8506:
7309:
8501:{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\ast {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\right)\\{}={}&\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\,\otimes \,{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\right)\\{}={}&{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\,\circ \,{\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
7245:
2625:
6920:
2318:
2191:
9473:
1888:
11132:
7240:{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(c\otimes d)&=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} c)\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} d),\\(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {P} c\otimes \mathbf {Q} d)&=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} \mathbf {P} c)\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {Q} d)\end{aligned}}}
1577:
2620:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \bullet (\mathbf {B} +\mathbf {C} )&=\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} +\mathbf {A} \bullet \mathbf {C} ,\\(\mathbf {B} +\mathbf {C} )\bullet \mathbf {A} &=\mathbf {B} \bullet \mathbf {A} +\mathbf {C} \bullet \mathbf {A} ,\\(k\mathbf {A} )\bullet \mathbf {B} &=\mathbf {A} \bullet (k\mathbf {B} )=k(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} ),\\(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C} &=\mathbf {A} \bullet (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} ),\\\end{aligned}}}
1899:
1601:
11396:
2186:{\displaystyle \mathbf {C} \bullet \mathbf {D} ={\begin{bmatrix}\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}\\\hline \mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf {C} _{3}\otimes \mathbf {D} _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&4&7&2&8&14&3&12&21\\\hline 8&20&32&10&25&40&12&30&48\\\hline 21&42&63&24&48&72&27&54&81\end{bmatrix}}.}
1883:{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\mathbf {C} _{1}\\\hline \mathbf {C} _{2}\\\hline \mathbf {C} _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&3\\\hline 4&5&6\\\hline 7&8&9\end{bmatrix}},\quad \mathbf {D} ={\begin{bmatrix}\mathbf {D} _{1}\\\hline \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf {D} _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&4&7\\\hline 2&5&8\\\hline 3&6&9\end{bmatrix}},}
3133:
6910:
5167:
2873:
3960:
2975:
4842:
3262:
6743:
4589:
5542:
6622:
5840:
5300:
3393:
4992:
2737:
6411:
3834:
3824:
5421:
4320:
2968:
3587:
3128:{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} \bullet \mathbf {C} \bullet \mathbf {D} )(\mathbf {L} \ast \mathbf {M} \ast \mathbf {N} \ast \mathbf {P} )=(\mathbf {A} \mathbf {L} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {M} )\circ (\mathbf {C} \mathbf {N} )\circ (\mathbf {D} \mathbf {P} )}
2297:
4601:
6157:
3139:
9369:
6905:{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {K} \ast \mathbf {T} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} \mathbf {K} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} \mathbf {T} )}
4466:
10154:
6034:
4216:
5433:
9023:
161:
3468:
9194:
6523:
3702:
5745:
4412:
5176:
4042:
5162:{\displaystyle {\mathcal {F}}\left((\mathbf {A} x)\star (\mathbf {B} y)\right)=\left(({\mathcal {F}}\mathbf {A} )\bullet ({\mathcal {F}}\mathbf {B} )\right)(x\otimes y)=({\mathcal {F}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {F}}\mathbf {B} y)}
3296:
2868:{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )\left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=\left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)}
6464:
3955:{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} )}
6318:
6515:
6311:
10743:
Kasiviswanathan, Shiva Prasad, et al. «The price of privately releasing contingency tables and the spectra of random matrices with correlated rows.» Proceedings of the forty-second ACM symposium on Theory of computing.
3736:
1240:
574:
5313:
4221:
10883:
Johannes W. R. Martini, Jose Crossa, Fernando H. Toledo, Jaime Cuevas. On
Hadamard and Kronecker products in covariance structures for genotype x environment interaction.//Plant Genome. 2020;13:e20033. Page 5.
2880:
3499:
7314:
9442:
8902:
4837:{\displaystyle {\mathcal {F}}\left((C^{(1)}x)\star (C^{(2)}y)\right)=\left(({\mathcal {F}}C^{(1)})\bullet ({\mathcal {F}}C^{(2)})\right)(x\otimes y)=({\mathcal {F}}C^{(1)}x)\circ ({\mathcal {F}}C^{(2)}y)}
2217:
9673:
1556:
This column-wise version of the Khatri–Rao product is useful in linear algebra approaches to data analytical processing and in optimizing the solution of inverse problems dealing with a diagonal matrix.
2693:
3257:{\displaystyle (\mathbf {A} \ast \mathbf {B} )^{\textsf {T}}(\mathbf {A} \ast \mathbf {B} )=\left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} \right)\circ \left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {B} \right)}
1551:
851:
6074:
8720:
8581:
9248:
4584:{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {M} \mathbf {N} c\otimes \mathbf {Q} \mathbf {P} d)=(\mathbf {A} \mathbf {M} \mathbf {N} c)\circ (\mathbf {B} \mathbf {Q} \mathbf {P} d),}
6925:
2323:
6709:
10062:
10041:
9853:
8805:
5960:
4985:
8639:
5537:{\displaystyle \mathbf {A} \bullet \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {1_{k}} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {1_{c}} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {B} \right)}
4135:
8933:
4082:
80:
6675:
6617:{\displaystyle \operatorname {vec} \left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {W_{d}} \mathbf {A} \right)=\left(\mathbf {A} \bullet \mathbf {A} \right)^{\textsf {T}}\mathbf {w} }
5718:
5669:
3400:
4920:
5835:{\displaystyle \mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =\left(\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {1} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {M} \right)}
4944:
9060:
3594:
9462:
6731:
6646:
6227:
6179:
5933:
5865:
5614:
5566:
3724:
72:
50:
5295:{\displaystyle \left(({\mathcal {F}}\mathbf {A} )\bullet ({\mathcal {F}}\mathbf {B} )\right)(x\otimes y)=({\mathcal {F}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {F}}\mathbf {B} y)}
4332:
9052:
6253:
6205:
5891:
5640:
5592:
5911:
4864:
3285:
9240:
3973:
3388:{\displaystyle (\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\bullet (\mathbf {C} \circ \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \bullet \mathbf {C} )\circ (\mathbf {B} \bullet \mathbf {D} )}
9217:
8926:
8659:
7288:
7268:
5953:
5738:
5689:
4455:
4435:
4124:
4104:
3488:
2716:
6063:
1591:
This matrix operation was named the "face-splitting product" of matrices or the "transposed Khatri–Rao product". This type of operation is based on row-by-row
6416:
6406:{\displaystyle \operatorname {vec} ((\mathbf {w} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {B} )=(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {w} }
745:
10734:. Estimation of Heteroscedastic Variances in Linear Models.//Journal of the American Statistical Association, Vol. 65, No. 329 (Mar., 1970), pp. 161–172
10803:
Eilers, Paul H.C.; Marx, Brian D. (2003). "Multivariate calibration with temperature interaction using two-dimensional penalized signal regression".
6469:
6266:
10871:
Bryan
Bischof. Higher order co-occurrence tensors for hypergraphs via face-splitting. Published 15 February 2020, Mathematics, Computer Science,
3819:{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {B} \mathbf {D} )}
5416:{\displaystyle {\mathcal {F}}\left((\mathbf {A} x)\star (\mathbf {B} y)\right)=({\mathcal {F}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {F}}\mathbf {B} y)}
4315:{\displaystyle d^{\textsf {T}}\left(c\bullet \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)=c^{\textsf {T}}\left(d\bullet \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)}
961:
263:
2963:{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \ast \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {D} )}
3582:{\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \ast \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\ast (\mathbf {B} \mathbf {D} )}
505:
355:
10835:
Currie, I. D.; Durban, M.; Eilers, P. H. C. (2006). "Generalized linear array models with applications to multidimensional smoothing".
1584:
An alternative concept of the matrix product, which uses row-wise splitting of matrices with a given quantity of rows, was proposed by
6066:
2292:{\displaystyle \left(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}\ast \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}
9381:
8810:
10990:
10837:
10905:
10259:
9494:
2656:
11323:
6152:{\displaystyle \mathbf {P} \ast \mathbf {N} =(\mathbf {P} \otimes \mathbf {1_{k}} )\circ (\mathbf {1_{c}} \otimes \mathbf {N} )}
1251:
585:
11381:
9364:{\displaystyle m=O\left(\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta +\varepsilon ^{-1}\left({\frac {1}{c}}\log 1/\delta \right)^{c}\right)}
8664:
8522:
10486:. Conference Record of The Thirtieth Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers. – DOI:10.1109/acssc.1996.599145
10149:{\displaystyle \left(\mathbf {A} \mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}}
6680:
6029:{\displaystyle \mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =\mathbf {M} \left(\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)}
9903:
9715:
9595:
9511:
610:
430:
280:
10760:
Thomas D. Ahle, Jakob Bæk Tejs
Knudsen. Almost Optimal Tensor Sketch. Published 2019. Mathematics, Computer Science,
9872:
9684:
8728:
11371:
7291:
4458:
4127:
3491:
2719:
1380:
1276:
1171:
1112:
1037:
978:
11333:
11269:
10943:
Zhang X; Yang Z; Cao C. (2002), "Inequalities involving Khatri–Rao products of positive semi-definite matrices",
10330:
Zhang X; Yang Z; Cao C. (2002), "Inequalities involving Khatri–Rao products of positive semi-definite matrices",
9375:
10906:"Solutions to some functional equations and their applications to characterization of probability distributions"
10260:"Solutions to some functional equations and their applications to characterization of probability distributions"
10781:. SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining. Association for Computing Machinery.
10273:
10203:
4960:
4211:{\displaystyle \left(\mathbf {A} \ast c^{\textsf {T}}\right)d=\left(\mathbf {A} \ast d^{\textsf {T}}\right)c}
8586:
11111:
10983:
9018:{\displaystyle \left|\left\|Mx\right\|_{2}-\left\|x\right\|_{2}\right|<\varepsilon \left\|x\right\|_{2}}
156:{\displaystyle \mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{ij}\right)_{ij}}
11216:
11066:
10234:
10197:
3463:{\displaystyle \ a\otimes (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} )=(a\otimes \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C} }
3288:
880:
Khatri–Rao product. This product assumes the partitions of the matrices are their columns. In this case
861:
857:
10383:"Efficient Solution of Linear Matrix Equations with Application to Multistatic Antenna Array Processing"
4049:
11121:
11015:
10683:"Generalized face-products of matrices in models of digital antenna arrays with nonidentical channels"
9189:{\displaystyle m=(4a)^{2c}\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta +(2ae)\varepsilon ^{-1}(\log 1/\delta )^{c}.}
6651:
5694:
5645:
3697:{\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\ast (\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=\mathbf {P} }
11361:
11010:
4873:
876:
of two matrices is a special case of the Khatri-Rao product as defined above, and may also be called
10536:
Anna Esteve, Eva Boj & Josep
Fortiana (2009): "Interaction Terms in Distance-Based Regression,"
10349:
Liu, Shuangzhe; Trenkler, Götz (2008). "Hadamard, Khatri-Rao, Kronecker and other matrix products".
4925:
11353:
11236:
4407:{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(c\otimes d)=(\mathbf {A} c)\circ (\mathbf {B} d)}
10956:
Liu
Shuangzhe; Trenkler Götz (2008), "Hadamard, Khatri-Rao, Kronecker and other matrix products",
9447:
6714:
6629:
6210:
6162:
5916:
5848:
5597:
5549:
3707:
55:
33:
11399:
11328:
11106:
10976:
10178:
11420:
11163:
11096:
11086:
10607:
Proc. Direct and
Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-97), Lviv.
9031:
6232:
6184:
5870:
5619:
5571:
11178:
11173:
11168:
11101:
11046:
10368:
10171:
4037:{\displaystyle c^{\textsf {T}}\bullet d^{\textsf {T}}=c^{\textsf {T}}\otimes d^{\textsf {T}}}
1565:
10563:"Analytical model of the digital antenna array on a basis of face-splitting matrix products"
5896:
4849:
3270:
11188:
11153:
11140:
11031:
10441:
9222:
2647:
207:
9472:
1595:
of two matrices. Using the matrices from the previous examples with the rows partitioned:
8:
11366:
11246:
11221:
11071:
5305:
10445:
11076:
10919:
10854:
10663:
10465:
9202:
8911:
8644:
7273:
7253:
5938:
5723:
5674:
4440:
4420:
4109:
4089:
3473:
2701:
28:
10816:
10315:
10298:
6042:
860:
of the two matrices (each partition in this example is a partition in a corner of the
11274:
11231:
11158:
11051:
10910:
10850:
10667:
10457:
10407:
10264:
10229:
1592:
1576:
947:
matrix of which each column is the
Kronecker product of the corresponding columns of
873:
195:
10858:
10469:
6459:{\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {A} (\mathbf {w} \bullet \mathbf {B} ))}
1564:(AOAs) and delays of multipath signals and four coordinates of signals sources at a
11279:
11183:
11036:
10846:
10812:
10782:
10655:
10449:
10397:
10310:
10182:
1561:
9476:
Transposed block face-splitting product in the context of a multi-face radar model
11338:
11131:
11091:
11081:
10716:
10382:
11343:
11264:
10999:
10541:
955:. Using the matrices from the previous examples with the columns partitioned:
10402:
6510:{\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {A} \mathbf {W_{d}} \mathbf {B} )}
11414:
11376:
11299:
11259:
11226:
11206:
10484:
Joint angle and delay estimation (JADE) for signals in multipath environments
10461:
10453:
10411:
10190:
9481:
6306:{\displaystyle \mathbf {W_{d}} \mathbf {A} =\mathbf {w} \bullet \mathbf {A} }
2729:
2309:
2209:
2032:
1924:
1819:
1756:
1681:
1618:
1585:
10786:
10682:
10648:
Cybernetics and
Systems Analysis C/C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz. 1999
10483:
10213:
10166:
The Face-splitting product and the Block Face-splitting product used in the
11309:
11198:
11148:
11041:
10512:
9863:
9485:
4951:
11289:
11254:
11211:
11056:
10774:
10482:
Vanderveen, M. C., Ng, B. C., Papadias, C. B., & Paulraj, A. (n.d.).
10186:
4867:
2305:
10599:
1560:
In 1996 the column-wise Khatri–Rao product was proposed to estimate the
1235:{\displaystyle \mathbf {C} =\left=\left,\quad \mathbf {D} =\left=\left,}
569:{\displaystyle \mathbf {A} =\left=\left,\quad \mathbf {B} =\left=\left,}
11318:
11061:
10761:
10659:
10207:
4947:
11116:
10901:
10885:
10731:
10562:
10255:
10053:
2204:
11284:
10872:
10429:
10936:
Matrix
Algebra and Its Applications to Statistics and Econometrics
10640:
10968:
9862:(or Block column-wise version of the Khatri–Rao product) of two
11294:
10600:"New operations of matrices product for applications of radars"
10167:
9437:{\displaystyle m=O\left(\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta \right)}
8897:{\displaystyle E\left^{\frac {1}{p}}\leq {\sqrt {ap}}\|x\|_{2}}
10779:
Fast and scalable polynomial kernels via explicit feature maps
9668:{\displaystyle \mathbf {A} =\left,\quad \mathbf {B} =\left,}
10719:(Lecture). April 1999. – DOI: 10.13140/RG.2.2.31620.76164/1
10299:"Matrix Results on the Khatri–Rao and Tracy–Singh Products"
2688:{\displaystyle a\bullet \mathbf {B} =\mathbf {B} \bullet a}
206:, assuming the number of row and column partitions of both
10955:
10641:"A Family of Face Products of Matrices and its Properties"
1546:{\displaystyle \mathbf {C} \ast \mathbf {D} =\left=\left.}
846:{\displaystyle \mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left=\left.}
10958:
International
Journal of Information and Systems Sciences
10351:
International Journal of Information and Systems Sciences
10933:
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10253:
9866:
with a given quantity of columns in blocks has a view:
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4461:(it is a combine of properties 3 an 8), Similarly:
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10538:Communications in Statistics – Theory and Methods
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4957:This can be generalized for appropriate matrices
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8661:with independent identically distributed rows
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5913:means element by element multiplication and
10690:Radioelectronics and Communications Systems
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1580:Face splitting product of matrices
14:
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10639:Slyusar, V. I. (March 13, 1998).
10369:A linear algebra approach to OLAP
9199:In particular, if the entries of
4922:are "count sketch" matrices; and
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10561:Slyusar, V. I. (1997-05-20).
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10945:Applied Mathematics E-notes
10332:Applied Mathematics E-notes
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10185:systems to minimization of
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10918:: 167–180. Archived from
10403:10.4310/CIS.2005.v5.n1.a5
10272:: 167–180. Archived from
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6067:penetrating face product
4948:Fourier transform matrix
3726:is a permutation matrix.
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10681:Slyusar, V. I. (2003).
10297:Liu, Shuangzhe (1999).
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