1107:
462:
1102:{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\Phi ^{-1}(p)\\\gamma _{r-2}&={\frac {\kappa _{r}}{\kappa _{2}^{r/2}}};\;r\in \{3,4,\ldots \}\\h_{1}(x)&={\frac {\mathrm {He} _{2}(x)}{6}}\\h_{2}(x)&={\frac {\mathrm {He} _{3}(x)}{24}}\\h_{11}(x)&=-{\frac {\left}{36}}\\h_{3}(x)&={\frac {\mathrm {He} _{4}(x)}{120}}\\h_{12}(x)&=-{\frac {\left}{24}}\\h_{111}(x)&={\frac {\left}{324}}\end{aligned}}}
1336:
1347:
is 10 + 5×2.55621 or about 22.781. For comparison, the 95th percentile of a normal random variable with mean 10 and variance 25 would be about 18.224; it makes sense that the normal random variable has a lower 95th percentile value, as the normal distribution has no skew or excess kurtosis,
1163:
be a random variable with mean 10, variance 25, skew 5, and excess kurtosis of 2. We can use the first two bracketed terms above, which depend only on skew and kurtosis, to estimate quantiles of this random variable. For the 95th percentile, the value for which the standard normal cumulative
454:
1178:
133:
1502:
1331:{\displaystyle {\begin{aligned}1.644854&+5\cdot {\frac {1.644854^{2}-1}{6}}\\&+2\cdot {\frac {1.644854^{3}-3\cdot 1.644854}{24}}-5^{2}{\frac {2\cdot 1.644854^{3}-5\cdot 1.644854}{36}}\end{aligned}}}
1148:
respectively. The value(s) in each set of brackets are the terms for that level of polynomial estimation, and all must be calculated and combined for the
Cornish–Fisher expansion at that level to be valid.
1183:
467:
138:
125:
449:{\displaystyle {\begin{aligned}w_{p}&=&x&+\left\\&&&+\left\\&&&+\left\\&&&+\cdots \\\end{aligned}}}
1570:
1580:
1575:
81:
1530:
Martin, Douglas; Arora, Rohit (2017). "Inefficiency and bias of modified value-at-risk and expected shortfall".
1434:
1379:
1565:
1387:
Revue de l'Institut
International de Statistique / Review of the International Statistical Institute
29:
40:
21:
8:
1508:
1469:
1412:
1123:
1490:
1498:
1541:
1459:
1451:
1402:
1394:
1532:
1504:
Handbook of
Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
1559:
1442:
1430:
1375:
44:
1494:
1545:
1473:
1416:
1464:
1407:
1455:
1398:
1145:
1141:
33:
25:
1435:"The Percentile Points of Distributions Having Known Cumulants"
1164:
distribution function is 0.95 is 1.644854, which will be
1380:"Moments and Cumulants in the Specification of Distributions"
1348:
and so has a thinner tail than the random variable
1341:
or about 2.55621. So the estimated 95th percentile of
1181:
465:
136:
84:
1330:
1101:
448:
119:
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1489:
1523:
1485:
1483:
120:{\displaystyle y_{p}\approx \mu +\sigma w_{p}}
1429:
1373:
1369:
1367:
47:, who first described the technique in 1937.
1480:
594:
576:
1529:
1364:
569:
1463:
1423:
1406:
61:with mean μ, variance σ², and cumulants κ
1558:
1571:Statistical deviation and dispersion
13:
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1063:
1036:
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1581:Asymptotic theory (statistics)
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1172:weight can be calculated as:
50:
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1499:"26. Probability Functions"
10:
1597:
1576:Statistical approximations
1152:
1140:are the random variable's
1433:; Cornish, E. A. (1960).
30:probability distribution
24:used to approximate the
18:Cornish–Fisher expansion
1332:
1103:
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121:
55:For a random variable
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1104:
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122:
74:at order-of-quantile
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82:
78:can be estimated as
22:asymptotic expansion
1566:Logical expressions
563:
402:
272:
1509:Dover Publications
1491:Abramowitz, Milton
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1326:
1124:Hermite polynomial
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1097:
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444:
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117:
39:It is named after
1431:Fisher, Ronald A.
1376:Fisher, Ronald A.
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1533:Journal of Risk
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1534:
1526:
1515:September 17,
1511:. p. 935
1510:
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1500:
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1495:Stegun, Irene
1492:
1486:
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1475:
1471:
1466:
1461:
1457:
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1443:Technometrics
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