15572:
14264:
14610:
13788:
15567:{\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=q_{1}(x)-n_{1}(x){\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{1}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}\\&{\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=q_{2}(x)-n_{3}(x){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{3}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}\,{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}\end{aligned}}}
1364:
14259:{\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)=-{\frac {q}{D}}\\&\nabla ^{2}w^{0}-{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}=-{\frac {q}{\kappa Gh}}\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=-{\frac {2\kappa Gh}{D(1-\nu )}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\,.\end{aligned}}}
735:
10888:
23213:
17137:
21650:
10513:
7557:
22540:
16464:
9688:
16111:
22187:
11593:
24133:
3538:
6925:
20584:
6187:
17609:
6546:
23684:
3891:
21114:
21103:
11240:
13196:
1920:
10883:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&0&0&0\\0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}
3098:
10467:
8342:
12320:
4352:
7089:
12875:
8696:
650:
2781:
23208:{\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+n_{1}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x1}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}+\left{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+t=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}+m_{1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}+m_{2}=0\end{aligned}}}
17132:{\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+n_{1}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x1}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}+\left{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+t=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}+m_{1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}+m_{2}=0\end{aligned}}}
1626:
9406:
10264:
1080:
15584:
4648:
21661:
11863:
11251:
14496:
3169:
6557:
20094:
5838:
21645:{\displaystyle {\text{(2)}}\qquad {\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=q_{2}(x)-n_{3}(x){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{3}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}\,{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}}
17148:
6198:
23224:
3549:
20667:
10899:
12881:
1644:
2849:
10280:
8053:
17993:
7803:
12083:
7552:{\displaystyle {\begin{aligned}D_{x}&=D_{11}={\frac {2h^{3}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{y}&=D_{22}={\frac {2h^{3}E_{2}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{xy}&=D_{33}+{\tfrac {1}{2}}(\nu _{21}D_{11}+\nu _{12}D_{22})=D_{33}+\nu _{21}D_{11}={\frac {4h^{3}G_{12}}{3}}+{\frac {2h^{3}\nu _{21}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\,.\end{aligned}}}
4115:
4921:
12556:
8403:
2590:
8374:
8354:
9683:{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-{\frac {x_{3}}{2}}~(\varphi _{\alpha ,\beta }+\varphi _{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}
1390:
9386:
22503:
16427:
16106:{\displaystyle {\begin{aligned}q_{1}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~q_{2}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{1}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\\n_{2}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}y\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{3}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}}
10090:
5264:
788:
22182:{\displaystyle {\begin{aligned}q_{1}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~q_{2}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{1}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\\n_{2}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}y\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{3}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y.\end{aligned}}}
4363:
18899:
11588:{\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}~(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}}
11604:
3533:{\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}
14276:
6920:{\displaystyle {\begin{bmatrix}D_{11}&D_{12}&D_{13}\\D_{21}&D_{22}&D_{23}\\D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h^{3}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.}
20579:{\displaystyle {\begin{aligned}P_{t}&=\left(\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\right)w_{x}-\left(\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y\right){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+\left\theta _{x}\\&\qquad \qquad -\left(\int _{-b/2}^{b/2}ym_{x}(y)\,{\text{d}}y\right){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\,.\end{aligned}}}
6182:{\displaystyle {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.}
17604:{\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~m_{2}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\\t&=q_{x2}+m_{3}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q_{x}(y)\,{\text{d}}y+\int _{-b/2}^{b/2}m_{xy}(y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}}
6541:{\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}}
23679:{\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~m_{2}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\\t&=q_{x2}+m_{3}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q_{x}(y)\,{\text{d}}y+\int _{-b/2}^{b/2}m_{xy}(y)\,{\text{d}}y.\end{aligned}}}
9697:, across the thickness of the plate is not neglected in this theory. However, the shear strain is constant across the thickness of the plate. This cannot be accurate since the shear stress is known to be parabolic even for simple plate geometries. To account for the inaccuracy in the shear strain, a
3886:{\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}\,.}
21098:{\displaystyle {\text{(1)}}\qquad bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=q_{1}(x)-n_{1}(x){\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{1}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}}
681:
with a small thickness compared to the planar dimensions. The typical thickness to width ratio of a plate structure is less than 0.1. A plate theory takes advantage of this disparity in length scale to reduce the full three-dimensional solid mechanics problem to a two-dimensional problem. The aim
11235:{\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}
9977:
18561:
13191:{\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}\,,}
1915:{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}~w_{,\beta }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}
2202:
14506:
In general, exact solutions for cantilever plates using plate theory are quite involved and few exact solutions can be found in the literature. Reissner and Stein provide a simplified theory for cantilever plates that is an improvement over older theories such as Saint-Venant plate theory.
13357:
3093:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}
10462:{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}}
8337:{\displaystyle {\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}
17649:
7588:
12315:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}
4347:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}
12870:{\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2Eh}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}\,,}
4732:
8042:
2571:
8691:{\displaystyle D\,\left({\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{2}^{4}}}\right)=-q(x_{1},x_{2},t)-2\rho h\,{\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}\,.}
2776:{\displaystyle {\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\\n_{\beta }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad w_{,\alpha }^{0}\end{aligned}}}
13723:
1621:{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}
2416:
2028:
9170:
22224:
16148:
10259:{\displaystyle {\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad \varphi _{\alpha }\\n_{\alpha }~Q_{\alpha }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\end{aligned}}}
1075:{\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}
9833:
5092:
4643:{\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}}
18683:
11858:{\displaystyle {\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}={\cfrac {\kappa }{2}}\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{55}&0\\0&C_{44}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}}
12478:
9843:
The equilibrium equations have slightly different forms depending on the amount of bending expected in the plate. For the situation where the strains and rotations of the plate are small the equilibrium equations for a
Mindlin–Reissner plate are
20083:
14491:{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{simply supported}}\quad &\quad w^{0}=0,M_{11}=0~({\text{or}}~M_{22}=0),\varphi _{1}=0~({\text{or}}~\varphi _{2}=0)\\{\text{clamped}}\quad &\quad w^{0}=0,\varphi _{1}=0,\varphi _{2}=0\,.\end{aligned}}}
18342:
8959:
12061:
9851:
4093:
18395:
10071:
2039:
7078:
13207:
5486:
11953:
3981:
754:
to thin plates. The theory was developed in 1888 by Love using assumptions proposed by
Kirchhoff. It is assumed that a mid-surface plane can be used to represent the three-dimensional plate in two-dimensional form.
17988:{\displaystyle U={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}D\left\{\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)^{2}+2(1-\nu )\left\right\}{\text{d}}x{\text{d}}y}
7798:{\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}}
5818:
19295:
9158:
4916:{\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=0\quad {\text{where}}\quad w:=w^{0}\,.}
5020:
23871:
7850:
2427:
5553:
8835:
5360:
13570:
13457:
1355:
14598:
2833:
23229:
22545:
21666:
20099:
19541:
17153:
16469:
15589:
14615:
14281:
13793:
13626:
10285:
10095:
9856:
9411:
9175:
7593:
7094:
2595:
2432:
2330:
1948:
1649:
1395:
793:
13621:
19530:
18164:
13779:
9381:{\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}
2325:
22498:{\displaystyle w(0,y)={\cfrac {dw}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\qquad \implies \qquad w_{x}(0)={\cfrac {dw_{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=\theta _{x}(0)={\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\,.}
16422:{\displaystyle w(0,y)={\cfrac {dw}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\qquad \implies \qquad w_{x}(0)={\cfrac {dw_{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=\theta _{x}(0)={\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\,.}
1943:
12393:
5076:
87:
18980:
5259:{\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=-{\frac {q}{D}}}
9727:
2258:
18894:{\displaystyle P_{t}=\int _{-b/2}^{b/2}\left(q_{x}(y)\,w(x,y)-m_{x}(y)\,{\frac {\partial w}{\partial x}}+m_{xy}(y)\,{\frac {\partial w}{\partial y}}\right){\text{d}}x{\text{d}}y\,.}
20659:
10499:
does not appear in the equilibrium equations it is implicitly assumed that it do not have any effect on the momentum balance and is neglected. This assumption is also called the
1215:
3131:
1299:
13606:
12536:
12401:
19536:
7842:
5595:
10497:
9047:
9020:
3158:
18387:
18675:
4720:
4688:
18636:
18600:
9719:
23809:
Uflyand, Ya. S.,1948, Wave
Propagation by Transverse Vibrations of Beams and Plates, PMM: Journal of Applied Mathematics and Mechanics, Vol. 12, 287-300 (in Russian)
18202:
2581:
The boundary conditions that are needed to solve the equilibrium equations of plate theory can be obtained from the boundary terms in the principle of virtual work.
18210:
9074:
2317:
1269:
1242:
1165:
1138:
1111:
18076:
12363:
2290:
22532:
22216:
16456:
16140:
23878:
23851:
E. Reissner and M. Stein. Torsion and transverse bending of cantilever plates. Technical Note 2369, National
Advisory Committee for Aeronautics,Washington, 1951.
8742:
5386:
2228:
20607:
18096:
18056:
18036:
18016:
17642:
13480:
12343:
8719:
6953:
9972:{\displaystyle {\begin{aligned}&N_{\alpha \beta ,\alpha }=0\\&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\,.\end{aligned}}}
3160:
do not appear in the equilibrium equations it is implicitly assumed that these quantities do not have any effect on the momentum balance and are neglected.
18556:{\displaystyle P_{n}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,\left({\frac {\partial w}{\partial x}}\right)^{2}\,{\text{d}}x{\text{d}}y\,.}
9397:
Depending on the amount of rotation of the plate normals two different approximations for the strains can be derived from the basic kinematic assumptions.
8847:
8397:
The governing equations simplify considerably for isotropic and homogeneous plates for which the in-plane deformations can be neglected and have the form
11968:
4000:
2197:{\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}}
13352:{\displaystyle {\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}=\kappa Gh{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}\,.}
9989:
3163:
It is more convenient to work with the stress and moment resultants that enter the equilibrium equations. These are related to the displacements by
6961:
1634:
If the rotations of the normals to the mid-surface are in the range of 10° to 15°, the strain-displacement relations can be approximated using the
5394:
697:
Of the numerous plate theories that have been developed since the late 19th century, two are widely accepted and used in engineering. These are
11878:
3906:
23950:
636:
5603:
18991:
1937:. For the situation where the strains and rotations of the plate are small, the equilibrium equations for an unloaded plate are given by
9082:
4932:
1380:
For the situation where the strains in the plate are infinitesimal and the rotations of the mid-surface normals are less than 10° the
8037:{\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}}
7573:
The dynamic theory of plates determines the propagation of waves in the plates, and the study of standing waves and vibration modes.
2421:
For moderate rotations, the strain-displacement relations take the von Karman form and the equilibrium equations can be expressed as
2566:{\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+_{,\alpha }-q&=0\end{aligned}}}
5498:
23864:
23746:
23827:
8750:
5275:
13488:
13372:
1308:
24118:
12550:
The relations between the stress resultants and the generalized displacements for an isotropic
Mindlin–Reissner plate are:
14516:
13718:{\displaystyle {\begin{aligned}M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }&=0\\Q_{\alpha ,\alpha }+q&=0\,.\end{aligned}}}
2789:
738:
Deformation of a thin plate highlighting the displacement, the mid-surface (red) and the normal to the mid-surface (blue)
2411:{\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q&=0\end{aligned}}}
2023:{\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}
1638:
strains. Then the kinematic assumptions of
Kirchhoff-Love theory lead to the following strain-displacement relations
23898:
23751:
19301:
18104:
13731:
12072:
8971:
629:
12368:
12077:
For uniformly thick, homogeneous, and isotropic plates, the stress–strain relations in the plane of the plate are
5031:
24136:
24103:
7568:
4104:
722:
43:
18910:
9828:{\displaystyle \varepsilon _{\alpha 3}={\cfrac {1}{2}}~\kappa ~\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)}
602:
8977:
2233:
728:
303:
140:
10084:
If the only external force is a vertical force on the top surface of the plate, the boundary conditions are
24157:
20612:
8995:, the normal to the mid-surface remains straight but not necessarily perpendicular to the mid-surface. If
622:
343:
229:
23711:
1381:
1170:
678:
298:
207:
90:
12473:{\displaystyle \sigma _{31}=2G\varepsilon _{31}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{32}=2G\varepsilon _{32}}
9400:
For small strains and small rotations the strain-displacement relations for
Mindlin–Reissner plates are
3106:
1277:
20078:{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\left{\text{d}}x\,,\end{aligned}}}
747:
706:
13578:
23716:
12486:
1934:
1363:
214:
7812:
23980:
23975:
23774:
Timoshenko, S. and
Woinowsky-Krieger, S. "Theory of plates and shells". McGraw–Hill New York, 1959.
6935:
The governing equation of an orthotropic
Kirchhoff plate loaded transversely by a distributed load
5562:
1635:
509:
504:
293:
286:
119:
14603:
The governing equations for the plate then reduce to two coupled ordinary differential equations:
10475:
9025:
8998:
8373:
8353:
3136:
24108:
23970:
23940:
683:
572:
567:
236:
18350:
5086:
For a transversely loaded plate without axial deformations, the governing equation has the form
24083:
23887:
23756:
18641:
12395:
are the in-plane strains. The through-the-thickness shear stresses and strains are related by
4693:
4661:
124:
18605:
18569:
18337:{\displaystyle P_{q}=\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,w(x,y)\,{\text{d}}x{\text{d}}y\,.}
10081:
The boundary conditions are indicated by the boundary terms in the principle of virtual work.
4726:
conditions. For an isotropic, homogeneous plate under pure bending the governing equation is
1925:
This theory is nonlinear because of the quadratic terms in the strain-displacement relations.
23945:
23914:
9721:) is applied so that the correct amount of internal energy is predicted by the theory. Then
9704:
778:
547:
165:
18172:
24065:
23960:
23787:, Philosophical trans. of the Royal Society (London), 1888, Vol. série A, N° 17 p. 491–549.
23721:
10504:
9052:
5829:
2295:
1247:
1220:
1143:
1116:
1089:
765:
straight lines normal to the mid-surface remain normal to the mid-surface after deformation
734:
385:
202:
182:
170:
114:
18061:
12348:
2266:
8:
23965:
23706:
22511:
22195:
16435:
16119:
658:
587:
435:
328:
34:
23840:
Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates
8724:
5368:
2210:
24075:
24034:
24027:
23990:
23955:
23935:
23726:
20592:
18081:
18041:
18021:
18001:
17627:
13465:
12328:
8704:
6938:
687:
607:
241:
197:
192:
24044:
23823:
23736:
23731:
23701:
10274:
The stress–strain relations for a linear elastic
Mindlin–Reissner plate are given by
670:
224:
175:
8954:{\displaystyle D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w^{0}=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\ddot {w}}^{0}\,.}
24005:
13363:
12056:{\displaystyle D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}}
4088:{\displaystyle D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}}
743:
702:
562:
537:
450:
425:
420:
375:
24020:
8988:
2319:
direction, the principle of virtual work then leads to the equilibrium equations
691:
552:
476:
440:
390:
321:
310:
255:
157:
20:
8983:
In the theory of thick plates, or theory of Yakov S. Uflyand (see, for details,
23919:
14501:
10066:{\displaystyle Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}\,.}
1302:
557:
415:
380:
281:
187:
17624:
The strain energy of bending of a thin rectangular plate of uniform thickness
14510:
The Reissner-Stein theory assumes a transverse displacement field of the form
13615:
If we ignore the in-plane extension of the plate, the governing equations are
2843:
The stress–strain relations for a linear elastic Kirchhoff plate are given by
24151:
12539:
8992:
7073:{\displaystyle D_{x}w_{,1111}^{0}+2D_{xy}w_{,1122}^{0}+D_{y}w_{,2222}^{0}=-q}
597:
430:
5481:{\displaystyle w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=-{\frac {q}{D}}}
9694:
4723:
582:
577:
542:
274:
1140:
are the Cartesian coordinates on the mid-surface of the undeformed plate,
762:
straight lines normal to the mid-surface remain straight after deformation
23856:
11948:{\displaystyle A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}}
8721:
is the bending stiffness of the plate. For a uniform plate of thickness
4109:
For an isotropic and homogeneous plate, the stress–strain relations are
3976:{\displaystyle A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}}
751:
592:
495:
23820:
Handbook on Timoshenko-Ehrenfest Beam and Uflyand-Mindlin Plate Theories
2033:
where the stress resultants and stress moment resultants are defined as
8984:
7581:
The governing equations for the dynamics of a Kirchhoff–Love plate are
514:
410:
5813:{\displaystyle {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left=-{\frac {q}{D}}\,.}
1631:
Therefore, the only non-zero strains are in the in-plane directions.
712:
The Uflyand-Mindlin theory of plates (first-order shear plate theory)
666:
486:
481:
315:
19290:{\displaystyle U=\int _{0}^{a}{\frac {bD}{24}}\left\,{\text{d}}x\,,}
14270:
The boundary conditions along the edges of a rectangular plate are
12066:
8347:
The figures below show some vibrational modes of a circular plate.
2584:
For small strains and small rotations, the boundary conditions are
465:
370:
350:
336:
16:
Mathematical model of the stresses within flat plates under loading
18985:
With the Reissener–Stein assumption for the displacement, we have
9153:{\displaystyle \varphi _{1}\neq w_{,1}~;~~\varphi _{2}\neq w_{,2}}
23741:
9983:
The resultant shear forces in the above equations are defined as
674:
219:
5015:{\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0\,.}
1933:
The equilibrium equations for the plate can be derived from the
768:
the thickness of the plate does not change during a deformation.
649:
24015:
24010:
23785:
On the small free vibrations and deformations of elastic shells
2292:
that is normal to the mid-surface and directed in the positive
360:
5823:
1367:
Displacement of the mid-surface (left) and of a normal (right)
24039:
758:
The following kinematic assumptions are made in this theory:
264:
14502:
Reissner–Stein static theory for isotropic cantilever plates
4098:
24060:
19902:
19893:
10503:
assumption. The remaining stress–strain relations for an
9049:
designate the angles which the mid-surface makes with the
8965:
5548:{\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.}
16142:, since the beam is clamped, the boundary conditions are
400:
17619:
Derivation of Reissner–Stein cantilever plate equations
716:
23842:, Journal of Applied Mechanics, 1951, Vol. 18 p. 31–38.
23159:
23130:
23058:
23029:
22987:
22965:
22924:
22902:
22817:
22788:
22720:
22698:
22657:
22635:
22587:
22558:
22449:
22427:
22363:
22341:
22267:
22252:
21626:
21604:
21584:
21562:
21523:
21494:
21443:
21421:
21401:
21379:
21350:
21321:
21251:
21222:
21072:
21043:
20993:
20971:
20951:
20929:
20897:
20875:
20855:
20833:
20804:
20775:
20552:
20530:
20301:
20279:
20028:
20006:
19876:
19854:
19834:
19812:
19699:
19677:
19243:
19221:
19159:
19130:
19076:
19047:
17083:
17054:
16982:
16953:
16911:
16889:
16848:
16826:
16741:
16712:
16644:
16622:
16581:
16559:
16511:
16482:
16373:
16351:
16287:
16265:
16191:
16176:
15544:
15522:
15502:
15480:
15441:
15412:
15361:
15339:
15319:
15297:
15268:
15239:
15169:
15140:
15014:
14985:
14935:
14913:
14893:
14871:
14839:
14817:
14797:
14775:
14746:
14717:
13523:
13501:
13410:
13385:
12973:
12948:
12638:
12620:
12159:
12147:
11666:
11654:
9762:
9750:
9598:
9586:
8830:{\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}
8788:
8763:
6715:
6693:
6349:
6334:
5986:
5974:
5759:
5744:
5717:
5705:
5671:
5659:
5632:
5620:
5355:{\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}
5313:
5288:
4455:
4430:
4191:
4179:
2263:
If the plate is loaded by an external distributed load
1217:
are the in-plane displacements of the mid-surface, and
23162:
23133:
23061:
23032:
22990:
22968:
22927:
22905:
22820:
22791:
22723:
22701:
22660:
22638:
22590:
22561:
22452:
22430:
22366:
22344:
22270:
22255:
21629:
21607:
21587:
21565:
21526:
21497:
21446:
21424:
21404:
21382:
21353:
21324:
21254:
21225:
21075:
21046:
20996:
20974:
20954:
20932:
20900:
20878:
20858:
20836:
20807:
20778:
20555:
20533:
20304:
20282:
20031:
20009:
19879:
19857:
19837:
19815:
19702:
19680:
19246:
19224:
19162:
19133:
19079:
19050:
18904:
A balance of energy requires that the total energy is
17086:
17057:
16985:
16956:
16914:
16892:
16851:
16829:
16744:
16715:
16647:
16625:
16584:
16562:
16514:
16485:
16376:
16354:
16290:
16268:
16194:
16179:
15547:
15525:
15505:
15483:
15444:
15415:
15364:
15342:
15322:
15300:
15271:
15242:
15172:
15143:
15017:
14988:
14938:
14916:
14896:
14874:
14842:
14820:
14800:
14778:
14749:
14720:
13565:{\displaystyle D={\cfrac {EH^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\,.}
13526:
13504:
13452:{\displaystyle D={\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}
13413:
13388:
13268:
13216:
13082:
13013:
12976:
12951:
12890:
12738:
12669:
12641:
12623:
12565:
12259:
12190:
12162:
12150:
12092:
11778:
11707:
11669:
11657:
11613:
11480:
11361:
11260:
11107:
10988:
10908:
10803:
10607:
10522:
9765:
9753:
9601:
9589:
8791:
8766:
7331:
6765:
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and setting it to zero gives us the Euler equations
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23798:Theory and analysis of elastic plates and shells
12067:Isotropic and homogeneous Uflyand-Mindlin plates
4357:The moments corresponding to these stresses are
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1167:is the coordinate for the thickness direction,
1244:is the displacement of the mid-surface in the
23872:
8980:of summing on repeated indices is used below.
731:of summing on repeated indices is used below.
630:
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4099:Isotropic and homogeneous Kirchhoff plate
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19:For the theory of geological plates, see
13610:
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653:Vibration mode of a clamped square plate
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18347:The potential energy of in-plane loads
8966:Uflyand-Mindlin theory for thick plates
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665:are mathematical descriptions of the
23790:
13781:, the three governing equations are
13482:, the bending rigidity has the form
10507:, in matrix form, can be written as
682:of plate theory is to calculate the
23768:
18566:The potential energy of tip forces
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7563:Dynamics of thin Kirchhoff plates
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24119:Timoshenko–Ehrenfest beam theory
23800:, CRC Press, Taylor and Francis.
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9693:The shear strain, and hence the
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1:
23762:
23752:Euler–Bernoulli beam equation
22192:Since the beam is clamped at
12073:Mindlin–Reissner plate theory
9393:Strain-displacement relations
8978:Einstein summation convention
8972:Mindlin–Reissner plate theory
5590:{\displaystyle (r,\theta ,z)}
2835:is an effective shear force.
1376:Strain-displacement relations
729:Einstein summation convention
18098:is the Young's modulus, and
17615:
12365:is the Poisson's ratio, and
10492:{\displaystyle \sigma _{33}}
9042:{\displaystyle \varphi _{2}}
9015:{\displaystyle \varphi _{1}}
5597:, the governing equation is
3153:{\displaystyle \sigma _{33}}
7:
24104:Euler–Bernoulli beam theory
23712:Infinitesimal strain theory
23695:
22508:The boundary conditions at
16432:The boundary conditions at
13366:is defined as the quantity
7569:Kirchhoff–Love plate theory
5559:In cylindrical coordinates
5365:for a plate with thickness
4105:Kirchhoff–Love plate theory
752:Euler–Bernoulli beam theory
723:Kirchhoff–Love plate theory
10:
24174:
23747:Föppl–von Kármán equations
18382:{\displaystyle n_{x}(x,y)}
12070:
8975:
8969:
7566:
4102:
750:theory is an extension of
726:
720:
18:
24127:
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24053:
23998:
23989:
23928:
23907:
23894:
23717:Membrane theory of shells
18670:{\displaystyle m_{xy}(y)}
13462:For a plate of thickness
4715:{\displaystyle u_{2}^{0}}
4683:{\displaystyle u_{1}^{0}}
1935:principle of virtual work
23981:Theorem of three moments
23976:Shear and moment diagram
18631:{\displaystyle m_{x}(y)}
18595:{\displaystyle q_{x}(y)}
18078:is the Poisson's ratio,
12345:is the Young's modulus,
690:in a plate subjected to
141:Clausius–Duhem (entropy)
91:Fick's laws of diffusion
11870:extensional stiffnesses
9714:{\displaystyle \kappa }
9699:shear correction factor
5491:and in direct notation
3898:extensional stiffnesses
2839:Stress–strain relations
2786:Note that the quantity
299:Navier–Stokes equations
237:Material failure theory
23888:Structural engineering
23757:Timoshenko beam theory
23680:
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23946:Conjugate beam method
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3994:) are the quantities
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737:
652:
294:Bernoulli's principle
287:Archimedes' principle
84:
24066:Thin-shell structure
23941:Castigliano's method
23796:Reddy, J. N., 2007,
23722:Finite strain theory
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386:Cohesion (chemistry)
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23991:Structural elements
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23707:Vibration of plates
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35:Continuum mechanics
29:Part of a series on
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