(U),H(V)\}}-E\{MI(U,V)\}}}}
8:
40:
1579:
1159:
496:
136:
32:
24:
20:
2747:
2655:
Proceedings of the 26th Annual
International Conference on Machine Learning - ICML '09
2666:
2305:
515:
2699:
2658:
36:
2704:
2687:
2766:
2662:
2448:
The adjusted measure for the mutual information may then be defined to be:
977:, when there is only one cluster. Similarly, the entropy of the clustering
16:
Used to compare clustering when variation of mutual information is employed
2753:
R code for fast and parallel calculation of adjusted mutual information
1591:
44:
1404:
denotes the probability that a point belongs to both the cluster
293:
clusters. It is presumed here that the partitions are so-called
1562:
MI is a non-negative quantity upper bounded by the entropies
365:{\displaystyle U_{i}\cap U_{j}=\varnothing =V_{i}\cap V_{j}}
485:{\displaystyle \cup _{i=1}^{R}U_{i}=\cup _{j=1}^{C}V_{j}=S}
1552:{\displaystyle P_{UV}(i,j)={\frac {|U_{i}\cap V_{j}|}{N}}}
1077:{\displaystyle H(V)=-\sum _{j=1}^{C}P_{V}(j)\log P_{V}(j)}
960:{\displaystyle H(U)=-\sum _{i=1}^{R}P_{U}(i)\log P_{U}(i)}
625:
denotes the number of objects that are common to clusters
2758:
Python code for computing the adjusted mutual information
2748:
Matlab code for computing the adjusted mutual information
2719:
Vinh, Nguyen Xuan; Epps, Julien; Bailey, James (2010),
54:
2688:"Comparing clusterings—an information based distance"
2457:
2387:
2317:
2283:
2256:
2195:
2136:
1611:
1475:
1441:
1410:
1365:
1171:
1093:
990:
873:
791:
761:
755:; the probability that the object falls into cluster
688:
658:
631:
601:
523:
410:
381:
306:
224:
149:
73:
741:{\displaystyle n_{ij}=\left|U_{i}\cap V_{j}\right|}
2620:
2437:
2367:
2296:
2269:
2242:
2181:
2119:
1551:
1454:
1423:
1396:
1348:
1150:
1076:
959:
845:
774:
740:
671:
644:
617:
587:
484:
393:
364:
281:
206:
127:
2764:
2544:
2196:
1760:
282:{\displaystyle V=\{V_{1},V_{2},\ldots ,V_{C}\}}
207:{\displaystyle U=\{U_{1},U_{2},\ldots ,U_{R}\}}
2718:
2652:
588:{\displaystyle M=_{j=1\ldots C}^{i=1\ldots R}}
128:{\displaystyle S=\{s_{1},s_{2},\ldots s_{N}\}}
2648:
2646:
2644:
846:{\displaystyle P_{U}(i)={\frac {|U_{i}|}{N}}}
2612:
2588:
2578:
2548:
2539:
2515:
1643:
1619:
276:
231:
201:
156:
122:
80:
2438:{\displaystyle b_{j}=\sum _{i=1}^{R}n_{ij}}
2368:{\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{C}n_{ij}}
751:Suppose an object is picked at random from
2712:
2641:
2703:
2728:The Journal of Machine Learning Research
1585:
2765:
1151:{\displaystyle P_{V}(j)={|V_{j}|}/{N}}
297:the partitions are pairwise disjoint:
2685:
2243:{\displaystyle \max(0,a_{i}+b_{j}-N)}
507:can be summarized in the form of an
55:Mutual information of two partitions
2182:{\displaystyle (a_{i}+b_{j}-N)^{+}}
13:
14:
2789:
2741:
860:associated with the partitioning
333:
2692:Journal of Multivariate Analysis
2679:
2609:
2597:
2575:
2569:
2560:
2554:
2536:
2524:
2506:
2494:
2479:
2467:
2237:
2199:
2170:
2137:
2104:
2056:
2050:
2021:
2015:
1986:
1956:
1937:
1931:
1912:
1789:
1763:
1749:
1716:
1640:
1628:
1539:
1511:
1501:
1489:
1391:
1379:
1340:
1334:
1321:
1315:
1300:
1288:
1263:
1251:
1190:
1178:
1133:
1118:
1110:
1104:
1071:
1065:
1046:
1040:
1000:
994:
954:
948:
929:
923:
883:
877:
833:
818:
808:
802:
547:
530:
1:
2635:
1162:(MI) between two partitions:
7:
1397:{\displaystyle P_{UV}(i,j)}
499:of cluster overlap between
47:. It is closely related to
29:adjusted mutual information
10:
2794:
2705:10.1016/j.jmva.2006.11.013
35:may be used for comparing
2304:are partial sums of the
49:variation of information
2663:10.1145/1553374.1553511
394:{\displaystyle i\neq j}
2622:
2439:
2421:
2369:
2351:
2298:
2271:
2244:
2183:
2121:
1793:
1694:
1673:
1553:
1456:
1425:
1398:
1350:
1237:
1216:
1152:
1078:
1029:
981:can be calculated as:
961:
912:
847:
776:
742:
673:
646:
619:
618:{\displaystyle n_{ij}}
589:
486:
395:
366:
283:
208:
129:
2623:
2440:
2401:
2370:
2331:
2299:
2297:{\displaystyle b_{j}}
2272:
2270:{\displaystyle a_{i}}
2245:
2184:
2122:
1695:
1674:
1653:
1586:Adjustment for chance
1554:
1457:
1455:{\displaystyle V_{j}}
1426:
1424:{\displaystyle U_{i}}
1399:
1351:
1217:
1196:
1153:
1079:
1009:
962:
892:
848:
777:
775:{\displaystyle U_{i}}
743:
674:
672:{\displaystyle V_{j}}
647:
645:{\displaystyle U_{i}}
620:
590:
487:
396:
367:
284:
209:
130:
2455:
2385:
2315:
2281:
2254:
2193:
2134:
1609:
1473:
1439:
1408:
1363:
1169:
1091:
988:
871:
789:
759:
686:
656:
629:
599:
521:
408:
379:
304:
222:
147:
71:
2778:Clustering criteria
584:
465:
431:
41:adjusted rand index
2773:Information theory
2686:Meila, M. (2007).
2618:
2435:
2365:
2294:
2267:
2240:
2179:
2117:
2115:
1580:similarity measure
1549:
1452:
1421:
1394:
1346:
1160:mutual information
1148:
1074:
957:
843:
772:
738:
669:
642:
615:
585:
546:
497:mutual information
482:
445:
411:
391:
362:
279:
204:
125:
33:mutual information
25:information theory
21:probability theory
2616:
2306:contingency table
2250:. The variables
2111:
1869:
1812:
1598:). By adopting a
1547:
1344:
841:
516:contingency table
31:, a variation of
2785:
2736:
2735:
2725:
2716:
2710:
2709:
2707:
2683:
2677:
2676:
2650:
2627:
2625:
2624:
2619:
2617:
2615:
2581:
2542:
2486:
2444:
2442:
2441:
2436:
2434:
2433:
2420:
2415:
2397:
2396:
2374:
2372:
2371:
2366:
2364:
2363:
2350:
2345:
2327:
2326:
2303:
2301:
2300:
2295:
2293:
2292:
2276:
2274:
2273:
2268:
2266:
2265:
2249:
2247:
2246:
2241:
2230:
2229:
2217:
2216:
2188:
2186:
2185:
2180:
2178:
2177:
2162:
2161:
2149:
2148:
2126:
2124:
2123:
2118:
2116:
2112:
2110:
2103:
2102:
2087:
2086:
2074:
2073:
2049:
2048:
2033:
2032:
2014:
2013:
1998:
1997:
1982:
1981:
1962:
1955:
1954:
1930:
1929:
1908:
1907:
1895:
1894:
1884:
1881:
1874:
1870:
1868:
1867:
1866:
1857:
1856:
1846:
1845:
1844:
1825:
1813:
1808:
1807:
1795:
1792:
1788:
1787:
1775:
1774:
1758:
1757:
1756:
1741:
1740:
1728:
1727:
1712:
1711:
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1688:
1672:
1667:
1558:
1556:
1555:
1550:
1548:
1543:
1542:
1537:
1536:
1524:
1523:
1514:
1508:
1488:
1487:
1461:
1459:
1458:
1453:
1451:
1450:
1430:
1428:
1427:
1422:
1420:
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1401:
1400:
1395:
1378:
1377:
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1352:
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1231:
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1210:
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1155:
1154:
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1147:
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1103:
1102:
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778:
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771:
770:
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737:
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719:
718:
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700:
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675:
670:
668:
667:
651:
649:
648:
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640:
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622:
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616:
614:
613:
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592:
591:
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583:
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544:
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475:
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440:
430:
425:
401:, and complete:
400:
398:
397:
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371:
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368:
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360:
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347:
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328:
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315:
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286:
285:
280:
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256:
255:
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167:
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2787:
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2316:
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2284:
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2279:
2278:
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2255:
2252:
2251:
2225:
2221:
2212:
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2191:
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2173:
2169:
2157:
2153:
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2140:
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2132:
2131:
2114:
2113:
2095:
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